A) Coefficients constants

(1) Soit d'abord X lisse et quasi-projective, donc par résolution forte (que nous admettons), on aura X = X' - Y, \qquad Y = \bigcup_{i} Y_{i}, X' lisse et projective, Y_{i} diviseurs lisses, irréd.uctibles, à croisements normaux. Soit On a donc H^{i-1}(X') \to H^{i-1}(Y) \to H^{i}_{!}(X) \to H^{i}(X') \to H^{i}(Y) \to H^{i+1}_{!}(X) \to \cdots le début de la suite, H^{i-1}(X') \to H^{i-1}(Y), est récrit au-dessus d'un premier terme biffé en marge gauche, le diagramme

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[dl, "f^{\prime}"] \\ \operatorname{Spec} k & \end{tikzcd}

donc les poids dans H^{i}_{!}(X) [qui se définissent via les val. absolues des valeurs propres de Frobenius dans le cas d'un corps fini, par réduction au cas d'un corps de type fini…] sont contenus dans ceux de H^{i}(X') [voisins à i par Weil] et ceux de H^{i-1}(Y).

Or H^{*}(Y) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(i_{0} \ldots i_{p} \mapsto H^{q}(Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}})\bigr) sous le terme, en interligne : « on peut se borner ici aux cochaînes alternées » ; à droite, une accolade porte : de poids q ; de niveau \leqslant q [intervient si i (= p+q) \leqslant n-1] ; de niveau \leqslant 2n-i-q [si i = p+q \geqslant n]. En marge gauche : (2n-i-1)-q

Donc Or ici Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}} est projectif et lisse (de dimension n-p-1 si X purement de dim. n). Donc le poids du terme E_{2}^{pq} est q, et on trouve que le poids de H^{j}(Y) est \leqslant j. Donc :

Proposition 1 Lemme« Proposition 1 » est écrit au-dessus d'un premier mot biffé H^{i}_{!}(X) est de poids compris entre 0 et \leqslant i. La partie de poids i (resp. de poids \leqslant i-1) est le quotient image de H^{i}_{!}(X) \to H^{i}(X') [resp. l'image de H^{i-1}(Y) \to H^{i}_{!}(X)]. De plus, si i \geqslant n = \dim X, alors le niveau de H^{i}_{!}(X) est \leqslant 2n-i, et les deux niveaux précédents sont de niveau \leqslant 2n-i-1 ; de plus, il n'y a des poids qu'entre 2(i-n) [car il faut écrire q \leqslant 2(n-p-1) !] et i, i.e. d'amplitude 2n-i…

Pour un complément, notons que le niveau de E_{2}^{pq} est \leqslant celui de H^{q}(Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}}) (de dim. n-p-1), donc \leqslant \struck{\ill{}}\; 2(n-p-1) - q \;=\; \struck{\operatorname{Inf}(q,} (2n-i-2) - p \qquad (i = p+q), donc \leqslant 2(n-1)-i. au-dessus, une variante : « donc = 2(n-1)-i-p »

NB Tous les niveaux de la filtration sont « effectifs » En tous cas, niveau \leqslant \operatorname{Inf}(i, n)

Donc remplaçant pour p+q = i-1, on trouve un niveau \leqslant 2(n-1)-i+1 = 2n-i-1.

Remarque. La filtration de H^{*}(Y) déduite de la suite spectrale est aussi autre que la filtration par les poids. La filtration image de H^{i}_{!} est donc aussi la filtration par les poids croissants (de 0 à i, ) donc est également indépendante de la compactification X' choisie. Écrivons les termes de cette filtration, en utilisant le fait que H^{i-1}(X') est purement de poids i-1, et E_{2}^{i-1,0} que la suite spectrale est dégénérée pour des raisons de poids : \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & E_{2}^{i-1,0} & E_{2}^{i-2,1} & \cdots & E_{2}^{1,i-2} & E_{2}^{0,i-1}/\operatorname{Im} H^{i-1}(X') & \operatorname{Ker}\bigl(H^{i}(X') \to E_{2}^{0,i}\bigr) \\ \hline \text{poids} & 0 & 1 & & i-2 & i-1 & i \end{array} sous le tableau, une troisième ligne est amorcée puis laissée vide, son intitulé biffé

Cas i \geqslant n Si i \leqslant n, les « niveaux » sont seulement \leqslant poids, il n'y a pas lieu à priori d'attendre plus. L'on trouve d'autre part, pour i \geqslant n, un tableau de gr. filtré \geqslant n : \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & 0 \cdots 0 & \scriptstyle E_{2}^{2n-i-1,2(i-n)} & \scriptstyle E_{2}^{2n-i-2,2(i-n)+1} & \cdots & \scriptstyle E_{2}^{0,i-1}/\operatorname{Im} H^{i-1}(X') & \scriptstyle \operatorname{Ker}(H^{i}(X') \to E_{2}^{0,i}) \\ \hline \text{poids} & \times & 2(i-n) & 2(i-n)+1 & \cdots & i-1 & i \\ \hline \text{niveau} & \times & 0 & 1 & \cdots & 2n-i-1 & 2n-i \end{array} les premières colonnes, nulles, sont barrées d'une croix sur les deux lignes ; l'exposant de la première colonne non nulle est récrit sur un premier exposant biffé

Corollaire 1 (par dualité) H^{i}(X) est de poids compris entre i et 2n. Le morceau de poids i est exactement l'image de H^{i}(X'). Si i \geqslant n, les niveaux des morceaux de poids i, i+1, \ldots, 2n sont resp. \leqslant 2n-i, 2n-i-1, \ldots, 0. Si i \leqslant n, il n'y a de morceaux que des poids i, i+1, \ldots, 2i i, i+1, \ldots, 2n = 2(n-i) = \ldots, qui sont de niveaux resp. \leqslant i, \uncertain{i-1}, \ldots, 0. NB Les niveaux ici décroissants

Tous les morceaux de la filtration sont « effectifs ». En tous cas, niveau \leqslant \operatorname{Inf}(i, n)

(2) Cas lisse non quasi-projectif.

Si X est séparé, utilisant une compactification de Nagata, et résolution des singularités [comme ci-dessus], on a les mêmes résultats que ci-dessus, en notant que la résolution des singularités permet de ramener les conj. de Weil pour des var. propres et lisses au cas projectif et lisse.

Si X non séparé, H^{i}_{!}(X) n'est plus défini. Par contre H^{i}(X) est défini. On a, avec un recouvrement affine, H^{*}(X) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\sigma \mapsto H^{q}(U_{\sigma})\bigr) . Ici E_{2}^{pq} est effectif de poids \geqslant q, mais non dégénéré on peut en conclure que l'effectivité de H^{i}(X), et le fait que ses poids sont compris entre 0 et 2n si i \geqslant n, et entre 0 et 2i si i \leqslant n ; en tous cas, en , on trouve que le niveau est \leqslant 2n-i (il reste à regarder pour i \geqslant n) des poids \leqslant 2i est \leqslant i . passage très raturé : deux lignes biffées d'un long trait ; nous ne donnons que ce qui reste lisible Question : le niveau \leqslant 2n-i ? (si n = \dim X)

(3) Cas non lisse : H^{i}_{!}(X), (X séparé). Je dis qu'il est encore effectif et de poids \leqslant i, de niveau \leqslant \operatorname{Inf}(i, 2n-i) le complément ci-dessus. en interligne : « vrai quand il est lisse dense », lecture douteuse Soit U un ouvert lisse dense, Y = X - U. On a \to H^{i}_{!}(U) \to H^{i}_{!}(X) \to H^{i}_{!}(Y) \to et H^{i}_{!}(U) est effectif de poids \leqslant i, de niveau \leqslant iajouté au-dessus de la ligne, et H^{i}_{!}(Y) aussi par hypothèse de récurrence sur la dimension, donc H^{i}_{!}(X) est effectif de poids \leqslant i, de niveau \leqslant i. De même H^{i}_{!}(U) est de niveau \leqslant 2n-i, et H^{i}_{!}(Y) de niveau \leqslant 2(n-1)-i \leqslant 2n-i, cqfd.

(4) Cas non lisse : H^{i}(X) (X séparé). Je dis qu'il est effectif, à poids \leqslant 2i \leqslant i et \leqslant n, à niveau \leqslant \operatorname{Inf}(i, \ldots\ \dim X) . l'ajout « \leqslant i et \leqslant n » est écrit au-dessus de la ligne, entre « poids » et « niveau », sans qu'on voie auquel des deux il se rapporte Par la suite spectrale de Leray, on est ramené au cas où X affine. Récurrence sur i, c'est trivial si i \leqslant 0. On utilise une résolution X' \to X, et suite spectrale de descente H^{*}(X) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(s \mapsto H^{q}((X'/X)^{s})\bigr) l'exposant s porte sur le produit fibré itéré de X' au-dessus de X : lecture par hyp. de récurrence, si q < i, E_{2}^{pq} est effectif poids \leqslant 2\operatorname{Inf}(i,n), niveau \leqslant \uncertain{\operatorname{Inf}(i,n)}

de niveau poids \leqslant 2q, de niveau \leqslant q. Donc il en est ainsi de E_{\infty}^{pq} si p+q = i, p \neq 0, et même ils sont de poids \leqslant 2(i-1) < 2i, de niveau \leqslant i-1 < ien interligne, au-dessus de la ligne ; reste à examiner le terme E_{2}^{0,i} \subset H^{i}(X') ; comme X' est lisse, il est donc effectif, de poids \leqslant 2i, de niveau \leqslant i. On ajoute que, si i > n, on a H^{i}(X) = 0 (X affine !).

A fortiori H^{i}(X) est de niveau \leqslant n = \dim X. Il suffit E_{2}^{pq} utilisant un recouvrement trois lignes cancellées d'un long zigzag, lisibles en partie

B) Coefficients tordus sur X lisse

dans le titre, deux ajouts entourés : « séparé » après « lisse », et « F effectif de poids et niveau j »

(1) On suppose que les coefficients envisagés proviennent d'un motif lisse sur X, et par dévissage (possible loc. ?)ajouté en interligne on se ramène au cas où ce dernier est un facteur direct d'un R^{j}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y}), avec f : Y \to X un morphisme projectif et lisse. On peut supposer même f de dim. relative j.ajouté en interligne, suivi d'une ligne que nous ne lisons pas On a F = R^{j}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y}) . Considérons la suite spectrale H^{*}(Y) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(X, R^{q}f_{*}(Y)\bigr) . D'après Deligne, cette suite spectrale dégénère. Donc H^{i}(X, R^{j}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}(Y))) et par suite H^{i}(X,F) apparaît comme un morceau de H^{i+j}(Y). On trouve que c'est un module (effectif) de poids compris entre i+j et 2(n+j) = 2n+2j (où n = \dim X) ; 2(n+j) et 2(i+j) les niveaux sont resp. \leqslant (2n-i+j), \ldots, 0. Si i \leqslant n, il n'y a que des poids qui ont les dimensions i+j, i+j+1, \ldots, 2(i+j), de poids niveaux respectifs \leqslant 0, \ldots, i+j i+j, i+j-1, \ldots, 0. « 2(i+j) » et « 2n+2j » sont entourés ; les trois bulles de la marge s'y rattachent peut-on remplacer 2n+2j par 2n+j ? peut-on remplacer 2i+2j par 2i+j ? Idiot ! Les poids sont-ils \geqslant j ?

Résultats duals pour H^{i}_{!}(F), il est effectif de poids \leqslant i+j, et à niveaux si i \geqslant n, il est à niveaux croissants de 0 à 2n-i+j 2(n+j)-(i+j) = 2n-i+j pour des poids croissants de .

Si X est propre, on trouve que H^{i}(X,F) est pur de poids i+j (et semi-simple ici…) !

(2) Cas où on dispose seulement d'une représentation de F sous forme symbolique localement sur X pour la top. (Zariski). Dans ce cas, on ne peut plus utiliser la filtration. X séparé, on doit localiser sur X en sous (ét), et utiliser la suite spectrale de Leray d'un recouvrement. On trouve effectivité, poids entre 0 et 2n+2j passage encadré à gauche, biffé de deux traits obliques et d'un trait horizontal on a intérêt à travailler d'abord avec la cohomologie à supports propres sur X, qui permet de découper X en morceaux, et d'obtenir le même résultat que dessus. On déduit l'analogue en cohomologie à supports quelconques par dualité.

Si F est symplectique,

Remarque. [En fait, on voit par ce raisonnement que, en ce qui concerne la coh. à supports propres, les résultats sont obtenus en supposant seulement que F soit « joli par morceaux » sur X la lissité de X par ailleurs ; si de plus X lisse, le fait que F constant est utilisé pour passer aux résultats précédents par dualité.

C) Cas de coefficients effectifs de (poids j, niveau j) quelc., X quelconque

1) Cas de la cohomologie H^{i}_{!} : déjà traité dans le numéro précédent : résultat le même que dans (B) 1).

2) Cas de la cohomologie H^{i}(X, F). Je dis qu'il est effectif, de poids entre 0 et 2i \leqslant \operatorname{Inf}(2i, 2n) = 2 \operatorname{Inf}(i, n), de niveau \leqslant \operatorname{Inf}(\uncertain{i}, n), où n = \dim X. On procède par —- ?