Cote n° 12 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

101feuillet dactylographié, en anglais, isolé : ni le feuillet qui le précède dans le lot 5 ni celui qui le suit ici n'en continuent le texte, et il s'arrête au milieu d'une phrase. Les formules et les deux diagrammes sont tracés à la main dans les blancs laissés par la machine, de même que les mentions « Kunneth formula » et « Poincaré duality » ; nous ne savons pas de quelle main

The association of a cohomology class with a cycle has all the functorial and compatibility properties one could hope for. In particular, if \(f : X \to Z\) is a morphism of schemes over \(k\), then there are commutative diagrams

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\begin{tikzcd}
H^{2i}_{\ell}(Z) \arrow[r, "f^{*}"] & H^{2i}_{\ell}(X) \\
C^{i}(Z) \arrow[u, "\rho_{Z}"] \arrow[r, "f^{*}"] & C^{i}(X) \arrow[u, "\rho_{X}"']
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}
H^{2i}_{\ell}(X) \arrow[r, "f_{*}"] & H^{2i-2r}_{\ell}(Z) \\
C^{i}(X) \arrow[u, "\rho_{X}"] \arrow[r, "f_{*}"] & C^{i-r}(Z) \arrow[u, "\rho_{Z}"']
\end{tikzcd}

where \(r = \dim X - \dim Z\).

Correspondences. Let \(X\) and \(Z\) be projective, smooth, and connected schemes over \(k\). Then there are canonical isomorphisms \[ \begin{aligned} H^{*}_{\ell}(X \times Z) &\simeq H^{*}_{\ell}(X) \otimes_{\mathbb{Q}_{\ell}} H^{*}_{\ell}(Z) && \text{(Kunneth formula)} \\ &\simeq \check{H}^{*}_{\ell}(X) \otimes_{\mathbb{Q}_{\ell}} H^{*}_{\ell}(Z) && \text{(Poincaré duality)} \\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_{\ell}}\bigl(H^{*}_{\ell}(X), H^{*}_{\ell}(Z)\bigr) . \end{aligned} \] Thus to an element \(\alpha\) of \(H^{*}_{\ell}(X \times Z)\) we can canonically associate a homomorphism \(\tilde{\alpha} : H^{*}_{\ell}(X) \to H^{*}_{\ell}(Z)\), and to a homomorphism \(\beta : H^{*}_{\ell}(X) \to H^{*}_{\ell}(Z)\) we can canonically associate an element \(\hat{\beta} \in H^{*}_{\ell}(X \times Z)\). In particular, we say that \(\beta : H^{*}_{\ell}(X) \to H^{*}_{\ell}(Z)\) is algebraic if the associated cohomology class \(\hat{\beta}\) is algebraic, i.e. belongs to \(C^{*}_{\ell}(X \times Z)\).

It is sometimes convenient to note that, given \(\alpha \in H^{*}_{\ell}(X \times Z)\), the homomorphism \(\tilde{\alpha} : H^{*}_{\ell}(X) \to H^{*}_{\ell}(Z)\) is the composition of the homomorphisms la composition annoncée n'est pas inscrite : le bas du feuillet est laissé en blanc

103feuillet isolé, à l'encre bleue : deux tableaux de poids et de niveaux, puis deux remarques ; la disposition en colonnes est celle de la page

\(H^{1}\) […] cas propre, ou du \(H^{1}_{!}\) (au-dessus des colonnes de poids 0 et 1) ; cas lisse (sous les colonnes de poids 1 et 2) : \[ \begin{array}{c|ccc} \text{poids} & 0 & 1 & 2 \\ \hline \text{niveau} & 0 & 1 & 0 \end{array} \] morceaux purs sont semi-simples

\(H^{2}_{\ill{}}\) cas propre (au-dessus des poids 0 à 2) ; cas lisse (sous les poids 2 à 4) : \[ \begin{array}{c|ccccc} \text{poids} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{niveau} & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \] l'indice de ce \(H^{2}\) est une petite boucle que nous ne savons pas lire ; ce n'est pas le « ! » de la ligne suivante

morceaux purs de poids \(\neq 2\) sont semi-simples. Le morceau pur de poids 2 est une extension par un motif de Tate \(\mathbb{Q}(-1)^{r}\).

\(H^{2}_{!}\) il semble qu'il puisse y avoir mélange de poids dans le mauvais sens, à cause d'une extension d'un motif effectif de poids 0 par un autre de poids 1 ; en plus de cela, il y aurait une extension, peut-être non triviale, d'un motif effectif de poids 0 [resp.] 1« resp. 1 » est ajouté au-dessus de la ligne par un autre.

Poids de la cohomologie \(\ell\)-adique d'une variété singulière ou/et non propre

titre encadré, en tête de la page 104, de sa main ; « \(\ell\)-adique » y est ajouté au-dessus de la ligne, et une parenthèse, en haut à droite, porte (sur un corps de type fini)

104

A) Coefficients constants

(1) Soit d'abord \(X\) lisse et quasi-projective, donc par résolution forte (que nous admettons), on aura \[ X = X' - Y, \qquad Y = \bigcup_{i} Y_{i}, \] \(X'\) lisse et projective, \(Y_{i}\) diviseurs lisses, irréd.[uctibles], à croisements normaux. Soit On a donc \[ H^{i-1}(X') \to H^{i-1}(Y) \to H^{i}_{!}(X) \to H^{i}(X') \to H^{i}(Y) \to H^{i+1}_{!}(X) \to \cdots \] le début de la suite, \(H^{i-1}(X') \to H^{i-1}(Y)\), est récrit au-dessus d'un premier terme biffé en marge gauche, le diagramme

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\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook] \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[dl, "f^{\prime}"] \\
\operatorname{Spec} k &
\end{tikzcd}

[…] donc les poids dans \(H^{i}_{!}(X)\) [qui se définissent via les val. absolues des valeurs propres de Frobenius dans le cas d'un corps fini, par réduction au cas d'un corps de type fini…] sont contenus dans ceux de \(H^{i}(X')\) [voisins à \(i\) par Weil] et ceux de \(H^{i-1}(Y)\).

Or \[ H^{*}(Y) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(i_{0} \ldots i_{p} \mapsto H^{q}(Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}})\bigr) \] sous le terme, en interligne : « on peut se borner ici aux cochaînes alternées » ; à droite, une accolade porte : de poids \(q\) ; de niveau \(\leqslant q\) [intervient si \(i (= p+q) \leqslant n-1\)] ; de niveau \(\leqslant 2n-i-q\) [si \(i = p+q \geqslant n\)]. En marge gauche : \((2n-i-1)-q\)

Donc Or ici \(Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}}\) est projectif et lisse (de dimension \(n-p-1\) si \(X\) […] purement de dim. \(n\)). Donc le poids du terme \(E_{2}^{pq}\) est \(q\), et on trouve que le poids de \(H^{j}(Y)\) est \(\leqslant j\). Donc :

Proposition 1 Lemme« Proposition 1 » est écrit au-dessus d'un premier mot biffé \(H^{i}_{!}(X)\) est de poids compris entre 0 et \(\leqslant i\). La partie de poids \(i\) (resp. de poids \(\leqslant i-1\)) est le quotient image de \(H^{i}_{!}(X) \to H^{i}(X')\) [resp. l'image de \(H^{i-1}(Y) \to H^{i}_{!}(X)\)]. De plus, si \(i \geqslant n = \dim X\), alors le niveau de \(H^{i}_{!}(X)\) est \(\leqslant 2n-i\), et les deux niveaux précédents sont de niveau \(\leqslant 2n-i-1\) ; de plus, il n'y a des poids qu'entre \(2(i-n)\) [car il faut écrire \(q \leqslant 2(n-p-1)\) !] et \(i\), i.e. […] d'amplitude \(2n-i\)…

Pour un complément, notons que le niveau de \(E_{2}^{pq}\) est \(\leqslant\) celui de \(H^{q}(Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}})\) (de dim. \(n-p-1\)), donc \[ \leqslant \struck{\ill{}}\; 2(n-p-1) - q \;=\; \struck{\operatorname{Inf}(q,} (2n-i-2) - p \qquad (i = p+q), \] donc \(\leqslant 2(n-1)-i\). au-dessus, une variante : « donc \(= 2(n-1)-i-p\) »

NB Tous les niveaux de la filtration sont « effectifs » En tous cas, niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(i, n)\)

105Donc remplaçant pour \(p+q = i-1\), on trouve un niveau \(\leqslant 2(n-1)-i+1 = 2n-i-1\).

Remarque. La filtration de \(H^{*}(Y)\) déduite de la suite spectrale est aussi autre que la filtration par les poids. La filtration image de \(H^{i}_{!}\) est donc aussi la filtration par les poids croissants (de 0 à \(i\), […]) donc est également indépendante de la compactification \(X'\) choisie. Écrivons les termes de cette filtration, en utilisant le fait que \(H^{i-1}(X')\) est purement de poids \(i-1\), et \(E_{2}^{i-1,0}\) que la suite spectrale est dégénérée pour des raisons de poids : \[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & E_{2}^{i-1,0} & E_{2}^{i-2,1} & \cdots & E_{2}^{1,i-2} & E_{2}^{0,i-1}/\operatorname{Im} H^{i-1}(X') & \operatorname{Ker}\bigl(H^{i}(X') \to E_{2}^{0,i}\bigr) \\ \hline \text{poids} & 0 & 1 & & i-2 & i-1 & i \end{array} \] sous le tableau, une troisième ligne est amorcée puis laissée vide, son intitulé biffé

Cas \(i \geqslant n\) Si \(i \leqslant n\), les « niveaux » sont [seulement] \(\leqslant\) poids, il n'y a pas lieu à priori d'attendre plus. L'on trouve d'autre part, pour \(i \geqslant n\), un tableau de gr. filtré \(\geqslant n\) : \[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & 0 \cdots 0 & \scriptstyle E_{2}^{2n-i-1,2(i-n)} & \scriptstyle E_{2}^{2n-i-2,2(i-n)+1} & \cdots & \scriptstyle E_{2}^{0,i-1}/\operatorname{Im} H^{i-1}(X') & \scriptstyle \operatorname{Ker}(H^{i}(X') \to E_{2}^{0,i}) \\ \hline \text{poids} & \times & 2(i-n) & 2(i-n)+1 & \cdots & i-1 & i \\ \hline \text{niveau} & \times & 0 & 1 & \cdots & 2n-i-1 & 2n-i \end{array} \] les premières colonnes, nulles, sont barrées d'une croix sur les deux lignes ; l'exposant de la première colonne non nulle est récrit sur un premier exposant biffé

Corollaire 1 (par dualité) \(H^{i}(X)\) est de poids compris entre \(i\) et \(2n\). Le morceau […] de poids \(i\) est exactement l'image de \(H^{i}(X')\). Si \(i \geqslant n\), les niveaux des morceaux de poids \(i, i+1, \ldots, 2n\) sont resp. \(\leqslant 2n-i, 2n-i-1, \ldots, 0\). Si \(i \leqslant n\), il n'y a de morceaux que des poids \(i, i+1, \ldots, 2i\) \(i, i+1, \ldots, 2n = 2(n-i) = \ldots\), qui sont de niveaux resp. \(\leqslant i, \uncertain{i-1}, \ldots, 0\). NB Les niveaux ici décroissants

Tous les morceaux de la filtration sont « effectifs ». En tous cas, niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(i, n)\)

106(2) Cas […] lisse non quasi-projectif.

Si \(X\) est séparé, utilisant une compactification de Nagata, et résolution des singularités [comme ci-dessus], on a les mêmes résultats que ci-dessus, en notant que la résolution des singularités permet de ramener les conj. de Weil pour des var. propres et lisses au cas projectif et lisse.

Si \(X\) non séparé, \(H^{i}_{!}(X)\) n'est plus défini. Par contre \(H^{i}(X)\) est défini. On a, avec un recouvrement affine, \[ H^{*}(X) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\sigma \mapsto H^{q}(U_{\sigma})\bigr) . \] Ici \(E_{2}^{pq}\) est effectif de poids \(\geqslant q\), mais non dégénéré […] on peut en conclure que l'effectivité de \(H^{i}(X)\), et le fait que ses poids sont compris entre 0 et \(2n\) si \(i \geqslant n\), et entre 0 et \(2i\) si \(i \leqslant n\) ; en tous cas, en […], on trouve que le niveau est \(\leqslant 2n-i\) (il reste à regarder pour \(i \geqslant n\)) des poids \(\leqslant 2i\) est \(\leqslant i\) […]. passage très raturé : deux lignes biffées d'un long trait ; nous ne donnons que ce qui reste lisible Question : le niveau \(\leqslant 2n-i\) ? […] (si \(n = \dim X\))

(3) Cas non lisse : \(H^{i}_{!}(X)\), (\(X\) séparé). Je dis qu'il est encore effectif et de poids \(\leqslant i\), de niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(i, 2n-i)\) le complément ci-dessus. en interligne : « vrai quand il est lisse dense », lecture douteuse Soit \(U\) un ouvert lisse dense, \(Y = X - U\). On a \[ \to H^{i}_{!}(U) \to H^{i}_{!}(X) \to H^{i}_{!}(Y) \to \] et \(H^{i}_{!}(U)\) est effectif de poids \(\leqslant i\), [de niveau \(\leqslant i\)]ajouté au-dessus de la ligne, et \(H^{i}_{!}(Y)\) aussi par hypothèse de récurrence sur la dimension, donc \(H^{i}_{!}(X)\) est effectif de poids \(\leqslant i\), de niveau \(\leqslant i\). De même \(H^{i}_{!}(U)\) est de niveau \(\leqslant 2n-i\), et \(H^{i}_{!}(Y)\) de niveau \(\leqslant 2(n-1)-i \leqslant 2n-i\), cqfd.

(4) Cas non lisse : \(H^{i}(X)\) (\(X\) séparé). Je dis qu'il est effectif, à poids \(\leqslant 2i\) [\(\leqslant i\) et \(\leqslant n\)], à niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(i, \ldots\ \dim X)\) […]. l'ajout « \(\leqslant i\) et \(\leqslant n\) » est écrit au-dessus de la ligne, entre « poids » et « niveau », sans qu'on voie auquel des deux il se rapporte Par la suite spectrale de Leray, on est ramené au cas où \(X\) affine. Récurrence sur \(i\), c'est trivial si \(i \leqslant 0\). On utilise une résolution \(X' \to X\), et suite spectrale de descente \[ H^{*}(X) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(s \mapsto H^{q}((X'/X)^{s})\bigr) \] l'exposant \(s\) porte sur le produit fibré itéré de \(X'\) au-dessus de \(X\) : lecture par hyp. de récurrence, si \(q < i\), \(E_{2}^{pq}\) est effectif poids \(\leqslant 2\operatorname{Inf}(i,n)\), niveau \(\leqslant \uncertain{\operatorname{Inf}(i,n)}\)

107de niveau poids \(\leqslant 2q\), de niveau \(\leqslant q\). Donc il en est ainsi de \(E_{\infty}^{pq}\) si \(p+q = i\), \(p \neq 0\), [et même ils sont de poids \(\leqslant 2(i-1) < 2i\), de niveau \(\leqslant i-1 < i\)]en interligne, au-dessus de la ligne ; reste à examiner le terme \(E_{2}^{0,i} \subset H^{i}(X')\) ; comme \(X'\) est lisse, il est donc effectif, de poids \(\leqslant 2i\), de niveau \(\leqslant i\). On ajoute que, si \(i > n\), on a \(H^{i}(X) = 0\) (\(X\) affine !).

A fortiori \(H^{i}(X)\) est de niveau \(\leqslant n = \dim X\). Il suffit […] \(E_{2}^{pq}\) […] utilisant un recouvrement trois lignes cancellées d'un long zigzag, lisibles en partie

B) Coefficients tordus sur \(X\) lisse

dans le titre, deux ajouts entourés : « séparé » après « lisse », et « \(F\) effectif de poids et niveau \(j\) »

(1) On suppose que les coefficients envisagés proviennent d'un motif lisse sur \(X\), et [par dévissage (possible loc. ?)]ajouté en interligne on se ramène au cas où ce dernier est un facteur direct d'un \(R^{j}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y})\), avec \(f : Y \to X\) un morphisme projectif et lisse. [On peut supposer même \(f\) de dim. relative \(j\).]ajouté en interligne, suivi d'une ligne que nous ne lisons pas On a \[ F = R^{j}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y}) . \] Considérons la suite spectrale \[ H^{*}(Y) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(X, R^{q}f_{*}(Y)\bigr) . \] D'après Deligne, cette suite spectrale dégénère. Donc \(H^{i}(X, R^{j}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}(Y)))\) [et par suite \(H^{i}(X,F)\)] apparaît comme un morceau de \(H^{i+j}(Y)\). On trouve que c'est un module (effectif) de poids compris entre \(i+j\) et \(2(n+j) = 2n+2j\) (où \(n = \dim X\)) ; \(2(n+j)\) et \(2(i+j)\) les niveaux sont resp. \(\leqslant (2n-i+j), \ldots, 0\). Si \(i \leqslant n\), il n'y a que des poids qui ont les dimensions \(i+j, i+j+1, \ldots, 2(i+j)\), de poids niveaux respectifs \(\leqslant 0, \ldots, i+j\) \(i+j, i+j-1, \ldots, 0\). « \(2(i+j)\) » et « \(2n+2j\) » sont entourés ; les trois bulles de la marge s'y rattachent peut-on remplacer \(2n+2j\) par \(2n+j\) ? peut-on remplacer \(2i+2j\) par \(2i+j\) ? Idiot […] ! Les poids sont-ils \(\geqslant j\) ?

Résultats duals pour \(H^{i}_{!}(F)\), il est effectif de poids \(\leqslant i+j\), et à niveaux si \(i \geqslant n\), il est à niveaux croissants de 0 à \(2n-i+j\) \(2(n+j)-(i+j) = 2n-i+j\) pour des poids croissants de […].

Si \(X\) est propre, on trouve que \(H^{i}(X,F)\) est pur de poids \(i+j\) (et semi-simple ici…) !

108(2) Cas où on dispose seulement d'une représentation de \(F\) sous forme symbolique localement sur \(X\) pour la top. (Zariski). Dans ce cas, on ne peut plus utiliser la filtration. \(X\) séparé, on doit […] localiser sur \(X\) en sous (ét), et utiliser la suite spectrale de Leray d'un recouvrement. On trouve […] effectivité, poids entre 0 et \(2n+2j\) passage encadré à gauche, biffé de deux traits obliques et d'un trait horizontal on a intérêt à travailler d'abord avec la cohomologie à supports propres sur \(X\), qui permet de découper \(X\) en morceaux, et d'obtenir le même résultat que dessus. On déduit l'analogue en cohomologie à supports quelconques par dualité.

Si \(F\) est symplectique,

Remarque. [En fait, on voit par ce raisonnement que, en ce qui concerne la coh. à supports propres, les résultats sont obtenus en supposant seulement que \(F\) soit « joli par morceaux » sur \(X\) [la lissité de \(X\) par ailleurs] ; si de plus \(X\) lisse, le fait que \(F\) constant est utilisé […] pour passer aux résultats précédents par dualité.

C) Cas de coefficients effectifs de (poids \(j\), niveau \(j\)) quelc., \(X\) quelconque

1) Cas de la cohomologie \(H^{i}_{!}\) : déjà traité dans le numéro précédent : résultat le même que dans (B) 1).

2) Cas de la cohomologie \(H^{i}(X, F)\). Je dis qu'il est effectif, de poids entre 0 et \(2i\) \(\leqslant \operatorname{Inf}(2i, 2n) = 2 \operatorname{Inf}(i, n)\), de niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(\uncertain{i}, n)\), où \(n = \dim X\). On procède par —- ?

Faisceaux \(\ell\)-adiques admissibles et motifs virtuels

titre en tête de la page 110, de sa main

1101. Soit \(S\) un schéma, \(\mathbb{Q}_{\ell}\)

1. On a fixé un nb premier \(\ell\). Les schémas envisagés sont premiers à \(\ell\). (Le cas le plus intéressant est celui des schémas loc. de type fini sur \(\mathbb{Z}\).)« de type fini sur » est récrit au-dessus de la ligne ; un mot ajouté, constructibles, s'y rattache Les faisceaux envisagés sont les \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux. On note \(\mathbb{Q}_{\ell}(1)\) le faisceau de Tate \(T_{\ell}(\mathbb{G}_{m}) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}\), et le twist par sa puissance tensorielle \(n\)-ième est noté \(F \mapsto F(n)\). Le bon point de vue commence à se voir !

2.1 Un faisceau \(F\) sur \(S\) est dit spécial [de poids \(i\)] s'il est isomorphe à un facteur direct [quotient tordu] [sous-quotient tordu] d'un faisceau de la forme \(R^{i}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,X})\), où \(f : X \to S\) est projectif et lisse. [On entend que si \(i < 0\), cela signifie \(F = 0\) ; si \(i = 0\), alors […] cela signifie : \(F\) localement constant.] deux ajouts entourés, dans l'interligne : « ou d'un […] ? » et « sous-quotients et quotients tordus, et sommes directes » ; ce dernier est rattaché par un trait au mot « équivalent à », lecture définition canulée : on ne saurait se ramener à une situation définie sur \(\mathbb{Z}\) Un travail dans la catégorie des faisceaux \(\ell\)-adiques naturels arithmétiques… sous ces deux bulles de marge, une troisième, longue, est cancellée de traits verticaux ; nous ne la lisons pas

Lemme 2.2.

  1. a)Stabilité de « spécial de poids \(i\) » par sommes directes.
  2. b)Si \(F\), \(F'\) sont spéciaux de poids respectifs \(i, j\), alors \(F \otimes F'\) est spécial de poids \(i+j\).
  3. c)Stabilité par image inverse.
  4. d)Si \(F\) spécial de poids \(i\), \(\check{F}(-i)\) l'est aussi.
  5. e)\(\mathbb{Q}_{\ell}(-i)\) est spécial de poids \(2i\), pour \(i \geqslant 0\).

ajout en interligne sous d), rattaché à la marge « d) on déduit Lefschetz »

Démonstration.

  1. a)Se prouve en introduisant \(\coprod_{1 \leqslant i \leqslant n} X_{i}\),
  2. b)Se prouve en considérant un \(X_{1} \times_{S} X_{2}\), et utilisant Künneth,
  3. c)Par th. de changement de base.
  4. d)Par th. de Lefschetz en cohomologie \(\ell\)-adique.
  5. e)On prend \(\mathbb{Q}_{\ell}(-i) = R^{2i}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell, \mathbb{P}^{i}_{S}})\).

Cor. 2.3 Si \(F\) spécial de poids \(i\), et \(n \geqslant i\), alors \(\check{F}(-n)\) est spécial de poids \(2n-i\)

3.1 Un faisceau \(F\) sur \(S\) est dit effectivement admissible […] [admissible] s'il existe pour tout ouvert \(U\) de \(S\) une filtration de \(F|U\) [\(F|U\) dont les quotients […]] une filtration …, où \(Y \to X\) … […] et […] \(F|S_{\alpha}\) … les lignes qui suivent la définition sont barrées de trois longs traits et récrites en interligne ; nous ne donnons que les fragments lisibles il faudrait permettre une extension finie radicielle loc. […] sur \(Y\) rendant […] spécial

On dit que \(F\) est à poids dans \(P\), où \(P\) est une partie de \(\mathbb{Z}\), si … les \(F|S_{\alpha}\) sont admissibles … poids \(\in P\). (Donc eff. admissible alors \(F\) est de poids \(\in P'\), pour tout \(P' \supset P\).) Si \(P = \emptyset\) […] \(P\) ne contient pas … d'élément \(\geqslant 0\), cela signifie \(F = 0\). Attention, il est tautologique ! cela signifie que si \(F\) est à poids \(\in P\) et à poids \(\in P'\), il est à poids \(\in P \cap P'\) […]

111d) Si \(F\) spécial de poids

Proposition 3.3 3.2

  1. a)Stabilité de « eff. adm. de poids \(\subset P\) » par sous-faisceaux constructibles, quotients constructibles, [sommes finies,] extensions.
  2. b)Si \(F, F'\) sont eff. adm. à poids \(\subset P, P'\), alors \(F \otimes F'\) est admissible à poids \(\subset P + P' = \{ i+i' \mid i \in P, i' \in P' \}\).
  3. c)Stabilité par chgt de base.
  4. d)Si \(F\) est spécial eff[t] admissible constant tordu à poids \(\subset P\), et si \(i \in P \Rightarrow i \leqslant n\), alors \(\check{F}(\struck{n})\) est à[ eff[t]] admissible (constant tordu) à poids \(\subset 2n - P = \{ n-i \mid i \in P \}\).

sic : l'ensemble est écrit \(\{ n-i \mid i \in P \}\), alors que « \(2n - P\) » appellerait \(\{ 2n-i \}\) ; le twist de \(\check{F}\) est surchargé et nous ne le lisons pas avec sûreté d) […] Lefschetz

Dém. a) b) c) sont immédiats, en utilisant les notations correspondantes de 2.1. Notons d'ailleurs :

3.2. [Supposons \(S\) […] [Supposons \(S\) qu. cpt sép.]]ajout entouré, au-dessus de la ligne Pour que \(F\) soit eff[t] adm. à poids \(\subset P\), il faut et il suffit que l'on puisse trouver une partition de \(S\) en […] sous-schémas \(S_{i} \overset{\alpha_{i}}{\hookrightarrow} S\), \(\alpha_{i}\) immersion de prés. finie, avec […] \(F|S_{i} = F_{i}\) admettant une filtration dont les quotients successifs sont spéciaux de poids \(\in P\). une grande accolade tracée à gauche, de 3.2 jusqu'en haut de la page, se termine par une flèche vers « Proposition 3.3 » : l'énoncé 3.2 doit précéder la Proposition

Comme, pour \(F\) constant tordu, la formation de \(\check{F}\) commute au changement de base, [3.2] d) résulte de 2.2.

4.1 Un faisceau \(F\) est dit eff[t] admissible de niveaux \(\leqslant \nu\) s'il est effectivement admissible, et dans 3.1, on peut prendre \(G\) […] de poids \(j \in\) de la forme \(G'(-k)\), \(k \geqslant 0\), où \(G'\) est spécial de poids […] \(\leqslant \nu\). — On dit que \(F\) est eff[t] admissible « de poids \(\subset P\), et de niveau \(\leqslant \nu\) » si, avec […] \(G = G'(-k)\) dans 3.1, \(G'\) est spécial de poids \(j \leqslant \nu\), avec \(j + 2k \in P\). Attention, à priori cela n'est pas la conjonction de « de poids \(\subset P\) » et « de niveau \(\leqslant \nu\) ». […] On notera que si […] \(\nu\) est […] […] un entier tel que \(P \leqslant \nu\) (i.e. \(j \in P \Rightarrow j \leqslant \nu\)), alors « eff[t] adm. de poids \(\in P\) » \(\Rightarrow\) « id. et à niveau \(\leqslant \nu\) ». en bas, avant « alors », un début de ligne biffé : « 4.2 a) b) c) » blague : après 3.2, on remarque qu'on peut faire : 3.2, soit 3.1 qu'on étend par 4.2

112Proposition 4.2

  1. a)Stabilité de « eff[t] adm. de poids \(\subset P\) et niveau \(\leqslant \nu\) » par sous-faisceaux constr., quotients constructibles, sommes finies, extensions.
  2. b)\(F_{i}\) « eff[t] adm. de poids \(\subset P_{i}\), niveau \(\leqslant \nu_{i}\) » pour \(i = 1, 2\) implique \(F_{1} \otimes F_{2}\) « eff[t] adm. de poids \(\subset P_{1} + P_{2}\), niveau \(\leqslant \nu_{1} + \nu_{2}\) ».
  3. c)Stabilité par chgt de base.
  4. d)Si \(F\) [eff[t]] admissible constant tordu, « à poids \(k\) [\(\nu + 2k\)] et niveau \(\leqslant \nu\) » (où \(k \geqslant 0\), \(\nu \geqslant 0\)), et si alors pour tout \(n \geqslant \nu + k\) [(soit \(n = \nu + k + h\), \(h \geqslant 0\))], \(\check{F}(n)\) est « eff[t] admissible constant tordu, à poids \(2n - \nu - 2k = \nu + 2h\), niveau \(\leqslant \nu\) ».

le twist de \(\check{F}\) est surchargé : lecture \(\check{F}(n)\) probable

Remarque : introduire plutôt : « à morceaux de poids \(i_{\alpha}\), niveau \(\nu_{\alpha}\) », \(\alpha \in \ldots\) ».

Théorème 5.1. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé de type [prés. finie], et \(F\) […] de poids […] strictement spécial de poids \(j\) (i.e. déf. 2.1, avec […]) (i.e. déf. 1 [d'un] facteur direct d'un \(R^{j}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y})\), avec \(g : Y \to X\) proj. lisse). Alors […] sur \(X\) […] s'appliquant, avec \(F\) …, \(R^{i}f_{!}(F)\) est eff[t] admissible […] à poids \(\leqslant i + j\) […], et à niveaux \(\leqslant \operatorname{Inf}(i+j, 2n-i+j)\) … Si \(f\) […] lisse et \(X\) […] […] poids […] niveau […] Si \(n = \operatorname{Sup}_{s \in S} \dim X_{s}\), et si \(i \geqslant n\), les poids \(\ldots\) possibles sont et niveaux correspondants \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \text{poids} & 2(i-n) & 2(i-n)+1 & \cdots & (i+j) \\ \hline \text{niveau} & \leqslant 0 & \leqslant 1 & \cdots & \leqslant 2n-i+j \end{array} \] énoncé très raturé : deux lignes barrées, où figurait un premier tableau (« poids \(i+j\), \(2i\) … ; niveau … ») biffé en zigzag ; nous donnons l'état final, et le tableau est celui qu'il a gardé. La première colonne, \(2(i-n)\), ne dépend pas de \(j\) : sic Utiliser Lefschetz à la Deligne + résolution des singularités pour les variétés sur les corps résiduels de \(S\). + \(\tfrac{1}{2}\) simplicité arithmétique ? le \(\frac{1}{2}\) de la dernière bulle : sa manière d'écrire « semi- », soit « semi-simplicité arithmétique ? »

Démonstration. Cas [(a)] où \(F = R^{j}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y})\), \(g : Y \to X\) proj. lisse. Utilisant le th. de changement de base propre, […] et dévissage via suite exacte de cohomologie à supports propres, on se ramène au cas où \(\exists\, S' \to S\) \(S\) est affine, noeth., intègre, \(\exists\, S' \to S\) morphisme fini radiciel [\(X\) affine,] tel que \(X_{1} = X \times_{S} S'\) soit lisse sur \(S'\), et se « compactifie » en un \(\widehat{X}_{S'}\) tel que \(X'\) projectif et lisse, tel que \(\widehat{X}_{S'} - X_{S'}\) soit un diviseur [relatif], à croisements normaux, à composantes irréductibles lisses sur \(S'\) ; enfin \(F\) […] est spécial de poids \(j\). [Quitte : quitte à changer de notation, on peut … \(S = S'\), et d'où \(X \subset X' = \widehat{X}\).] On peut supposer \(F = \mathbb{Q}_{\ell,X}\), on est ramené à la situation traitée dans les notes préliminaires (partie (A, 1)). [NB On n'utilise pas la dégénérescence de la suite spectrale qui y intervient.] à expliciter au point de vue construction servira dans 3.3. a) et 4.2 a) la « partie (A, 1) » des « notes préliminaires » est la section A) (1) des pages 104–105

113B) Cas général. On se réduit au

Si \(F\) est quelconque, on écrit que \(F\) est un sous-… facteur direct d'un [ct. tordu] quotient d'un \(R^{d}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y})\), avec \(f : Y \to X\) morphisme projectif. [Utilisant Lefschetz et 2.1. d), … \(j \geqslant d\) … relative […] … la fibre de \(f\) fortement si \(j < d =\) dim. relative de \(Y/X\), et remplaçant \(Y\) par \(Y \times_{X} \mathbb{P}^{j-d}_{X}\) si \(j > d\), on peut supposer \(j = d\).] passage très raturé : trois lignes biffées, reprises dans l'interligne ; nous donnons l'état final […] Lefschetz […] Voir si cette réduction est vraiment utile…

La suite spectrale \[ R^{*}_{!}(fg)(\mathbb{Q}_{\ell}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = R^{p}_{!}f\bigl(R^{q}_{!}g(\mathbb{Q}_{\ell,X})\bigr) \] dégénère par Deligne, donc \(R^{i}_{!}f(F) = E_{2}^{ij}\) est \(\simeq\) quotient [ct. tordu] d'un sous-faisceau ct. tordu d'un \(R^{i+j}_{!}(fg)(\mathbb{Q}_{\ell,Y})\). la suite spectrale est notée ici avec \(f\) et \(g\) ; le terme de gauche porte \((fg)\) et \(\mathbb{Q}_{\ell}\) sans indice lisible, et \(R^{q}_{!}g(\mathbb{Q}_{\ell,X})\) porte \(X\) où l'on attendrait \(Y\) : tel quel La conclusion en résulte, en utilisant le cas précédent pour \(Y \to S\), de dim. relative \(\leqslant n + j\)… utiliser Lefschetz fort […] Deligne [N.B. Voir si Deligne ne peut pas remplacer une factorisation d'Artin sur \(X \to S\) […] variant …]

Corollaire 5.2. Si la partie « semi-simplicité » des conjectures de Tate est vérifiée, la conclusion de 5.1 est vraie [même si] on suppose seulement que \(F\) est eff[t] admissible de poids \(j\). Par suite, si on suppose \(F\) eff[t] admissible de poids \(\leqslant j\), alors on a un énoncé : \(R^{i}_{!}f(F)\) est eff[t] admissible, de poids […] \(\leqslant i+j\), [niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(i+j, 2n-i+j)\)] ; si \(i \geqslant n\), il a des […] poids entre \(2(i-n)\) et \((i+j)\), correspondant aux niveaux \(0, 1, \ldots, 2n-i+j\). semi-simplicité utilisée ! alors par semi-simplicité : \(F\) eff[t] \(=\) str. spécial

Cor. 5.3 [(Sans conj. de Tate)] On se ramène au cas [par dévissage et déf.] où \(F\) est spécial de poids \(j\), et par th. de chgt de base propre au cas où \(S\) de type fini sur Spec \(\mathbb{Z}\), et […] si \(F\) est eff[t] admissible, alors \(R^{i}_{!}f(F)\) est eff[t] admissible. l'énoncé de 5.3 et le début de sa réduction sont mêlés sur la page, l'ajout « (Sans conj. de Tate) » et la réduction étant écrits au-dessus ; nous suivons l'ordre des lignes

114Cor. 5.4. Sur un corps \(k\), si \(X\) est lisse, séparé, de t.f., et si \(F\) est […] str[t] spécial de poids \(j\) (resp. eff[t] adm. de poids \(j\), si l'on admet conjecture de \(\tfrac{1}{2}\)simplicité), alors \(R^{i}f_{*}(F)\) est […] eff[t] admissible de poids entre \(i+j\) et \(2n+2j\), et les niveaux correspondants étant resp. \(\leqslant (2n-i+j), 2n-i+j-1, \ldots, 0\). Si … \(i \leqslant n\), on a les niveaux seulement des poids \(i+j, i+j+1, \ldots, 2(i+j)\), dans les […] de niveaux correspondants resp. \(i+j, i+j-1, \ldots, 0\). « \(\tfrac{1}{2}\)simplicité » : semi-simplicité. Les niveaux \(2n-i+j\), \(2n-i+j-1\) sont récrits sur des premiers termes surchargés résolution, Lefschetz fort, et au besoin semi-simplicité

On peut, sans procéder par dualité à partir de 5.1 resp. 5.2, [dans le cas \(F\) quelc.,] tout reprendre [(la dém. de 5.1 resp. 5.2, via la suite spectrale de Leray)], puis se ramener en utilisant la suite exacte de cohomologie relative au cas où \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\). Dans ce cas, on peut raisonner comme au cas précédent par [compactification et] résolution des singularités, pour écrire \(X = \widehat{X} - D\), \(\widehat{X}\) projectif et lisse propre et lisse et \(D\) [diviseur] à croisements normaux, et on écrit suites exactes de cohomologie relative (supports quelc.) pour \(X, \widehat{X}\) et \(D\), et la suite spectrale de localisation pour \(H^{*}_{D}(\widehat{X})\). Le faire à titre de vérification de cohérence du yoga !

6. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de t.f., \(F\) un faisceau str[t] spécial [effectivement admissible] sur \(X\), de poids \(j\). On veut des renseignements sur [les] \(R^{i}f_{*}(F)\), en particulier on veut qu'ils soient effectivement admissibles, de poids que nous préciserons. Supposons d'abord \(F = \mathbb{Q}_{\ell,X}\). Comme par le th. de finitude, on regarde d'abord le cas d'une immersion la page s'arrête sur ce mot

115feuillet de calculs, sans phrases suivies, et qui semble continuer le cas de l'immersion par lequel s'arrête la page 114 ; nous en donnons les formules dans l'ordre de la page. Le haut porte quelques symboles d'essai :

\(X \subset Y\) \(X_{0}, X_{1}, \ldots\) \(X \hookrightarrow Y\) \(\mathbb{Q}_{\ell}\) \(X\) régulier \[ X_{0} \overset{i}{\hookrightarrow} X \overset{f}{\hookrightarrow} Y, \qquad i_{!}(\mathbb{Q}_{\ell,X_{0}}) \to Ri_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,X_{0}}) . \]

(1) \(X\) régulier, \(F = \mathbb{Q}_{\ell,X}\), \(f\) immersion (\(n = \dim \overline{f(X)}\)). On peut supposer \(X \to Y\) imm. ouverte, \(Y'\) régulier, \(Y' - g(X) = h^{-1}(Y - X) = Z\) diviseur à croisements normaux, \(Z = \sum Z_{i}\) :

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "g"] \arrow[dr, "f"'] & Y' \arrow[d, "h"] \\
& Y
\end{tikzcd}

\[ R^{*}f_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,X}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = R^{p}h_{*}\bigl(R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})\bigr), \] \[ R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}) = \bigwedge^{q} \sum \mathbb{Q}_{\ell,Z_{i}} = \sum_{i_{1} < \cdots < i_{q}} \mathbb{Q}_{\ell,Z_{i_{1}} \cap \cdots \cap Z_{i_{q}}}(-q) \] pur de poids \(2q\) ;

\(E_{2}^{p0} = R^{p}h_{*}(\mathbb{Q}_{\ell,Y'})\) est eff[t] admissible de poids \(\leqslant p = i\), niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(p, 2n-2-p)\) [avec égalité si \(p \geqslant n-1\)] ;

\(E_{2}^{pq} = \sum_{i_{1} < \cdots < i_{q}} R^{p}h_{Z_{i_{1}} \cap \cdots \cap Z_{i_{q}}\,*}(\mathbb{Q}_{\ell})(-q)\) est eff. admissible de poids \(\leqslant p + 2q = i + q\) \(\leqslant 2n\), de niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(p, 2n-2q-p)\). les indices des faisceaux sont écrits \(\mathbb{Q}_{\ell,X_{0}}\) puis récrits ; celui de \(E_{2}^{p0}\) est surchargé, \(Y'\) probable

En tous cas, poids sont \(\leqslant \operatorname{Inf}(2i, 2n-2 \ldots\) l'encadré de « \(\leqslant\) » est surchargé, niveau \(\leqslant \operatorname{Inf}(i, 2n-2-i)\).

(5.e) \(i+q\) : \(p \leqslant 2(n-q)\), encadrés \(p + 2q \leqslant 2n\) et \(q \leqslant n, 2n-i\) ; puis \(p \leqslant n-1\), \(q \leqslant n\)

en bas de page, des calculs d'indices : \(p\), \(n-q\) ; \(p+q \geqslant n\) ; \(2(p-n-q) = 2(i-n)\) ; \(2(n-q) - p = 2n - i - q\) ; et, à droite, un diagramme des \((p, q)\) admissibles, points marqués d'une croix dans le quadrant, axes gradués \(1, 2, \ldots, n-1, n\) et \(n-3, n-2, n-1\), que nous ne redessinons pas

117feuillet de tableaux de poids et de niveaux, suite des calculs de la page 115 ; il n'y a pas de phrases. Nous donnons les tableaux dans l'ordre de la page, en omettant les colonnes intermédiaires qu'il laisse en pointillé

\(i \leqslant n-1\) : \[ \begin{array}{c|ccc} \text{poids} & 0 & 1 \;\cdots & 2i \\ \hline \text{niveau} & 0 & 1 \;\cdots & 2i \end{array} \] premier essai, séparé du reste par un trait ; le niveau sous \(2i\) est « \(2i\) », peut-être corrigé plus bas en 0

\[ \begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} E_{2}^{i,0} & \text{poids} & 0 & 1 & \cdots & i & \\ & \text{niveau} \leqslant & 0 & 1 & \cdots & i & \\ \hline E_{2}^{i-1,1} & \text{poids} & 2 & 3 & \cdots & i & i+1 \\ & \text{niveau} & 0 & 1 & \cdots & i-2 & i-1 \\ \hline E_{2}^{i-2,2} & \text{poids} & 4 & 5 & \cdots & i \;\; i+1 & i+2 \\ & \text{niveau} & 0 & 1 & \cdots & i-4 \;\; i-3 & i-2 \\ \hline E_{2}^{0,i} & \text{poids} & 2i & & & & \\ & \text{niveau} & 0 & & & & \end{array} \] en marge de ces lignes, des conditions biffées : \(p+q = i\), \(p \leqslant 2(n-1-q)\), \(p+q \leqslant n-1\) ; la dernière entrée de la ligne \(E_{2}^{i-1,1}\) est surchargée

\(i \leqslant n-1\) (encadré) : \[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{poids} & 0 & 1 & \cdots & i-1 & i & i+1 & \cdots & 2i \\ \hline \text{niveau} & 0 & 1 & \cdots & i-1 & i & i-1 & \cdots & 0 \end{array} \]

\(i \geqslant n\) : \[ \begin{array}{l|c|c|c|c|c} E_{2}^{i,0} & 2(i-n+1) & 2(i-n+1)+1 & \cdots & & i \\ & 0 & 1 & 2 \;\cdots & & 2(n-1)-i \\ \hline E_{2}^{i-1,1} & 2(i-n)+2 & 2(i-n)+3 & \cdots & i & i+1 \\ & 0 & 1 & \cdots & 2n-i-2 & 2n-i-1 \\ \hline E_{2}^{i-2,2} & 2(i-n)+4 & 2(i-n)+5 & \cdots & i \;\; i+1 & i+2 \\ & 0 & 1 & \cdots & 2n-i-2 \;\; 2n-i-3 & 2n-i-2 \\ \hline E_{2}^{i-3,3} & 2(i-n)+6 & 2(i-n)+7 & \cdots & i \;\; i+1 \;\; i+2 & i+3 \\ & 0 & 1 & \cdots & 2n-i-6 \;\; \ldots & 2n-i-3 \\ \hline E_{2}^{0,i} & 2i & & & & \\ & 0 & & & & \end{array} \] les niveaux des dernières colonnes sont écrits vite et en partie surchargés ; nous les donnons tels que nous les lisons, sans les vérifier. Des traits obliques relient la dernière colonne de chaque ligne à la suivante

\[ q = 2n - i, \quad p = 2(i-n) : \qquad E_{2}^{2(i-n),\,2n-i} = R^{2(i-n)}f_{Z\,*}(\mathbb{Q}_{\ell}\ldots, \qquad 2(i-n) + 2(2n-i) = 2n . \]

à gauche, deux diagrammes des couples \((p, q)\) : des croix dans le quadrant, axes gradués \(0, 1, 2, 3, \ldots, n-2, n-1, n\) en ordonnée et \(\ldots, 2n-6, 2n-5, 2n-4, 2n-3, 2n-2\) en abscisse, séparés par un trait vertical ; nous ne les redessinons pas

119feuillet de calculs, qui reprend les tableaux de la page 117 ; il n'y a guère de phrases

\(i \geqslant n\) (encadré) : \[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{poids} & 2(i-n)+2 & 2(i-n)+3 & 2(i-n)+4 & \cdots & i+1 & i+2 & \cdots & 2n \\ \hline \text{niveau} & 0 & 1 & 2 & \cdots & 2n-i-1 & 2n-i-2 & \cdots & 0 \end{array} \] une colonne « \(i\) », de niveau \(2n-i-2\), est barrée d'une croix entre \(2(i-n)+4\) et \(i+1\) ; sous le tableau, deux flèches, l'une montante vers le milieu, l'autre descendante : les niveaux croissent puis décroissent

Poids \(2n\) intervient avec \[ E_{2}^{2(i-n),\,2n-i} = \sum R^{2(i-n)}f_{Z_{\alpha_{1}} \cap Z_{\alpha_{2}} \cap \cdots \cap Z_{\alpha_{2n-i}}\,*}(\mathbb{Q}_{\ell})\bigl(-(2n-i)\bigr), \] l'intersection étant de dim. \(i-n\) ; \(2n-i \leqslant n \leqslant i\) ; \(n - (2n-i) = i-n\) ; \(2(i-n) + 2(2n-i) = 2n\).

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|l} i & 0 & 1 & \cdots & n-1 & n & n+1 & \cdots & 2n-1 & \\ \hline \text{niveau} & 0 & 1 & \cdots & n-1 & n-1 & n-2 & \cdots & 0 & \leqslant n-1 \\ \hline \text{poids} \leqslant & 0 & 2 & \cdots & 2n-2 & 2n & 2n & 2n & 2n & \leqslant 2n \end{array} \] tableau encadré ; en tête de la dernière colonne, « \(\leqslant 2n-1\) », et un « \(\leqslant 2n\) » biffé

\[ \boxed{\begin{array}{l} \text{poids} \leqslant 2\operatorname{Inf}(i, n) \\ \text{niveau} \leqslant \operatorname{Inf}(i, n-1) \end{array}} \]

Si \(F\) str[t] spécial de poids \(j\) : \[ \text{poids} \leqslant 2\operatorname{Inf}(i, n) + j \;? \qquad \text{niveau} \leqslant \operatorname{Inf}(i, n-1) + j . \]

(2°) \(f\) […] \(F = \mathbb{Q}_{\ell,X}\) Cas général (relatif, en gardant […]) :

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\
Y
\end{tikzcd}

\(y \in Y\), et \[ n = d_{y}(f) = \operatorname*{Sup}_{x \in X} \bigl[\deg \operatorname{tr} k(x) : k(f(x)) + \dim \overline{f(x)}_{y}\bigr] , \] \(x\) tel que \(f(x) \in \uncertain{\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{Y,y}}\) ; au voisinage de \(y\) : \[ \boxed{\begin{array}{l} \text{poids} \leqslant 2\operatorname{Inf}(i, n) + j \\ \text{niveau} \leqslant \operatorname{Inf}(i, n) + j \end{array}}\ ? \] peut-on remplacer \(n\) par la dim des fibres … \(\leqslant n-1\) ? la formule de \(d_{y}(f)\) est écrite vite et en partie surchargée : lecture douteuse dans le détail

120feuillet dactylographié, en français, isolé : il commence et s'arrête au milieu d'une phrase, et ne continue ni ne précède rien dans ce lot. Il présente des travaux de Deligne. Les soulignements, et les ajouts « resté », « sur X » et « -Puppe », sont à la main ; les biffures à la machine sont rendues par struck quand elles se lisent

une sorte de synthèse géométrico-arithmétique des nombreuses théories cohomologiques dont on dispose […] à présent pour les variétés algébriques, de toutes dimensions, et des représentations linéaires de groupes de Galois arithmétiques auxquelles ces théories donnent naissance.

5) Solution du problème d'introduction d'une \(\lambda\)-structure (correspondant à la notion de puissance extérieure) dans l'anneau \(K^{\bullet}(X)\) (dit « de Grothendieck ») d'un espace topologique localement annelé (par exemple une variété analytique, ou différentiable, ou un schéma), construit à l'aide de la catégorie des complexes « parfaits » sur \(X\). Ce problème était signalé comme le plus important problème [resté] en suspens dans le Séminaire de Géométrie Algébrique de l'IHES 1966/67, sur le théorème de Riemann-Roch. La nécessité de travailler avec le \(K^{\bullet}(X)\) défini en termes de complexes parfaits, plutôt que de fibrés vectoriels seulement, est imposé par des […] impératifs techniques irrécusables, qui finiront certainement par s'imposer aussi en dehors de la géométrie algébrique. La solution de Deligne, comme prévu, passe par l'intermédiaire d'une construction de […] foncteurs puissances extérieures dans la catégorie dérivée \(D(X)\) (catégorie des complexes de modules [sur \(X\)] — en fait, il faut se borner ici aux complexes de chaînes), en utilisant la théorie de Dold[-Puppe]. La difficulté sérieuse consistait à prouver que ces opérations dans \(K^{\bullet}(X)\) satisfont aux propriétés algébriques habituelles, permettant d'exprimer par exemple \(\lambda^{i}(xy)\) comme polynôme universel à coéfficients entiers en les \(\lambda^{j}(x), \lambda^{k}(y)\). Deligne procède par une voie très ingénieuse, en déterminant d'abord la structure du \(\lambda\)-anneau de toutes les « opérations tensorielles universelles » qu'on peut effectuer sur des fibrés vectoriels. Il n'a écrit sa théorie que lorsqu'on travaille au dessus d'un corps de base […] (de caractéristique arbitraire). Le cas de la caractéristique la dernière ligne est biffée à la main ; le feuillet s'arrête là