Cote n° 12 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-05.fr.xml

81\(C\) courbe lisse propre sur \(\mathbb{F}_{q}\) « propre » est ajouté en interligne

\(A\) schéma abélien sur \(C\).

Des conjectures de Weil, résulte que \[H^{i}(C, A) = 0 \quad \text{si } i \geqslant 2\] et sans doute, utilisant Tate, on doit avoir \[H^{1}(C, A) = 0\] Soit \(x\) un pt fermé de \(C\), \(U = C - \{x\}\), alors

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
  \cdots \arrow[r] & H^{1}(C, A) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & H^{1}(U, A) \arrow[r] & H^{2}_{x}(C, A) \arrow[r] & H^{2}(C, A) \arrow[d, no head, "\Vert" description] \\
  & 0 & & & 0
\end{tikzcd}

le premier terme de la suite est biffé et illisible ; il est remplacé ici par \(\cdots\) d'où \[H^{1}(U, A) \simeq H^{2}_{x}(C, A)\] Or par Tate, \[H^{2}_{x}(C, A) \simeq H^{1}(K_{x}, A)\] est dual de \(H^{0}(K_{x}, A^{*})\) les deux signes \(\simeq\) sont surchargés […] un groupe fini […] c'est donc […] extension […] \(p\)-groupe, […] deux lignes biffées d'un double trait groupe fini ! OK.

Peut-on généraliser au cas d'une variété \(X\) régulière dont on enlève un diviseur régulier —

83Calculs sur \(T_{\ell}(\mathbb{G}_{m})\) \(= \mathbb{Q}_{\ell}(1)\) et \(\mathbb{G}_{m}\). « \(= \mathbb{Q}_{\ell}(1)\) » est ajouté au-dessus de la ligne

\(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\) \[\begin{array}{lll} H^{0}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) & = 0 & \\[1ex] H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) & = H^{0}(X, \mathcal{O}_{X}^{*}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell} & \\[1ex] H^{2}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) & \text{extension de } T_{\ell}(H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})) & \text{par } H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}^{*}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \end{array}\] dans la première ligne, un argument biffé après \(\mathbb{Q}_{\ell}(1)\) ; les termes \(H^{0}(X, \mathcal{O}_{X}^{*}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\), \(T_{\ell}(H^{2}(X, \mathbb{G}_{m}))\) et \(H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}^{*}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) sont entourés \(\sim\) coBrauer \[H^{3}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) \simeq T_{\ell}(H^{3}(X, \mathbb{G}_{m})) \ \text{est ce qu'il peut}\] [p. ex. \(\mathbb{Z}_{\ell}\) si \(X\) modèle […] d'un corps de fonctions d'une variable sur \(\mathbb{F}_{p}\)] \[H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) = 0 \quad \text{si } i \geqslant 4 \ ??\] \[\Vert\] \[T_{\ell}(H^{i}(X, \mathbb{G}_{m}))\] On conjecture (Artin) que \(H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})\) = fini si \(X\) propre sur \(\mathbb{Z}\). Mais si Vrai si \(X\) courbe projective lisse sur \(\mathbb{F}_{p}\), mais faux quand on lui enlève des pts – le rang du \(H^{2}\) augmente d'autant « Vrai » est écrit au-dessus de « Mais si », biffé

\(H^{3}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1))\) : quelle est sa taille [il décroît en passant à un ouvert de \(X\)]

17 Formes positives

titre souligné, de sa main, précédé du numéro 17 qu'il donne au paragraphe

85Le théorème étant géométrique, nous nous plaçons sur un corps alg. clos \(k\). Nous ne considérons que les motifs ½ simples sur \(k\), purs, de poids \(p\). Soit \(M\) un tel motif, considérons les formes \[M \times M \longrightarrow \mathbb{Q}(-p)\] i.e. les éléments de \[\Gamma_{k}(\operatorname{Hom}(M \otimes M, \mathbb{Q}(-p))) = \mathcal{L}(M)\] où le […] \(\operatorname{Hom}\) est bien de poids \(0\). « purs » est ajouté en interligne

Elles forment un vectoriel de poids dim. finie sur \(\mathbb{Q}\). On considère le sous-espace […] dans « dim. finie » est écrit au-dessus de « poids », biffé formé des formes symétriques si \(p\) pair, alternées si \(p\) impair. Soit ce que nous notons \(\mathcal{L}^{s}(M)\). Noter les hom. canoniques \[\mathcal{L}^{s}(M) \otimes \mathcal{L}^{s}(N) \longrightarrow \mathcal{L}^{s}(M \otimes N)\]

86par produit tensoriel des formes [N.B. le produit tensoriel de deux formes symétriques, ou de de même type de symétrie est symétrique – de deux types opposés de symétrie est antisymétrique]. Bien entendu, ils ne sont pas en général bijectifs (mais du moins injectifs).

On a aussi \[\mathcal{L}^{s}(M' \times M'') \simeq \mathcal{L}^{s}(M') \times \mathcal{L}^{s}(M'') \times \mathcal{B}(M', M'')\] où \[\mathcal{B}(M', M'') = \operatorname{Hom}(M' \otimes M'', \mathbb{Q}(p)) .\] \(\mathbb{Q}(p)\) sic, là où la p. 85 écrit \(\mathbb{Q}(-p)\)

Ceci posé, on […] […] \(\mathcal{L}^{s}(M)\) un cône convexe fermé \(\mathcal{L}^{+}(M)\). « convexe » est ajouté au-dessus d'un mot biffé ; au-dessus de la ligne, un mot biffé et « des », puis une lettre isolée, peut-être \(H\)

On a les propriétés suivantes :

les formes \(\in \mathcal{L}^{+}(M)\) sont dites positives, celles dans l'intérieur sont dites amples

  1. (i)\(\mathcal{L}^{+}(M)\) a un intérieur non vide.
  2. (ii)Un élément de \(\mathcal{L}^{+}(M)\) est dans l'int. de \(\mathcal{L}^{+}(M)\) ssi il est non dég.
  3. (iii)Pour \(M \to N\), \(\mathcal{L}^{+}(N)\) s'envoie dans \(\mathcal{L}^{+}(M)\).
  4. (iv)[…] Si \(M \to N\) injectif, \(\mathcal{L}^{+}(N)\) l'intérieur de \(\mathcal{L}^{+}(N)\) s'envoie dans l'intérieur de \(\mathcal{L}^{+}(M)\) (formes amples \(\longrightarrow\) formes amples)

87[…] i.e. la forme induite sur \(M\) par une forme ample est non dégénérée, donc \[N = M \oplus M^{\perp} ,\] et la forme sur \(N\) est la somme des formes induites sur \(M\), \(M^{\perp}\). « par une forme ample » est ajouté au-dessus de la ligne

  1. (v)La somme directe de deux formes positives ou pseudo-amples (amples) est item.
  2. (vi)Le produit tensoriel de deux formes amples est ample.
  3. (vii)Si \(p = 0\), de sorte que essentiellement \(M\) est défini par un vectoriel de dim. finie sur \(\mathbb{Q}\), alors les formes amples sont les formes définies positives. […] \(M(p)\), \(M\) un vectoriel […] de dim. finie sur \(\mathbb{Q}\) ; utilisant l'isom. canon.
  4. (viii)Cas de \(\mathbb{Q}(p)\) : on a \(\mathcal{L}^{s}(\mathbb{Q}(p)) = \mathbb{Q}\), et on veut que les formes amples correspondent aux nbs strictement positifs.

à la fin de (vii), un passage de trois lignes est biffé d'un trait ondulé et encadré ; « strictement » est ajouté au-dessus de la ligne en (viii)

88De (vi) et (viii) résulte que pour tout motif \(M\) et entier \(n\), l'isomorphisme \[\mathcal{L}^{s}(M) \simeq \mathcal{L}^{s}(M(n))\] est compatible avec les cônes amples.

De (iv) et (vi) résulte que si \(p = 0\), une forme ample sur \(M\) induit une forme définie positive le renvoi attendu serait plutôt (vii) ; on transcrit ce qui paraît écrit \[\Gamma_{k} M \times \Gamma_{k} M \longrightarrow \Gamma_{k} \mathbb{Q}(0) = \mathbb{Q}\]

En décomposant \(M\) (de poids \(p\)) en composantes isotypiques \(M_{\alpha}\), il vient \[\mathcal{L}^{s}(M) \simeq \bigoplus_{\alpha} \mathcal{L}^{s}(M_{\alpha})\] le signe de somme directe est surchargé donc pour étudier les formes positives, il suffit en principe de les étudier sur les morceaux isotypiques, qui sont de la forme \[I \otimes_{A} M\] où \(I\) est un motif simple, \(A\) son anneau des endomorphismes, qui est un corps, et \(M\) un vectoriel sur \(A\)

18 Dictionnaire Fonctions L – Cohomologie à action galoisienne

« Dictionnaire » doublement souligné ; le numéro 18 est encerclé, en tête du feuillet ; « à action galoisienne » est écrit sous la fin du titre

89Soit \(k\) un corps anneau

\(A\) la catégorie \(\mathcal{C}\) la catégorie des modules de longueur \(\operatorname{Mod}(\mathbb{Z})\) la catégorie finie sur \(k[t]\) = modules \(V\) proj. de vectoriels de dim. finis sur \(k\) munis d'un endomorphisme \(f\) = \(k[\mathbb{N}]\)-modules, projectifs de type finis sur \(k\). « proj. de » et « projectifs » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; la lettre entre crochets, dans \(k[\,\cdot\,]\) ici et dans \(R(\,\cdot\,; k)\) plus bas, est fortement surchargée et se lit \(\mathbb{N}\) : \(k[\mathbb{N}] = k[t]\)

Cette catégorie donne lieu à un \(\lambda\)-anneau, noté \(R(\mathbb{N}; k)\), qui est aussi, si \(k\) est un corps, le […] \(\mathbb{Z}\)-libre engendré par les classes des \(k[\mathbb{N}]\)-modules simples finis sur \(k\), ou encore les \(k[t]\)-modules simples, ou encore les polynômes unitaires irréductibles \(P \in k[t]\), en envoyant : \(P\) en […] […]. À tout tel \(P\), on associe : \(k[t]/P\,k[t]\). « si \(k\) est un corps », « finis sur \(k\) », « unitaires » sont ajoutés en interligne […] \((V, f)\), dont le polynôme car. est précisément \(P\), \[P(t) = \det(t \operatorname{id} - f)\] [vrai pour tt \(P\), irréd. ou non !]. Il nous sera plus commode de remplacer \(P(t)\) par \[Q(t) = t^{d} P(\tfrac{1}{t}) = \det(1 - tf)\] qui est un polynôme quelconque à coeff. cst égal à \(1\).

90Ainsi, on obtient via la fonction car. modifiée un hom \[(V, f) \rightsquigarrow \frac{1}{\det(\operatorname{id}_{V} - f t)} = L(V, f)\] \[R(\mathbb{N}, k) \longrightarrow 1 + k[[t]]^{+}\] [compatible avec […] l'anti-« additif » \(\varphi(t) \mapsto \dfrac{1}{\varphi(t)}\) dans \(1 + k[[t]]^{+}\)] qui est un hom. de \(\lambda\)-anneaux, en fait, […] les fonctions rationnelles de valeur \(1\) en \(0\) la note marginale, encadrée, est reliée par une flèche à \(R(\mathbb{N}, k)\)

Lorsque \(k\) est un corps, l'hom. précédent est injectif. En effet, si […], la connaissance de la fonction rationnelle à numérateur \(1\) dans \(k[t]\) […] facilement […] [\(k[t]\) étant factoriel] l'élément \[\sum_{\substack{P \text{ pl.} \\ \text{unitaire}}} c_{P} (V_{P}, f_{P})\] dont par \[L = \prod_{Q} Q^{c_{P}}\] [\(Q\) et \(P\) associés de la façon précisée plus haut].

Notons qu'on a un homomorphisme naturel […] \[1 + k[[t]]^{+} \longrightarrow k[[t]]\] \[\varphi(t) \rightsquigarrow \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\] qui correspond à : \[\Lambda(V, f)(t) = \frac{L(V, f)'(t)}{L(V, f)(t)} = [\log L(V, f)]' = \frac{1}{t} \sum_{1}^{\infty} (\operatorname{Tr} f^{n})\, t^{n}\] En car. \(0\), on Si \(k\) de car. \(0\), i.e. \(k \supset \mathbb{Q}\), on trouve inversement \(L\) par \(\exp\bigl(\int_{0}^{t} \Lambda(V, f)(t)\bigr)\). D[…] un corps de car. \(0\) \[\Lambda : R(\mathbb{N}, k) \longrightarrow k[[t]]\] est alors injectif si \(k\) corps (\(k\) corps. « un corps de car. \(0\) », dans la marge gauche, est relié par une flèche à la dernière ligne

91Si \(k\) n'est pas de car. \(0\), on ne peut en général aller en sens inverse, et \(R(\mathbb{N}, k) \xrightarrow{\ \Lambda\ } k[[t]]\) n'est en général pas injectif. [\(k\) corps de car. \(> 0\)]

On voit que par la formule de Lefschetz–Weil–Grothendieck que la connaissance de la fonction \(L\) de \((X, F)\) […] à coeff. dans \(F\), sur \(\mathbb{F}_{p}\), équivaut à celle de l'élément \[\chi(F) = \sum (-1)^{i} \operatorname{cl} H^{i}_{!}(\overline{X}, \overline{F}) \quad \text{de } R(\mathbb{N}, \mathbb{Q}_{\ell})\] [on considère cette fonction \(L\) comme l'image de \(\chi(F)\) dans \(1 + \mathbb{Q}_{\ell}[[t]]^{+}\)]. Lorsqu'on admet les conjectures de Weil, et \(F\) vient d'un motif, \(\chi(F)\) se décompose suivant les poids en \[\sum (-1)^{i} \underline{h}^{i}(F) , \qquad \underline{h}^{i}(F) \in R(\mathbb{N}, \mathbb{Q}_{\ell}) ,\] et la connaissance connaissance de \(L(X, F)(t)\) équivaut à celle des \(\underline{h}^{i}(F)\) : les \(\underline{h}^{i}(F)\) correspondent à la décomposition de \(L(X, F)\)

92facteurs en groupant suivant les valeurs absolues des zéros et pôles… Lorsque \(X\) est complet et lisse, et \(F\) localement constant, de poids \(p\), on a \[\underline{h}^{i}(F) = H^{i}(\overline{X}, \overline{F})\] comme \(\mathbb{N}\)-modules, donc on a la connaissance de \(L(X, F)\) équivaut à celle des \(H^{i}(\overline{X}, \overline{F})\) et l'opération de Frobenius dans ceux-ci. « et \(F\) localement constant, de poids \(p\) » est ajouté au-dessus de la ligne

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme [[…] propre] avec \(X\), \(Y\) […] de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\). Considérons les ouverts denses \(U\) de \(Y\), et les \(L(f^{-1}(U), F)\). Pour \(U\) variable, ces [pour \(X\) de dim. \(n\)] fonctions rationnelles tout ce passage est encadré et annulé de hachures obliques ; il porte à gauche le diagramme suivant, où \(K\) = corps des fonctions de \(Y\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  X \arrow[r, no head] \arrow[d] & X_{K} \arrow[d, no head] \\
  Y \arrow[r, no head] & K
\end{tikzcd}

Considérons, d'autre part, les ouverts denses \(U\) de \(X\), tels que \(X - U\) de dim. \(< n\), et les \(L(U, F|U)\), qui ne diffèrent que (pour \(F\) pur de poids \(p\)) que par des fonctions rationnelles de poids \(\leqslant 2n - 2 + p\). Donc, à priori la connaissance de l'invariant birationnel \(L(X, F)\) mod. fonctions rat. de poids \(\leqslant 2n - 2 + p\), le poids […] filtration […] cf. N° 12

93équivaut à celle de \(\operatorname{cl} H^{2n}_{!}(X, F) - \operatorname{cl} H^{2n-1}_{!}(X, F)\) […] la […] chose. On peut supposer \(X\) [affine et] lisse sur \(\mathbb{F}_{p}\) connexe de dim. \(n\), alors \(H^{2n}_{!}(X, F)\) est dual de \[H^{0}(X, \operatorname{Hom}(F, \mathbb{Q}_{\ell}(n))) = H^{0}(X, \check{F})(n) ,\] donc […] des données […]. D'autre part, \(H^{2n-1}_{!}(X, F)\) est dual de \[H^{1}(X, \operatorname{Hom}(F, \mathbb{Q}_{\ell}(n))) ,\] et admet en général des poids \(2n-1\) et des poids \(2n-2\). au-dessus de « de dim. \(n\) », un mot biffé et un autre ajouté, lu « connexe » sous réserve […] filtration […] poids […] niveau […]

Une analyse Si \(F = \mathbb{Q}_{\ell}(0)\), […] […] […] […] des fonctions \(\zeta\) habituelles, la connaissance « birationnelle » grossière de \(\zeta\) est […] équivalente : celle de \(\pi_{0}(\overline{X})\) comme […] fondamentale, et celle de Albanese de \(X\) sur \(\mathbb{F}_{p}\) — la lettre qu'il trace en forme de 3 pour la fonction zêta est transcrite \(\zeta\) modulo conjectures de Tate

Une analyse plus serrée des […] (plus fine que par le seul poids, mais en utilisant aussi le niveau) permet de récupérer plus […] la connaissance de \(\zeta(X, F)\) (disons, en prenant \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\)) modulo les \(\zeta(Y)\) […] (dim. \(Y < n\)) [poids \(\leqslant p\)]

94savoir les « invariants birationnels fondamentaux » relativement à \(\mathbb{F}_{p}\), envisagés dans les notes sur les Motifs.

Il semblerait opportun d'étudier […] le cas des coefficients \(F\) généraux et de voir si, pour un morphisme \(f : X \to Y\), disons lisse propre […], \(F\) lct. constant sur \(X\), la connaissance des de \(H\) le paragraphe est marqué d'un double trait vertical dans la marge gauche \[L(X, F) \ \text{modulo} \ L(f^{-1}(Y'), F) ,\] pour \(Y'\) variant dans \(Y\), permet de récupérer les invariants birationnels fondamentaux de \((X_{K}, F|X_{K})/K\) [\(K\) corps des fonctions de \(Y\)]. Dans quelle mesure faut-il faire les hypothèses \(f\) lisse propre, et \(F\) lct. constant pour obtenir des énoncés de cette nature ??

Poids et niveaux d'espaces de cohomologie \(\ell\)-adiques (base var. quelconque)

ces mots sont de sa main, seuls sur le feuillet 95, qui sert de chemise aux pages suivantes

Filtration et poids des espaces de cohomologie des variétés algébriques

titre dactylographié, suivi de « par A. GROTHENDIECK » ; les feuillets 96 et 97 sont un tapuscrit, corrigé de sa main, où les \(\ell\) sont ajoutés à l'encre

960. Introduction. On a remarqué, depuis longtemps l'invention de la cohomologie \(\ell\)-adique [ ], que pour une variété algébrique \(X\) définie sur un corps \(k\), de clôture algébrique \(\overline{k}\), les opérations naturelles du groupe de Galois \(\pi = \operatorname{Gal}(\overline{k}/k)\) sur la cohomologie \(\ell\)-adique \(H(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{\ell})\) de la variété « géométrique » \(X_{\overline{k}}\) définissait sur cette dernière cohomologie une structure supplémentaire remarquable, donnant lieu notamment aux remarquables conjectures de Tate [ ]. Il semble probable que ces dernières soient nettement plus éloignées de solution leur solution que les conjectures de Weil [ , ], qui, comme on sait, peuvent s'interpréter également en termes d'actions galoisiennes sur des groupes de cohomologie \(\ell\)-adiques. Notre propos dans le présent travail est de montrer comment on peut, des conjectures de Weil et (le cas échéant) de la résolution des singularités, tirer des conséquences de nature « géométrique » en apparence, i.e. relatives à un corps de base algébriquement clos. Le principe de cette méthode, qui consiste donc essentiellement à ramener un énoncé géométrique au cas d'un corps de base fini, est expliqué au N° 1, et des exemples d'application de cette méthode sont donnés dans les numéros 2 à 7. L'idée de ces raisonnements, liés à la considération systématique des « poids » des modules galoisiens provenant de la cohomologie \(\ell\)-adique, remonte à 1964 ; des exemples analogues même principe se trouvent développés dans SGA 7 (I et II) ; dans le séminaire oral était développé également l'exemple du n° 2 du présent travail. les ajouts « l'invention de la cohomologie \(\ell\)-adique [ ] », « cohomologie », « la », « systématique », « analogues », « développé » et « sujette à caution » sont de sa main ; une parenthèse dactylographiée « (qui remonte à 1964) », placée après « relatives à un corps », est biffée à la machine

Bien entendu, la portée des « résultats » de notre travail est nécessairement limitée sujette à caution, puisqu'ils dépendent de conjectures non prouvées à l'heure actuelle, savoir les conjectures de Weil et la résolution des singularités (sous la forme forte de Hironaka) en caractéristique

97quelconque. Par expérience personnelle, nous pensons cependant que la compréhension heuristique quoique pour le moment largement heuristique, obtenue grâce aux arguments de poids et de niveaux, quoiqu'elle soit pour l'instant entièrement heuristique, peut être la source de la découverte de propriétés importantes et inattendues pour la cohomologie des variétés algébriques, et qu'elle mérite pour cette raison de ne pas être dédaignée. De plus, dans le cas des corps de caractéristique nulle, des travaux récents fort remarquables les magnifiques le récent et magnifique travail de P. DELIGNE sur la théorie de Hodge généralisée des variétés algébriques quelconques sur le corps \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, justifie dès maintenant par voie transcendante le « yoga » des poids et niveaux dans le cadre de la cohomologie de De Rham (tout en ouvrant à la théorie cohomologique en caractéristique nulle des variétés algébriques des voies entièrement nouvelles). Il est semble probable d'autre part que pour le cas des Pour terminer cette introduction variétés algébriques sur les corps de caractéristique non nulle, une justification de ce même yoga doive attendre la résolution preuve des conjectures de Weil (ou mieux, des « conjectures standart » de [ ]). les ajouts de ce feuillet sont dactylographiés en interligne, sauf les soulignements et quelques lettres, de sa main

Pour signaler terminer cette introduction, signalons que les filtrations par poids et niveaux des espaces de cohomologie \(\ell\)-adiques, pour \(\ell\) variable, sont certainement reliées entre elles de la façon habituelle, et doivent donner donnant en particulier des espaces vectoriels sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\) dont le rang est indépendant de \(\ell\). En termes de la théorie conjecturale des motifs (suspendue entre autres aux « conjectures standart » déjà mentionnées), ceci devrait s'exprimer par le fait que les structures de poids et de niveau des cohomologies \(\ell\)-adiques se placent déjà se placent au niveau de motifs déjà la cohomologie des motivique, […] Dans la Ce point de vue est en tous cas en accord avec la théorie de Deligne, car puisque sa « filtration par le poids » de la cohomologie de De Rham provient d'une filtration de la cohomologie à coefficients rationnels. (et non seulement

98Introduction 1. en haut à gauche, biffé de hachures

Filtration et poids pour des espaces de cohomologie des variétés algébriques titre souligné, de sa main

  1. 0.Introduction
  2. 1.Notion de poids et notion de niveau pour un module pro-galoisien sur un corps. […]
  3. 2.Étude d'un schéma privé d'un diviseur à croisements normaux.
  4. 3.Poids et niveaux de \(H^{i}_{\uncertain{*}}(X)\) (\(X\) lisse)
  5. 4.Poids et niveaux de \(H^{i}_{!}(X)\) (\(X\) séparé). […]
  6. 5.Poids et niveaux des \(H^{i}(X)\) (\(X\) quelconque)
  7. 6.Cas \(X\) propre : les plus grands quotients de \(H^{i}(X)\) de poids \(i\), et résolution des singularités. Applications.
  8. 7.Cas \(X\) propre et lisse : filtration de \(X\) par le niveau.
  9. 8.Nombres de Betti virtuels de Serre.
  10. 8.Contre-exemples divers.
  11. 9.Cas des coefficients tordus —

les numéros 5, 7 et 8 sont surchargés : un « 8 » est récrit en « 7 » devant « Nombres de Betti virtuels », et le « 8 » en gras de « Contre-exemples divers » recouvre un autre chiffre ; on transcrit la numérotation telle qu'elle se lit, avec son doublon

[*] SGA 4

[ ] P. Deligne / Hodge

[ ] Tate / conjectures

[ ] Kleiman conj. standart

[ ] Weil conj.

[ ] Deligne–Grothendieck SGA 7

99feuillet dactylographié en anglais, dont l'auteur n'est pas nommé sur la page ; les formules et quelques corrections interlinéaires sont ajoutées à la main, d'une main qui n'est pas sûrement la sienne. Il se rattache au renvoi « Kleiman / conj. standart » de la p. 98

2. Formalism of Algebraic Cohomology Classes.

Cohomology Class Associated to a Cycle. Let \(C^{*}(X)\) be the intersection ring of cycles on \(X\) modulo rational equivalence, tensored by \(\mathbb{Q}\) (the Chow ring of \(X\)). Then, for each \(i \leqslant n\), we define a homomorphism \[\rho_{X} : C^{i}(X) \longrightarrow H^{2i}_{\ell}(X)\] as follows. Let \(Z\) be an irreducible subscheme of codimension \(i\). The \(\ell\)-adic Poincaré duality theorem asserts that the cup-product pairing \[H^{j}_{\ell}(X) \times H^{2n-j}_{\ell}(X) \longrightarrow H^{2n}_{\ell}(X) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \kappa_{X}\ } \mathbb{Q}_{\ell} \qquad (j = 0, \ldots, 2n)\] is a perfect duality of finite dimensional vector spaces, and so the element \(\rho_{X}(Z) \in H^{2i}_{\ell}(X)\) is uniquely determined by the condition \[\kappa_{X}(\alpha \cdot \rho_{X}(Z)) = \kappa_{Z}(\operatorname{res}_{Z}(\alpha)) \quad \text{for all } \alpha \in H^{2n-2i}_{\ell}(X) .\] We then extend \(\rho_{X}\) to all of \(C^{i}(X)\) by linearity. Further, this homomorphism takes intersection product into cup-product, and thus it extends to a homomorphism of « algebras » on over \(\mathbb{Q}\) \[\rho_{X} : C^{*}(X) \longrightarrow H^{*}_{\ell}(X) .\] The image of a cycle under this homomorphism is called the cohomology class associated with the cycle, and we denote \(\rho_{X}(C^{*}(X))\) by \(C^{*}_{\ell}(X)\). A cycle is defined to be \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-cohomologically equivalent to \(0\) if it is in the kernel of the homomorphism \(\rho_{X}\).

100\[\left\{ \begin{array}{l} X = \mathbb{P}^{2} - T' \\ Y = T - T' \\ U = \mathbb{P}^{2} - T \end{array} \right.\] à droite, deux croquis : \(T\), deux droites qui se coupent, portant les points \(a\) et \(b\), \(T' = \{a, b\}\) ; et \(\widetilde{T}\), les deux droites séparées, portant l'une \(\{a\}\), l'autre \(\{b\}\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
  H^{1}(\widetilde{Y}) \arrow[dr] & & \\
  H^{3}_{Y}(X) \arrow[r] & H^{3}(X) \arrow[r, no head] & H^{3}(U)
\end{tikzcd}

sous le \(H^{3}\) du milieu, un signe qui pourrait être l'indice \(!\) ; l'exposant de \(H^{1}(\widetilde{Y})\) est surchargé

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
  H^{1}_{!}(Y) & H^{1}_{!}(X) \arrow[l] \arrow[dl] & H^{1}_{!}(U) \arrow[l] \\
  H^{1}_{!}(\widetilde{Y}) & &
\end{tikzcd}

avec \(H^{1}_{!}(U) = 0\) car \(T\) connexe.

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
  H^{0}(\widetilde{T}') \arrow[r] & H^{0}(\widetilde{T}) \arrow[r] & H^{1}_{!}(\widetilde{Y}) \arrow[r] & H^{1}(\widetilde{T}') \\
  H^{0}(\mathbb{P}^{2}) \arrow[r] \arrow[u] & H^{0}(T') \arrow[r] \arrow[u] & H^{1}_{!}(X) \arrow[r] \arrow[u] & H^{1}(\mathbb{P}^{2}) \arrow[u] \\
  H^{0}(\mathbb{P}^{2}) \arrow[r] & H^{0}(T) \arrow[r] \arrow[u] & H^{1}_{!}(U) \arrow[r] \arrow[u] & H^{1}(\mathbb{P}^{2}) \arrow[u, no head, "\Vert" description]
\end{tikzcd}

sous le dernier \(H^{1}(\mathbb{P}^{2})\), un second signe d'égalité vertical, sans rien dessous

\(T\) connexe, \(T'\) disconnexe, et contenu dans \(\operatorname{Sing} T\), […], et toute comp. de \(T'\) contient au plus un point de \(T'\).

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small]
  & H^{0}(T')/\operatorname{Im} H^{0}(\mathbb{P}^{2}) \arrow[dl, "\text{inj ?}"'] & H^{0}(T)/\operatorname{Im} H^{0}(\mathbb{P}^{2}) \arrow[l] \\
  H^{0}(\widetilde{T})/\operatorname{Im} H^{0}(\widetilde{T}') & &
\end{tikzcd}

avec \(H^{0}(T)/\operatorname{Im} H^{0}(\mathbb{P}^{2}) = 0\) ; et, à gauche de \(H^{0}(\widetilde{T})/\operatorname{Im} H^{0}(\widetilde{T}')\), « \(H^{1}_{!}(\widetilde{Y}) \longrightarrow\) », sous lequel \(\neq 0\). la flèche issue de \(H^{1}_{!}(\widetilde{Y})\) et son sens sont incertains ; les égalités à \(0\) sont écrites sous les termes, avec un signe d'égalité vertical