Cote n° 12 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

11) Interprétation topologique des types dimensionnels (Cas « géométriques »)

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 41, où il écrit « types filtr. dimensionnel », deux mots biffés ; le numéro « 11 » continue la suite des paragraphes numérotés du lot précédent.

41Soit \(X\) projective non singulière sur \(k\) alg. clos. Considérons la filtration de \(X\) par la codimension, et la suite spectrale \[ H^{*}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \Longleftarrow E_{1}^{pq} = \coprod_{x \in X[p]} H^{q-p}(x, \mathbb{Q}_{\ell})(-p) \] attention terme initial \(E_1\) et non \(E_2\) !! où on pose \[ \begin{cases} X[p] = \{x \in X \mid \dim \mathcal{O}_{X,x} = p\} \\ H^{*}(x, \mathbb{Z}_{\ell}(-p)) = \varinjlim_{U} H^{*}(U, \mathbb{Q}_{\ell}(-p)) \end{cases} \] sous la limite inductive : « \(U\) ouvert \(\neq \emptyset\) de \(\bar{x}\) » ; à gauche, un petit schéma des axes \((p, q)\) : la demi-droite issue de l'origine au-dessus de l'axe des \(p\), et un « 0 » dans le secteur situé en dessous ; les termes \(E_1^{pq}\) sont donc nuls hors du secteur \(0 \leq p \leq q\). Le \(\mathbb{Z}_{\ell}\) de la seconde ligne est bien écrit tel, contre \(\mathbb{Q}_{\ell}\) partout ailleurs.

On veut que […] cette suite spectrale provienne d'une suite spectrale de motifs (au moins à partir de \(E_{r}^{pq}\) avec \(r \geq 2\) ; sinon il faudrait parler de ind-motifs, ou bien prendre une filtration finie convenable de \(X\) par des sous-schémas fermés). Le morceau ⌜en dim \(n\)⌝ si \(X\) est projectif lisse (hypothèse essentielle, même si \(X\) de dim. 1 !) de filtration \(\geq p\) est visiblement de type dimensionnel \(\leq n-2p\). On veut que ce soit exactement le morceau de type dimensionnel \(n-p\). l'insertion entre crochets verticaux, en bas à gauche, « en dim \(n\) », se rattache à « Le morceau ».

42tout le haut du feuillet, jusqu'au titre 12), est barré de longs traits obliques ; il est transcrit, les traits de biffure une fois signalés ici. si le […] motif de coefficient \(\mathbb{Z}(0)\) est remplacé par un un motif] constant tordu, en ⌜motif⌝ purement de type dimensionnel […] \(\delta\) [attention au décalage par \(\delta\) !]. Cet énoncé est […] précise les interprétations géométriques et la conjecture de Tate du […] …, et est sans doute moins profond. le crochet fermant après « un motif » n'a pas d'ouvrant visible sur ce feuillet.

\(X\) de dim. \(n\), \(U\) ouvert, \(X - U\) de dim. \(< n\). Alors si \(i\), \(H^{i}(X) \to H^{i}(U)\) est un isom. mod \(D_{i-1}(M^{+}(K))\), donc \(H^{i}(X)\) et \(H^{i}(U)\) ont même composant dans \(D_{i}(M^{+}(K))/D_{i-1}(M^{+}(K))\). De plus (via résolution) ce dernier est dans l'image de \(M^{+}_{i}(K)\), d'où un invariant birationnel \(\in \mathbb{Z}^{\ill{}}\)… ajout encadré, à droite du titre qui suit, lui-même traversé par l'un des traits obliques ; l'exposant final de \(\mathbb{Z}\) n'est pas lu.

12) L'homomorphisme fondamental \(L(K) \to M^{+}(K)\) et invariants birationnels fondamentaux

titre de sa main, souligné, au milieu du feuillet 42 ; un « B. » souligné, biffé, précède « L'homomorphisme ».

\(K\) est un corps. On désigne par \(L(K)\) le gpe \(K\) engendré par les préschémas de type fini sur \(K\), avec comme relations celles définies par découpage en morceaux. C'est un anneau pour \(\otimes\). On définit un homomorphisme d'anneaux \[ \sigma : L(K) \longrightarrow M^{+}(K) \]

43par \[ \mathrm{cl}(X) \longmapsto \sum (-1)^{i}\, \mathrm{cl}\, H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}(0)) \] où bien entendu \(H^{i}_{!}(X, \mathbb{Z}(0))\) est considéré ⌜défini⌝ comme motif sur \(K\) par \(R^{i}f_{!}(\mathbb{Q}(0))\) ; \(f : X \to \operatorname{Spec} K\) la projection. Prenant les composantes homogènes de \(\sigma\,\mathrm{cl}(X)\), on a des \(\sigma_{i}(\mathrm{cl}(X))\) qui sont des « motifs virtuels », et permettent de définir des « nombres de Betti virtuels », ceux demandés par Serre. « défini » est interlinéaire, au-dessus du mot biffé.

ce qui suit, jusqu'au bas du feuillet, est barré de plusieurs traits obliques. Si on filtre \(L(K)\) par la dimension, en \(L_{i}(K)\), on trouve \[ L_{i}(K) \longrightarrow D_{i}(M^{+}_{\uncertain{\varepsilon}}(K)) \] On peut se demander si c'est surjectif, et bijectif […] éventuellement bijectif […] torsion. Déjà Pour \(i = 1\) […] [déjà de transc. infinie ou corps parfait] (\(K\) alg. clos) rien n'est connu.

On peut […] relations […] considérer des \(X/K\) munis d'un groupe fini donné \(G\) d'autom. — mais il faut

Pb pour bien […] […] négative […] […] […] de plus bas […] formulations correctes… En fait \[ L_{i}(K) \to M^{+}_{(i)}(K) + \xi M^{+}_{(i-1)}(K) + \xi^{2} M^{+}_{(i-2)}(K) + \cdots \] note oblique en marge gauche, en bas ; la lettre lue \(\xi\) (un « ʒ ») reparaît au feuillet suivant, où elle semble noter le motif de Lefschetz, qui élève la dimension d'une unité.

44Filtrant \(L(K)\) par la dimension, on trouve \[ L_{(i)}(K) \longrightarrow \underbrace{M^{+}_{(i)}(K) + \xi M^{+}_{(i-1)}(K) + \xi^{2} M^{+}_{(i-2)}(K) + \cdots}_{=\ D'_{i}(M^{+}(K))} \] sous \(\xi M^{+}_{(i-1)}(K)\) et \(\xi^{2}M^{+}_{(i-2)}(K)\) il écrit « \(\cap\) \(M^{+}_{i+1}(K)\) » et « \(\cap\) \(M^{+}_{i+2}(K)\) » ; à gauche, biffé : « donc si \(x \in\) ».

d'où un homom. naturel \[ \operatorname{gr}_{n}(L(K)) \longrightarrow \operatorname{gr}'_{n}(M^{+}(K)) \simeq \mathbb{Z}^{(\sigma_{n} \cup \xi\sigma_{n-1} \cup \xi^{2}\sigma_{n-2} \cup \cdots)} \] filtration par les \(D'_{i}(M^{+}(K))\) un exposant biffé devant la parenthèse de \(\mathbb{Z}\).

Donc, si \(X\) est un préschéma de type fini de sur \(K\), de dim. \(\leq n\), alors prenant \(\mathrm{cl}(X) \in L_{n}(K)\) et réduisant modulo \(L_{n-1}(K)\), on trouve une image dans \(\mathbb{Z}^{(\sigma_{n} \cup \xi\sigma_{n-1} \cup \cdots)}\) donc un invariant de la forme \[ \gamma_{n}(X) + \xi\gamma_{n-1}(X) + \xi^{2}\gamma_{n-2}(X) + \cdots \] \(\beta_{n}(X)\ \xi\beta_{n-1}(X)\ \xi^{2}\beta_{n-2}\) … poids \(n\) \(n+1\) \(n+2\) [poids \(n\), \(n+1\), \(n+2\), …]

45où chaque \[ \gamma_{j}(X) \in \mathbb{Z}^{\sigma_{j}(X)} \qquad 0 \leq j \leq n \] Ils sont obtenus en prenant les \(\beta_{k}(X)\) de Serre [composants de poids purs de \(\mathrm{cl}(X)\)] pour \(k \geq n\), et la composante en notant qu'un tel \(\beta_{k}(X)\) se met sous la forme \(\xi^{k-n}\beta'_{2n-k}(X)\), où \(\beta'_{2n-k}(X) \in M^{+}_{2n-k}(K)\) ; alors \(\gamma_{2n-k}(X)\) s'obtient en prenant la composante bipure de \(\beta'_{2n-k}(X)\) … au signe près ! note cerclée en marge gauche.

Par construction même, les invariants ainsi obtenus sont des invariants \(n\)-birationnels de \(X\). Si \(X\) est projectif lisse sur \(K\), […], les \(\beta'_{j}(X)\) pour \(0 \leq j \leq n\) n'est autre (par Lefschetz…) que la classe dans \(H^{j}(X, \mathbb{Q}(0))\). Donc notre construction consiste à prendre la composante \(j\)-bipure dans \(H^{j}(X, \mathbb{Q}(0))\). Mais cela n'est autre aussi.

46d'après le n° précédent que la composante ⌜l'image des \(j\)-bipures de⌝ \[ \varinjlim_{U \text{ ouvert dense}} H^{j}(U, \mathbb{Q}(0)) \] de \(H^{j}(X, \mathbb{Z}(0))\). l'insertion au-dessus de la ligne, qui remplace « composante » biffé, n'est pas sûre ; sous la limite, un premier « d… » biffé avant « dense ».

En fait, on constate (via dualité) que si \(X\) est lisse (sans doute inutile) de dim. \(\leq n\), et si \(i \leq n\), alors pour tout ouvert dense \(U\) de \(X\), \[ H^{i}(X) \longrightarrow H^{i}(U) \] est bijectif injectif mod \(D_{i-2}(\mathcal{M}^{+}(X))\) et bijectif mod \(D_{i-1}(\mathcal{M}^{+}(X))\), ce qui donne un invariant birationnel dans \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) / D_{i-1}(\mathcal{M}^{+}(X))\), lequel est d'ailleurs dans l'image de \(\mathcal{M}^{+}_{(i)}(X)\), donc définit un objet de \[ \mathcal{M}^{+}_{(i)}(X) \big/ \bigl[\mathcal{M}^{+}_{(i-1)}(X), \xi\,\mathcal{M}^{+}_{(i-2)}(X)\bigr], \] donc un élément de \(\mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X)}\). C'est l'invariant birationnel \(\gamma_{i}(X)\). il écrit ici \(\mathcal{M}^{+}(X)\) et \(\sigma_{i}(X)\), là où les feuillets voisins ont \(\mathcal{M}^{+}(K)\) ; transcrit tel quel. Un « + » biffé devant \(\xi\) dans le crochet.

47Sous la forme précédente, on voit que l'on a mieux que des invariants dans \(\mathcal{M}^{+}_{i}(K)\). En fait, on a des \[ \underline{\gamma}^{i}(X) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}_{i\,\mathrm{bipur}}(K), \] objet semi-simple, définis de la façon suivante (\(K\) parfait, ce qu'on peut supposer) \(\underline{\gamma}^{i}(X) \subset \varinjlim_{U \text{ ouvert dense}} H^{i}(U, \mathbb{Z}(0))\) est le plus grand sous-motif bipur de type \(i\) [c'est un foncteur en \(X\) la fonction […] par \(\underline{\gamma}^{i}(X)\) [ou en l'anneau des fonctions rat. sur \(X\), comme alg. sur \(K\)]], de façon évidente [TMB si \(X' \to X\) n'est pas dominant, \(X\) irréd., alors \(\underline{\gamma}^{i}(X) \to \underline{\gamma}^{i}(X')\) est nul]. Pour un hom. dominant, \(\underline{\gamma}^{i}(X) \to \underline{\gamma}^{i}(X')\) est injectif. En effet, on peut supposer (prenant des modèles convenables) \(X' \to X\) est propre (donc surjectif), \(X\) et \(X'\) lisses, puis \(H^{i}(X) \to H^{i}(X')\) est injectif comme il est bien connu … le signe entre \(\underline{\gamma}^{i}(X)\) et la limite porte un mot biffé, lu « lim » ; « TMB » est lu tel quel. En marge gauche, un petit schéma vertical \(X' \to X\).

Question Conditions Propriétés de « fidélité » des du foncteur précédent ?? On aimerait que tout […] système d'homs \(\underline{\gamma}_{i}(R) \to \underline{\gamma}_{i}(R')\)

48provienne d'un \(K\)-homom. \(R \hookrightarrow R'[\delta_{1}, \ldots, \delta_{N}]\) (\(R\), \(R'\) ext. de type fini de \(K\)), que l'isomorphie des systèmes des \((\underline{\gamma}_{i}(R))\) et des (du) système(s) des \((\underline{\gamma}_{i}(R'))\) implique que \(R\) et \(R'\) sont « équivalents » en ce sens que chacun s'envoie dans une extension transcendante pure de l'autre …

Exemples. 1) Soient \(C\), \(C'\) deux courbes ⌜lisses complètes connexes⌝ sur \(K\) alg. clos (supposons que les jacobiennes soient telles qu'il existe un homom. \(J \to J'\) à noyau fini. Prouver qu'il existe \(C'\) une application rationnelle dominante \[ C'[t_{1}, \ldots, t_{N}] \longrightarrow C \quad ?? \] \(K\) alg. clos au besoin ! « lisses complètes connexes » est écrit au-dessus de la ligne, en bout, relié par un trait.

2) Si les \(\underline{\gamma}_{i}(R)\) sont nuls pour \(i > 0\), prouver que \(R\) est unirationnelle ?? [En particulier, si la cohomologie de \(X\) var. proj. non sing. est entièrement algébrique ??] Cas d'une surface ?? [coh. alg !] la précision « de \(X\) var. proj. non sing. » est cerclée au-dessus de la ligne et rattachée à « cohomologie ».

49Remarque. Si nous négligeons les variétés réglées ⌜en dimension \(n\)⌝ [i.e. les extensions \(L\) de \(K\) ⌜de degré de transc. \(n\)⌝ de la forme \(L_{0}[t]\), \(t\) une indéterminée), le seul invariant ⌜cohomologique⌝ qui reste est \(\underline{\gamma}_{n}\). Trouvons-nous un isom. entre \(\operatorname{gr}_{n} L(K)\) mod. le sous-groupe réglé [i.e. \(\operatorname{Im} \xi \operatorname{gr}_{n-1} L(K)\)] avec \(\mathbb{Z}^{\sigma_{n}(K)}\) ? En particulier, si \(\underline{\gamma}_{n}(X) = 0\) […], est-il vrai que \(X\) est réglé ?? les trois précisions entre soufflets sont interlinéaires.

Exemples. Pour une surface : si la cohomologie \(H^{2}\) est algébrique, la surface est-elle réglée ?? Non en car. \(p > 0\), prendre \(E \times E\) avec \(E\) d'invariant de Hasse nul. la réponse est écrite à droite de la question, séparée d'elle par un trait vertical ; un double trait vertical en marge gauche.

50\(X\) lisse \(X\) […] de dim. \(n\) partout. \[ \begin{cases} H^{i}_{!}(X, \mathbb{Z}(0)) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}_{i}(K) \ \text{et} \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}_{n}(K) \quad \forall i \quad \text{mieux :} \\ H^{n+k}_{!}(X, \mathbb{Z}(0)) \in \operatorname{Ob} \bigl[\xi^{k} \mathcal{M}^{+}_{n-k}(K)\bigr] \end{cases} \] « \(X\) lisse » est cerclé ; « et \(\in \operatorname{Ob}\mathcal{M}^{+}_{n}(K)\) » est un ajout encadré au-dessus de la ligne ; à la fin de la seconde ligne, biffé, un terme « \(+\,\xi^{k+1}\mathcal{M}^{+}_{n-k-2}\) ». \[ H^{i}(X, \mathbb{Z}(0)) \in \operatorname{Ob} \underline{D}_{i}(\mathcal{M}^{+}(K)), \ \text{et} \in \operatorname{Ob} D_{n}(\mathcal{M}^{+}(K)) \quad \forall i \] et mieux \[ \begin{aligned} H^{i}(X, \mathbb{Z}(0)) &\in \operatorname{Ob} \bigl[\mathcal{M}^{+}_{i} + \xi \mathcal{M}^{+}_{i-1} + \xi^{2} \mathcal{M}^{+}_{i-2} + \cdots\bigr] && \text{si } i \leq n \\ &\in \operatorname{Ob} \xi^{i-n} \bigl[\mathcal{M}^{+}_{2n-i} + \xi \mathcal{M}^{+}_{2n-i-1} + \xi^{2} \mathcal{M}^{+}_{2n-i-2} + \cdots\bigr] && \text{si } i \geq n \end{aligned} \] une première tentative de ces deux lignes est biffée : « \(H^{i}(X, \mathbb{Z}(0)) \in\) » et, au-dessus de la seconde, « \(\mathcal{M}^{+}_{n} + \xi\mathcal{M}^{+}_{n} + \xi^{2}\mathcal{M}^{+}_{n-2}\) ». \[ \begin{aligned} \mathrm{cl}\, H^{i}(X, \mathbb{Z}(0)) &\in \sum_{i \leq \alpha \leq \operatorname{Inf}(2i, 2n)} \operatorname{Gr}_{i}(\mathcal{M}^{+}(K)) && \text{plus gén. :} \\ \mathrm{cl}\, H^{i}(X, M) &\in \sum_{\rho + i \leq \alpha \leq \rho + \operatorname{Inf}(2i, 2n)} \operatorname{Gr}_{i} && \text{si }M\text{ pure de poids }\rho\text{} \end{aligned} \] l'indice de \(\operatorname{Gr}\) est écrit \(i\), non \(\alpha\), dans les deux lignes ; la borne inférieure \(i\) des sommes pourrait aussi se lire \(1\).

51le feuillet entier est barré d'un long trait oblique. Il commence au milieu d'une phrase dont le début n'est pas sur le feuillet 50. (i.e. l'Albanese à isogénie près) d'une surface \(X\) (sur \(K\) alg. clos) sont connus quand on connaît \(X\) dans \(L(K)\) seulement … \(L_{i}(K)/L_{i-1}(K) \longrightarrow \mathcal{M}^{+}_{i}(K)/\mathcal{M}^{+}_{i-1}(K)\) Notons que l'hom. \[ L_{i}(K)/L_{i-1}(K) \longrightarrow D_{i}\mathcal{M}^{+}(K) / D_{i-1}\mathcal{M}^{+}(K) \] prend ses valeurs dans l'image de \(\mathcal{M}^{+}_{i}(K)\) modulo \(D_{i-1}\mathcal{M}^{+}(K)\), donc i.e. dans le […] […] […] … On peut se demander si \[ \boxed{L_{i}(K)/L_{i-1}(K) \longrightarrow \mathbb{Z}^{\sigma_{i}(K)}} \] est injectif, ou surjectif, du moins mod torsion … devant la flèche encadrée, un symbole biffé ; devant l'encadré, « si » au-dessus d'un signe biffé.

13) Caractérisation galoisienne des filtrations

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 52 ; le « 13 » est cerclé et suivi d'un « 12 » biffé ; un second « 13 », cerclé, en marge gauche du premier alinéa.

52On peut définir le sous-groupe (en fait, […] anneau) \(\mathcal{M}^{+}_{\ell}(X)\) de \(K\) (\(K\) des […] \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux constants tordus sur \(X\)) provenant de motifs, on a donc un homom. surjectif \[ \mathcal{M}^{+}(X) \longrightarrow \mathcal{M}^{+}_{\ell}(X) \] Si \(X\) est de type fini sur \(\mathbb{Z}\), cet homom. est en fait bijectif, car il résulte des conjectures de Tate, plus précisément, que si \(E\) et \(F\) sont des motifs constants tordus, simples ⌜non isom.⌝ sur \(X\), alors \(T_{\ell}(E)\) et \(T_{\ell}(F)\) […] n'ont pas de facteurs simples isomorphes en commun. le premier \(K\) de la ligne est surchargé ; \(K\) désigne ici, semble-t-il, le groupe de Grothendieck des \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux constants tordus, non le corps de base des numéros précédents.

Par suite, […] si la filt. graduation de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) (via une partition de \(\Sigma^{+}(X)\)) et la filtration de \(\mathcal{M}_{\ell}(X)\) (via une filtration de \(\Sigma_{\ell}(X)\)) peuvent se décrire en termes galoisiens. On trouve ⌜pour \(E \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}(X)\)⌝ : \[ \mathrm{cl}(E) \in \mathbf{M}_{i}(X) \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \text{pour tout pt fermé }x\text{ de }X\text{,} \\ \text{les valeurs propres de Frobenius} \\ \text{dans }T_{\ell}(E)(x)\text{ sont de val.\ abs.\ }N(x)^{i/2}\text{} \end{array} \] « Conjectures de Weil » de Riemann la note marginale est reliée par une accolade à l'équivalence ; « pour \(E \in \operatorname{Ob}\mathcal{M}(X)\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; avant l'équivalence, biffé : « \(\mathrm{cl}(E)\) […] […] \(\in\) ». Le \(\mathbf{M}_{i}\) est tracé plus appuyé que les autres \(\mathcal{M}\).

53D'autre part, si \(E \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{\ast}(X)\), […] ⌜simple⌝, on trouve \[ \mathrm{cl}(E) \in \mathcal{M}^{+}(X) \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \forall x \text{ pt fermé de } X, \text{ le polynôme caractéristique} \\ \text{de }\mathrm{Frob}_{x}^{-1}\text{ dans }T_{\ell}(E)(x)\text{ est à coefficients \textit{entiers}} \\ \text{[i.e.\ les valeurs propres de Frobenius sont des \textit{entiers} algébriques]} \end{array} \] l'exposant de \(\mathcal{M}\) est surchargé (lu \(\ast\)) ; « simple » remplace un mot biffé ; « de Frobenius » est biffé après « caractéristique », et \(\mathrm{Frob}_{x}^{-1}\) écrit dessous. « Conjectures de Tate » ! note oblique en marge gauche, avec deux flèches : l'une vers l'accolade de l'équivalence précédente, l'autre vers le cas 1) qui suit.

Par ailleurs, prenons […] décrit, pour […] \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\) \(E\) « homogène » de degré \(\alpha\), pour examiner si \(E \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X))\), où \(i \geq 0\) […], […] un entier. \[ \boxed{E \in \operatorname{Ob} D_{i}\mathcal{M}(X) \text{ i.e.\ } \mathrm{cl}(E) \in D_{i}\mathcal{M}(X) \Longleftrightarrow S_{i}} \] dans l'encadré, une première écriture est biffée : « \(\mathrm{cl}(E) \in \sum_{i}\) … \(\in D_{\alpha}\mathcal{M}(X)\) » ; une grande flèche descend en marge droite.

[1) \(i = 0\). Alors \[ E \in \operatorname{Ob} D_{0}(\mathcal{M}(X)) \Longleftrightarrow \begin{array}{l} E\text{ est de degré \textit{pair} }\alpha = 2\beta \\ \text{et }E\zeta^{-\beta} = F\text{ (qui est de degré }0\text{) est }\in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\text{} \end{array} \] i.e. si \(\rho_{i}(x)\) sont les valeurs propres de \(\mathrm{Frob}_{x}^{-1}\) dans \(T_{\ell}(\mathcal{M}(x))\), alors les \(\rho_{i}(x)/N(x)^{\beta}\) sont des entiers algébriques]

N.B. Ce sont bien des racines de l'unité [leur produit étant \(\pm 1\) !]

2°) \(i \geq 1\). Alors il existe une plus grande puissance \(\zeta^{\beta}\) de \(\zeta\) telle que \(E\zeta^{-\beta}\) […] [\(= E(+\beta)\)] soit de degré \(i-1\) ou \(i\) (suivant la parité de \(\alpha\))]. On veut que \(E(\beta)\) soit \(\in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\), i.e. que les \(\rho_{i}(x)/N(x)^{\beta}\) doivent être des entiers alg.

54Le cas 1°) dit signifie aussi que \(T_{\ell}(E)(\beta)\) est tel que \(\pi_{1}(X)\) y opère à travers un quotient fini. [Mais cet énoncé ne se généralise guère via filtration de \(\pi_{1}\), comme on voit sur \(X = \operatorname{Spec}\) corps fini].

Supposons \(E\) ⌜\(\in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}\)⌝ semi-simple, donc \(T_{\ell}(E)\) semi-simple. Soit \(E_{i}\) la composante de \(E\) de type dimensionnel \(i\), comment caractériser \(T_{\ell}(E_{i}) \subset T_{\ell}(E)\) du pt de vue Galoisien ? c'est purement combinatoire en termes de Frobenius. la précision encadrée est écrite sous la question, à gauche.

tout ce qui suit, jusqu'au bas du feuillet, est encadré et barré de plusieurs traits obliques ; la surcharge ne laisse lire que des fragments. Lorsque \(X = \operatorname{Spec}\) corps fini, […] [la décomposition de \(T_{\ell}(E)\) en composantes homogènes […] […] […] entièrement]. On […] […] […] […] \(\mathbb{Z}(1)\) et [[…] diminuant par le type dimensionnel] […] le maximum de […] de type dimensionnel \(i\) […] type \(0\) ou […] […] […] Le cas général s'en déduit par image inverse, si on connaît tous les Frobenius \(\in \pi_{1}\)

14) Invariants de Galois et thms de commutation

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 55.

55\(X\) propre lisse sur \(K\) de type fini. \(H^{2i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))\) est de poids \(0\), donc peut avoir des invariants non nuls sous Galois.

La conjecture de Tate s'énonce en disant que \[ H^{2i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{\pi} \xleftarrow{\ \approx\ } \mathcal{A}^{i}(X/K) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \] le \(\mathbb{Q}_{\ell}\) du membre de gauche est écrit sur un \(\mathbb{Z}\) biffé ; \(\mathcal{A}^{i}\) note sans doute les cycles algébriques de codimension \(i\) modulo équivalence.

On peut la préciser ainsi :

L'anneau des correspondances alg. \(/K\) ⌜opérant en dim. \(i\)⌝, […] \(\mathcal{U}^{i}(X/K)\), est un anneau semi-simple, et [via Hodge] et on veut que \(\mathcal{U}^{i}(X/K) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell}\) soit le commutant de \(\Pi = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\) dans \(\operatorname{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(0)))\), et l'algèbre enveloppe de \(\Pi\) en \(\operatorname{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(H^{i})\) doit être le commutant de \(\mathcal{U}^{i}(X/K)\) [donc l'action de \(\Pi\) est semi-simple].

Le deuxième énoncé \(+\) injectivité de \(\mathcal{U}^{i}(X/K) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow \operatorname{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(0)))\) entraîne tout.

56N.B. a) Ceci ne caractérise pas les classes algébriques elles-mêmes, mais seulement les \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-espaces engendrés.

b) De même, on ne peut pas caractériser ainsi l'image de \(\Pi\), mais seulement l'algèbre enveloppante …

Passant à la limite sur les extensions finies de \(K\), on trouve \[ \begin{cases} H^{2i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{\mathfrak{g}_{\ell}(\overline{K}/K)} \xleftarrow{\ \sim\ } \mathcal{A}^{i}(\overline{X}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \\ \mathcal{U}^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \text{ et l'algèbre enveloppante de } \mathfrak{g}_{\ell}(\overline{K}/K) \text{ dans } \operatorname{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(0))) \\ \qquad \text{sont commutant l'une de l'autre.} \end{cases} \] \(\mathfrak{g}_{\ell}\) transcrit une lettre gothique minuscule, un « g » à boucle, qui ne note plus \(\operatorname{Gal}\) écrit en toutes lettres au feuillet précédent, mais sans doute l'adhérence \(\ell\)-adique de l'image de Galois ; la même lettre revient au feuillet suivant.

Question : Comment caractériser l'image de \(\mathfrak{g}_{\ell}(\overline{K}/K)\) dans \(\operatorname{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(0)))\) ?? Cela doit être une sous-algèbre de Lie réductive, on peut la considérer comme Plongée dans \(H^{2n-i}(\overline{X}) \otimes H^{i}(\overline{X})(n)\).

57le feuillet entier est barré de quatre longs traits obliques. Il ne suit pas le feuillet 56 : il reprend, semble-t-il, l'argument du feuillet 41 sur la suite spectrale de la filtration par la codimension. dimensionnel \(\leq n-2p\), donc que les \(\operatorname{gr}^{p}(H^{n}(X, \mathbb{Z}(0)))\) sont […] de type dimensionnel pur \(n-2p\). Or le […] […], on sait qu'il est de poids \(n\), d'autre part le terme \[ E_{1}^{pq} = \coprod_{x \in X(p)} H^{n-2p}(x, \mathbb{Q})_{\ell}(-p) \] (où \(q = n-p\)) donne des […] \(\mathcal{M}^{+}(X)\) […] dans \[ \zeta^{p}\bigl[\mathcal{M}^{+}_{n-2p} + \zeta \mathcal{M}^{+}_{n-2p+1} + \cdots\bigr] \] le mot biffé après « sont » est peut-être « bipurs » ; l'indice du second terme, \(n-2p+1\), est tel sur la page.

ce qui suit est écrit en travers du feuillet, parallèlement au bord gauche ; il est transcrit la page tournée. \[ \begin{gathered} H^{i}_{Y}(X) \to H^{i}(X) \to H^{i}(U) \to H^{i+1}_{Y}(X) \\ H^{i}_{!}(Y) \leftarrow H^{i}_{!}(X) \leftarrow H^{i}_{!}(U) \leftarrow H^{i-1}_{!}(Y) \end{gathered} \] \[ H^{i}_{!}(Y) \in \zeta^{i-m} \mathcal{M}^{+}_{2m-i} \quad (i \geq 2m) \qquad \zeta^{i-m} \mathcal{M}^{+}_{2n-i-2} = \zeta^{i-m} \mathcal{M}^{+}_{j-2} \] \[ H^{i-1}_{!}(Y) \in \zeta^{i-m-1} \mathcal{M}^{+}_{2m-(i-1)-2} = \zeta^{i-m-1} \mathcal{M}^{+}_{j-1} \] en marge de ces lignes : « \(j \leq n\) », « \(i \geq n\) » ; « \(2n - i = j\) », puis « \(\zeta^{p}[\mathcal{M}^{+}_{n-2p} + \zeta\mathcal{M}^{+}_{n-2p+1} + \cdots]\) » repris verticalement. Les indices \(m\) et \(n\) sont mal distingués dans cette partie : lecture sous réserve.

58Si \(M\) est un motif sur \(K\), semi-simple pour simplifier, alors on a \[ \mathfrak{g}_{\ell}(\overline{K}/K) \longrightarrow \operatorname{End}(M_{\ell}) \simeq \check{M}_{\ell} \otimes M_{\ell} \] On On pense que l'image provient d'un motif \(\mathfrak{g}_{M} \subset \check{M} \otimes M\) ⌜indépendant de \(\ell\)⌝ [qui est un motif en algèbres de Lie]. Pour \(M\) de plus en plus grand, on trouve … un pro-motif ⌜(en algèbres de Lie)⌝ canonique, appelé pro-motif fondamental, qui peut aussi se construire de façon canonique en termes de la catégorie des motifs, munie de ses structures tensorielles …

Quelle est la partie « algébrique » de ce pro-motif ? [Sur un corps fini, c'est tout — le pro-motif n'étant lui-même autre que \(\mathbb{Z}(0)\) ! ; […] ⌜en⌝ tout ⌜autre⌝ […] cas, je pense qu'il est nul …] « \(\mathfrak{g}_{M}\) » est écrit au-dessus de « \(\mathfrak{g}(M)\) » biffé ; l'exposant de \(\mathfrak{g}\), dans la première formule, est un « \(\ell\) » placé au-dessus. Les deux dernières lignes du feuillet sont barrées et surchargées : « l'[…] contenu … pro-motif fondamental, et […] […] […] […] […] de \(\mathbb{Z}(0)\) [[…] […]] ».

15) Cohomologie absolue

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 59.

59En plus des foncteurs cohomologiques de motifs \(R^{*}f_{*}\) [\(f\) morphisme de type fini] il y a lieu de considérer également les foncteurs « absolus » \[ H^{*}(X, M) = \bigl(H^{i}(X, M)\bigr)_{i} \,; \] \(M\) motif variable sur \(X\), qui doivent provenir d'un foncteur de catégories triangulées \[ \mathbb{R}\Gamma_{X} : D^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)) \longrightarrow D^{b}(\mathrm{Ab}) \] l'exposant du premier \(H\) est surchargé, lu ici \(\ast\) ; dans \(D^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))\), le \(\mathcal{M}\) est repassé et l'exposant n'est pas sûr.

On veut que les \(H^{*}(X, M)\) et \(\mathbb{R}\Gamma(M_{\bullet})\) aient les propriétés suivantes

1°) Commutation aux lim essentiellement affines de préschémas q.c. q.s. Cela nous ramène pratiquement au cas \(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\).

2°) Transitivité : si \(f : X \to Y\) de la phrase s'interrompt au bas du feuillet ; la suite n'est pas dans ce lot.