Cote n° 12, pages 21–40

Cote n° 12 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration

Motifs

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 22. La rédaction qui suit n'est pas paginée par lui ; ses paragraphes numérotés 1) à 10) reprennent un à un les dix premiers points de la table « Motifs » du feuillet 20 (lot 1)

221) À tout préschéma noeth. (éventuellement de type fini sur un anneau noethérien) \(X\) est associée une catégorie abélienne \(\mathcal{M}^{+}(X)\), dite catégorie des motifs effectifs sur \(X\). C'est une \(\mathbb{Q}\)-catégorie de \(\mathbb{Q}\)-modules abélienne, i.e. pour tt \(M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\), et \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq 0\), \(n\, \mathrm{id}_{M}\) est un isom de \(M\). De plus, \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est muni d'un produit tensoriel commutatif et unitaire (exact à droite), l'unité est notée \(\mathbf{1}_{X}\) ou \(\mathbb{Q}_{X}(0)\). On peut en tirer […] les constructions des foncteurs \(\wedge^{i} M\), etc.…

On considère aussi la catégorie dérivée bornée \(\mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))\) de \(\mathcal{M}^{+}(X)\). Le produit tensoriel est étendu en un bifoncteur \(M \overset{L}{\otimes} N\) pour \(M, N \in \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))\).

2) Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de préschémas […] noeth., il lui est associé un foncteur exact \[ f^{*} : \mathcal{M}^{+}(Y) \to \mathcal{M}^{+}(X), \] d'où \[ Lf^{*} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)), \] compatible avec \(\otimes\). (Cond. de transitivité.)

Si \(f\) est de type fini, et propre ou \(Y\) excellent, on a défini de même un foncteur \[ Rf_{*} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \]

23Considérer aussi le formulaire de dualité entre \(Rf_{*}\), \(f^{*}\), et les foncteurs \(f^{!}\), \(Rf_{!}\) et leurs relations, de dualité et enfin les formules d'Alexander reliant tous ces foncteurs — satisfaisant une formule de transitivité, une formule de projection \[ Rf_{*}(M \otimes Lf^{*}(N)) \simeq Rf_{*}(M) \otimes N . \]

3) Supposons \(X = \varprojlim X_{i}\), système projectif filtrant à morph. affines. Alors pour les foncteurs images inverses, on a \[ \mathcal{M}^{+}(X) \simeq \varinjlim \mathcal{M}^{+}(X_{i}) . \] En particulier, si \(X\) est de type fini sur \(S = \operatorname{Spec}(A)\), alors \(X\) est limite de préschémas \(X_{i}\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), et la détermination de \(\mathcal{M}^{+}(X)\), avec ses structures déjà envisagées est dit ramenée au cas des préschémas de type fini.

De même, si \((S_{i})\) est un système projectif filtrant à morph. affines, \(S = \varprojlim S_{i}\), et si \(X\), \(Y\) […] de t.f. sur \(S\), […] définis par \(X_{i}\), \((Y_{i})\) de la façon habituelle, si

24\(M_{i_{0}} \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}^{+}(X_{i_{0}}))\), d'où \(M_{i}\), \(M\), on a pour \(f_{i} : X_{i} \to Y_{i}\) la relation \[ Rf_{*}(M) = \varinjlim v_{i}^{*}(Rf_{i*}(M_{i})) \] où \(v_{i} : Y \to Y_{i}\) est le morphisme canonique.

4) Soit \(\ell \in \mathbb{P}\) tel que \(\ell \mathbf{1}_{X} \in \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})\) soit inversible. Alors on a un foncteur \[ T_{\ell} = T_{\ell}^{(X)} : \mathcal{M}^{+}(X) \to \mathcal{M}_{\ell}(X) \] où \(\mathcal{M}_{\ell}(X)\) est la catégorie des « \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-modules constructibles sur \(X\) », i.e. la catégorie déduite de la catégorie des « systèmes projectifs \(\ell\)-adiques de faisceaux de \(\ell\)-torsion constructibles » en négligeant […] les faisceaux de torsion. Le foncteur \(T_{\ell}\) est compatible avec \(\otimes\) et unités, exact et fidèle (mais non pleinement fidèle), compatible avec les

25compatibilité avec \(f^{!}\), \(Rf_{!}\), avec […] etc.… changement de base \(f^{*}\), et compatible également avec \(Rf_{*}\). [N.B. \(T_{\ell}\) s'étend évidemment en un foncteur \(\mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}(X)) \to \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}_{\ell}(X))\).] \(\{\)La détermination des \(T_{\ell}\) est encore ramenée au cas où \(X\) est de t.f. sur \(\mathbb{Z}\).

Si \(X\) est un \(\mathbb{Q}\)-préschéma de type fini, on a aussi un foncteur \[ T_{\infty} = T_{\infty}^{(X)} : \mathrm{D}^{b}(\mathcal{M}(X)) \to \mathcal{M}_{\infty}(X) \] où \(\mathcal{M}_{\infty}(X)\) est la catégorie des Modules […] cohérents. Ce foncteur \(T_{\infty}\) est encore exact et fidèle, compatible avec \(f^{*}\) et \(Rf_{*}\). tout ce paragraphe sur \(T_{\infty}\) est encadré puis biffé de deux diagonales ; « de type fini » est ajouté au-dessus d'un mot biffé NB. Ceci exclut déjà la chose triviale \(\mathcal{M}^{+}(X) = 0\) pour tt \(X\), car il faudrait que \(R^{*}f_{*}(\mathbb{Z}_{\ell}) = 0\) pour \(f\), \(\ell\), […] ce qui n'est pas vrai en général…

Signalons aussi la compatibilité de \(T_{\ell}\) avec l'isom. de Künneth.

5) Pour tout \(X\), on a un […] élément canonique \[ \mathbb{Q}_{X}(-1) \quad\text{ou}\quad \mathbf{1}_{X}(-1) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X) \]

26dont la formation est compatible avec changement de base (il suffit donc de le considérer sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\)), avec des isom \[ T_{\ell}(\mathbb{Q}(-1)) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-1) = \underbrace{T_{\ell}(\mathbb{G}_{m})^{-1}}_{\text{Module de Tate inverse de } \mathbb{G}_{m}} \] et le cas échéant […] (\(X\) sur \(\mathbb{Q}\)). On peut définir \(\mathbb{Q}(-1)\) comme \(R^{2} f_{*}(\struck{\mathbb{Z}}\, \mathbf{1}_{\mathbb{P}^{1}_{X}})\), où \(f : \mathbb{P}^{1}_{X} \to X\) est la projection canonique. Posant \(\mathbb{Q}(-n) = \mathbb{Q}(-1)^{\otimes n}\) pour \(n \geqslant 0\) on peut prouver, à l'aide des axiomes déjà posés, que si \(f : X \to S\) est lisse projectif à fibres géom. connexes et non vides, partout de dim relative \(d\), alors \[ R^{2d} f_{*}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Z}_{S}(-d) \] et si on oublie l'hyp « projectif » mais seulement \(f\) quasi-projectif, on trouve encore \[ R^{2d} f_{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Z}_{S}(-d) \]

27On veut exige de plus compatibilité, que si \(X/S\) est lisse et \(Y \overset{i}{\subset} X\) est lisse sur \(S\), de codim \(d\) dans \(X\), l'isom \[ Ri^{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Q}_{Y}(-d) \] compatible avec les isom déjà connus du point de vue \(\ell\)-adique —.

6) Chaque \(\mathcal{M}(X)\) est plongé dans Le foncteur \(M \mapsto M(-1) = M \otimes \mathbb{Q}(-1)\) de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) dans lui-même est pleinement fidèle mais pas une équivalence en général. Il y a donc une façon canonique d'élargir \(\mathcal{M}^{+}(X)\) en \(\mathcal{M}(X)\) de telle façon que \(\otimes \mathbb{Q}(-1)\) devienne une équivalence : en prenant la pseudo-limite inductive de […] des \[ \mathcal{M}^{+} \xrightarrow{\otimes \mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+} \xrightarrow{\otimes \mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+} \to \cdots \] On prolonge à \(\mathcal{M}(X)\) la structure \(\otimes\), dont \(\mathbb{Q}(-1)\) devient inversible, d'inverse \(\mathbb{Q}(1)\) […], et tt élément de \(\mathcal{M}(X)\) peut s'écrire, \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est sous-catégorie pleine épaisse abélienne de \(\mathcal{M}(X)\) ; […]

28\(n\) assez grand, sous la forme \(M_{n}(n)\), avec \(M_{n} \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\) [pour \(n\) fixé, \(M_{n}\) est bien déterminé par \(M\) à isom unique près, et \((M_{n}(n) \simeq M_{n+1}(n+1)) \Leftrightarrow (M_{n+1} \simeq M_{n}(-1))\) ; on retrouve la description de \(\mathcal{M}(X)\) en termes de […] \(\varinjlim\).]. \(T_{\ell}\) s'étend à \(\mathcal{M}(X)\), de façon unique à isom unique près, compatible avec \(\otimes\).

Les foncteurs […]

7) Dans \(\mathcal{M}(X)\), on a aussi des foncteurs \(\underline{\mathrm{Hom}}\), liés à \(\otimes\) par la formule habituelle \[ \mathrm{Hom}(P \otimes Q, R) \simeq \mathrm{Hom}(P, \underline{\mathrm{Hom}}(Q, R)) \simeq \mathrm{Hom}(Q, \underline{\mathrm{Hom}}(P, R)) \] et satisfaisant qui s'étendent en \[ R\underline{\mathrm{Hom}}(P, Q) \qquad P, Q \in \operatorname{Ob} \mathrm{D}^{b}\mathcal{M}(X) \] satisfaisant à la relation analogue relativement à \(\overset{L}{\otimes}\). La formation des \(\underline{\mathrm{Hom}}\) et \(R\underline{\mathrm{Hom}}\) est compatible avec les \(T_{\ell}\). les soulignements des Hom de la formule ne se distinguent pas tous ; on a souligné les Hom internes

N.B. [N.B. On retrouve la formation des \(f^{!}\) —]

298) Soient \(\ell, \ell' \in \mathbb{P}\) premiers aux car. rés. de \(X\). Soit \(M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\). On veut que \[ \begin{array}{c} T_{\ell}(M) \text{ faisceau constant tordu} \\ \Updownarrow \\ T_{\ell'}(M) \text{ faisceau constant tordu} \end{array} \] et que sous ces conditions, \(T_{\ell}(M)\) et \(T_{\ell'}(M)\) doivent avoir même rang en chaque pt.

Pour vérifier l'égalité des rangs, on est ramené au cas où \(X\) est le spectre d'un corps (qu'on peut supposer si on veut, alg. clos). Plus généralement, si \(u\) est un endomorphisme de \(M\), et (\(X = \operatorname{Spec} k\), \(k\) un corps), on en déduit \[ T_{\ell}(u) \in \operatorname{End} T_{\ell}(M), \qquad T_{\ell'}(u) \in \operatorname{End}(T_{\ell'}(M)) \] et on désire que \[ \boxed{\operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = \operatorname{Tr} T_{\ell'}(u) \in \mathbb{Q}} \] d'où, remplaçant \(u\) par \(\wedge^{n} u\), la formule \[ \boxed{P(T_{\ell}(u), t) = P(T_{\ell'}(u), t) \in \mathbb{Q}[t]} \]

30[où il s'agit des polynômes caractéristiques]. Pour ceci, notons que \[ u \in \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \underline{\mathrm{Hom}}(M, M)) = \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, M^{\vee} \otimes M) \] et on a un morphisme contraction \[ M^{\vee} \otimes M \to \mathbf{1}_{X} \] à inclure dans le formalisme tensoriel d'où un \(c(u) \in \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \mathbf{1}_{X})\) et […] \[ \operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = T_{\ell}(c(u)) \in \mathbb{Q}_{\ell} . \] et il suffit de savoir : \[ \boxed{X \text{ connexe} \Longrightarrow \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, \mathbf{1}_{X}) = \mathbb{Q}\, \mathrm{id}_{\mathbf{1}_{X}}} \]

9) Filtration de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) et \(\mathcal{M}(X)\)

titre de sa main, souligné, au milieu du feuillet 30

1°) Filtration par le poids

indices en bas […] \[ \mathcal{M}^{+0}(X) \subset \mathcal{M}^{+1}(X) \subset \cdots \subset \mathcal{M}^{+i}(X) \subset \cdots \] filtration exhaustive de \(\mathcal{M}^{+}(X)\). [L'appartenance à \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) se vérifie fibre sur \(\mathbb{Z}\) par fibre, […] (géométriques si on veut) [et dans le cas où \(X\) de t.f.] il suffit de vérifier en ses pts fermés. (Pour […], il y a un critère par Frobenius, cf.

31Généraliser compatibilité avec \(\varprojlim\) des préschémas… plus bas).] \(\mathcal{M}^{i}(X)\) est « engendré » par les \(R^{i}f_{*}\) loc. pour […] L'appartenance à \(\mathcal{M}^{i}(X)\) […] de \(M|x\) implique l'appartenance […] compatible […] \(f^{*}\), et l'appart. \(M|x \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(k(x)) \Longrightarrow \exists\, U \ni x\) voisinage de \(\bar{x}\), tel que \(M|U \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(U)\). Soit \(f : X \to Y\), alors \[ R^{j}f_{!} : \mathcal{M}^{+i}(X) \to \mathcal{M}^{+i+j}(Y) ; \] l'exposant de \(R\) se lit mal ; le \(j\) est lu d'après le but de plus, \(\mathcal{M}^{+i}(k)\) (\(k\) un corps alg. clos) est « engendré » par les sous-quotients de \[ R^{i}f_{!}(\mathbb{Z} \cdot \mathbf{1}_{X}) \] pour \(X\) si on veut projectif lisse de dim \(\leqslant j\) sur \(k\) indices en bas [on sait que tout \(M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i}(k)\) a une filtration dont les facteurs sont isomorphes à des tels sous-quotients]. « \(\mathcal{M}^{+i}(k)\) » est écrit par-dessus un \(X\) biffé

\(\mathcal{M}^{i}(X) \otimes \mathbb{Z}(-1)\) \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{M}^{+i}(X) \otimes \mathcal{M}^{+k}(X) \subset \mathcal{M}^{+i+k}(X) \\ \mathbb{Z}(-1) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+2}(X) \end{array} \right. \] d'où \[ \mathcal{M}^{+i}(X) \otimes \mathbb{Z}(-j) \subset \mathcal{M}^{+i+2j}(X) \qquad \text{pour } j \geqslant 0 \]

32on a mieux : \[ M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(X) \Longleftrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i+2j}(X) \] De cette façon, la filtration de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) par les \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) (\(i \geqslant 0\)) permet de prolonger en une filtration de \(\mathcal{M}(X)\) par des \(\mathcal{M}^{i}(X)\) (\(i \in \mathbb{Z}\)) de telle façon que pour \(i \geqslant 0\), on ait la filtration déjà \(\mathcal{M}(X)\) envisagée, et pour \(i\) quelconque, on définit \[ M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i}(X) \Longleftrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{i+2j}(X) \] si on prend \(j\) assez grand tel que \(M(-j) \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(X)\). On notera que \[ \mathcal{M}^{+i}(X) = \mathcal{M}^{i}(X) \cap \mathcal{M}^{+}(X) \] si \(i \geqslant 0\), et pour tt \(i\) si on définit \[ \mathcal{M}^{+i}(X) = \{0\} \struck{\mathcal{M}^{+}(X)} \quad \text{si } i < 0 \] […] \(\mathcal{M}^{+}(X)\) […] dans […] par \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) consiste […] indices en bas

On aura \[ \begin{array}{rcl} \otimes \mathbb{Q}(-1) & : & \mathcal{M}^{i}(X) \overset{\text{équiv.}}{\simeq} \mathcal{M}^{i+2}(X) \\ \otimes \mathbb{Q}(j) & : & \mathcal{M}^{i}(X) \overset{\text{équiv.}}{\simeq} \mathcal{M}^{i-2j}(X) \end{array} \] les deux \(\mathbb{Q}\) sont écrits par-dessus une autre lettre, biffée ; l'exposant de la seconde ligne se lit \(i-2j\) d'après l'argument

33mais […] par l'inclusion \[ \begin{array}{l} \mathbb{Q}(-1) \otimes \mathcal{M}^{+i}(X) \hookrightarrow \mathcal{M}^{+(i+2)}(X) \qquad \text{plus gén.} \\ \mathbb{Q}(-j) \otimes \mathcal{M}^{+i}(X) \hookrightarrow \mathcal{M}^{+(i+2j)}(X) \end{array} \] est stricte en général, i.e. n'est pas une équivalence de catégories.

indices en bas Notons que \(\mathcal{M}^{+i}(X)\) est épaisse dans \(\mathcal{M}^{+j}(X)\) [elle est définie dans la catégorie], et de même \[ \mathcal{M}^{i}(X) \text{ épaisse dans } \mathcal{M}^{j}(X) \qquad (i \leqslant j). \] Les quotients \(\mathcal{G}^{+}_{i}(X) = \mathrm{Gr}^{F}_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \simeq \mathcal{M}^{+}_{i}(X)/\mathcal{M}^{+}_{i-1}(X)\) et \(\mathcal{G}_{i}(X) = \mathrm{Gr}^{F}_{i}(\mathcal{M}(X)) = \mathcal{M}_{i}(X)/\mathcal{M}_{i-1}(X)\) sont fort intéressants.

Notons que les \(\mathcal{G}_{i}(X)\) sont […], équiv. entre eux isomorphes par twisting \(\mathbb{Z}(-j)\) : \[ \mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{i+2j}(X) , \] on […] équiv. can. […] à \(\mathcal{G}_{0}(X)\). D'ailleurs \[ \mathcal{G}^{+}_{i}(X) \subsetneq \mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{0}(X) \] un tilde est écrit sous l'inclusion stricte : il faut lire « équivalente à une sous-catégorie », comme le dit l'ajout qui suit équiv. à une sous-catégorie pleine et épaisse de \(\mathcal{G}_{i}(X) \simeq \mathcal{G}_{0}(X)\).

b) Filtration par « le dimension type dimensionnel »

On pose pour \(i \geqslant 0\) \[ D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) = \struck{\mathcal{M}^{i}} \text{ sous-catégorie pleine} \] de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) formée des objets qui se loc. étale [(dans […], […] fibre par fibre)] […] objets de la forme \[ \struck{\ill{}} \; M(-j), \quad \text{avec } M \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+i}(X), \; j \in \mathbb{Z},\ j \geqslant 0 \] i.e. on prend ([…]) la filtration minimale qui majore celle par le poids, […] qui soit stable par \(\otimes \mathbb{Q}(-1)\), et épaisse. […] une note de la marge droite, écrite de bas en haut et en partie biffée, ne se lit pas

Les \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) sont stables par l'image inverse, et par l'image directe on a \[ \begin{array}{l} R^{j}f_{!}(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \\ R^{j}f_{*}(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}^{+}(Y)) \quad \text{?} \end{array} \] le point d'interrogation de la seconde ligne est cerclé dans la marge […] formellement les filtrations \(D_{i}(\mathcal{M})\) et \(\mathcal{M}_{i}\) ! cette note de la marge gauche est reliée par une flèche à la ligne de \(R^{j}f_{*}\) [On a seulement \(R^{j}f_{*}(\mathcal{M}^{+(i)}(X)) \subset \mathcal{M}^{+(i+2j)}(Y)\) !?]

On […] a : \[ M \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \Longrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X)) \] pas \(D_{i+j}\) !! le \(D_i\) du second membre est écrit par-dessus un autre indice et cerclé, la flèche menant à la note « pas \(D_{i+j}\) !! » tout se passe […] en termes de la dim. de \(X\) ! et la filtration de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) par les \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) s'étend en une filtration de \(\mathcal{M}(X)\) par des \(D_{i}(\mathcal{M}(X))\),

35en utilisant la filtration donnée, […] i.e. on a \[ M \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X)) \Longleftrightarrow M(-j) \in \operatorname{Ob} D_{i}(\mathcal{M}(X)) \] pour \(j\) qui […].

On a \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))/D_{i-1}(\mathcal{M}^{+}(X)) \xrightarrow{\ \approx\ } D_{i}(\mathcal{M}(X))/D_{i-1}(\mathcal{M}(X))\) \[ D_{i}(\mathcal{M}(X)) \otimes D_{j}(\mathcal{M}(X)) \subset D_{i+j}(\mathcal{M}(X)) \] (mais \(\mathbb{Z}(-j) \in \operatorname{Ob} D_{0}(\mathcal{M}(X))\) pour tt \(j\).) et de \(=\) en mettant des \(+\).

Enfin, on a \[ \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}(D_{j}(\mathcal{M}(X)), D_{k}(\mathcal{M}(X))) \subset D_{j+k}(\mathcal{M}(X)) \] (par une formule aussi simple en termes des \(\mathcal{M}_{\alpha}(X)\) !).

10) Motifs constants tordus. Anneaux \(M^{+}(X)\) et \(M(X)\)

titre de sa main, souligné en deux morceaux, au bas du feuillet 35

Soit \(\mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{spec.}}\) la sous-catégorie de \(\mathcal{M}^{+}(X)\) formée des motifs effectifs constants tordus. [Par condition locale, qui se vérifie sur \(T_{\ell}(M)\), cf. No 8], et de même on définit \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}\) N.A. par […] \(M\) et. Ainsi \[ M \text{ est tordu} \Longleftrightarrow M(j) \text{ est tordu.} \] \(\mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{spec.}}\) et \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}\) sont des sous-catégories abéliennes stables par extensions, dont tt objet est de

36longueur finie. Elle est stable par \(\otimes\), […] cette catégorie les \(\mathrm{Ext}^{i}\) (\(i > 0\)) sont nuls, et la catégorie est aussi stable par \(\underline{\mathrm{Hom}}\) (cas de \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{spec.}}\)). C'est une « catégorie tensorielle sur \(\mathbb{Q}\) ».

Le \(\lambda\)-anneau défini par cette catégorie est noté \(M^{+}(X)\) resp. \(M(X)\).

Notons que \(\xi = \mathrm{cl}\, \struck{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}_{X}(-1)\) est un élément de \(M^{+}(X)\), et on a \[ M(X) = M^{+}(X)_{\xi} = M^{+}(X)\bigl[\tfrac{1}{\xi}\bigr] . \] En fait, \(\xi\) est non diviseur de \(0\) : \(M^{+}(X)\) est un \(\mathbb{Z}\)-module libre admettant comme base les classes d'[…] objets simples de \(\mathcal{M}^{+}(X)\), et \(x \mapsto \xi \cdot x\) dans \(M^{+}(X)\) est défini par une application injective […] des objets simples de \(\mathcal{M}^{+}(X)\). [N.B. \(M\) simple \(\Longleftrightarrow\) \(M\) simple dans \(\mathcal{M}(X)\) \(\Longleftrightarrow\) \(M(-1)\) simple, comme il résulte […] que \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est épaisse dans \(\mathcal{M}(X)\) et \(\otimes \mathbb{Z}(-1)\) une autoéquivalence]

37Si \(\Sigma^{+}(X) =\) ensemble des classes d'objets simples de \(\mathcal{M}^{+}(X)\), \[ \Sigma(X) = \varinjlim_{\text{par } e \mapsto \xi e} \Sigma^{+}(X) , \] on a \(M(K)\) un diagramme […] :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  M^{+}(X) \arrow[d, hook] & = & \mathbb{Z}^{(\Sigma^{+}(X))} \arrow[d, hook] \\
  M(X) & = & \mathbb{Z}^{(\Sigma(X))}
\end{tikzcd}

Alors \(\mathcal{M}_{i}(X)\) se définit en termes […] \[ \Sigma^{+}_{(i)}(X) \quad \text{et} \quad \Sigma_{i}(X), \] d'une partie […], d'où \[ M^{+}_{i}(X) = \mathbb{Z}^{\Sigma^{+}_{(i)}(X)} \] ce qui donne une filtration croissante sur l'anneau \(M^{+}(X)\), et une filtration analogue sur \(M(X)\).

En fait, posant \[ \Sigma^{+}_{i}(X) = \Sigma^{+}_{(i)}(X) - \Sigma^{+}_{(i-1)}(X) \] on aura […] \[ \Sigma^{+}_{i}(X) \cdot \Sigma^{+}_{j}(X) \subset \mathbb{Z}^{\Sigma^{+}_{i+j}(X)} \] donc \(M^{+}(X)\) devient un anneau

38gradué [i.e. à degrés \(\geqslant 0\)], et \(\xi\) est de degré 1. De cette façon, \(M(X)\) devient gradué [i.e. à degrés de tout signe, \(\xi\) étant un élément inversible de degré 1]. Notons que \[ M_{0}(X) \simeq \mathbb{Z}^{\Sigma_{0}(X)} \] avec \[ \Sigma_{0}(X) = \varinjlim_{\text{par } x \mapsto \xi x} \Sigma^{+}_{i}(X) \] et \[ \begin{array}{l} M^{\text{pair}}(X) = M_{0}(X)[\xi] \qquad (\xi \text{ de degré } 1) \\ M^{\text{impair}}(X) = \underline{M}_{1}(X) \otimes_{M_{0}(X)} M_{0}(X)[\xi] \end{array} \] la seconde ligne est surchargée de petits ajouts au-dessus du produit tensoriel, qui ne se lisent pas ; le \(M_1\) est souligné donc la structure d'anneau gradué de \(M(X)\) est déterminée en termes de la structure d'anneau de \(M_{0}(X)\), et la structure de Module \(M_{1}(X)\) sur \(M_{0}(X)\), et l'application de mult. \[ M_{1}(X) \otimes_{M_{0}(X)} M_{1}(X) \to M_{0}(X) \] définie par […].

D'autre part, les objets de \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) sont […] ceux dont la classe […] dans \(M^{+}(X)\) sont \(M^{+}(X)\) sont dans \[ \mathbb{Z}^{D_{i}(\Sigma^{+}(X))} \] où \[ \begin{aligned} D_{i}(\Sigma^{+}(X)) &= \coprod_{j \geqslant 0} \xi^{j}\, \Sigma^{+}_{(i)}(X) \\ &= \coprod_{\substack{j \geqslant 0 \\ 0 \leqslant k \leqslant i}} \xi^{j}\, \Sigma^{+}_{k}(X) \end{aligned} \] un premier symbole après le signe \(=\) est biffé ; à droite des deux lignes, derrière une accolade, un ajout se lit à peu près « \(\xi^{j}\Sigma^{+}_{[j]}(X)\) », peut-être biffé

39Posons \[ \struck{\Sigma}\; \sigma_{i}(X) = \Sigma^{+}_{i}(X) - \bigcup_{\alpha \geqslant 0} \xi^{\alpha}\, \Sigma^{+}_{i-2\alpha}(X) \] sic pour \(\alpha \geqslant 0\) : pour \(\alpha = 0\) la réunion contiendrait \(\Sigma^{+}_{i}(X)\) tout entier ; un indice biffé est écrit sous la réunion (donc on a une partition (au sens large)) \[ \Sigma_{i}(X) = \sigma_{i}(X) \cup \xi\, \sigma_{i-2}(X) \cup \cdots \cup \left\{ \begin{array}{l} \xi^{i/2}\, \sigma_{0}(X) \\ \xi^{\frac{i-1}{2}}\, \sigma_{1}(X) \end{array} \right. \] suivant la parité de \(i\) éléments primitifs de poids \(i\) la note cerclée « éléments primitifs de poids \(i\) » est reliée par un trait à \(\sigma_i(X)\) ; la note « suivant la parité de \(i\) », à droite de l'accolade, porte des traits qui la biffent peut-être et on a donc \[ D_{i}(\Sigma^{+}(X)) \cap \Sigma^{+}_{j}(X) = \begin{cases} \Sigma^{+}_{j}(X) & \text{si } j \leqslant i \\ \xi^{j-i}\, \sigma_{i}(X) \cup \xi^{j-i+1}\, \sigma_{i-1}(X) \cup \cdots \cup \xi^{j}\, \sigma_{0}(X) & \text{si } j > i \end{cases} \] Ainsi \[ \begin{aligned} D_{i}(M^{+}(X)) / D_{i-1}(M^{+}(X)) &\simeq \mathbb{Z}^{D_{i}(\Sigma^{+}(X)) - D_{i-1}(\Sigma^{+}(X))} \\ &\simeq \mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X) + \xi \sigma_{i-2}(X) + \xi^{2} \sigma_{i-4}(X) + \cdots} \end{aligned} \] \(\mathbb{Z}^{\sigma_{i}(X)}\)

N.B. […] on voit […] la structure additive des deux filtrations, et de l'opération \(\xi \cdot\), \(M^{+}(X)\) et \(M(X)\) sont complètement déterminés par la connaissance […] la famille \((\sigma_{i}(X))_{i \geqslant 0}\) des ens. \(\sigma_{i}(X)\).

Pour la structure multiplicative il faut connaître de plus les applications \[ \sigma_{i}(X) \times \sigma_{j}(X) \longrightarrow \mathbb{Z}^{\left(\coprod_{k \leqslant i+j-2} \sigma_{k}(X)\right)} \] \(x, y \mapsto\) […] définies par […] l'indice sous le coproduit se lit mal

40Nous allons expliciter plus bas la détermination de \(\sigma^{0}(X)\) et \(\sigma^{1}(X)\).

Il y a lieu également de préciser les opérations \(\vee\) et \(\lambda^{i}\). Pour la première, notons que \[ \struck{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}(-i)\, [\mathcal{M}^{+}_{i}(X)]^{\vee} \subset \mathcal{M}^{+}_{i}(X) \] d'où on conclut […] que \(x \mapsto \check{x}\, \xi^{i}\) définit […] une involution. Mais en fait il résulterait de la théorie […] que cette dernière est l'identité, i.e. l'opération \(\vee\) dans \(M_{i}(X)\) […] n'est autre que \(x \mapsto \xi^{-i} x\), […]

Quant aux opérations \(\lambda^{i}\), leur détermination devrait se faire en termes de groupes finis d'opérateurs (tels les \(\mathfrak{S}_{p}\) —). le paragraphe 10) s'arrête ici ; le bas du feuillet est vierge