Fonds Grothendieck, cote n° 12, pages 1–20

Esquisse d'une théorie des motifs

le titre est de sa main, souligné, en tête du feuillet 1 ; la suite est paginée par lui de 1 à 17, en haut à droite

1. Revue des théories cohomologiques habituelles pour les schémas projectifs lisses. L'idée de motifs, qui doit remplacer la cohomologie entière (la théorie des modules (de t.f. sur \mathbb{Z} !)) Résumé : a) Isomotifs, b) Motifs ½ simples c) Base ponctuelle. les parenthèses de cette ligne sont un ajout interlinéaire, d'une encre plus pâle ; trois astérisques en marge gauche, en face des items 1, du paragraphe « Les motifs de poids \geq 1 » et de « Connexion continue »

2. Définition de la catégorie \mathcal{M}^{+}(k) des motifs effectifs sur k. C'est une catégorie abélienne « ½ simple » avec \otimes. Foncteurs T^{*}_{\mathrm{DR}}, T_{\mathrm{Hdg}} (si k de car. nulle) T_{B} (si k = \mathbb{C}) T^{\ell} (si \ell \neq \operatorname{car} k) . Les foncteurs sont multiplicatifs. Tous ces foncteurs sont fidèles. « ½ simple » est interlinéaire, au-dessus de « abélienne » ; après « car k », un mot biffé puis une parenthèse entièrement noircie

3. Graduation dans la catégorie \mathcal{M}^{+}(k). (Le produit \otimes compatible avec graduation. Les foncteurs h^{i}(X). \mathcal{M}^{+}(X)).

4. L'équivalence \mathcal{M}^{+1}(k)^{\circ} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Isab}(k) (X \mapsto \mathrm{Pic}^{00}_{X}, A \mapsto h^{1}(\hat{A})). ~~Les motifs \mathbb{Q}(-1), cette catégorie \mathcal{M}(k) des motifs~~ l'exposant de \mathrm{Pic} est lu 00, sous réserve

Les motifs de poids \geq 1 comme généralisation des VA. La connexion « discrète » est conservée (s'exprimant ici par le fait que si k \to k' est une extension de corps algébriquement clos, alors \mathcal{M}^{e}(k) \to \mathcal{M}^{e}(k') est pleinement fidèle). l'exposant de \mathcal{M} est douteux : un petit « e », peut-être autre chose

Connexion continue… Exemple d'invariant suggéré par la théorie des schémas abéliens : caractérisation des motifs lisses sur S ~~réguliers ()~~ normal. « normal » est écrit au-dessus du passage biffé

5. Le motif \mathbb{Q}(-1) (anti-Tate). La catégorie \mathcal{M}(k) des motifs (isomotifs semi-simples sur k !). Maintenant il y a un Hom interne, en plus du \otimes et de la graduation. Si \mathcal{C} est une catégorie pseudo-abélienne avec \otimes, alors les foncteurs compatibles avec \otimes de \mathcal{M}(k) dans \mathcal{C} correspondent aux foncteurs T : \mathcal{V}(k)^{\circ} \to \mathcal{C}, satisfaisant Künneth, et tels que T(\mathbb{Q}(-1)) = \operatorname{Im} T(\pi) (\pi le projecteur dans h(\mathbb{P}^{1}_{k}) , d'image h^{2}(\mathbb{P}^{1}_{k}) = \mathbb{Q}(-1)) soit inversible. On montre que les T commutent automatiquement à la formation des Hom. La catégorie des motifs \mathcal{M}(k) est donc caractérisée, avec sa structure \otimes, à équivalence près par propriété universelle.

Résulte de la présence de \mathcal{M}^{+} dans \mathcal{M}. en tête du feuillet, au-dessus du paragraphe 6, et relié par une accolade à la définition qui suit

6. Niveau d'un motif. Un motif M est dit de niveau \leq i s'il est de la forme M'(n), où M' \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^{+}(k) est à composantes homogènes de degrés \leq i. On dit que M est purement de niveau i s'il est de niveau \leq i, et si aucun sous-motif \neq 0 n'est de niveau \leq i-1. Cet i est unique, et \geq 0. Tout motif M se décompose de façon unique en somme de motifs purs de niveau i M = \coprod_{i \in \mathbb{Z}} M_{i} donc s'il est de ~~degré~~ poids n, (les i tels que M_{i} \neq 0 ont la même parité que n, et ) ~~il s'écrit~~ M = \coprod_{i} M'_{i}\Big(\frac{n-i}{2}\Big) \qquad M'_{i} \in \mathcal{M}^{+i}_{\text{pur}}(k) où M'_{i} est ~~purement de poids~~ ~~effectif~~ pur de poids et niveau i. « \mathcal{M}^{+i}_{\text{pur}}(k) » est entouré ; « effectif », interlinéaire, paraît biffé avec le reste

Les motifs de ~~poids~~ niveau \leq i sont ceux qui, modulo twist de Tate, « proviennent » de variétés X \in \mathcal{V}(k) de dimension \leq i. Ceci résulte des faits que h(X) est de niveau \leq \dim X, et que ~~Addition~~ si i \leq \dim X, h^{i}(X) \hookrightarrow h^{i}(Y), où Y est une section linéaire de dim. i (sens du « th. de Lefschetz »). Autre interprétation en termes de cohomologie \ell-adique ~~(en supposant le corps de base alg. clos, ce qui est licite, car la notion de niveau, la du niveau, est invariant par extension du corps de base).~~ On regarde H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) et la « filtration géométrique » définie par \operatorname{Filt}^{j} H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) = \varinjlim_{U} \operatorname{Ker}\big(H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \to H^{i}(\overline{U}, \mathbb{Q}_{\ell})\big) U, U ouvert tel que \operatorname{codim}(X-U) \geq j.

Exemple : si i \geq n = \dim X, alors h^{i}(X) est de niveau \leq 2n-i < i Ex. Si i \geq n = \dim X, h^{i}(X) est de niveau \leq 2n-i deux notes marginales à gauche, presque identiques, l'une en face de la définition, l'autre en face de l'argument de Lefschetz

Alors on a, ~~si X provenant de dim. n et i \leq n~~ (supp. i \geq n) \operatorname{Filt}^{j} H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) = \text{partie de } T^{\ell}(h^{i}(X)) ~~provenant~~ image du plus grand sous-motif ~~( 2n-i \geq j)~~ de niveau \leq i-2j de h^{i}(X).

Cette caractérisation du niveau des motifs est courante si on admet la résolution des singularités des variétés de dim. \leq \dim X = n seulement, (conséquence de la résolution et des conjectures standard), on trouve donc que les dimensions des \operatorname{Filt}^{j} H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) sont indépendantes de \ell. (Bien mieux, ils correspondent à des motifs, et les quotients gradués successifs sont purs de poids i-2j resp. 2n-i-j). Parler des inv. birationnels…

Conjectures de Tate et de Hodge pourraient venir ici. en marge gauche, en oblique, entre le paragraphe précédent et le paragraphe 7, avec un trait qui les sépare

7. Structure des \otimes-catégories. ~~standard~~

~~Catégorie~~ Catégorie abélienne avec opération \otimes « ass., comm. » et « unitaire ». On suppose de plus l'existence de Hom internes, au sens du \otimes. On dit qu'elle est « rigide » si \check{M} \otimes N \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}(M, N) Supposons de plus que \mathcal{C} soit K-linéaire (K un corps) (i.e. on se donne K \to \operatorname{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{C}})), et que les Hom soient de dim. finie sur k : On dira qu'on a une \otimes-catégorie sur k (qu'on suppose rigide). Une telle catégorie est dite « connexe » si \operatorname{End}(\mathbb{1}_{\mathcal{C}}) \simeq k (bien l'identité). il écrit tantôt K, tantôt k, pour le corps de base de la \otimes-catégorie ; la transcription suit la page

Exemple : Si G est un groupe algébrique sur K, la catégorie \mathrm{Modf}(G) des modules sur lesquels G opère. Plus avec groupes pro-algébriques (p. ex. profinis).

Cet exemple ~~est~~ essentiellement universel, comme on va voir.

\otimes-foncteurs. Foncteurs fibres sur K, sur K', …. Considérons un couple (\mathcal{C}, F) formé d'une \otimes-catégorie sur K, avec foncteur fibre rat. /K. À cette situation est associé canoniquement un groupe ~~alg.~~ affine G sur K (ou pro-groupe profini sur K), et une équivalence (\mathcal{C}, F) \simeq (\mathrm{Modf}(G), \text{oubli}). De façon précise, associant à chaque G le couple ((\mathrm{Modf}(G), G), \text{oubli}), on trouve un foncteur \text{groupes affines sur } K \longrightarrow \begin{array}{l} \otimes\text{-catégories avec foncteur fibre donné, avec} \\ \otimes\text{-foncteurs modulo isom., compatibles avec } F \end{array} et ce foncteur est pleinement fidèle. \mathcal{C} « de type fini » \Longleftrightarrow G de type fini

\mathcal{C} ½-simple \Longleftrightarrow G pro-réductif. sous la seconde équivalence, « si K de car. nulle » ; la fin de la ligne a été réécrite deux fois, et une ligne entière biffée en dessous

G(A) = \operatorname{Aut} F_{A}, (F_{A}(M) = F(M) \otimes A) comme foncteur fibre à valeurs dans \mathrm{Mod}(A) note entourée, en marge gauche, en face de l'équivalence (\mathcal{C}, F) \simeq (\mathrm{Modf}(G), \text{oubli})

Cor. Possibilité d'une définition des autres opér. tensorielles telles \Lambda, \mathrm{Symm} (en fait, on voit que c'est indépendant de l'existence et du choix de F). Si on a un foncteur fibre, tout autre foncteur fibre F' s'obtient en « tordant » avec un pro-torseur P sous G, P = (P_{i}) : F' = P \times^{G} F

Remarque : affirmer que si \mathcal{C} de type fini, deux foncteurs fibres deviennent isomorphes sur ext. finie

Alors G' = P \times^{G} G = \operatorname{ad}(P).

En fait, il y a des cas intéressants où on ne peut trouver aucun foncteur fibre. Mais si \mathcal{C} est de type fini, alors on doit pouvoir montrer qu'on peut trouver un foncteur fibre sur une extension finie de K. (Quand il en est ainsi, ~~on démontre~~) ~~On construit ainsi ;~~ Admettant le résultat « d'existence » de foncteurs fibres, on ~~doit~~ arrive à décrire (\mathcal{C}, F) intrinsèquement, en termes d'une gerbe sur un site convenable…

8. Cas des catégories de motifs. ~~Lien avec le groupe fondamental profini~~

S schéma régulier connexe. On définit \mathcal{M}^{+}(S), \mathcal{M}(S) en remplaçant ce qui est fait sur un corps, en travaillant avec X projectifs lisses sur S, avec C(X) \overset{\mathrm{df}}{=} C(X_{\eta}) (\eta pt générique de S). Ainsi, \mathcal{M}(S) \to \mathcal{M}(\eta) est pleinement fidèle, permettant d'interpréter \mathcal{M}(S) comme sous-catégorie pleine de \mathcal{M}(\eta). De plus, pour tout morphisme f : S' \to S de schémas réguliers, on définit f^{*} : \mathcal{M}(S) \to \mathcal{M}(S') un \otimes-foncteur correspondant (c'est ici que sert l'hypothèse de régularité sur les schémas….). à expliciter …..

Tout point complexe géom. \xi de S définit un foncteur fibre « de Betti » ~~F_{\xi}^{\mathrm{Betti}} = F_{\xi}~~ F_{\xi}^{\mathrm{Betti}} = F_{\xi}^{B} : \mathcal{M}(S) \to \mathrm{Modf}(\mathbb{Q}), d'où un groupe pro-algébrique G sur \mathbb{Q}, pro-réductif

en fait, décrivant \mathcal{M}(S). Pratiquement, on n'a guère qu'à considérer dans ~~une~~ chaque question une sous-catégorie de type fini de \mathcal{M}(S), soit \mathcal{C}. Elle est donc décrite par un groupe algébrique réductif G sur \mathbb{Q}. Question intéressante : comment sont reliés ces groupes pour des \xi différents (ils se déduisent les uns des autres par twist…). Déjà intéressant si S est le spectre d'une ext. finie k de \mathbb{Q}….!

Si S est de car. p > 0, on ne peut en général trouver de foncteur fibre sur \mathbb{Q} (contre-exemple de Serre, lié aux courbes elliptiques de Hasse nul). Mais on a un foncteur fibre sur \mathbb{Q}_{\ell} pour tout pt géom. de car. \neq \ell, d'où un foncteur fibre sur une extension finie K/\mathbb{Q} (qu'on se contentera : une \mathcal{C} \subset \mathcal{M}(S) stable par \otimes, \vee, \oplus : engendrée finie…). Donc on trouve un groupe algébrique réductif G_{K} sur K, qui permet de représenter la catégorie des K'-motifs pour tout corps K' qui est une extension de K.

Structure \varepsilon, y (\varepsilon y(\lambda) = \lambda^{2}), structure y, i_{1}, i_{2} ~~pour corps de base \mathbb{C}, T_{\mathrm{Hdg}}~~. (A) /G^{0} \to \pi_{1}^{1}. ajout interlinéaire serré, en travers de la ligne du titre 9), qui annonce les paragraphes 12) et suivants ; le premier symbole de « (A) » et la parenthèse entre y et « structure » sont lus sous réserve

9) Relation avec le \pi_{1} ~~profini~~ : Soit F un foncteur fibre à coefficients dans K sur \mathcal{M}(S), \xi un pt géométrique. On dit que F et \xi sont associés si on a un isom. le numéro 9) paraît récrit sur un 8) ; en marge, quatre petits traits. La lettre dans « \mathcal{M}(S) » ressemble à un C

F \mid \mathcal{M}^{+0}(S) \simeq F_{\xi} où F_{\xi} est le foncteur induit sur \mathcal{M}^{+0}(S) : fibre en \xi. (NB. S étant connexe, ces foncteurs sont isomorphes entre eux, donc la condition d'association ne dépend pas de \xi. Mais il faut la considérer plutôt comme une donnée supplémentaire, comme donnée de l'isom. en question). Ex 1 Si S = \operatorname{Spec}(\mathbb{C}), ~~alors~~ F = F^{\mathrm{Betti}}_{\xi}, Ex. 2 T^{\ell}_{\xi} alors on a une telle donnée. Ex 3 Si S = \operatorname{Spec} k, k corps de car. nulle (p. ex. k = \mathbb{Q}) et si F est le foncteur fibre à coefficients dans k T_{\mathrm{DR}} ou T_{\mathrm{Hdg}}, alors il n'est pas en général associé aux pts géométriques. Ex 4 Si ~~k est~~ S est le spectre d'un corps alg. clos, alors tout F est associé à \xi, du moins si k est dénombrable i.e. de degré de transc. dénombrable (dénombrable), dans \mathcal{M}(k), à engendrement dénombrable…. les numéros des exemples 3 et 4 sont récrits sur d'autres chiffres

Alors on trouve un isom. canonique \pi_{1}(S, \xi) \simeq \varprojlim G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} \{ les G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} sont des groupes constants sur K ……. Cela résulte du \otimes-foncteur canonique \mathrm{Mod}\text{-}\mathrm{cont}(\pi_{1}) \simeq \mathcal{M}^{+0}(S) \to \mathcal{M}(S) qui définit G \to \pi_{1} tout ce passage est barré au crayon de hachures croisées ; il est repris en tête du feuillet suivant ; l'indice de « \mathrm{Mod} », lu « cont », est douteux

Alors on trouve un \otimes-foncteur pleinement fidèle \pi_{1}\text{-}\mathbb{Q}\text{-modules continus de rang fini sur } \mathbb{Q} \longrightarrow \text{motifs sur } S qui se décrit par un épimorphisme G = \varprojlim G_{\alpha} \longrightarrow \pi_{1}(S, \xi) et se factorise donc en un isomorphisme canonique (*) \qquad \boxed{\varprojlim_{\alpha} G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_{1}(S, \xi)} Soit \pi_{1}^{!} le . Alors supposant K = \mathbb{Q} ~~les~~ (~~\pi_{1}^{!}~~ pour simplifier) les \pi_{1}^{!}-\mathbb{Q}-modules correspondent à la sous-catégorie de \mathcal{M}(S) formée des motifs M tels que la sous-\otimes-catégorie engendrée par M soit de « longueur finie ». Utilisant conjecture de Tate (ou de Hodge si S de car. générique nulle), on ~~voit~~ prouve que ce sont les motifs de niveau zéro et poids zéro (i.e. les motifs effectifs de poids zéro), i.e. que (*) est un isomorphisme. Les ~~résultats~~ réflexions précédentes peuvent se développer aussi (utilisant la notion de motif sur S à coeff. dans K) si on ne suppose pas K = \mathbb{Q}.

NB Soit S' \to S un revêtement étale connexe de S, s'envoyant et supposons que F provienne d'

un \otimes-foncteur ~~fibre~~ sur S'. Alors, comme en théorie des groupes fondamentaux ordinaires, G' \to G est un monomorphisme, dont l'image est le ~~noyau~~ l'image inverse dans G du sous-groupe ouvert de \pi_{1}(S, \xi) qui correspond à S'/S. On en conclut que la bijectivité de (*) ~~équivalente pour S = \ill{}~~ (pour tout S, disons) équivaut au fait que pour S = \operatorname{Spec} k, k alg. clos, les groupes G sont connexes.

10) Relation avec le \pi_{1} profini : les homs \pi_{1} \to G(\mathbb{Q}_{\ell}).

Supposons que K \hookrightarrow \mathbb{Q}_{\ell} ; on dit que ~~et que~~ F ~~est associé au pt géom. \xi~~ compatible avec le foncteur de Tate T^{\ell}_{\xi} (i.e. on se donne le plongement donné de K dans \mathbb{Q}_{\ell}) si F \otimes_{K} \mathbb{Q}_{\ell} \xrightarrow{\ \sim\ } T^{\ell}_{\xi} (donnée de compatibilité avec foncteur de Tate). Exemple 1 K = \mathbb{Q}_{\ell}, F = T^{\ell}_{\xi}, Exemple 2 K = \mathbb{Q}, F = T^{\xi}_{\mathrm{Betti}}, où \xi un pt complexe.

Alors l'homomorphisme canonique \pi_{1}(S, \xi) \to \operatorname{Aut} T^{\ell}_{\xi} ~~définit~~ puis : \operatorname{Aut} T^{\ell}_{\xi} \simeq \operatorname{Aut} F \otimes_{K} \mathbb{Q}_{\ell} \simeq G(\mathbb{Q}_{\ell}) définit un homomorphisme \boxed{\rho_{\ell} : \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{Q}_{\ell})}

p. 10 de sa pagination ; à partir d'ici, son numéro est inférieur d'une unité à celui des archivistes, jusqu'au feuillet 18 (son 17) Noter que si F est compatible avec T^{\ell}_{\xi}, il est a fortiori associé à \xi, et on trouve G \longrightarrow \pi_{1}(S, \xi) d'où \eta_{\ell} : G(\mathbb{Q}_{\ell}) \longrightarrow \pi_{1}(S, \xi) . On voit tout de suite que cet homomorphisme ~~est~~ est inverse à gauche de \rho_{\ell} \boxed{\eta_{\ell} \rho_{\ell} = \mathrm{id}_{\pi_{1}(S, \xi)}} Si on s'intéresse à une sous-catégorie \mathcal{C}_{\alpha} de \mathcal{C}, correspondant à un G_{\alpha}, alors G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} définit ~~correspond à~~ un quotient \pi_{\alpha} de \pi_{1}(S, \xi), et on a :

\begin{tikzcd} & G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} \arrow[dr, dashed] & \\ \pi_{1}(S, \xi) \arrow[r, "\rho_{\ell}"] \arrow[rr, bend right=40, "\text{hom can.}"'] & G_{\alpha}(\mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[r] \arrow[u, dashed] & \pi_{\alpha} \end{tikzcd}

(commutatif).

La conjecture de Tate (avec action semi-simple de Galois !) équivaut à dire que, localisé d'un schéma de type fini sur \mathbb{Z}, G_{\alpha} est l'enveloppe algébrique de \operatorname{Im}(\pi_{1}(S, \xi) \to G_{\alpha}(\mathbb{Q}_{\ell})). ~~NB G_{\alpha}(\mathbb{Q}_{\ell})~~ à droite, un encadré de quatre ou cinq lignes commençant par « NB », barré au crayon de hachures serrées et illisible dessous

NB La conjecture de Tate sous la forme : les ½-invariants dans H^{2i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) sont les comb. à coeff. dans \mathbb{Q}_{\ell} des classes algébriques — implique (avec conjectures standard) la ½ simplicité dans Tate…

Cas S = \operatorname{Spec} k, k corps fini. \mathcal{C} \subset \mathcal{M}(k), et F un « foncteur fibre » sur \mathcal{C} à coeff. dans K. Comme on a un élément canonique \mathrm{Frob}_{k} \in \operatorname{Aut} \underline{\mathrm{id}}_{\mathcal{M}(k)} \longrightarrow \operatorname{Aut} \mathrm{id}_{\mathcal{C}} \quad [\simeq \mathfrak{Z}(\mathbb{Q}) \text{, où } \mathfrak{Z} \text{ est le centre de } G] on en déduit un élément canonique de G(K) = \operatorname{Aut} F, et même de \mathfrak{Z}(\mathbb{Q}) (où \mathfrak{Z} est le centre de G) \boxed{\mathrm{Frob}_{k,F} \in \mathfrak{Z}(\mathbb{Q}) \subset G(K)} . N.B. \mathfrak{Z} est défini sur \mathbb{Q} ! il note le centre par une lettre en forme de 3, transcrite \mathfrak{Z} ; dans le crochet, « où \mathfrak{Z} est le centre de G » est récrit sur un mot biffé

Si K \subset \mathbb{Q}_{\ell} et si F est compatible avec T^{\ell}_{\xi}, alors l'image de \mathrm{Frob}_{k,F} \in \mathfrak{Z}(K) \to \mathfrak{Z}(\mathbb{Q}_{\ell}) \subset G(\mathbb{Q}_{\ell}) ~~n'est autre par~~ n'est autre que l'image du générateur \mathrm{Frob}_{k} \in \pi_{1}(k, \xi) \simeq \hat{\mathbb{Z}} par l'hom. \rho_{\ell} : \hat{\mathbb{Z}} \longrightarrow G(\mathbb{Q}_{\ell}) La conjecture de Tate pour le corps fini k équivaut à dire que G est l'enveloppe algébrique du sous-groupe engendré par \mathrm{Frob}_{k,F} \in G(K). Elle implique donc que G est commutatif. [Comme il est défini pour toute , on voit qu'il est en fait défini sur \mathbb{Q}, canonique, et évidemment on aura en fait, donc \mathrm{Frob}_{k,F} \in G(\mathbb{Q}) ]. devant G(\mathbb{Q}), un \mathfrak{Z}(\mathbb{Q}) biffé

Conséquence de conjecture de Tate pour k. ~~(canoniquement )~~ G est extension de \hat{\mathbb{Z}} par un tore resp. protore.

Conséquences : Soit maintenant S quelconque, mais muni d'un pt fermé s tel que k(s) soit fini. Soit \mathcal{C} \subset \mathcal{M}(S), ~~\mathcal{C}' une sous-catégorie de~~ muni d'un foncteur fibre F, à coeff. dans un corps K \supset \mathbb{Q},

d'où un G schéma en groupes sur K. Soit I_{G} le « schéma des invariants », isomorphe si G connexe à T/W (T tore maximal , W le groupe de Weyl). Alors on trouve un élément f_{s} de I_{G}(\mathbb{Q}). (NB. I_{G} est en fait défini sur \mathbb{Q}). On trouve ainsi une famille d'éléments (f_{s})_{s \in S_{0}}, où S_{0} désigne l'ens. des pts s de S tels que k(s) soit fini : famille des frobenius. Compatibilité avec les homs G \longrightarrow \pi_{1}(S, \xi) et les homs \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{Q}_{\ell}) .

12) Structures supplémentaires sur le groupe de Galois motivique : structures associées aux graduations, filtrations, au motif de Tate.

On choisit une sous-\otimes-catégorie grad. ~~La catégorie~~ \mathcal{C} de \mathcal{M}(S), avec un foncteur fibre F, à coeff. dans K d'où groupe de Galois motivique G.

a) ~~Une~~ graduation de type M sur le foncteur fibre, compatible avec \otimes, est équivalente à la donnée d'un hom. T = D_{K}(M) \longrightarrow G La graduation provient d'une graduation fonctorielle de \mathcal{M} \mathrm{df} / ssi l'hom T \to G est central. Par suite :

1°) La graduation canonique de type \mathbb{Z} des objets de \mathcal{C} définit un hom canonique y : \mathbb{G}_{m,K} \longrightarrow G

2°) Si F = T_{\mathrm{Hdg}}, la bigraduation de ce foncteur correspond : un hom ~~D_{K}(\mathbb{Z}^{2}) = \mathbb{G}_{m}^{2} \to G donc : donnant~~ i : \mathbb{G}_{m,K}^{2} \longrightarrow G donc : deux homs commutant l'un à l'autre i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m} \longrightarrow G Comme la graduation totale associée est celle de 1°), on trouve i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda) = y(\lambda) (ce qui contient déjà que i_{1}, i_{2} commutent…). dans D_{K}(M), la lettre sous la parenthèse est surchargée ; lue M

3°) Supposons S = \operatorname{Spec}(\mathbb{C}), prenons F = T_{\mathrm{Betti}} ~~ou T_{\mathrm{Hdg}}~~. Alors on ~~peut prendre~~ a K = \mathbb{Q}. D'autre part F \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \simeq T_{\mathrm{Hdg}} , donc on a G^{\mathrm{Betti}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \simeq G^{\mathrm{Hdg}} . Donc dans G^{\mathrm{Betti}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} on trouve i_{1}, i_{2} i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m} \to G^{\mathrm{Betti}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} tels que i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda) = y(\lambda) De plus on a \overline{i_{1}(\lambda)} = i_{2}(\lambda) ce qui exprime que les deux graduations relatives sont conjuguées complexes l'une de l'autre. en tête, au-dessus du numéro de page, « \mathrm{Bett} / \mathrm{Hdg} » biffé

b) Il y a lieu de supposer que \mathcal{C} \ni \mathbb{Q}(-1). Alors \mathbb{Q}(-1) ~~est~~ définit un G-module F(\mathbb{Q}(-1)) de rang 1, d'où un hom \varepsilon : G \longrightarrow \mathbb{G}_{m,K} Comme \mathbb{Q}(-1) est de ~~degré~~ poids 2, on aura \boxed{\varepsilon(y(\lambda)) = \lambda^{2}}

c) Supposons que sur le foncteur F il y ait une filtration fonctorielle, compatible avec gr. Comment l'expliciter ? On considère F' = \mathrm{Gr}(F)

c'est un autre foncteur fibre, mais gradué, donc défini par un torseur P sous G, et F en termes de F' par torseur P' sous G'. Supposons que sur une extension K' de K, on puisse trouver un isom F \simeq F' compatible avec les filtrations, et induisant l'identité sur les gradués associés. [Ex S = \operatorname{Spec} k, k de car. nulle, F = T_{\mathrm{DR}} avec filtration canonique ; ça marche aussi si S est un préschéma régulier de car. nulle…]. Alors il y a un sous-torseur canonique Q de P , de groupe H le sous-groupe de G des automorphismes compatibles avec filtration et induisant l'identité sur le gradué, et de Q' de P', groupe H' ! On remarque que H, H' sont unipotents. Ainsi, F se déduit canoniquement du foncteur gradué F' [graduation définie par \mathbb{G}_{m,K} \xrightarrow{\ \alpha\ } G'] à l'aide d'un torseur Q' sous le groupe unipotent H(\alpha) de G' défini par \alpha comme on pense.

expliciter la construction de H(\alpha) note entourée en marge gauche

13) Relation avec le groupe de ~~Galois~~ Mumford-Tate.

Les structures de Hodge polarisables forment une \otimes-catégorie semi-simple. Toute sous-\otimes-catégorie de type fini est « définie » par un groupe réd. sur \mathbb{Q}. Soit (V, V_{0}, (V^{pq})) une structure de Hodge. la dernière ligne, sous un trait horizontal au bas du feuillet, en partie hors du cadre de la numérisation : « avec i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to G_{\mathbb{C}} satisfaisant i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda) = i(\lambda) central, i_{2}(\lambda) = \overline{i_{1}(\lambda)} », suivie d'une ligne coupée

Considérons \Gamma = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}}(V_{0}), groupe algébrique sur \mathbb{Q}, et les deux homs i_{1}, i_{2} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \longrightarrow \Gamma_{\mathbb{C}} définissant la bigraduation de V i(\lambda, \mu) \text{ est } \lambda^{p}\mu^{q} \text{ sur } V^{pq} au-dessus de la formule, un début biffé, lu i_{1}(\lambda) Soit G le plus petit sous-groupe algébrique de \Gamma ~~tel~~ que G_{\mathbb{C}} contienne \operatorname{Im} i_{1}, \operatorname{Im} i_{2} ; ~~Alors~~ c'est aussi le sous-groupe algébrique de \Gamma_{\mathbb{C}} engendré par les i_{\sigma}, \sigma parcourant les automorphismes de \mathbb{C}. C'est un groupe algébrique réductif, appelé groupe de Mumford-Tate de la structure de Hodge. ~~représentation de G M sur \mathbb{Q},~~ un passage de deux lignes et demie, encadré et barré de boucles Si \Sigma est une opération tensorielle sur un module, de sorte que G opère sur \Sigma(V_{0}), on voit que les éléments de \Sigma(V_{0}) invariants sous G ~~sont~~ sont ceux qui sont invariants par les homs i_{1}, i_{2}, i.e. qui sont de bidegré 0,0. Cela permet de voir que

le « groupe de Galois », au sens structures de Hodge, de (V, V_{0}, (V^{pq})), s'identifie à G.

Supposons maintenant que V provienne d'un motif M, engendrant une \otimes-catégorie de motifs \mathcal{C}_{0}. On a alors \mathcal{C}_{0} \to \mathcal{C}, donc G \to G_{0}, où G_{0} est le groupe de Galois motivique (G_{0} \subset \Gamma). La conjecture de Hodge s'interprète en disant que G = G_{0} !

14) Structure de positivité le paragraphe 14) s'arrête sur son titre ; le reste du feuillet est vierge. C'est la dernière page de sa pagination 1 à 17

Motifs

le titre est de sa main, encadré, en haut à droite du feuillet 20, qui porte une table en dix-neuf points, sur une feuille dont l'autre face est un texte dactylographié. Le feuillet 19 est vierge

La catégorie \mathcal{M}^{+}(X) Variances pour X Cas X = \varprojlim X_{i} Foncteurs T_{\ell} Les \mathbb{Q}_{\ell}(n) La catégorie \mathcal{M}(X) Les foncteurs \underline{\mathrm{Hom}} et R\underline{\mathrm{Hom}} Motifs constants, tordus, et pt. con. Filtrations de \mathcal{M}(X) et \mathcal{M}^{+}(X) Anneaux M^{+}(X) et M(X). Interprétation topologique des niveaux par la filtration canonique variété proj. non singulière. L'hom L(K) \to M^{+}(K) et invariants birationnels fondamentaux. [NB. À généraliser à des coefficients quelconques] Caractérisation géométrique des filtrations (Conj. de Tate) Invariants de Galois et thms de commutation. Cohomologie absolue des motifs. Cas des schémas de type fini. Relation avec les \mathrm{gr} relatifs et le des VA sur un schéma de type fini. Formes positives. Motifs et fonctions L Relation avec la cohomologie de Hodge….

les numéros 1) à 19) sont les siens ; la liste les porte dans l'ordre