Cote n° 12 · pages 1–167 · Lecture modernisée · Généralités (sous-groupes de Galois motiviques) (1964 ?) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1964-[vers 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–167

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier écrit trois fois le même programme, à trois altitudes, puis ouvre les chantiers que ce programme appelle.

1. Pages 1 à 18, « Esquisse d'une théorie des motifs », ses paragraphes 1 à 14 paginés par lui de 1 à 17 (la page 10 est un feuillet blanc, il n'y a pas de paragraphe 11) : les motifs sur un corps, leurs réalisations, le formalisme tannakien, le groupe de Galois motivique, son lien avec le groupe fondamental, le Frobenius, les structures de Hodge, le groupe de Mumford–Tate et la conjecture de Hodge lue comme une égalité de groupes. Le paragraphe 14 n'a que son titre.
2. Page 20, un plan en dix-neuf points, « Motifs ».
3. Pages 22 à 40, les points 1 à 10 de ce plan, un à un : motifs sur une base, opérations, réalisation \(\ell\)-adique, objet de Tate, traces, filtration par le poids et par le « type dimensionnel », motifs constants tordus et anneaux de Grothendieck.
4. Pages 41 à 79, ses paragraphes 11 à 16 : le coniveau, l'homomorphisme \(L(K) \to \mathbf{M}^{+}(K)\) et les invariants birationnels, la caractérisation galoisienne des filtrations, les théorèmes de commutation, le motif de Lie, la cohomologie absolue et sa dualité, les schémas abéliens et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
5. Pages 81 à 94 : deux feuillets isolés, puis ses paragraphes 17 (formes positives) et 18 (fonctions \(L\)).
6. Pages 95 à 121, « Poids et niveaux d'espaces de cohomologie \(\ell\)-adiques » : l'introduction dactylographiée d'un article, son plan, et les notes de travail qui le portent — poids de la cohomologie des variétés singulières ou non propres, faisceaux \(\ell\)-adiques admissibles, cas relatif.
7. Pages 120 et 122, deux feuillets d'un rapport dactylographié sur les travaux de Deligne, qu'on lit ici dans l'ordre 122 puis 120.
8. Pages 124 à 136, « Divers types de \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux ».
9. Pages 138 à 141, motifs lisses et isomotifs lisses sur une base.
10. Pages 142 à 166, la construction abstraite des catégories de motifs : enveloppe pseudo-abélienne, graduation, objet de Tate, niveau, duaux, involutions, formes définies positives.

Les moutures, gardées distinctes

Trois notions reviennent sous plusieurs formes, et la différence est du contenu. Le niveau est défini trois fois : pour les motifs semi-simples sur un corps (page 2), comme filtration par le « type dimensionnel » d'une catégorie qui n'est plus semi-simple (pages 34 et 35), et dans le cadre abstrait (page 154). La positivité est traitée deux fois : par des cônes de formes en poids fixé sur un corps algébriquement clos (pages 85 à 88), puis par des systèmes de « formes fondamentales » sur toutes les variétés à la fois (pages 157 à 166). La conjecture de Tate est dite deux fois : comme l'égalité du groupe de Galois motivique avec l'enveloppe algébrique de l'image de Galois (pages 11 et 12), et comme un théorème du double commutant (pages 55 et 56).

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Quatre liens, qu'aucun feuillet n'énonce, et qui sont de nous.

Les deux feuillets dactylographiés 120 et 122 sont un seul texte. La page 122 s'arrête sur « la théorie des motifs, qui se » ; la page 120 commence par « une sorte de synthèse géométrico-arithmétique des nombreuses théories cohomologiques ». La phrase s'enchaîne, et la page 122, qui est le point 4 du rapport, précède la page 120, qui en est le point 5. Le dernier mot de la page 122 est surchargé à la main, de sorte que ce raccord reste une lecture.

La page 77 contredit la page 81. La première établit que, pour une courbe propre et lisse \(S\) sur \(\mathbb{F}_{p}\) et \(A = J \times S\), le groupe \(H^{2}(S, T_{\ell}(A))\) est \(\operatorname{End}(J) \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \neq 0\) ; la seconde affirme que \(H^{i}(C, A) = 0\) pour \(i \geqslant 2\) et toute courbe propre \(C\) sur un corps fini. C'est la page 77 qui a raison, et la conclusion de la page 81 survit sans l'énoncé fautif.

La page 92 renvoie à son « N° 12 » : c'est le paragraphe 12 des pages 42 à 51, les invariants birationnels fondamentaux, que la page 94 nomme d'ailleurs comme « envisagés dans les notes sur les Motifs ». Et le « 2) » de la page 121 est la suite du « (1) » de la page 115 et du « (2°) » de la page 119.

Enfin, la filtration \(D_{i}\) des pages 34 et 35 est le niveau de la page 2, étendu aux motifs qui ne sont plus semi-simples ; et la lettre \(\xi\) de la page 36 et la lettre \(\zeta\) des pages 43 à 57 désignent le même élément, la classe du motif de Lefschetz.

Les conventions, valables pour tout le dossier

• Le motif de Tate \(\mathbb{Q}(-1)\) est effectif et de poids \(2\) ; on écrit \(M(n) = M \otimes \mathbb{Q}(n)\), de sorte que \(M(-1)\) a le poids de \(M\) augmenté de \(2\). C'est la convention des pages 15, 27 et 31. Dans le cadre abstrait des pages 143 à 166, l'objet de Tate est noté \(\Lambda(-1)\), de degré \(p\) (\(p = 2\) en géométrie) ; les pages 152 à 154 l'écrivent \(\Lambda(1)\) et les pages 155 à 166 \(\Lambda(-i)\) : on a renormalisé les premières.
• \(\xi = \operatorname{cl}\mathbb{Q}(-1)\) est la classe de Lefschetz, qui est aussi l'image de la droite affine ; on l'écrit \(\xi\) partout, là où les pages 43 à 57 écrivent \(\zeta\). La lettre \(\zeta\) est réservée aux fonctions zêta (page 93).
• Les catégories de motifs sont \(\mathcal{M}^{+}(X)\) (effectifs) et \(\mathcal{M}(X)\) ; leurs anneaux de Grothendieck sont notés \(\mathbf{M}^{+}(X)\) et \(\mathbf{M}(X)\), là où les pages écrivent un \(M\) droit.
• On écrit \(H^{i}_{c}\) et \(Rf_{!}\) la cohomologie à supports propres, là où il écrit \(H^{i}_{!}\) et \(R^{i}_{!}f\).
• \(G\) est le groupe de Galois motivique d'une sous-catégorie tensorielle munie d'un foncteur fibre, \(Z_{G}\) son centre, \(y \colon \mathbb{G}_{m} \to G\) le cocaractère des poids, \(i_{1}\), \(i_{2}\) les cocaractères de Hodge, \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m}\) le caractère défini par \(\mathbb{Q}(-1)\).¹
• « Niveau » et « type dimensionnel » désignent la même notion ; on dit niveau. Un motif est bipur de type \(i\) s'il est pur de poids \(i\) et de niveau \(i\).

Ce que le dossier suppose sans l'établir, et ce qu'il annonce sans le faire

Il suppose, presque partout, l'existence d'une catégorie de motifs qui soit tannakienne et semi-simple sur les corps — ce que les conjectures standard donneraient — et, selon les endroits, les conjectures de Weil, de Tate (avec la semi-simplicité de l'action de Galois), de Hodge, et la résolution des singularités. On le rappelle à chaque énoncé qui en dépend.

Il annonce et ne fait pas : le point 19 du plan (la relation avec la cohomologie de Hodge) ; le paragraphe 14 de l'« Esquisse », dont il n'y a que le titre, repris plus tard par les pages 85 et 157 ; la détermination explicite des ensembles \(\sigma_{0}\) et \(\sigma_{1}\) promise page 40 ; la construction du groupe \(H(\alpha)\) (page 16) ; la question de savoir si les \(\operatorname{Ext}\) de la cohomologie absolue sont ceux de la catégorie des motifs (page 62) ; la finitude de \(H^{1}(S, A)(\ell)\) (page 74) et la surjectivité sur les groupes de Brauer (page 78) ; le programme de la page 94 ; les paragraphes 1 à 9 de l'article planifié page 98 ; la composition annoncée page 101 ; le paragraphe 6 de la page 114 ; le cas de la Proposition 1 de la page 132 qu'il laisse « à traiter…!! » ; la question de pureté et le « Pb » de la page 141 ; la vérification de la page 166 ; la « partie algébrique » du pro-motif fondamental (page 58).

1–18

I. Esquisse d'une théorie des motifs (pages 1 à 18)

Dix-sept feuillets de sa main, sur papier à en-tête de l'IHES, paginés par lui de 1 à 17 — la page 10 est un feuillet blanc, de sorte que ses pages 10 à 17 sont les pages 11 à 18 du dossier — sous le titre souligné « Esquisse d'une théorie des motifs ». Rien n'y est daté. C'est le texte le plus ramassé du dossier : un programme dont chaque paragraphe tient en une page.

1–1

Le programme, les motifs effectifs, le motif de Tate (page 1)

Le motif doit remplacer, pour les schémas projectifs et lisses sur un corps \(k\), la cohomologie tout entière : il est à la cohomologie ce que la théorie des modules de type fini sur \(\mathbb{Z}\) est à la théorie des espaces vectoriels sur chacun des corps premiers. Le résumé qu'il en fait tient en trois mots : isomotifs, motifs semi-simples, base ponctuelle.

Il pose d'abord une catégorie \(\mathcal{M}^{+}(k)\) de motifs effectifs sur \(k\), abélienne, semi-simple, munie d'un produit tensoriel, et des foncteurs de réalisation, tous multiplicatifs et fidèles : \(T_{DR}\) et \(T_{\mathrm{Hdg}}\) si \(k\) est de caractéristique nulle, \(T_{B}\) si \(k = \mathbb{C}\), \(T^{\ell}\) pour \(\ell \neq \operatorname{car} k\). La catégorie est graduée, compatiblement au produit tensoriel, et chaque variété \(X\) donne ses composantes \(h^{i}(X)\). En degré \(1\), les motifs effectifs sont les variétés abéliennes à isogénie près : \(X \mapsto \operatorname{Pic}^{0}_{X}\) d'un côté, \(A \mapsto h^{1}(\hat{A})\) de l'autre, où \(\hat{A}\) est la variété duale.² Il note que les motifs de poids \(\geqslant 1\) généralisent les variétés abéliennes, et qu'on garde la « connexion discrète » : pour une extension \(k \to k'\) de corps algébriquement clos, le foncteur de changement de base est pleinement fidèle.

Vient alors le motif \(\mathbb{Q}(-1)\), qu'il appelle « anti-Tate », et la catégorie \(\mathcal{M}(k)\) des motifs, obtenue en inversant \(\mathbb{Q}(-1)\) : elle a, en plus du produit tensoriel et de la graduation, des \(\operatorname{Hom}\) internes. Et elle se caractérise par une propriété universelle. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie pseudo-abélienne munie d'un produit tensoriel. Les foncteurs tensoriels \(\mathcal{M}(k) \to \mathcal{C}\) correspondent aux foncteurs \(T \colon \mathcal{V}(k)^{\circ} \to \mathcal{C}\) sur la catégorie opposée des variétés projectives et lisses qui satisfont la formule de Künneth et pour lesquels l'image \(T(\mathbb{Q}(-1)) = \operatorname{Im} T(\pi)\) du projecteur \(\pi\) de \(h(\mathbb{P}^{1}_{k})\) d'image \(h^{2}(\mathbb{P}^{1}_{k})\) est inversible ; ces \(T\) commutent alors automatiquement aux \(\operatorname{Hom}\). C'est, au mot près, la propriété universelle qu'on attache aujourd'hui aux motifs purs comme source des cohomologies de Weil.³

2–3

Le niveau d'un motif (pages 2 et 3)

Un motif \(M\) est de niveau \(\leqslant i\) s'il est de la forme \(M'(n)\) avec \(M'\) effectif à composantes homogènes de degrés \(\leqslant i\) ; il est purement de niveau \(i\) s'il est de niveau \(\leqslant i\) et n'a aucun sous-motif non nul de niveau \(\leqslant i-1\). Cet \(i\) est unique et positif, et tout motif se décompose de façon unique en somme de motifs purs de niveau \(i\). Si \(M\) est de poids \(n\), les \(i\) qui interviennent ont la parité de \(n\), et \[ M \;=\; \bigoplus_{i} M'_{i}\Big(\frac{i-n}{2}\Big) , \qquad M'_{i} \text{ effectif, pur de poids et de niveau } i . \]⁴

Les motifs de niveau \(\leqslant i\) sont ceux qui, à torsion de Tate près, proviennent de variétés de dimension \(\leqslant i\) : \(h(X)\) est de niveau \(\leqslant \dim X\), et si \(i \leqslant \dim X\), \(h^{i}(X)\) s'injecte dans \(h^{i}(Y)\) pour \(Y\) une section linéaire de dimension \(i\) — c'est le théorème de Lefschetz faible. Si \(i \geqslant n = \dim X\), \(h^{i}(X)\) est de niveau \(\leqslant 2n-i\), par le théorème de Lefschetz fort.

Il en donne l'interprétation \(\ell\)-adique. Soit la « filtration géométrique » \[ \operatorname{Filt}^{j} H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \;=\; \varinjlim_{U}\, \operatorname{Ker}\bigl(H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}) \to H^{i}(\overline{U}, \mathbb{Q}_{\ell})\bigr) , \qquad \operatorname{codim}(X - U) \geqslant j , \] qu'on appelle aujourd'hui la filtration par le coniveau. Il attend que \(\operatorname{Filt}^{j} H^{i}\) soit la réalisation du plus grand sous-motif de \(h^{i}(X)\) de niveau \(\leqslant i - 2j\). Moyennant la résolution des singularités et les conjectures standard, les dimensions des \(\operatorname{Filt}^{j}\) seraient alors indépendantes de \(\ell\), et les quotients successifs seraient des motifs de niveau pur \(i-2j\).⁵ Il ajoute : « parler des invariants birationnels », et, en marge, que les conjectures de Tate et de Hodge pourraient venir ici. Les pages 41 à 51 le feront.

3–5

Les \(\otimes\)-catégories (pages 3 à 5)

Une catégorie abélienne munie d'un produit tensoriel associatif, commutatif et unitaire, avec des \(\operatorname{Hom}\) internes, est dite rigide si \(\check{M} \otimes N \xrightarrow{\sim} \underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\) ; elle est une \(\otimes\)-catégorie sur un corps \(K\) si elle est \(K\)-linéaire à \(\operatorname{Hom}\) de dimension finie, et connexe si \(\operatorname{End}(\mathbf{1}) = K\).⁶

L'exemple universel est la catégorie \(\operatorname{Rep}_{K}(G)\) des représentations de dimension finie d'un schéma en groupes affine \(G\) sur \(K\). Étant donnée une \(\otimes\)-catégorie \(\mathcal{C}\) munie d'un foncteur fibre \(F\) à valeurs dans les \(K\)-espaces vectoriels, on lui associe canoniquement \(G = \underline{\operatorname{Aut}}^{\otimes}(F)\), défini par \(G(A) = \operatorname{Aut}^{\otimes}(F \otimes A)\), et une équivalence \[ (\mathcal{C}, F) \;\simeq\; (\operatorname{Rep}_{K}(G), \text{oubli}) ; \] le foncteur qui envoie \(G\) sur \((\operatorname{Rep}_{K}(G), \text{oubli})\) est pleinement fidèle. \(\mathcal{C}\) est de type fini si et seulement si \(G\) l'est ; en caractéristique nulle, \(\mathcal{C}\) est semi-simple si et seulement si \(G\) est pro-réductif.⁷

On en tire les autres opérations tensorielles — puissances extérieures et symétriques — indépendamment du choix de \(F\). Tout autre foncteur fibre \(F'\) s'obtient en tordant \(F\) par un torseur \(P\) sous \(G\), \(F' = P \times^{G} F\), et son groupe est la forme intérieure \(G' = P \times^{G} G = \operatorname{ad}(P)\). Deux foncteurs fibres sur une catégorie de type fini deviennent isomorphes sur une extension finie. Il peut n'exister aucun foncteur fibre ; mais sur une catégorie de type fini, il « doit pouvoir » s'en trouver un sur une extension finie, et l'on décrit alors \(\mathcal{C}\) intrinsèquement par une gerbe.⁸

5–6

Motifs sur une base, et le groupe de Galois motivique (pages 5 et 6)

Pour \(S\) régulier et connexe, de point générique \(\eta\), on définit \(\mathcal{M}^{+}(S)\) et \(\mathcal{M}(S)\) comme sur un corps, à partir des schémas projectifs et lisses sur \(S\), mais en prenant pour correspondances celles de la fibre générique, \(C(X) := C(X_{\eta})\). Le foncteur \(\mathcal{M}(S) \to \mathcal{M}(\eta)\) est donc pleinement fidèle par construction, et un morphisme \(S' \to S\) de schémas réguliers doit donner un foncteur tensoriel \(f^{*}\) — c'est là que sert la régularité, et il note « à expliciter ».

Tout point géométrique complexe \(\xi\) de \(S\) définit un foncteur fibre de Betti \(F^{B}_{\xi}\) à valeurs dans les \(\mathbb{Q}\)-espaces vectoriels, d'où un groupe pro-algébrique pro-réductif \(G\) sur \(\mathbb{Q}\) qui décrit \(\mathcal{M}(S)\) : c'est le groupe de Galois motivique. En pratique on ne considère qu'une sous-catégorie de type fini, décrite par un groupe algébrique réductif. Il demande comment ces groupes dépendent de \(\xi\) — ils se déduisent les uns des autres par torsion — et note que la question est déjà intéressante pour \(S\) le spectre d'un corps de nombres.

En caractéristique \(p > 0\), il n'existe en général pas de foncteur fibre à valeurs dans \(\mathbb{Q}\) : c'est le contre-exemple de Serre, lié aux courbes elliptiques d'invariant de Hasse nul.⁹ On dispose en revanche d'un foncteur fibre \(\ell\)-adique en tout point géométrique de caractéristique \(\neq \ell\), et donc, sur une sous-catégorie de type fini, d'un foncteur fibre sur une extension finie \(K\) de \(\mathbb{Q}\), d'où un groupe réductif \(G_{K}\).

6–9

Le groupe fondamental (pages 6 à 9)

Un foncteur fibre \(F\) sur \(\mathcal{M}(S)\) et un point géométrique \(\xi\) sont associés si l'on s'est donné un isomorphisme entre la restriction de \(F\) aux motifs effectifs de poids \(0\) et le foncteur fibre en \(\xi\) — c'est une donnée, non une condition. Ainsi le foncteur de Betti sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{C}\), ou le foncteur \(\ell\)-adique ; mais pas le foncteur de De Rham sur un corps de caractéristique nulle.¹⁰

Les représentations continues de dimension finie de \(\pi_{1}(S, \xi)\) sur \(\mathbb{Q}\) — qui se factorisent par un quotient fini — forment une sous-catégorie pleine des motifs, celle qu'on appelle aujourd'hui les motifs d'Artin. D'où un épimorphisme \(G = \varprojlim G_{\alpha} \to \pi_{1}(S, \xi)\), qui se factorise par les composantes connexes : \[ (*) \qquad \varprojlim_{\alpha} G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} \;\twoheadrightarrow\; \pi_{1}(S, \xi) . \] C'est un isomorphisme si les motifs dont le groupe de Galois motivique est fini sont exactement les motifs de niveau et de poids zéro, et c'est ce que donnent les conjectures de Tate, ou de Hodge si \(S\) est de caractéristique générique nulle.¹¹ Enfin, si \(S' \to S\) est un revêtement étale connexe et si \(F\) provient de \(S'\), le groupe \(G'\) s'identifie à l'image inverse dans \(G\) du sous-groupe ouvert de \(\pi_{1}\) correspondant ; d'où il suit que la bijectivité de \((*)\) pour tout \(S\) équivaut à la connexité des groupes \(G\) sur les corps algébriquement clos.

9–13

Le groupe fondamental profini, et le Frobenius (pages 9 à 13)

Supposons \(K \subset \mathbb{Q}_{\ell}\) et \(F\) compatible au foncteur de Tate, c'est-à-dire muni d'un isomorphisme \(F \otimes_{K} \mathbb{Q}_{\ell} \simeq T^{\ell}_{\xi}\). L'action de \(\pi_{1}\) sur \(T^{\ell}_{\xi}\) donne \[ \rho_{\ell} \colon \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow G(\mathbb{Q}_{\ell}) , \] et, \(F\) étant a fortiori associé à \(\xi\), la flèche \(G \to \pi_{1}\) donne \(\eta_{\ell} \colon G(\mathbb{Q}_{\ell}) \to \pi_{1}(S, \xi)\), avec \(\eta_{\ell}\rho_{\ell} = \mathrm{id}\). Pour une sous-catégorie de groupe \(G_{\alpha}\), le quotient \(\pi_{\alpha}\) de \(\pi_{1}\) défini par \(G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0}\) s'insère dans un diagramme commutatif :

\begin{tikzcd}
 & G_{\alpha}/G_{\alpha}^{0} \arrow[dr, dashed] & \\
\pi_{1}(S, \xi) \arrow[r, "\rho_{\ell}"] \arrow[rr, bend right=40, "\text{can.}"'] & G_{\alpha}(\mathbb{Q}_{\ell}) \arrow[r] \arrow[u, dashed] & \pi_{\alpha}
\end{tikzcd}

La conjecture de Tate, avec la semi-simplicité de l'action de Galois, équivaut à dire que, pour \(S\) localisé d'un schéma de type fini sur \(\mathbb{Z}\), \(G_{\alpha}\) est l'enveloppe algébrique — l'adhérence de Zariski — de l'image de \(\rho_{\ell}\).¹²

Sur un corps fini \(k\), le Frobenius est un élément canonique de \(\operatorname{Aut}(\mathrm{id}_{\mathcal{M}(k)})\), donc du centre : il donne \(\mathrm{Frob}_{k,F} \in Z_{G}(\mathbb{Q})\), défini sur \(\mathbb{Q}\), dont l'image dans \(G(\mathbb{Q}_{\ell})\) est celle du Frobenius de \(\pi_{1}(k) \simeq \hat{\mathbb{Z}}\) par \(\rho_{\ell}\). La conjecture de Tate pour \(k\) dit alors que \(G\) est l'enveloppe algébrique du sous-groupe engendré par \(\mathrm{Frob}_{k,F}\) : \(G\) est commutatif, extension de \(\hat{\mathbb{Z}}\) par un tore — un protore pour la catégorie entière. Pour \(S\) quelconque, chaque point fermé \(s\) à corps résiduel fini donne un élément \(f_{s}\) du schéma des invariants \(I_{G} = G /\!\!/ \operatorname{Ad} G\), qui pour \(G\) connexe est \(T/W\) ; c'est la famille des Frobenius, compatible aux flèches \(G \to \pi_{1}\) et \(\pi_{1} \to G(\mathbb{Q}_{\ell})\).

14–16

Structures supplémentaires sur le groupe de Galois motivique (pages 14 à 16)

Le paragraphe qu'il numérote 12 — il n'y a pas de 11 — traduit en homomorphismes de groupes les structures dont la catégorie est munie.

Graduations. Une graduation de type \(M\) du foncteur fibre, compatible au produit tensoriel, est la même chose qu'un homomorphisme \(D_{K}(M) \to G\) du groupe diagonalisable de caractères \(M\) ; elle provient d'une graduation des objets eux-mêmes si et seulement si cet homomorphisme est central.¹³ Ainsi la graduation par le poids donne un cocaractère central \[ y \colon \mathbb{G}_{m,K} \longrightarrow G ; \] si \(F = T_{\mathrm{Hdg}}\), la bigraduation de Hodge donne deux cocaractères qui commutent, \(i_{1}, i_{2} \colon \mathbb{G}_{m} \to G\), avec \(i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda) = y(\lambda)\) — ce qui contient déjà qu'ils commutent. Sur \(\mathbb{C}\) et pour \(F = T_{B}\), on peut prendre \(K = \mathbb{Q}\) ; la décomposition de Hodge donne un isomorphisme de foncteurs fibres \(T_{B} \otimes \mathbb{C} \simeq T_{\mathrm{Hdg}}\), donc \(G^{B}_{\mathbb{C}} \simeq G^{\mathrm{Hdg}}\), et les deux cocaractères vivent dans \(G^{B}_{\mathbb{C}}\) ; ils sont conjugués l'un de l'autre : \[ \overline{i_{1}(\lambda)} = i_{2}(\bar{\lambda}) , \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad i_{2} = \bar{i}_{1} . \]¹⁴

L'objet de Tate. Si \(\mathbb{Q}(-1)\) est dans la sous-catégorie, il définit un caractère \(\varepsilon \colon G \to \mathbb{G}_{m,K}\) et, puisque \(\mathbb{Q}(-1)\) est de poids \(2\), \[ \varepsilon(y(\lambda)) = \lambda^{2} . \]

Filtrations. Soit sur \(F\) une filtration fonctorielle compatible au produit tensoriel. Le gradué \(F' = \operatorname{Gr}(F)\) est un autre foncteur fibre, défini par un torseur \(P\) sous \(G\) ; inversement \(F\) s'obtient de \(F'\) par un torseur \(P'\) sous \(G' = \underline{\operatorname{Aut}}^{\otimes}(F')\). Supposons que, sur une extension \(K'\) de \(K\), il existe un isomorphisme \(F \simeq F'\) compatible aux filtrations et induisant l'identité sur les gradués — c'est le cas pour \(T_{DR}\) muni de sa filtration de Hodge sur un corps de caractéristique nulle. Alors \(P\) contient un sous-torseur canonique \(Q\) sous le groupe \(H\) des automorphismes qui respectent la filtration et induisent l'identité sur le gradué, et de même \(Q' \subset P'\) sous \(H'\) ; \(H\) et \(H'\) sont unipotents. Donc \(F\) se déduit canoniquement du foncteur gradué \(F'\) — graduation définie par \(\alpha \colon \mathbb{G}_{m,K} \to G'\) — et d'un torseur \(Q'\) sous le sous-groupe unipotent \(H(\alpha)\) de \(G'\) défini par \(\alpha\).¹⁵

16–18

Le groupe de Mumford–Tate, et la conjecture de Hodge (pages 16 à 18)

Les structures de Hodge polarisables forment une \(\otimes\)-catégorie semi-simple, dont toute sous-catégorie de type fini est définie par un groupe réductif sur \(\mathbb{Q}\). Soit \((V, V_{0}, (V^{p,q}))\) une structure de Hodge, \(\Gamma = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathbb{Q}}(V_{0})\), et \(i_{1}, i_{2} \colon \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \to \Gamma_{\mathbb{C}}\) les cocaractères de la bigraduation, \(i(\lambda, \mu)\) agissant par \(\lambda^{p}\mu^{q}\) sur \(V^{p,q}\). Le plus petit sous-groupe algébrique \(G \subset \Gamma\) défini sur \(\mathbb{Q}\) tel que \(G_{\mathbb{C}}\) contienne les images de \(i_{1}\) et \(i_{2}\) — c'est aussi le sous-groupe engendré par leurs conjugués sous \(\operatorname{Aut}(\mathbb{C})\) — est réductif : c'est le groupe de Mumford–Tate. Les éléments des constructions tensorielles sur \(V_{0}\) invariants par \(G\) sont exactement ceux de bidegré \((0,0)\) ; \(G\) est donc le groupe de Galois de la structure de Hodge, au sens tannakien.¹⁶

Si \(V\) provient d'un motif \(M\), engendrant une \(\otimes\)-catégorie de motifs \(\mathcal{C}_{0}\), le foncteur de réalisation \(\mathcal{C}_{0} \to \mathcal{C}\) vers les structures de Hodge donne une inclusion du groupe de Mumford–Tate \(G\) dans le groupe de Galois motivique \(G_{0} \subset \Gamma\). La conjecture de Hodge s'interprète alors comme l'égalité \[ G = G_{0} . \]¹⁷

Le paragraphe 14, « Structure de positivité », n'a que son titre, et la page est blanche dessous. La positivité reviendra deux fois : pages 85 à 88, et pages 157 à 166.

20–20

II. Le plan « Motifs » (page 20)

Sur un feuillet séparé, sous le titre encadré « Motifs », dix-neuf points numérotés par lui : la catégorie \(\mathcal{M}^{+}(X)\) ; les variances ; le cas \(X = \varprojlim X_{i}\) ; les foncteurs \(T_{\ell}\) ; les \(\mathbb{Q}_{\ell}(n)\) ; la catégorie \(\mathcal{M}(X)\) ; les \(\underline{\operatorname{Hom}}\) et \(R\underline{\operatorname{Hom}}\) ; motifs constants, tordus ; filtrations de \(\mathcal{M}(X)\) et \(\mathcal{M}^{+}(X)\) ; anneaux \(\mathbf{M}^{+}(X)\) et \(\mathbf{M}(X)\) ; interprétation topologique des niveaux ; l'homomorphisme \(L(K) \to \mathbf{M}^{+}(K)\) et les invariants birationnels fondamentaux ; caractérisation géométrique des filtrations (conjecture de Tate) ; invariants de Galois et théorèmes de commutation ; cohomologie absolue ; relation avec les variétés abéliennes sur un schéma de type fini ; formes positives ; motifs et fonctions \(L\) ; relation avec la cohomologie de Hodge.

C'est la table de ce qui suit. Les points 1 à 10 sont traités un à un aux pages 22 à 40, les points 11 à 16 sont ses paragraphes 11 à 16 des pages 41 à 79, les points 17 et 18 ses paragraphes 17 et 18 des pages 85 à 94. Le point 19 n'est écrit nulle part.

22–40

III. Les motifs sur une base : les points 1 à 10 du plan (pages 22 à 40)

Une rédaction rapide et continue, non paginée, sous le titre « Motifs », en paragraphes numérotés 1) à 10) qui suivent un à un le plan de la page 20. Tout y est au mode du souhait — « on veut que », « on désire que » : c'est un cahier des charges pour une théorie des motifs mixtes sur une base quelconque, écrit à une époque où même les motifs purs sur un corps n'étaient pas construits.¹⁸

22–24

La catégorie, les opérations, les limites (pages 22 à 24)

À tout préschéma noethérien \(X\) est associée une catégorie abélienne \(\mathbb{Q}\)-linéaire \(\mathcal{M}^{+}(X)\) des motifs effectifs, munie d'un produit tensoriel commutatif et unitaire, exact à droite, d'unité \(\mathbf{1}_{X} = \mathbb{Q}_{X}(0)\), et sa catégorie dérivée bornée \(D^{b}(\mathcal{M}^{+}(X))\) avec \(\overset{L}{\otimes}\). Un morphisme \(f \colon X \to Y\) donne un foncteur exact \(f^{*}\), compatible au produit tensoriel ; si \(f\) est de type fini, et propre ou \(Y\) excellent, un foncteur \(Rf_{*}\), avec transitivité et formule de projection \[ Rf_{*}(M \otimes Lf^{*}N) \simeq Rf_{*}(M) \otimes N . \] Il note en marge qu'il faudra aussi tout le formulaire de dualité, avec \(f^{!}\) et \(Rf_{!}\). Pour \(X = \varprojlim X_{i}\), limite filtrante à morphismes de transition affines, \(\mathcal{M}^{+}(X) \simeq \varinjlim \mathcal{M}^{+}(X_{i})\), et \(Rf_{*}\) commute au passage à la limite : on se ramène aux préschémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\).

24–28

La réalisation \(\ell\)-adique, l'objet de Tate, les motifs non effectifs (pages 24 à 28)

Pour \(\ell\) inversible sur \(X\), un foncteur \[ T_{\ell} \colon \mathcal{M}^{+}(X) \longrightarrow \mathcal{M}_{\ell}(X) \] vers les \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux constructibles, compatible au produit tensoriel et aux unités, exact, fidèle mais non pleinement fidèle, compatible à \(f^{*}\), à \(Rf_{*}\), à la formule de Künneth, et qui s'étend aux catégories dérivées.¹⁹

L'objet de Tate \(\mathbb{Q}_{X}(-1)\), compatible au changement de base, se réalise en \(\mathbb{Q}_{\ell}(-1)\), dual du module de Tate de \(\mathbb{G}_{m}\) ; on peut le définir comme \(R^{2}f_{*}(\mathbf{1})\) pour \(f \colon \mathbb{P}^{1}_{X} \to X\). Posant \(\mathbb{Q}(-n) = \mathbb{Q}(-1)^{\otimes n}\), on obtient, pour \(f \colon X \to S\) lisse et projectif à fibres géométriques connexes non vides de dimension relative \(d\), \[ R^{2d}f_{*}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Q}_{S}(-d) , \] et \(R^{2d}f_{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Q}_{S}(-d)\) si \(f\) est seulement quasi-projectif.²⁰ Pour une immersion fermée \(i \colon Y \to X\) de codimension \(d\) de schémas lisses sur \(S\), il demande l'isomorphisme de pureté \[ Ri^{!}(\mathbf{1}_{X}) \simeq \mathbb{Q}_{Y}(-d)[-2d] , \] compatible aux isomorphismes \(\ell\)-adiques connus.²¹

Le foncteur \(M \mapsto M(-1) = M \otimes \mathbb{Q}(-1)\) est pleinement fidèle sur \(\mathcal{M}^{+}(X)\) sans en être une équivalence ;²² on obtient \(\mathcal{M}(X)\) comme pseudo-limite inductive de la suite \(\mathcal{M}^{+} \xrightarrow{\otimes\mathbb{Q}(-1)} \mathcal{M}^{+} \to \cdots\), où \(\mathbb{Q}(-1)\) devient inversible d'inverse \(\mathbb{Q}(1)\). Tout objet de \(\mathcal{M}(X)\) s'écrit \(M_{n}(n)\) avec \(M_{n}\) effectif pour \(n\) assez grand, et \(M_{n}(n) \simeq M_{n+1}(n+1)\) équivaut à \(M_{n+1} \simeq M_{n}(-1)\) ; \(\mathcal{M}^{+}(X)\) est une sous-catégorie pleine épaisse de \(\mathcal{M}(X)\), et \(T_{\ell}\) s'étend de façon unique. Dans \(\mathcal{M}(X)\) il y a des \(\underline{\operatorname{Hom}}\) et des \(R\underline{\operatorname{Hom}}\), adjoints au produit tensoriel et compatibles à \(T_{\ell}\).

29–30

Indépendance de \(\ell\) (pages 29 et 30)

Pour \(\ell\), \(\ell'\) premiers aux caractéristiques résiduelles, on veut que \(T_{\ell}(M)\) soit un faisceau lisse — « constant tordu » — si et seulement si \(T_{\ell'}(M)\) l'est, avec le même rang. Il suffit de le voir sur un corps, et plus généralement, pour \(u \in \operatorname{End}(M)\), \[ \operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = \operatorname{Tr} T_{\ell'}(u) \in \mathbb{Q} , \qquad \det(1 - t\,T_{\ell}(u)) = \det(1 - t\,T_{\ell'}(u)) \in \mathbb{Q}[t] , \] la seconde égalité se déduisant de la première appliquée aux \(\wedge^{n}u\). L'argument est celui qu'on donne aujourd'hui : \(u\) est un élément de \(\operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, M^{\vee} \otimes M)\), la contraction \(M^{\vee} \otimes M \to \mathbf{1}_{X}\) en fait un \(c(u) \in \operatorname{End}(\mathbf{1}_{X})\), et \(\operatorname{Tr} T_{\ell}(u) = T_{\ell}(c(u))\) ; il suffit donc que \(\operatorname{End}(\mathbf{1}_{X}) = \mathbb{Q}\) pour \(X\) connexe.²³

30–33

La filtration par le poids (pages 30 à 33)

Les sous-catégories \(\mathcal{M}^{+}_{i}(X)\) des motifs effectifs à poids \(\leqslant i\) forment une filtration exhaustive,²⁴ dont l'appartenance se vérifie fibre à fibre, en un point fermé suffisant quand \(X\) est de type fini — et, sur un corps fini, par les valeurs absolues du Frobenius. Elle est locale, compatible à \(f^{*}\), et \[ R^{j}f_{!} \colon \mathcal{M}^{+}_{i}(X) \longrightarrow \mathcal{M}^{+}_{i+j}(Y) , \] ce qui est, transcrit, le théorème principal de Weil II.²⁵ Sur un corps algébriquement clos, \(\mathcal{M}^{+}_{i}(k)\) est engendrée, par extensions, par des sous-quotients de motifs \(R^{j}f_{!}(\mathbf{1}_{X})\).²⁶ La filtration est multiplicative, \(\mathcal{M}^{+}_{i} \otimes \mathcal{M}^{+}_{k} \subset \mathcal{M}^{+}_{i+k}\), et \(\mathbb{Q}(-1)\) est de poids \(2\) ; mieux, \(M \in \mathcal{M}^{+}_{i}\) si et seulement si \(M(-j) \in \mathcal{M}^{+}_{i+2j}\). Elle se prolonge donc à \(\mathcal{M}(X)\) en une filtration \((\mathcal{M}_{i}(X))_{i \in \mathbb{Z}}\), avec \(\mathcal{M}^{+}_{i} = \mathcal{M}_{i} \cap \mathcal{M}^{+}\) (nul pour \(i < 0\)), et le produit par \(\mathbb{Q}(-1)\) est une équivalence \(\mathcal{M}_{i} \simeq \mathcal{M}_{i+2}\) ; en revanche \(\mathbb{Q}(-j) \otimes \mathcal{M}^{+}_{i} \subset \mathcal{M}^{+}_{i+2j}\) est stricte en général. Chaque cran est épais dans le suivant, et les quotients \[ \mathcal{G}^{+}_{i}(X) = \mathcal{M}^{+}_{i}(X) / \mathcal{M}^{+}_{i-1}(X) , \qquad \mathcal{G}_{i}(X) = \mathcal{M}_{i}(X) / \mathcal{M}_{i-1}(X) \] sont « fort intéressants ». Le produit par \(\mathbb{Q}(-j)\) donne \(\mathcal{G}_{i} \simeq \mathcal{G}_{i+2j}\), donc chaque \(\mathcal{G}_{i}\) est équivalent à \(\mathcal{G}_{0}\) ou à \(\mathcal{G}_{1}\) selon la parité de \(i\), et \(\mathcal{G}^{+}_{i}\) s'identifie à une sous-catégorie pleine épaisse de \(\mathcal{G}_{i}\).²⁷

34–35

La filtration par le niveau (pages 34 et 35)

La filtration par le « type dimensionnel » \(D_{i}\) est la plus petite filtration épaisse qui majore celle par le poids et qui soit stable par \(\otimes\, \mathbb{Q}(-1)\) : \(D_{i}(\mathcal{M}^{+}(X))\) est formée des objets qui, localement pour la topologie étale, sont extensions d'objets \(M(-j)\) avec \(M \in \mathcal{M}^{+}_{i}(X)\) et \(j \geqslant 0\). Sur les motifs semi-simples sur un corps, c'est exactement le niveau de la page 2 ; la filtration \(D_{i}\) l'étend aux motifs qui ne sont plus semi-simples. Elle est stable par image inverse, et \[ R^{j}f_{!}\bigl(D_{i}\mathcal{M}^{+}(X)\bigr) \subset D_{i+j}\mathcal{M}^{+}(Y) , \] l'analogue pour \(R^{j}f_{*}\) restant marqué d'un point d'interrogation, avec cette seule certitude que \(R^{j}f_{*}\) envoie les poids \(\leqslant i\) dans les poids \(\leqslant i+2j\). Elle est stable par torsion — \(M \in D_{i}\) entraîne \(M(-j) \in D_{i}\), « pas \(D_{i+j}\) !! » —, se prolonge à \(\mathcal{M}(X)\), est multiplicative, \(D_{i} \otimes D_{j} \subset D_{i+j}\), avec \(\mathbb{Q}(-j) \in D_{0}\) pour tout \(j\), et \[ \underline{\underline{\operatorname{Ext}}}^{i}(D_{j}, D_{k}) \subset D_{j+k} . \]²⁸

35–40

Motifs constants tordus, et leurs anneaux (pages 35 à 40)

Soit \(\mathcal{M}^{+}(X)_{\mathrm{sp}}\) la sous-catégorie des motifs effectifs constants tordus — ceux dont la réalisation \(\ell\)-adique est un faisceau lisse, condition locale qui se vérifie sur \(T_{\ell}(M)\) par le point 8 — et de même \(\mathcal{M}(X)_{\mathrm{sp}}\) ; \(M\) est constant tordu si et seulement si \(M(j)\) l'est. Ce sont des sous-catégories abéliennes stables par extensions et par produit tensoriel, et, pour la seconde, par \(\underline{\operatorname{Hom}}\) ; tout objet y est de longueur finie.²⁹ Leur anneau de Grothendieck, muni de ses opérations \(\lambda\), est noté \(\mathbf{M}^{+}(X)\), resp. \(\mathbf{M}(X)\).

Soit \(\xi = \operatorname{cl}\mathbb{Q}_{X}(-1)\). Alors \[ \mathbf{M}(X) = \mathbf{M}^{+}(X)\bigl[\xi^{-1}\bigr] , \] et \(\xi\) n'est pas diviseur de zéro : \(\mathbf{M}^{+}(X)\) est le \(\mathbb{Z}\)-module libre de base les classes d'objets simples, et la multiplication par \(\xi\) y est induite par une injection de l'ensemble \(\Sigma^{+}(X)\) des classes de simples dans lui-même, puisque \(M\) est simple si et seulement si \(M(-1)\) l'est. D'où \(\mathbf{M}^{+}(X) = \mathbb{Z}^{(\Sigma^{+}(X))} \subset \mathbf{M}(X) = \mathbb{Z}^{(\Sigma(X))}\), où \(\Sigma(X)\) est la limite inductive de \(\Sigma^{+}(X)\) par \(e \mapsto \xi e\).

Les objets simples étant purs,³⁰ la partition \(\Sigma^{+}(X) = \bigsqcup_{i} \Sigma^{+}_{i}(X)\) suivant le poids fait de \(\mathbf{M}^{+}(X)\) un anneau gradué, \(\Sigma^{+}_{i}\cdot\Sigma^{+}_{j} \subset \mathbb{Z}^{(\Sigma^{+}_{i+j})}\), où \(\xi\) est de degré \(2\), et de \(\mathbf{M}(X)\) un anneau gradué en tous degrés où \(\xi\) est inversible. La partie de degré \(0\) est \(\mathbf{M}_{0}(X) = \mathbb{Z}^{(\Sigma_{0}(X))}\), avec \(\Sigma_{0}(X) = \varinjlim_{j} \xi^{-j}\Sigma^{+}_{2j}(X)\), et \[ \mathbf{M}^{\mathrm{pair}}(X) = \mathbf{M}_{0}(X)[\xi, \xi^{-1}] , \qquad \mathbf{M}^{\mathrm{impair}}(X) = \mathbf{M}_{1}(X) \otimes_{\mathbf{M}_{0}(X)} \mathbf{M}_{0}(X)[\xi, \xi^{-1}] , \] de sorte que la structure d'anneau gradué de \(\mathbf{M}(X)\) se lit sur l'anneau \(\mathbf{M}_{0}(X)\), le module \(\mathbf{M}_{1}(X)\) et la multiplication \(\mathbf{M}_{1} \otimes \mathbf{M}_{1} \to \mathbf{M}_{2} \simeq \mathbf{M}_{0}\,\xi\).³¹

Les éléments primitifs de poids \(i\) sont ceux qui ne sont pas des multiples de \(\xi\) :³² \[ \sigma_{i}(X) \;=\; \Sigma^{+}_{i}(X) \smallsetminus \bigcup_{\alpha \geqslant 1} \xi^{\alpha}\,\Sigma^{+}_{i-2\alpha}(X) , \qquad \Sigma^{+}_{i}(X) \;=\; \sigma_{i}(X) \sqcup \xi\,\sigma_{i-2}(X) \sqcup \xi^{2}\sigma_{i-4}(X) \sqcup \cdots \] Un simple \(\xi^{a}s\) avec \(s \in \sigma_{k}\) est de poids \(k + 2a\) et de niveau \(k\). La filtration par le niveau se lit donc ainsi : \[ D_{i}\bigl(\Sigma^{+}(X)\bigr) \cap \Sigma^{+}_{j}(X) \;=\; \bigsqcup_{\substack{k \leqslant \inf(i,j) \\ k \equiv j \ (2)}} \xi^{(j-k)/2}\,\sigma_{k}(X) , \qquad D_{i} \smallsetminus D_{i-1} \;=\; \bigsqcup_{a \geqslant 0} \xi^{a}\,\sigma_{i}(X) , \] et \(\mathbf{M}^{+}(X)\), \(\mathbf{M}(X)\) avec leurs deux filtrations et la multiplication par \(\xi\) sont entièrement déterminés, comme groupes, par la famille \((\sigma_{i}(X))_{i \geqslant 0}\).³³ Pour la structure multiplicative il faut de plus les produits \(\sigma_{i} \times \sigma_{j} \to \mathbb{Z}^{(\cdots)}\). Il promet d'expliciter plus bas \(\sigma_{0}(X)\) et \(\sigma_{1}(X)\) ; il ne le fait pas.

Restent les opérations. Pour la dualité, \(\mathbb{Q}(-i) \otimes \bigl[\mathcal{M}^{+}_{i}\bigr]^{\vee} \subset \mathcal{M}^{+}_{i}\), et \(x \mapsto \check{x}\,\xi^{i}\) est une involution de \(\mathbf{M}_{i}\) ; la théorie devrait montrer qu'elle est l'identité, c'est-à-dire que \(\check{x} = \xi^{-i}x\) sur la partie de poids \(i\).³⁴ Les opérations \(\lambda^{i}\) devraient se déterminer en termes de groupes finis d'opérateurs, tels les groupes symétriques. La page 40 s'arrête là, sa moitié basse blanche.

41–59

IV. Coniveau, invariants birationnels, caractérisations galoisiennes (pages 41 à 59)

La même rédaction continue, avec ses paragraphes 11 à 15, dont les titres soulignés reprennent les points 11 à 15 du plan.

41–42

11) Le coniveau (pages 41, 42 et 57)

Soit \(X\) lisse de dimension \(n\) sur un corps algébriquement clos. La filtration de \(X\) par la codimension donne la suite spectrale du coniveau \[ E_{1}^{pq} = \bigoplus_{x \in X^{(p)}} H^{q-p}(x, \mathbb{Q}_{\ell})(-p) \;\Longrightarrow\; H^{p+q}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) , \] où \(X^{(p)}\) est l'ensemble des points de codimension \(p\) et \(H^{*}(x) = \varinjlim_{U} H^{*}(U)\) sur les ouverts denses de \(\overline{\{x\}}\) ; les termes sont nuls hors du secteur \(0 \leqslant p \leqslant q\), et la marge souligne qu'on utilise le terme \(E_{1}\), non \(E_{2}\).³⁵ Elle provient d'une suite spectrale de motifs, au moins à partir de \(E_{2}\) — sinon il faudrait des ind-motifs, ou des filtrations finies convenables par des fermés. Si \(X\) est projective et lisse — « hypothèse essentielle ! » —, le cran \(\geqslant p\) de la filtration aboutissement de \(H^{i}\) est de niveau \(\leqslant i-2p\) : c'est l'image, par des morphismes de Gysin, de la cohomologie de degré \(i-2p\) de variétés de dimension \(n-p\), tordue par \(\mathbb{Q}(-p)\). Le feuillet 57, barré et hors de sa place, reprend ce point pour \(i = n\) : les \(\operatorname{gr}^{p}H^{n}\) sont de niveau pur \(n-2p\) et de poids \(n\).³⁶

Un encadré de la page 42 ajoute l'observation qui ouvre le paragraphe suivant : si \(U\) est un ouvert dense de \(X\), \(H^{i}(X) \to H^{i}(U)\) est un isomorphisme modulo \(D_{i-1}\) ; les deux ont donc la même composante dans \(D_{i}/D_{i-1}\), et c'est un invariant birationnel.³⁷

42–51

12) L'homomorphisme \(L(K) \to \mathbf{M}^{+}(K)\) et les invariants birationnels (pages 42 à 51)

Soit \(K\) un corps et \(L(K)\) le groupe engendré par les classes des \(K\)-schémas de type fini, soumis aux relations de découpage \([X] = [Z] + [X \smallsetminus Z]\) ; c'est un anneau pour le produit, l'anneau de Grothendieck des variétés. L'homomorphisme d'anneaux \[ \sigma \colon L(K) \longrightarrow \mathbf{M}^{+}(K) , \qquad [X] \longmapsto \sum_{i} (-1)^{i}\operatorname{cl} H^{i}_{c}(X, \mathbb{Q}(0)) , \] où \(H^{i}_{c}(X) = R^{i}f_{!}(\mathbb{Q}(0))\) pour \(f \colon X \to \operatorname{Spec} K\), est ce qu'on appelle aujourd'hui la caractéristique d'Euler motivique. Ses composantes de poids sont des motifs virtuels, et leurs rangs les « nombres de Betti virtuels » « demandés par Serre ».³⁸ La droite affine a pour image \(\xi = \operatorname{cl}\mathbb{Q}(-1)\) : c'est le motif de Lefschetz, qui élève la dimension d'une unité.

Filtrons \(L(K)\) par la dimension. Une variété de dimension \(\leqslant i\) a ses \(H^{i+k}_{c}\) dans \(\xi^{k}\mathcal{M}^{+}_{(i-k)}\), d'où \[ L_{(i)}(K) \longrightarrow D'_{i} = \mathbf{M}^{+}_{(i)} + \xi\,\mathbf{M}^{+}_{(i-1)} + \xi^{2}\mathbf{M}^{+}_{(i-2)} + \cdots \] et un homomorphisme naturel \[ \operatorname{gr}_{n} L(K) \longrightarrow \mathbb{Z}^{(\sigma_{n} \sqcup \xi\sigma_{n-1} \sqcup \xi^{2}\sigma_{n-2} \sqcup \cdots)} , \] où \(\xi^{a}\sigma_{n-a}\) est de poids \(n+a\) et où les \(\sigma_{k} = \sigma_{k}(K)\) sont les ensembles d'éléments primitifs des pages 39 et 40.³⁹ À \(X\) de dimension \(\leqslant n\) est ainsi attaché un invariant \(\gamma_{n}(X) + \xi\gamma_{n-1}(X) + \xi^{2}\gamma_{n-2}(X) + \cdots\), avec \(\gamma_{j}(X) \in \mathbb{Z}^{(\sigma_{j}(K))}\). On l'obtient à partir des composantes de poids pur \(\beta_{k}(X)\) de Serre pour \(k \geqslant n\) : un tel \(\beta_{k}\) s'écrit \(\xi^{k-n}\beta'_{2n-k}\) avec \(\beta'_{2n-k}\) de poids \(2n-k\), et \(\gamma_{2n-k}\) est, au signe \((-1)^{k}\) près, la composante primitive de \(\beta'_{2n-k}\). Par construction ce sont des invariants \(n\)-birationnels. Si \(X\) est projective et lisse, \(\beta'_{j} = \operatorname{cl}H^{j}(X)\) pour \(0 \leqslant j \leqslant n\), par le théorème de Lefschetz fort, et \(\gamma_{j}(X)\) est la composante primitive — au sens du niveau — de \(H^{j}(X)\).⁴⁰

La même chose se dit mieux avec des objets. Pour \(X\) lisse de dimension \(n\) et \(i \leqslant n\), et pour tout ouvert dense \(U\), la flèche \(H^{i}(X) \to H^{i}(U)\) est injective modulo \(D_{i-2}\) et bijective modulo \(D_{i-1}\) : on obtient un invariant birationnel dans \(D_{i}/D_{i-1}\), qui provient de \(\mathcal{M}^{+}_{(i)}\), d'où un élément de \(\mathbb{Z}^{(\sigma_{i}(K))}\) : c'est \(\gamma_{i}(X)\). Mieux encore, \(K\) étant parfait, soit \[ \Gamma^{i}(X) \subset \varinjlim_{U} H^{i}(U, \mathbb{Q}(0)) \] le plus grand sous-motif bipur de type \(i\) ; c'est un motif semi-simple, fonctoriel en \(X\) — ou en son corps de fonctions —, nul pour les morphismes non dominants et injectif pour les morphismes dominants, parce que \(H^{i}(X) \to H^{i}(X')\) est injectif pour \(X' \to X\) propre et surjectif entre variétés lisses.⁴¹

Suivent des questions de « fidélité » de ce foncteur. Si deux corps de fonctions \(R\), \(R'\) ont des systèmes \((\Gamma_{i})\) isomorphes, chacun s'immerge-t-il dans une extension transcendante pure de l'autre ? Deux exemples précisent la question :

1. si deux courbes \(C\), \(C'\) lisses, complètes, connexes sur \(K\) algébriquement clos ont des jacobiennes reliées par un homomorphisme à noyau fini, existe-t-il une application rationnelle dominante \(C' \times \mathbb{A}^{N} \dashrightarrow C\) ?
2. si les \(\Gamma_{i}\) sont nuls pour \(i > 0\) — par exemple si la cohomologie d'une variété projective lisse est entièrement algébrique —, la variété est-elle unirationnelle ? Et pour une surface — « Cast. ok ! ».

Et une remarque : si l'on néglige les variétés réglées, le seul invariant cohomologique qui reste est \(\Gamma_{n}\) ; a-t-on un isomorphisme entre \(\operatorname{gr}_{n}L(K)\), modulo le sous-groupe « réglé » \(\xi\operatorname{gr}_{n-1} L(K)\), et \(\mathbb{Z}^{(\sigma_{n}(K))}\) ? En particulier, si \(\Gamma_{n}(X) = 0\), \(X\) est-elle réglée ? Pour une surface dont le \(H^{2}\) est algébrique, la marge répond : « Non en car. \(p > 0\) », avec \(E \times E\) pour \(E\) supersingulière.

Les trois questions ont une réponse négative, et en caractéristique nulle aussi.⁴² C'est ce que la théorie des invariants birationnels stables a précisé depuis.⁴³

La page 50 dresse, pour \(X\) lisse purement de dimension \(n\), les bornes que ces calculs utilisent : \(H^{i}_{c}(X)\) est de poids \(\leqslant i\) et de niveau \(\leqslant n\), et mieux \(H^{n+k}_{c}(X) \in \xi^{k}\mathcal{M}^{+}_{(n-k)}\) ; \(H^{i}(X)\) est dans \(D_{i}\) et dans \(D_{n}\), et mieux dans \(\mathcal{M}^{+}_{(i)} + \xi\mathcal{M}^{+}_{(i-1)} + \cdots\) si \(i \leqslant n\), dans \(\xi^{i-n}[\mathcal{M}^{+}_{(2n-i)} + \xi\mathcal{M}^{+}_{(2n-i-1)} + \cdots]\) si \(i \geqslant n\) ; enfin les poids de \(H^{i}(X, M)\), pour \(M\) pur de poids \(\rho\), sont compris entre \(\rho + i\) et \(\rho + \inf(2i, 2n)\).⁴⁴ Le feuillet 51, barré, demande si \(L_{i}(K)/L_{i-1}(K) \to \mathbb{Z}^{(\sigma_{i}(K))}\) est injectif ou surjectif, au moins modulo torsion, et commence par observer que la classe de \(X\) dans \(L(K)\) détermine l'Albanese à isogénie près d'une surface.

52–54

13) Caractérisation galoisienne des filtrations (pages 52 à 54)

Les classes de faisceaux \(\ell\)-adiques constants tordus qui proviennent de motifs forment un anneau \(\mathbf{M}^{+}_{\ell}(X)\), quotient de \(\mathbf{M}^{+}(X)\). Pour \(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), la surjection \(\mathbf{M}^{+}(X) \to \mathbf{M}^{+}_{\ell}(X)\) est bijective si deux motifs constants tordus simples non isomorphes ont des réalisations sans facteur simple commun — ce que donnent les conjectures de Tate. Les filtrations se lisent alors sur le Frobenius. Pour \(E\) constant tordu sur \(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\) :

• \(\operatorname{cl}(E) \in \mathbf{M}_{i}(X)\) si et seulement si, en tout point fermé \(x\), les valeurs propres de Frobenius sur \(T_{\ell}(E)_{x}\) sont de valeur absolue \(N(x)^{i/2}\) — ce sont, dit la marge, les conjectures de Weil ;
• pour \(E\) simple, \(\operatorname{cl}(E) \in \mathbf{M}^{+}(X)\) si et seulement si, en tout point fermé, le polynôme caractéristique du Frobenius géométrique \(\mathrm{Frob}_{x}^{-1}\) est à coefficients entiers, c'est-à-dire si ses valeurs propres sont des entiers algébriques — « Conjectures de Tate ! ».⁴⁵

Pour le niveau, prenons \(E\) homogène de degré \(\alpha\). Pour \(i = 0\) : \(E \in D_{0}\) si et seulement si \(\alpha = 2\beta\) est pair et \(E(\beta)\) effectif, c'est-à-dire si les \(\rho(x)/N(x)^{\beta}\) sont des entiers algébriques, \(\rho(x)\) parcourant les valeurs propres de \(\mathrm{Frob}_{x}^{-1}\) ; ce sont alors des racines de l'unité, et \(\pi_{1}(X)\) opère sur \(T_{\ell}(E)(\beta)\) à travers un quotient fini — énoncé qui, note-t-il, ne se généralise guère par une filtration de \(\pi_{1}\), comme on le voit sur le spectre d'un corps fini.⁴⁶ Pour \(i \geqslant 1\) : soit \(\xi^{\beta}\) la plus grande puissance telle que \(E(\beta)\) soit de degré \(i-1\) ou \(i\) selon la parité de \(\alpha\) ; on demande \(E(\beta)\) effectif. Enfin, pour \(E\) semi-simple, la composante \(E_{i}\) de niveau \(i\) se caractérise « de façon purement combinatoire en termes de Frobenius » ; le bas de la page 54, qui le montrait sur un corps fini, est barré.

55–58

14) Invariants de Galois, théorèmes de commutation, et le motif de Lie (pages 55, 56 et 58)

Soit \(X\) propre et lisse sur un corps \(K\) de type fini, \(\Pi = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\). Le groupe \(H^{2i}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))\) est de poids \(0\) et peut avoir des invariants ; la conjecture de Tate dit \[ \mathcal{A}^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{2i}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{\Pi} , \] \(\mathcal{A}^{i}(X)\) désignant les cycles de codimension \(i\) définis sur \(K\), modulo l'équivalence homologique. Il la précise ainsi. L'anneau \(\mathcal{U}^{i}(X)\) des correspondances algébriques qui opèrent sur \(H^{i}\) est semi-simple — « via Hodge », c'est-à-dire par la conjecture standard de type Hodge — et l'on veut

1. que \(\mathcal{U}^{i}(X) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) soit le commutant de \(\Pi\) dans \(\operatorname{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{\ell}))\) ;
2. que l'algèbre enveloppante de \(\Pi\) soit le commutant de \(\mathcal{U}^{i}(X)\) — de sorte que l'action de \(\Pi\) est semi-simple.

Le second énoncé, joint à l'injectivité de \(\mathcal{U}^{i}(X) \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \to \operatorname{End}(H^{i})\), entraîne tout : c'est le théorème du double commutant, l'algèbre semi-simple \(\mathcal{U}^{i} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) étant égale à son bicommutant.⁴⁷ Ce qu'on caractérise ainsi, note-t-il, ce ne sont ni les classes algébriques elles-mêmes ni l'image de \(\Pi\), mais seulement les \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-espaces qu'elles engendrent et l'algèbre enveloppante. Passant à la limite sur les extensions finies de \(K\), on remplace \(\Pi\) par l'image \(\mathfrak{G}_{\ell}\) de Galois et les cycles de \(X\) par ceux de \(X_{\overline{K}}\). Et une question, restée ouverte sous cette forme : comment caractériser l'image de \(\mathfrak{G}_{\ell}\) dans \(\operatorname{End}(H^{i})\) ? Ce doit être une algèbre de Lie réductive.⁴⁸

La page 58 tire de là un objet. Pour un motif \(M\) sur \(K\), semi-simple, l'image de \(\mathfrak{G}_{\ell}\) dans \(\operatorname{End}(M_{\ell}) = \check{M}_{\ell} \otimes M_{\ell}\) doit provenir d'un motif \(\mathfrak{G}_{M} \subset \check{M} \otimes M\), indépendant de \(\ell\), qui est un motif en algèbres de Lie ; quand \(M\) grandit on obtient un pro-motif en algèbres de Lie canonique, qu'il appelle le pro-motif fondamental, et qui doit pouvoir se construire à partir de la seule catégorie des motifs avec ses structures habituelles.⁴⁹ Quelle en est la « partie algébrique » ? La fin de la page, sur le cas d'un corps fini, est barrée et ne se lit qu'en fragments.

59–59

15) La cohomologie absolue : les exigences (page 59)

En plus des foncteurs relatifs \(R^{i}f_{*}\), il faut des foncteurs « absolus » \(H^{i}(X, M)\), provenant d'un foncteur de catégories triangulées \[ R\Gamma_{X} \colon D^{b}(\mathcal{M}^{+}(X)) \longrightarrow D^{b}(\mathrm{Ab}) , \] qui commutent aux limites projectives filtrantes de préschémas à morphismes de transition affines — ce qui ramène au cas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) — et satisfont la transitivité : pour \(f \colon X \to Y\) de type fini, \(R\Gamma_{X} = R\Gamma_{Y} \circ Rf_{*}\), d'où une suite spectrale de Leray \(H^{p}(Y, R^{q}f_{*}M) \Rightarrow H^{p+q}(X, M)\).⁵⁰

61–79

V. Cohomologie absolue, dualité, et points rationnels des variétés abéliennes (pages 61 à 79)

La suite du paragraphe 15, puis le paragraphe 16. Les pages impaires 65 à 71 et la page 80 sont des épreuves d'EGA IV sur lesquelles il a écrit au verso, et n'entrent pas ici.

61–64

Les propriétés demandées (pages 61 à 64)

On veut \(H^{i}(X, M) = 0\) pour \(i < 0\) et \(H^{0}(X, M) = \operatorname{Hom}( \mathbb{Q}_{X}(0), M)\). Rien n'empêche d'introduire des hyper-Ext, \[ \operatorname{Ext}^{i}(X ; M, N) = \mathbb{H}^{i}\bigl(X, R\underline{\operatorname{Hom}}(M, N)\bigr) , \] avec \(\operatorname{Ext}^{0} = \operatorname{Hom}\), et l'on espère que \(\operatorname{Ext}^{1}\) classe les extensions de \(M\) par \(N\) ; on aimerait que les \(\operatorname{Ext}^{*}\) soient ceux de la catégorie des motifs, mais il a des doutes pour \(i > 0\), peut-être faut-il passer aux Ind-motifs. Il note les suites spectrales \(H^{p}(X, H^{q}(M^{\bullet})) \Rightarrow \mathbb{H}^{*}(X, M^{\bullet})\) et \(H^{p}(X, \underline{\operatorname{Ext}}^{q}(M,N)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{*}(X ; M, N)\).⁵¹

Puis la comparaison \(\ell\)-adique : les flèches \[ H^{i}(X, M) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow H^{i}(X, T_{\ell}(M)) , \qquad \operatorname{Ext}^{i}(X ; M, N) \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow \operatorname{Ext}^{i}(X ; T_{\ell}M, T_{\ell}N) \] doivent être des isomorphismes pour \(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), et \(H^{*}(X, M)\) un \(\mathbb{Q}\)-espace de dimension finie. En particulier, sur un corps algébriquement clos, \(H^{i}(k, M) = 0\) pour \(i > 0\) et tout motif.⁵² Le théorème de Tate, qu'il appelle ainsi, se reformule alors : pour \(X\) projective et lisse sur \(k\) algébriquement clos, \[ a^{i}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \;\simeq\; \operatorname{Im}\bigl[ H^{2i}(X, \mathbb{Q}(i)) \longrightarrow H^{2i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) \bigr] , \] où \(a^{i}(X)\) est le groupe des classes de cycles de codimension \(i\).⁵³ Pour \(j \neq 2i\), l'image de \(H^{j}(X, \mathbb{Q}(i))\) dans la cohomologie \(\ell\)-adique est nulle, pour une raison de poids.

Et, pour \(k = \overline{\mathbb{F}}_{p}\), une table : \[ H^{i}(X, \mathbb{Q}(j)) = \begin{cases} 0 & i \neq 2j, 2j+1 , \\ a^{j}(X) \otimes \mathbb{Q} & i = 2j \quad (\text{canoniquement}) , \\ a^{j}(X) \otimes \mathbb{Q} & i = 2j+1 \quad (\text{non canoniquement}) . \end{cases} \] La page 70 la justifie comme limite sur les extensions finies de \(\mathbb{F}_{p}\) (voir plus bas). Elle n'est pas compatible, telle quelle, avec l'annulation demandée à la page 63 : sur un corps algébriquement clos, \(H^{i}(k, -) = 0\) pour \(i > 0\) et la suite spectrale de Leray donneraient \(H^{2j+1}(X, \mathbb{Q}(j)) = \operatorname{Hom}(\mathbf{1}, R^{2j+1}f_{*}\mathbb{Q}(j)) = 0\), puisque \(R^{2j+1}f_{*}\mathbb{Q}(j)\) est de poids \(1\).⁵⁴

66–68

La dualité absolue (pages 66 et 68)

Soit \(X\) régulier de dimension \(n\), de type fini sur \(\mathbb{Z}\). Le motif dualisant est \(\mathbb{Q}(n)[2n+1]\), et pour deux motifs constructibles \(M\), \(M^{*} = R\underline{\operatorname{Hom}}(M, \mathbb{Q}(n))\), les complexes \(R\Gamma_{X}(M)\) et \(R\Gamma_{c}(X, M^{*})\) doivent être duaux ; les coefficients étant rationnels, sans Tor, cela revient à \[ H^{i}(X, M) \ \text{dual de}\ \operatorname{Ext}_{c}^{2n+1-i}(X ; M, \mathbb{Q}(n)) , \qquad H^{i}_{c}(X, M) \ \text{dual de}\ \operatorname{Ext}^{2n+1-i}(X ; M, \mathbb{Q}(n)) , \] et les deux coïncident si \(X\) est propre sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\). C'est la forme motivique de la dualité d'Artin–Verdier : pour \(n = 1\), le dualisant \(\mathbb{Q}(1)[3]\) est \(\mathbb{G}_{m}[2]\) à coefficients rationnels. Par la dualité relative, il la ramène au cas \(X = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}\), puis au cas \(X = \operatorname{Spec}\mathbb{F}_{p}\), où il s'agit de la dualité entre \(H^{i}(\mathbb{F}_{p}, M)\) et \(H^{1-i}(\mathbb{F}_{p}, M^{*})\) par le cup-produit et \(H^{1}(\mathbb{F}_{p}, \mathbb{Q}(0)) \simeq \mathbb{Q}\) ; il suffit de la vérifier \(\ell\)-adiquement, où c'est la trivialité que \(H^{i}(\hat{\mathbb{Z}}, V)\) et \(H^{1-i}(\hat{\mathbb{Z}}, V^{*})\) sont duaux — invariants et coinvariants d'un seul endomorphisme.⁵⁵

70–72

Sur un corps fini : la suite de Hochschild–Serre et les poids (pages 70 et 72)

Soit \(X\) projective, lisse, géométriquement connexe sur \(k\) fini à \(q\) éléments, \(\pi = \operatorname{Gal}(\overline{k}/k)\). La suite de Hochschild–Serre donne \[ 0 \to H^{i-1}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))_{\pi} \to H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) \to H^{i}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\pi} \to 0 , \] et comme \(H^{m}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))\) est pur de poids \(m - 2j\), les invariants et coinvariants ne peuvent être non nuls qu'en poids \(0\) : \(H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(j)) = 0\) sauf pour \(i = 2j\) et \(i = 2j+1\). Pour \(i = 2j\) on trouve \(H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))^{\pi}\), qui est \(a^{j}(X) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) par la conjecture de Tate ; pour \(i = 2j+1\), les coinvariants \(H^{2j}(\overline{X}, \mathbb{Q}_{\ell}(j))_{\pi}\), qui s'identifient aux invariants si l'action est semi-simple, donc encore à \(a^{j}(X) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\).⁵⁶ Passant à la limite sur les extensions \(k_{n}\), on obtient \(0\) hors des degrés \(2j\), \(2j+1\), et \(a^{j}(\overline{X}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) dans les deux, non canoniquement pour le second : c'est la table de la page 64.

La page 72 fait le compte des poids pour \(S\) lisse de dimension \(n\), de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\), et \(M\) pur de poids \(\rho\). Dans la suite de Hochschild–Serre, \(H^{i-1}(\overline{S}, \overline{M}_{\ell})_{\pi}\) a ses poids entre \(\rho + i - 1\) et \(\rho + \inf(2i-2, 2n)\), et \(H^{i}(\overline{S}, \overline{M}_{\ell})^{\pi}\) entre \(\rho + i\) et \(\rho + \inf(2i, 2n)\) ; il faut le poids \(0\) dans l'un des deux intervalles. D'où la condition nécessaire, pour que \(H^{i}(S, M_{\ell}) \neq 0\) : \[ -2i \leqslant \rho \leqslant 1 - i \quad (i \geqslant 1) , \qquad \rho = 0 \quad (i = 0) . \]⁵⁷

73–79

16) Points rationnels et cohomologie des variétés abéliennes (pages 73 à 79)

Soit \(A_{K}\) une variété abélienne sur un corps \(K\) de type fini sur son corps premier. \(K\) est le corps des fonctions d'un schéma \(S\) intègre et régulier, de type fini sur \(\mathbb{Z}\), sur lequel \(A_{K}\) s'étend en un schéma abélien \(A\), et \(A_{K}(K) = A(S)\) est de type fini par le théorème de Mordell–Weil–Néron–Lang. Le motif \[ T_{\mathrm{mot}}(A) = R^{1}f_{*}\mathbb{Q}_{A}(1) , \] pour \(f \colon A \to S\), est pur de poids \(-1\) ; il redonne \(A_{K}\) à isogénie près, par les conjectures de Tate.⁵⁸ On attend donc \[ A(S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \;\simeq\; H^{1}(S, T_{\mathrm{mot}}(A)) , \] avec \(H^{0}(S, T_{\mathrm{mot}}(A)) = 0\) pour des raisons de poids.⁵⁹ La suite de Kummer \(0 \to {}_{\ell^{\nu}}A \to A \to A \to 0\) donne, par passage à la limite, \[ 0 \longrightarrow A(S) \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \longrightarrow H^{1}(S, V_{\ell}A) \longrightarrow V_{\ell}\bigl(H^{1}(S, A)\bigr) \longrightarrow 0 , \] et le résultat escompté équivaut vraisemblablement à \[ H^{1}(S, A)(\ell) \ \text{fini pour } \ell \text{ premier aux caractéristiques résiduelles de } S . \] C'est vrai par Lang pour \(S = \operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q}\) ; en général, c'est la finitude de la composante \(\ell\)-primaire du groupe de Tate–Šafarevič.⁶⁰

Pour \(S\) de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\), les suites de Leray pour \(S \to \operatorname{Spec}\mathbb{F}_{p}\) et de Kummer, jointes à la suite \(0 \to A^{\mathrm{tr}} \to R^{0}f_{*}A \to M \to 0\) où \(A^{\mathrm{tr}}\) est la trace de \(A\) sur \(\mathbb{F}_{p}\) et \(M = H^{0}(\overline{S}, \overline{A})/ H^{0}(\overline{\mathbb{F}}_{p}, \overline{A}^{\mathrm{tr}})\) un \(\pi\)-module de type fini sur \(\mathbb{Z}\), donnent le diagramme qu'il nomme (D) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & H^{0}(S, A) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} \arrow[r] \arrow[d] & H^{1}(S, {}_{\ell^{\infty}}A) \arrow[r] \arrow[d] & H^{1}(S, A)(\ell) \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & (H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})^{\pi} \arrow[r] & H^{1}(\overline{S}, {}_{\ell^{\infty}}\overline{A})^{\pi} \arrow[r] & H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)^{\pi} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

La première flèche verticale est un isomorphisme modulo des groupes finis, \(H^{0}(S, A) \simeq M^{\pi}\) et \(H^{0}(\overline{S}, \overline{A}) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell} \simeq M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}\) étant standard. Et la suite de Leray, avec \(H^{1}(\mathbb{F}_{p}, A^{\mathrm{tr}}) = 0\) par Lang et \(H^{1}(\mathbb{F}_{p}, M)\) fini — il s'agit de la cohomologie étale, c'est-à-dire galoisienne de \(\hat{\mathbb{Z}}\), insiste-t-il —, montre que la dernière flèche verticale est bijective à noyau fini près : \[ H^{1}(S, A)(\ell) \longrightarrow H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)^{\pi} . \]⁶¹ La conjecture signifie donc aussi que \(H^{1}(\overline{S}, \overline{A})(\ell)^{\pi}\) est fini — et, à peu près, par les jacobiennes, que pour \(X \to S\) propre et lisse de dimension relative \(1\) et \(S\) régulier de type fini sur \(\mathbb{Z}\), l'application \(H^{2}(S, \mathbb{G}_{m}) \to H^{2}(X, \mathbb{G}_{m})\) est surjective modulo des groupes finis — question que la page laisse avec deux points d'interrogation.⁶²

Il note encore que \(H^{i}(S, A)(\ell)\) devrait être fini pour \(i \geqslant 3\), et que \(T_{\ell}(H^{i}(S, A)(\ell)) \simeq H^{i}(S, T_{\ell}(A))\) pour \(i \geqslant 2\), de sorte qu'il ne reste à examiner que \(H^{0}\) et \(H^{2}\) pour \(A\), \(H^{1}\) et \(H^{2}\) pour \(T_{\ell}(A)\). Et l'ajout de la page 77 montre que \(H^{2}\) n'est pas nul en général : pour \(S\) une courbe propre, lisse, géométriquement connexe sur \(\mathbb{F}_{p}\) et \(A = J \times S\), où \(J\) est la jacobienne de \(S\), \[ H^{2}(S, T_{\ell}(A)) \simeq H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A}))_{\pi} = \bigl[T_{\ell}(\overline{J}) \otimes T_{\ell}(\overline{J})\bigr]_{\pi} \simeq \operatorname{End}(J) \otimes \mathbb{Q}_{\ell} , \] les classes de correspondances divisorielles sur \(S \times S\), qui ne sont pas nulles.⁶³

Enfin, \(H^{1}(S, T_{\ell}(A)) \simeq H^{1}(\overline{S}, T_{\ell}(\overline{A}))^{\pi}\), de sorte que la conjecture signifie essentiellement \[ \operatorname{rang}_{\mathbb{Q}_{\ell}} H^{1}(\overline{S}, V_{\ell}(\overline{A}))^{\pi} = \operatorname{rang}_{\mathbb{Z}} A(K) , \] et, sous cette forme, elle est essentiellement équivalente à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.⁶⁴

81–83

VI. Deux feuillets isolés (pages 81 et 83)

81–81

Une courbe sur un corps fini (page 81)

Soit \(C\) une courbe propre et lisse sur \(\mathbb{F}_{q}\), \(A\) un schéma abélien sur \(C\), \(x\) un point fermé, \(U = C \smallsetminus \{x\}\), \(K_{x}\) le corps local en \(x\). La suite de localisation \[ 0 \longrightarrow H^{1}(C, A) \longrightarrow H^{1}(U, A) \longrightarrow H^{2}_{x}(C, A) \longrightarrow H^{2}(C, A) \] — l'injectivité à gauche vient de ce que \(A(\mathcal{O}^{h}_{x}) = A(K^{h}_{x})\) — et l'excision \(H^{2}_{x}(C, A) \simeq H^{1}(K_{x}, A)\), dual de \(A^{*}(K_{x})\) par la dualité locale de Tate, donnent : \(H^{1}(U, A)(\ell)\) est fini pour \(\ell \neq p\), dès que \(H^{1}(C, A)(\ell)\) l'est. Il se demande si l'on peut généraliser au cas d'une variété régulière dont on enlève un diviseur régulier.⁶⁵

83–83

Calculs sur \(\mathbb{Q}_{\ell}(1)\) et \(\mathbb{G}_{m}\) (page 83)

Pour \(X\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), \(\ell\) inversible, la suite de Kummer donne : \(H^{0}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) = 0\) ; \(H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) = \mathcal{O}(X)^{*} \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) ; \(H^{2}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1))\) extension de \(T_{\ell}(H^{2}(X, \mathbb{G}_{m}))\) par \(\operatorname{Pic}(X) \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) ; \(H^{3}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) \simeq T_{\ell}(H^{3}(X, \mathbb{G}_{m}))\), qui peut valoir \(\mathbb{Z}_{\ell}\), par exemple pour un modèle d'un corps de fonctions d'une variable sur \(\mathbb{F}_{p}\) ; et il demande si \(H^{i}(X, \mathbb{Q}_{\ell}(1)) = T_{\ell}(H^{i}(X, \mathbb{G}_{m}))\) est nul pour \(i \geqslant 4\).⁶⁶ Il rappelle la conjecture d'Artin, que le groupe de Brauer est fini pour \(X\) propre sur \(\mathbb{Z}\) — vrai pour une courbe projective et lisse sur \(\mathbb{F}_{p}\), faux dès qu'on lui enlève des points, le corang du \(H^{2}\) augmentant d'autant.⁶⁷

85–88

VII. 17) Formes positives (pages 85 à 88)

C'est le point 17 du plan, et la première mouture de la positivité ; la seconde est aux pages 157 à 166. Le théorème étant « géométrique », on se place sur un corps \(k\) algébriquement clos, et l'on ne considère que des motifs semi-simples purs de poids \(p\). Pour un tel \(M\), les formes \(M \times M \to \mathbb{Q}(-p)\) sont les éléments de \[ \mathcal{L}(M) = \Gamma_{k}\bigl(\underline{\operatorname{Hom}}(M \otimes M, \mathbb{Q}(-p))\bigr) , \] \(\Gamma_{k} = \operatorname{Hom}(\mathbf{1}, -)\), le \(\underline{\operatorname{Hom}}\) étant bien de poids \(0\) ; c'est un \(\mathbb{Q}\)-espace de dimension finie, dans lequel on considère le sous-espace \(\mathcal{L}^{s}(M)\) des formes symétriques si \(p\) est pair, alternées si \(p\) est impair. Le produit tensoriel des formes donne des injections \(\mathcal{L}^{s}(M) \otimes \mathcal{L}^{s}(N) \to \mathcal{L}^{s}(M \otimes N)\), non bijectives en général — le produit de deux formes de même symétrie est symétrique, de symétries opposées antisymétrique —, et \[ \mathcal{L}^{s}(M' \oplus M'') \simeq \mathcal{L}^{s}(M') \times \mathcal{L}^{s}(M'') \times \mathcal{B}(M', M'') , \qquad \mathcal{B}(M', M'') = \operatorname{Hom}(M' \otimes M'', \mathbb{Q}(-p)) . \]⁶⁸

On se donne dans \(\mathcal{L}^{s}(M)\) un cône convexe \(\mathcal{L}^{+}(M)\) — ses éléments sont les formes positives, ceux de son intérieur les formes amples — soumis à huit axiomes :

1. (i)\(\mathcal{L}^{+}(M)\) est d'intérieur non vide ;
2. (ii)un élément de \(\mathcal{L}^{+}(M)\) est intérieur si et seulement s'il est non dégénéré ;
3. (iii)tout morphisme \(M \to N\) envoie \(\mathcal{L}^{+}(N)\) dans \(\mathcal{L}^{+}(M)\) ;
4. (iv)si \(M \to N\) est injectif, il envoie formes amples sur formes amples ; en particulier la restriction d'une forme ample à \(M\) est non dégénérée, et \(N = M \oplus M^{\perp}\) ;
5. (v)la somme directe de deux formes amples est ample ;
6. (vi)le produit tensoriel de deux formes amples est ample ;
7. (vii)si \(p = 0\), de sorte que \(M\) est essentiellement un \(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel de dimension finie, les formes amples sont les formes définies positives ;
8. (viii)\(\mathcal{L}^{s}\) d'un motif de Tate est \(\mathbb{Q}\), et les formes amples y sont les nombres strictement positifs.

De (vi) et (viii) il résulte que l'isomorphisme \(\mathcal{L}^{s}(M) \simeq \mathcal{L}^{s}(M(n))\) respecte les cônes ; de (iv) et (vii), que si \(p = 0\) une forme ample sur \(M\) induit une forme définie positive sur \(\Gamma_{k}M\), par restriction au sous-motif \(\Gamma_{k}M \otimes \mathbf{1} \subset M\).⁶⁹ Enfin, décomposant \(M\) en composantes isotypiques \(M_{\alpha}\), on a \(\mathcal{L}^{s}(M) \simeq \bigoplus_{\alpha}\mathcal{L}^{s}(M_{\alpha})\), et il suffit d'étudier les formes positives sur les morceaux isotypiques \(I \otimes_{A} V\), où \(I\) est simple, \(A = \operatorname{End}(I)\) un corps gauche, et \(V\) un \(A\)-espace vectoriel.⁷⁰

Ces axiomes sont ceux que satisfont les formes de polarisation des structures de Hodge, et que la conjecture standard de type Hodge doit fournir pour les motifs.⁷¹

89–94

VIII. 18) Fonctions \(L\) et cohomologie à action galoisienne (pages 89 à 94)

89–91

Le dictionnaire algébrique (pages 89 à 91)

Soit \(k\) un anneau et \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(k[t]\)-modules projectifs de type fini sur \(k\), c'est-à-dire des couples \((V, f)\) d'un tel module et d'un endomorphisme — des \(k[\mathbb{N}]\)-modules. Elle donne un \(\lambda\)-anneau \(R(\mathbb{N}; k)\), qui pour \(k\) un corps est le \(\mathbb{Z}\)-module libre sur les classes des \(k[t]/(P)\), \(P\) unitaire irréductible, le polynôme caractéristique de \((k[t]/(P), t)\) étant \(P\). Il préfère \(Q(t) = t^{d}P(1/t) = \det(1 - tf)\), et obtient \[ R(\mathbb{N}; k) \longrightarrow 1 + t\,k[[t]] , \qquad (V, f) \longmapsto L(V, f) = \frac{1}{\det(1 - tf)} , \] homomorphisme de \(\lambda\)-anneaux vers le groupe multiplicatif \(1 + t\,k[[t]]\), dont l'image est formée de fonctions rationnelles valant \(1\) en \(0\). Il le dit injectif pour \(k\) un corps. Il l'est sur le sous-anneau engendré par les \((V, f)\) avec \(f\) inversible, et c'est le seul cas qui servira — le Frobenius opère inversiblement sur la cohomologie ; mais les classes où \(f\) est nilpotent ont \(L = 1\), et forment le noyau.⁷² La dérivée logarithmique \[ \Lambda(V, f) = \frac{L'(V, f)}{L(V, f)} = \sum_{n \geqslant 1} (\operatorname{Tr} f^{n})\, t^{n-1} \] permet, en caractéristique nulle, de retrouver \(L = \exp \int_{0}^{t} \Lambda\) ; \(\Lambda\) est alors injectif sur les classes à \(f\) inversible, ce qu'il cesse d'être en caractéristique \(p > 0\).

91–94

Ce que la fonction \(L\) sait de la cohomologie (pages 91 à 94)

Par la formule des traces de Lefschetz–Weil–Grothendieck, la connaissance de la fonction \(L\) de \((X, F)\) sur \(\mathbb{F}_{p}\) équivaut à celle de l'élément \[ \chi(F) = \sum_{i} (-1)^{i} \operatorname{cl} H^{i}_{c}(\overline{X}, \overline{F}) \in R(\mathbb{N}; \mathbb{Q}_{\ell}) , \] \(f\) étant le Frobenius. Si l'on admet les conjectures de Weil et que \(F\) vient d'un motif, \(\chi(F)\) se décompose suivant les poids en \(\sum (-1)^{i}h^{i}(F)\), et \(L(X, F)\) équivaut aux \(h^{i}(F)\) — les zéros et pôles se groupant par valeur absolue ; si \(X\) est complète et lisse et \(F\) lisse et pur, \(h^{i}(F) = H^{i}(\overline{X}, \overline{F})\) avec son Frobenius.

Pour \(U \subset X\) à complémentaire de dimension \(< n\), les \(L(U, F|U)\) ne diffèrent de \(L(X, F)\), pour \(F\) pur de poids \(p\), que par des fonctions de poids \(\leqslant 2n-2+p\) : \(L(X, F)\) modulo ces fonctions est un invariant birationnel, et équivaut à la connaissance de \(\operatorname{cl}H^{2n}_{c} - \operatorname{cl}H^{2n-1}_{c}\) modulo les poids bas. Pour \(X\) lisse, connexe, de dimension \(n\), \(H^{2n}_{c}(X, F)\) est dual de \(H^{0}(X, \check{F})(n)\) et \(H^{2n-1}_{c}(X, F)\) de \(H^{1}(X, \check{F}(n))\), qui a en général des poids \(2n-1\) et \(2n-2\). Pour \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\), la connaissance birationnelle grossière de la fonction zêta équivaut, modulo les conjectures de Tate, à celle de \(\pi_{0}(\overline{X})\) comme ensemble galoisien et de l'Albanese de \(X\). Une analyse plus fine, par le niveau et non seulement par le poids, doit récupérer \(\zeta(X)\) modulo les \(\zeta(Y)\), \(\dim Y < n\), c'est-à-dire les « invariants birationnels fondamentaux » relativement à \(\mathbb{F}_{p}\), « envisagés dans les notes sur les Motifs » : ce sont ceux du paragraphe 12, pages 42 à 51, que la marge de la page 92 appelle son « N° 12 ».⁷³

Il propose enfin un programme : pour \(f \colon X \to Y\) lisse et propre et \(F\) localement constant, la connaissance de \(L(X, F)\) modulo les \(L(f^{-1}(Y'), F)\), \(Y'\) parcourant les fermés stricts de \(Y\), permet-elle de récupérer les invariants birationnels fondamentaux de la fibre générique sur le corps des fonctions de \(Y\) ? Et dans quelle mesure faut-il supposer \(f\) lisse et propre et \(F\) localement constant ? Le programme n'est pas repris.

96–100

IX. Poids et niveaux d'espaces de cohomologie \(\ell\)-adiques (pages 95 à 100)

Une chemise de sa main, page 95, porte ces mots, suivis de « base var. quelconque » . Dessous, un tapuscrit de deux pages, son plan manuscrit, un feuillet anglais, et un calcul.

96–97

L'introduction d'un article (pages 96 et 97)

« Filtration et poids des espaces de cohomologie des variétés algébriques, par A. Grothendieck » : l'introduction, dactylographiée et corrigée de sa main. On y lit le programme de toute une partie du dossier, et on le résume. Depuis l'invention de la cohomologie \(\ell\)-adique, on sait que l'action du groupe de Galois sur la cohomologie d'une variété définie sur un corps \(k\) est une structure supplémentaire remarquable, qui donne lieu aux conjectures de Tate ; celles-ci semblent plus loin de leur solution que les conjectures de Weil. Le propos est de tirer des conjectures de Weil et, au besoin, de la résolution des singularités des conséquences en apparence géométriques — relatives à un corps de base algébriquement clos — en ramenant l'énoncé géométrique au cas d'un corps fini. L'idée de ces raisonnements par les poids « remonte à 1964 » ; des exemples analogues sont développés dans SGA 7, et le séminaire oral contenait l'exemple du n° 2.

La portée des « résultats » est « sujette à caution », puisqu'ils dépendent des conjectures de Weil et de la résolution des singularités « sous la forme forte de Hironaka » en toute caractéristique. Mais, écrit-il, la compréhension ainsi obtenue, « quoiqu'elle soit pour l'instant entièrement heuristique », peut conduire à des propriétés importantes et inattendues, et elle « mérite pour cette raison de ne pas être dédaignée ». En caractéristique nulle, le travail récent de Deligne sur la théorie de Hodge des variétés quelconques justifie déjà, par voie transcendante, le « yoga » des poids et des niveaux ; en caractéristique \(p\) il faudra attendre la preuve des conjectures de Weil, « ou mieux, des conjectures standart ». Les filtrations par poids et niveaux, pour \(\ell\) variable, doivent donner des espaces de rang indépendant de \(\ell\) : ce que la théorie conjecturale des motifs exprime en disant qu'elles vivent déjà sur la cohomologie motivique — en accord avec la théorie de Deligne, où la filtration par le poids de la cohomologie de De Rham provient d'une filtration à coefficients rationnels.⁷⁴

98–98

Le plan (page 98)

Le plan manuscrit du même article compte dix numéros : introduction ; notions de poids et de niveau pour un module galoisien sur un corps ; un schéma privé d'un diviseur à croisements normaux ; poids et niveaux de \(H^{i}(X)\) pour \(X\) lisse, de \(H^{i}_{c}(X)\) pour \(X\) séparé, de \(H^{i}(X)\) pour \(X\) quelconque ; le cas propre, avec les plus grands quotients de poids \(i\) et la résolution ; le cas propre et lisse, avec la filtration par le niveau ; les nombres de Betti virtuels de Serre ; des contre-exemples ; les coefficients tordus. Suit une liste de références aux crochets vides : SGA 4, Deligne (Hodge), Tate (conjectures), Kleiman (conjectures standard), Weil, SGA 7.⁷⁵

99–99

Un feuillet anglais sur les classes de cycles (page 99)

Un feuillet dactylographié en anglais, « 2. Formalism of Algebraic Cohomology Classes », dont l'auteur n'est pas nommé et dont les corrections manuscrites ne sont pas sûrement de sa main. Il définit, pour \(X\) projective et lisse de dimension \(n\), l'application classe de cycle \(\rho_{X} \colon C^{i}(X) \to H^{2i}_{\ell}(X)\) sur l'anneau de Chow rationnel : pour \(Z\) irréductible de codimension \(i\), \(\rho_{X}(Z)\) est l'unique classe telle que \[ \kappa_{X}\bigl(\alpha \cdot \rho_{X}(Z)\bigr) = \kappa_{Z}\bigl(\operatorname{res}_{Z}\alpha\bigr) \qquad \text{pour tout } \alpha \in H^{2n-2i}_{\ell}(X) , \] \(\kappa\) désignant les traces, ce qui a un sens par la dualité de Poincaré ; elle transforme produit d'intersection en cup-produit, et son noyau définit l'équivalence cohomologique.⁷⁶

100–100

Un contre-exemple (page 100)

Dans \(\mathbb{P}^{2}\), soit \(T\) la réunion de deux droites qui se coupent en un point \(c\), \(a\) et \(b\) deux points de \(T\) distincts de \(c\), un sur chaque droite, \(T' = \{a, b\}\), et \(X = \mathbb{P}^{2} \smallsetminus T'\), \(Y = T \smallsetminus T'\), \(U = \mathbb{P}^{2} \smallsetminus T\) ; \(\widetilde{T}\) est la normalisée de \(T\), deux droites disjointes, et \(\widetilde{Y}\) l'image inverse de \(Y\). Il écrit les suites exactes de la cohomologie à supports propres. Refait, le calcul donne : \(H^{1}_{c}(U) = 0\) parce que \(T\) est connexe ; \(H^{1}_{c}(X) \simeq H^{0}(T')/H^{0}(\mathbb{P}^{2}) \simeq \mathbb{Q}\), de poids \(0\) ; la flèche \(H^{1}_{c}(X) \to H^{1}_{c}(Y) \simeq \mathbb{Q}\) est injective ; mais \(H^{1}_{c}(\widetilde{Y}) = 0\), \(\widetilde{Y}\) étant réunion disjointe de deux droites affines. La classe de poids \(0\) disparaît donc sur la normalisation, et la réponse à la question « inj ? » qu'il inscrit sur la flèche vers la normalisation est négative.⁷⁷

101–119

X. Les notes de travail : poids et niveaux, faisceaux admissibles (pages 101 à 119)

101–103

Deux feuillets d'approche (pages 101 et 103)

La page 101 est un feuillet anglais dactylographié, isolé, qui continue le formalisme de la page 99 sans en être la suite matérielle : fonctorialité de la classe de cycle pour \(f^{*}\) et pour \(f_{*}\), \(f_{*} \colon C^{i}(X) \to C^{i-r}(Z)\) et \(H^{2i}_{\ell}(X) \to H^{2i-2r}_{\ell}(Z)\) avec \(r = \dim X - \dim Z\) ; puis, par Künneth et Poincaré, \(H^{*}_{\ell}(X \times Z) \simeq \operatorname{Hom}(H^{*}_{\ell}(X), H^{*}_{\ell}(Z))\), un homomorphisme étant dit algébrique si la classe associée l'est. Il s'arrête sur une composition annoncée et non écrite.

La page 103, feuillet isolé à l'encre bleue, dresse les tables qui vont être démontrées. Pour \(H^{1}\) : dans le cas propre (ou pour \(H^{1}_{c}\)), poids \(0\) et \(1\), de niveaux \(0\) et \(1\) ; dans le cas lisse, poids \(1\) et \(2\), de niveaux \(1\) et \(0\). Pour \(H^{2}\) : dans le cas propre, poids \(0\), \(1\), \(2\), de niveaux \(0\), \(1\), \(2\) ; dans le cas lisse, poids \(2\), \(3\), \(4\), de niveaux \(2\), \(1\), \(0\). Les morceaux purs seraient semi-simples, sauf, pour \(H^{2}\), celui de poids \(2\), extension par un motif de Tate \(\mathbb{Q}(-1)^{r}\) ; et pour \(H^{2}_{c}\), il semble qu'il puisse y avoir « mélange de poids dans le mauvais sens ».

104–108

Poids de la cohomologie \(\ell\)-adique d'une variété singulière ou non propre (pages 104 à 108)

Sous ce titre encadré — avec, en haut à droite, « sur un corps de type fini » —, la démonstration, conditionnelle aux conjectures de Weil et à la résolution des singularités, de ce que Deligne établira en théorie de Hodge mixte et en cohomologie \(\ell\)-adique.⁷⁸

A) Coefficients constants. (1) Soit \(X\) lisse et quasi-projective de dimension \(n\), écrite par résolution forte \(X = X' \smallsetminus Y\) avec \(X'\) projective et lisse et \(Y = \bigcup Y_{i}\) un diviseur à croisements normaux stricts. La suite exacte \[ H^{i-1}(X') \to H^{i-1}(Y) \to H^{i}_{c}(X) \to H^{i}(X') \to H^{i}(Y) \to \cdots \] et la suite spectrale de Mayer–Vietoris de \(Y\), dont le terme \(E_{2}^{pq}\) est calculé à partir des \(H^{q}(Y_{i_{0}} \cap \cdots \cap Y_{i_{p}})\), intersections projectives et lisses de dimension \(n-p-1\), donc pures de poids \(q\), donnent :

Proposition 1 (page 104). \(H^{i}_{c}(X)\) a ses poids dans \([0, i]\). Sa partie de poids \(i\) est l'image de \(H^{i}_{c}(X) \to H^{i}(X')\), sa partie de poids \(\leqslant i-1\) l'image de \(H^{i-1}(Y)\). Si \(i \geqslant n\), son niveau est \(\leqslant 2n-i\), ses poids sont \(\geqslant 2(i-n)\), et le morceau de poids \(2(i-n) + k\) est de niveau \(\leqslant k\).

La filtration obtenue est la filtration par les poids, donc indépendante de la compactification ; la suite spectrale dégénère pour des raisons de poids.⁷⁹

Corollaire 1 (page 105). Par dualité, \(H^{i}(X)\) a ses poids dans \([i, 2n]\), et sa partie de poids \(i\) est exactement l'image de \(H^{i}(X')\). Si \(i \geqslant n\), les morceaux de poids \(i, i+1, \ldots, 2n\) sont de niveaux respectivement \(\leqslant 2n-i, 2n-i-1, \ldots, 0\) ; si \(i \leqslant n\), il n'y a que les poids \(i, \ldots, 2i\), de niveaux \(\leqslant i, i-1, \ldots, 0\).

(2) Si \(X\) est lisse, séparée mais non quasi-projective, une compactification de Nagata et la résolution donnent les mêmes résultats. Si \(X\) n'est pas séparée, \(H^{i}_{c}\) n'est plus défini, mais la suite spectrale d'un recouvrement affine montre que \(H^{i}(X)\) est effectif, à poids dans \([0, 2i]\) si \(i \leqslant n\) et dans \([0, 2n]\) si \(i \geqslant n\), de niveau \(\leqslant i\) ; la marge demande si le niveau est \(\leqslant 2n-i\).

(3) Pour \(X\) séparée non lisse, \(H^{i}_{c}(X)\) est encore effectif, de poids \(\leqslant i\), de niveau \(\leqslant \inf(i, 2n-i)\) : par récurrence sur la dimension, avec un ouvert lisse dense \(U\) et la suite \(H^{i}_{c}(U) \to H^{i}_{c}(X) \to H^{i}_{c}(X \smallsetminus U)\).

(4) Pour \(X\) quelconque, \(H^{i}(X)\) est effectif, de poids \(\leqslant 2\inf(i, n)\) et de niveau \(\leqslant \inf(i, n)\) : on se ramène à \(X\) affine, on raisonne par récurrence sur \(i\) avec une résolution \(X' \to X\) et la suite spectrale de descente des produits fibrés itérés \((X'/X)^{s}\) ; les termes \(E_{2}^{pq}\) avec \(q < i\) relèvent de la récurrence, et \(E_{2}^{0,i} \subset H^{i}(X')\) est borné par le cas lisse ; si \(i > n\), \(H^{i}(X) = 0\), \(X\) étant affine.⁸⁰

B) Coefficients tordus. Si les coefficients proviennent d'un motif lisse sur \(X\) lisse, on se ramène par dévissage à \(F = R^{j}f_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) pour \(f \colon Y \to X\) projectif et lisse, qu'on peut supposer de dimension relative \(j\). D'après Deligne, la suite spectrale de Leray de \(f\) dégénère, et \(H^{i}(X, F)\) est un morceau de \(H^{i+j}(Y)\) : effectif, à poids entre \(i+j\) et \(2n+2j\), de niveaux \(\leqslant 2n-i+j, \ldots, 0\) ; si \(i \leqslant n\), à poids \(i+j, \ldots, 2(i+j)\) et niveaux \(i+j, \ldots, 0\). Dualement, \(H^{i}_{c}(X, F)\) est effectif de poids \(\leqslant i+j\). Si \(X\) est propre, \(H^{i}(X, F)\) est pur de poids \(i+j\), « et semi-simple ici ».⁸¹ Si \(F\) n'a qu'une représentation locale sur \(X\), on passe par la cohomologie à supports propres, qui permet de découper \(X\), puis par dualité.

C) Coefficients effectifs de poids \(j\) et de niveau \(j\), \(X\) quelconque. \(H^{i}_{c}\) se traite comme en B). Et \(H^{i}(X, F)\) est effectif, de poids \(\leqslant 2\inf(i, n) + 2j\) et de niveau \(\leqslant \inf(i, n) + j\) : ce sont les bornes que donne l'argument de B), \(H^{i}(X, F)\) étant un morceau de \(H^{i+j}(Y)\) avec \(\dim Y = n + j\).⁸²

110–114

Faisceaux \(\ell\)-adiques admissibles et motifs virtuels (pages 110 à 114)

La même matière, reprise en numéros — « Le bon point de vue commence à se voir ! », dit la marge — pour des \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux sur des schémas où \(\ell\) est inversible, le cas intéressant étant celui des schémas localement de type fini sur \(\mathbb{Z}\). L'idée est de remplacer les motifs, qu'on n'a pas, par la classe des faisceaux \(\ell\)-adiques qui « ont l'air de venir de la géométrie ».

2.1. Un faisceau \(F\) sur \(S\) est spécial de poids \(i\) s'il est isomorphe à un sous-quotient tordu d'un \(R^{i}f_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\), avec \(f \colon X \to S\) projectif et lisse ; pour \(i < 0\) cela veut dire \(F = 0\).

Lemme 2.2. a) La propriété d'être spécial de poids \(i\) est stable par sommes directes. b) Si \(F\), \(F'\) sont spéciaux de poids \(i\), \(j\), \(F \otimes F'\) est spécial de poids \(i+j\). c) Elle est stable par image inverse. d) Si \(F\) est spécial de poids \(i\), \(\check{F}(-i)\) l'est aussi. e) \(\mathbb{Q}_{\ell}(-i)\) est spécial de poids \(2i\) pour \(i \geqslant 0\).

Les démonstrations sont immédiates : réunion disjointe, produit fibré et Künneth, changement de base propre, théorème de Lefschetz fort relatif et dualité de Poincaré, \(\mathbb{Q}_{\ell}(-i) = R^{2i}f_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) pour \(\mathbb{P}^{i}_{S}\). D'où, en marge, le Corollaire 2.3 : si \(F\) est spécial de poids \(i\) et \(n \geqslant i\), \(\check{F}(-n)\) est spécial de poids \(2n-i\).⁸³

3.1-3.2. \(F\) est effectivement admissible à poids dans \(P \subset \mathbb{Z}\) si, pour \(S\) quasi-compact, il existe une partition finie de \(S\) en sous-schémas localement fermés \(S_{\alpha}\) sur chacun desquels \(F|S_{\alpha}\) admet une filtration dont les quotients successifs sont spéciaux de poids dans \(P\).⁸⁴

Proposition 3.3. a) La propriété « effectivement admissible à poids dans \(P\) » est stable par sous-faisceaux et quotients constructibles, sommes finies et extensions. b) Si \(F\), \(F'\) le sont à poids dans \(P\), \(P'\), alors \(F \otimes F'\) l'est à poids dans \(P + P'\). c) Elle est stable par changement de base. d) Si \(F\) est constant tordu, effectivement admissible à poids dans \(P\), et si \(P \leqslant n\), alors \(\check{F}(-n)\) est effectivement admissible constant tordu, à poids dans \(2n - P = \{2n - i \mid i \in P\}\).⁸⁵

4.1. Les niveaux s'ajoutent en exigeant, dans 3.1, que les quotients soient de la forme \(G'(-k)\), \(k \geqslant 0\), avec \(G'\) spécial de poids \(\leqslant \nu\) ; et « à poids dans \(P\) et de niveau \(\leqslant \nu\) » si de plus le poids \(j + 2k\) de \(G'(-k)\) est dans \(P\) — ce qui, prévient-il, n'est pas a priori la conjonction des deux conditions.

Proposition 4.2. a) « Effectivement admissible à poids dans \(P\) et de niveau \(\leqslant \nu\) » est stable par sous-faisceaux et quotients constructibles, sommes finies, extensions. b) Pour \(F_{1}\), \(F_{2}\) à poids dans \(P_{1}\), \(P_{2}\) et niveaux \(\leqslant \nu_{1}\), \(\nu_{2}\), \(F_{1} \otimes F_{2}\) est à poids dans \(P_{1} + P_{2}\) et de niveau \(\leqslant \nu_{1} + \nu_{2}\). c) Stabilité par changement de base. d) Si \(F\) est effectivement admissible constant tordu, de poids \(\nu + 2k\) et de niveau \(\leqslant \nu\), alors pour \(n = \nu + k + h\), \(h \geqslant 0\), \(\check{F}(-n)\) l'est aussi, de poids \(2n - \nu - 2k = \nu + 2h\) et de niveau \(\leqslant \nu\).⁸⁶

Théorème 5.1. Soit \(f \colon X \to S\) séparé de présentation finie, \(n\) le maximum des dimensions des fibres, et \(F\) strictement spécial de poids \(j\) sur \(X\), c'est-à-dire facteur direct d'un \(R^{j}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) avec \(g \colon Y \to X\) projectif et lisse. Alors \(R^{i}f_{!}F\) est effectivement admissible, à poids \(\leqslant i+j\) et à niveaux \(\leqslant \inf(i+j, 2n-i+j)\). Si \(i \geqslant n\), ses poids sont compris entre \(2(i-n)\) et \(i+j\), le morceau de poids \(2(i-n) + k\) étant de niveau \(\leqslant k\), jusqu'au niveau \(2n-i+j\) en poids \(i+j\).

La borne inférieure \(2(i-n)\) ne dépend pas de \(j\), et c'est juste : \(R^{i}f_{!}F\) est un morceau de \(R^{i+j}(fg)_{!}\mathbb{Q}_{\ell}\), dont les fibres sont de dimension \(n + j\), et \(2((i+j) - (n+j)) = 2(i-n)\). La démonstration traite d'abord \(F = R^{j}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) : par changement de base propre et dévissage, on se ramène à \(S\) affine intègre, et, après un changement de base fini radiciel, à \(X\) affine lisse sur \(S\) compactifié en un \(\widehat{X}\) projectif et lisse dont le bord est un diviseur relatif à croisements normaux ; puis à \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\), qui est le point A) (1) des pages 104 et 105 — sans avoir besoin, note-t-il, de la dégénérescence qui y intervient. Pour \(F\) quelconque, on se ramène à \(j\) égal à la dimension relative de \(g\), par Lefschetz ou en remplaçant \(Y\) par \(Y \times \mathbb{P}^{j-d}\) ; la suite spectrale de Leray de \(fg\) dégénère par Deligne, et \(R^{i}f_{!}F\) est un facteur direct de \(R^{i+j}(fg)_{!}\mathbb{Q}_{\ell}\), auquel on applique le premier cas.⁸⁷

Corollaire 5.2. Si la partie « semi-simplicité » des conjectures de Tate est vraie, la conclusion de 5.1 vaut pour \(F\) seulement effectivement admissible de poids \(\leqslant j\) : \(R^{i}f_{!}F\) est effectivement admissible, de poids \(\leqslant i+j\), de niveau \(\leqslant \inf(i+j, 2n-i+j)\), et, si \(i \geqslant n\), de poids entre \(2(i-n)\) et \(i+j\) avec les niveaux \(0, 1, \ldots, 2n-i+j\). Par semi-simplicité, « effectivement admissible » devient « strictement spécial ».

Corollaire 5.3. Sans conjecture de Tate : si \(F\) est effectivement admissible, \(R^{i}f_{!}F\) l'est. On se ramène, par dévissage et changement de base propre, au cas où \(F\) est spécial et \(S\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\).

Corollaire 5.4. Sur un corps \(k\), si \(X\) est lisse, séparé, de type fini, et \(F\) strictement spécial de poids \(j\) — ou effectivement admissible de poids \(j\) si l'on admet la semi-simplicité —, alors \(R^{i}f_{*}F\) est effectivement admissible, à poids entre \(i+j\) et \(2n+2j\) et à niveaux \(\leqslant 2n-i+j, \ldots, 0\) ; si \(i \leqslant n\), à poids \(i+j, \ldots, 2(i+j)\) seulement, de niveaux \(i+j, \ldots, 0\). On peut le démontrer sans dualité, en reprenant la démonstration de 5.1 par Leray et en se ramenant à \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\) et à une compactification lisse à bord à croisements normaux — « à titre de vérification de cohérence du yoga ! ».

Le numéro 6 ouvre le cas de \(R^{i}f_{*}F\) pour \(f\) de type fini et \(F\) effectivement admissible de poids \(j\), en commençant par \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\) et le cas d'une immersion ; la page 114 s'arrête sur ce mot.

115–119

Le cas d'une immersion : les feuilles de calcul (pages 115, 117 et 119)

Trois feuilles de calcul, sans phrases suivies, qui continuent le numéro 6 sous la forme d'un point « (1) », que le « (2°) » de la page 119 et le « 2) » de la page 121 poursuivent. Soit \(X\) régulier, \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\), \(f \colon X \to Y\) une immersion, \(n = \dim \overline{f(X)}\). On factorise \(f = h \circ g\), avec \(g \colon X \to Y'\) immersion ouverte dans \(Y'\) régulier, de complémentaire un diviseur à croisements normaux \(Z = \sum Z_{i}\), et \(h \colon Y' \to Y\) propre. La suite spectrale \(R^{p}h_{*}(R^{q}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}) \Rightarrow R^{p+q}f_{*} \mathbb{Q}_{\ell}\), avec \[ R^{q}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell} = \bigoplus_{i_{1} < \cdots < i_{q}} \mathbb{Q}_{\ell, Z_{i_{1}} \cap \cdots \cap Z_{i_{q}}}(-q) , \] pur de poids \(2q\) par la pureté,⁸⁸ donne des termes \(E_{2}^{pq}\) effectivement admissibles de poids \(\leqslant p + 2q\). Les tables des pages 117 et 119 — poids et niveaux de chaque \(E_{2}^{p,i-p}\), selon que \(i \leqslant n-1\) ou \(i \geqslant n\) — aboutissent à l'encadré \[ \text{poids} \leqslant 2\inf(i, n) , \qquad \text{niveau} \leqslant \inf(i, n-1) \] pour \(R^{i}f_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\), les niveaux croissant de \(0\) à leur maximum puis décroissant jusqu'à \(0\) en poids \(2n\), lequel n'intervient que par \(E_{2}^{2(i-n), 2n-i}\), faisceau porté par des intersections de \(2n-i\) composantes, de dimension \(i-n\).⁸⁹ Puis, avec un « ? » : pour \(F\) strictement spécial de poids \(j\), poids \(\leqslant 2\inf(i,n) + j\) et niveau \(\leqslant \inf(i, n-1) + j\) ; et, dans le cas relatif « (2°) », au voisinage d'un point \(y\) de \(Y\), avec \(n = d_{y}(f)\) défini par une borne sur les degrés de transcendance, poids \(\leqslant 2\inf(i, n) + j\) et niveau \(\leqslant \inf(i, n) + j\), encore suivis d'un « ? ». La marge demande si l'on peut remplacer \(n\) par la dimension des fibres.

120–122

XI. Le cas relatif, et un rapport sur les travaux de Deligne (pages 120 à 122)

121–121

Le point 2) : coefficients strictement spéciaux (page 121)

La page 121, de sa main, est le point « 2) » de la suite des pages 115 à 119 : \(F\) strictement spécial, \(X\) régulier, \(F = R^{d}\varphi_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) pour un morphisme \(\varphi \colon X' \to X\) de dimension relative \(d\), inscrit dans un carré \(X' \to Y'\) au-dessus de \(f \colon X \to Y\). La suite spectrale de Leray de \(f\varphi\) dégénère par Deligne, de sorte que \(R^{i}f_{*}F\) est un morceau de \(R^{i+d}(f\varphi)_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) ; l'autre suite spectrale, par \(Y'\) de dimension \(\leqslant n + d\), borne les poids et les niveaux, la fin de la page ne se lisant que par fragments.⁹⁰

122–122

Deux feuillets d'un rapport, lus dans l'ordre 122 puis 120

Deux feuillets dactylographiés en français, corrigés à la main, présentent des travaux de Deligne en points numérotés ; le feuillet 122 porte le point 4, le feuillet 120 le point 5. Ils forment un seul texte : la page 122 s'achève, après les mots « théorie des motifs », sur « qui se », et la page 120 commence par « une sorte de synthèse géométrico-arithmétique des nombreuses théories cohomologiques dont on dispose à présent pour les variétés algébriques, et des représentations linéaires de groupes de Galois arithmétiques auxquelles ces théories donnent naissance ».⁹¹

Le point 4. Un morphisme projectif et lisse de schémas est cohomologiquement trivial : la suite spectrale de Leray en cohomologie \(\ell\)-adique — ou réelle sur \(\mathbb{C}\) — dégénère. Le théorème est prouvé par Deligne modulo le théorème de Lefschetz pour la cohomologie des fibres, et la démonstration vaut aussi pour les fibrations analytiques à fibres kählériennes compactes. Le cas où le système local de la cohomologie des fibres est trivial était le résultat principal de la thèse de Blanchard, hypothèse qui n'est réalisée dans presque aucun cas intéressant ; la démonstration de Deligne est différente, et il ne connaissait pas celle de Blanchard. L'intérêt, dans l'optique du rapporteur, est surtout en géométrie algébrique abstraite et en théorie des nombres ; ce sont d'ailleurs des considérations arithmétiques qui l'avaient amené à communiquer à Deligne l'énoncé comme une conjecture. Il en tire que les hypothèses de Riemann–Weil impliquent leurs analogues à coefficients tordus, et que le théorème sera l'un des ingrédients indispensables de la « théorie des motifs ».⁹²

120–120

Le point 5 (page 120)

Le point 5 est la solution, par Deligne, du problème de l'introduction d'une \(\lambda\)-structure — les puissances extérieures — dans l'anneau \(K^{\bullet}(X)\) construit sur les complexes parfaits, pour un espace localement annelé ; il était signalé comme le plus important problème resté en suspens dans le séminaire de l'IHES de 1966-1967 sur le théorème de Riemann–Roch (SGA 6). La nécessité de travailler avec des complexes parfaits plutôt qu'avec des fibrés vectoriels est imposée « par des impératifs techniques irrécusables ». La solution passe par des foncteurs puissances extérieures dans la catégorie dérivée, construits par la théorie de Dold–Puppe sur les complexes de chaînes ; la difficulté sérieuse était de prouver les identités universelles des \(\lambda\)-anneaux, et Deligne y parvient en déterminant d'abord le \(\lambda\)-anneau de toutes les opérations tensorielles universelles sur les fibrés vectoriels. Il n'a écrit sa théorie qu'au-dessus d'un corps de base ; la page s'arrête là.⁹³

124–136

XII. Divers types de \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux (pages 124 à 136)

Un brouillon rapide sur les rectos d'un exposé Bourbaki, dont les formules se lisent et la prose souvent pas. Il reprend la notion de faisceau admissible des pages 110 à 114 en ne gardant qu'une donnée, la dimension des fibres.⁹⁴

Définition. Un \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceau constructible \(F\) sur \(X\) est admissible de type \(\leqslant d\) si, localement — et, comme le dit le crochet qui suit, en vérifiant fibre par fibre, c'est-à-dire sur les strates d'une stratification —, il admet une filtration finie dont les constituants sont des sous-quotients de sommes directes de faisceaux \(R^{n}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\), avec \(g \colon V \to U\) projectif et lisse à fibres connexes de dimension \(\leqslant d\).⁹⁵

Lemme 1. Les faisceaux admissibles de type \(\leqslant d\) forment une sous-catégorie abélienne épaisse — stable par sous-objets, quotients et extensions — des \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-faisceaux constructibles.

Lemme 2. Ils sont stables par image inverse — « trivial ».

Lemme 3. Soit \(f \colon X \to Y\) un morphisme compactifiable de type fini, de dimension relative \(\leqslant d'\), et \(F\) admissible de type \(\leqslant d\) sur \(X\). Alors les \(R^{i}f_{!}F\) sont admissibles de type \(\leqslant d + d'\).

La démonstration, aux pages 126 à 132, se fait par récurrence sur \(d + d'\), \(Y\) étant un corps. Un ouvert \(U\) lisse et dense où \(F\) est filtré, et son complémentaire, ramènent par la suite exacte des supports propres et les lemmes 1 et 2 au cas où \(X\) est lisse et \(F\) un constituant d'un \(R^{m}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\), puis, par deux suites exactes courtes, au cas \(F = R^{m}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) et aux \(R^{p}f_{!}(R^{q}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell})\). Une factorisation d'Artin de \(U\), licite parce qu'on peut prendre \(U\) petit, ramène au cas où \(U\) est de dimension \(1\) ;⁹⁶ alors \(R^{0}f_{!}(R^{q}g_{*}) = 0\) et la suite spectrale se réduit à des suites exactes courtes \[ 0 \to R^{2}f_{!}(R^{n-2}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}) \to R^{n}(fg)_{!}\mathbb{Q}_{\ell} \to R^{1}f_{!}(R^{n-1}g_{*}\mathbb{Q}_{\ell}) \to 0 , \] de sorte qu'il suffit de voir que \(R^{n}h_{!}\mathbb{Q}_{\ell}\), \(h = fg\), est admissible ; la résolution des singularités \(V = \widehat{V} \smallsetminus Z\) et la suite \(R^{n-1}h_{Z!}\mathbb{Q}_{\ell} \to R^{n}h_{!}\mathbb{Q}_{\ell} \to R^{n}\hat{h}_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\) concluent, par définition pour le troisième terme et par récurrence pour le premier.⁹⁷

Proposition 1 (page 132). Soit \(i \colon U \to X\) une immersion ouverte, \(X\) excellent de dimension \(\leqslant d\), et \(F\) admissible de type \(\leqslant d'\) sur \(U\). Alors les \(R^{n}i_{*}F\) sont admissibles de type \(\leqslant d + d'\).⁹⁸

La démonstration commence par récurrence sur \(d + d'\) et par récurrence noethérienne : un ouvert régulier dense \(V \subset U\) et le triangle \(F \to Rj_{*}F \to Q\), avec \(Q\) porté par un fermé strict, ramènent au cas où \(U\) est régulier ; la résolution factorise \(i\) en \(i'\) suivi d'un \(f\) projectif, avec \(X'\) régulier et \(X' \smallsetminus U\) à croisements normaux, et le Lemme 3 ramène à ce cas. Pour \(F = \mathbb{Q}_{\ell}\), on conclut par la pureté. Pour le cas général, on compactifie \(V\) par un morphisme projectif \(g\), on écrit \(F\) comme facteur direct d'un \(R^{n}t_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\), on se ramène à \(d' = 1\), et la suite spectrale de la page 136 a ses termes \(E_{2}^{pq}\) nuls hors de \(0 \leqslant q \leqslant 2\) : les \(E_{2}^{p0}\) sont \((d-1)\)-admissibles par récurrence, \(E_{2}^{p2} \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-1) \otimes E_{2}^{p0}\) aussi, et \(E_{2}^{p1}\) est une extension de trois faisceaux dont le dernier, \(E_{\infty}^{p1}\), ramène au cas de \(R^{n}j_{*}\mathbb{Q}_{\ell}\), « qui reste à traiter…!! ». La Proposition 1 n'est donc pas démontrée dans le dossier : il y manque exactement ce cas.

139–141

XIII. Motifs lisses et isomotifs lisses (pages 138 à 141)

Une chemise encadrée, page 138, porte ce titre ; suivent deux pages au net et une page de questions.

Soit \(S\) normal et intègre, de point générique \(\eta\), \(K = k(\eta)\). Un isomotif lisse sur \(S\) est un isomotif semi-simple \(M\) sur \(K\) tel que, pour tout \(\ell \neq \operatorname{car} K\), \(T_{\ell}(M)\) soit non ramifié sur \(S_{\ell} = S[1/\ell]\) ; conjecturalement il suffit de le demander pour un seul \(\ell\) premier à toutes les caractéristiques résiduelles, ou pour deux \(\ell \neq \ell'\).⁹⁹

Un motif lisse sur \(S\), pour \(\operatorname{car} K = 0\), est la donnée \((M, \{E_{\ell}\}, \{\alpha_{\ell}\})\) d'un isomotif lisse \(M\), pour chaque \(\ell\) d'un \(\mathbb{Z}_{\ell}\)-faisceau lisse \(E_{\ell}\) sur \(S_{\ell}\) — ou, ce qui revient au même, sur \(K\) et non ramifié sur \(S_{\ell}\) — et d'un isomorphisme \(\alpha_{\ell} \colon E_{\ell} \otimes \mathbb{Q}_{\ell} \xrightarrow{\sim} T_{\ell}(M)\), avec l'axiome que pour presque tout \(\ell\), \(\alpha_{\ell}\) provient d'un isomorphisme sur \(\mathbb{Z}_{\ell}\) ; en particulier \(E_{\ell}\) est sans torsion pour presque tout \(\ell\).¹⁰⁰ Un morphisme est un couple \((u, \{u_{\ell}\})\) d'un morphisme d'isomotifs et de morphismes de faisceaux compatibles aux \(\alpha_{\ell}\). C'est, pour les motifs, ce que sont les variétés abéliennes par rapport à leur catégorie à isogénie près : une structure entière.

Le foncteur des motifs lisses sur \(S\) vers les motifs sur \(K\) est pleinement fidèle, les \(\operatorname{Hom}\) sont des \(\mathbb{Z}\)-modules de type fini, la catégorie est abélienne. Le foncteur vers les isomotifs lisses est exact et essentiellement surjectif ; les groupes commutatifs finis sur \(K\) dont les composantes \(\ell\)-primaires sont non ramifiées sur \(S[1/\ell]\) forment une sous-catégorie épaisse, et le quotient est la catégorie des isomotifs lisses. La catégorie a un produit tensoriel et des \(\underline{\operatorname{Hom}}\), compatibles aux réalisations. Un schéma projectif et lisse sur \(S\) définit des motifs \(R^{i}f_{*}(\mathbb{Z}_{X})\).

Schémas en groupes. On définit un foncteur contravariant des schémas en groupes commutatifs propres et lisses \(A\) sur \(S\) vers les motifs lisses : \[ \mathfrak{P}(A) = \bigl( R^{1}f_{A^{0}*}\mathbb{Q} ,\; \underline{\operatorname{Hom}}({}_{\ell^{\infty}}A, \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}) ,\; u \bigr) , \] où \(E_{\ell} = \underline{\operatorname{Hom}}({}_{\ell^{\infty}}A, \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})\) est une extension de \(\underline{\operatorname{Hom}}(A/A^{0}, \mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})\) par \(R^{1}f_{A^{0}*}\mathbb{Z}_{\ell}\) — le dual du module de Tate de la partie abélienne — et \(u_{\ell}\) la flèche induite. La page 141 affirme qu'un foncteur noté d'une lettre qu'on lit \(\mathcal{L}\), sans doute celui-ci, est pleinement fidèle, en se ramenant au cas \(S = \operatorname{Spec}K\). Son image essentielle demande que le motif soit effectif de poids \(1\), donc défini par une variété abélienne \(A_{K}\), et que \(A_{K}\) ait bonne réduction sur \(S\) : la question devient de savoir si la non-ramification de tous les \(T_{\ell}(A)\) sur les \(S_{\ell}\) suffit à la bonne réduction. Oui si \(S\) est de dimension \(1\) — critère de Néron–Ogg–Šafarevič —, et, dit-il, si \(S\) est de caractéristique nulle ; peut-être pas pour \(S\) local régulier de dimension \(2\) d'inégales caractéristiques. Pour un contre-exemple, il suffirait d'un schéma abélien \(A\) sur \(S\) et d'un sous-groupe fini de \(A_{K}\) qui ne se prolonge pas en un sous-groupe fini et plat de \(A\).¹⁰¹

Reste un « Pb » : avec cette définition, qui fait d'un motif lisse un motif sur \(K\) avec une propriété de non-ramification, on ne voit pas comment définir l'image inverse par un morphisme \(S' \to S\) — par exemple la fibre en un point de \(S\) —, difficulté qui vaut déjà pour les isomotifs effectifs de poids \(1\). Rien ne la résout dans le dossier.

143–166

XIV. Constructions abstraites de catégories de motifs (pages 142 à 166)

Sous une chemise de sa main, page 142 — « Enveloppes pseudo-abéliennes de catégories multiplicatives (Constructions abstraites de catégories de motifs) » —, la troisième altitude du programme : on ne suppose plus la catégorie des motifs, on la construit, et l'on reprend dans ce cadre la graduation, l'objet de Tate, le niveau, la dualité et la positivité.¹⁰²

143–148

L'enveloppe pseudo-abélienne (pages 143 à 148)

On part d'une catégorie additive \(\mathcal{V}\) et l'on cherche un foncteur additif universel \(\underline{h} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{M}\) vers une catégorie abélienne, tel que pour toute catégorie abélienne \(\mathcal{C}\) \[ \operatorname{Fonc}_{\mathrm{ex}}(\mathcal{M}, \mathcal{C}) \longrightarrow \operatorname{Fonc}_{\mathrm{add}}(\mathcal{V}^{\circ}, \mathcal{C}) , \qquad T \longmapsto T \circ \underline{h} , \] soit une équivalence, et l'on voudrait des conditions pour que \(\underline{h}\) soit pleinement fidèle. On suppose \(\mathcal{V}\) \(k\)-linéaire — \(\mathbb{Q}\)-linéaire en géométrie — et chaque \(\operatorname{Fl}(X,X)\) une \(k\)-algèbre semi-simple de dimension finie. Soit \(\mathcal{M}^{\#}\) la catégorie des couples \((X, \pi)\) d'un objet et d'un projecteur \(\pi = \pi^{2}\), les morphismes \((X, \pi) \to (X', \pi')\) étant les \(f\) avec \(\pi' f = f\pi\) modulo ceux avec \(f\pi = \pi' f = 0\) — autrement dit \(\pi' \operatorname{Fl}(X, X') \pi\). C'est l'enveloppe pseudo-abélienne, ou de Karoubi, de \(\mathcal{V}\) ; \(X \mapsto (X, \mathrm{id})\) est pleinement fidèle, et pour toute catégorie additive \(\mathcal{C}\) où les projecteurs ont une image, \(T \mapsto T \circ \underline{h}^{\#}\) est une équivalence \(\operatorname{Fonc}_{\mathrm{add}}(\mathcal{M}^{\#}, \mathcal{C}) \simeq \operatorname{Fonc}_{\mathrm{add}}(\mathcal{V}, \mathcal{C})\), de quasi-inverse \(\psi(H)(X, \pi) = \operatorname{Im} H(\pi)\). Jusque-là rien n'utilise les hypothèses sur \(\mathcal{V}\).

Ce sont elles qui rendent \(\mathcal{M}\) abélienne semi-simple ; alors les foncteurs additifs de \(\mathcal{M}\) dans une catégorie abélienne sont automatiquement exacts, et le problème universel est résolu. Cela revient à deux choses : (i) tout objet vérifie les conditions de chaînes ascendante et descendante sur les sous-objets, ce qui vient de la dimension finie des \(\operatorname{Fl}(X,X)\) ; (ii) tout morphisme \(u \colon P \to Q\) est isomorphe à un morphisme de la forme \[ A \oplus B \longrightarrow B \oplus C , \qquad (a, b) \longmapsto (b, 0) , \] de sorte qu'un monomorphisme est l'injection d'un facteur direct.¹⁰³ Pour (ii), il se ramène à \(P = Q\) en considérant \(v = \operatorname{inj}_{2}\,u\,\operatorname{pr}_{1}\) sur \(P \oplus Q\), et l'argument est celui des anneaux semi-simples : pour tout \(u\) d'un anneau semi-simple \(U = \operatorname{Fl}(P,P)\) il existe \(v\) tel que \(vu = \pi\) et \(uv = \varpi\) soient des idempotents, avec \(u\pi = u\), \(\varpi u = u\), \(\pi v = v\), \(v\varpi = v\), d'où \(P \simeq \pi P \oplus (1-\pi)P\), \(Q \simeq \varpi Q \oplus (1-\varpi)Q\) et \(u\) un isomorphisme de \(\pi P\) sur \(\varpi Q\).¹⁰⁴

Un foncteur biadditif \(\mathcal{V} \times \mathcal{V}' \to \mathcal{V}''\) se prolonge de façon essentiellement unique en un foncteur biadditif sur les enveloppes ; un produit \(\boxtimes\) symétrique, associatif et unitaire sur \(\mathcal{V}\) donne ainsi un produit tensoriel \(\otimes\) sur \(\mathcal{M}\), et, en caractéristique nulle, toutes les opérations tensorielles, \(\bigotimes^{n}\), \(\bigwedge^{n}\), \(S^{n}\) — images des idempotents de \(\mathbb{Q}[\mathfrak{S}_{n}]\).

149–151

L'exemple des variétés (pages 149 à 151)

Pour \(H = T \circ \underline{h}\) avec \(T\) exact, \(T\) est fidèle si et seulement si \(T(M) = 0\) entraîne \(M = 0\), si et seulement si \(T\) est conservatif, si et seulement si \(T\) est injectif sur les \(\operatorname{End}(M)\).¹⁰⁵

Exemple. Soit \(k\) algébriquement clos, \(\mathcal{V}\) la catégorie ayant pour objets les schémas projectifs et lisses sur \(k\), avec \[ \operatorname{Fl}(X, Y) = \bigoplus_{i,j} C^{m_{j}}(X_{i} \times Y_{j}) , \] \(X_{i}\), \(Y_{j}\) les composantes connexes, \(m_{j} = \dim Y_{j}\), \(C^{q}\) les classes de cycles de codimension \(q\) à coefficients rationnels modulo l'équivalence homologique \(\ell\)-adique, et la composition des correspondances. C'est la catégorie des correspondances de degré \(0\) ; l'objet nul est \(\varnothing\), la somme la réunion disjointe.¹⁰⁶ Si l'on admet que l'équivalence homologique coïncide avec l'équivalence numérique, les \(\operatorname{Fl}(X,Y)\) sont de dimension finie sur \(\mathbb{Q}\) ; si l'on admet l'inégalité de Hodge, les \(\operatorname{Fl}(X,X)\) sont des algèbres à involution positive « du type de Castelnuovo–Weil », donc semi-simples. Sous ces deux conjectures standard — \(D\) et la conjecture de type Hodge — la construction précédente donne une catégorie abélienne semi-simple \(\mathcal{M}\) de motifs, avec le foncteur contravariant universel \(\underline{h} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{M}\).¹⁰⁷ La cohomologie \(\ell\)-adique est fidèle sur \(\mathcal{V}\) par définition même de l'équivalence homologique et par la dualité ; elle définit un foncteur exact, fidèle, conservatif \[ T_{\ell} \colon \mathcal{M} \longrightarrow \operatorname{Mod}_{\mathrm{tf}}(\mathbb{Q}_{\ell}) , \] qu'il appelle le foncteur de Tate. S'y ajoutent les foncteurs de Hodge et de De Rham, fidèles en caractéristique nulle, et de Betti si \(k = \mathbb{C}\). Le produit \(X \times Y\) donne la structure multiplicative, et la formule de Künneth fait de \(T_{\ell}\) un foncteur tensoriel.¹⁰⁸

151–153

Graduation et objet de Tate (pages 151 à 153)

Revenons au cas abstrait, et donnons-nous des projecteurs \(\pi_{i} \in \operatorname{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{V}})\), orthogonaux deux à deux, de somme \(1\) — « somme infinie ! », mais presque tous nuls sur chaque objet. Ils s'étendent à \(\mathcal{M}\), qui devient graduée : \(\mathcal{M} = \prod_{i} \mathcal{M}^{i}\), les objets de \(\mathcal{M}^{i}\) étant les motifs effectifs de poids \(i\). Si de plus \(\pi_{n}(X \boxtimes Y) = \sum_{i+j=n} \pi_{i}(X) \boxtimes \pi_{j}(Y)\), le produit envoie \(\mathcal{M}^{i} \times \mathcal{M}^{j}\) dans \(\mathcal{M}^{i+j}\), et l'anneau de Grothendieck de \(\mathcal{M}\) est un \(\lambda\)-anneau gradué ; l'unité \(\Lambda(0)\) est de degré \(0\).¹⁰⁹

On fixe ensuite un objet \(\Lambda(-1)\) de degré \(p \geqslant 1\) tel que \(M \mapsto M(-1) = M \otimes \Lambda(-1)\) soit pleinement fidèle, et l'on pose \(\Lambda(-n) = \Lambda(-1)^{\otimes n}\), avec \(\operatorname{End}\Lambda(-n) = \operatorname{End}\Lambda(0) = \mathbb{Q}\). La catégorie \(\widetilde{\mathcal{M}}\) des motifs non nécessairement effectifs est la pseudo-limite inductive des copies de \(\mathcal{M}\) par \(M \mapsto M(-1)\) : ses objets sont les \(M(i)\), \(i \in \mathbb{Z}\), et \(\operatorname{Hom}(M(i), N(j)) = \operatorname{Hom}(M(i-r), N(j-r))\) pour \(r\) assez grand. Elle est graduée, et périodique de période \(p\) ; sa composante de degré \(i\) est \(\varinjlim_{k}\mathcal{M}^{i+kp}\).¹¹⁰

154–154

Le niveau, troisième mouture (page 154)

Un motif effectif \(M\) de degré \(i\) est de niveau \(\leqslant i - kp\) s'il est isomorphe à un \(M'(-k)\) avec \(M'\) effectif de degré \(i - kp\). Ces motifs forment une sous-catégorie épaisse de \(\mathcal{M}^{i}\), et comme \(\mathcal{M}\) est semi-simple, tout objet se décompose canoniquement en la somme de son plus grand sous-objet de niveau \(\leqslant i - kp\) et d'un supplémentaire. D'où \[ \mathcal{M}^{i} \;\simeq\; \mathcal{P}^{i} \times \mathcal{P}^{i-p}(-1) \times \mathcal{P}^{i-2p}(-2) \times \cdots , \] où \(\mathcal{P}^{j}\) est la catégorie des motifs effectifs primitifs de degré \(j\), n'ayant aucun sous-motif non nul de niveau \(\leqslant j - p\). La structure multiplicative se lit alors par les foncteurs \(\mathcal{Q}^{i,j,k} \colon \mathcal{P}^{i} \times \mathcal{P}^{j} \to \mathcal{P}^{i+j-kp}\), \((M, N) \mapsto K_{i+j,k}(M \otimes N)(k)\), où \(K_{i+j,k}\) est la projection de \(\mathcal{M}^{i+j}\) sur son facteur \(\mathcal{P}^{i+j-kp}(-k)\).¹¹¹ C'est, dans le cadre abstrait, la décomposition primitive par le niveau de la page 2 et des pages 37 à 40. Le niveau d'un motif quelconque se définit en se ramenant au cas effectif.

155–157

Duaux, formes bilinéaires, involutions (pages 155 à 157)

On suppose désormais \(p = 2\), et que pour tout motif effectif \(M\) de degré \(i\) le \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(-i))\) existe dans les motifs effectifs, le \(\underline{\operatorname{Hom}}\) étant défini par l'adjonction \(\operatorname{Hom}(P, \underline{\operatorname{Hom}}(M, N)) \simeq \operatorname{Hom}(P \otimes M, N)\). Si \(M\), \(N\) sont effectifs de degrés \(i\), \(j\) et que \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N)\) existe, il est de degré \(j - i\) ; ainsi \[ M^{*} = \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(-i)) , \qquad \deg M^{*} = \deg M = i , \] et \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(-i)) \simeq M^{*} \otimes N\) pour tout \(N\). Donc \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N(-j))\) existe pour \(j\) grand, puis \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N)\) dans \(\widetilde{\mathcal{M}}\), avec les règles évidentes ; on pose \(\check{M} = \underline{\operatorname{Hom}}(M, \Lambda(0))\), et \(\underline{\operatorname{Hom}}(M, N) \simeq \check{M} \otimes N\), en prenant garde que \(\check{M}\) n'est pas effectif si \(\deg M \neq 0\). La catégorie est rigide.¹¹²

Les formes bilinéaires sur deux motifs \(M\), \(N\) de degré \(i\) sont \[ B(M, N) = \operatorname{Hom}(M \otimes N, \Lambda(-i)) \simeq \operatorname{Hom}(M, N^{*}) \simeq \operatorname{Hom}(N, M^{*}) , \] avec, si \(M = N\), les formes symétriques et alternées. Une forme est non dégénérée en \(M\) si \(M \to N^{*}\) est un monomorphisme, ce qui équivaut à ce que \(N \to M^{*}\) soit un épimorphisme ; si \(M = N\), les deux notions coïncident.¹¹³

Involutions. Soient \(\alpha \in B(M, M)\) et \(\beta \in B(N, N)\) non dégénérées, symétriques ou alternées, d'où \(\tilde{\alpha} \colon M \xrightarrow{\sim} M^{*}\) et \(\tilde{\beta} \colon N \xrightarrow{\sim} N^{*}\). L'adjoint de \(u \colon M \to N\) est \[ u' = \tilde{\alpha}^{-1} \circ {}^{t}u \circ \tilde{\beta} \colon N \longrightarrow M , \] et l'on a \((u \pm v)' = u' \pm v'\), \((uv)' = v'u'\), \(1' = 1\), et \((u')' = u\) si \(\alpha\) et \(\beta\) sont de même type. En particulier \(\operatorname{End}(M)\) est une \(\mathbb{Q}\)-algèbre involutive. Si l'on remplace \(\alpha\), \(\beta\) par \(\alpha_{1}\), \(\beta_{1}\) avec \(\tilde{\alpha}_{1} = \tilde{\alpha} A\) et \(\tilde{\beta}_{1} = \tilde{\beta} B\), le nouvel adjoint est \[ u'' = A^{-1}\,u'\,B , \] et pour \(M = N\), \(A = B\) autoadjoint, l'involution devient \(u \mapsto A^{-1}u'A\) : elle est déterminée par la forme modulo un automorphisme intérieur.¹¹⁴

158–166

Formes définies positives (pages 160, 158, 162, 164 et 166)

Le feuillet 160 pose les axiomes que le feuillet 158 emploie déjà : on les lit dans cet ordre. On suppose donné, pour tout \(X \in \mathcal{V}\), avec \(\underline{h}(X) = (\underline{h}^{i}(X))_{i}\), un ensemble \(\Phi_{X}\) de formes fondamentales \(\varphi = (\varphi_{i})\), \(\varphi_{i} \in B(\underline{h}^{i}(X), \underline{h}^{i}(X))\), tel que :

1. (i)si \(\varphi \in \Phi_{X}\) et \(\psi \in \Phi_{Y}\), \(\varphi \oplus \psi \in \Phi_{X \sqcup Y}\) ;
2. (ii)si \(\varphi \in \Phi_{X}\) et \(\psi \in \Phi_{Y}\), \(\varphi \otimes \psi \in \Phi_{X \boxtimes Y}\) ;
3. (iii\(_{0}\))sur \(\underline{h}^{0}(X)\), les \(\varphi \in \Phi_{X}\) sont définies positives ;
4. (iii)si \(\varphi \in \Phi_{X}\), \(\psi \in \Phi_{Y}\) et \(u \colon X \to Y\) induit \(u^{(i)} \colon \underline{h}^{i}(Y) \to \underline{h}^{i}(X)\), d'adjoint \(s^{(i)}_{u}\) relativement à \(\psi\) et \(\varphi\), alors \[ \operatorname{Tr}\bigl(s^{(i)}_{u}\,u^{(i)}\bigr) \geqslant 0 , \quad \text{avec égalité seulement si } u^{(i)} = 0 . \]¹¹⁵

C'est la positivité de Weil, que la conjecture standard de type Hodge doit donner pour les formes \(\varphi_{i}(x, y) = \pm\,\langle L^{n-i}x, y\rangle\) corrigées sur chaque morceau primitif.¹¹⁶ La page 158 en tire que les \(\operatorname{End}(\underline{h}^{i}(X))\) sont des algèbres de Riemann — des algèbres semi-simples munies d'une involution positive —, donc semi-simples, ce qui permet de construire la catégorie des motifs comme catégorie abélienne. Elle discute l'indétermination du système : remplacer \(\varphi_{i}\) par \(\varepsilon_{i}\varphi_{i}\), \(\varepsilon_{i} = \pm 1\), ne change pas les adjoints, donc respecte (i) et (iii) ; (iii\(_{0}\)) impose \(\varepsilon_{0} = 1\) et (ii) \(\varepsilon_{i}\varepsilon_{j} = \varepsilon_{i+j}\), donc \(\varepsilon_{i} = \varepsilon^{i}\) : il reste un signe, qu'on fixe en degré \(1\) en demandant, en géométrie, que les formes correspondent aux polarisations des variétés abéliennes.¹¹⁷

(iii bis). L'axiome (iii) équivaut, moyennant (ii), (iii\(_{0}\)) et la dualité qui fait des morphismes \(X \to Y\) des éléments de \(\Gamma\,\underline{h}^{2i}(X \boxtimes Y)(i)\), à ceci : sur \(\operatorname{Hom}(\Lambda(-i), \underline{h}^{2i}(X)) \simeq \Gamma\,\underline{h}^{2i}(X)(i)\), la forme induite par \(\varphi_{2i}\) est définie positive.¹¹⁸ C'est, pour les cycles algébriques de codimension \(i\), la forme même de la conjecture de type Hodge.

Soient maintenant \(\varphi, \psi \in \Phi_{X}\), avec \(\tilde{\psi} = \tilde{\varphi} A\). Pour \(u \in \operatorname{End}(\underline{h}^{i}(X))\), l'adjoint relatif à \((\varphi, \psi)\) est \(u'' = u'A\), et (iii) donne \(\operatorname{Tr}(u u' A) \geqslant 0\) pour tout \(u\) : \(A\) est dans le cône positif de l'algèbre de Riemann \(\operatorname{End}(\underline{h}^{i}(X))\) définie par \(\varphi\), c'est-à-dire que \(\varphi\) et \(\psi\) définissent la même structure riemannienne.¹¹⁹

Plus généralement (page 164), soit \(M\) effectif de degré \(i\), et deux plongements \(\lambda \colon M \to \underline{h}^{i}(X)\), \(\mu \colon M \to \underline{h}^{i}(Y)\), avec les formes induites \(\varphi_{0}\), \(\psi_{0}\) par \(\varphi \in \Phi_{X}\), \(\psi \in \Phi_{Y}\). Alors \(\varphi_{0}\) et \(\psi_{0}\) sont définies et équivalentes. En effet \(\lambda'\lambda = \mathrm{id}_{M}\) et \(\mu'\mu = \mathrm{id}_{M}\) par définition des formes induites, et pour \(u \in \operatorname{End}(M)\), d'adjoint \(u'\) relatif à \((\varphi_{0}, \psi_{0})\), \[ \operatorname{Tr}(\mu u \lambda')'(\mu u \lambda') = \operatorname{Tr}\lambda u' \mu' \mu u \lambda' = \operatorname{Tr}\lambda'\lambda\, u' \mu'\mu\, u = \operatorname{Tr} u'u , \] qui est donc \(\geqslant 0\), nul seulement si \(\mu u \lambda' = 0\), c'est-à-dire si \(u = 0\).¹²⁰ On obtient ainsi, sur tout motif effectif \(M\), une classe \(\Psi_{M}\) de formes riemanniennes, qui satisfait les analogues de (i) à (iii bis).

Enfin (page 166) : on a \(B(M(-1), M(-1)) \simeq B(M, M)\), et il faut vérifier que \(\Psi_{M(-1)}\) correspond à \(\Psi_{M}\) — « cela doit pouvoir se faire ». Par (ii), il suffit que la forme canonique \(1 \in B(\Lambda(-1), \Lambda(-1))\) soit dans \(\Psi_{\Lambda(-1)}\), vérification triviale dans le cas classique. Ceci permet d'étendre la notion de forme définie positive aux motifs non nécessairement effectifs, et c'est la dernière phrase du dossier.¹²¹