Cote n° 119 · pages 141–313 · Lecture modernisée · Esquisse d’un programme [dossier constitué en vue d'une candidature au CNRS (1984)] : copies de tapuscrits et de tapuscrits annotés (1972-1974, 1978-1979, 1984, 1990-1991, s.d.), tirés à part (1971), notes et copies de note manuscrites (1986, s.d.), lettres (1968, 1972, 1991). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1968-1991
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

141–143

Le dossier, ce que cette lecture en couvre, et ses notations

Le dossier 119 compte 313 pages. Les deux exemplaires de l'Esquisse d'un programme (janvier 1984) en occupent cent seize (pages 2 à 59 et 78 à 135) ; ce texte est publié¹ et cette lecture n'en dit rien de plus. Le reste a été relevé page par page sur le fac-similé, et seule une partie en a été transcrite. Cette lecture porte sur ces parties transcrites, et sur elles seules :

• pages 141 à 160 : trois notes mathématiques manuscrites (1984–1986), précédées d'un rapport d'activité déjà publié ailleurs ;
• pages 241 à 280 : le texte de juin 1968 sur le maître-enseignant et le maître-chercheur, en deux états, la lettre à Hubert Beuve-Méry, et des pièces collectives de la commission d'Orsay ;
• pages 301 à 313 : son curriculum vitae, en deux exemplaires.

Ce qui n'est pas transcrit — des tirés à part de N. Saavedra Rivano (1971), un second rapport d'activité (décembre 1984), le polycopié Fonctions holomorphes (1973–1974), le programme de C4 de 1978–1979, deux exemplaires de l'Esquisse thématique (1972), une lettre de Ronald Brown (1991) et un résumé de cours de J.-P. Serre — n'est pas lu ici. Une lecture faite sans ces pages ne peut pas dire ce qu'elles changeraient, et ne le prétend pas.

Les pages 141 et 142 portent un « Rapport d'activité » dactylographié, non daté, titré de sa main ; il est déjà transcrit par ailleurs et la transcription ne le reprend pas.² On le mentionne parce qu'il nomme exactement les sujets des notes qui suivent : la topologie modérée et le dévissage des structures stratifiées, c'est l'« Addendum » des pages 147 à 152. La page 143 est une chemise, d'une autre main sans doute : « Notes de math. oubliées par Jean Malgoire », qui couvre les pages 144 à 160.

Le dossier n'a donc pas de fil mathématique continu, et cette lecture n'en invente pas. Elle a cinq stations, chacune autonome :

1. le topos quotient d'un feuilletage (pages 144–145, mars 1986) ;
2. l'« Addendum » à l'Esquisse : colliers, cônes, voisinages tubulaires en topologie modérée (pages 147–152) ;
3. les « Digressions combinatoires » : géométrie des ensembles à au plus six éléments (pages 154–160) ;
4. le texte de 1968 et la lettre au Monde (pages 241–280) ;
5. le curriculum vitae (pages 301–313).

Pour les trois premières, qui sont des mathématiques, la lecture énonce ce qui est vrai et dit en note ce que porte la page. Pour les deux dernières, qui ne le sont pas, elle est une présentation fidèle en français d'aujourd'hui, avec le contexte que le texte suppose connu ; elle n'y corrige rien, sauf des références bibliographiques.

Notations, valables pour les trois stations mathématiques. Un espace modéré est un espace de la topologie modérée de l'Esquisse ; la lecture le prend au sens, précisé depuis, d'un ensemble définissable dans une structure o-minimale (par exemple semi-algébrique), compact sauf mention contraire.³ On note \(I = [0,1]\). Pour les pages combinatoires, \(\mathfrak{S}_n\) est le groupe symétrique, \(\omega(S)\) l'ensemble à deux éléments des orientations d'un ensemble fini \(S\), \(\wedge\) le produit contracté des ensembles à deux éléments ; ce qu'il note \(\mathrm{GP}(1,k)\) est écrit \(\mathrm{PGL}_2(k)\), et son \(\mathrm{Aff}(n,k)\) est écrit \(\mathrm{AGL}_n(k)\).

144–145

Le topos quotient d'un feuilletage (pages 144 et 145, mars 1986)

La note est datée « Mars 1986 » et titrée en marge « Feuilletages », avec une question à lui-même : « Mettre où ? ».

Le problème

Soit \(E\) un espace muni d'une relation d'équivalence locale \(Q\) : l'exemple type est une variété feuilletée, où deux points sont localement équivalents quand ils sont sur la même plaque d'une carte feuilletée. L'espace des feuilles \(E/Q\), quotient topologique naïf, est en général dégénéré — pour le feuilletage de Kronecker du tore par des droites de pente irrationnelle, chaque feuille est dense et le quotient porte la topologie grossière. Il propose de remplacer ce quotient par un topos quotient, et note au passage que \(E\) pourrait déjà être un topos.

Il donne un cas modèle : les quotients obtenus sont des « espaces » de la forme \((X, G)\), où \(X\) est un espace et \(G\) un groupe discret opérant sur \(X\), pas nécessairement librement, \(G\) étant le groupe fondamental d'une feuille. C'est la situation d'une suspension : si toutes les feuilles sont homéomorphes à un même \(F\) et qu'une application \(E \to F\) induit des homéomorphismes de chaque feuille sur \(F\),⁴ le feuilletage est localement un produit transverse, l'holonomie est une action de \(G = \pi_1(F)\) sur une transversale \(X\), et le topos quotient attendu est le topos \(B_G(X)\) des faisceaux \(G\)-équivariants sur \(X\) — le « quotient homotopique » \(X /\!/ G\), qui garde trace des stabilisateurs là où l'action n'est pas libre. Une note marginale presque illisible porte le mot « holonomie ».⁵

L'énoncé

Sous le sigle « Th », il énonce ceci. Soit \(C\) la catégorie des couples \((X, R)\), où \(X\) est un espace topologique et \(R\) une relation d'équivalence locale sur \(X\), localement ouverte, à fibres localement connexes, les flèches étant les applications continues compatibles aux relations. Soit \(C'\) la catégorie des triplets \((X, \mathcal{Y}, f)\), où \(X\) est un espace topologique, \(\mathcal{Y}\) une « multiplicité topologique », et \[ f \colon \mathrm{Top}(X) \longrightarrow \mathcal{Y} \] un morphisme de topos, issu du topos des faisceaux sur \(X\), localement ouvert et à fibres localement connexes. Alors \[ C \;\simeq\; C' . \] Il précise que \(C'\) est a priori une 2-catégorie mais que ses catégories de morphismes \(\mathrm{Hom}(\xi, \eta)\) sont discrètes, de sorte qu'il s'agit bien d'une équivalence de catégories ordinaires.⁶

Ce qu'il faut entendre est que le foncteur \(C \to C'\) envoie \((X, R)\) sur le morphisme quotient de \(\mathrm{Top}(X)\) vers le topos quotient de \(X\) par \(R\), et que réciproquement \(R\) se lit sur \(f\) comme la relation « être dans la même composante connexe locale d'une fibre ». La page ne donne aucune démonstration, et la lecture ne prétend pas en avoir une : c'est un énoncé annoncé.⁷

Il ajoute des variantes pour les variétés feuilletées de classe \(C^{r}\), \(r \in [0, +\infty] \cup \{\omega\} \cup \{\omega_{\mathbb{C}}\}\) — c'est-à-dire du topologique à l'analytique complexe — et une question : quelles variétés (au sens de ces multiplicités) obtient-on comme quotients de feuilletages ? La page la laisse ouverte, et une marge illisible semble y revenir (« … cette lacune … feuilletages »).

147–152

Addendum à l'Esquisse : colliers, cônes, voisinages tubulaires (pages 147 à 152)

Six feuillets numérotés 1 à 6 de sa main, non datés. Le titre est « Addendum Esquisse d'un Programme », et la première ligne en annonce l'objet : le voisinage tubulaire d'une partie modérée d'un espace modéré compact, avec pour cas évident celui d'un point.⁸

L'idée directrice, qu'il répète à chaque paragraphe, est que les choix faits pour construire un voisinage — un collier, un cône, une paramétrisation — doivent être anodins : l'espace de ces choix doit être contractile. C'est la forme précise de « ne dépend pas du choix » quand ce qu'on construit n'est pas une classe mais un objet, et que l'on veut pouvoir en transporter les automorphismes.

147–147

I. Colliers

Soit \(B\) une partie modérée « bordante » d'un espace modéré \(X\) — la page ne définit pas le mot, qui doit vouloir dire que \(B\) est placée dans \(X\) comme un bord.⁹ Un collier autour de \(B\) est un voisinage \(C\) de \(B\) dans \(X\) avec un homéomorphisme modéré \[ \varphi \colon C \xrightarrow{\ \sim\ } B \times I, \qquad \varphi(b) = (b, 0) \ \ (b \in B), \] et l'on pose \(\dot C = \varphi^{-1}(B \times \{1\})\).¹⁰ Le collier est strict si \(\dot C\) est à son tour bordante dans \(X \smallsetminus (C \smallsetminus \dot C)\) ; il est rigidifié quand on retient \(\varphi\) et pas seulement le couple \((C, \dot C)\).

Conjecture 1. Soit \(B\) bordante dans \(X\).

1. a)Il existe un collier, donc aussi un collier strict.
2. b)L'espace des colliers stricts est contractile.
3. c)L'espace des rigidifications d'un collier donné est contractile ; de façon équivalente, le groupe des automorphismes d'un collier qui induisent l'identité sur \(B\) est contractile.

Autrement dit, choisir un collier strict, ou un collier strict rigidifié, ou une rigidification d'un collier donné, est anodin.

Pour des variétés topologiques à bord, a) est le théorème du collier de M. Brown (1962), et l'unicité des colliers à isotopie près est connue. Le point c) demande une remarque, car lu à la lettre il ne peut pas valoir en toute généralité. Deux rigidifications d'un même collier diffèrent d'un homéomorphisme de \(B \times I\) qui fixe \(B \times \{0\}\) point par point et préserve \(B \times \{1\}\) ; pour \(B\) une variété close, le groupe de ces homéomorphismes est l'espace des pseudo-isotopies (ou des concordances) de \(B\). Or cet espace n'est pas contractible en général : déjà son \(\pi_0\) est non nul pour certaines variétés compactes non simplement connexes de grande dimension (Hatcher et Wagoner, 1973, dans le cadre lisse ; l'obstruction vaut aussi dans le cadre linéaire par morceaux). Une variété linéaire par morceaux compacte étant un espace modéré, l'énoncé c) tel quel ne peut donc pas valoir pour de tels \(B\).¹¹ Ce que l'obstruction laisse intact est l'unicité des colliers à isotopie près, qui suffit à beaucoup d'usages.

148–148

II. Cônes autour d'un point

Soit \(a \in X\). Un cône autour de \(a\) est un couple \(\dot C \subsetneq C\), \(a \in C \subset X\), avec un homéomorphisme modéré \[ \rho \colon (C, \dot C) \xrightarrow{\ \sim\ } \bigl(\mathrm{Cone}(Y), Y\bigr), \qquad \rho(a) = o, \] où \(Y\) est un espace modéré, \(\mathrm{Cone}(Y) = Y \times I / Y \times \{0\}\) et \(o\) le sommet. Il est strict si \(\dot C\) est bordant dans \(X \smallsetminus (C \smallsetminus \dot C)\), rigidifié si l'on retient \(\rho\).

Conjecture 2.

1. a)Il existe un cône strict autour de tout point.
2. b)L'espace des cônes stricts autour de \(a\) est contractile.
3. c)L'espace des rigidifications d'un cône donné est contractile, c'est-à-dire : le groupe des automorphismes de \(\mathrm{Cone}(Y)\) qui induisent l'identité sur \(Y\) et fixent \(o\) est contractile.

Ici la situation est meilleure qu'au paragraphe I. Le point a) est le théorème de structure conique locale : dans une structure o-minimale, tout point d'un ensemble définissable a un voisinage définissablement homéomorphe au cône sur son entrelacs (Milnor, 1968, pour les ensembles algébriques ; Bochnak–Coste–Roy pour les semi-algébriques ; Coste et van den Dries dans le cadre o-minimal). Le point c) est vrai, par le truc d'Alexander : si \(h\) est un tel automorphisme, on pose, pour \(t \in \,]0,1]\), \[ h_t(x) = t \cdot h(x / t) \ \text{ si } |x| \leqslant t, \qquad h_t(x) = x \ \text{ sinon}, \] où \(|x|\) désigne la coordonnée radiale et \(x \mapsto t\cdot x\) l'homothétie du cône ; \(h_1 = h\), \(h_t\) tend vers l'identité quand \(t \to 0\) parce que \(h\) fixe \(o\), et la formule recolle sur \(|x| = t\) parce que \(h\) fixe \(Y\). Le chemin \(t \mapsto h_t\) contracte le groupe sur l'identité, et l'homothétie étant modérée (semi-algébrique sur un cône linéaire), la contraction reste dans le cadre modéré.¹² Le contraste entre I c) et II c) est instructif : le sommet du cône absorbe tout, le bord d'un collier n'absorbe rien.

148–149

III. Le système des onze équivalences

Il introduit six catégories d'espaces modérés, dont il ne précise pas les flèches¹³ :

• \(\mathrm{PB}\), les paires bordantes \((X, B)\) ; \(\mathrm{PBC}\), les paires bordantes munies d'un collier strict \((C, \dot C)\) ; \(\mathrm{PBCR}\), celles munies d'un collier strict rigidifié \((C, \varphi)\) ;
• \(\mathrm{EP}\), les espaces pointés \((X, a)\) ; \(\mathrm{EPC}\), les espaces pointés munis d'un cône strict ; \(\mathrm{EPCR}\), ceux munis d'un cône strict rigidifié.

Il affirme une « cascade » de foncteurs qui seraient tous des équivalences de catégories \(\infty\)-isotopiques — en termes actuels, des équivalences d'\(\infty\)-catégories, les espaces de morphismes étant des espaces d'homéomorphismes :

\begin{tikzcd}[column sep=6em, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
  & \mathrm{PB} \arrow[dl, "{\text{recoller } B \times I}"'] \arrow[dr, "{\text{recoller Cône}(B)}"] \arrow[dddl, bend right=20, "{\mathrm{id}}" description] \arrow[dddr, bend left=20] & \\
  \mathrm{PBCR} \arrow[rr, dashed] \arrow[d, "\text{oubli rig.}"'] & & \mathrm{EPCR} \arrow[d, "\text{oubli rig.}"] \\
  \mathrm{PBC} \arrow[rr, dashed, "{\text{contracter } B}"] \arrow[d, "\text{oubli collier}"'] & & \mathrm{EPC} \arrow[d, "\text{oubli cône}"] \\
  \mathrm{PB} \arrow[rr, "{(X,B) \mapsto (X/B, *)}"'] & & \mathrm{EP}
\end{tikzcd}

Les onze foncteurs sont les onze flèches du diagramme.¹⁴ « Recoller \(B \times I\) » remplace \((X, B)\) par \((X \cup_{B} B \times I,\ B \times \{0\})\) : on ajoute un collier extérieur, qui vient avec sa rigidification ; « recoller \(\mathrm{Cone}(B)\) » remplace \((X, B)\) par l'espace pointé \((X \cup_B \mathrm{Cone}(B), o)\), avec son cône canonique. La flèche du bas contracte \(B\) en un point ; son inverse attendu est l'éclatement réel du point : retirer l'intérieur d'un cône strict et garder son entrelacs comme bord.

La lecture insiste sur un point que la page laisse implicite : ces foncteurs ne peuvent être des équivalences qu'à isotopie près, et seulement dans un cadre modéré. Dans le cadre topologique, l'homéomorphisme \((r, \theta) \mapsto (r, \theta + 1/r)\) du plan, qui fixe l'origine, ne se relève à aucun homéomorphisme du plan éclaté en l'origine ; c'est une spirale, et une structure o-minimale exclut précisément les spirales. C'est une bonne illustration de ce que la topologie modérée est faite pour éviter.

Il note une variante : multipaires bordantes \(B = \coprod_{i \in I} B_i\) et espaces multipointés \(I \hookrightarrow X\), \(I\) fini variable. La page redessine le système en perspective, et se termine sur une phrase en partie illisible dont le sens est clair : ces catégories étant \(\infty\)-isotopiquement équivalentes, on peut travailler avec n'importe laquelle.

150–150

IV. Voisinages tubulaires

Soit \(Y\) une partie modérée fermée d'un espace modéré \(X\). Un voisinage tubulaire de \(Y\) est par définition un cône strict autour du point \(o\) image de \(Y\) dans \(X/Y\) — c'est-à-dire, en remontant, un voisinage \(V\) de \(Y\) dont le « bord » \(\dot V\) est bordant et tel que \(V/Y\) soit un cône sur \(\dot V\).

Construction. Soit \(f \colon X \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}\) une fonction modérée telle que \(f^{-1}(0) = Y\) ; pour \(\varepsilon > 0\) assez petit, on prend \[ V = f^{-1}([0, \varepsilon]), \qquad \dot V = f^{-1}(\varepsilon). \] C'est la construction qu'on appelle aujourd'hui voisinage défini par une fonction tapis (« rug function ») ; pour les ensembles semi-algébriques, Durfee (1983) a montré que le résultat, pour \(\varepsilon\) petit, ne dépend pas de \(f\) à isotopie près.¹⁵

Rigidification. Rigidifier le voisinage tubulaire, c'est rigidifier le cône, ce qui revient à se donner \[ V \smallsetminus Y \;\simeq\; \dot V \times [0, 1[ \] et une application modérée \(\varphi \colon \dot V \to Y\) telle que \[ X \;\simeq\; \Bigl( \bigl(X \smallsetminus (V \smallsetminus \dot V)\bigr) \cup_{\dot V \times \{0\}} (\dot V \times I) \Bigr) \cup_{\dot V \times \{1\},\, \varphi} Y . \] Autrement dit, \(V\) est le cylindre de l'application \(\varphi\), recollé au reste de \(X\) le long de \(\dot V\) : c'est un voisinage en cylindre d'application.¹⁶ Il appelle cette donnée une rigidification \(Y\)-admissible, et énonce :

1. a)une rigidification \(Y\)-admissible existe ;
2. b)la classe d'homotopie de \(\varphi \colon \dot V \to Y\) est bien déterminée ;

« mais on voudrait plus précis », et en marge : « choix de voisinages tubulaires et de rigidifications anodins ».

Ces deux points sont aujourd'hui acquis dans le cadre o-minimal compact. Pour a), on triangule \(X\) de façon définissable avec \(Y\) sous-complexe ; le voisinage simplicial de \(Y\) dans la deuxième subdivision barycentrique est, par sa structure de joint, homéomorphe au cylindre d'une application de sa frontière vers \(Y\). Pour b), \(V\) se rétracte par déformation sur \(Y\), et \(\varphi\) est homotope à l'inclusion \(\dot V \hookrightarrow V\) suivie de cette rétraction : sa classe d'homotopie ne dépend que de l'inclusion. C'est le « plus précis » — un énoncé de contractibilité des choix — qui reste au niveau d'un programme.

151–152

V. Le cas équisingulier, le cas général, les filtrations

1° Cas où \(X\) est équisingulier le long de \(Y\). Il présume qu'on peut alors prendre \(\varphi\) fibrante — une fibration localement triviale — et que l'on a une équivalence de catégories \(\infty\)-isotopiques \[ \bigl\{ (X', B, Y, \varphi) \bigr\} \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \bigl\{ (X, Y) \text{ paires équisingulières} \bigr\}, \qquad (X', B, Y, \varphi) \longmapsto \bigl( X' \cup_{B, \varphi} Y,\ Y \bigr), \] où \((X', B)\) est une paire bordante et \(\varphi \colon B \to Y\) une fibration. Quand \(X \smallsetminus Y\) et \(Y\) sont réguliers (des variétés), cela doit correspondre au cas où \(X'\) est une variété à bord \(B\).

C'est, sous un autre nom, la description d'un espace stratifié à deux strates par sa résolution : une variété à bord dont le bord est fibré sur la strate fermée, la fibre étant l'entrelacs. Dans le cadre des espaces stratifiés de Whitney, l'existence de la fibration est le premier lemme d'isotopie de Thom et la théorie des données de contrôle de Mather (1970) ; la version « équivalence de catégories » de son énoncé est très proche du « dézippage » d'Ayala, Francis et Tanaka (2017) pour les espaces stratifiés coniquement lisses.¹⁷

2° Cas général. Sans équisingularité, il faudrait imposer à \(\varphi \colon \dot V \to Y\) des conditions assurant l'unicité essentielle, par exemple une condition de dimension : si \(c(y)\) est la codimension de \(Y\) dans \(X\) en \(y\), alors \[ \dim \varphi^{-1}(y) = c(y) - 1, \] comme pour le fibré en sphères normal dans le cas lisse. Il « rêve » d'une description de la catégorie \(\infty\)-isotopique des paires \((X, Y)\) en termes de données \((X', B, \varphi \colon B \to Y)\) soumises à de telles conditions.¹⁸ Les « voisinages en goutte » (teardrop neighbourhoods) de Hughes et les espaces homotopiquement stratifiés de Quinn (1988) sont la forme la plus générale connue de ce rêve dans le cadre topologique.

Filtrations. Après un trait, une dernière question : un espace modéré a-t-il une filtration canonique, régulière et équidimensionnelle ? Il le présume, et note que les invariants de dévissage de cette filtration seraient alors des invariants de la structure modérée elle-même.¹⁹ La réponse est oui sous des formes diverses : les ensembles semi-algébriques ont une stratification de Whitney minimale, et les pseudo-variétés une stratification intrinsèque, purement topologique (King, 1985), dont l'homologie d'intersection est un invariant.

154–160

Digressions combinatoires (pages 154 à 160)

Sept pages photocopiées d'un manuscrit, sous le titre « Digressions combinatoires (pour Réflexions t. 4) ».²⁰ Ce n'est pas une rédaction mais un plan, plusieurs fois repris. Le sujet est une géométrie des petits ensembles finis, qui rend visibles les isomorphismes exceptionnels entre groupes symétriques et groupes linéaires ou affines sur de petits corps finis, et l'automorphisme extérieur de \(\mathfrak{S}_6\).

Deux notions de base

Orientations et produit contracté. Un ensemble à deux éléments sur lequel agit \(\mathbb{Z}/2\) est un \(\mathbb{Z}/2\)-torseur. Si \(\varepsilon\) et \(\varepsilon'\) en sont deux, leur produit contracté \(\varepsilon \wedge \varepsilon'\) est le quotient de \(\varepsilon \times \varepsilon'\) par l'action diagonale ; concrètement, c'est l'ensemble des deux bijections \(\varepsilon \to \varepsilon'\). On a canoniquement \(\varepsilon \wedge \varepsilon \simeq 1\) (le torseur trivial). Une orientation d'un ensemble fini \(S\) (de cardinal \(\geqslant 2\)) est une numérotation de ses éléments à permutation paire près ; l'ensemble \(\omega(S)\) de ses deux orientations est un torseur, et l'on a \(\omega(S \amalg T) \simeq \omega(S) \wedge \omega(T)\), ainsi que \(\omega(\varepsilon) \simeq \varepsilon\) pour un ensemble \(\varepsilon\) à deux éléments. Ses calculs des pages 155 et 156 sont des identités entre de tels torseurs.

Carrés. Une structure de carré sur un ensemble \(E\) à quatre éléments est une partition de \(E\) en deux paires — les deux diagonales du carré. Il y en a trois. Il note \(\mathrm{Car}(E)\) leur ensemble et l'identifie à l'ensemble des « antipodismes » de \(E\).

154–154

Le premier plan (page 154)

Le plan en quatre chapitres est : géométrie des ensembles de cardinal \(\leqslant 4\) ; l'icosaèdre « gauche » et ses trois perspectives ; les bi-icosaèdres ; la dualité des hexagrammes. Ce dernier chapitre est le cœur, et voici ce qu'il dit en termes actuels.

Soit \(S\) un ensemble à six éléments. Les sous-groupes de \(\mathfrak{S}(S)\) isomorphes à \(\mathfrak{S}_5\) et opérant transitivement sur \(S\) sont au nombre de six ; leur ensemble est un nouvel ensemble à six éléments \(S^*\), le dual de \(S\), et l'on a \(S^{**} \simeq S\). L'isomorphisme \(\mathrm{Aut}(S) \simeq \mathrm{Aut}(S^*)\) qui en résulte est l'automorphisme extérieur de \(\mathfrak{S}_6\) : c'est ce qu'il appelle l'autodualité \(\mathrm{Ens}_6 \simeq \mathrm{Ens}_6\).²¹

Il nomme bi-icosaèdre ce qui est fixé par un tel \(\mathfrak{S}_5\) transitif. L'interprétation est la suivante : un icosaèdre a six axes (droites joignant deux sommets opposés), et son groupe des rotations, isomorphe à \(\mathfrak{A}_5\), opère sur ces six axes comme \(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_5)\) sur les six points de la droite projective \(\mathbf{P}^1(\mathbb{F}_5)\) ; le normalisateur \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_5) \simeq \mathfrak{S}_5\) échange les deux icosaèdres « miroirs » qui ont les mêmes axes. Une structure icosaédrale sur \(S\) (identification à l'ensemble des axes d'un icosaèdre) a donc pour groupe \(\mathfrak{A}_5\) ; il y en a douze, groupées en six paires — les six bi-icosaèdres, c'est-à-dire les six points de \(S^*\). Les éléments qui échangent les deux icosaèdres d'une paire agissent sur \(S\) par des permutations impaires²² ; c'est ce qui donne sens à sa formule \[ \mathrm{Ic}(S) \;\simeq\; S^* \times \omega(S) , \] bijection compatible à l'action de \(\mathfrak{S}(S)\).²³

Le « dictionnaire de la dualité » apparie les structures sur \(S\) et sur \(S^*\) selon les types de partitions de six, ce qui est la façon dont l'automorphisme extérieur agit sur les classes de conjugaison de sous-groupes :

• un point marqué de \(S\) (type \((1,5)\)) correspond à un bi-icosaèdre sur \(S^*\), et un point marqué avec une orientation à un icosaèdre ;
• une paire marquée (type \((2,4)\), groupe \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4\)) correspond à une partition en trois paires (type \((2,2,2)\), groupe \(\mathfrak{S}_2 \wr \mathfrak{S}_3\)), c'est-à-dire à une structure de cube, les trois paires étant les trois paires de faces opposées ; les deux groupes sont d'ordre \(48\) ;
• une partition en deux triades (type \((3,3)\), « ditriade », groupe \(\mathfrak{S}_3 \wr \mathfrak{S}_2\) d'ordre \(72\)) correspond à une ditriade.

Une seconde colonne (A\('\), B\('\), C\('\)) ajoute à chaque structure un sommet, une arête ou une « biface », et la page 156 en tire les correspondances fines.²⁴

155–156

Carrés duaux et plan affine sur \(\mathbb{F}_3\) (pages 155 et 156)

Les carrés. Une structure de carré \(Q\) sur un sous-ensemble à quatre éléments de \(S\) correspond, par la dualité, à une structure de carré \(Q^*\) sur un sous-ensemble à quatre éléments de \(S^*\), et il écrit les relations \[ \varepsilon \wedge \varepsilon^* \wedge \omega(Q) \simeq 1, \qquad \omega(Q) \simeq \omega(Q^*), \qquad Q^* \simeq \varepsilon \wedge Q, \qquad Q \simeq \varepsilon^* \wedge Q^*, \] où \(\varepsilon\), \(\varepsilon^*\) sont les paires complémentaires.²⁵ La page 156 les combine avec les torseurs \(\mathrm{diag}\,Q\) et \(\mathrm{codiag}\,Q\) et aboutit à \(\mathrm{codiag}\,Q^* \simeq \mathrm{diag}\,Q\), puis, dans un « programme icosaèdre », lit ces torseurs sur les sommets d'un icosaèdre dessiné en perspective. Elle note enfin, avec un « OK ! », la vérification \[ \omega(S \amalg \varepsilon) \simeq \omega(S) \wedge \varepsilon \simeq \mathrm{codiag}(Q) \wedge \varepsilon \simeq \mathrm{diag}\,Q, \] qui identifie le choix d'une structure icosaédrale dans un bi-icosaèdre à \(\mathrm{diag}\,Q\). Ces calculs dépendent de définitions que les pages ne donnent pas ; la lecture les rapporte sans les refaire.²⁶

La même page 156 note deux faits justes sur \(\mathfrak{S}_6\) : ses 3-sous-groupes de Sylow sont isomorphes à \(\mathbb{F}_3^2\) et ses 2-sous-groupes de Sylow à \(D_4 \times \mathbb{Z}/2\) (ordres \(9\) et \(16\)).

Le plan affine sur \(\mathbb{F}_3\). Soit \(V\) un plan affine sur \(\mathbb{F}_3\) (neuf points). L'ensemble \(E = \mathbf{P}(\vec V)\) de ses directions a quatre éléments, et \[ \mathfrak{S}(E) \simeq \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3), \] le noyau de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3) \to \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3)\) étant \(\{\pm 1\}\) — « l'antipodisme ». Pour chaque direction \(i \in E\), l'ensemble \(E_i\) des droites de direction \(i\) a trois éléments, \(V\) se plonge dans \(\prod_i E_i\), et deux directions distinctes donnent des coordonnées : \(V \xrightarrow{\sim} E_i \times E_j\) pour \(i \neq j\). Le groupe des automorphismes de cette structure — il l'appelle « trilitaire » — est \(\mathrm{AGL}_2(\mathbb{F}_3)\), d'ordre \(3^3 \cdot 2^4 = 432 = 3 \cdot 144\), comme il l'écrit. Il opère sur l'ensemble \(\coprod_{i} E_i\) des douze droites et permute trois sous-groupes \(\mathfrak{S}_\alpha\) indexés par les trois carrés \(\alpha \in \mathrm{Car}(E)\) ; le stabilisateur d'un \(\mathfrak{S}_\alpha\) est le groupe des automorphismes d'une bi-ditriade.²⁷

157–157

Une feuille intercalée (page 157)

La page 157 n'appartient pas au plan. C'est une liste dactylographiée de couples de mots, renumérotée à sa main, et qui se lit comme une table de couples complémentaires : « Avenir — Passé », « destinée — histoire », « pérennité — ancienneté », « innovation — tradition », « élan — enracinement » sous la rubrique ajoutée « Devenir » ; puis, sous « Espace-temps », « Espace — temps » et « étendue (ou distance) — durée ».²⁸ Viennent ensuite des projets de notes de bas de page numérotées 98 à 107 pour un texte de lui, qui renvoient à une « note n° 162 » et à une « p. 779 » (« conviction et connaissance »), à « plusieurs existences successives », à un « cours 1977 », et des croquis de tétraèdres et d'octaèdres avec une liste de faces. ²⁹ Elle est de sa main et de sa pensée, et se trouve là par le hasard de la photocopie.

158–158

Trialité des bi-ditriades (page 158)

La page décrit une même structure de deux façons, par les neuf points du plan affine \(V\) sur \(\mathbb{F}_3\) ou par ses douze droites \(E\), liés par l'incidence.

A) Sur \(V\). La structure revient à la donnée d'un ensemble \(E\) de douze parties à trois éléments de \(V\), deux à deux d'intersection au plus un point. C'est exact, et la raison est un comptage : douze triplets contiennent \(12 \times 3 = 36\) paires de points, qui est le nombre \(\binom{9}{2}\) de toutes les paires ; comme deux triplets n'ont jamais deux points communs, chaque paire est dans exactement un triplet. On a un système triple de Steiner à neuf points, et il n'y en a qu'un à isomorphisme près : le plan affine \(\mathrm{AG}(2, 3)\).³⁰

B) Sur \(E\). La structure revient à la donnée d'une partition \(E = \coprod_{i \in I} E_i\) en quatre classes de trois éléments (les quatre directions), et d'un ensemble \(V\) de parties à quatre éléments de \(E\) (les quatre droites passant par un point) telles que :

1. a)chaque \(D \in V\) rencontre chaque \(E_i\) en exactement un élément ;
2. b)si \(D \neq D'\) dans \(V\), alors \(\mathrm{card}(D \cap D') = 1\) ;
3. c)si \(a, b \in E\) ne sont pas dans la même classe, il existe un unique \(D \in V\) qui les contient.

Il note que b) résulte de a) et c), et que c) implique \(\mathrm{card}\,V = 9\), puis, compte tenu de a), que par tout \(a \in E\) passent exactement trois éléments de \(V\). Le comptage est le suivant : il y a \(\binom{12}{2} - 4\binom{3}{2} = 54\) paires d'éléments de classes distinctes, chaque \(D\) en contient \(\binom{4}{2} = 6\), et chaque paire est dans un seul \(D\) ; d'où \(\mathrm{card}\,V = 9\).³¹ De même, \(a\) forme une paire avec chacun des neuf éléments des autres classes, et chaque \(D\) contenant \(a\) en fournit trois : trois droites par \(a\).

Une marge dit l'énoncé « dans un plan projectif sur \(\mathbb{F}_3\) privé d'un point ». C'est exact par dualité : \(\mathrm{AG}(2,3)\) est le plan projectif \(\mathbf{P}^2(\mathbb{F}_3)\) privé d'une droite, et le dual d'une droite est un point ; les douze éléments de \(E\) sont les douze points de \(\mathbf{P}^2(\mathbb{F}_3)\) autres que ce point, les quatre classes sont les quatre droites qui y passent, et les neuf éléments de \(V\) sont les neuf droites qui n'y passent pas.³²

159–160

Le second plan : géométrie des ensembles finis (pages 159 et 160)

Le plan est repris en cinq parties, une par cardinal. Les isomorphismes qu'il énonce sont tous exacts ; la lecture les donne en notation actuelle.

I. Deux éléments. \(\mathfrak{S}_2 \simeq \{\pm 1\} \simeq \mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb{F}_3^{*}\) ; le produit contracté ; les orientations d'un ensemble fini et leur lien avec l'orientation d'un espace vectoriel réel (signe du déterminant), d'un espace orthogonal en caractéristique \(\neq 2\), ou d'un espace vectoriel sur \(\mathbb{F}_3\) (où le déterminant d'une base à une autre est dans \(\mathbb{F}_3^{*} = \{\pm1\}\)) ; hypercubes et antipodismes ; carrés.

II. Trois éléments. \(\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)\), par l'action sur les trois points de \(\mathbf{P}^1(\mathbb{F}_2)\) ; et \(\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{AGL}_1(\mathbb{F}_3)\), par l'action sur les trois points de la droite affine, le passage à la partie linéaire \(\mathrm{AGL}_1(\mathbb{F}_3) \to \mathbb{F}_3^{*} = \{\pm 1\}\) étant la signature. Application aux ditriades et bi-ditriades, avec une suite exacte \(1 \to \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 \to \mathrm{Aut}(\text{bi-ditriade}) \to \cdots \to 1\) dont le dernier terme est biffé et illisible.

III. Quatre éléments. \(\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{AGL}_2(\mathbb{F}_2)\) (les quatre points du plan affine sur \(\mathbb{F}_2\)) ; \(\mathfrak{S}_4 \simeq\) groupe des rotations du cube, et une structure de cube revient à la donnée d'un ensemble à quatre éléments et d'un ensemble à deux (\(\mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_2\), d'ordre 48) ; \(\mathfrak{S}_4 \simeq \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3)\) (les quatre points de \(\mathbf{P}^1(\mathbb{F}_3)\)).³³ Enfin les quadritriades, dont le groupe d'automorphismes est \[ \mathrm{Aut}(\text{quadritriade}) \simeq \mathrm{AGL}_2(\mathbb{F}_3), \qquad 1 \to (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)' \to \mathrm{AGL}_2(\mathbb{F}_3) \to \mathfrak{S}_4 \to 1, \] où \((\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)' = \{ (u, v) \mid \mathrm{sgn}(u) = \mathrm{sgn}(v) \}\). On le vérifie : la flèche de droite est l'action sur les quatre directions, \(\mathrm{AGL}_2(\mathbb{F}_3) \to \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3) \simeq \mathfrak{S}_4\) ; son noyau est formé des translations et de \(\pm 1\), groupe d'ordre \(18\) isomorphe à \(\mathbb{F}_3^2 \rtimes \{\pm 1\}\), qui est bien \((\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)'\) ; et \(18 \times 24 = 432\).

IV. Cinq éléments. \(\mathfrak{A}_5 \simeq \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_4)\), par l'action sur les cinq points de \(\mathbf{P}^1(\mathbb{F}_4)\) ; et \(\mathfrak{S}_5\) est le groupe des automorphismes d'une droite projective sur un corps à quatre éléments « non précisé » — c'est-à-dire \(\mathrm{P\Gamma L}_2(\mathbb{F}_4)\), le Frobenius compris, ce que dit exactement « non précisé ». Il ajoute que si \(E = \mathbf{P}^1(k)\) avec \(k \simeq \mathbb{F}_4\), alors \(\omega(E) \simeq k^{*} \smallsetminus \{1\}\), l'ensemble des deux générateurs de \(k\) sur \(\mathbb{F}_2\) : c'est juste, le Frobenius échangeant ces deux générateurs et agissant sur les cinq points par une transposition. Enfin \(\mathfrak{S}_5 \simeq \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_5)\), par l'action sur les six points de \(\mathbf{P}^1(\mathbb{F}_5)\) — c'est le \(\mathfrak{S}_5\) transitif de la page 154, et il le renvoie au bi-icosaèdre.

V. Six éléments et bi-icosaèdres, « voir plus détaillé ailleurs » ; puis un appendice sur les polygones combinatoires, et le constat qu'il faudrait un exposé sur les relations géométriques entre toutes ces configurations. Le plan s'arrête là.

241–250

« Le maître-enseignant et le maître-chercheur » (juin 1968)

Le contexte

Le texte est écrit au début de juin 1968, au milieu de la grève générale et du mouvement étudiant de mai. Grothendieck est alors professeur à l'Institut des Hautes Études Scientifiques, à Bures-sur-Yvette. Le département de mathématiques de la Faculté des sciences d'Orsay — qui deviendra en 1971 l'université Paris-Sud — a constitué une commission sur la formation et le recrutement des enseignants et chercheurs ; ses collègues l'y ont invité, comme le dit sa lettre au Monde.

Le vocabulaire des grades a changé depuis, et le texte ne se comprend qu'avec celui de 1968. L'assistant et le maître-assistant formaient le corps enseignant subalterne, nombreux et non titulaire d'un doctorat d'État ; le maître de conférences et le professeur formaient le corps des « maîtres », peu nombreux, recruté sur la thèse de doctorat d'État, c'est-à-dire sur la recherche.³⁴ La « licence » est le diplôme de fin du premier cycle long ; l'enseignement « pré-licence » est ce qu'on appelle aujourd'hui les premières années de licence.

Le dossier en conserve deux états, que la lecture présente ensemble. Le premier état (pages 241 à 250) est un tapuscrit de dix pages, titré « … dans l'Université d'aujourd'hui », auquel il a ajouté à la main « et de demain » et l'intertitre « A) Aujourd'hui », et dont il a récrit la fin pour annoncer une suite. C'est ce texte, sous son titre premier, qu'il envoie au Monde le 4 juin. Le second état (pages 254 à 270) est le même texte retapé, les ajouts incorporés, et augmenté d'une partie « B. Demain » de huit points.³⁵

A. Aujourd'hui : un vice de structure

1. La confusion des deux rôles. Depuis ses origines, l'Université confie à la même personne deux rôles « étroitement apparentés, mais néanmoins essentiellement distincts » : transmettre le savoir acquis, et le créer. N'était censé pouvoir enseigner la science que celui qui contribuait à l'édifier. Ce système convenait tant que les étudiants étaient peu nombreux et allaient tous jusqu'aux frontières de la recherche : il y avait alors plus de savants que de chaires.

2. Ce qui a changé. L'essor de la technique et l'afflux d'étudiants ont changé à la fois le nombre et la nature des besoins. La plupart des étudiants en mathématiques seront ingénieurs, physiciens, chimistes, biologistes, économistes : des « utilisateurs » de mathématiques, pas des mathématiciens. Il leur faut une plus grande variété d'enseignements — variété « non seulement par le nombre des théories enseignées, mais par l'optique dans laquelle elles sont enseignées », libérée d'exigences de rigueur et d'exhaustivité « justifiées il y a cent ans ». Un grand chercheur, absorbé par ses problèmes, enseigne mal à ces étudiants-là, et c'est un double gaspillage.

Surtout, il n'y a pas assez de chercheurs créateurs pour fournir les enseignants nécessaires. En maintenant le critère de recherche, on recrute trop peu de maîtres (a) ; on les fait assister par une masse croissante d'assistants et de maîtres-assistants subalternes, sans perspective de promotion (b) ; et les amphithéâtres restent surpeuplés (c). Le point c), qu'il impute largement au manque de crédits, est pour les étudiants le vice principal et l'une des causes de « la salutaire crise de l'Université que nous sommes en train de traverser ». Les points a) et b), eux, viennent de la confusion des deux rôles, et du préjugé qui en découle contre l'enseignant qui n'est « que » enseignant.

Ce préjugé fausse aussi les carrières. Des scientifiques cultivés, au jugement sûr, excellents pédagogues, mais qui ne produisent pas d'œuvre originale, sont écartés de l'enseignement supérieur. D'autres, moins scrupuleux, obtiennent une thèse complaisante, deviennent maîtres de conférences, puis jugent du recrutement des chercheurs et dirigent des thèses « soi-disant de recherche », au risque d'étouffer la vie scientifique de leur département.

3. Le maître-chercheur. Il s'intéresse d'abord aux problèmes que lui pose la science, « plus qu'aux hommes qui l'apprennent ou l'utilisent, plus même qu'aux hommes qui la font ». L'enseignement lui assure une position sociale. Il est souvent bon enseignant, d'autant meilleur que le niveau est élevé, et il peut l'être au niveau le plus élémentaire devant de futurs mathématiciens ; mais il arrive aussi qu'un grand chercheur soit un enseignant exécrable, dont les cours restent « touffus et laborieux quand ils ne sont obscurs et sibyllins ». Le second état ajoute en note que la réputation de « bon enseignant » est celle qu'on a parmi ses pairs, et que des étudiants trouvent parfois l'assistant meilleur que son patron.

Il en donne un signalement qui se lit aujourd'hui comme un autoportrait : le chercheur mathématicien est celui qui, rencontrant un congénère « autour d'une table, dans un métro, dans un congrès », se met aussitôt à lui parler non de politique ni de ses collègues, mais de problèmes mathématiques ; et l'enseignement le passionne par les problèmes d'exposition qu'il pose, non par ses auditeurs. Il rapporte, sans en garantir l'authenticité, l'anecdote de C. L. Siegel faisant cours devant une salle vide le jour où son unique auditeur était absent.

4. Le maître-enseignant. Il s'intéresse à la science « autant ou plus par les liens humains qu'elle implique, crée ou développe » que par la découverte. Il a souvent fait une thèse de recherche au prix d'un effort unique dans sa vie, puis ne produit plus guère. Le danger qui le guette est de devenir le maître-fossile, qui répète jusqu'à la retraite le cours mis au point dans sa jeunesse — « véritable honte de notre métier », mais sous-produit des structures plus que coupable. Le vrai enseignant sait qu'il doit se renouveler, et cela n'est possible qu'au contact de la science vivante : non qu'il doive tout suivre, mais il doit rester intellectuellement actif, et peut contribuer à la recherche dans la mesure de ses moyens, comme moyen et non comme fin. Car « le sujet principal d'intérêt du maître-enseignant est l'étudiant lui-même », ce qui suppose un contact étroit, à l'opposé des « amphithéâtres-forums » où le « maître-gardien-de-la-science » fait face à la foule comme dans une « hallucinante vision de Kafka ».

5. Conclusion de la première partie. Il ne s'agit pas d'établir une hiérarchie entre les deux vocations, mais de réhabiliter la vocation pédagogique en la mettant « à pied d'égalité » avec la recherche. Les étudiants ont été les principales victimes du système ; il faut profiter de la « force vive » libérée par leur mouvement pour mettre au point, dès la rentrée, des mécanismes souples qui distinguent et coordonnent les deux vocations. La fin est la même dans les deux états, une fois ses ratures intégrées : son but a été de mettre en évidence « un des vices de base du système actuel », et d'inviter chacun à y réfléchir, car c'est « de nous tous qui sommes concernés, étudiants, enseignants et chercheurs, non des princes qui nous gouvernent », que dépend la rénovation.³⁶

251–252

La lettre à Hubert Beuve-Méry (4 juin 1968)

Lettre dactylographiée, signée à la main, de Massy, adressée au directeur du Monde.³⁷ Grothendieck y explique qu'il participe à la commission d'Orsay, que les discussions entre étudiants, assistants et professeurs ont montré que certains vices fondamentaux du système, clairs pour les professeurs, l'étaient moins pour les étudiants et les assistants, pourtant directement concernés ; et qu'il faut informer un public plus large — au moins tous les étudiants et enseignants de mathématiques, et même de sciences, les problèmes étant sans doute les mêmes, quoique moins aigus, dans les autres disciplines. Il joint son exposé, sous son titre premier, en suggère la publication en un ou deux articles de fond, et demande une réponse rapide pour pouvoir, sinon, le diffuser autrement. « A cause de la grève des postes », il demande qu'on lui réponde par téléphone. Il signe « Professeur à l'Institut des Hautes Études Scientifiques ».³⁸

254–262

Le second état

La partie A du second état (pages 254 à 262) reproduit la première, avec les différences relevées plus haut ; la lecture n'en dit pas davantage.

263–270

B. Demain : les propositions

La seconde partie « esquisse quelques-unes des propositions qui ont été avancées, et pour la plupart discutées » — ce sont donc, pour partie au moins, celles de la commission, qu'il expose à sa manière.

1. Deux sections. Le département serait partagé en un Institut de Mathématique, qui grouperait les mathématiciens de vocation principale de recherche et assurerait l'enseignement avancé et la formation des chercheurs, et une École de Mathématique, de vocation principale d'enseignement, chargée en particulier de l'enseignement « pré-licence » aux non-mathématiciens. Les décisions essentielles reviendraient à une Assemblée du département, formée des maîtres de conférences et professeurs des deux sections et de représentants des étudiants, des assistants et des maîtres-assistants. Un membre de l'École pourrait être détaché une année sur cinq à l'Institut sans enseignement ; un membre de l'Institut pourrait être détaché à l'École ; on pourrait changer de section.

2. Contre la sclérose. Année « sabbatique » pour l'École, et obligation pour tout enseignant de renouveler son enseignement : pas plus de trois années consécutives le même cours, sous le contrôle d'une commission d'arbitrage. Chaque section devrait compter au moins le tiers des maîtres de conférences et professeurs.

3. Une thèse, deux doctorats. La thèse serait commune aux deux orientations, et ne demanderait plus nécessairement de résultats originaux — une mise au point originale d'une théorie avancée suffirait³⁹ ; son niveau baisserait donc, mais elle deviendrait nécessaire et non plus suffisante. Le doctorat aurait deux mentions. La mention « recherche » exigerait, comme avant et même davantage, des résultats originaux d'importance indiscutable et une personnalité capable de former des chercheurs. La mention « enseignement » serait décernée sur critères pédagogiques : quatre à cinq ans d'enseignement, la responsabilité complète d'un cours au moins une année, au moins trois sujets différents, l'avis des chefs de service et celui des étudiants recueilli chaque année, et un étudiant élu au jury.

4. Une sélection sérieuse. Pour que la revalorisation de l'enseignement ne soit pas « une façon pieuse de cacher une dévalorisation » de la fonction, le doctorat d'enseignement doit être exigeant, et l'ancienneté ne doit jamais y être un argument. Les nominations à l'École seraient décidées par l'Assemblée, donc avec les délégués étudiants ; celles à l'Institut, par cooptation dans une assemblée restreinte à ses membres.

5. L'assistant, une fonction de passage. Dans l'idéal, être assistant ou maître-assistant serait une étape non permanente, de quatre à six ans, vers le doctorat et un poste de maître de conférences. On ne titulariserait qu'après la soutenance de thèse et deux ans d'enseignement, et l'on aiderait à se réorienter ceux qui n'y parviendraient pas. Le calcul est simple : cinq ans de fonction d'assistant sur quarante de carrière, cela fait un huitième d'assistants parmi les enseignants — un cinquième ou un quart pendant la transition. « C'est à peu près la proportion inverse de celle qui est de règle à l'heure actuelle ! » Un tel renversement suppose la fin des cours magistraux, que les étudiants réclament et que beaucoup de professeurs ont du mal même à imaginer.

6. Les obstacles. Les crédits d'abord — un maître-assistant « coûte moins cher » ; mais « les derniers évènements » permettent de juger si ces économies sont rentables. Puis la question, plus délicate, du nombre d'assistants actuels capables d'obtenir rapidement un doctorat d'enseignement : beaucoup, stimulés par cette voie nouvelle, y parviendraient sans doute ; les autres formeraient pour longtemps une « arrière-garde de maîtres-assistants à vie ».

7. La transition et la province. Il faudrait attribuer la majorité des postes nouveaux à la mention « enseignement » jusqu'à atteindre un tiers au moins. Les départements très attractifs, Paris et Orsay, devraient résister à la tentation de « thésauriser » les meilleurs chercheurs — tentation dont il dit qu'il serait « le dernier à sous-estimer la force » pour un mathématicien passionné. Il propose une Commission de mathématiciens interdépartements, dotée d'une autorité réelle et dans certains cas d'un droit de veto sur les nominations, pour répartir raisonnablement les chercheurs entre les universités, à l'exclusion de toute instance ministérielle ; cela suppose que les Parisiens renoncent à une concentration qui est un « gaspillage par l'accumulation ».⁴⁰

8. Le seul point essentiel. Jusqu'ici, l'autorité dans le département appartenait aux seuls maîtres de conférences et professeurs, recrutés comme chercheurs : une « aristocratie éclairée » gouvernant une armée d'assistants quatre ou cinq fois plus nombreuse et un « sous-prolétariat » d'étudiants, dont les besoins ont été pratiquement ignorés. Ceux qui détiennent cette autorité y résisteront, et des discussions entre collègues, sans les étudiants, deviendraient vite byzantines et permettraient aux immobilistes de « noyer le poisson ». Aussi toutes les propositions qui précèdent ne sont-elles « en dernière analyse » que des points de détail, à corriger par l'expérience dans l'esprit de la « contestation permanente ». Un seul point de structure compte : la cogestion effective, c'est-à-dire la participation des étudiants, par une représentation massive dans les instances dirigeantes, à toutes les décisions qui les concernent. Ce point acquis, « les structures s'ajusteront d'elles-mêmes ; non en un jour ni en une année, mais chaque chose en son temps ».⁴¹

272–280

Les pièces de la commission d'Orsay

Le dossier conserve à la suite deux pièces collectives, qui ne sont pas de lui et ne sont pas transcrites : une circulaire ronéotypée de la commission sur les deux voies d'accès au doctorat d'État (mentions « recherche » et « enseignement »), qui annonce une réunion « le mardi 11 juin » (pages 272 et 273) ; et le « Rapport de la Commission relative au recrutement des enseignants » (pages 275 à 280). Selon la note de la transcription, ce rapport partage le département en une École de Mathématique et un Laboratoire de Recherche Mathématique sous une Assemblée du département, avec deux mentions du doctorat, des nominations décidées par l'Assemblée ou ses commissions, un droit de veto étudiant pour l'École, des détachements et des changements de section : c'est, sous d'autres noms, l'architecture de la partie B. Au pied de la circulaire, des notes au crayon, probablement de sa main, en reprennent les thèmes : « assistants pas à l'ancienneté », « nominations par étudiants », « thèse », « enseignements parallèles (diversification) », « mandarinat », et en marge « (un peu de recherche) », « (décision des étudiants) ».⁴²

301–313

Le curriculum vitae (pages 303 à 313, vers 1971)

La page 301 est la dernière d'un résumé de cours de J.-P. Serre pour 1990–1991, et la page 308 une lettre-type du CNRS du 4 juillet 1972 qui lui retourne sa notice de titres et travaux ; ces deux pièces sont d'autres mains et ne sont pas transcrites. Entre elles, et après, le dossier conserve deux exemplaires d'un curriculum vitae dactylographié de quatre pages, non daté. Il est postérieur à septembre 1970, puisqu'il raconte le départ de l'IHES, et vraisemblablement antérieur à la lettre du CNRS de 1972 ; une bande collée en tête (« Vous trouverez ci-joint l'exposé des titres travaux des candidats à une direction de recherche ») le rattache à une candidature au CNRS.

Le récit

Il est né le 28 mars 1928 à Berlin, d'une mère allemande et d'un père apatride émigré de Russie en 1921. Ses parents quittent l'Allemagne en 1933 et prennent part à la révolution espagnole ; il les rejoint en mai 1939. Son père est interné en 1939, sa mère en 1940 avec lui ; son père est déporté du camp du Vernet à Auschwitz en août 1942 et n'est pas revenu ; sa mère meurt en 1957 d'une tuberculose contractée au camp. Après près de deux ans dans des camps d'internement français, il est recueilli par une maison d'enfants du Secours suisse au Chambon-sur-Lignon, où il finit ses études secondaires en 1945.⁴³

Licence à Montpellier (1945–1948), auditeur libre à l'École normale supérieure (1948–1949), où il suit le premier séminaire Cartan sur les faisceaux et un cours de Leray au Collège de France sur le degré topologique de Schauder. De 1949 à 1953, à Nancy, élève de Dieudonné et de Schwartz, il travaille sur les espaces vectoriels topologiques ; sa thèse (1953) porte sur les produits tensoriels topologiques et les espaces nucléaires. Deux ans à São Paulo, où il achève ces recherches et commence, sous l'influence de Serre, à apprendre la topologie algébrique et l'algèbre homologique — « encore très loin d'être menées à leur terme ». En 1955, à l'université du Kansas, il unifie la théorie des foncteurs dérivés de Cartan–Eilenberg et la cohomologie des faisceaux de Leray–Cartan (l'article du Tôhoku), et développe une « cohomologie non commutative » qui trouvera son cadre dans la théorie des topos.

Chercheur au CNRS de 1950 à 1958, directeur de recherches en 1958 ; professeur à l'IHES de 1959 à 1970. Ayant découvert à la fin de 1969 que l'IHES recevait depuis trois ans des subventions du ministère des Armées, et n'ayant pas réussi à entraîner ses collègues dans une action commune, il quitte l'IHES en septembre 1970. Marié depuis 1959, père de quatre enfants, apatride depuis 1940, il a demandé la naturalisation française au printemps 1970.

Depuis 1956, dit-il, son intérêt principal est la géométrie algébrique, et tout le reste — topologie, géométrie analytique, algèbre homologique, langage catégorique — lui a été subordonné, au service d'un « vaste programme de construction » dont la première vision d'ensemble date de 1958 et qui est poursuivi dans les Éléments et les Séminaires.⁴⁴ Ce programme « est loin d'être achevé », et la fin du texte en dit la raison :

L'extraordinaire crise écologique que nous aurons à affronter dans les décades qui viennent rend peu probable qu'il le sera jamais.

Cette crise imposera des critères de valeur nouveaux, qui réduiront « à l'insignifiance » bien des progrès scientifiques du siècle, dans la mesure où ils restent étrangers à « l'impératif évolutionniste de notre temps : celui de la survie ». C'est ce qui l'a conduit en juillet 1970 à cofonder le mouvement international et interprofessionnel Survivre. Et il conclut que la seule valeur de son apport de mathématicien est de donner, grâce à l'estime acquise, plus de force à son témoignage en faveur d'une stricte subordination de toutes nos activités, scientifiques comprises, aux impératifs de la survie et d'« un ordre stable et humain sur notre planète, sans lequel la survie de notre espèce ne serait ni possible, ni désirable ».

Le second exemplaire (pages 310 à 313) porte, à la page 311, une correction manuscrite de cette phrase : la crise devient « crise écologique de civilisation dans laquelle nous sommes engagés à l'heure actuelle, et qui devra se résoudre dans les décades qui viennent ».⁴⁵ La crise n'est plus à venir : on y est.

La liste des publications

Elle compte dix-neuf titres, répartis en espaces vectoriels topologiques ([1]–[7]), topologie et algèbre homologique ([8], [9]), géométrie analytique ([10], [11]) et géométrie algébrique ([12]–[19]) — dont l'article du Tôhoku [8], les Éléments [15], les Séminaires [16] et le livre sur le complexe cotangent [19]. Le second exemplaire ajoute à la main un vingtième titre : « Platitude d'une adhérence schématique et lemme de Hironaka généralisé » (avec H. Seydi), manuscripta math. 5 (1971), 323–339.

Quelques erreurs matérielles de la liste, relevées par la transcription, sont corrigées ici pour qui voudrait s'en servir :⁴⁶

• 13, « Sur une note de Mattuck–Tate », J. reine angew. Math. 200 (1958), occupe les pages 208–215 ; la liste répète par erreur la pagination de [12] ;
• dans [16], la ligne de SGA 4 manque : « Théorie des topos et cohomologie étale des schémas » est tapé à la suite de SGA 3, qui est Schémas en groupes (avec M. Demazure) ;
• 9porte « fasceaux » pour « faisceaux », et « Saõ Paulo » est écrit pour São Paulo.