Fonds Grothendieck, cote n° 118, pages 21–40

sa p. 3

Soit maintenant

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, hook] \arrow[d] & X \arrow[d] \\ Y' \arrow[r, hook] & X' \end{tikzcd}

diagramme cocartésien dans un \widehat{A}, avec Y \hookrightarrow X et aussi cartésienajouté dans l'interligne, souligné (donc Y' \hookrightarrow X' mono.). Considérons le diagramme ~~cartésien~~ correspondant dans Cat

\begin{tikzcd} A_{/Y} \arrow[r, hook] \arrow[d] & A_{/X} \arrow[d] \\ A_{/Y'} \arrow[r, hook] & A_{/X'} \end{tikzcd}

il est cocartésien (car i_A : A^{\wedge} \to (\mathrm{Cat}) commute aux \varinjlim) et cartésien (car i_A commute aux produits fibrés) et de plus les flèches sont fibrantes, de plus A_{/Y} \to A_{/X} et A_{/Y'} \to A_{/X'} ~~sont~~ des mono. fibrantes donc des immersions ouvertes. On est donc dans la situation déjà énoncée, donc \int A_{/X'}le signe qui précède A_{/X'} a la forme d'un \int ; lecture incertaine réalise \int \begin{pmatrix} A_{/Y} \to A_{/X} \\ \downarrow \\ A_{/Y'} \end{pmatrix},

Thmdoublement souligné, en marge gauche, en face du corollaire Corollaire Si (Y \to X) \in \underline{W} (resp. Y \to Y' \in W) alors (Y' \to X') \in \underline{W}Y' \to X' est récrit sur une première écriture (resp. X \to X' \in \underline{W}).

sa p. 4

Mais attention Il n'est pas vrai dans Cat que si on a un diagramme cocartésien

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "f"] \\ Y' \arrow[r, hook, "i'"'] & X' \end{tikzcd}

si i \in \underline{W}, a-t-on i' \in \underline{W} ? Y, X asphériques (Ex Y' = \Delta_0) Nonces trois lignes sont écrites à droite du carré ; « Non » est doublement souligné

i immersion fermée (ou ouverte), alors [\, i \in \underline{W} \Rightarrow i' \in \underline{W}, ni que\,] g \in \underline{W} \Rightarrow f \in \underline{W}, et mêmeil écrit « = » pour « même », ici et deux mots plus loin pour l'équiv. faible habituelle, et même si g est cofibrante , et i immersion fermée, Y' \simeq \Delta_0la fin de la phrase, depuis « si g », est écrite dans l'interligne.

Il semble vrai que si g 1-équiv., i.e. induit une équiv. sur les groupoïdes fondamentaux, f aussi.note écrite en diagonale dans la marge gauche, à hauteur du carré ; « cocart. » est ajouté au-dessus de la première ligne [\;] ?

Ex Considérons une Z dans (Cat), et

\begin{tikzcd} Z \arrow[r, hook] \arrow[d, hook, "\alpha"'] & \check{C}(Z)\ [\supset e_{u'_0}] \arrow[d] \\ Y = C(Z) \arrow[r, hook, "\text{imm. f. (surj.)}"'] \arrow[d, "g \in W"'] & \Sigma(Z) = X\ [\supset e_{w_0}] \arrow[d, "f"] \\ Y' = e \arrow[r, hook, "\text{imm. f.}"'] & \Theta(Y) = X'\ [\supset e_{u'_0}] \end{tikzcd}

les deux carrés sont marqués « cocart » ; la flèche \alpha porte « immersion fermée » ; la flèche horizontale du haut porte un petit signe illisible ; les indices u'_0, w_0 des crochets sont lus sans certitude, et dans le premier crochet un signe est biffé devant e_{u'_0}

Ici g \in W, et X' \simeq \Delta^1 ssi Z est 0-connexe. (En général, \mathrm{Hom}(e_{u'_0}, e_{y'_0}) \simeq \pi_0(Z)indices incertains). Mais quand il en est ainsi, f \in \underline{W} ssi \Sigma(Z) est \underline{W}-asph., ce qui n'est pas toujours le cas (prendre p.ex. Z un groupoïde réduit à un objet, avec \pi_1 \neq 1).

sa p. 5, chiffre récrit

Il faut supposer que A soit catégorie test locale.en diagonale dans la marge gauche, séparé de la suivante par un trait itou dans Cat

devant « Corollaire », un « 4 » et un numéro biffé Corollaire Considérons \overline{A^{\wedge}} la catégorie localisée de A^{\wedge} par les homotopismes (relatifs : h_{\underline{W}_A}), de sorte que \mathrm{Hot}_A apparaît comme une catégorie de fractions \mathrm{Hot}_A \simeq \overline{\underline{W}_A}^{\,-1}\, \overline{A^{\wedge}} Je dis que \overline{\underline{W}_A} permet un calcul des fractions à gauche. Soit en effet Y \xrightarrow{i} X, g \in \overline{\underline{W}_A} : Y \to Y'les Y, Y' de cette ligne sont surchargés dans \overline{A^{\wedge}}, compléter en

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, "i"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "f"] \\ Y' \arrow[r, "i'"'] & X' \end{tikzcd}

f \in \overline{\underline{W}_A}.

On va factoriser i en ~~mono~~ Y \xrightarrow{i_1} X_1 \xrightarrow{h} X, ~~Y \to (X \times I)~~ (cf. plus bas) h homotopisme, on est ramené au cas où i mono, et on prend X' somme amalgamée. D'autre part, on doit montrer que

sa p. 6

X' \xrightarrow{\;s\;} X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y \quad \text{de } \overline{A^{\wedge}} avec s \in \overline{\underline{W}_A}, dans X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y \xrightarrow{\;t\;} Y' avec t \in \overline{\underline{W}_A}la lettre, ici et dans l'étiquette de Y \to Y', est lue t d'après le diagramme qui suit ; elle pourrait être un r. OPS s mono.

\begin{tikzcd}[column sep=small] & I \times X \arrow[rr, dashed] & & Y' \\ I \times X' \arrow[r, hook, "{[\in \underline{W}_A]}"'] & M \arrow[u, "{[\in \underline{W}_A]}"] \arrow[rr] & & Y \arrow[u, dashed, "t"'] \\ X' \sqcup X' \arrow[u] \arrow[r, hook, "\in \underline{W}_A"'] & X \sqcup X \arrow[u] \arrow[urr] & & \end{tikzcd}

au-dessus de I \times X', une source biffée (X' surchargé) envoie une flèche marquée \in \underline{W}_A vers I \times X ; la flèche X' \sqcup X' \to I \times X' est tracée en gras

L'énoncé des conditions (i) à (iv) inspiré par le cas de (Cat) et non celui de A^{\wedge}, où (iii) est inutile, pourvu que dans (ii) il suffise \in \underline{W}.en diagonale dans la marge droite, une flèche renvoyant à « les choses suivantes » On va utiliser les choses suivantes ~~de (I_\alpha), la famille d'int.~~ : \exists une classe de flèches \mathfrak{M} \subset \mathrm{Fl}(\underline{M})\mathfrak{M} rend sa lettre ronde, écrite sur une autre biffée (ici \underline{M} = A^{\wedge}) , avec

(i)toute f : Y \to X se factorise en Y \xrightarrow{i} X_1 \xrightarrow{h} X, avec i \in \mathfrak{M}, h homotopisme ~~rel. (I_\alpha)~~ (ii)

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, "i"] \arrow[d, "f"'] & X \arrow[d, "g"] \\ Y' \arrow[r] & X' \end{tikzcd}

cocartésien, avec i \in \mathfrak{M}, et f \in \underline{W}, alors g \in W

(iii)\exists famille génératrice d'intervalles I_\alpha, telle que pour tout X, X \sqcup X \to X \times I_\alpha soit \in \mathfrak{M}ce sont donc des intervalles séparants (iv)Sommes finies existent dans \underline{M}, et f, g \in W \Rightarrow f \sqcup g \in W.

modifier dans la marge, à hauteur de (ii)–(iii), deux lignes barrées d'un trait courbe

Dans toute (M, W) munie d'un \mathfrak{M} (compatible) W [var. les homotopismes sont dans W] (i) , W^{-1}M = \overline{W}^{-1}\overline{M}, et \overline{W} admet un calcul des fractions à gauche, si les conditions (i) à (iv).en diagonale dans la marge gauche, en face des conditions (i)–(iv)

sa p. 7 ; en haut à droite, un mot biffé, peut-être ~~Fukuda~~

Dans cet argument, il a fallu moralementajouté au-dessus de la ligne utiliser un intervalle I séparant (cf condition (iii)). Donc dans le cas M = A^{\wedge}, il faut disposer d'un intervalle I séparant dans A^{\wedge} ~~donc A~~ qui de plus définisse une structurerécrit au-dessus du mot biffé homotopique sur A^{\wedge} ~~plus fine~~ compatible avec W – et pour ceci, il faut supposer que I \to e est \underline{W}_A-asphérique [ou du moins supposer que \delta_0 et \delta_1 : e \to I mot doublement souligné ~~les deux ext.~~ même image dans \underline{W} ....] – donc, pratiquement, que A soit une catégorie-test locale. inutile, cf. si catégorie Amarge gauche, écrit presque verticalement, en face des lignes 2 à 8 ; une note plus bas, à hauteur de « catégorie-test locale », est biffée et ne se lit pas Ah

On a utilisé aussi la propriété (pour card J = 2) que pour une famille de flèches (f_j)_{j \in J} dans A^{\wedge}, f_j \in \underline{W}_A pour tout j \in J \Rightarrow \coprod_J f_j \in \underline{W}_A. On est ramené à voir la même dans (Cat), pour \underline{W}. Cela résulte alors de Loc. 3 (condition de localisation) appliquée à

\begin{tikzcd}[column sep=small] X \arrow[rr] \arrow[dr] & & Y \arrow[dl] \\ & J & \end{tikzcd}

~~Coroll.~~

Corollaire 1 Dans \mathrm{Hot} = \mathrm{Hot}(\underline{W}), les sommes arbitraires existent, et les foncteurs canoniques (\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}(\underline{W}), \qquad A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}_A \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) y commutent (on se ramène au cas de (Cat), sachant que i_A : A^{\wedge} \to (\mathrm{Cat}) commute aux sommes), i.e. les dans . finies inutile, quelconque, plus marge gauche, en oblique, à hauteur des trois premières lignes ; une flèche en part vers A^{\wedge}, une autre vers « sans contradiction » écrit au-dessus de la ligne suivante, lecture incertaine

Démonstration Soit (M, W) avec W \subset \mathrm{Fl}(M), W permettant un calcul des fractions à droite. ~~Si dans~~ Alors ~~M les~~ le foncteur canonique M \to W^{-1}M commute aux lim finies, et en particulier aux sommes finies.les quatre lignes, de « W permettant » à « sommes finies », sont marquées d'un trait vertical en marge

On applique ceci à (\overline{\mathrm{Cat}}, \overline{\underline{W}}), il faut voir que les sommes finies y existent ( la quelque chose !), et que \mathrm{Cat} \to \overline{\mathrm{Cat}} y commute. ~~Dans~~ Mais de façon générale

NB M stable par sommes finies suffiten oblique dans le coin supérieur gauche Lemme ~~Soit~~ Soit (M, h) structure homotopique par intervalles (homotopy interval structure), avec M stable par sommes \{finies\}, et les sommes \{finies\} étant universelles. Alors M \to W_h^{-1}M commute aux sommes finies.

Cela revient à ceci : pour \begin{matrix} f = (f_j)_{j \in J} \\ g = (g_j)_{j \in J} \end{matrix} \; : \; \underbrace{\textstyle\coprod_J X_j}_{X} \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y f \underset{h}{\sim} g ssi f_j \underset{h}{\sim} g_j \forall j \in J. ces lignes sont marquées d'un trait vertical en marge

Dém \Rightarrow trivial, pour prouver \Leftarrow on note qu'il existe un même intervalle I tel que f_j \underset{h_I}{\sim} g_j (car J est fini), ~~on prend~~ comme I \times X \simeq \coprod_J I \times X_j on trouve une homotopie composée

\begin{tikzcd} I_N \times X \arrow[r] & X \\ I_N \times X_j \arrow[u, hook] \arrow[r] & X_j \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

au-dessus de I_N \times X, un premier facteur biffé ; les inclusions sont notées « \cup » sur la page (avec N assez grand pour convenir pour tous les j …). Ça gagne !

NB Il semble faux que (\mathrm{Cat}) \to \overline{\mathrm{Cat}} commute aux sommes infinies – il suffit de prendre des familles \begin{matrix} f_n \\ g_n \end{matrix} \Big\} \; X_n \rightrightarrows Y \qquad (n \in \mathbb{N}) telles que f_n \simeq g_n, mais qu'il faille une suite de plus en plus d'homotopies élém. pour les joindre. (prendre p.ex. X_n = \Delta_0, f_n, g_n donnés par des pts de Y, prendre Y = I_\infty = (\;\underbrace{\to\leftarrow}\,\underbrace{\to\leftarrow}\;\cdots\;) somme amalgamée d'une infinité de copies de X_n, ~~Mais pour~~ la somme« la somme » est écrit au-dessus des mots biffés \coprod X_n n'est pas une somme dans \overline{\mathrm{Cat}}, carla parenthèse ouverte après « prendre p.ex. » n'est pas refermée ; le signe \coprod devant X_n paraît barré

Je suppose pourtant que dans \mathrm{Hot}(\underline{W}), les sommes quelconques existent et que \mathrm{Cat} \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) y commute ??

~~Correspondance avec~~ en haut à droite, biffé de traits en boucle ; le dernier mot, sans doute un nom, ne se lit pas ~~Pourtant, soit X~~

Il reviendrait au même de dire que pour (X_j)_{j \in J} et Y dans Cat, si X = \coprod X_j, \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X, Y) \to \prod_{j \in J} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_j, Y) devant X et Y dans le premier terme, deux signes noircis est bijectif. Mais avec le calcul des fractions, ni l'~~bijecti~~injectivité ni la surjectivité n'est claire, elles auraient l'air plutôt fausses, pour les mêmesil écrit « = » pour « même(s) » raisons. C'est gênant = bien gênant !

a) Il se pourrait que pour ~~deux~~ des sections (\varphi_j)_{j \in J}avant la famille, un signe « = » suivi d'une lettre, peut-être son abréviation de « mêmes », il n'existe pas de (Y \to Y') \in W commun pour tous les \varphi_j, tels que X_j \overset{\varphi_j}{\dashrightarrow} Y se représente par X_j \xrightarrow{f_j} Y'. A priori, on trouve Y \hookrightarrow Y'_j (immersion ), mais peut-être pas pour la . proj. : les , pour partie finie

J_0 de J fini, Y'_{J_0} = \coprod_{j \in J_0,\, Y} Y'_j, et Y'_J = \varinjlim Y'_{J_0}, on a encore Y \to Y' \in \underline{W}. Donc il y a quand même« = » pour « même » surjectivité ! Mais soient maintenant f, g : X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y' (sous Y, avec Y \hookrightarrow Y')il écrit Y au-dessus de Y', relié par une flèche verticale qui ~~donnent~~ sont tels que \gamma(f_j) = \gamma(g_j) \forall j \in J, a-t-on \gamma(f) = \gamma(g) ? Mais oui, par le même argument – conduisant au lemme : !en oblique dans la marge gauche, souligné de deux traits

Lemme Soient Y \xrightarrow{\alpha_j} Y'_j ~~des~~ une famille d'équivalences faibles, alors il existe Y \overset{\alpha}{\hookrightarrow} Y' une équivalence faible ~~telle que~~ (immersion ouverte ou fermée si les \alpha_j le sont) ~~telles que~~ et des \beta_j : Y'_j \to Y' telles que \beta_j \alpha_j = \alpha. (De plus, si les \alpha_j sont des immersions ouvertes ou imm. fermées, on peut prendre pour Y' la somme amalgamée des Y'_j)au-dessus de « Y' » dans la parenthèse du lemme, « Y \hookrightarrow Y' » est ajouté

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, hook, "\overline{\alpha}_j"] \arrow[dr, hook, bend right=30, "\alpha"'] & \overline{Y}'_j \arrow[r, "i_j"] \arrow[d, "\text{comm.}"'] & Y'_j \arrow[l, dashed, bend left=40, "s_j"] \arrow[dl, dashed, "\beta_j"] \\ & Y' & \end{tikzcd}

s_j i_j = \mathrm{id}_{\overline{Y}'_j} schéma en marge gauche ; « comm. » est écrit deux fois, dans les deux triangles

On est ramené à prouver ceci : soient f, g : X = \coprod X_j \to Y, tels que f_j \sim g_j \forall j \in J, alors \gamma(f) = \gamma(g). (Mais attention on n'a pas en général f \sim g !) Il faut une variation des types « Kan » sur Y, ou plutôt sur un Y', où (Y \to Y') \in \underline{W}

Corollaire 2 Dans \mathrm{Hot}(\underline{W}), les produits finis existent, et les foncteurs canoniques (\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}(\underline{W}), \qquad A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) \quad (A \text{ catégorie test stricte}) y commutent. il suffit même que A soit tot. \underline{W}-asph.ajout relié par une flèche à « A catégorie test stricte » ; lecture incertaine de la fin

Mais c'est clair dans (Cat) si on traite directementen oblique dans la marge gauche, à hauteur des quatre lignes suivantes On est ramené à prouver que A^{\wedge} \to [\mathrm{Hot}(\underline{W}) \simeq]\ \underline{W}_A^{-1} A^{\wedge} commute aux produits finis, i.e. que \mathrm{Hom}_{\underline{W}_A^{-1}A^{\wedge}}\Bigl(X, \prod Y_j\Bigr) \to \prod \mathrm{Hom}_{\underline{W}_A^{-1}A^{\wedge}}(X, Y_j) le premier \prod Y_j est surchargé est bijectif, pour toute famille finie (Y_j)_{j \in J} d'objets en A^{\wedge}, et X dans A^{\wedge}.

Surjectivité Un élément est provient d'une famille f_j : X \to Y'_j \qquad \text{où } Y_j \to Y'_j \text{ équiv.\ faible.} ~~Donc~~ Considérons donc f = (f_j) : X \to \prod Y'_j = Y' il définit X \to Y qui convient, si on sait que \prod Y_j \to \prod Y'_j est \in \underline{W}.

via localisation forte [si A \underline{W}-asph.]écrit verticalement le long du bord gauche, avec deux flèches doubles montantes ; entre la marge et les conditions, des flèches \Downarrow et \Updownarrow relient (i) à (ii bis) et (ii bis) à (iii) C'est le cas si A catégorie-test stricte, plus généralement si elle est tot. \underline{W}-asphérique.l'abréviation, ici, en p. 31 et p. 33, ressemble à « LA » ou « tA » ; lue « tot. » (totalement) d'après la condition X \times a \to X \in \underline{W}_A de p. 33, sans certitude

Lemme (?) Soit A dans (Cat) ~~catégorie~~ . Conditions équiv. (\Rightarrow)

(i)A ~~est~~ tot. \underline{W}-asphérique, il (ii)~~Produits finis de flèches \in \underline{W}_A sont \in \underline{W}_A~~ (ii bis)~~(iii)~~ Si f : X \to Y ~~dans A~~ est dans \underline{W}_A et Z dans A^{\wedge}, f \times \mathrm{id}_Z : X \times Z \to Y \times Z est dans \underline{W}_A (iii)Le foncteur A^{\wedge} \to (\mathrm{Hot}_A) ~~\mathrm{Hot}(\underline{W})~~ commute aux produits finis (iv)le foncteur A^{\wedge} \to (\mathrm{Hot}_A(\underline{W})) commute aux produits finis

sous « (iii) », un mot souligné et biffé, peut-être ~~Dém~~

On se ramène à ce lemme ~~tantôt~~. Pour le moment, on suppose vérifié (ii), qui assure surjectivité de \ast.

Injectivité ?

\begin{tikzcd} & Y \arrow[rr, "\mathrm{pr}_j"] \arrow[d, "\alpha\ \in W"'] & & Y_j \arrow[d, "\beta_j\ \in \underline{W}"] \\ f, g : X \arrow[r, bend left=15] \arrow[r, bend right=15] & Y' \arrow[rr, "\varphi_j"'] & & Y'_j \end{tikzcd}

à droite de Y'_j, une égalité biffée, peut-être ~~= \coprod_Y~~ On suppose que pour tout j, \exists \beta_j : Y_j \to Y'_j, \varphi_j, tels que \beta_j \mathrm{pr}_j = \varphi_j \alpha, \beta_j \in \underline{W}, \varphi_j f \underset{h}{\simeq} \varphi_j g, ~~Considérons~~ Donc posant \beta = \prod \beta_j : Y = \prod Y_j \to Y'' = \prod Y'_j on trouve

diag. commutatif

\begin{tikzcd} & Y \arrow[d, "\alpha\ \in W"'] \arrow[dr, "\beta = \prod \beta_j\ \in W"] & \\ X \arrow[r, bend left=15, "f"] \arrow[r, bend right=15, "g"'] & Y' \arrow[r, "\varphi = (\varphi_j)"'] & Y'' = \prod Y'_j \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche \varphi, un mot ondulé, peut-être « comm. » d'où \varphi f \simeq \varphi g, donc \gamma(f) = \gamma(g).

NB Cela marcherait pour les produits infinis, si on savait qu'un produit infini d'éléments de \underline{W}_A est encore dans \underline{W}_A.

Venons-en au lemme plus haut

(ii) \Longleftrightarrow (ii bis) trivial (\Longleftrightarrow si f \in \underline{W}_A, alors \forall a \in \mathrm{Ob}\,A, f \times \mathrm{id}_a : X \times a \to Y \times a \in \underline{W}_A)

\Downarrow (iii) on vient de le prouver \Uparrow est évident quand on sait que \underline{W}_A est fortement saturé (conséquence de fortement saturé)en oblique dans la marge gauche, avec une flèche \Uparrow tracée en face

~~Examinons (ii)~~ (ii bis) ~~signifie~~ aussi que si f \in \underline{W}_A, alors \forall Z, f \times \mathrm{id}_Z : X \times Z \to Y \times Z est \in \underline{W}_A loc. sur Z, et pour ceci il suffit de le voir pour Z dans A, i.e. X \times a \to Y \times a \in W. raisonnement déjà fait plus haut

\begin{tikzcd} X \times a \arrow[r] \arrow[d] & Y \times a \arrow[d] \\ X \arrow[r, "\in \underline{W}_A"'] & Y \end{tikzcd}

Cela marche si on sait que X \times a \to X et Y \times a \to Y \in \underline{W}_A, ce qui signifie aussi que ~~A^{\wedge}~~ a est tot. asph. . Donc (i) \Longrightarrow (ii bis). ~~Inversement (ii bis) implique~~ ~~En fait~~ Inversement, on voit de suite que si A asph., alors (ii bis) \Longrightarrow (i) [prendre f : a \to e_{A^{\wedge}}). donc (i) \Longleftrightarrow (ii) + A asphérique.

Reste à examiner (iv). Comme on sait déjà que (Cat) \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) commute aux produits finis, (iv) signifie que pour X, Y dans A^{\wedge}, A_{/X \times Y} \to A_{/X} \times A_{/Y} au-dessus, une première écriture biffée, A_{/X} \times A_{/Y} est \in \underline{W}. ~~Cela implique~~ ~~Dans le cas~~ X = a, Y = b dans \mathrm{Ob}\,A, cela signifie que a \times b asphériques – i.e. A^{\wedge} tot. \underline{W}-asph. Je dis que cela suffit, de façon précise que A_{/X \times Y} \to A_{/X} \times A_{/Y} est asph. En effet, pour un objet \alpha = (a_{/X}, b_{/Y}) dans le second membre, on a (A_{/X \times Y})_{/\alpha} \simeq A_{/a \times b} et on conclut. En résumé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] x \arrow[r] & X \times Y \\ x \arrow[r] & X \\ x \arrow[r] & Y \end{tikzcd}

petit schéma dans la marge gauche, entouré d'un trait qui porte « si A » et « \underline{W}-asph. », relié par une flèche à la liste qui suit

(i)A tot. \underline{W}-asph. (iv)A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) commute aux produits binaires (iv bis)A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) commute aux produits finis

\Uparrow \qquad \Downarrow

(ii) \underline{W}_A stable par produits finis (ii bis)f \in \underline{W}_A \Rightarrow f \times \mathrm{id}_X \in \underline{W}_A (\forall X \in \mathrm{Ob}\,\widehat{A}) (iii)A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}_A commute aux produits finis

les équivalences entre (i), (iv), (iv bis), puis entre (ii), (ii bis), (iii), sont marquées de flèches doubles \Updownarrow dans l'accolade ; la flèche \Uparrow de (iii) vers (ii bis) porte un mot oblique, peut-être « si W saturé »

~~Mais il n'est pas clair pour moi si~~

NB La condition (iv) est visiblement stable par sommes (i.e. si ~~des~~ A_\alpha y satisfont, \coprod_\alpha A_\alpha aussi), mais la condition (i) non, donc ~~(i) aussi~~« aussi » est lu sous la rature l'implication (iv) \Rightarrow (i) est stricte. Mais une A qui satisfait (ii), et qui est connexe, est-elle \underline{W}-asphérique (donc tot. \underline{W}-asphérique) ?

Nondoublement souligné Prenons p.ex. A un groupoïde, dans lequel A^{\wedge} \underline{W}_A est formé des seuls iso (car ici \underline{W} est l'équiv. faible habituelle), donc stable par produits finis …

L'argument de commutation aux produits finis« aux produits » est ajouté au-dessus de la ligne marcherait directement dans (Cat) également, ~~puisqu'on sait~~ qu'un produit fini de foncteurs \in \underline{W} est \in \underline{W}. Pour le cas des produits infinis, il faut voir qu'un produit d'éléments de \underline{W} est dans \underline{W}, et et/ou itou dans un \widehat{A} (le deuxième impliquera le premier). Déjà pour l'équiv. faible habituelle \underline{W}_0, ce n'est pas évident. Il y a des

chances qu'on arrive à le voir en prouvant qu'un produit \prod_{j \in J} X_j d'objets \underline{W}-asphériques est \underline{W}-asphérique ? Ça me semble moins important de toutes façons que la question des sommes infinies.

ligne d'en-tête, de la même encre, non lue ; le dernier mot commence par « Com »

Thm Soient I un ordonné ~~filtrant~~, X, Y dans (Cat), (X_i)_{i \in I} et Y = (Y_i)_{i \in I} deux filtrations par des sous-cat. fermées (resp. ouvertes), f X = \bigcup X_i, Y = \bigcup Y_i, f : X \to Y tel que f(X_i) \subset Y_i, soit f_i : X_i \to Y_i. Supposons que les f_i soient des équiv. faibles, alors f est une équiv. faible. Il suffit que dans I les Inf existent (condition ) et vérifient que si i = \mathrm{Inf}\, j_\alpha, on ait X_i = \bigcap_\alpha X_{j_\alpha}en oblique dans la marge gauche, en face des six premières lignes ; « ouvertes » dans l'énoncé est lu sans certitude

On est ramené par dualité au cas des sous-catégories ouvertes. Dans ce cas, interpréter la filtration de X comme la donnée de X \xrightarrow{\;\varphi\;} I défini par \varphi(x) = \mathop{\mathrm{Inf}}_{i \in I(x)} i , \qquad I(x) = \{\, i \in I \mid x \in X_i \,\} sous « Inf », un mot biffé devant I(x), et « pour » biffé dans l'accolade NB \varphi(x) est aussi le plus petit élément de I(x) et I(x) = \{\, j \in I \mid j \geq \varphi(x) \,\} (dans filtration ouvertes)à droite de la formule ; la dernière parenthèse est reliée par un trait à « les Inf » de la ligne suivante – on suppose donc que dans I les Inf existent. On a« a » récrit sur « posons » biffé, pour \alpha : x \to y , \varphi(x) \leq \varphi(y) (car I(y) \subset I(x), donc \mathrm{Inf}\, I(y) \geq \mathrm{Inf}\, I(x)), d'où la valeur de \varphi(\alpha). On ~~aura bien~~« a donc » et « signifie » sont récrits au-dessus des mots biffés, lecture incertaine X_i = \varphi^{-1}(I_i) \qquad \text{où } I_i = \{\, j \in I \mid j \leq i \,\} ~~\varphi~~ i.e. x \in X_i \Longleftrightarrow \varphi(x) \leq i (i.e. i \in I(x)).

feuillet double, écrit en deux colonnes ; la colonne de gauche achève l'argument de la p. 38, celle de droite ouvre un nouvel énoncé

~~Bien sûr, par définition~~

Il faudra expliciter que pour une catégorie I d'indices telle que les Inf de parties non vides existent, les foncteurs X \to I sont en corr. 1-1 avec les filtrations, explicites croissantes I \to \mathrm{Ouv}(X), \qquad i \mapsto X_i devant \mathrm{Ouv}(X), un premier mot biffé, peut-être « Sscat » qui commutent aux dits Inf, et telles que l'on ait X = \bigcup X_i. cette dernière condition équivaut à : \varinjlim X_i \simeq X

Ceci posé, on a donc X_{/i} = X_i ~~d'où les restrictions~~ de f f_i : X_i \to Y_i s'identifient : f_{/i} : X_{/i} \to Y_{/i} donc on par L 3.

Corollaire ! Idem dans un A^{\wedge}, en utilisant le fait que i_A commute aux \varinjlim quelc. et aussi aux produits fibrés. « fibrés » est écrit une seconde fois sous la ligne, à gauche ; un trait vertical marque le corollaire en marge

Cor ? Si les X_i sont \underline{W}-asphériques et I connexe, alors X est \underline{W}-asphérique (On prend Y_i = e_{(\mathrm{Cat})}).

Thm L'ens. \underline{W} est saturé.

Cor Pour tt A, \underline{W}_A est saturé.

la démonstration qui suit est barrée de deux longs traits obliques ~~Dém~~ Soit f : X \to Y tel que \gamma(f) iso, i.e. \exists

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\alpha \in \underline{W}"'] & Y \arrow[dl, "g"] \arrow[d, "\beta \in \underline{W}"] \\ X' \arrow[r, "f'"'] & Y' \end{tikzcd}

sur la page, deux croquis séparés : X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} X' avec \alpha : X \to X', et X' \xrightarrow{f'} Y' avec \beta : Y \to Y' ; les deux sont réunis ici en un seul carré ~~avec \gamma(gf) = \gamma(\alpha), et~~ avec \gamma(gf) = \gamma(\alpha), \quad \gamma(f'g) = \gamma(\beta), \quad \beta f = f' \alpha . Quitte à changer \alpha en un composé avec X' \to X'_1, et de même \beta en Y' avec Y' \to Y'_1 (donc gf \in \underline{W}, f'g \in \underline{W}), OPS gf \sim \alpha, f'g \sim \beta, ~~et (quitte à changer)~~ ~~\alpha et \beta par gf et f'g)~~

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\alpha"'] & Y \arrow[dl, "g"'] \arrow[d, "\beta"] \\ X' \arrow[r, "f'"'] & Y' \end{tikzcd}

\alpha, \beta \in \underline{W}, \qquad gf = \alpha, \quad f'g = \beta \quad \text{(quitte à factoriser)} X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Y' \xrightarrow{f'} X', gf \in \underline{W}, f'g \in \underline{W}à gauche du carré ; l'ordre Y', X' est celui de la page On pourrait d'ailleurs supposer que f soit immersion ouverte, puis (quitte à factoriser ~~g, puis f'~~ ) que f, g, f' sont des immersions ouvertes.

\begin{tikzcd}[column sep=small] X \arrow[rr, hook] & & Y \arrow[dl, "g_1"'] \\ & X'_1 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ X' \arrow[rr] & & Y' \end{tikzcd}

croquis en bas de la colonne, lu sans certitude : de X'_1 partent une flèche vers X' et une flèche (repassée) vers Y', et X' va à Y'

Soit f = f_0 \in \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat}), f_0 : X_0 \to X_1« : X_0 \to X_1 » est ajouté au-dessus de la ligne, sur un « X = » biffé, telle que \gamma(f) iso : prouver f \in \underline{W}. OPS f = f_0 immersion ouverte. Par calcul des fractions, \exists g = g_1 : X_1 \to X_2, telle que g_1 f_0 \in \underline{W} ; donc \gamma(g_1 f_0) = \gamma(g_1)\gamma(f_0) iso, donc \gamma(g_1) iso. OPS (quitte à factoriser) que g immersion ouverte. Donc en procédant de proche en proche X_0 = X \xrightarrow{f = f_0} Y = X_1 \xrightarrow{g = f_1} X_2petit schéma dans la marge gauche, les égalités écrites verticalement

~~f_0, g_0, f_1, g_1, \ldots, f_n, g_n~~au-dessus, une seconde liste biffée, f_0, f_1, f_2 X_0 \xrightarrow{f_0 = f} X_1 \xrightarrow{f_1 = g} X_2 \xrightarrow{f_2} \cdots ~~donc~~ système inductif d'imm. ouvertes, telles que les produits de deux consécutifs soient \in \underline{W}. Soit X_\infty = \varinjlim_n X_n, on a

\begin{tikzcd} X_0 \arrow[rr, "f = f_0"] \arrow[dr, "i_0"'] & & X_1 \arrow[dl, "i_1"] \\ & X_\infty & \end{tikzcd}

commutatif ; il suffit de prouver que i_0 et i_1 sont \in \underline{W}. [Il suffit] bien sûr

~~On prouvera~~ On prouvera pour i_0 [idem i_1, en remplaçant f_0 par f_1]. On a X_0 = \varinjlim (X_0 \to X_0 \to X_0 \to \cdots X_0 \to \cdots) et aussi X_\infty = \varinjlim_n (X_0 \to X_2 \to X_4 \to \cdots X_{2n} \to \cdots) et i_0 est \varinjlim des i_0^{2n} : X_0 \to X_{2n}, qui sont \in \underline{W}, donc on gagne !! devant « et i_0 », un mot d'une autre encre, biffé et illisible