Cote n° 118 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Cohomology properties of maps in (Cat) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1983]
Édition de démonstration

21sa p. 3

Soit maintenant

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, hook] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
Y' \arrow[r, hook] & X'
\end{tikzcd}

diagramme cocartésien dans un \(\widehat{A}\), avec \(Y \hookrightarrow X\) et aussi cartésienajouté dans l'interligne, souligné (donc \(Y' \hookrightarrow X'\) mono.). Considérons le diagramme cartésien correspondant dans Cat

\begin{tikzcd}
A_{/Y} \arrow[r, hook] \arrow[d] & A_{/X} \arrow[d] \\
A_{/Y'} \arrow[r, hook] & A_{/X'}
\end{tikzcd}

il est cocartésien (car \(i_A : A^{\wedge} \to (\mathrm{Cat})\) commute aux \(\varinjlim\)) et cartésien (car \(i_A\) commute aux produits fibrés) et de plus les flèches […] sont fibrantes, de plus \(A_{/Y} \to A_{/X}\) et \(A_{/Y'} \to A_{/X'}\) sont […] des mono. fibrantes donc des immersions ouvertes. On est donc dans la situation déjà énoncée, donc \(\int A_{/X'}\)le signe qui précède \(A_{/X'}\) a la forme d'un \(\int\) ; lecture incertaine réalise \(\int \begin{pmatrix} A_{/Y} \to A_{/X} \\ \downarrow \\ A_{/Y'} \end{pmatrix}\),

Thmdoublement souligné, en marge gauche, en face du corollaire Corollaire Si \((Y \to X) \in \underline{W}\) (resp. \(Y \to Y'\) […] \(\in W\)) alors \((Y' \to X') \in \underline{W}\)\(Y' \to X'\) est récrit sur une première écriture (resp. \(X \to X' \in \underline{W}\)).

22sa p. 4

Mais attention Il n'est pas vrai dans Cat que si on a un diagramme cocartésien

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, hook, "i'"'] & X'
\end{tikzcd}

si \(i \in \underline{W}\), a-t-on \(i' \in \underline{W}\) ? […] \(Y, X\) asphériques (Ex \(Y' = \Delta_0\)) Nonces trois lignes sont écrites à droite du carré ; « Non » est doublement souligné

\(i\) immersion fermée (ou ouverte), alors \([\, i \in \underline{W} \Rightarrow i' \in \underline{W}\), ni que\(\,]\) \(g \in \underline{W} \Rightarrow f \in \underline{W}\), et mêmeil écrit « = » pour « même », ici et deux mots plus loin pour l'équiv. faible habituelle, et même si \(g\) est […] cofibrante […], et \(i\) […] immersion fermée, \(Y' \simeq \Delta_0\)la fin de la phrase, depuis « si \(g\) », est écrite dans l'interligne.

Il semble vrai que si \(g\) […] 1-équiv., i.e. induit une […] équiv. sur les groupoïdes fondamentaux, […] \(f\) aussi.note écrite en diagonale dans la marge gauche, à hauteur du carré ; « cocart. » est ajouté au-dessus de la première ligne \([\;]\) ?

Ex Considérons une \(Z\) dans (Cat), et

\begin{tikzcd}
Z \arrow[r, hook] \arrow[d, hook, "\alpha"'] & \check{C}(Z)\ [\supset e_{u'_0}] \arrow[d] \\
Y = C(Z) \arrow[r, hook, "\text{imm. f. (surj.)}"'] \arrow[d, "g \in W"'] & \Sigma(Z) = X\ [\supset e_{w_0}] \arrow[d, "f"] \\
Y' = e \arrow[r, hook, "\text{imm. f.}"'] & \Theta(Y) = X'\ [\supset e_{u'_0}]
\end{tikzcd}

les deux carrés sont marqués « cocart » ; la flèche \(\alpha\) porte « immersion fermée » ; la flèche horizontale du haut porte un petit signe illisible ; les indices \(u'_0\), \(w_0\) des crochets sont lus sans certitude, et dans le premier crochet un signe est biffé devant \(e_{u'_0}\)

Ici \(g \in W\), et \(X' \simeq \Delta^1\) ssi […] \(Z\) […] est 0-connexe. (En général, \(\mathrm{Hom}(e_{u'_0}, e_{y'_0}) \simeq \pi_0(Z)\)indices incertains). Mais quand il en est ainsi, \(f \in \underline{W}\) ssi \(\Sigma(Z)\) est \(\underline{W}\)-asph., ce qui n'est pas toujours le cas (prendre p.ex. \(Z\) un groupoïde réduit à un objet, avec \(\pi_1 \neq 1\)).

23sa p. 5, chiffre récrit

Il faut supposer que \(A\) soit catégorie test locale.en diagonale dans la marge gauche, séparé de la suivante par un trait itou dans […] Cat

devant « Corollaire », un « 4 » et un numéro biffé Corollaire Considérons \(\overline{A^{\wedge}}\) la catégorie localisée de \(A^{\wedge}\) par les homotopismes (relatifs : \(h_{\underline{W}_A}\)), de sorte que \(\mathrm{Hot}_A\) apparaît comme une catégorie de fractions \[ \mathrm{Hot}_A \simeq \overline{\underline{W}_A}^{\,-1}\, \overline{A^{\wedge}} \] Je dis que \(\overline{\underline{W}_A}\) permet un calcul des fractions à gauche. […] Soit en effet \(Y \xrightarrow{i} X\), \(g \in \overline{\underline{W}_A}\) : \(Y \to Y'\)les \(Y\), \(Y'\) de cette ligne sont surchargés dans \(\overline{A^{\wedge}}\), […] compléter en

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, "i"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, "i'"'] & X'
\end{tikzcd}

[…] \(f \in \overline{\underline{W}_A}\).

On va factoriser […] \(i\) en mono \(Y \xrightarrow{i_1} X_1 \xrightarrow{h} X\), \(Y \to (X \times I)\) (cf. plus bas) […] \(h\) homotopisme, on est ramené au cas où \(i\) […] mono, et on prend \(X'\) somme amalgamée. D'autre part, on doit montrer que

24sa p. 6

\[ X' \xrightarrow{\;s\;} X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y \quad \text{de } \overline{A^{\wedge}} \] avec \(s \in \overline{\underline{W}_A}\), […] […] dans \[ X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y \xrightarrow{\;t\;} Y' \] avec \(t \in \overline{\underline{W}_A}\)la lettre, ici et dans l'étiquette de \(Y \to Y'\), est lue \(t\) d'après le diagramme qui suit ; elle pourrait être un \(r\). OPS \(s\) mono.

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & I \times X \arrow[rr, dashed] & & Y' \\
I \times X' \arrow[r, hook, "{[\in \underline{W}_A]}"'] & M \arrow[u, "{[\in \underline{W}_A]}"] \arrow[rr] & & Y \arrow[u, dashed, "t"'] \\
X' \sqcup X' \arrow[u] \arrow[r, hook, "\in \underline{W}_A"'] & X \sqcup X \arrow[u] \arrow[urr] & &
\end{tikzcd}

au-dessus de \(I \times X'\), une source biffée (\(X'\) surchargé) envoie une flèche marquée \(\in \underline{W}_A\) vers \(I \times X\) ; la flèche \(X' \sqcup X' \to I \times X'\) est tracée en gras

L'énoncé des conditions (i) à (iv) inspiré par le cas de (Cat) et non celui de \(A^{\wedge}\), où (iii) est inutile, pourvu que dans (ii) il suffise […] […] \(\in \underline{W}\).en diagonale dans la marge droite, une flèche renvoyant à « les choses suivantes » On va utiliser les choses suivantes de \((I_\alpha)\), la famille d'int. : \(\exists\) une classe de flèches \(\mathfrak{M} \subset \mathrm{Fl}(\underline{M})\)\(\mathfrak{M}\) rend sa lettre ronde, écrite sur une autre biffée (ici \(\underline{M} = A^{\wedge}\)) […], avec

• (i)toute \(f : Y \to X\) se factorise en \(Y \xrightarrow{i} X_1 \xrightarrow{h} X\), avec \(i \in \mathfrak{M}\), \(h\) homotopisme rel. \((I_\alpha)\)
• (ii)Si […]
  LaTeX source

  \begin{tikzcd}
  Y \arrow[r, "i"] \arrow[d, "f"'] & X \arrow[d, "g"] \\
  Y' \arrow[r] & X'
  \end{tikzcd}

  cocartésien, avec \(i \in \mathfrak{M}\), et \(f \in \underline{W}\), alors \(g \in W\)
• (iii)\(\exists\) famille génératrice d'intervalles \(I_\alpha\), telle que pour tout \(X\), \(X \sqcup X \to X \times I_\alpha\) soit \(\in \mathfrak{M}\)ce sont donc des intervalles séparants
• (iv)Sommes finies […] existent dans \(\underline{M}\), et […] […] \(f, g \in W \Rightarrow f \sqcup g \in W\).

modifier […]dans la marge, à hauteur de (ii)–(iii), deux lignes barrées d'un trait courbe

Dans toute \((M, W)\) […] munie d'un \(\mathfrak{M}\) (compatible) \(W\) [var. les homotopismes sont dans \(W\)] […] (i) […], \(W^{-1}M = \overline{W}^{-1}\overline{M}\), et \(\overline{W}\) admet un calcul des fractions à gauche, si […] les conditions (i) à (iv).en diagonale dans la marge gauche, en face des conditions (i)–(iv)

25sa p. 7 ; en haut à droite, un mot biffé, peut-être Fukuda

Dans cet argument, il a fallu moralementajouté au-dessus de la ligne utiliser un intervalle \(I\) séparant (cf condition (iii)). Donc dans le cas \(M = A^{\wedge}\), il faut disposer d'un intervalle \(I\) séparant dans \(A^{\wedge}\) donc \(A\) qui de plus définisse une […] structurerécrit au-dessus du mot biffé homotopique sur \(A^{\wedge}\) plus fine […] compatible avec \(W\) – et pour ceci, il faut supposer que \(I \to e\) est \(\underline{W}_A\)-asphérique [ou du moins supposer que \(\delta_0\) et \(\delta_1 : e \to I\) […] […]mot doublement souligné les deux ext. […] même image dans \(\underline{W}\) ....] – donc, pratiquement, que […] \(A\) soit une catégorie-test locale. […] inutile, cf. […] […] si […] […] catégorie \(A\)marge gauche, écrit presque verticalement, en face des lignes 2 à 8 ; une note plus bas, à hauteur de « catégorie-test locale », est biffée et ne se lit pas Ah

On a utilisé aussi la propriété (pour card \(J = 2\)) que pour une famille de flèches \((f_j)_{j \in J}\) dans \(A^{\wedge}\), \(f_j \in \underline{W}_A\) pour tout \(j \in J\) \(\Rightarrow\) \(\coprod_J f_j \in \underline{W}_A\). On est ramené à voir la même dans (Cat), pour \(\underline{W}\). Cela résulte alors de Loc. 3 (condition de localisation) appliquée à

\begin{tikzcd}[column sep=small]
X \arrow[rr] \arrow[dr] & & Y \arrow[dl] \\
 & J &
\end{tikzcd}

Coroll.

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Corollaire 1 Dans \(\mathrm{Hot} = \mathrm{Hot}(\underline{W})\), les sommes […] arbitraires existent, et les foncteurs canoniques \[ (\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}(\underline{W}), \qquad A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}_A \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) \] y commutent (on se ramène au cas de (Cat), sachant que \(i_A : A^{\wedge} \to (\mathrm{Cat})\) commute aux sommes), i.e. les […] dans […] […]. finies inutile, […] quelconque, […] plus […]marge gauche, en oblique, à hauteur des trois premières lignes ; une flèche en part vers \(A^{\wedge}\), une autre vers « sans contradiction » écrit au-dessus de la ligne suivante, lecture incertaine

Démonstration Soit \((M, W)\) avec \(W \subset \mathrm{Fl}(M)\), \(W\) […] permettant un calcul des fractions à droite. Si dans Alors \(M\) les le foncteur canonique \(M \to W^{-1}M\) commute aux lim finies, […] et en particulier aux sommes finies.les quatre lignes, de « \(W\) permettant » à « sommes finies », sont marquées d'un trait vertical en marge

On applique ceci à \((\overline{\mathrm{Cat}}, \overline{\underline{W}})\), il faut voir que les sommes finies y existent ([…] la […] […] […] […] quelque chose !), et que \(\mathrm{Cat} \to \overline{\mathrm{Cat}}\) y commute. Dans Mais […] de façon générale

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NB \(M\) stable par sommes finies suffiten oblique dans le coin supérieur gauche Lemme Soit Soit \((M, h)\) structure homotopique par intervalles (homotopy interval structure), avec \(M\) stable par sommes \(\{\)finies\(\}\), et les sommes \(\{\)finies\(\}\) étant universelles. Alors \(M \to W_h^{-1}M\) commute aux sommes finies.

Cela revient à ceci : pour \[ \begin{matrix} f = (f_j)_{j \in J} \\ g = (g_j)_{j \in J} \end{matrix} \; : \; \underbrace{\textstyle\coprod_J X_j}_{X} \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y \] \(f \underset{h}{\sim} g\) ssi \(f_j \underset{h}{\sim} g_j\) \(\forall j \in J\). ces lignes sont marquées d'un trait vertical en marge

Dém \(\Rightarrow\) trivial, pour prouver \(\Leftarrow\) on note qu'il existe un même intervalle \(I\) tel que \(f_j \underset{h_I}{\sim} g_j\) […] (car \(J\) est fini), on prend comme \[ I \times X \simeq \coprod_J I \times X_j \] on trouve une homotopie composée […]

\begin{tikzcd}
I_N \times X \arrow[r] & X \\
I_N \times X_j \arrow[u, hook] \arrow[r] & X_j \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

au-dessus de \(I_N \times X\), un premier facteur biffé ; les inclusions sont notées « \(\cup\) » sur la page (avec \(N\) assez grand pour convenir pour tous les \(j\) …). Ça gagne !

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NB Il semble faux que \((\mathrm{Cat}) \to \overline{\mathrm{Cat}}\) commute aux sommes infinies – il suffit de prendre des familles \[ \begin{matrix} f_n \\ g_n \end{matrix} \Big\} \; X_n \rightrightarrows Y \qquad (n \in \mathbb{N}) \] telles que \(f_n \simeq g_n\), mais qu'il faille une suite de plus en plus […] d'homotopies élém. pour les joindre. (prendre p.ex. \(X_n = \Delta_0\), \(f_n\), \(g_n\) donnés par des pts de \(Y\), prendre \[ Y = I_\infty = (\;\underbrace{\to\leftarrow}\,\underbrace{\to\leftarrow}\;\cdots\;) \] somme amalgamée d'une infinité de copies de \(X_n\), Mais pour […] la somme« la somme » est écrit au-dessus des mots biffés \(\coprod X_n\) n'est pas une somme dans \(\overline{\mathrm{Cat}}\), carla parenthèse ouverte après « prendre p.ex. » n'est pas refermée ; le signe \(\coprod\) devant \(X_n\) paraît barré

Je suppose pourtant que dans \(\mathrm{Hot}(\underline{W})\), les sommes quelconques existent et que \(\mathrm{Cat} \to \mathrm{Hot}(\underline{W})\) y commute ??

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Correspondance avec […]en haut à droite, biffé de traits en boucle ; le dernier mot, sans doute un nom, ne se lit pas Pourtant, soit \(X\)

Il reviendrait au même de dire que pour \((X_j)_{j \in J}\) et \(Y\) dans Cat, si \(X = \coprod X_j\), \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X, Y) \to \prod_{j \in J} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_j, Y) \] devant \(X\) et \(Y\) dans le premier terme, deux signes noircis est bijectif. Mais avec le calcul des fractions, ni l'bijectiinjectivité ni la surjectivité n'est claire, elles auraient l'air plutôt fausses, pour les mêmesil écrit « = » pour « même(s) » raisons. C'est gênant = bien gênant ! […]

a) Il se pourrait que pour deux […] […] des sections […] \((\varphi_j)_{j \in J}\)avant la famille, un signe « = » suivi d'une lettre, peut-être son abréviation de « mêmes », il n'existe pas de \((Y \to Y') \in W\) commun pour tous les \(\varphi_j\), tels que \(X_j \overset{\varphi_j}{\dashrightarrow} Y\) se représente par \(X_j \xrightarrow{f_j} Y'\). A priori, on trouve \(Y \hookrightarrow Y'_j\) (immersion […] […]), mais peut-être pas pour la […]. […] proj. : les […], […] pour partie finie

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\(J_0\) de \(J\) fini, \(Y'_{J_0} = \coprod_{j \in J_0,\, Y} Y'_j\), et \(Y'_J = \varinjlim Y'_{J_0}\), on a encore \(Y \to Y'\) \(\in \underline{W}\). Donc il y a quand même« = » pour « même » surjectivité ! Mais soient maintenant \(f, g : X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y'\) (sous \(Y\), avec \(Y \hookrightarrow Y'\))il écrit \(Y\) au-dessus de \(Y'\), relié par une flèche verticale qui donnent sont tels que \(\gamma(f_j) = \gamma(g_j)\) \(\forall j \in J\), a-t-on \(\gamma(f) = \gamma(g)\) ? Mais oui, par le même argument – conduisant au lemme : […] […] !en oblique dans la marge gauche, souligné de deux traits

Lemme Soient \(Y \xrightarrow{\alpha_j} Y'_j\) des une famille d'équivalences faibles, alors il existe \(Y \overset{\alpha}{\hookrightarrow} Y'\) une équivalence faible telle que (immersion ouverte ou fermée si les \(\alpha_j\) le sont) telles que et des \(\beta_j : Y'_j \to Y'\) telles que \(\beta_j \alpha_j = \alpha\). (De plus, si les \(\alpha_j\) sont des immersions ouvertes ou imm. fermées, on peut prendre pour \(Y'\) la somme amalgamée des \(Y'_j\))au-dessus de « Y' » dans la parenthèse du lemme, « \(Y \hookrightarrow Y'\) » est ajouté

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, hook, "\overline{\alpha}_j"] \arrow[dr, hook, bend right=30, "\alpha"'] & \overline{Y}'_j \arrow[r, "i_j"] \arrow[d, "\text{comm.}"'] & Y'_j \arrow[l, dashed, bend left=40, "s_j"] \arrow[dl, dashed, "\beta_j"] \\
 & Y' &
\end{tikzcd}

\[ s_j i_j = \mathrm{id}_{\overline{Y}'_j} \] schéma en marge gauche ; « comm. » est écrit deux fois, dans les deux triangles

On est ramené à prouver ceci : soient \(f, g : X = \coprod X_j \to Y\), tels que \(f_j \sim g_j\) \(\forall j \in J\), alors \(\gamma(f) = \gamma(g)\). (Mais attention on n'a pas en général \(f \sim g\) !) Il faut une variation […] des types « Kan » sur \(Y\), ou plutôt sur un \(Y'\), où \((Y \to Y') \in \underline{W}\)

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Corollaire 2 Dans \(\mathrm{Hot}(\underline{W})\), les produits finis existent, et les foncteurs canoniques \[ (\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}(\underline{W}), \qquad A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}(\underline{W}) \quad (A \text{ catégorie test stricte}) \] y commutent. il suffit même que \(A\) soit tot. \(\underline{W}\)-asph.ajout relié par une flèche à « \(A\) catégorie test stricte » ; lecture incertaine de la fin

[…] […] Mais c'est clair dans (Cat) si on traite directementen oblique dans la marge gauche, à hauteur des quatre lignes suivantes On est ramené à prouver que \(A^{\wedge} \to [\mathrm{Hot}(\underline{W}) \simeq]\ \underline{W}_A^{-1} A^{\wedge}\) commute aux produits finis, i.e. que \[ \mathrm{Hom}_{\underline{W}_A^{-1}A^{\wedge}}\Bigl(X, \prod Y_j\Bigr) \to \prod \mathrm{Hom}_{\underline{W}_A^{-1}A^{\wedge}}(X, Y_j) \] le premier \(\prod Y_j\) est surchargé est bijectif, pour toute famille finie \((Y_j)_{j \in J}\) d'objets en \(A^{\wedge}\), et \(X\) dans \(A^{\wedge}\).

Surjectivité Un élément […] […] est provient d'une famille \[ f_j : X \to Y'_j \qquad \text{où } Y_j \to Y'_j \text{ équiv.\ faible.} \] Donc Considérons donc \[ f = (f_j) : X \to \prod Y'_j = Y' \] il définit \(X \to Y\) qui convient, si on sait que \(\prod Y_j \to \prod Y'_j\) est \(\in \underline{W}\).

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via localisation forte [si \(A\) […] […] \(\underline{W}\)-asph.]écrit verticalement le long du bord gauche, avec deux flèches doubles montantes ; entre la marge et les conditions, des flèches \(\Downarrow\) et \(\Updownarrow\) relient (i) à (ii bis) et (ii bis) à (iii) C'est le cas si \(A\) catégorie-test stricte, plus généralement si elle est tot. \(\underline{W}\)-asphérique.l'abréviation, ici, en p. 31 et p. 33, ressemble à « LA » ou « tA » ; lue « tot. » (totalement) d'après la condition \(X \times a \to X \in \underline{W}_A\) de p. 33, sans certitude

Lemme (?) Soit \(A\) dans (Cat) catégorie […]. Conditions équiv. (\(\Rightarrow\))

• (i)\(A\) est tot. \(\underline{W}\)-asphérique, il […]
• (ii)Produits finis de flèches \(\in \underline{W}_A\) sont \(\in \underline{W}_A\)
• (ii bis)(iii) Si \(f : X \to Y\) dans \(A\) est dans \(\underline{W}_A\) et \(Z\) dans \(A^{\wedge}\), \(f \times \mathrm{id}_Z : X \times Z \to Y \times Z\) est dans \(\underline{W}_A\)
• (iii)Le foncteur \(A^{\wedge} \to (\mathrm{Hot}_A)\) \(\mathrm{Hot}(\underline{W})\) commute aux produits finis
• (iv)le foncteur \(A^{\wedge} \to (\mathrm{Hot}_A(\underline{W}))\) commute aux produits finis

sous « (iii) », un mot souligné et biffé, peut-être Dém

On se ramène à ce lemme tantôt. Pour le moment, on suppose vérifié (ii), qui assure surjectivité de \(\ast\).

Injectivité ?

\begin{tikzcd}
 & Y \arrow[rr, "\mathrm{pr}_j"] \arrow[d, "\alpha\ \in W"'] & & Y_j \arrow[d, "\beta_j\ \in \underline{W}"] \\
f, g : X \arrow[r, bend left=15] \arrow[r, bend right=15] & Y' \arrow[rr, "\varphi_j"'] & & Y'_j
\end{tikzcd}

à droite de \(Y'_j\), une égalité biffée, peut-être \(= \coprod_Y\) […] On suppose que pour tout \(j\), \(\exists\) \(\beta_j : Y_j \to Y'_j\), \(\varphi_j\), tels que \(\beta_j \mathrm{pr}_j = \varphi_j \alpha\), \(\beta_j \in \underline{W}\), \(\varphi_j f \underset{h}{\simeq} \varphi_j g\), Considérons Donc […] posant \[ \beta = \prod \beta_j : Y = \prod Y_j \to Y'' = \prod Y'_j \] […] on trouve

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diag. commutatif

\begin{tikzcd}
 & Y \arrow[d, "\alpha\ \in W"'] \arrow[dr, "\beta = \prod \beta_j\ \in W"] & \\
X \arrow[r, bend left=15, "f"] \arrow[r, bend right=15, "g"'] & Y' \arrow[r, "\varphi = (\varphi_j)"'] & Y'' = \prod Y'_j
\end{tikzcd}

au-dessus de la flèche \(\varphi\), un mot ondulé, peut-être « comm. » d'où \(\varphi f \simeq \varphi g\), donc \(\gamma(f) = \gamma(g)\).

NB Cela marcherait pour les produits infinis, si on savait qu'un produit infini d'éléments de \(\underline{W}_A\) est encore dans \(\underline{W}_A\).

Venons-en au lemme plus haut

(ii) \(\Longleftrightarrow\) (ii bis) trivial (\(\Longleftrightarrow\) si \(f \in \underline{W}_A\), alors \(\forall a \in \mathrm{Ob}\,A\), \(f \times \mathrm{id}_a : X \times a \to Y \times a\) \(\in \underline{W}_A\))

\(\Downarrow\) (iii) on vient de le prouver \(\Uparrow\) est évident quand on sait que \(\underline{W}_A\) est fortement saturé (conséquence de fortement saturé)en oblique dans la marge gauche, avec une flèche \(\Uparrow\) tracée en face

Examinons (ii) (ii bis) signifie aussi que si \(f \in \underline{W}_A\), alors \(\forall Z\), \(f \times \mathrm{id}_Z : X \times Z \to Y \times Z\) est \(\in \underline{W}_A\) loc. sur \(Z\), et pour ceci il suffit de le voir pour \(Z\) dans \(A\), i.e. \(X \times a \to Y \times a\) \(\in W\). raisonnement déjà fait plus haut

\begin{tikzcd}
X \times a \arrow[r] \arrow[d] & Y \times a \arrow[d] \\
X \arrow[r, "\in \underline{W}_A"'] & Y
\end{tikzcd}

Cela marche si on sait que \(X \times a \to X\) et \(Y \times a \to Y\) \(\in \underline{W}_A\), ce qui signifie aussi que \(A^{\wedge}\) \(a\) est tot. asph. […]. Donc (i) \(\Longrightarrow\) (ii bis). Inversement (ii bis) implique En fait Inversement, on voit de suite que si \(A\) asph., alors (ii bis) \(\Longrightarrow\) (i) [prendre \(f : a \to e_{A^{\wedge}}\)). donc (i) \(\Longleftrightarrow\) (ii) + \(A\) asphérique.

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Reste à examiner (iv). Comme on sait déjà que (Cat) \(\to \mathrm{Hot}(\underline{W})\) commute aux produits finis, (iv) signifie que pour \(X, Y\) dans \(A^{\wedge}\), \[ A_{/X \times Y} \to A_{/X} \times A_{/Y} \] au-dessus, une première écriture biffée, \(A_{/X} \times A_{/Y}\) est \(\in \underline{W}\). Cela implique Dans le cas \(X = a\), \(Y = b\) dans \(\mathrm{Ob}\,A\), cela signifie que \(a \times b\) asphériques – i.e. \(A^{\wedge}\) tot. \(\underline{W}\)-asph. Je dis que cela suffit, de façon précise que \(A_{/X \times Y} \to A_{/X} \times A_{/Y}\) est asph. En effet, pour un objet \(\alpha = (a_{/X}, b_{/Y})\) dans le second membre, on a \[ (A_{/X \times Y})_{/\alpha} \simeq A_{/a \times b} \] et on conclut. En résumé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
x \arrow[r] & X \times Y \\
x \arrow[r] & X \\
x \arrow[r] & Y
\end{tikzcd}

petit schéma dans la marge gauche, entouré d'un trait qui porte « si \(A\) » et « \(\underline{W}\)-asph. », relié par une flèche à la liste qui suit

• (i)\(A\) tot. \(\underline{W}\)-asph.
• (iv)\(A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}(\underline{W})\) commute aux produits binaires
• (iv bis)\(A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}(\underline{W})\) commute aux produits finis

\(\Uparrow \qquad \Downarrow\)

• (ii)[…] \(\underline{W}_A\) stable par produits finis
• (ii bis)\(f \in \underline{W}_A \Rightarrow f \times \mathrm{id}_X \in \underline{W}_A\) (\(\forall X \in \mathrm{Ob}\,\widehat{A}\))
• (iii)\(A^{\wedge} \to \mathrm{Hot}_A\) commute aux produits finis

les équivalences entre (i), (iv), (iv bis), puis entre (ii), (ii bis), (iii), sont marquées de flèches doubles \(\Updownarrow\) dans l'accolade ; la flèche \(\Uparrow\) de (iii) vers (ii bis) porte un mot oblique, peut-être « si \(W\) saturé »

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Mais il n'est pas clair pour moi si

[…] NB La condition (iv) est visiblement stable par sommes (i.e. si des \(A_\alpha\) y satisfont, \(\coprod_\alpha A_\alpha\) aussi), mais la condition (i) non, donc (i) aussi« aussi » est lu sous la rature l'implication (iv) \(\Rightarrow\) (i) est stricte. Mais une \(A\) qui satisfait (ii), et qui est connexe, […] est-elle \(\underline{W}\)-asphérique (donc tot. \(\underline{W}\)-asphérique) ?

Nondoublement souligné Prenons p.ex. […] \(A\) un groupoïde, dans lequel \(A^{\wedge}\) \(\underline{W}_A\) est formé des seuls iso (car ici \(\underline{W}\) est l'équiv. faible habituelle), donc stable par produits finis …

L'argument de commutation aux produits finis« aux produits » est ajouté au-dessus de la ligne marcherait directement dans (Cat) également, puisqu'on sait […] qu'un produit […]fini de foncteurs \(\in \underline{W}\) est \(\in \underline{W}\). Pour le cas des produits infinis, il faut voir qu'un produit d'éléments de \(\underline{W}\) est dans \(\underline{W}\), et et/ou itou dans un \(\widehat{A}\) (le deuxième impliquera le premier). Déjà pour l'équiv. faible habituelle \(\underline{W}_0\), ce n'est pas évident. Il y a des

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chances qu'on arrive à le voir en prouvant qu'un produit \(\prod_{j \in J} X_j\) d'objets \(\underline{W}\)-asphériques est \(\underline{W}\)-asphérique ? Ça me semble moins important de toutes façons que la question des sommes infinies.

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[…] […] […]ligne d'en-tête, de la même encre, non lue ; le dernier mot commence par « Com »

Thm Soient \(I\) un ordonné filtrant, \(X, Y\) dans (Cat), \((X_i)_{i \in I}\) et \(Y = (Y_i)_{i \in I}\) deux filtrations par des sous-cat. fermées (resp. ouvertes), \(f\) \(X = \bigcup X_i\), \(Y = \bigcup Y_i\), \[ f : X \to Y \] tel que \(f(X_i) \subset Y_i\), soit \(f_i : X_i \to Y_i\). Supposons que les \(f_i\) soient des équiv. faibles, alors \(f\) est une équiv. faible. Il suffit que dans \(I\) les Inf existent (condition […]) et vérifient que si \(i = \mathrm{Inf}\, j_\alpha\), on ait \(X_i = \bigcap_\alpha X_{j_\alpha}\)en oblique dans la marge gauche, en face des six premières lignes ; « ouvertes » dans l'énoncé est lu sans certitude

On est ramené par dualité au cas des sous-catégories ouvertes. Dans ce […] cas, interpréter la filtration de \(X\) comme la donnée de \[ X \xrightarrow{\;\varphi\;} I \] défini par \[ \varphi(x) = \mathop{\mathrm{Inf}}_{i \in I(x)} i , \qquad I(x) = \{\, i \in I \mid x \in X_i \,\} \] sous « Inf », un mot biffé devant \(I(x)\), et « pour » biffé dans l'accolade NB \(\varphi(x)\) est aussi le plus petit élément de \(I(x)\) et \(I(x) = \{\, j \in I \mid j \geq \varphi(x) \,\}\) (dans filtration ouvertes)à droite de la formule ; la dernière parenthèse est reliée par un trait à « les Inf » de la ligne suivante – on suppose donc que dans \(I\) les Inf existent. On a« a » récrit sur « posons » biffé, pour \[ \alpha : x \to y , \] \(\varphi(x) \leq \varphi(y)\) (car \(I(y) \subset I(x)\), donc \(\mathrm{Inf}\, I(y) \geq \mathrm{Inf}\, I(x)\)), d'où la valeur de \(\varphi(\alpha)\). On aura bien« a donc » et « signifie » sont récrits au-dessus des mots biffés, lecture incertaine \[ X_i = \varphi^{-1}(I_i) \qquad \text{où } I_i = \{\, j \in I \mid j \leq i \,\} \] \(\varphi\) i.e. \(x \in X_i \Longleftrightarrow \varphi(x) \leq i\) (i.e. \(i \in I(x)\)).

39feuillet double, écrit en deux colonnes ; la colonne de gauche achève l'argument de la p. 38, celle de droite ouvre un nouvel énoncé

Bien sûr, par définition

Il faudra expliciter que pour une catégorie \(I\) d'indices telle que les Inf de parties non vides existent, les foncteurs \(X \to I\) sont en corr. 1-1 avec les filtrations, […] explicites croissantes \[ I \to \mathrm{Ouv}(X), \qquad i \mapsto X_i \] devant \(\mathrm{Ouv}(X)\), un premier mot biffé, peut-être « Sscat » qui commutent aux dits Inf, et telles que l'on ait \(X = \bigcup X_i\). cette dernière condition équivaut à : \(\varinjlim X_i \simeq X\)

Ceci posé, on a donc \[ X_{/i} = X_i \] d'où les restrictions […] de \(f\) \[ f_i : X_i \to Y_i \] s'identifient : \[ f_{/i} : X_{/i} \to Y_{/i} \] donc on […] par L 3.

Corollaire ! Idem dans un \(A^{\wedge}\), en utilisant le fait que \(i_A\) commute aux \(\varinjlim\) quelc. et aussi aux produits fibrés. « fibrés » est écrit une seconde fois sous la ligne, à gauche ; un trait vertical marque le corollaire en marge

Cor ? Si les \(X_i\) sont \(\underline{W}\)-asphériques et \(I\) connexe, alors \(X\) est \(\underline{W}\)-asphérique (On prend \(Y_i = e_{(\mathrm{Cat})}\)).

Thm L'ens. \(\underline{W}\) est saturé.

Cor Pour tt \(A\), \(\underline{W}_A\) est saturé.

la démonstration qui suit est barrée de deux longs traits obliques Dém Soit \(f : X \to Y\) tel que \(\gamma(f)\) iso, i.e. \(\exists\)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\alpha \in \underline{W}"'] & Y \arrow[dl, "g"] \arrow[d, "\beta \in \underline{W}"] \\
X' \arrow[r, "f'"'] & Y'
\end{tikzcd}

sur la page, deux croquis séparés : \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} X'\) avec \(\alpha : X \to X'\), et \(X' \xrightarrow{f'} Y'\) avec \(\beta : Y \to Y'\) ; les deux sont réunis ici en un seul carré avec \(\gamma(gf) = \gamma(\alpha)\), et avec \[ \gamma(gf) = \gamma(\alpha), \quad \gamma(f'g) = \gamma(\beta), \quad \beta f = f' \alpha . \] Quitte à changer \(\alpha\) en un composé avec \(X' \to X'_1\), et de même \(\beta\) en \(Y'\) avec \(Y' \to Y'_1\) (donc \(gf \in \underline{W}\), \(f'g \in \underline{W}\)), OPS \(gf \sim \alpha\), \(f'g \sim \beta\), et […] (quitte à changer) […] \(\alpha\) et \(\beta\) par \(gf\) et \(f'g\)) […] […]

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\alpha"'] & Y \arrow[dl, "g"'] \arrow[d, "\beta"] \\
X' \arrow[r, "f'"'] & Y'
\end{tikzcd}

\[ \alpha, \beta \in \underline{W}, \qquad gf = \alpha, \quad f'g = \beta \quad \text{(quitte à factoriser)} \] \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Y' \xrightarrow{f'} X'\), \(gf \in \underline{W}\), \(f'g \in \underline{W}\)à gauche du carré ; l'ordre \(Y'\), \(X'\) est celui de la page On pourrait d'ailleurs supposer que \(f\) soit immersion ouverte, puis (quitte à factoriser \(g\), puis \(f'\) […]) que \(f, g, f'\) sont des immersions ouvertes.

\begin{tikzcd}[column sep=small]
X \arrow[rr, hook] & & Y \arrow[dl, "g_1"'] \\
 & X'_1 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
X' \arrow[rr] & & Y'
\end{tikzcd}

croquis en bas de la colonne, lu sans certitude : de \(X'_1\) partent une flèche vers \(X'\) et une flèche (repassée) vers \(Y'\), et \(X'\) va à \(Y'\)

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Soit \(f = f_0 \in \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat})\), \(f_0 : X_0 \to X_1\)« \(: X_0 \to X_1\) » est ajouté au-dessus de la ligne, sur un « \(X =\) » biffé, telle que \(\gamma(f)\) iso : prouver \(f \in \underline{W}\). OPS \(f = f_0\) immersion ouverte. Par calcul des fractions, \(\exists\) \(g = g_1 : X_1 \to X_2\), telle que \(g_1 f_0 \in \underline{W}\) ; donc \(\gamma(g_1 f_0) = \gamma(g_1)\gamma(f_0)\) iso, donc \(\gamma(g_1)\) iso. OPS (quitte à factoriser) que \(g\) immersion ouverte. Donc en procédant de proche en proche \(X_0 = X \xrightarrow{f = f_0} Y = X_1 \xrightarrow{g = f_1} X_2\)petit schéma dans la marge gauche, les égalités écrites verticalement

\(f_0, g_0, f_1, g_1, \ldots, f_n, g_n\)au-dessus, une seconde liste biffée, \(f_0, f_1, f_2\) \[ X_0 \xrightarrow{f_0 = f} X_1 \xrightarrow{f_1 = g} X_2 \xrightarrow{f_2} \cdots \] donc système inductif d'imm. ouvertes, telles que les produits de deux consécutifs soient \(\in \underline{W}\). Soit \(X_\infty = \varinjlim_n X_n\), on a

\begin{tikzcd}
X_0 \arrow[rr, "f = f_0"] \arrow[dr, "i_0"'] & & X_1 \arrow[dl, "i_1"] \\
 & X_\infty &
\end{tikzcd}

commutatif ; il suffit de prouver que \(i_0\) et \(i_1\) sont \(\in \underline{W}\). [Il suffit] bien sûr […] […]

On prouvera On prouvera pour \(i_0\) [idem \(i_1\), en remplaçant \(f_0\) par \(f_1\)]. On a \[ X_0 = \varinjlim (X_0 \to X_0 \to X_0 \to \cdots X_0 \to \cdots) \] et aussi \[ X_\infty = \varinjlim_n (X_0 \to X_2 \to X_4 \to \cdots X_{2n} \to \cdots) \] et \(i_0\) est \(\varinjlim\) des \(i_0^{2n} : X_0 \to X_{2n}\), qui sont \(\in \underline{W}\), donc on gagne !! devant « et \(i_0\) », un mot d'une autre encre, biffé et illisible