Cote n° 118 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Cohomology properties of maps in (Cat) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1983]
Édition de démonstration

Cohomology properties of maps in (Cat)

titre de sa main, sur la chemise rose qui forme la page 1, suivi de deux points ; la même chemise porte la ligne suivante, reprise en sous-titre

1) Fibration-like properties

« like » est lu sans certitude

2page sans texte : trois treillis de classes de morphismes de \((\mathrm{Cat})\), les deux premiers à l'encre, le troisième au crayon. Les lettres sont les siennes : \(F\), \(C\) (fibrations, cofibrations), \(Sm\), \(Pr\) (lisse, propre), \(S\) (sans doute Serre), les primes \(F'\), \(C'\) étiquetant les flèches ; \(\mathrm{Spr}\) est écrit tel quel

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & & F\cap C \arrow[dl, "F\cap C'"'] \arrow[dr, "F'\cap C"] & & & & \\
 & & & F\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr, "F'\cap Pr"] & F'\cap C' & Sm\cap C \arrow[dl, "Sm\cap C'"'] \arrow[dr] & & & \\
 & & F\cap S \arrow[dl] \arrow[dr, "F'\cap S"] & & Sm\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & S\cap C \arrow[dl, "S\cap C'"'] \arrow[dr] & & \\
 & F \arrow[dr, "F'"] & & Sm\cap S \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[dddd, dashed] & & S\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[dddd, dashed] & & C \arrow[dl, "C'"] & \\
 & & Sm & & S \arrow[d] & & Pr & & \\
 & & & & \mathrm{Spr}B \arrow[d] & & & & \\
 & & & & \mathrm{Spr}F\cap \mathrm{Spr}C \arrow[dl] \arrow[dr] & & & & \\
 & & & \mathrm{Spr}F & & \mathrm{Spr}C & & &
\end{tikzcd}

\(F'\cap C'\), au centre du premier losange, n'est l'étiquette d'aucune flèche ; les deux flèches en pointillé descendent de \(Sm\cap S\) vers \(\mathrm{Spr}F\) et de \(S\cap Pr\) vers \(\mathrm{Spr}C\)

\begin{tikzcd}[column sep=0pt, row sep=small, nodes={font=\tiny}]
 & & W\cap F\cap C \arrow[dl] \arrow[dr] & & \\
 & W\cap F\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & W\cap Sm\cap C \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
 W\cap F\cap S = T\cap F \arrow[dr] & & W\cap Sm\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & W\cap S\cap C = T\cap C \arrow[dl] \\
 & W\cap Sm\cap S = T\cap Sm \arrow[dr] & & W\cap S\cap Pr = T\cap Pr \arrow[dl] & \\
 & & W\cap S = T\cap S = \mathcal{U}W \arrow[d] & & \\
 & & \mathrm{Bias} = W\cap \mathrm{Spr}B \arrow[d] & & \\
 & & \mathrm{As}\cap \mathrm{As}^{\circ} \arrow[dl] \arrow[dr] & & \\
 & \mathrm{As}^{\circ} = W\cap \mathrm{Spr}F \arrow[dr] & & \mathrm{As} = W\cap \mathrm{Spr}C \arrow[dl] & \\
 & & W & &
\end{tikzcd}

le signe lu \(\mathcal{U}W\) (dans \(T\cap S = \mathcal{U}W\)) est incertain

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & \mathrm{strh}\cap F\cap C \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \\
 & \mathrm{strh}\cap F\cap \mathrm{str}Pr \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathrm{strh}\cap \mathrm{str}Sm\cap C \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
 \mathrm{strh}\cap F \arrow[dr, no head] & & \mathrm{strh}\cap \mathrm{str}Sm\cap \mathrm{str}Pr \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & & \mathrm{strh}\cap C \arrow[dl, no head] \\
 & \mathrm{strh}\cap \mathrm{str}Sm \arrow[dr, no head] & & \mathrm{strh}\cap \mathrm{str}Pr \arrow[dl, no head] & \\
 & & \mathrm{strh} & &
\end{tikzcd}

ce troisième treillis est au crayon, ses traits sans pointes ; « strh » est sans doute « strict homotopism » (voir la page 7). Un long trait au crayon relie \(\mathrm{strh}\) au bas du deuxième treillis, sans qu'on voie à quel sommet

4feuille de travail en anglais, encre et crayon mêlés : deux treillis de classes de morphismes au centre, des remarques encadrées ou cernées tout autour. On donne d'abord les treillis, puis les remarques, de haut en bas et de gauche à droite. Les notations \(F\), \(C\), \(Sm\), \(Pr\), \(S\) sont celles de la page 2 ; \(WSF\), \(WSC\), \(WSB\) sont écrits d'un seul tenant. Des lignes en tirets, au crayon, doublent chacun des deux treillis et ne sont pas reproduites

\(S\), \(Pr\), \(Sm\) : Serre map i.e. Hot-fibration, proper, smooth en haut, au crayon, chacune des trois lettres reliée par un trait à son nom

\(T =\) « universally in \(W\) » en haut à droite

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & & B \overset{\mathrm{def}}{=} F\cap C \arrow[dl] \arrow[dr] & & & & \\
 & & & F\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & Sm\cap C \arrow[dl] \arrow[dr] & & & \\
 & & F\cap S \arrow[dl, "F\cap WSC"'] \arrow[dr] & & Sm\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & S\cap C \arrow[dl] \arrow[dr, "WSF\cap C"] & & \\
 & (F) \arrow[dr] & & Sm\cap S \arrow[dl, "Sm\cap WSC"'] \arrow[dr] \arrow[dddd] & & S\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr, "WSF\cap Pr"] \arrow[dddd] & & (C) \arrow[dl] & \\
 & & (Sm) & & (S) \arrow[d] & & (Pr) & & \\
 & & & & \boxed{WSB} \arrow[d] & & & & \\
 & & & & WSF\cap WSC \arrow[dl] \arrow[dr] & & & & \\
 & & & WSF \arrow[dr] & & WSC \arrow[dl] & & & \\
 & & & & \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat}) & & & &
\end{tikzcd}

les parenthèses rendent les cercles dont il entoure \(F\), \(C\), \(Sm\), \(S\), \(Pr\). Les deux longues flèches verticales, de \(Sm\cap S\) vers \(WSF\) et de \(S\cap Pr\) vers \(WSC\), sont hachurées de petits traits. Sur la flèche \(F\cap S \to F\), le mot « str » ; les étiquettes \(F\cap WSC\), \(Sm\cap WSC\), \(WSF\cap C\), \(WSF\cap Pr\) sont au crayon, chacune attachée par un point à sa flèche. Au-dessus de \(WSF\cap WSC\), une première inscription est noircie et ne se lit pas

Sous \(WSF\) : ([…] Serre fibrations), stable by proper b.ch. Sous \(WSC\) : \(WSC\) or ([…] Serre precofibrations), stable by smooth b.ch. « precofibrations » est une lecture incertaine ; \(WSF\) et \(WSC\) sont repassés sur d'autres lettres

stable under any base change ; squares cartesian à droite du premier treillis, reliée à lui par une accolade

[…] non ch. stable by \(\Delta_1\) base ch. à droite, en oblique, sous deux traits en accolade

\begin{tikzcd}[column sep=0pt, row sep=small, nodes={font=\tiny}]
 & & \mathrm{str}\ W\cap F\cap C \arrow[dl] \arrow[dr] & & \\
 & \mathrm{str}\ W\cap F\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & W\cap Sm\cap C \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
 W\cap F\cap S = T\cap F \arrow[dr] & & W\cap Sm\cap Pr \arrow[dl] \arrow[dr] & & W\cap S\cap C = T\cap C \arrow[dl] \\
 & W\cap Sm\cap S = T\cap Sm \arrow[dr] & & W\cap S\cap Pr = T\cap Pr \arrow[dl] & \\
 & & W\cap S = T\cap S = UW \arrow[d, "\mathrm{str}"] & & \\
 & & \mathrm{Tot}\,\mathrm{As} = W\cap WSB \arrow[dl, "\mathrm{str}"'] \arrow[dr] & & \\
 & \mathrm{As}^{\circ} = W\cap WSF \arrow[dr, "\mathrm{str}"'] & & \mathrm{As} = W\cap WSC \arrow[dl] & \\
 & & W & &
\end{tikzcd}

\(W\cap S\) et \(\mathrm{As}\) sont cerclés deux fois, \(\mathrm{As}^{\circ}\) une fois, \(\mathrm{Tot}\,\mathrm{As}\) en pointillé ; sur \(\mathrm{As}^{\circ}\) une première inscription, « str » suivi d'un mot, est noircie ; devant \(= T\cap F\), un signe biffé

Sous \(\mathrm{As}^{\circ}\) : (stable by proper b.ch.) ; sous \(\mathrm{As}\) : (stable by smooth b.ch.) ; sous \(W\) : (stable by \(S\) b.ch.).

stable under any base change ; squares cartesian à droite du second treillis, reliée à lui par une accolade

stable by intersection except \(WSF\cap C\) and \(WSC\cap Pr\), and dually \(F\cap WSC\), \(Sm\cap WSC\) and \(WSF\cap WSC\) entre les deux treillis, à droite, au crayon puis repassé à l'encre

stable by intersection except \(\mathrm{As}\cap \mathrm{As}^{\circ}\) en bas à droite

Encadrés, en haut à gauche : \[ \boxed{Sm\cap Pr \subset S} \qquad \boxed{\begin{array}{l} WSC\cap Pr \subset S \\ WSF\cap Sm \subset S \end{array}} \] (hence \(WSC\cap Pr = (S\cap Pr)\)) ( — \(WSF\cap Sm = (S\cap Sm)\) ) \((WSB\cap Sm)\) dans la seconde égalité, le \(S\) est repassé sur un autre mot ; « \((WSB\cap Sm)\) » est écrit dessous. En tête de page, au-dessus, « \(WSB\cap\) […] \(=\) », relié par une flèche courbe à « \((S\cap Pr\) »

\(WSB\cap Sm \not\subset S\) ? (\(WSB\cap Pr \not\subset WSC\))

\(WSB \neq WSF\cap WSC\) !

\(WSC\), \(WSB\) not stable under \(S\cap C\) base ch.? (And dually!) even if both are « trivial »?\(^{*}\) ces trois dernières lignes sont enfermées dans un même trait

(\(B\) \(\not\subset WSF, WSC\) ! […] \([C \not\subset WSF,\ F \not\subset WSC]\)

\(C\cap WSF \not\subset S\) ? \(F\cap WSC \not\subset S\) ? la première lettre, lue \(B\), est surchargée

A Serre map is in \(W\) iff […] its fibers are aspheric, i.e. \(S\cap W = S\cap T\), and also iff it is univ. in \(W\).

Even if fibers are aspheric, the Serre condition cannot be tested by only taking base-changes \(\Delta_1 \to X\) ?

\(^{*}\) i.e. find \(f : X \to Y\), \(g : Y' \to Y\) with \(f \in W\cap WSB\) (i.e. \(f\) tot. aspher.) \(W\) and \(g \in T\cap C\) (cofibration with trivial fibers) s.th. \(f' : X' \to Y'\) is not in \(WSB\) (say \(Y'\) with final element and \(y' \in \mathrm{Ob}\, Y'\) s.th. \(X'_{/y'} \to X'_{/e}\) not a weak equiv.?) les trois derniers paragraphes sont chacun cernés d'un trait ; le dernier renvoie à l'astérisque de « trivial »

this square non cartesian? \(\longrightarrow\) cerné, en bas à gauche ; la flèche vise le carré inférieur du second treillis

7au crayon, au milieu d'une page par ailleurs blanche

\(TF\) […] \(X \downarrow Y\) strict homotopism \(X \downarrow Y\) est une flèche verticale de \(X\) vers \(Y\), écrite sous \(TF\) ; « strict homotopism » est souligné d'un trait ondulé

8sur papier kraft, à l'encre, en français cette fois ; la page est divisée par des traits horizontaux en rubriques numérotées et cerclées, chacune coupée par un trait vertical : à gauche une classe de morphismes, à droite la classe duale. Pour \(f : X \to Y\) et \(b\) objet de \(Y\), il écrit \(X_{/b}\) et \({}_{b\backslash}X\) ; on garde ces graphies. Les équivalences \(\Leftrightarrow\) qu'il enchaîne verticalement sont rendues par « \(\Leftrightarrow\) » en tête de ligne

\(f : X \to Y\)

\(f \in \mathbf{C} \Longleftrightarrow X_{/b} \to X_{/b'}\) cofinal à gauche le numéro cerclé, en marge, est emporté par la déchirure. La lettre, repassée, se lit aussi bien \(E\) ; on lit \(C\) parce que la colonne de droite porte \(F\), comme en (3) \(WSC\) fait face à \(WSF\) — lecture à vérifier, de même en (3)

\(\Leftrightarrow\) \({}_{b'\backslash}X \to {}_{b\backslash}X\) à fibres non vides ayant un objet initial

\(\Leftrightarrow\) La catégorie des relèv. d'une flèche \(b \to b'\), de source donnée \(a \in X_b\), a objet initial

\(f \in F \Longleftrightarrow\) \(\Updownarrow\) \(\Updownarrow\) colonne de droite laissée vide, sauf ces deux signes

(2) \(f \in Pr \Longleftrightarrow (X_{b} \to X_{/b})\) strongly équivalence coasph., i.e. \(\in \mathrm{As}^{\circ}\) la lettre après \(\in\) est surchargée (un \(F\) sur \(Pr\), ou l'inverse) ; on lit \(Pr\), la colonne de droite portant \(Sm\). Le premier \(X\) est repassé ; « strongly » est lu sans certitude, comme le mot suivant

\(\Leftrightarrow\) \({}_{a\backslash}X \to {}_{b\backslash}Y\) à fibres asph.

\(\Leftrightarrow\) […] \(({}_{a\backslash}X \to {}_{b\backslash}Y) \in \mathbf{S}\) […]

\(\Leftrightarrow\) La cat. des rel. d'une flèche \(b \to b'\), de source donnée \(a \in \mathrm{Ob}\, X_b\), est asph.

\(\Leftrightarrow\) \(R^i f_{*}\) commute aux chgt de base quelc.

\({}_{a\backslash}X \to {}_{b\backslash}Y\) is proper (with discrete fibres) cerné, en marge gauche, une flèche le rattachant à la troisième ligne

\(f \in Sm \Longleftrightarrow\) \(\Updownarrow\) \(\Updownarrow\) le chgt de base par \(f\) commute à \(R^i g_{*}\) colonne de droite. Les \(R^i f_{*}\), \(R^i g_{*}\) de la rubrique (2) sont des lectures incertaines d'abréviations serrées (« Rif », « Rig »)

[ \(\Longleftarrow\) ? base changes by \(f\) preserves […] cocartesian squares ] ( \(\Longleftarrow\) ? en anglais, au pied de la rubrique (2), sous toute sa largeur

(1) \(f \in \mathbf{S} \Longleftrightarrow \forall g : Y'' \to Y'\) sur \(Y\), si \(g \in W\), alors \((g \times_Y X : X'' \to X') \in W\).

\[ \boxed{\begin{array}{l} F \subsetneq Sm \\ C \subsetneq Pr \end{array}} \qquad \boxed{Sm \cap Pr \subsetneq S} \qquad \left\{\begin{array}{l} C = F^{\circ} \\ F = C^{\circ} \end{array}\right. \quad S = S^{\circ} \qquad \left\{\begin{array}{l} Sm = Pr^{\circ} \\ Pr = Sm^{\circ} \end{array}\right. \] \[ \boxed{T\cap Pr \subset S,\ T\cap Sm \subset S} \] après \(C = F^{\circ}\), un mot biffé

(3) \(f \in WS\mathbf{C} \Longleftrightarrow \forall b \to b'\) dans \(Y\), \((X_{/b} \to X_{/b'}) \in W\) — (a)

\(\Leftrightarrow\) \(\forall Y'' \xrightarrow{\ u\ } Y'\) sur \(Y\), \(Y''\) et \(Y'\) […] fibrés sur \(W\), si \(u \in W\), alors \((g \times_Y X : X'' \to X') \in W\) — (b) « fibrés » est écrit au-dessus d'un mot biffé et lu sans certitude

\(\Leftrightarrow\) […] \((\mathrm{Cofib}(X/Y) \to Y) \in\) […] \(\mathbf{S}\) — (a')

stable par chgt de base par fibrations propres lisses (mais non par \(g \in S\) ?) la ligne est soulignée deux fois ; les deux derniers mots sont écrits au-dessus du mot biffé

\(R^i f_{*}\) (c^t) loc. const. en marge gauche, à hauteur de (a'), avec une flèche ; lecture incertaine

\(f \in WSF \Longleftrightarrow\) \(\Updownarrow\) \(\Longleftrightarrow (\mathrm{Fib}(X/Y) \to Y) \in\) \(S\) stable par chgt de base propres colonne de droite de (3)

\[ \boxed{WSC \cap Pr = S} \qquad WSF \cap Sm \subset S \] le premier encadré se lit \(WSC\cap Pr = S\), pour \(\subset S\) sans doute, comparer la page 4

(3bis) \(f \in WS\mathbf{B} \Longleftrightarrow\) […] pour \(b'_0 \to b_0 \xrightarrow{\ u\ } b_1 \to b'_1\) dans \(Y\), « 3bis » cerclé ; \(WS\mathbf{B}\) est repassé sur une autre lettre ; au-dessus, « \(\Longleftarrow WSE\) » biffé. Sous \(b'_0 \to b_0 \to b_1 \to b'_1\) une accolade porte \(u'\), pour la flèche composée \(b'_0 \to b'_1\) sans doute

(def) \({}_{b_0\backslash}X_{/b_1} \longrightarrow {}_{b'_0\backslash}X_{/b'_1}\) est \(\in W\), i.e. l'équiv. faible \({}_{b_0\backslash}Y_{/b_1} \to {}_{b'_0\backslash}Y_{/b'_1}\) […] est transformée en équiv. faible par \(X_{\times}(?)\). les deux catégories \({}_{b_0\backslash}X_{/b_1}\), \({}_{b'_0\backslash}X_{/b'_1}\) sont cernées, et reliées par des traits à « \(X[u]\) » et « \(X[u']\) », écrits à gauche, et au mot « fibre » entre elles

\(\Leftrightarrow\) \(\forall b \to b'\) dans \(Y\), \({}_{b'\backslash}X \to {}_{b\backslash}X\) est \(\in W\) […] sur \(Y\).

et \(\forall b \to b'\) dans \(Y\), \(X_{/b} \to X_{/b'}\) est \(\in W\) coloc. sur \(Y\) la page s'arrête là, au bord déchiré

10sur papier rose, en anglais, au crayon et à l'encre

Coho. propr. of […] 2) Immersions fermées et ouvertes, propriétés cohomologiques […] en haut à droite, dans un cadre : une première ligne rayée, puis ce titre de rubrique, qui fait pendant au « 1) » de la page 1 ; lecture incertaine

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  Y & \mathrm{Fib}(f) \arrow[l, "f^{\flat}"'] & X \arrow[l, hook', "\mu_f"'] \\
  & \mathrm{Fib}(f) \arrow[r, bend right=20, "\rho_f"'] & X
\end{tikzcd}

rendu en deux lignes pour séparer les deux flèches entre \(\mathrm{Fib}(f)\) et \(X\) : sur la page elles sont superposées, \(\mu_f\) (« mono ») de \(X\) vers \(\mathrm{Fib}(f)\), et au-dessous, en arc, \(\rho_f\) de \(\mathrm{Fib}(f)\) vers \(X\)

\(f^{\flat}\) : fibration (Fibers \({}_{b\backslash}X\) discretely cofibered\(/X\)) but not yet Serre. \(\rho_f\) : ([…] Serre fibering) retraction [fibers \(Y_{/b}\) discr. fibered over \(Y\)].

not cofib. nor fib, i.e. not cl. imm, nor open imm au-dessus de \(\mu_f\), avec une flèche vers « mono »

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  Y & \mathrm{Cofib}(f) \arrow[l, "f^{\flat\prime}"'] & X \arrow[l, hook', "\mu'_f"'] \\
  & \mathrm{Cofib}(f) \arrow[r, bend right=20, "\rho'_f"'] & X
\end{tikzcd}

\(f^{\flat\prime}\) : cofibration (fibers \(X_{/b}\) discretely fibered\(/X\)) but not yet Serre. \(\rho'_f\) : Serre fibering retraction (fibers \({}_{b\backslash}Y\) discr. cofibered over \(Y\)) but not […]. « mono » est écrit aussi au-dessus de \(\mu'_f\) ; la dernière phrase s'arrête en bord de page

au milieu de la page, une croix à quatre bras, cadres tracés au crayon ; on la rend bras par bras \[ \begin{array}{ccccc} & & \text{bifibration} & & \\ & & \text{Serre} & & \\ \text{Serre fibration} & \textbf{Fibrations} & + & \textbf{Cofibrations} & \text{Serre cofibration} \\ & & \text{monoe} & & \\ \text{open imm.} & & & & \text{closed immersion} \end{array} \] À gauche, dans un crochet : smooth Serre, smooth ; une flèche va de « smooth » à « Fibrations ». À droite, dans un crochet : proper Serre, proper ; une flèche va de « proper » à « Cofibrations ». « monoe » (sic) sur la page, pour « monos » sans doute

\[ Y \xrightarrow[\text{imm}]{\ f^{\natural}\ \text{open}\ } C(f) \xrightarrow{\ \lambda_f\ (\text{epi})\ } X, \qquad \sigma_f : X \to C(f) \ \text{closed section} \] \[ Y \xrightarrow[\text{imm}]{\ f^{\natural\prime}\ \text{closed}\ } C'(f) \xrightarrow{\ \lambda'_f\ } X, \qquad \sigma'_f : X \to C'(f) \ \text{open section} \] les deux sections sont dessinées en arc de retour sous la flèche \(\lambda\) ; l'exposant de \(f\), lu \(\natural\), est incertain ; la flèche de \(Y\) vers \(C(f)\) porte un crochet d'inclusion

\[ Y \xrightarrow[\text{open imm}]{\ i_Y\ } C(Y) \xrightarrow{\ \varepsilon_Y\ } e \quad \text{closed section } (e \text{ strict final object}) \] \[ Y \xrightarrow[\text{closed imm}]{\ i'_Y\ } C'(Y) \xrightarrow{\ \varepsilon'_Y\ } e \quad \text{open section } (e \text{ strict initial object}) \] « strict » est ajouté au-dessus de « final » ; \(i'_Y\) porte un point au-dessus, peut-être un accent

\[ C'(f)^{\circ} = C(f^{\circ}) \quad \text{i.e.} \quad C'(f) = C(f^{\circ})^{\circ} \] \[ C'(Y)^{\circ} = C(Y^{\circ}) \quad \text{i.e.} \quad C'(Y) = C(Y^{\circ})^{\circ} \]

11au crayon, en anglais ; reprise au propre de la page 10, avec les compléments « trivial … » et « homotopism »

\begin{tikzcd}
  Y & \mathrm{Fl}(Y) \arrow[l] \arrow[d, bend right=15] & \mathrm{Fib}(f) \arrow[l] \arrow[ll, bend right=30, "f^{\flat}"'] \arrow[d, "\rho_f"] \\
  & Y' \arrow[u, dashed, bend right=15] & X \arrow[l, "f"] \arrow[u, dashed, bend right=40, "\mu_f"']
\end{tikzcd}

en haut à gauche, petit carré au crayon ; les deux flèches entre \(\mathrm{Fl}(Y)\) et \(Y'\) sont l'une pleine vers le bas, l'autre en pointillé vers le haut, et \(\mu_f\) est un arc en pointillé de \(X\) vers \(\mathrm{Fib}(f)\). Le \(Y'\) se lit peut-être \(Y\) ; l'étiquette \(f\) semble barrée

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  Y & \mathrm{Fib}(f) \arrow[l, "f^{\flat}"'] \arrow[r, bend right=25, "\rho_f"'] & X \arrow[l, hook', "\mu_f\ \mathrm{mono}"']
\end{tikzcd}

\(f^{\flat}\) : fibration (fibers \({}_{b\backslash}X\) discretely cofibered over \(X\)) but not yet Serre. \(\rho_f\) : trivial Serre cofibering retraction (fibers \(Y_{/b}\) discr. fibered over \(Y\)) and homotopism.

au centre, une croix à quatre bras cernée d'un trait, et au-dessus un tableau à deux lignes ; on les rend ligne par ligne

\[ \scriptstyle \begin{array}{c|c|c|c|c} \text{smooth Serre} & \text{Serre fibration} & \text{Serre} & \text{Serre cofibration} & \text{Serre proper} \\ \hline \text{trivial smooth} & \text{trivial Serre fibration} & \left[\begin{array}{c}\text{Serre}\cap W \\ = \text{triv Serre}\end{array}\right] & \text{trivial cofibration} & \text{trivial proper} \end{array} \] sous « Serre », une flèche verticale descend vers \([\text{Serre}\cap W = \text{triv Serre}]\)

\[ \begin{array}{ccccc} \text{smooth} & \hookleftarrow & \textit{fibration} \quad + \quad \textit{cofibration} & \hookrightarrow & \text{proper} \\ & & \text{mono} & & \\ & & \downarrow & & \\ & & \text{discrete} & & \end{array} \] sous « mono », un mot biffé et illisible les flèches entre « smooth » et « fibration », « cofibration » et « proper » sont des inclusions ; leur sens est lu de la classe la plus petite vers la plus grande

Sous le bras gauche : \[ \left.\begin{array}{l} \text{open immersion} \longleftrightarrow X^{\circ} \xrightarrow{\ \varphi\ } \Delta^1 = [0 \to 1] \\ \phantom{\text{open immersion}} \longleftrightarrow \mathrm{crib}(X) \\ \phantom{\text{open immersion \ }} Y = \varphi^{-1}(\{1\}) = \psi^{-1}(\{0\}) = X_0 \end{array}\right\} \] (où \(\psi : X \xrightarrow{\ \varphi^{\circ}\ } \Delta_1^{\circ} \overset{\mathrm{can}}{\simeq} \Delta_1\))

discrete fibration \(\longleftrightarrow \hat{X}\), i.e. \(X^{\circ} \to (\mathrm{Sets})\)

Sous le bras droit : \[ \left\{\begin{array}{l} \text{closed immersion} \longleftrightarrow X \xrightarrow{\ \varphi\ } \Delta^1 = [\emptyset \to \{\emptyset\}] \\ \phantom{\text{closed immersion}} \longleftrightarrow \mathrm{Cocrib}(X) \\ \phantom{\text{closed immersion \ }} Y = \varphi^{-1}(\{1\}) = X_1 \end{array}\right. \] au-dessus de \(\emptyset\) et \(\{\emptyset\}\), les chiffres \(0\) et \(1\) ; sous « closed immersion », un signe \(=\) isolé

discrete cofibration \(\longleftrightarrow \check{X}\), i.e. \(X \to (\mathrm{Sets})\)

\[ Y \xrightarrow[\text{open imm}]{\ f^{\natural}\ } C(f) \xrightarrow{\ \lambda_f\ \text{epi}\ } X, \qquad \sigma_f : \text{closed section and \textit{homotopism}} \] \[ Y \xrightarrow[\text{closed imm.}]{\ f^{\natural\prime}\ } C'(f) \xrightarrow{\ \lambda'_f\ } X, \qquad \sigma'_f : \text{open section and \textit{homotopism}} \] comme à la page 10, les sections sont dessinées en arc de retour, et l'exposant de \(f\) est lu \(\natural\) sans certitude

en bas à droite, à l'encre

discrete \(\cap\) Serre (\(=\) étale covering) \(=\) smooth \(\cap\) proper […] Serre au-dessus de « proper », au crayon, « étale » : le mot est ajouté puis laissé

mono \(\cap\) Serre \(=\) open \(\cap\) closed imm. \(=\) disjoint summand

discrete \(\cap\) […] Serre \(=\) iso les premiers mots de ces deux lignes sont surchargés à l'encre ; la seconde se lit peut-être « discrete \(\cap\) trivial Serre \(=\) iso »

NB proper \(\cap\) discrete \(\Rightarrow\) cofib, smooth \(\cap\) discrete \(\Rightarrow\) fibration but does not imply mono, and proper […] Serre does not imply cofibration, nor trivial, smooth \(\cap\) Serre not imply fibration, nor trivial comparer la note de la page 13

13feuillet au crayon, en anglais ; deux colonnes séparées par un trait vertical, chacune divisée en trois cases par des traits horizontaux

\(f^{\sharp} \in\) fibration \(\cap\) mono le signe en exposant, lu \(\sharp\), pourrait être un \(\natural\) ; il fait pendant au \(f^{\flat}\) de la colonne de droite

\(\sigma_f \in\) cofibration \(\cap\) monontr

\(\lambda_f \in\) not a fibration or cofibration nor Serre, but trivial fibers (with final object)

\[ (Y \longrightarrow X) \Longrightarrow X \qquad Y_x \longrightarrow X \qquad 0 \longrightarrow 1 \] ces trois flèches, au crayon léger sous la case de \(\lambda_f\), semblent illustrer le cas de \(\lambda_f\) ; le second \(X\) est repassé

\((\lambda_f, \sigma_f)\) adjoint?

\((\mu_f, \rho_f)\) adjoint

\(f^{\flat} \in\) fibration (not yet Serre)

\(\rho_f \in\) cofibration \(\cap\) Serre \(\cap\) fib

\(\mu_f \in\) not a fibration nor cofibration nor Serre?

NB proper discrete \(\Rightarrow\) cofib ; […] smooth discrete \(\Rightarrow\) fibration [but proper Serre \(\not\Rightarrow\) cofib ; smooth Serre \(\not\Rightarrow\) fib] en haut à droite, séparé de la colonne par un trait courbe

Dans une ellipse : \[ X \longrightarrow \text{cofibers of } f^{\sharp}\,? \qquad Y \longrightarrow \text{cofibers of } \sigma_f\,? \]

au-dessous, un tableau disposé en croix : la verticale, en lettres appuyées, va de bifibration à mono ; les deux bras portent le cas « fibration » à gauche et le cas « cofibration » à droite. Il est rendu ici ligne par ligne, à gauche puis à droite

\[ \begin{array}{c} \text{bifibration} \\ \uparrow \\ \text{Serre} \end{array} \]

smooth […] fibration \(+\) proper \(\Rightarrow\) co-proper à droite du \(+\), plusieurs mots très effacés, où se devine deux fois proper

\[ \begin{array}{c} \text{discrete} \\ \downarrow \\ \text{mono} \end{array} \]

À gauche de discrete : discrete fibration, \(\hat{X}\) i.e. \(X^{\circ} \to (\mathrm{Sets})\). À droite : discrete cofibration, \(\check{X}\) i.e. \(X \to (\mathrm{Sets})\).

À gauche de mono : \[ X \xrightarrow{\ \varphi^{\circ}\ } [\emptyset, \{\emptyset\}] = \Delta_1, \qquad Y = \varphi^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(\{0\}) \] \[ (\psi : X \xrightarrow{\ \varphi^{\circ}\ } \Delta_1^{\circ} \simeq \Delta_1) \] open immersion au-dessus de \(\emptyset\) et de \(\{\emptyset\}\), les petits chiffres \(0\) et \(1\) ; la seconde égalité \(\varphi^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(\{0\})\) est surchargée, la lecture de l'ordre des deux termes est incertaine

À droite de mono : \[ X \xrightarrow{\ \varphi'\ } [\emptyset, \{\emptyset\}] = \Delta_1 : [0 \longrightarrow 1], \qquad Y = \varphi'^{-1}(\{1\}) \] closed immersion

14Après l'histoire d'asphéricité, […] compris en Loc 1, Loc 2, Loc 3 (Loc 1 sous forme faible :

• a)iso dans \(\underline{W}\)
• b)si deux parmi \(g\), \(f\), \(gf\) en \(\underline{W}\), le 3^e aussi
• c)\(gf = \mathrm{id}\) et \(fg \in \underline{W} \Longrightarrow f, g \in \underline{W}\) )

• (0)Axiomes Loc mettons en œuvre une flèche relie cette ligne à la fin de c) et à la ligne : « […] transitions fib et cofib. »
• (1)Dualité (y compris \(\underline{W} = \underline{W}^{\circ}\))
• (3)Sorite des \(\int \left(\begin{smallmatrix} Y & \to & X_0 \\ \downarrow & & \\ X_1 & & \end{smallmatrix}\right)\)

les numéros sont cerclés ; le 3 est repassé sur un 4

(2) Commutation aux fibrations, cofibrations, immersions ouvertes, fermées, cylindres, cônes … écrit en oblique dans la marge gauche, entouré d'un trait qui le rattache entre (1) et (3)

\[ \begin{array}{ccc} Y & \xrightarrow{\ f_0\ } & X_0 \\ {\scriptstyle f_1}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \alpha_1} \\ X_1 & \xrightarrow{\ \alpha_0\ } & \Sigma \end{array} \qquad \Sigma \searrow X_0 \amalg_Y X_1 \] une diagonale biffée de \(Y\) vers \(\Sigma\), étiquetée \(\lambda_g\) ; les étiquettes des flèches \(\alpha_0\), \(\alpha_1\) sont surchargées. À droite, traversé par un long trait courbe : « et propriétés : […] limite »

a) Si \(f_0\) iso, […] homotopismes

• a)Fonctorialité si \(u_Y, u_{X_0}, u_{X_1} \in \underline{W}\), alors \((\Sigma \to \Sigma') \in \underline{W}\)
• b)Si \(f_0\) iso, alors \(\alpha_0\) \(\alpha_0\) homotopismes ([…] \(f_1\), \(\alpha_1\))
• c)Si \(f_0 \in \underline{W}\), alors \(\alpha_0 \in \underline{W}\) ([…] \(f_1\), \(\alpha_1\))

[…] \(f_0\), \(f_1\) cofibrations (resp. fibrations). Supposons que \(\forall x \in X\), \(X_{0x} \to X_{1x}\) soit équival \(\underline{W}\)-asphérique. Alors \[ \int \left(\begin{smallmatrix} Y & \to & X_0 \\ \downarrow & & \\ X_1 & & \end{smallmatrix}\right) \longrightarrow X \] est cofib (resp. fib) : fibres triviales, donc \(\in \underline{W}\).

Cor Si \(f_0 \in \underline{W}\), alors \(q_0 \in \underline{W}\) ; si \(f_1 \in \underline{W}\), alors \(q_1 \in \underline{W}\).

(4) (3) Thm de « la somme amalgamée (cube) » \[ \begin{array}{ccc} Y & \xrightarrow{\ f_0\ } & X_0 \\ {\scriptstyle f_1}\downarrow & \text{cart} & \downarrow{\scriptstyle q_1} \\ X_1 & \xrightarrow{\ q_0\ } & X \end{array} \] le 4 cerclé est repassé sur un 3 ; l'étiquette \(q_1\) est surchargée

NB Si […] \(\underline{W}\) […] que \(\forall x \in X\), \(X_{0x} \to X_{1x}\) soit […] cat. ponctuelle, […] […] \(X_{0x}\), \(X_{1x}\) sont \(\emptyset\), \(\Delta_0\), l'autre est isom. : \(\Delta_0\) […] dans ce diagramme […] cocartésien, et les […] pour […] simplifiés) passage très raturé, écrit en colonne étroite à gauche ; seuls quelques mots se lisent

Question Cas \[ \begin{array}{ccc} Y & \overset{i}{\hookrightarrow} & X \\ {\scriptstyle f}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle g} \\ Y' & \underset{i'}{\hookrightarrow} & X' = X \amalg_Y Y' \end{array} \qquad i \text{ immersion ouverte ou fermée} \] est-ce que si \(f\) cofib, il en résulte que \(g\) le soit, et si \(f \in \underline{W}\), que \(g \in \underline{W}\) ? Il est possible qu'on n'ait pas \(g \in \underline{W}\) [mais j'ignore si \(i \in \underline{W}\) implique que \(i' \in \underline{W}\)]

(c) (4) Application aux sommes amalgamées dans les \(A^{\wedge}\) (donc aux cartésiens et cocartésiens, avec \(Y' \hookrightarrow X'\) mono)

4 Thm Soit (de la somme amalgamée, version \(A^{\wedge}\)) \[ \begin{array}{ccc} Y' & \overset{i}{\hookrightarrow} & X \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f} \\ Y' & \underset{i'}{\hookrightarrow} & X' = X \amalg_Y Y' \end{array} \] au-dessus de la flèche du haut, « mono », souligné deux fois ; la source de la première ligne est écrite \(Y'\), sans doute pour \(Y\) alors si \(i \in \underline{W}\), \[ i \in \underline{W}_A \Longrightarrow i' \in \underline{W}_A, \qquad g \in \underline{W}_A \Longrightarrow f \in \underline{W}_A \]

(5) Application : (\(\mathrm{Hot}(\underline{W})\) et \(\mathrm{Hot}_A\))

Thm Calcul des fonctions : […] dans \(\overrightarrow{\mathrm{Cat}}\), \(\overrightarrow{A^{\wedge}}\) le 5 cerclé est repassé sur un autre chiffre

15Application aux sommes et produits dans \(\mathrm{Hot}(\underline{W})\), et les \(\mathrm{Hot}_A\) (\(A\) cat. test locale)

(6) […] Saturation forte des \(\underline{W}\), des \(\underline{W}_A\). « forte » est ajouté au-dessus de la ligne ; la suite de la page est blanche

16Sorite des recollements

\(U \subset X \supset Y \qquad H_X : U^{\circ} \times Y \to \mathrm{Ens}\)

a) Map […] \(Z\) \(f : X \to Z\)

• (i)\(f_U : U \to Z\) induced by \(f\)
• (ii)\(f_Y : Y \to Z\) induced by \(f\)
• (iii)hom. of bifunctors \[ H_X(u, y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_Z(f_U(u), f_Y(y)) \]

b) Map \(f : X' \to X\), defining decomposition \(X' = U'\) […] \(\circ\, Y'\), with \(H_{X'} : U'^{\circ} \times Y' \to (\mathrm{Ens})\), we must have:

• (i)\(f_{U'} : U' \to U\)
• (ii)\(f_{Y'} : Y' \to Y\)
• (iii)bifunctorial \(H_{X'}(u', y') \to H_X(u, y)\)

c) Product \[ T \times U \subset T \times X \supset T \times Y \qquad H_{T \times X}((t, u), (t', y)) \simeq \mathrm{Hom}_T(t, t') \times H_X(u, y) \]

d) homotopy \(\Delta^1 \times X' \xrightarrow{\ h\ } X\) compatible with decomposition le \(\Delta\) est écrit sur une autre lettre, dans les deux facteurs ; le second facteur semble d'abord \(X^1\), corrigé en \(X'\)

i.e. \(h^{-1}(U) = \Delta^1 \times U'\), \(h^{-1}(Y') = \Delta \times Y'\) \(U', Y'\) […], \(= h_i^{-1}(U)\), \(= h_i^{-1}(Y)\), \(i \in \{0, 1\}\) les signes « \(=\) » rendent deux guillemets de répétition placés sous \(U'\) et \(Y'\) ; on lit donc \(U' = h_i^{-1}(U)\), \(Y' = h_i^{-1}(Y)\). Le premier membre de la seconde égalité est écrit \(h^{-1}(Y')\), pour \(h^{-1}(Y)\) sans doute

\(h\) given by \[ h_{U'} : \Delta \times U' \to U, \qquad h_{Y'} : \Delta \times Y' \to Y \] plus bi functorial map in \((s, u')\) \((t, y')\) \[ \mathrm{Hom}(s, t) \times H_{X'}(u', y') \longrightarrow H_X(h_{U'}(s, u'), h_{Y'}(t, y')) \]

18sa numérotation : « 1 » cerclé en tête de page ; la page 19 porte « 2 », la page 20 « 2 bis »

\[ \begin{array}{ccccc} Y & \overset{i}{\hookrightarrow} & X & \hookleftarrow & U \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & {\scriptstyle f}\downarrow & & \downarrow\wr \\ Y' & \underset{i'}{\hookrightarrow} & X' & \hookleftarrow & U' \end{array} \]

Soient \(X'\) dans \((\mathrm{Cat})\), \(Y'\) sous-objet fermé, \(U'\) complémentaire ouvert, \(f : X \to X'\), \(Y = f^{-1}(Y')\), \(U = f^{-1}(U')\). Supposons que \(U \simeq U'\) ; alors \(f\) le carré est-il néc. cocartésien ? Non bien sûr, comme on voit en prenant \(X = U'\), \(f\) l'inclusion, d'où \(Y = \emptyset\).

Mais supposons que \(f\) soit cofibrant, le carré est-il cocartésien ? En d'autres termes, a-t-on pour \(u' \in U'\), \(y' \in Y'\) \[ \mathrm{Hom}_{X'}(u', y') \overset{?}{\longleftarrow} \varinjlim_{y \in Y_{/y'}} \mathrm{Hom}(u, y) \] (où \(u \in \mathrm{Ob}\, U\) au-dessus de \(u'\)). Sous la limite, une accolade renvoie à \[ \varinjlim_{Y_{y'}} \mathrm{Hom}(u, Y_{y'}) . \] la flèche de la première formule est surmontée d'un « ? » et d'un \(\sim\) ; entre les deux formules, un croquis : \(u\) au-dessus de \(u'\), \(y\) au-dessus de \(y'\) reliés par des pointillés verticaux, et une flèche pointillée de \(u'\) vers \(y'\) dont l'étiquette est raturée

Oui, car \(\mathrm{Hom}(u,\) (i) surjectif et (ii) pour \(y\) : \(u \to y'\) fixé …

Nous nous intéressons donc à la situation des diagrammes du type précédent, avec \(f\) cocartésien. Pour se donner un foncteur \(X' \to (\mathrm{Cat})\), donc dont la restriction à \(U'\) soit le foncteur c^t de valeur \(\Delta_0 = e_{(\mathrm{Cat})}\), i.e.

• (i)\(Y' \xrightarrow{\ \Phi\ } \mathrm{Cat}\) (définissant f \(Y \to Y'\))
• (ii)\(\mathrm{Hom}(u', y') \to \mathrm{Ob}\, \Phi(y')\) bifonctoriel en \(u', y'\) en \(U' \times Y'\)

19On voudrait que sous ces conditions \[ \int \left(\begin{smallmatrix} Y & \to & X \\ \downarrow & & \\ Y' & & \end{smallmatrix}\right) \longrightarrow X' = \varinjlim \left(\begin{smallmatrix} Y & \to & X \\ \downarrow & & \\ Y' & & \end{smallmatrix}\right) = X \amalg_Y Y' \] soit \(\in \underline{W}\), et [même] qu'il soit asphérique. « même » est rendu par son signe \(=\) ; le passage est marqué d'un double trait vertical dans la marge

Les conditions sont elles stables par tout changement de base sur \(X'\).

\[ \begin{array}{ccc} \int(i, g) & \longrightarrow & X' \\ \uparrow & & \uparrow \\ \int(i_1, g_1) & \longrightarrow & X'_1 \end{array} \] à côté, deux croquis d'un cube de changement de base : la face \(Y \overset{i}{\hookrightarrow} X\), \(g\), \(f\), \(Y' \overset{i'}{\hookrightarrow} X'\), et la face \(Y_1 \overset{i_1}{\hookrightarrow} X_1\), \(g_1\), \(f_1\), \(Y'_1 \overset{i'_1}{\hookrightarrow} X'_1\), reliées par des flèches obliques ; un troisième croquis, à gauche, est raturé

Ce diagramme est-il cartésien ? À vérifier ! Si oui, cela signifierait que \(\int(i, g) \to X'\) est universellement dans \(\underline{W}\).

Mais on vérifie directement que \(\int(i, g) \to X'\) est cofibré à fibres \(\underline{W}\)-asphériques ; en fait, fibres sont \[ \simeq e_{u'} \ \text{pour } u' \in U', \qquad \simeq C(Y_{y'}) \ \text{pour } x = y' \in Y' \] devant \(u' \in U'\), « \(x =\) » est biffé (cône, […] élément final : \(Y_{y'}\) !) ce paragraphe est marqué d'un triple trait vertical dans la marge

20« 2 bis » en tête de page

renvoyer aux fibrations souligné, en oblique en haut de la marge gauche

Thm Soit \[ \begin{array}{ccc} Y & \xrightarrow{\ i\ } & X \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f} \\ Y' & \xrightarrow{\ i'\ } & X' \end{array} \] un diagramme cocartésien (dans \((\mathrm{Cat})\)), avec \(i'\), \(f\) des cofibrations, et supposons que \(\forall x' \in X'\), \(f^{-1}(x')\) ou \(i'^{-1}(x')\) soit équiv. à la catégorie ponctuelle, et considérons le foncteur canonique \[ \int \left(\begin{smallmatrix} Y & \to & X \\ \downarrow & & \\ Y' & & \end{smallmatrix}\right) \longrightarrow X' . \] au lieu de ponctuelle, il suffit […] soit asphérique « (dans (Cat)) » est ajouté au-dessus de la ligne ; dans l'intégrale, un \(X'\) en bas à droite est biffé

Ce foncteur est une cofibration, à fibres les \[ \int \left(\begin{smallmatrix} Y_{x'} = Y'_{x'} \times X_{x'} & \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_2\ } & X_{x'} \\ \downarrow{\scriptstyle \mathrm{pr}_1} & & \\ Y'_{x'} & & \end{smallmatrix}\right) , \] qui sont […] de la forme \[ \int \left(\begin{smallmatrix} A & \xrightarrow{\mathrm{id}_A} & A \\ \downarrow & & \\ e & & \end{smallmatrix}\right) \qquad \left(\text{ou } \int \left(\begin{smallmatrix} A & \to & e \\ \downarrow{\scriptstyle \mathrm{id}_A} & & \\ A & & \end{smallmatrix}\right)\right), \] donc asphériques. au-dessus de « de la forme », un ajout raturé, où se lit « des cat. » ; dans la première intégrale, l'égalité \(Y_{x'} = Y'_{x'} \times X_{x'}\) est surchargée

La catégorie […] \(C(A) \amalg_A (A \times \Delta^1)\) il y a une rétraction […] \(C(A)\) en est un rétracte par déformation, on gagne !

Il suffit de voir que \(\int (A \to A)\) et \(\int (A \to e)\) sont \(\underline{W}\)-asphériques (par propriété des recollements), […] \(Z\). […] fini, […] c'est clair […] pour le premier […] des \(\underline{W}\) […] \(\underline{W}\) ce passage est enclos d'un long trait et barré de deux traits obliques ; la lecture en est très fragmentaire

Lemme Si dans \(\int \left(\begin{smallmatrix} Y & \xrightarrow{i} & X \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & \\ Y' & & \end{smallmatrix}\right)\) […] écrit en oblique au pied de la page, inachevé

Corollaire \[ i \in \underline{W} \Longrightarrow i' \in \underline{W}, \qquad g \in \underline{W} \Longrightarrow f \in \underline{W} \]