Cote n° 118 · pages 1–40 · Lecture modernisée · Cohomology properties of maps in (Cat) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1983]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Montpellier date le dossier « à partir de 1983 » et le range parmi les papiers qui entourent Pursuing Stacks. Seul un feuillet est daté, la page 17, un avis de soutenance de thèse du 29 avril 1985 sans rapport avec les notes ; les autres feuillets sans mathématiques (pages 3, 5, 6, 9 et 12 : des comptes, des tableaux administratifs, une enveloppe, une feuille portant « 1976 » et « Poèmes ») et la page blanche 37 sont laissés de côté. Une chemise rose (page 1) porte le titre, « Cohomology properties of maps in (Cat) », et la première rubrique, « 1) Fibration-like properties »¹ . Les pages 18 à 25 forment une suite numérotée par lui de 1 à 7 (« 1 », « 2 », « 2 bis », puis 3 à 7) ; au-delà, aucun numéro de sa main ne se voit.

1. 1.Classes de foncteurs (pages 2 à 8) : treillis de classes — fibrations, cofibrations, lisses, propres, Serre, leurs variantes faibles et leurs intersections avec \(\mathcal{W}\) — et leurs caractérisations par les catégories comma.
2. 2.Factorisations, immersions, cylindres (pages 10 à 13).
3. 3.Le programme (pages 14 et 15), qui annonce les stations suivantes, numérotées de (0) à (6).
4. 4.Recollements (page 16) : une catégorie décrite par un ouvert, son fermé complémentaire et un profoncteur.
5. 5.Sommes amalgamées le long d'une immersion (pages 18 à 22) : le théorème dans (Cat), sa version dans les préfaisceaux, et le contre-exemple.
6. 6.La catégorie homotopique comme catégorie de fractions (pages 23 à 25).
7. 7.Sommes (pages 26 à 30) et produits finis (pages 31 à 36) dans \(\mathrm{Hot}\).
8. 8.Filtrations (pages 38 et 39) et saturation (pages 39 et 40).

Le programme de la page 14 est réalisé presque point par point : ses rubriques (3) et (4) aux pages 18 à 22, sa rubrique (5) aux pages 23 à 36, sa rubrique (6) aux pages 39 et 40. Sa rubrique (1), la dualité, n'est pas traitée, et la page 38 s'en sert.

Conventions. Pour un foncteur \(f : X \to Y\) et un objet \(b\) de \(Y\), on note \(X_{b}\) la fibre, \(X_{/b}\) la catégorie des couples \((x, f(x) \to b)\) et \({}_{b\backslash}X\) celle des couples \((x, b \to f(x))\)² . \(X^{\circ}\) est la catégorie opposée, \(e\) la catégorie ponctuelle (il écrit aussi \(\Delta_{0}\)), \(\Delta^{1}\) la catégorie \(\{0 \to 1\}\). Une fibration est une catégorie fibrée au sens de Grothendieck (relèvements cartésiens), une cofibration une catégorie cofibrée (relèvements cocartésiens) ; ce ne sont pas les fibrations et cofibrations d'une structure de modèles. Une sous-catégorie pleine \(U \subset X\) est ouverte si toute flèche \(x \to u\) de but dans \(U\) a sa source dans \(U\) (un crible), fermée si toute flèche de source dans \(U\) a son but dans \(U\) (un cocrible) ; le complémentaire d'un ouvert est fermé.

\(\mathcal{W}\) désigne la classe des équivalences faibles de (Cat), qu'il soumet aux axiomes « Loc »³ ; une catégorie \(X\) est asphérique si \(X \to e\) est dans \(\mathcal{W}\), et un foncteur \(f\) est asphérique si toutes les \(X_{/b}\) le sont. Pour une petite catégorie \(A\), \(\widehat{A}\) est la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur \(A\)⁴ , \(i_{A} : \widehat{A} \to (\mathrm{Cat})\) le foncteur \(X \mapsto A_{/X}\), et \(\mathcal{W}_{A} = i_{A}^{-1}(\mathcal{W})\). On pose \(\mathrm{Hot} = \mathrm{Hot}(\mathcal{W}) = \mathcal{W}^{-1}(\mathrm{Cat})\), \(\mathrm{Hot}_{A} = \mathcal{W}_{A}^{-1}\widehat{A}\), et \(\gamma\) désigne le foncteur de localisation.

Deux homonymies à ne pas confondre. La lettre \(\mathrm{C}\) désigne la classe des cofibrations, et \(C(f)\), \(C(Y)\), en italique, le cylindre d'un foncteur et le cône d'une catégorie (page 10). La lettre \(\mathrm{S}\) désigne la classe des foncteurs « de Serre », sans rapport avec un ensemble \(S\).

2–8

Les classes de foncteurs (pages 2 à 8)

2–4

Les treillis (pages 2 et 4)

La page 2 dessine sans un mot trois treillis de classes de foncteurs ; la page 4 en reprend les deux premiers sous leur forme la plus complète, entourés de remarques. Les classes de base sont \(\mathrm{F}\) (fibrations), \(\mathrm{C}\) (cofibrations), \(\mathrm{Sm}\) (foncteurs lisses), \(\mathrm{Pr}\) (foncteurs propres), \(\mathrm{S}\) (« Serre map, i.e. Hot-fibration ») et \(\mathrm{B} = \mathrm{F} \cap \mathrm{C}\) (bifibrations) ; leurs définitions sont à la page 8, ci-dessous. Viennent ensuite trois classes plus faibles, \(\mathrm{WSF}\), \(\mathrm{WSC}\), \(\mathrm{WSB}\), que la page 2 appelait \(\mathrm{Spr}F\), \(\mathrm{Spr}C\), \(\mathrm{Spr}B\)⁵ . Rangées par inclusion, la flèche allant de la plus petite à la plus grande :

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & & \mathrm{B} \arrow[dl] \arrow[dr] & & & & \\
 & & & \mathrm{F}\cap\mathrm{Pr} \arrow[dl] \arrow[dr] & & \mathrm{Sm}\cap\mathrm{C} \arrow[dl] \arrow[dr] & & & \\
 & & \mathrm{F}\cap\mathrm{S} \arrow[dl] \arrow[dr] & & \mathrm{Sm}\cap\mathrm{Pr} \arrow[dl] \arrow[dr] & & \mathrm{S}\cap\mathrm{C} \arrow[dl] \arrow[dr] & & \\
 & \mathrm{F} \arrow[dr] & & \mathrm{Sm}\cap\mathrm{S} \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[dddd, dashed] & & \mathrm{S}\cap\mathrm{Pr} \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[dddd, dashed] & & \mathrm{C} \arrow[dl] & \\
 & & \mathrm{Sm} & & \mathrm{S} \arrow[d] & & \mathrm{Pr} & & \\
 & & & & \mathrm{WSB} \arrow[d] & & & & \\
 & & & & \mathrm{WSF}\cap\mathrm{WSC} \arrow[dl] \arrow[dr] & & & & \\
 & & & \mathrm{WSF} \arrow[dr] & & \mathrm{WSC} \arrow[dl] & & & \\
 & & & & \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat}) & & & &
\end{tikzcd}

Les deux longues flèches, de \(\mathrm{Sm} \cap \mathrm{S}\) vers \(\mathrm{WSF}\) et de \(\mathrm{S} \cap \mathrm{Pr}\) vers \(\mathrm{WSC}\), sont hachurées sur la page et tracées ici en tirets⁶ . Les inclusions qu'il encadre sont \[ \mathrm{F} \subsetneq \mathrm{Sm}, \quad \mathrm{C} \subsetneq \mathrm{Pr}, \quad \mathrm{Sm} \cap \mathrm{Pr} \subsetneq \mathrm{S}, \quad \mathrm{WSC} \cap \mathrm{Pr} \subset \mathrm{S}, \quad \mathrm{WSF} \cap \mathrm{Sm} \subset \mathrm{S}, \] d'où \(\mathrm{WSC} \cap \mathrm{Pr} = \mathrm{S} \cap \mathrm{Pr}\) et \(\mathrm{WSF} \cap \mathrm{Sm} = \mathrm{S} \cap \mathrm{Sm}\), puisque \(\mathrm{S} \subset \mathrm{WSC} \cap \mathrm{WSF}\). L'inclusion \(\mathrm{Sm} \cap \mathrm{Pr} \subset \mathrm{S}\) est l'analogue du théorème d'Ehresmann : un morphisme lisse et propre est localement trivial. Il note aussi, avec un point d'exclamation, \(\mathrm{WSB} \neq \mathrm{WSF} \cap \mathrm{WSC}\), et que \(\mathrm{B}\) n'est contenue ni dans \(\mathrm{WSF}\) ni dans \(\mathrm{WSC}\) (ni a fortiori \(\mathrm{C}\) dans \(\mathrm{WSF}\), \(\mathrm{F}\) dans \(\mathrm{WSC}\)).

Pour la stabilité par changement de base, les classes du premier étage (jusqu'à \(\mathrm{S}\)) le sont par changement de base quelconque, les carrés du treillis étant cartésiens⁷ ; \(\mathrm{WSF}\) l'est par changement de base propre, \(\mathrm{WSC}\) par changement de base lisse.

Le second treillis est l'intersection du premier avec \(\mathcal{W}\). On y lit \(\mathcal{W} \cap \mathrm{F} \cap \mathrm{S} = \mathrm{T} \cap \mathrm{F}\), \(\mathcal{W} \cap \mathrm{S} \cap \mathrm{C} = \mathrm{T} \cap \mathrm{C}\), et ainsi de suite, où \(\mathrm{T}\) est la classe des foncteurs universellement dans \(\mathcal{W}\) (tout changement de base est dans \(\mathcal{W}\)) ; puis, sous \(\mathcal{W} \cap \mathrm{S} = \mathrm{T} \cap \mathrm{S}\)⁸ , \[ \mathrm{Tot\,As} = \mathcal{W} \cap \mathrm{WSB}, \qquad \mathrm{As}^{\circ} = \mathcal{W} \cap \mathrm{WSF}, \qquad \mathrm{As} = \mathcal{W} \cap \mathrm{WSC}, \] au-dessus de \(\mathcal{W}\) lui-même, qui est stable par changement de base le long d'un foncteur de Serre — c'est la définition de \(\mathrm{S}\) — tandis que \(\mathrm{As}\) l'est par changement de base lisse et \(\mathrm{As}^{\circ}\) par changement de base propre.

Ces égalités sont à lire avec précaution. \(\mathrm{As}\) est la classe des foncteurs asphériques, ceux dont toutes les \(X_{/b}\) sont asphériques, et \(\mathrm{As}^{\circ}\) celle des foncteurs coasphériques. Un foncteur asphérique est dans \(\mathcal{W}\) (c'est le théorème A de Quillen, que l'axiome Loc 3 généralise) et dans \(\mathrm{WSC}\), ses \(X_{/b}\) étant toutes asphériques ; on a donc \(\mathrm{As} \subset \mathcal{W} \cap \mathrm{WSC}\). L'inclusion inverse dit que les \(X_{/b}\) d'un foncteur de \(\mathcal{W} \cap \mathrm{WSC}\) sont asphériques : c'est un énoncé de type théorème B de Quillen⁹ . De même, la page affirme qu'un foncteur de Serre est dans \(\mathcal{W}\) si et seulement si ses fibres sont asphériques, si et seulement s'il est universellement dans \(\mathcal{W}\) ; le sens « fibres asphériques \(\Rightarrow\) \(\mathcal{W}\) » est une conséquence du théorème A une fois les \(X_{/b}\) comparées aux fibres, le sens réciproque est encore du type théorème B.

Restent des questions, qu'il cerne d'un trait : \(\mathrm{WSC}\) et \(\mathrm{WSB}\) sont-elles stables par changement de base le long d'une cofibration de Serre, même « triviale » ? Il précise ce qu'il cherche : un \(f \in \mathcal{W} \cap \mathrm{WSB}\) (« totalement asphérique ») et un \(g \in \mathrm{T} \cap \mathrm{C}\) (cofibration à fibres triviales) dont le changement de base \(f'\) ne soit pas dans \(\mathrm{WSB}\). Et encore : même à fibres asphériques, la condition de Serre ne peut-elle se tester sur les seuls changements de base \(\Delta_{1} \to X\) ? Aucune n'est tranchée dans le dossier.

Le troisième treillis de la page 2, au crayon, est le même que le premier intersecté avec une classe \(\mathrm{strh}\), que la page 7 glose « strict homotopism »¹⁰ .

7–8

Les caractérisations (page 8)

Sur une feuille de papier kraft, en français, chaque rubrique met une classe à gauche et sa duale à droite. Soit \(f : X \to Y\).

Cofibrations. Pour une flèche \(b \to b'\) de \(Y\) et un objet \(a\) de la fibre \(X_{b}\), considérons la catégorie des relèvements de \(b \to b'\) de source \(a\) : ses objets sont les flèches \(a \to x\) de \(X\) au-dessus de \(b \to b'\). Elle a un objet initial pour tout \((b \to b', a)\) exactement quand \(f\) est précofibré — toute flèche de la base a un relèvement cocartésien de source donnée —, et \(f\) est une cofibration si de plus ces relèvements se composent¹¹ . Dualement pour les fibrations, la colonne de droite restant vide.

Foncteurs propres et lisses. La définition est obtenue en affaiblissant « objet initial » en « asphérique » : \(f\) est propre si, pour toute flèche \(b \to b'\) de \(Y\) et tout \(a \in X_{b}\), la catégorie des relèvements de \(b \to b'\) de source \(a\) est asphérique. La page en donne des formes équivalentes : le foncteur d'inclusion \(X_{b} \to X_{/b}\) est coasphérique (dans \(\mathrm{As}^{\circ}\)) ; les foncteurs \({}_{a\backslash}X \to {}_{b\backslash}Y\), pour \(b = f(a)\), sont à fibres asphériques, ou sont de Serre ; et enfin les images directes supérieures \(R^{i}f_{*}\) commutent à tout changement de base¹² . L'inclusion \(\mathrm{C} \subset \mathrm{Pr}\) se voit sur la première forme : pour une cofibration, \(X_{b} \to X_{/b}\) a un adjoint à gauche, et un adjoint à droite est coasphérique. Dualement, \(f\) est lisse si \(f^{\circ}\) est propre, et le changement de base par un foncteur lisse commute aux \(R^{i}g_{*}\). Les noms viennent de l'analogie avec les théorèmes de changement de base propre et lisse en cohomologie étale¹³ .

Foncteurs de Serre. \(f \in \mathrm{S}\) si, pour tout foncteur \(g : Y'' \to Y'\) au-dessus de \(Y\) qui est dans \(\mathcal{W}\), le changement de base \(g \times_{Y} X : X'' \to X'\) est encore dans \(\mathcal{W}\) : changer de base le long de \(f\) préserve les équivalences faibles au-dessus de \(Y\)¹⁴ . On a \(\mathrm{S} = \mathrm{S}^{\circ}\), \(\mathrm{C} = \mathrm{F}^{\circ}\), \(\mathrm{Sm} = \mathrm{Pr}^{\circ}\), et \(\mathrm{T} \cap \mathrm{Pr} \subset \mathrm{S}\), \(\mathrm{T} \cap \mathrm{Sm} \subset \mathrm{S}\).

Les classes faibles. \(f \in \mathrm{WSC}\) si, pour toute flèche \(b \to b'\) de \(Y\), le foncteur \(X_{/b} \to X_{/b'}\) est dans \(\mathcal{W}\) : c'est l'hypothèse du théorème B de Quillen, sous l'une de ses deux formes duales. La page en donne deux autres formes : la condition de Serre restreinte à une classe de bases \(Y'' \to Y'\) qu'elle dit « fibrés » au-dessus de \(Y\)¹⁵ , et la condition que la cofibration associée \(\mathrm{Cofib}(X/Y) \to Y\) (page 10) soit de Serre. \(\mathrm{WSF}\) est la notion duale, avec \({}_{b'\backslash}X \to {}_{b\backslash}X\) et \(\mathrm{Fib}(X/Y)\). Ces classes sont l'analogue des quasi-fibrations de Dold et Thom : un foncteur qui, remplacé par une (co)fibration, devient de Serre¹⁶ .

\(\mathrm{WSB}\) est la variante à deux côtés : pour une flèche \(u : b_{0} \to b_{1}\) de \(Y\), soit \(X[u] = {}_{b_{0}\backslash}X_{/b_{1}}\) la catégorie des factorisations de \(u\) à travers \(f\) ; \(f \in \mathrm{WSB}\) si, pour tout composé \(u' : b'_{0} \to b_{0} \xrightarrow{u} b_{1} \to b'_{1}\), le foncteur \(X[u] \to X[u']\) est dans \(\mathcal{W}\) — en d'autres termes, si les équivalences faibles \({}_{b_{0}\backslash}Y_{/b_{1}} \to {}_{b'_{0}\backslash}Y_{/b'_{1}}\) le restent après produit fibré avec \(X\)¹⁷ .

10–13

Factorisations, immersions, cylindres (pages 10 à 13)

Les deux factorisations par les catégories comma

Soit \(f : X \to Y\). Notons \(\mathrm{Fib}(f)\) la catégorie des triplets \((b, x, u : b \to f(x))\), avec les flèches évidentes. Elle porte trois foncteurs : \[ \begin{array}{lll} f^{\flat} : \mathrm{Fib}(f) \to Y, & (b, x, u) \mapsto b, & \text{une fibration,} \\ \mu_{f} : X \to \mathrm{Fib}(f), & x \mapsto (f(x), x, \mathrm{id}), & \text{pleinement fidèle,} \\ \rho_{f} : \mathrm{Fib}(f) \to X, & (b, x, u) \mapsto x, & \text{une rétraction,} \end{array} \] avec \(f = f^{\flat}\mu_{f}\) et \(\rho_{f}\mu_{f} = \mathrm{id}_{X}\). Le premier est une fibration, dont la fibre en \(b\) est \({}_{b\backslash}X\) — « but not yet Serre » ; \(\mu_{f}\) est pleinement fidèle ; et \(\rho_{f}\) est adjoint à gauche de \(\mu_{f}\), puisque les flèches \((b, x', u) \to \mu_{f}(x)\) correspondent aux flèches \(x' \to x\). C'est la factorisation d'une application par son espace des chemins : \(f\) s'écrit comme une équivalence d'homotopie suivie d'une fibration¹⁸ . Elle ajoute que \(\rho_{f}\) est une cofibration de Serre « triviale », à fibres les \(Y_{/f(x)}\), qui ont un objet final, et un homotopisme ; la factorisation duale passe par \(\mathrm{Cofib}(f)\), catégorie des \((b, x, f(x) \to b)\), avec une cofibration \(\mathrm{Cofib}(f) \to Y\) à fibres les \(X_{/b}\).

Immersions et classes discrètes

Les pages 10, 11 et 13 disposent les classes en croix — fibrations et cofibrations sur les bras, bifibrations et Serre en haut, monomorphismes et classes discrètes en bas, lisses et propres aux extrémités — et identifient les immersions¹⁹ :

• une immersion ouverte \(Y \hookrightarrow X\) est la même chose qu'un foncteur \(\varphi : X \to \Delta^{1}\), avec \(Y = \varphi^{-1}(0)\), ou encore qu'un crible de \(X\) ; c'est une fibration discrète qui est un monomorphisme ;
• une immersion fermée est la même chose qu'un foncteur \(\varphi : X \to \Delta^{1}\) avec \(Y = \varphi^{-1}(1)\), un cocrible ; c'est une cofibration discrète monomorphe²⁰ ;
• une fibration discrète au-dessus de \(X\) est un préfaisceau \(X^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), une cofibration discrète un foncteur \(X \to (\mathrm{Ens})\).

Au bas de la page 11, il note que « discret » et Serre donnent les revêtements étales, que les immersions à la fois ouvertes et fermées sont les inclusions de sommandes directes (de réunions de composantes connexes), et qu'un revêtement de Serre trivial est un isomorphisme²¹ ; puis qu'un foncteur propre et discret est une cofibration, un foncteur lisse et discret une fibration, mais qu'un foncteur propre de Serre n'est pas nécessairement une cofibration, ni lisse de Serre une fibration.

Cylindres et cônes

Le cylindre \(C(f)\) de \(f : Y \to X\) est la catégorie dont les objets sont ceux de \(Y\) et ceux de \(X\), avec les flèches de \(Y\), celles de \(X\), et \(\mathrm{Hom}(y, x) = \mathrm{Hom}_{X}(f(y), x)\), aucune flèche n'allant de \(X\) vers \(Y\)²² . On a une factorisation \[ Y \xrightarrow{\ f^{\natural}\ } C(f) \xrightarrow{\ \lambda_{f}\ } X , \qquad \sigma_{f} : X \to C(f), \quad \lambda_{f}\sigma_{f} = \mathrm{id}_{X}, \] où \(f^{\natural}\) est une immersion ouverte, \(\sigma_{f}\) une section qui est une immersion fermée, et \(\lambda_{f}\) un épimorphisme adjoint à gauche de \(\sigma_{f}\) ; ses fibres ont un objet final, et \(\sigma_{f}\) est un homotopisme. La page 13 demande si \((\lambda_{f}, \sigma_{f})\) est une adjonction : c'est le cas²³ . Toute flèche se factorise ainsi en une immersion ouverte suivie d'une flèche de \(\mathcal{W}\) ; dualement, \(C'(f)\) donne une immersion fermée suivie d'une flèche à section ouverte, avec \(C'(f)^{\circ} = C(f^{\circ})\).

Le cône \(C(Y)\) est \(C(Y \to e)\) : on adjoint à \(Y\) un objet final strict, et \(Y\) y est ouverte ; \(C'(Y)\) adjoint un objet initial strict, et \(Y\) y est fermée.

14–15

Le programme (pages 14 et 15)

« Après l'histoire d'asphéricité », c'est-à-dire une fois acquis les axiomes Loc 1 à Loc 3, Loc 1 étant pris sous forme faible — les isomorphismes sont dans \(\mathcal{W}\) ; si deux des trois flèches \(f\), \(g\), \(gf\) sont dans \(\mathcal{W}\), la troisième aussi ; si \(gf = \mathrm{id}\) et \(fg \in \mathcal{W}\), alors \(f, g \in \mathcal{W}\) —, la page dresse un programme en six rubriques²⁴ :

• (0)mettre en œuvre les axiomes Loc, jusqu'aux fibrations et cofibrations²⁵ ;
• (1)la dualité, y compris \(\mathcal{W} = \mathcal{W}^{\circ}\) ;
• (2)la commutation aux fibrations, cofibrations, immersions ouvertes et fermées, cylindres, cônes ;
• (3)le « sorite des \(\int\) » d'un diagramme \(X_{1} \xleftarrow{f_{1}} Y \xrightarrow{f_{0}} X_{0}\) ;
• (4)le théorème « de la somme amalgamée », dans (Cat) et dans les \(\widehat{A}\) ;
• (5)l'application à \(\mathrm{Hot}(\mathcal{W})\) et aux \(\mathrm{Hot}_{A}\), pour \(A\) catégorie test locale : sommes et produits ;
• (6)la saturation forte de \(\mathcal{W}\) et des \(\mathcal{W}_{A}\)²⁶ .

Le « sorite des \(\int\) » porte sur la construction de Grothendieck d'un diagramme \(X_{1} \xleftarrow{f_{1}} Y \xrightarrow{f_{0}} X_{0}\), vu comme un foncteur de la catégorie \(\cdot \leftarrow \cdot \rightarrow \cdot\) vers (Cat) : la catégorie \(\int(f_{0}, f_{1})\) dont les objets sont ceux de \(Y\), de \(X_{0}\) et de \(X_{1}\), avec les flèches de chacune et \(\mathrm{Hom}(y, x_{k}) = \mathrm{Hom}_{X_{k}}(f_{k}(y), x_{k})\). Elle s'envoie sur la somme amalgamée \(X_{0} \amalg_{Y} X_{1}\), et c'est un modèle du recollement homotopique²⁷ . La rubrique en énonce la fonctorialité — si les trois composantes d'un morphisme de diagrammes sont dans \(\mathcal{W}\), le foncteur induit entre les \(\int\) l'est —, le cas où \(f_{0}\) est un isomorphisme, où les flèches canoniques sont des homotopismes, et le cas où \(f_{0} \in \mathcal{W}\), où elles sont dans \(\mathcal{W}\). Elle esquisse ensuite l'énoncé central : si \(f_{0}\), \(f_{1}\) sont des cofibrations (resp. des fibrations) et les fibres convenablement asphériques, le foncteur \(\int(f_{0}, f_{1}) \to X_{0} \amalg_{Y} X_{1}\) est une cofibration (resp. une fibration) à fibres asphériques, donc est dans \(\mathcal{W}\) ; d'où, si \(f_{0} \in \mathcal{W}\), la flèche opposée du carré cocartésien est dans \(\mathcal{W}\)²⁸ .

Une question suit, pour un carré cocartésien \(X' = X \amalg_{Y} Y'\) le long d'une immersion ouverte ou fermée \(i : Y \hookrightarrow X\) : si \(f : Y \to Y'\) est une cofibration, la flèche \(g : X \to X'\) l'est-elle, et si \(f \in \mathcal{W}\), a-t-on \(g \in \mathcal{W}\) ? « Il est possible qu'on n'ait pas \(g \in \mathcal{W}\) [mais j'ignore si \(i \in \mathcal{W}\) implique que \(i' \in \mathcal{W}\)] ». La page 22 répond par la négative. Dans un \(\widehat{A}\), au contraire, la rubrique annonce le théorème pour un carré cocartésien le long d'un monomorphisme \(i\) : \(i \in \mathcal{W}_{A} \Rightarrow i' \in \mathcal{W}_{A}\) et \(f \in \mathcal{W}_{A}\) pour le côté opposé à un \(g \in \mathcal{W}_{A}\)²⁹ . La page 15 ajoute l'application aux sommes et produits dans \(\mathrm{Hot}(\mathcal{W})\) et dans les \(\mathrm{Hot}_{A}\), et la saturation forte.

16–16

Le sorite des recollements (page 16)

Soient \(X\) une catégorie, \(U\) un ouvert et \(Y\) le fermé complémentaire. Aucune flèche ne va de \(Y\) vers \(U\), et \(X\) est déterminée par \(U\), \(Y\) et le profoncteur \[ H_{X} : U^{\circ} \times Y \to (\mathrm{Ens}), \qquad H_{X}(u, y) = \mathrm{Hom}_{X}(u, y), \] contravariant en \(u\) et covariant en \(y\) : \(X\) est le collage de \(H_{X}\)³⁰ . Le sorite décrit tout en ces termes :

• a)un foncteur \(X \to Z\) est la donnée de \(f_{U} : U \to Z\), de \(f_{Y} : Y \to Z\) et d'une transformation \(H_{X}(u, y) \to \mathrm{Hom}_{Z}(f_{U}(u), f_{Y}(y))\), naturelle en \(u\) et \(y\) ;
• b)un foncteur \(f : X' \to X\) compatible aux décompositions (\(X' = U' \cup Y'\), de profoncteur \(H_{X'}\)) est la donnée de \(f_{U'} : U' \to U\), de \(f_{Y'} : Y' \to Y\) et d'une transformation naturelle \(H_{X'}(u', y') \to H_{X}(f_{U'}(u'), f_{Y'}(y'))\) ;
• c)pour une catégorie \(T\), \(T \times X\) se décompose en \(T \times U\) et \(T \times Y\), avec \(H_{T \times X}((t, u), (t', y)) \simeq \mathrm{Hom}_{T}(t, t') \times H_{X}(u, y)\) ;
• d)une homotopie \(h : \Delta^{1} \times X' \to X\) est compatible aux décompositions si \(h^{-1}(U) = \Delta^{1} \times U'\) et \(h^{-1}(Y) = \Delta^{1} \times Y'\), avec \(U' = h_{i}^{-1}(U)\), \(Y' = h_{i}^{-1}(Y)\) pour \(i = 0, 1\) ; elle est alors donnée par \(h_{U'} : \Delta^{1} \times U' \to U\), \(h_{Y'} : \Delta^{1} \times Y' \to Y\) et une application \(\mathrm{Hom}(s, t) \times H_{X'}(u', y') \to H_{X}(h_{U'}(s, u'), h_{Y'}(t, y'))\), naturelle en \((s, u')\) et \((t, y')\)³¹ .

18–20

Sommes amalgamées le long d'une immersion (pages 18 à 20)

Quand le carré est-il cocartésien ?

Soient \(X'\) une catégorie, \(Y'\) un fermé, \(U'\) l'ouvert complémentaire, \(f : X \to X'\) un foncteur, \(Y = f^{-1}(Y')\) et \(U = f^{-1}(U')\), et supposons que \(f\) induise un isomorphisme \(U \simeq U'\). Le carré \[ \begin{array}{ccc} Y & \xrightarrow{\ i\ } & X \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f} \\ Y' & \xrightarrow{\ i'\ } & X' \end{array} \] n'est pas cocartésien en général : il suffit de prendre \(X = U'\) et \(f\) l'inclusion, d'où \(Y = \emptyset\). Il l'est si \(f\) est une cofibration. Les deux membres ont en effet les mêmes objets et les mêmes flèches à l'intérieur de \(U'\) et de \(Y'\), et il s'agit de voir que, pour \(u' \in U'\) (relevé en \(u \in U\)) et \(y' \in Y'\), \[ \varinjlim_{(y,\, g(y) \to y') \in Y_{/y'}} \mathrm{Hom}_{X}(u, y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{X'}(u', y') \] est bijectif. Comme \(g\), changement de base de \(f\), est une cofibration, la fibre \(Y_{y'}\) est cofinale dans \(Y_{/y'}\) et la colimite se calcule sur elle ; or, à \(u\) et à une flèche \(u' \to y'\) fixés, la catégorie des relèvements a un objet initial, et elle est donc connexe et non vide. La page dit : « Oui, car (i) surjectif et (ii) pour \(u \to y'\) fixé … »³² .

Se donner une telle cofibration \(f\), dont les fibres au-dessus de \(U'\) sont ponctuelles, revient à se donner un foncteur \(X' \to (\mathrm{Cat})\) de restriction constante de valeur \(e\) sur \(U'\), c'est-à-dire un foncteur \(\Phi : Y' \to (\mathrm{Cat})\), qui définit \(g : Y \to Y'\), et des applications \(\mathrm{Hom}(u', y') \to \mathrm{Ob}\,\Phi(y')\), naturelles en \(u'\) et \(y'\).

Le théorème

Il voudrait alors que \(\int(i, g) \to X' = X \amalg_{Y} Y'\) soit dans \(\mathcal{W}\), et même asphérique³³ . Ces conditions sont stables par tout changement de base sur \(X'\), et il se demande si le changement de base commute à \(\int\) — « Ce diagramme est-il cartésien ? À vérifier ! » —, ce qui ferait de \(\int(i, g) \to X'\) un foncteur universellement dans \(\mathcal{W}\). La question reste ouverte, mais on peut s'en passer : on vérifie directement que \(\int(i, g) \to X'\) est une cofibration, de fibre \(e\) au-dessus de \(u' \in U'\) et, au-dessus de \(y' \in Y'\), isomorphe au cône \(C(Y_{y'})\), qui a un objet final. D'où l'énoncé de la page 20.

Théorème. Soit, dans (Cat), un carré cocartésien et cartésien \[ \begin{array}{ccc} Y & \xrightarrow{\ i\ } & X \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f} \\ Y' & \xrightarrow{\ i'\ } & X' \end{array} \] où \(i'\) et \(f\) sont des cofibrations, et supposons que pour tout objet \(x'\) de \(X'\), l'une des deux fibres \(f^{-1}(x')\), \(i'^{-1}(x')\) soit équivalente à la catégorie ponctuelle. Alors le foncteur canonique \(\int(i, g) \to X'\) est une cofibration à fibres asphériques ; il est donc dans \(\mathcal{W}\).

Les fibres sont les \(\int\) des diagrammes \(Y'_{x'} \leftarrow Y'_{x'} \times X_{x'} \rightarrow X_{x'}\) formés des deux projections³⁴ . Si l'un des deux facteurs est ponctuel, à équivalence près, une telle fibre est de la forme \(\int(A = A, A \to e)\), ou de la forme symétrique. Cette catégorie est \(C(A) \amalg_{A} (A \times \Delta^{1})\) : un cône sur \(A\) prolongé par un cylindre, dont le cône est un rétracte par déformation ; elle est donc asphérique, « on gagne ! »³⁵

Corollaire. Sous les mêmes hypothèses, \(i \in \mathcal{W} \Rightarrow i' \in \mathcal{W}\), et \(g \in \mathcal{W} \Rightarrow f \in \mathcal{W}\).

La page énonce le corollaire sans démonstration. Il découle du théorème et de la fonctorialité des \(\int\) (page 14) : si \(i \in \mathcal{W}\), le morphisme de diagrammes de \((Y = Y \xrightarrow{g} Y')\) vers \((Y \xrightarrow{i} X,\ Y \xrightarrow{g} Y')\) induit une flèche de \(\mathcal{W}\) entre leurs \(\int\), et \(Y' \to \int(\mathrm{id}_{Y}, g)\) est un homotopisme ; la composée \(Y' \to \int(i, g) \to X'\) est \(i'\), et les deux facteurs sont dans \(\mathcal{W}\). De même pour \(f\)³⁶ .

21–22

Dans les préfaisceaux, et une mise en garde (pages 21 et 22)

Le théorème dans un \(\widehat{A}\)

Soit, dans \(\widehat{A}\), un carré cocartésien \[ \begin{array}{ccc} Y & \hookrightarrow & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y' & \hookrightarrow & X' \end{array} \] où \(Y \to X\) est un monomorphisme ; il est alors aussi cartésien, et \(Y' \to X'\) est un monomorphisme³⁷ . Le foncteur \(i_{A}\) transforme ce carré en un carré de (Cat) qui est encore cocartésien, puisque \(i_{A}\) commute aux limites inductives — il a un adjoint à droite — et cartésien, puisqu'il commute aux produits fibrés. Les flèches \(A_{/X} \to A_{/X'}\), \(A_{/Y} \to A_{/Y'}\) sont des fibrations discrètes, et \(A_{/Y} \to A_{/X}\), \(A_{/Y'} \to A_{/X'}\), fibrations discrètes monomorphes, sont des immersions ouvertes. On est dans la situation du théorème de la page 20, sous sa forme duale, celle où \(i'\) et \(f\) sont des fibrations : au-dessus d'un objet de \(A_{/X'}\) hors de \(A_{/Y'}\), la fibre de \(f\) est un point, et au-dessus d'un objet de \(A_{/Y'}\), la fibre de \(i'\) en est un³⁸ . D'où :

Corollaire (en marge : « Thm »). Pour un tel carré, si \(Y \to X\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\), \(Y' \to X'\) l'est ; si \(Y \to Y'\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\), \(X \to X'\) l'est.

Mais attention

Dans (Cat), il est faux qu'une somme amalgamée le long d'une immersion fermée \(i\) transporte les équivalences faibles — ni \(i \in \mathcal{W} \Rightarrow i' \in \mathcal{W}\), ni \(g \in \mathcal{W} \Rightarrow f \in \mathcal{W}\) —, et cela même pour l'équivalence faible usuelle, même si \(g\) est une cofibration et \(Y'\) ponctuelle. L'exemple, pour une catégorie \(Z\), empile deux carrés cocartésiens : \[ \begin{array}{ccc} Z & \hookrightarrow & C'_{2}(Z) \\ \downarrow & & \downarrow \\ C'_{1}(Z) & \hookrightarrow & \Sigma(Z) \\ {\scriptstyle g}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f} \\ e & \hookrightarrow & \Theta \end{array} \] où \(C'_{1}(Z)\) et \(C'_{2}(Z)\) sont deux exemplaires du cône à sommet initial, dans lesquels \(Z\) est fermée, \(\Sigma(Z)\) leur recollement le long de \(Z\) — une suspension —, et \(\Theta\) la catégorie obtenue en écrasant \(C'_{1}(Z)\) en un point³⁹ . Le foncteur \(g : C'_{1}(Z) \to e\) est dans \(\mathcal{W}\), le cône étant asphérique. La catégorie \(\Theta\) a deux objets, le sommet du second cône et le point, et l'ensemble des flèches du premier vers le second est \(\pi_{0}(Z)\) ; elle est donc équivalente à \(\Delta^{1}\), et asphérique, quand \(Z\) est connexe. Dans ce cas \(f \in \mathcal{W}\) si et seulement si \(\Sigma(Z)\) est asphérique, ce qui n'a pas toujours lieu : pour \(Z\) un groupe \(G\), vu comme groupoïde à un objet, le nerf de \(\Sigma(Z)\) a le type de la suspension de \(BG\), qui n'est pas contractile dès que l'abélianisé de \(G\) n'est pas nul — par exemple pour \(G = \mathbf{Z}\), où l'on obtient la sphère \(S^{2}\)⁴⁰ .

Une note marginale avance qu'« il semble vrai » que si \(g\) est une 1-équivalence — une équivalence sur les groupoïdes fondamentaux —, alors \(f\) l'est aussi⁴¹ .

23–25

La catégorie homotopique comme catégorie de fractions (pages 23 à 25)

Soit \(A\) une catégorie test locale⁴² . Notons \(\overline{\widehat{A}}\) la catégorie localisée de \(\widehat{A}\) par les homotopismes relatifs à \(\mathcal{W}_{A}\), et \(\overline{\mathcal{W}_{A}}\) l'image de \(\mathcal{W}_{A}\) ; alors \(\mathrm{Hot}_{A} \simeq \overline{\mathcal{W}_{A}}^{\,-1}\, \overline{\widehat{A}}\).

Corollaire. \(\overline{\mathcal{W}_{A}}\) admet un calcul de fractions dans lequel toute flèche de \(\mathrm{Hot}_{A}\) s'écrit \(\gamma(t)^{-1}\gamma(u)\), pour un diagramme \(X \xrightarrow{u} Y' \xleftarrow{t} Y\) de \(\overline{\widehat{A}}\) avec \(t \in \overline{\mathcal{W}_{A}}\).⁴³

Il y a deux conditions à vérifier. La première : un diagramme \(Y' \xleftarrow{g} Y \xrightarrow{i} X\) avec \(g \in \overline{\mathcal{W}_{A}}\) se complète en un carré commutatif \(f \circ i = i' \circ g\), avec \(f \in \overline{\mathcal{W}_{A}}\). On factorise \(i\) en \(Y \xrightarrow{i_{1}} X_{1} \xrightarrow{h} X\), avec \(i_{1}\) monomorphe et \(h\) homotopisme, ce qui ramène au cas où \(i\) est un monomorphisme, et l'on prend pour \(X'\) la somme amalgamée ; le corollaire de la page 21 donne \(f \in \mathcal{W}_{A}\).

La seconde est la simplification : si \(f, g : X \rightrightarrows Y\) et \(s : X' \to X\) dans \(\overline{\mathcal{W}_{A}}\) vérifient \(fs = gs\) dans \(\overline{\widehat{A}}\), il existe \(t : Y \to Y'\) dans \(\overline{\mathcal{W}_{A}}\) avec \(tf = tg\). On peut supposer \(s\) monomorphe. L'égalité \(fs = gs\) est donnée par une homotopie \(I \times X' \to Y\). Soit \(M\) la somme amalgamée de \(I \times X'\) et de \(X \sqcup X\) au-dessus de \(X' \sqcup X'\). La flèche \(X \sqcup X \to M\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\), comme somme amalgamée de \(X' \sqcup X' \to X \sqcup X\) le long du monomorphisme \(X' \sqcup X' \to I \times X'\) ; donc \(M \to I \times X\), monomorphe, est dans \(\mathcal{W}_{A}\) ; et l'on pousse \(M \to Y\) le long de \(M \to I \times X\) pour obtenir \(t : Y \to Y'\), dans \(\mathcal{W}_{A}\), et une homotopie \(I \times X \to Y'\) entre \(tf\) et \(tg\)⁴⁴ .

L'argument n'utilise que quatre propriétés d'une classe \(\mathfrak{M}\) de flèches d'une catégorie \(M\) munie de \(\mathcal{W}\) (ici \(M = \widehat{A}\) et \(\mathfrak{M}\) les monomorphismes) :

• (i)toute flèche se factorise en une flèche de \(\mathfrak{M}\) suivie d'un homotopisme ;
• (ii)dans un carré cocartésien le long d'une flèche de \(\mathfrak{M}\), le côté opposé à une flèche de \(\mathcal{W}\) est dans \(\mathcal{W}\) ;
• (iii)il existe une famille génératrice d'intervalles \(I_{\alpha}\) avec \(X \sqcup X \to X \times I_{\alpha}\) dans \(\mathfrak{M}\) pour tout \(X\) — des intervalles « séparants » ;
• (iv)les sommes finies existent, et \(f, g \in \mathcal{W} \Rightarrow f \sqcup g \in \mathcal{W}\).

Une note marginale l'énonce en général : pour \((M, \mathcal{W})\) muni d'un tel \(\mathfrak{M}\), les homotopismes étant dans \(\mathcal{W}\), on a \(\mathcal{W}^{-1}M = \overline{\mathcal{W}}^{\,-1}\overline{M}\) et \(\overline{\mathcal{W}}\) admet ce calcul de fractions⁴⁵ . Il se demande d'ailleurs si l'argument vaut dans (Cat) ; la page 22 interdit d'y prendre pour \(\mathfrak{M}\) les immersions fermées, et le dossier ne dit pas quelle classe conviendrait.

La page 25 dit ce qu'a coûté l'argument. Il a fallu un intervalle séparant \(I\) de \(\widehat{A}\) définissant une structure homotopique compatible avec \(\mathcal{W}_{A}\), et pour cela que \(I \to e\) soit dans \(\mathcal{W}_{A}\), ou du moins que les deux sections \(\delta_{0}\), \(\delta_{1} : e \to I\) aient même image dans \(\mathrm{Hot}_{A}\) — « donc, pratiquement, que \(A\) soit une catégorie-test locale »⁴⁶ . Il a fallu aussi la stabilité de \(\mathcal{W}_{A}\) par sommes finies, propriété (iv) : elle se ramène à (Cat), puisque \(i_{A}\) commute aux sommes, et là elle résulte de Loc 3 appliqué à un foncteur \(X \to Y\) au-dessus de l'ensemble d'indices \(J\), vu comme catégorie discrète.

26–30

Les sommes dans \(\mathrm{Hot}\) (pages 26 à 30)

Corollaire 1. Les sommes existent dans \(\mathrm{Hot} = \mathrm{Hot}(\mathcal{W})\), et les foncteurs canoniques \((\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}\) et \(\widehat{A} \to \mathrm{Hot}_{A} \to \mathrm{Hot}\) y commutent.

L'énoncé est démontré pour les sommes finies ; pour les sommes quelconques, que la page semble viser, il reste ouvert dans le dossier⁴⁷ .

Le principe. Pour une catégorie \(M\) et une classe \(\mathcal{W}\) admettant le calcul de fractions de la page 23, on a \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{W}^{-1}M}(X, Y) = \varinjlim \mathrm{Hom}_{M}(X, Y')\), la colimite, filtrante, portant sur les flèches \(Y \to Y'\) de \(\mathcal{W}\) ; le foncteur \(M \to \mathcal{W}^{-1}M\) commute donc aux limites inductives finies qui existent dans \(M\), et en particulier aux sommes finies⁴⁸ . On l'applique à \((\overline{\mathrm{Cat}}, \overline{\mathcal{W}})\), où \(\overline{\mathrm{Cat}}\) est la catégorie des classes d'homotopie de foncteurs ; il faut que les sommes finies y existent et que \((\mathrm{Cat}) \to \overline{\mathrm{Cat}}\) y commute. C'est le

Lemme (page 27). Soit \((M, h)\) une structure homotopique par intervalles, avec \(M\) stable par sommes finies et les sommes finies universelles. Alors \(M \to \overline{M}\) commute aux sommes finies.

Il s'agit de voir que deux flèches \(f = (f_{j})\), \(g = (g_{j}) : \coprod_{J} X_{j} \rightrightarrows Y\), \(J\) fini, sont homotopes dès que chaque \(f_{j}\) l'est à \(g_{j}\). Les homotopies élémentaires entre \(f_{j}\) et \(g_{j}\) se mettent bout à bout en une homotopie paramétrée par un même intervalle composé \(I_{N}\), \(N\) assez grand pour tous les \(j\) — c'est là que sert la finitude de \(J\) —, et comme \(I_{N} \times \coprod X_{j} \simeq \coprod I_{N} \times X_{j}\), elles se recollent en une homotopie entre \(f\) et \(g\).

Le cas infini. Le même énoncé est faux pour les sommes infinies : \((\mathrm{Cat}) \to \overline{\mathrm{Cat}}\) n'y commute pas. Soit \(Y = I_{\infty}\) le zigzag infini \(\bullet \to \bullet \leftarrow \bullet \to \bullet \leftarrow \cdots\), réunion d'une infinité d'intervalles élémentaires⁴⁹ , \(X_{n} = e\) pour \(n \in \mathbf{N}\), et \(f_{n}\), \(g_{n} : e \to Y\) les points \(0\) et \(2n\). Chaque \(f_{n}\) est homotope à \(g_{n}\), mais au moyen d'une chaîne de longueur croissante avec \(n\) ; une homotopie de \(\coprod X_{n}\) à valeurs dans \(Y\) n'a qu'une longueur finie, et \(f\), \(g\) ne sont donc pas homotopes. Ainsi \(\coprod X_{n}\) n'est pas une somme dans \(\overline{\mathrm{Cat}}\). « Je suppose pourtant que dans \(\mathrm{Hot}(\mathcal{W})\), les sommes quelconques existent et que \(\mathrm{Cat} \to \mathrm{Hot}(\mathcal{W})\) y commute ?? »

Cela reviendrait à la bijectivité de \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}\Bigl(\coprod_{J} X_{j}, Y\Bigr) \longrightarrow \prod_{J} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_{j}, Y), \] et, « avec le calcul des fractions, ni l'injectivité ni la surjectivité n'est claire ». Pour la surjectivité, la difficulté est de trouver une même flèche \(Y \to Y'\) de \(\mathcal{W}\) qui représente à la fois toutes les classes \(\varphi_{j}\) ; chacune en fournit une, \(Y \to Y'_{j}\), et il propose de les réunir par sommes amalgamées au-dessus de \(Y\) sur les parties finies \(J_{0} \subset J\), puis par passage à la limite, ce qui donne encore une flèche de \(\mathcal{W}\) — « Donc il y a quand même surjectivité ! » L'argument repose sur un

Lemme (page 30). Soit \((\alpha_{j} : Y \to Y'_{j})_{j \in J}\) une famille d'équivalences faibles. Il existe une équivalence faible \(\alpha : Y \to Y'\), immersion ouverte ou fermée si les \(\alpha_{j}\) le sont, et des \(\beta_{j} : Y'_{j} \to Y'\) avec \(\beta_{j}\alpha_{j} = \alpha\) ; si les \(\alpha_{j}\) sont des immersions ouvertes ou fermées, on peut prendre pour \(Y'\) la somme amalgamée des \(Y'_{j}\) au-dessus de \(Y\).

Il n'est qu'esquissé⁵⁰ . L'injectivité, enfin, se ramène à ceci : si \(f, g : \coprod X_{j} \rightrightarrows Y\) ont des composantes \(f_{j}\), \(g_{j}\) homotopes, a-t-on \(\gamma(f) = \gamma(g)\) ? « Mais attention on n'a pas en général \(f \sim g\) ! » Il faudrait une condition « de type Kan » sur \(Y\), ou sur un \(Y'\) avec \(Y \to Y'\) dans \(\mathcal{W}\) ; le dossier s'arrête là.

31–36

Les produits finis (pages 31 à 36)

Corollaire 2. Les produits finis existent dans \(\mathrm{Hot}\), et les foncteurs canoniques \((\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}\) et \(\widehat{A} \to \mathrm{Hot}\) y commutent, ce dernier pour \(A\) catégorie test stricte, ou plus généralement totalement asphérique.⁵¹

Pour \((\mathrm{Cat})\) le point est « clair si on traite directement », un produit fini de flèches de \(\mathcal{W}\) étant dans \(\mathcal{W}\) (page 35). Pour \(\widehat{A}\), on est ramené à voir que \(\widehat{A} \to \mathrm{Hot}_{A}\) commute aux produits finis : que \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}_{A}}\Bigl(X, \prod Y_{j}\Bigr) \longrightarrow \prod \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}_{A}}(X, Y_{j}) \] est bijectif pour toute famille finie \((Y_{j})\). Surjectivité : un élément du second membre est donné par des \(f_{j} : X \to Y'_{j}\), avec \(Y_{j} \to Y'_{j}\) dans \(\mathcal{W}_{A}\) ; \(f = (f_{j}) : X \to \prod Y'_{j}\) définit un antécédent, si l'on sait que \(\prod Y_{j} \to \prod Y'_{j}\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\). Injectivité : soient \(f, g : X \rightrightarrows Y'\), \(\alpha : Y = \prod Y_{j} \to Y'\) dans \(\mathcal{W}_{A}\), et pour chaque \(j\) des \(\beta_{j} : Y_{j} \to Y'_{j}\) dans \(\mathcal{W}_{A}\) et \(\varphi_{j} : Y' \to Y'_{j}\) avec \(\beta_{j}\,\mathrm{pr}_{j} = \varphi_{j}\alpha\) et \(\varphi_{j}f\) homotope à \(\varphi_{j}g\). Avec \(\varphi = (\varphi_{j})\) et \(\beta = \prod \beta_{j}\), on a \(\varphi\alpha = \beta\) et \(\varphi f\) homotope à \(\varphi g\) ; si \(\beta\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\), \(\gamma(\varphi)\) est inversible et \(\gamma(f) = \gamma(g)\). Dans les deux sens, tout repose donc sur la stabilité de \(\mathcal{W}_{A}\) par produits finis ; et cela marcherait pour les produits infinis si l'on savait qu'un produit infini de flèches de \(\mathcal{W}_{A}\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\).

Le lemme des pages 32 à 35

La page 32 énonce, avec un point d'interrogation, un lemme de « conditions équivalentes » pour une petite catégorie \(A\) :

• (i)\(A\) est totalement asphérique ;
• (ii)\(\mathcal{W}_{A}\) est stable par produits finis ;
• (ii bis)pour \(f : X \to Y\) dans \(\mathcal{W}_{A}\) et \(Z\) dans \(\widehat{A}\), \(f \times \mathrm{id}_{Z}\) est dans \(\mathcal{W}_{A}\) ;
• (iii)\(\widehat{A} \to \mathrm{Hot}_{A}\) commute aux produits finis ;
• (iv)\(\widehat{A} \to \mathrm{Hot}\) commute aux produits binaires ;
• (iv bis)\(\widehat{A} \to \mathrm{Hot}\) commute aux produits finis.

Elles ne sont pas toutes équivalentes, et les pages 33 à 35 le montrent elles-mêmes. Ce qu'elles établissent est ceci⁵² :

• (ii) \(\Leftrightarrow\) (ii bis), et il suffit de prendre pour \(Z\) les représentables \(a\) : la condition se teste localement sur \(Z\) ;
• (ii) \(\Rightarrow\) (iii), par l'argument ci-dessus ; la réciproque vaut quand \(\mathcal{W}_{A}\) est fortement saturé, une flèche inversible dans \(\mathrm{Hot}_{A}\) étant alors dans \(\mathcal{W}_{A}\) ;
• (i) \(\Rightarrow\) (ii bis) : dans le carré formé de \(X \times a \to Y \times a\) et de \(X \to Y\), les projections \(X \times a \to X\), \(Y \times a \to Y\) sont dans \(\mathcal{W}_{A}\) quand \(A\) est totalement asphérique ; inversement, si \(A\) est asphérique, (ii bis) appliqué à \(a \to e\) donne (i). Donc (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) \(+\) « \(A\) asphérique » ;
• (iv) équivaut à l'asphéricité des \(a \times b\) : comme \((\mathrm{Cat}) \to \mathrm{Hot}\) commute déjà aux produits finis, (iv) signifie que \(A_{/X \times Y} \to A_{/X} \times A_{/Y}\) est dans \(\mathcal{W}\) pour tous \(X\), \(Y\) ; pour \(X = a\), \(Y = b\) c'est l'asphéricité de \(a \times b\) ; et inversement, pour un objet \(\alpha = (a \to X, b \to Y)\) du second membre, \((A_{/X \times Y})_{/\alpha} \simeq A_{/a \times b}\), si bien que le foncteur est asphérique, donc dans \(\mathcal{W}\) ;
• (iv bis) \(\Leftrightarrow\) (i), le produit vide demandant que \(A = A_{/e}\) soit asphérique ; et (i) \(\Leftrightarrow\) (iv) \(+\) « \(A\) asphérique ».

La page 35 précise que l'implication (i) \(\Rightarrow\) (iv) est stricte : (iv) est stable par sommes de catégories, (i) ne l'est pas, une somme n'étant pas connexe. Une catégorie connexe qui satisfait (ii) est-elle asphérique ? Non : pour \(A\) un groupoïde connexe dont les automorphismes forment un groupe \(G \neq 1\), et \(\mathcal{W} = \mathcal{W}_{0}\) l'équivalence faible usuelle, \(\mathcal{W}_{A}\) est formé des seuls isomorphismes — un morphisme de \(G\)-ensembles qui induit une bijection sur les orbites et des isomorphismes sur les stabilisateurs est un isomorphisme — et elle est stable par produits finis, alors que \(A\), de nerf \(BG\), n'est pas asphérique⁵³ .

Les produits infinis restent en suspens. Il faudrait savoir qu'un produit de flèches de \(\mathcal{W}\) est dans \(\mathcal{W}\), ou le même énoncé dans un \(\widehat{A}\), le second impliquant le premier ; « déjà pour l'équiv. faible habituelle \(\mathcal{W}_{0}\), ce n'est pas évident ». Il suggère de passer par l'asphéricité d'un produit infini de catégories asphériques, et juge la question « moins importante de toutes façons que la question des sommes infinies ».

38–39

Filtrations (pages 38 et 39)

Théorème. Soient \(I\) un ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide a une borne inférieure, et \(X\), \(Y\) deux catégories munies de familles croissantes \((X_{i})_{i \in I}\), \((Y_{i})_{i \in I}\) de sous-catégories ouvertes (resp. fermées), avec \(X = \bigcup X_{i}\), \(Y = \bigcup Y_{i}\), et \(X_{\inf j_{\alpha}} = \bigcap X_{j_{\alpha}}\), de même pour \(Y\). Soit \(f : X \to Y\) un foncteur tel que \(f(X_{i}) \subset Y_{i}\), et notons \(f_{i} : X_{i} \to Y_{i}\) ses restrictions. Si les \(f_{i}\) sont dans \(\mathcal{W}\), \(f\) est dans \(\mathcal{W}\).⁵⁴

Le cas fermé se ramène au cas ouvert par passage aux catégories opposées⁵⁵ . Dans le cas ouvert, la filtration de \(X\) est la même chose qu'un foncteur \(\varphi : X \to I\) : \[ \varphi(x) = \inf I(x), \qquad I(x) = \{\, i \in I \mid x \in X_{i} \,\}, \] et \(\varphi(x)\) est le plus petit élément de \(I(x)\), qui est l'ensemble des \(j \geq \varphi(x)\). Pour une flèche \(x \to y\), on a \(I(y) \subset I(x)\), puisque les \(X_{i}\) sont des cribles, donc \(\varphi(x) \leq \varphi(y)\) ; et \(X_{i} = \varphi^{-1}(I_{\leq i})\), c'est-à-dire \(x \in X_{i}\) si et seulement si \(\varphi(x) \leq i\). Il note qu'il faudra expliciter la correspondance réciproque : pour un \(I\) où les bornes inférieures des parties non vides existent, les foncteurs \(X \to I\) correspondent aux filtrations croissantes \(i \mapsto X_{i}\) par des ouverts qui commutent à ces bornes et dont \(X\) est la réunion — ce qui équivaut à \(\varinjlim X_{i} \simeq X\).

Comme \(I\) est un ensemble ordonné, la catégorie \(X_{/i}\) relative à \(\varphi\) est exactement \(X_{i}\), et de même \(Y_{/i} = Y_{i}\) pour le foncteur \(\psi : Y \to I\) de la filtration de \(Y\) ; les \(f_{i}\) sont donc les foncteurs \(f_{/i} : X_{/i} \to Y_{/i}\), et Loc 3 conclut⁵⁶ .

Corollaire. De même dans un \(\widehat{A}\), pour \(\mathcal{W}_{A}\), puisque \(i_{A}\) commute aux limites inductives quelconques et aux produits fibrés.

« Cor ? » Si les \(X_{i}\) sont asphériques et \(I\) connexe, \(X\) est asphérique : on prend \(Y_{i} = e\) pour tout \(i\)⁵⁷ .

39–40

La saturation (pages 39 et 40)

Théorème. \(\mathcal{W}\) est saturé : un foncteur \(f\) tel que \(\gamma(f)\) soit inversible dans \(\mathrm{Hot}\) est dans \(\mathcal{W}\).

Corollaire. Pour toute \(A\), \(\mathcal{W}_{A}\) est saturé.

C'est la rubrique (6) du programme, la saturation « forte »⁵⁸ . Une première démonstration, sur la page 39, est barrée de deux longs traits : elle partait de \(f : X \to Y\) et de \(g : Y \to X'\), \(f' : X' \to Y'\), avec \(\gamma(gf) = \gamma(\alpha)\) et \(\gamma(f'g) = \gamma(\beta)\) pour \(\alpha\), \(\beta\) dans \(\mathcal{W}\), et cherchait à se ramener à \(gf = \alpha\), \(f'g = \beta\) et à des immersions ouvertes.

La page 40 donne la démonstration qui aboutit. Soit \(f_{0} : X_{0} \to X_{1}\) avec \(\gamma(f_{0})\) inversible. Par le cylindre de la page 10, on peut supposer \(f_{0}\) immersion ouverte. Par le calcul des fractions, il existe \(f_{1} : X_{1} \to X_{2}\) avec \(f_{1}f_{0} \in \mathcal{W}\) ; alors \(\gamma(f_{1})\) est inversible, et l'on peut supposer \(f_{1}\) immersion ouverte⁵⁹ . De proche en proche, on obtient une suite d'immersions ouvertes \[ X_{0} \xrightarrow{\ f_{0}\ } X_{1} \xrightarrow{\ f_{1}\ } X_{2} \xrightarrow{\ f_{2}\ } \cdots \] dont les composés de deux flèches consécutives sont dans \(\mathcal{W}\). Soit \(X_{\infty} = \varinjlim_{n} X_{n}\), et \(i_{n} : X_{n} \to X_{\infty}\) ; on a \(i_{1}f_{0} = i_{0}\), et il suffit de prouver que \(i_{0}\) et \(i_{1}\) sont dans \(\mathcal{W}\). Or \(X_{\infty}\) est aussi la limite de la sous-suite \(X_{0} \to X_{2} \to X_{4} \to \cdots\), dont les flèches sont dans \(\mathcal{W}\), et \(i_{0}\) est la limite des \(X_{0} \to X_{2n}\), qui sont dans \(\mathcal{W}\) : « donc on gagne !! » ; de même pour \(i_{1}\), en partant de \(f_{1}\). Le passage à la limite est le théorème des filtrations des pages 38 et 39, appliqué à \(I = \mathbf{N}\), à la filtration constante de \(X_{0}\) et à la filtration de \(X_{\infty}\) par les ouverts \(X_{2n}\)⁶⁰ .