Fonds Grothendieck, cote n° 117, pages 21–25

[Cofinalité, adjoints, et le recollement]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 21 n'en porte aucun et commence au milieu d'un développement (« Il faut aussi »). Les notations \mathcal{H}(A), f^{*}, f^{\mathcal{H}}_{!}, \int_A sont celles des feuillets précédents, au lot 1.

Il faut aussi éventuellement des conditions sur un i : A_0 \to A pour que \int_{A_0} i^{*}(\xi) \xrightarrow{\ \sim\ } \int_A \xi \qquad \text{pour tout } \xi \in \mathcal{H}(A) le A but de i, et celui de \mathcal{H}(A), sont repassés à l'encre plus appuyée, peut-être sur une autre lettre (B ?). (définition de « cofinalité »). Si i a un adjoint à ~~droite~~ gauche j ( des foncteurs adjoints), je présume que ?\qquad i^{*}_{\mathcal{H}} = j^{\mathcal{H}}_{!}\ {}^{(*)}, la formule est cernée d'un ovale, précédée d'un point d'interrogation ; l'astérisque renvoie à la note « * Résulte… » du bas du feuillet. et la formule sort, i.e. p^{\mathcal{H}}_{0!}\, i^{*}_{\mathcal{H}} \xrightarrow{\ \sim\ } p^{\mathcal{H}}_{!} dérivant p^{\mathcal{H}}_{0!}\, i^{\mathcal{H}}_{!} \simeq p^{\mathcal{H}}_{!} qui est conséquence de p_0 i = p. sur la page, les deux dernières formules portent i ; or p_0 : A_0 \to \Delta_0 et i : A_0 \to A ne se composent pas en p_0 i, ni p^{\mathcal{H}}_{0!} avec i^{\mathcal{H}}_{!}. L'argument demande l'adjoint j : A \to A_0, avec j^{\mathcal{H}}_{!} = i^{*}_{\mathcal{H}} et p_0 j = p. Le signe est peut-être un j tracé sans sa queue ; on transcrit ce qu'on lit.

À gauche des formules, le triangle :

\begin{tikzcd} A_0 \arrow[r, "i"] \arrow[d, "p_0"'] & A \arrow[dl, no head, "p"] \\ \Delta_0 & \end{tikzcd}

l'oblique p est un trait sans pointe. Le but, noté \Delta_0, est écrit à double trait, comme un delta ; on le lit comme la catégorie ponctuelle, ce que la page ne dit pas.

Ex Cas où A_0 réduit à un pt, envoyé dans l'objet final e de A : on trouve \int_A \xi \xleftarrow{\ \sim\ } \xi(e) la flèche est repassée plusieurs fois ; on la lit comme une flèche vers la gauche marquée \sim, sans certitude sur son sens.

Cas des catégories filtrantes ?? (« Ets » cofinal valeurs) note écrite en oblique dans la marge gauche, en face des premières lignes ; la fin, sous parenthèse, est à peine lisible.

{}^{(*)} Résulte du diagramme commutatif ( en remplaçant A_0 par B), valable pour j : A \to B quelc. :

\begin{tikzcd} \mathcal{H}(A) \arrow[r, "(h_A)^{\mathcal{H}}_{!}"] \arrow[d, "j^{\mathcal{H}}_{!}"'] & \mathcal{H}(A^{\wedge}) \arrow[d, "(j^{*}_{\wedge})^{*}_{\mathcal{H}}"] \\ \mathcal{H}(B) \arrow[r, "(h_B)^{\mathcal{H}}_{!}"'] & \mathcal{H}(B^{\wedge}) \end{tikzcd}

NB dans le cas où j a un adjoint à dr. i, on a j^{*}_{\wedge} = i^{\wedge}_{!}, qui induit i : B \to A, donc (i^{\wedge}_{!})^{*}_{\mathcal{H}} induit i^{*}_{\mathcal{H}}.

diagrammes : note encadrée au bas de la marge gauche, reliée par un trait au diagramme ; au-dessous, un « II » souligné, suivi d'un trait horizontal, sans rien après.

On veut que pour deux sous-catégories pleines A', A'' de A de réunion A, qui soient soit des cribles, soit des cocribles, de réunion A, d'intersection A_0, d'injection, ~~\mathrm{Hom}(~~ \mathcal{H}(A) \longrightarrow \mathcal{H}(A') \times_{\mathcal{H}(A_0)} \mathcal{H}(A'') soit donc surjective sur les flèches (elle a tendance d'être bijective sur les objets …), i.e. pour \xi, \eta \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{H}(A), on veut \mathrm{Hom}(\xi, \eta) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\xi', \eta') \times_{\mathrm{Hom}(\xi_0, \eta_0)} \mathrm{Hom}(\xi'', \eta'') surjectif. « de réunion A » paraît deux fois, à la deuxième et à la quatrième ligne ; la première occurrence est une lecture douteuse. « surjectif » est souligné deux fois.

NB On aura alors A = A' \amalg_{A_0} A'' dans (Cat)

(c'est J) en marge gauche, en face de la seconde formule ; lecture très douteuse.

On l'utilisera dans le cas de A

\begin{tikzcd} \bullet & \\ c \arrow[u, "A'"] \arrow[r, "A''"'] & \bullet \end{tikzcd}

les deux flèches issues de c sont cernées chacune d'un ovale, marqué A' (la verticale) et A'' (l'horizontale) ; les deux autres sommets ne sont pas nommés.

et leur cas duals, et le produit par les éléments B de Cat

[Diagrammes : la suite des lacets]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 24 ne porte que des diagrammes, sans un mot.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & e \arrow[d] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[d] \\ e \arrow[d] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[d] & \Omega X \arrow[l] \arrow[d] \\ X \arrow[d] & Z \arrow[l] \arrow[d] & e \arrow[l] \\ Y & e \arrow[l] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & & e \arrow[d] & \Omega^{3} Z \arrow[l] \arrow[d, "\Omega^{3} g"] & \Omega^{4} Y \arrow[l, "\Omega^{3} h"'] \arrow[d] \\ & & & e \arrow[d] & \Omega^{3} Y \arrow[l] \arrow[d, "\Omega^{2} h"] & \Omega^{3} X \arrow[l, "\Omega^{3} f"'] \arrow[d] & e \arrow[l] \\ & & e \arrow[d] & \Omega^{2} X \arrow[l] \arrow[d, "\Omega^{2} f"] & \Omega^{2} Z \arrow[l, "\Omega^{2} g"'] \arrow[d] & e \arrow[l] & \\ & e \arrow[d] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[d, "\Omega g"] & \Omega^{2} Y \arrow[l, "\Omega h"'] \arrow[d] & e \arrow[l] & & \\ e \arrow[d] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[d, "h"] & \Omega X \arrow[l, "\Omega f"'] \arrow[d] & e \arrow[l] & & & \\ X \arrow[d, "f"'] & Z \arrow[l, "g"] \arrow[d] & e \arrow[l] & & & & \\ Y & e \arrow[l] & & & & & \end{tikzcd}

les exposants de \Omega^{2} g et \Omega^{2} f sont un petit trait qu'on lit « 2 » ; celui de \Omega^{3} f est tracé comme les « 3 » voisins. Le sommet est écrit \Omega^{4} Y (un « 4 » peu formé).

À droite, isolé :

\begin{tikzcd} & P \arrow[d, no head] \\ P & Q \arrow[l] \end{tikzcd}

lettres douteuses : le P du haut est repassé ; le trait vertical n'a pas de pointe nette.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & e \arrow[dl] & & e \arrow[dl] & & e \arrow[dl] & & e \arrow[dl] & & \\ Y & X \arrow[l] & Z \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[ul] & \Omega X \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[ul] & \Omega^{2} Y \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega^{2} X \arrow[l] \arrow[ul] & \Omega^{2} Z \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega^{3} Y \arrow[l] \arrow[ul] & \cdots \arrow[l] \\ & e \arrow[ul] & & e \arrow[ul] & & e \arrow[ul] & & e \arrow[ul] & & & \end{tikzcd}

la ligne du milieu, Y \leftarrow X \leftarrow Z \leftarrow \Omega Y \leftarrow \cdots \leftarrow \Omega^{3} Y \leftarrow, est écrite une première fois seule, plus haut, jusqu'à \Omega Y \leftarrow, suivie de deux points ; elle est reprise ici en zigzag, chaque composé de deux flèches consécutives passant par un e, alternativement au-dessus et au-dessous. La flèche e \to Y de gauche est surchargée.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] e \arrow[d] & \cdot \arrow[l, dashed] \arrow[dd, dashed, no head] & \bullet \arrow[l, dashed, no head] \arrow[d, dashed, no head] \\ X \arrow[d] & & e \arrow[ll] \arrow[dl] \\ Y & e \arrow[l] & \end{tikzcd}

les traits pointillés sont ceux de la page : la flèche du haut vers e, le trait vertical qui descend du milieu de celle-ci vers le e du bas, et le trait en pointillé serré qui relie le coin supérieur droit au e de droite (son extrémité basse est peut-être une pointe).

à gauche de ce carré, un croquis en perspective de l'escalier précédent : un réseau de flèches dont les sommets e sont cerclés, X et Y en bas à gauche, traversé par un trait épais en escalier et par un axe vertical ; on ne le redessine pas.