Cote n° 117 · batch 2 · pages 21–25 · Transcription · Théories homotopiques : notes manuscrites (1983, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration

[Cofinalité, adjoints, et le recollement]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 21 n'en porte aucun et commence au milieu d'un développement (« Il faut aussi »). Les notations \(\mathcal{H}(A)\), \(f^{*}\), \(f^{\mathcal{H}}_{!}\), \(\int_A\) sont celles des feuillets précédents, au lot 1.

21Il faut aussi éventuellement des conditions sur un \(i : A_0 \to A\) pour que \[ \int_{A_0} i^{*}(\xi) \xrightarrow{\ \sim\ } \int_A \xi \qquad \text{pour tout } \xi \in \mathcal{H}(A) \] le \(A\) but de \(i\), et celui de \(\mathcal{H}(A)\), sont repassés à l'encre plus appuyée, peut-être sur une autre lettre (\(B\) ?). (définition de « cofinalité »). Si \(i\) a un adjoint à droite […] gauche \(j\) ([…] des foncteurs adjoints), je présume que \[ ?\qquad i^{*}_{\mathcal{H}} = j^{\mathcal{H}}_{!}\ {}^{(*)}, \] la formule est cernée d'un ovale, précédée d'un point d'interrogation ; l'astérisque renvoie à la note « * Résulte… » du bas du feuillet. et la formule sort, i.e. \[ p^{\mathcal{H}}_{0!}\, i^{*}_{\mathcal{H}} \xrightarrow{\ \sim\ } p^{\mathcal{H}}_{!} \] dérivant \[ p^{\mathcal{H}}_{0!}\, i^{\mathcal{H}}_{!} \simeq p^{\mathcal{H}}_{!} \] qui est conséquence de \(p_0 i = p\). sur la page, les deux dernières formules portent \(i\) ; or \(p_0 : A_0 \to \Delta_0\) et \(i : A_0 \to A\) ne se composent pas en \(p_0 i\), ni \(p^{\mathcal{H}}_{0!}\) avec \(i^{\mathcal{H}}_{!}\). L'argument demande l'adjoint \(j : A \to A_0\), avec \(j^{\mathcal{H}}_{!} = i^{*}_{\mathcal{H}}\) et \(p_0 j = p\). Le signe est peut-être un \(j\) tracé sans sa queue ; on transcrit ce qu'on lit.

À gauche des formules, le triangle :

\begin{tikzcd}
A_0 \arrow[r, "i"] \arrow[d, "p_0"'] & A \arrow[dl, no head, "p"] \\
\Delta_0 &
\end{tikzcd}

l'oblique \(p\) est un trait sans pointe. Le but, noté \(\Delta_0\), est écrit à double trait, comme un delta ; on le lit comme la catégorie ponctuelle, ce que la page ne dit pas.

Ex Cas où \(A_0\) réduit à un pt, envoyé dans l'objet final \(e\) de \(A\) : on trouve \[ \int_A \xi \xleftarrow{\ \sim\ } \xi(e) \] la flèche est repassée plusieurs fois ; on la lit comme une flèche vers la gauche marquée \(\sim\), sans certitude sur son sens.

Cas des catégories filtrantes ?? (« Ets » […] cofinal […] valeurs) note écrite en oblique dans la marge gauche, en face des premières lignes ; la fin, sous parenthèse, est à peine lisible.

\({}^{(*)}\) Résulte du diagramme commutatif ([…] en remplaçant \(A_0\) par \(B\)), valable pour \(j : A \to B\) quelc. :

\begin{tikzcd}
\mathcal{H}(A) \arrow[r, "(h_A)^{\mathcal{H}}_{!}"] \arrow[d, "j^{\mathcal{H}}_{!}"'] & \mathcal{H}(A^{\wedge}) \arrow[d, "(j^{*}_{\wedge})^{*}_{\mathcal{H}}"] \\
\mathcal{H}(B) \arrow[r, "(h_B)^{\mathcal{H}}_{!}"'] & \mathcal{H}(B^{\wedge})
\end{tikzcd}

NB dans le cas où \(j\) a un […] adjoint à dr. \(i\), on a \(j^{*}_{\wedge} = i^{\wedge}_{!}\), qui induit \(i : B \to A\), donc \((i^{\wedge}_{!})^{*}_{\mathcal{H}}\) induit \(i^{*}_{\mathcal{H}}\).

diagrammes […] […] : […] note encadrée au bas de la marge gauche, reliée par un trait au diagramme ; au-dessous, un « II » souligné, suivi d'un trait horizontal, sans rien après.

22On veut que pour deux sous-catégories pleines \(A'\), \(A''\) de \(A\) de réunion \(A\), qui soient soit des cribles, soit des cocribles, de réunion \(A\), d'intersection \(A_0\), d'injection, \(\mathrm{Hom}(\) \[ \mathcal{H}(A) \longrightarrow \mathcal{H}(A') \times_{\mathcal{H}(A_0)} \mathcal{H}(A'') \] soit donc surjective sur les flèches (elle a tendance d'être bijective sur les objets …), i.e. pour \(\xi, \eta \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{H}(A)\), on veut \[ \mathrm{Hom}(\xi, \eta) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\xi', \eta') \times_{\mathrm{Hom}(\xi_0, \eta_0)} \mathrm{Hom}(\xi'', \eta'') \] surjectif. « de réunion \(A\) » paraît deux fois, à la deuxième et à la quatrième ligne ; la première occurrence est une lecture douteuse. « surjectif » est souligné deux fois.

NB On aura alors \(A = A' \amalg_{A_0} A''\) dans (Cat)

(c'est \(J\)) en marge gauche, en face de la seconde formule ; lecture très douteuse.

On l'utilisera dans le cas de \(A\) […]

\begin{tikzcd}
\bullet & \\
c \arrow[u, "A'"] \arrow[r, "A''"'] & \bullet
\end{tikzcd}

les deux flèches issues de \(c\) sont cernées chacune d'un ovale, marqué \(A'\) (la verticale) et \(A''\) (l'horizontale) ; les deux autres sommets ne sont pas nommés.

et leur cas duals, et le produit par les éléments \(B\) de Cat

[Diagrammes : la suite des lacets]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 24 ne porte que des diagrammes, sans un mot.

24

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & e \arrow[d] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[d] \\
e \arrow[d] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[d] & \Omega X \arrow[l] \arrow[d] \\
X \arrow[d] & Z \arrow[l] \arrow[d] & e \arrow[l] \\
Y & e \arrow[l] &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & & e \arrow[d] & \Omega^{3} Z \arrow[l] \arrow[d, "\Omega^{3} g"] & \Omega^{4} Y \arrow[l, "\Omega^{3} h"'] \arrow[d] \\
 & & & e \arrow[d] & \Omega^{3} Y \arrow[l] \arrow[d, "\Omega^{2} h"] & \Omega^{3} X \arrow[l, "\Omega^{3} f"'] \arrow[d] & e \arrow[l] \\
 & & e \arrow[d] & \Omega^{2} X \arrow[l] \arrow[d, "\Omega^{2} f"] & \Omega^{2} Z \arrow[l, "\Omega^{2} g"'] \arrow[d] & e \arrow[l] & \\
 & e \arrow[d] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[d, "\Omega g"] & \Omega^{2} Y \arrow[l, "\Omega h"'] \arrow[d] & e \arrow[l] & & \\
e \arrow[d] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[d, "h"] & \Omega X \arrow[l, "\Omega f"'] \arrow[d] & e \arrow[l] & & & \\
X \arrow[d, "f"'] & Z \arrow[l, "g"] \arrow[d] & e \arrow[l] & & & & \\
Y & e \arrow[l] & & & & &
\end{tikzcd}

les exposants de \(\Omega^{2} g\) et \(\Omega^{2} f\) sont un petit trait qu'on lit « 2 » ; celui de \(\Omega^{3} f\) est tracé comme les « 3 » voisins. Le sommet est écrit \(\Omega^{4} Y\) (un « 4 » peu formé).

À droite, isolé :

\begin{tikzcd}
 & P \arrow[d, no head] \\
P & Q \arrow[l]
\end{tikzcd}

lettres douteuses : le \(P\) du haut est repassé ; le trait vertical n'a pas de pointe nette.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & e \arrow[dl] & & e \arrow[dl] & & e \arrow[dl] & & e \arrow[dl] & & \\
Y & X \arrow[l] & Z \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega Y \arrow[l] \arrow[ul] & \Omega X \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega Z \arrow[l] \arrow[ul] & \Omega^{2} Y \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega^{2} X \arrow[l] \arrow[ul] & \Omega^{2} Z \arrow[l] \arrow[dl] & \Omega^{3} Y \arrow[l] \arrow[ul] & \cdots \arrow[l] \\
 & e \arrow[ul] & & e \arrow[ul] & & e \arrow[ul] & & e \arrow[ul] & & &
\end{tikzcd}

la ligne du milieu, \(Y \leftarrow X \leftarrow Z \leftarrow \Omega Y \leftarrow \cdots \leftarrow \Omega^{3} Y \leftarrow\), est écrite une première fois seule, plus haut, jusqu'à \(\Omega Y \leftarrow\), suivie de deux points ; elle est reprise ici en zigzag, chaque composé de deux flèches consécutives passant par un \(e\), alternativement au-dessus et au-dessous. La flèche \(e \to Y\) de gauche est surchargée.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
e \arrow[d] & \cdot \arrow[l, dashed] \arrow[dd, dashed, no head] & \bullet \arrow[l, dashed, no head] \arrow[d, dashed, no head] \\
X \arrow[d] & & e \arrow[ll] \arrow[dl] \\
Y & e \arrow[l] &
\end{tikzcd}

les traits pointillés sont ceux de la page : la flèche du haut vers \(e\), le trait vertical qui descend du milieu de celle-ci vers le \(e\) du bas, et le trait en pointillé serré qui relie le coin supérieur droit au \(e\) de droite (son extrémité basse est peut-être une pointe).

à gauche de ce carré, un croquis en perspective de l'escalier précédent : un réseau de flèches dont les sommets \(e\) sont cerclés, \(X\) et \(Y\) en bas à gauche, traversé par un trait épais en escalier et par un axe vertical ; on ne le redessine pas.