Cote n° 117 · pages 1–25 · Lecture modernisée · Théories homotopiques : notes manuscrites (1983, s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.La structure des dérivateurs (pages 1 et 2) : trois niveaux de \(\mathrm{Hom}\) et les adjonctions à chaque niveau.
2. 2.Un programme (pages 3 et 4), en neuf points.
3. 3.Les axiomes (pages 5 à 11), dans une suite qu'il pagine de 1 à 4 : la variance, (Hot 1) à (Hot 3), la dualité, le cas additif.
4. 4.Quatre exemples (pages 13 à 20, ses pages 5 à 9).
5. 5.Propriétés formelles (page 20) : (Hot 4) à (Hot 6).
6. 6.Cofinalité (page 21), recollement (page 22), la suite des lacets (page 24), sur trois feuillets non paginés.

Conventions. Une théorie \(\mathcal H\) associe à toute petite catégorie \(A\) une catégorie \(\mathcal H(A)\), et à tout foncteur \(f : A \to B\) un foncteur \(f^{*} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)\), de façon 2-fonctorielle stricte et contravariante en \(f\). On écrit \(f^{*}\), \(f_{!}\), \(f_{*}\) sans l'indice \(\mathcal H\) que la page place en haut ou en bas. \(\Delta_0\) est la catégorie ponctuelle, \(\mathrm{Hot}_{\mathcal H} = \mathcal H(\Delta_0)\), et \(\pi_A : A \to \Delta_0\) le foncteur unique. On note \(\int_A = (\pi_A)_{!}\) l'intégration et \(\prod_A = (\pi_A)_{*}\) la cointégration ; dans les exemples homotopiques, ce sont la limite inductive et la limite projective homotopiques. \(A^{\wedge}\) est la catégorie des préfaisceaux sur \(A\) et \(h_A : A \to A^{\wedge}\) le foncteur de Yoneda. Les mots « cofibré » et « fibré » désignent les catégories cofibrées et fibrées au sens de Grothendieck.¹

Dates. Deux feuillets sont datés de sa main : « déc. 83 » (page 1) et « 24.11.83 » (page 4, en marge). Rien ne date les autres, et rien n'ordonne les quatre suites entre elles.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les axiomes eux-mêmes (« Dégager les bons axiomes ») ; l'existence des \(f_{*}\) pour un localisateur fondamental (« non encore ») ; la comparaison de deux couples \((M, W)\) qui donnent la même théorie ; la condition de recollement de la page 22 (« on veut ») ; le cas des catégories filtrantes (page 21, en marge).

1–2

La structure des dérivateurs (pages 1 et 2)

Le feuillet 1, encadré sous ce titre, fixe une donnée \(\mathcal H(I)\) pour chaque petite catégorie \(I\) et distingue trois niveaux de morphismes entre deux objets \(x, y\) de \(\mathcal H(I)\) :

• un ensemble \(\mathrm{Hom}(x, y)\) ;
• un type d'homotopie \(\mathrm{Homhot}(x, y) \in \mathrm{Hot}\), dont l'ensemble des composantes est \(\mathrm{Hom}(x, y) = \pi_0\, \mathrm{Homhot}(x, y)\) ;
• un objet interne \(\underline{\mathrm{Homhot}}(x, y) \in \mathrm{Hot}(I)\), dont on retrouve le précédent en passant au global sur \(I\) : \[ \mathrm{Homhot}(x, y) \simeq \mathrm{holim}_I\, \underline{\mathrm{Homhot}}(x, y). \]

²

Pour \(f : I \to J\), \(X \in \mathcal H(I)\) et \(Y \in \mathcal H(J)\), l'adjonction \(f_{!} \dashv f^{*}\) s'écrit aux trois niveaux : \[ \mathrm{Hom}(f_{!}X, Y) \simeq \mathrm{Hom}(X, f^{*}Y), \qquad \mathrm{Homhot}(f_{!}X, Y) \simeq \mathrm{Homhot}(X, f^{*}Y), \] \[ \underline{\mathrm{Homhot}}(f_{!}X, Y) \simeq f_{*}\, \underline{\mathrm{Homhot}}(X, f^{*}Y), \] chacune donnant la précédente, la deuxième par passage aux \(\pi_0\), la troisième par passage au global sur \(J\). De même, « duales », pour l'adjonction \(f^{*} \dashv f_{*}\) : \[ \mathrm{Hom}(f^{*}Y, X) \simeq \mathrm{Hom}(Y, f_{*}X), \qquad \mathrm{Homhot}(f^{*}Y, X) \simeq \mathrm{Homhot}(Y, f_{*}X), \] \[ \underline{\mathrm{Homhot}}(Y, f_{*}X) \simeq f_{*}\, \underline{\mathrm{Homhot}}(f^{*}Y, X). \] Les deux formules internes sont encadrées.³

Le feuillet 2 est un brouillon sans phrase : \(\pi_0\) et \(\pi_1\) d'un objet de \(\mathcal H(\Delta_1)\), des 2-flèches entre deux flèches \(x \rightrightarrows y\), une sous-catégorie \(J \subset I\) et la restriction \(\mathcal H(I) \to \mathcal H(J)\), et, isolés, les mots « \(M\) \(W\) », « \(\mathrm{Hot}\) », « \(\mathrm{Cl}(M, W)\) ».

3–4

Un programme (pages 3 et 4)

Deux feuillets énumèrent, sous des lettres a) à i), ce qu'une théorie homotopique devrait expliquer :

1. a)les modèles, leur importance et leur indétermination ;
2. b)les suites exactes longues associées à une flèche, liées aux cylindres et cocylindres ;
3. c)les résolutions d'un modèle, à gauche ou à droite, et le formalisme des foncteurs dérivés quand deux théories sont en présence ;
4. d)les notions homotopiques sur les modèles — équivalences faibles \(W\), cofibrations, homotopismes — qu'une note marginale dit « intermédiaires » pour construire les catégories dérivées ;
5. e)les homotopies entre applications, entre homotopies, et ainsi de suite, c'est-à-dire un espace \(\mathrm{Hom}(X, Y)\) dans \(\mathrm{Hot}\) — « dans Quillen, il y a des \(\mathrm{Hom}\) simpliciaux » ;
6. f)des opérations, « grossières » sur les modèles ou « délicates » sur \(\mathcal H\) ;
7. g)des invariants \(\pi_i\) ou \(H_i\), à valeurs dans une catégorie souvent abélienne ;
8. h)des invariants \(K(\mathcal H)\) définis par « triangles exacts », et des \(K_i\) supérieurs — « cas additif seulement ?!? » ;
9. i)des \(\mathrm{Hom}\) internes et une structure multiplicative, avec \[ \mathrm{Hom}(x \otimes y, z) \simeq \mathrm{Hom}(x, \underline{\mathrm{Hom}}(y, z)). \]

⁴

La conclusion : « sauf peut-être f) et g), il semble que tout puisse se décrire en termes de \((M, W \subset \mathrm{Fl}(M))\) » — une catégorie et une classe de flèches à inverser. « Dégager les bons axiomes. »⁵

5–11

La variance et les premiers axiomes (pages 5 à 11)

Le feuillet 5 ouvre une suite qu'il pagine de 1 à 9, sous le titre « Théorie (de variance) homotopique \(\mathcal H\) ».

La variance

Une théorie \(\mathcal H\) associe à toute petite catégorie \(A\) une catégorie \(\mathcal H(A)\), non nécessairement petite, et à tout foncteur \(f : A \to B\) un foncteur \(f^{*} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)\), de façon 2-contravariante stricte. On pose \(\mathrm{Hot}_{\mathcal H} = \mathcal H(\Delta_0)\). Pour chaque objet \(a\) de \(A\), soit \(i_a : \Delta_0 \to A\) le foncteur de valeur \(a\) ; on en tire le foncteur « diagramme sous-jacent » \[ \alpha_A : \mathcal H(A) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathrm{Hot}_{\mathcal H}), \qquad \mathcal X \longmapsto \bigl(a \mapsto i_a^{*}\mathcal X\bigr), \] naturel en \(A\) : pour \(f : A \to B\), \(\alpha_A \circ f^{*} = f^{*} \circ \alpha_B\).⁶

(Hot 1) Si \(A = \coprod_{i \in I} A_i\), alors \(\mathcal H(A) \to \prod_{i \in I} \mathcal H(A_i)\) est une équivalence.⁷

Une première intégration, abandonnée (page 7)

Un premier essai définit l'intégration en passant par les préfaisceaux : on se donne, pour toute petite \(A\), un foncteur \(L_A : \mathcal H(A) \to \mathcal H(A^{\wedge})\) tel que \((h_A)^{*} L_A = \mathrm{id}\), et l'on demande que les \(f_{!}\) soient induits par un carré commutatif avec \(L_A\), \(L_B\) et le foncteur induit \(\mathcal H(A^{\wedge}) \to \mathcal H(B^{\wedge})\). Tout ce passage est barré de longs traits obliques.⁸

Les adjoints (pages 9 et 11)

(Hot 2) Pour tout \(f : A \to B\), le foncteur \(f^{*} : \mathcal H(B) \to \mathcal H(A)\) a un adjoint à gauche \(f_{!} : \mathcal H(A) \to \mathcal H(B)\).⁹

Pour \(B = \Delta_0\), on obtient l'intégration \(\int_A = (\pi_A)_{!} : \mathcal H(A) \to \mathrm{Hot}_{\mathcal H}\), qui joue le rôle de \(\varinjlim_A\). Par transitivité, \(\int_A \mathcal X \simeq \int_B f_{!}\mathcal X\). L'existence des \(f_{!}\) implique celle des sommes dans les \(\mathcal H(A)\), avec (Hot 1) ; et les \(f^{*}\) y commutent dès qu'ils ont aussi un adjoint à droite.¹⁰

(Hot 3) Pour tout \(f\), le foncteur \(f^{*}\) a un adjoint à droite \(f_{*}\). D'où la cointégration \(\prod_A = (\pi_A)_{*}\), avec \(\prod_A \mathcal X \simeq \prod_B f_{*}\mathcal X\), et l'existence des produits dans les \(\mathcal H(A)\).¹¹

Dualité. En posant \(\mathcal H^{\circ}(A) = \mathcal H(A)^{\circ}\), on obtient une théorie \(\mathcal H^{\circ}\) où \(f^{*}_{\mathcal H^{\circ}} = (f^{*})^{\circ}\), \(f^{\mathcal H^{\circ}}_{!} = (f_{*})^{\circ}\) et \(f^{\mathcal H^{\circ}}_{*} = (f_{!})^{\circ}\) : intégration et cointégration s'échangent.

Cas additif. Si les \(\mathcal H(A)\) sont additives (ou \(k\)-linéaires) et les \(f^{*}\) additifs, les \(f_{!}\) et \(f_{*}\) le sont aussi, comme adjoints de foncteurs additifs.

13–20

Quatre exemples (pages 13 à 20)

Exemple 1. Soit \(M\) une catégorie complète et cocomplète, et \(\mathcal H(A) = \underline{\mathrm{Hom}}(A, M)\). Les \(f^{*}\) sont les restrictions, leurs adjoints les extensions de Kan à gauche et à droite ; \(\mathrm{Hot}_{\mathcal H} = M\), \(\int_A = \varinjlim_A\) et \(\prod_A = \varprojlim_A\). C'est le dérivateur représenté par \(M\).

Exemple 2. Soit \((M, W)\) une catégorie munie d'une classe de flèches \(W\). On note \(W_A\) la classe des flèches de \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, M)\) qui sont dans \(W\) objet par objet, et l'on pose \[ \mathcal H(A) = W_A^{-1}\,\underline{\mathrm{Hom}}(A, M). \] Les \(f^{*}\) passent aux localisées, puisqu'ils préservent les \(W_A\). L'existence des adjoints est une condition sur \(W\).¹²

Une remarque sur les morphismes (pages 15 et 17). Un foncteur \(f : M \to M'\) tel que \(f(W) \subset W'\) induit des foncteurs \(\mathcal H_W(A) \to \mathcal H_{W'}(A)\) compatibles aux \(f^{*}\), mais rien ne dit qu'ils commutent aux \(f_{!}\) et \(f_{*}\) : quand \(W\) et \(W'\) sont réduits aux isomorphismes, cela voudrait dire que \(f\) commute aux limites inductives, resp. projectives. En revanche, si ce sont des équivalences pour tout \(A\), la commutation suit. En voici un cas. Supposons que \(f\) ait un adjoint à droite \(g\), que \(f^{-1}(W') = W\), que la counité \(fg(X') \to X'\) soit dans \(W'\) pour tout \(X'\), et que \(W'\) satisfasse au « deux sur trois ». Alors \(g\) envoie \(W'\) dans \(W\), l'unité et la counité sont dans \(W\) et \(W'\), et \(f\) et \(g\) induisent des équivalences inverses \(\mathcal H_W(A) \simeq \mathcal H_{W'}(A)\) pour tout \(A\), les mêmes conditions passant à \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \rightleftarrows \underline{\mathrm{Hom}}(A, M')\) objet par objet.¹³

Les théories qui se décrivent par un couple \((M, W)\) sont dites spéciales, et « cela implique des conditions draconiennes sur \((M, W)\) ». On peut se proposer d'avoir une vue d'ensemble des couples qui donnent une théorie donnée : deux tels couples \((M_1, W_1)\), \((M_2, W_2)\) s'envoient-ils toujours dans un troisième, de façon à induire l'isomorphisme donné entre les théories ?¹⁴

Exemple 3. \(M = (\mathrm{Cat})\) et \(W\) un localisateur fondamental. La page dit : « J'ai prouvé l'existence des \(f_{!}\), mais non encore celle des \(f_{*}\) », et ajoute qu'il faudra peut-être des hypothèses de finitude sur \(A\), \(B\).¹⁵

Exemple 4. Soit \(\mathcal A\) une catégorie abélienne, \(M\) ses complexes et \(W\) les quasi-isomorphismes : \(\mathcal H(A)\) est la catégorie dérivée de \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A)\). Si \(\mathcal A\) est la catégorie des faisceaux de \(k\)-modules sur un topos \(\mathcal T\), alors \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, \mathcal A)\) est la catégorie des faisceaux de \(k\)-modules sur le topos produit \(A^{\circ\wedge} \times \mathcal T\), et \(f^{*}\) est l'image inverse par le morphisme de topos \(f^{\circ} \times \mathrm{id}_{\mathcal T}\). Le foncteur induit sur les catégories dérivées a un adjoint à droite \(\mathrm{R}f_{*}\), et aussi un adjoint à gauche \(\mathrm{L}f_{!}\).¹⁶

20–20

Propriétés formelles (page 20)

(Hot 4) Changement de base. Soit un carré cartésien de petites catégories \[ A = B \times_{B'} A' \xrightarrow{\ g'\ } A', \qquad f : A \to B, \qquad f' : A' \to B', \qquad g : B \to B'. \] Les morphismes canoniques \[ f_{!}\, g'^{*} \longrightarrow g^{*} f'_{!} \qquad \text{et} \qquad g^{*} f'_{*} \longrightarrow f_{*}\, g'^{*} \] sont des isomorphismes : le premier si \(f'\) est cofibré, ou si \(g\) est fibré ; le second si \(f'\) est fibré, ou si \(g\) est cofibré.¹⁷

(Hot 5) Si \(f : A \to B\) est pleinement fidèle, les foncteurs \(f_{!}\) et \(f_{*}\) sont pleinement fidèles : \(f^{*}f_{!} \simeq \mathrm{id}\) et \(f^{*}f_{*} \simeq \mathrm{id}\). Autrement dit, \(f^{*}\) est un foncteur de localisation.

(Hot 6) Si \(f : A \to B\) est une localisation au sens homotopique, alors \(f^{*}\) est pleinement fidèle : \(f_{!}f^{*} \simeq \mathrm{id} \simeq f_{*}f^{*}\).¹⁸

21–21

Cofinalité (page 21)

On cherche des conditions sur un foncteur \(i : A_0 \to A\) pour que \[ \int_{A_0} i^{*}\xi \xrightarrow{\ \sim\ } \int_A \xi \qquad \text{pour tout } \xi \in \mathcal H(A), \] ce qu'il appelle « cofinalité ». Il en donne une : \(i\) a un adjoint à gauche \(j : A \to A_0\). Alors \[ i^{*} \simeq j_{!}, \] d'où, puisque \(p_0 j = p\) (\(p\) et \(p_0\) désignant les foncteurs vers \(\Delta_0\)), \[ \int_{A_0} i^{*} = p_{0!}\, i^{*} \simeq p_{0!}\, j_{!} \simeq p_{!} = \int_A. \] ¹⁹

Exemple. Si \(A\) a un objet final \(e\) et que \(A_0\) est un point envoyé sur \(e\), le foncteur \(A \to A_0\) est adjoint à gauche de \(i\), et \(\int_A \xi \simeq \xi(e)\).

Justification de \(i^{*} \simeq j_{!}\). Pour tout foncteur \(j : A \to B\), le carré \[ (h_B)_{!}\, j_{!} \simeq (j^{*}_{\wedge})^{*}\, (h_A)_{!} \] commute, où \(j^{*}_{\wedge} : B^{\wedge} \to A^{\wedge}\) est la restriction des préfaisceaux.²⁰ Si \(j\) a un adjoint à droite \(i\), on a \(j^{*}_{\wedge} = i^{\wedge}_{!}\), qui prolonge \(i\) aux préfaisceaux. En restreignant par \(h_B\), pleinement fidèle, et en utilisant (Hot 5), on obtient \(j_{!} \simeq i^{*}\).

En marge : « Cas des catégories filtrantes ?? ».²¹

22–22

Un recollement (page 22)

Soient \(A'\), \(A''\) deux sous-catégories pleines de \(A\), toutes deux des cribles ou toutes deux des cocribles, de réunion \(A\) et d'intersection \(A_0\). Alors \(A = A' \amalg_{A_0} A''\) dans \((\mathrm{Cat})\), puisque toute flèche de \(A\) est dans \(A'\) ou dans \(A''\). On voudrait que le foncteur \[ \mathcal H(A) \longrightarrow \mathcal H(A') \times_{\mathcal H(A_0)} \mathcal H(A'') \] soit plein — pour \(\xi, \eta \in \mathcal H(A)\), l'application \(\mathrm{Hom}(\xi, \eta) \to \mathrm{Hom}(\xi', \eta') \times_{\mathrm{Hom}(\xi_0, \eta_0)} \mathrm{Hom}(\xi'', \eta'')\) surjective — et il « a tendance d'être bijectif sur les objets ». On s'en servira pour la catégorie en forme de coin \(a' \leftarrow c \to a''\), réunion de deux flèches issues de \(c\), pour son dual, et pour leurs produits par une petite catégorie \(B\).²²

24–24

La suite des lacets (page 24)

Le feuillet 24 ne porte que des diagrammes, dans une théorie pointée, \(e\) désignant l'objet nul. Pour une flèche \(f : X \to Y\), on complète par des carrés homotopiquement cartésiens : \[ Z = X \times^{h}_{Y} e, \qquad \Omega Y = e \times^{h}_{Y} e, \qquad \Omega Y \xrightarrow{\ h\ } Z, \] et l'on recommence. Les carrés s'empilent en escalier jusqu'à \(\Omega^{4} Y\), et la suite \[ Y \xleftarrow{\ f\ } X \xleftarrow{\ g\ } Z \xleftarrow{\ h\ } \Omega Y \xleftarrow{\ \Omega f\ } \Omega X \xleftarrow{\ \Omega g\ } \Omega Z \xleftarrow{\ \Omega h\ } \Omega^{2} Y \longleftarrow \cdots \] est redessinée en zigzag, chaque composé de deux flèches consécutives passant par \(e\). C'est la suite des fibres, ou suite de Puppe.²³