Fonds Grothendieck, cote n° 116, pages 1–10

Mapping cone

Ces deux mots sont de sa main, seuls en haut à droite du premier feuillet, une chemise de papier kraft. Le feuillet ne porte rien d'autre et ne prend pas de page ; c'est de là que vient le titre du dossier, qui n'est donc pas des archivistes. La page 2 est l'autre face de la même chemise.

Des notations jetées, sans phrase suivie : le triple adjoint d'une immersion, les deux catégories de préfaisceaux \widehat{A}_0 et \widehat{A}, et un petit schéma de flèches. La page se lit comme un pense-bête, non comme un raisonnement.

\uncertain{{}_{b}\backslash A} \longleftarrow A_{b}

\begin{gather*} i_{!} = \ill{} \\ i^{*} = \ill{} \\ i_{*} \end{gather*}

Les trois lignes sont écrites l'une sous l'autre dans le coin supérieur droit. Le membre de droite des deux premières est un même glyphe, coupé en haut par le bord du feuillet sur la première ; il n'est pas lu ici.

p_{A} : A \longrightarrow A_{0}

\begin{tikzcd}[row sep=large, column sep=large] b_0 \arrow[r, "p"] \arrow[d] & b' \\ b_0 \arrow[ur, "p"'] & \end{tikzcd}

Sur le feuillet, les deux b_0 sont en outre joints par un double trait vertical. Du haut de la colonne de gauche part une flèche en gras vers un objet non nommé, marqué d'une croix, d'où redescend une flèche verticale ; faute de pouvoir nommer ce but, ces deux flèches ne sont pas reproduites.

\begin{array}{c} p_{A!}(F) \\ \uparrow \\ p_{A!}\, i_{!}\bigl(\ill{}(F)\bigr) \end{array}

La flèche verticale est de lui et va de la ligne du bas vers celle du haut ; l'argument de i_{!} n'est pas lu.

\begin{gather*} i_{!}\, i^{*}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } F \\ i_{*}\, i^{*} F \xleftarrow{\ \sim\ } F \end{gather*}

\begin{tikzcd}[column sep=huge] \widehat{A}_0 \arrow[r, "i_{!}", bend left=25] \arrow[r, "i_{*}"', bend right=25] & \widehat{A} \arrow[l, "i^{0}" description] \end{tikzcd}

Les trois flèches sont superposées entre les deux mêmes objets : i_{!} en haut et i_{*} en bas vers la droite, celle du milieu vers la gauche.

i_0^{*} pl. fid. i_{0*} localisation i_{0!} localisation

Les trois lignes sont prises dans une accolade de sa main. Les indices 0 sont écrits en exposant sur le i, et l'abréviation de la première ligne n'est pas assurée.

F \longrightarrow \ill{}\ \ill{}\, F \quad \text{induit iso sur } \Gamma, \text{ puis } H^{*} F

\ill{} \quad \mathrm{Ex}_{\alpha} \quad \ill{} \qquad\qquad A_0 \longrightarrow A

Relations entre morphismes de topos et recollements de topos

Titre de sa main, en tête de la page 3. Dans tout ce qui suit \mathcal{X} désigne un topos et \mathcal{F}(\mathcal{X}) la catégorie de ses faisceaux ; les lettres droites X, X_0, X_1 des pages 6 et 7 désignent des catégories, et \widehat{X} la catégorie des préfaisceaux sur X. La distinction typographique est de l'édition ; le feuillet ne sépare les deux tracés que par la forme de la lettre.

1) ~~Soit~~ Soit (1) \qquad f : \mathcal{X}_0 \longrightarrow \mathcal{X}_1 un morphisme de topos, on peut le considérer comme topos fibré sur \Delta_1 (fibres \mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1), et regarder le topos total associé \mathcal{X} = C(f) (le mapping-cone) dont les faisceaux sont les systèmes (2) \qquad \begin{array}{l} (F_0, F_1, u), \qquad F_0 \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}(\mathcal{X}_0),\ F_1 \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}(\mathcal{X}_1) \\[4pt] \qquad u : f^{*}(F_1) \longrightarrow F_0 \quad \text{i.e.} \\[4pt] \qquad F_1 \longrightarrow f_{*}(F_0) \end{array}

Alors \mathcal{X}_0 peut être regardé comme l'ouvert de \mathcal{X}, \mathcal{X}_1 comme le fermé complémentaire, mais de plus l'inclusion (3) \qquad \mathcal{X}_1 \xrightarrow{\ i_1\ } \mathcal{X} est strictement ~~asphérique~~ équiv. f., i.e. pour tout faisceau F sur \mathcal{X}, F = (F_0, F_1, u) H^{*}(\mathcal{X}, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}\bigl(\mathcal{X}_1, i_1^{*}(F)\bigr)

Les mots « équiv. f. » sont écrits au-dessus de « asphérique » barré, et « est strictement » est souligné d'un trait ondulé. La même substitution revient en tête de la page 5.

Le « foncteur véritablement » (avec i.g.) (de la théorie ) \varphi : \mathcal{F}(\mathcal{X}_0) \longrightarrow \mathcal{F}(\mathcal{X}_1) n'est autre que (4) \qquad \varphi = f_{*}

N.B. On a \mathcal{X} \longrightarrow \mathrm{Top}(\Delta_1), on a qui revient au =, Alors on a des \mathcal{X}_0 (i.e. 0 de l'objet ) topos ouvert \{0\} de du sous-objet final de \widehat{\Delta_1}) 3)

Re N.B. On a une rétraction \mathcal{X} sur le 2^{\text{ème}} \mathcal{X}_1, par le foncteur (topos.) i_{*}(F_1) = (f^{*}(F_1), F_1, \uncertain{\mathrm{id}}), \mathcal{X} = (\mathcal{X}_0 \times \widehat{\Delta_1}) \amalg_{(\mathcal{X}_0, 1)} \mathcal{X}_1

Ces deux blocs sont écrits en biais, à quelque 40 ou 45°, le long du bord gauche du feuillet, dans une main plus rapide que celle du corps ; ils sont donnés aussi loin qu'ils vont.

Donc : se donner un morphisme de topos \mathcal{X}_0 \to \mathcal{X}_1 revient au = que de se donner un topos \mathcal{X}, (un sous-topos ouvert \mathcal{X}_0) et le fermé complémentaire \mathcal{X}_1, de telle façon, que le foncteur \varphi soit, non seulement exact à gauche, mais commutant aux \varprojlim quelconques, i.e. admettant un adjoint à gauche f^{*}, et que de plus ce dernier soit exact à gauche.

Il écrit le signe = pour le mot « même » ; il le refait à la page 6. Le mot qui qualifie ici le foncteur \varphi n'est pas lu : le tracé ressemble à celui de « véritablement » à la page précédente, mais la syntaxe ne le prend pas.

Alors l'inclusion i : \mathcal{X}_1 \longrightarrow \mathcal{X} est strict. asphérique (réciproque ?) et la suite exacte de cohomologie relative

(5) \qquad \longrightarrow H^{i}_{\mathcal{X}_1}(\mathcal{X}, F) \longrightarrow H^{i}(\mathcal{X}, F) \longrightarrow H^{i}(\mathcal{X}_0, F) \longrightarrow H^{i+1}_{\mathcal{X}_1}(\mathcal{X}, F) \longrightarrow \cdots

peut s'écrire

(5') \qquad \longrightarrow H^{i}_{\mathcal{X}_1}(\mathcal{X}, F) \longrightarrow H^{i}(\mathcal{X}_1, F_1) \longrightarrow H^{i}(\mathcal{X}_0, F_0) \longrightarrow H^{i+1}_{\mathcal{X}_1}(\mathcal{X}, F) \longrightarrow \cdots

On pose H^{i}_{\mathcal{X}_1}(\mathcal{X}, F) \overset{\text{déf}}{=} H^{i}\bigl(\mathcal{X}_1 \bmod \mathcal{X}_0,\ F = (F_0, F_1, u)\bigr) Sous « \mathcal{X}_1 \bmod \mathcal{X}_0 » il porte une accolade et, dessous, « f sous-entendu ». aussi H^{i}\bigl(\{\mathcal{X}_1 \bmod \mathcal{X}_0\},\ F_1\bigr) \qquad \text{si } F_0 = f^{*}(F_1),\ u \text{ tautolog.}

Dire que f : \mathcal{X}_0 \longrightarrow \mathcal{X}_1 est ~~asphérique~~ équiv. faible, signifie aussi que \mathcal{X}_0 \longrightarrow \mathcal{X} (immersion ouverte) l'est.

N.B. Les faisceaux loc. constants sur \mathcal{X} sont ceux de la forme (F_1, f^{*}(F_1), u\ \text{tautol.}), avec F_1 loc. cst. sur \mathcal{X}_1.

L'ordre des deux premiers termes est inversé par rapport à la convention (F_0, F_1, u) posée à la page 3 ; le feuillet est laissé tel quel. Un faisceau de flèches part du mot \mathcal{X} vers la ligne précédente, où il corrige un premier \mathcal{X}_1.

2) Partons inversement d'un topos \mathcal{X} et d'un sous-topos ouvert (6) \qquad \mathcal{X}_0 \subset \mathcal{X}, \Longleftrightarrow sous-objet de l'objet final e_{\mathcal{X}} de \mathcal{F}(\mathcal{X}), d'où topos résiduel \mathcal{X}_1. On peut considérer aussi que la donnée de \mathcal{X}_0 correspond celle d'un morphisme \pi : \mathcal{X} \longrightarrow \mathrm{Top}(\Delta_1) \mathcal{X}_0 étant l'image inverse du sous-topos ouvert « universel » \{0\} dans \mathrm{Top}(\Delta_1), et \mathcal{X}_1 l'image inverse du sous-topos fermé \{1\}.

D'autre part, la donnée de (\mathcal{X}, \mathcal{X}_0) équivaut à celle de (\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1, \varphi) \qquad \varphi : \mathcal{F}(\mathcal{X}_0) \longrightarrow \mathcal{F}(\mathcal{X}_1) ~~foncteur~~ exact : g.

Au-dessus du \varphi il inscrit, entre crochets, f^{*} surmontant un double trait vertical.

On s'intéresse à des conditions « se recolle » sur (\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1, \varphi) qui assurent que les deux inclusions \mathcal{X}_0 \longrightarrow \mathcal{X} \longleftarrow \mathcal{X}_1 soient des équivalences faibles. Les cas qui nous intéressent le plus, sont les cas où \varphi = f_{*} commutant en fait aux \varprojlim quelconques, i.e. un adjoint à droite f^{*} — comme p. ex. celui du § précédent, où on suppose de plus que f^{*} est exact à gauche (mais on n'a pas envie de le supposer ici).

« à droite » : les pages 4 et 7 écrivent « à gauche » au même endroit de la même phrase. Le feuillet est laissé tel quel.

Un cas particulièrement important pour nous est celui où \mathcal{X} est de la forme \mathrm{Top}(X), X dans (\mathrm{Cat}), il revient au = de dire que

\mathcal{X}_0, \mathcal{X}_1 sont de la forme ~~\widehat{X}_0, \widehat{X}_1~~ \mathrm{Top}(X_0), \mathrm{Top}(X_1), et que \varphi commute aux \varprojlim quelconques i.e. un adjoint à g. f^{*}, qui est bien défini par un foncteur X_1 \longrightarrow \widehat{X}_0 ( par « continuité » en \varinjlim \widehat{X}_1 \xrightarrow{\ f^{*}\ } \widehat{X}_0 ), correspondant i.e. à un bifoncteur (x_0, x_1) \mapsto h(x_1, x_0), \qquad X_0^{\mathrm{op}} \times X_1 \longrightarrow (\mathrm{Ens}).

Feuillet séparé

La page 9 n'est pas sur le sujet des pages 3 à 7 : elle porte, sur le tiers supérieur d'un feuillet par ailleurs vide, un carré de flèches et une comparaison de deux limites projectives sur une catégorie filtrante.

\begin{tikzcd} A \arrow[d] & A' \arrow[l] \arrow[d] \\ B & B' \arrow[l] \end{tikzcd}

A filtrant A_{/b} \longleftrightarrow A_{b} \varprojlim_{A_{/b}} \bigl(F \mid A_{/b}\bigr) \overset{\text{iso}}{\Longrightarrow} \varprojlim_{A_b} F \mid A_{b} Pour tout F sur A (ou sur A_{/b})

f dans Hot

Ces trois derniers mots sont écrits verticalement le long du bord droit du feuillet.