Cote n° 116, pages 1–10 — Lecture modernisée

Cote n° 116 · pages 1–10 · Lecture modernisée · Mapping-cône etc. : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1981]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

En topologie, une application continue $f : X_{0} \to X_{1}$ se remplace par une inclusion sans rien perdre de son type d'homotopie : on fabrique le cylindre de $f$, en posant $X_{0} \times [0,1]$ à côté de $X_{1}$ et en collant le bout $X_{0} \times \{1\}$ sur $X_{1}$ par $f$. Le cylindre se rétracte sur $X_{1}$, et $X_{0}$ y est plongé à l'autre bout. L'application est devenue une inclusion, et la cohomologie relative de cette inclusion est celle du cône de $f$.

Les topos — les « espaces généralisés » de Grothendieck, définis par leurs faisceaux plutôt que par leurs points — admettent la même construction, et ces feuillets l'écrivent. Un topos qui contient un ouvert et le fermé complémentaire se reconstitue à partir des deux morceaux et d'un foncteur qui dit comment les faisceaux de l'ouvert « débordent » sur le fermé : c'est le recollement. Le résultat principal des pages 3 et 4 est qu'un morphisme de topos est la même chose qu'un recollement d'un type particulier — celui où le foncteur de recollement a un adjoint à gauche exact à gauche. Le topos ainsi recollé est le cylindre du morphisme ; son fermé en est un rétracte, avec la même cohomologie, et la suite exacte de la paire (ouvert, tout) devient la cohomologie relative du morphisme.

Les pages 5 à 7 prennent le point de vue inverse — partir d'un topos muni d'un ouvert, ou d'un recollement quelconque — et se demandent quand les deux inclusions sont des équivalences au sens de l'homotopie. Elles finissent sur le cas le plus concret : quand tout est un topos de préfaisceaux sur une petite catégorie, se donner le recollement revient à se donner une famille d'ensembles $h(x_{1}, x_{0})$ qui joue le rôle des flèches allant d'un morceau à l'autre.

Le vocabulaire est celui du début des années 1980 : il écrit d'abord « asphérique », puis le barre à deux reprises pour « équivalence faible ».

Keywords — Artin gluing, recollement of topoi, mapping cylinder, Sierpinski topos, open subtopos, cohomology with supports, profunctor collage, weak homotopy equivalence

Le fil du dossier, et les conventions

1.Au dos de la chemise (page 2) : l'adjonction triple d'un foncteur dont l'image inverse est pleinement fidèle.
2.Le cylindre d'un morphisme de topos (pages 3 et 4) : faisceaux, rétraction, cohomologie, caractérisation.
3.Point de vue inverse (pages 5 à 7) : ouverts et $\mathrm{Top}(\Delta_{1})$, recollements quelconques, cas des préfaisceaux.
4.Un feuillet séparé (page 9).

Conventions. $\mathcal{X}$, $\mathcal{X}_{0}$, $\mathcal{X}_{1}$ sont des topos, $\mathcal{F}(\mathcal{X})$ la catégorie des faisceaux sur $\mathcal{X}$. Aux pages 6 et 7, les lettres droites $X$, $X_{0}$, $X_{1}$ sont de petites catégories et $\widehat{X} = \mathrm{Top}(X)$ le topos des préfaisceaux sur $X$.¹ Un morphisme de topos $f$ a une image directe $f_{*}$ et une image inverse $f^{*}$, exacte à gauche et adjointe à gauche de $f_{*}$. $\mathrm{Top}(\Delta_{1})$ est le topos de Sierpiński, des préfaisceaux sur la catégorie $0 \to 1$.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la réciproque demandée à la page 4 ; les conditions sur un recollement qui rendent les deux inclusions équivalences faibles, que la page 6 se propose de chercher.

2–2

Au dos de la chemise (page 2)

La chemise porte seule, de sa main, « Mapping cone » ; son verso est un pense-bête. On y lit l'adjonction triple $i_{!} \dashv i^{*} \dashv i_{*}$ associée à un foncteur $i : A_{0} \to A$ entre petites catégories, entre les topos de préfaisceaux $\widehat{A}_{0}$ et $\widehat{A}$, dans le cas où $i^{*}$ est pleinement fidèle, $i_{*}$ et $i_{!}$ étant alors des localisations. C'est exactement la condition pour que \[ i_{!}\, i^{*}(F) \xrightarrow{\;\sim\;} F, \qquad F \xrightarrow{\;\sim\;} i_{*}\, i^{*}(F), \] la coünité et l'unité des deux adjonctions étant des isomorphismes pour tout $F$. Suit une flèche qui « induit iso sur $\Gamma$, puis $H^{*}$ ».²

3–4

Le cylindre d'un morphisme de topos (pages 3 et 4)

La construction. Soit $f : \mathcal{X}_{0} \to \mathcal{X}_{1}$ un morphisme de topos. On le regarde comme un topos fibré sur $\Delta_{1}$, de fibres $\mathcal{X}_{0}$ et $\mathcal{X}_{1}$, et l'on considère le topos total $\mathcal{X} = C(f)$, dont les faisceaux sont les triples \[ (F_{0}, F_{1}, u), \qquad F_{0} \in \mathcal{F}(\mathcal{X}_{0}),\ F_{1} \in \mathcal{F}(\mathcal{X}_{1}), \qquad u : f^{*}(F_{1}) \to F_{0}, \] ou, ce qui revient au même par adjonction, $F_{1} \to f_{*}(F_{0})$.

Dans $\mathcal{X}$, $\mathcal{X}_{0}$ est un sous-topos ouvert, d'inclusion $j : \mathcal{X}_{0} \to \mathcal{X}$, $j^{*}(F_{0}, F_{1}, u) = F_{0}$, et $\mathcal{X}_{1}$ le fermé complémentaire, d'inclusion $i_{1} : \mathcal{X}_{1} \to \mathcal{X}$, $i_{1}^{*}(F_{0}, F_{1}, u) = F_{1}$. Le foncteur de recollement du couple (ouvert, fermé), $i_{1}^{*}\, j_{*}$, n'est autre que \[ \varphi = f_{*} : \mathcal{F}(\mathcal{X}_{0}) \to \mathcal{F}(\mathcal{X}_{1}), \] puisque $j_{*}(F_{0}) = (F_{0}, f_{*}F_{0}, \mathrm{id})$.³

La rétraction. Le foncteur \[ r^{*} : \mathcal{F}(\mathcal{X}_{1}) \to \mathcal{F}(\mathcal{X}), \qquad G \longmapsto \bigl(f^{*}G,\ G,\ \mathrm{id}\bigr), \] est exact à gauche et adjoint à gauche de $i_{1}^{*}$ : un morphisme $(f^{*}G, G, \mathrm{id}) \to (F_{0}, F_{1}, u)$ est déterminé par sa composante $G \to F_{1}$. Il définit donc un morphisme de topos $r : \mathcal{X} \to \mathcal{X}_{1}$, avec $r_{*} = i_{1}^{*}$, $r\, i_{1} = \mathrm{id}$ et $r\, j = f$.⁴

Cohomologie. L'inclusion du fermé est « strictement une équivalence faible », et ce qu'il écrit après « i.e. » est que, pour tout faisceau abélien $F = (F_{0}, F_{1}, u)$ sur $\mathcal{X}$, \[ H^{*}(\mathcal{X}, F) \xrightarrow{\;\sim\;} H^{*}\bigl(\mathcal{X}_{1}, i_{1}^{*}F\bigr) = H^{*}(\mathcal{X}_{1}, F_{1}). \] En effet, une section globale de $F$ est un couple $(s_{0}, s_{1})$ avec $s_{0} = u(s_{1})$, donc $\Gamma(\mathcal{X}, F) = \Gamma(\mathcal{X}_{1}, F_{1}) = \Gamma(\mathcal{X}_{1}, r_{*}F)$ ; et $r_{*} = i_{1}^{*}$ est exact et, étant adjoint à droite d'un foncteur exact, préserve les injectifs.⁵

Caractérisation (page 4). Se donner un morphisme de topos $\mathcal{X}_{0} \to \mathcal{X}_{1}$ revient au même que se donner un topos $\mathcal{X}$, un sous-topos ouvert $\mathcal{X}_{0}$ et son fermé complémentaire $\mathcal{X}_{1}$, de telle façon que le foncteur de recollement $\varphi$, qui est toujours exact à gauche, commute aux limites projectives quelconques — c'est-à-dire admette un adjoint à gauche $f^{*}$ — et que cet adjoint soit exact à gauche.⁶

La suite de la paire. La suite exacte de cohomologie à supports dans le fermé, \[ \cdots \to H^{i}_{\mathcal{X}_{1}}(\mathcal{X}, F) \to H^{i}(\mathcal{X}, F) \to H^{i}(\mathcal{X}_{0}, F_{0}) \to H^{i+1}_{\mathcal{X}_{1}}(\mathcal{X}, F) \to \cdots, \] s'écrit donc \[ \cdots \to H^{i}_{\mathcal{X}_{1}}(\mathcal{X}, F) \to H^{i}(\mathcal{X}_{1}, F_{1}) \to H^{i}(\mathcal{X}_{0}, F_{0}) \to H^{i+1}_{\mathcal{X}_{1}}(\mathcal{X}, F) \to \cdots, \] et l'on pose \[ H^{i}\bigl(\mathcal{X}_{1} \bmod \mathcal{X}_{0},\ (F_{0}, F_{1}, u)\bigr) \overset{\text{déf}}{=} H^{i}_{\mathcal{X}_{1}}(\mathcal{X}, F), \] $f$ étant sous-entendu. Pour $F = r^{*}(F_{1})$, c'est-à-dire $F_{0} = f^{*}F_{1}$ et $u$ tautologique, on note $H^{i}(\{\mathcal{X}_{1} \bmod \mathcal{X}_{0}\}, F_{1})$ : c'est la cohomologie relative du morphisme $f$ à coefficients dans $F_{1}$, et la suite ci-dessus devient la suite longue \[ \cdots \to H^{i}(\{\mathcal{X}_{1} \bmod \mathcal{X}_{0}\}, F_{1}) \to H^{i}(\mathcal{X}_{1}, F_{1}) \xrightarrow{f^{*}} H^{i}(\mathcal{X}_{0}, f^{*}F_{1}) \to \cdots. \]

5–7

Le point de vue inverse (pages 5 à 7)

Équivalences faibles. Pour que $f$ soit une équivalence faible, il faut et il suffit que l'immersion ouverte $j : \mathcal{X}_{0} \to \mathcal{X}$ le soit : on a $f = r\, j$, et $r$ est une équivalence faible dès que $i_{1}$ en est une, puisque $r\, i_{1} = \mathrm{id}$.⁷

N.B. Les faisceaux localement constants sur $\mathcal{X}$ sont ceux de la forme $(f^{*}F_{1}, F_{1}, u)$ avec $u$ tautologique et $F_{1}$ localement constant sur $\mathcal{X}_{1}$ — autrement dit, ceux de la forme $r^{*}F_{1}$. C'est ce qui rend $r$ compatible aux systèmes locaux, et pas seulement à la cohomologie.⁸

Un ouvert, c'est un morphisme vers le topos de Sierpiński. Partons inversement d'un topos $\mathcal{X}$ et d'un sous-topos ouvert $\mathcal{X}_{0} \subset \mathcal{X}$, c'est-à-dire d'un sous-objet de l'objet final de $\mathcal{F}(\mathcal{X})$, d'où le topos fermé résiduel $\mathcal{X}_{1}$. La même donnée est celle d'un morphisme \[ \pi : \mathcal{X} \longrightarrow \mathrm{Top}(\Delta_{1}), \] $\mathcal{X}_{0}$ étant l'image inverse du sous-topos ouvert « universel » $\{0\}$ et $\mathcal{X}_{1}$ celle du fermé $\{1\}$.⁹

Recollements quelconques (page 6). La donnée de $(\mathcal{X}, \mathcal{X}_{0})$ équivaut à celle d'un triple $(\mathcal{X}_{0}, \mathcal{X}_{1}, \varphi)$ où $\varphi : \mathcal{F}(\mathcal{X}_{0}) \to \mathcal{F}(\mathcal{X}_{1})$ est un foncteur exact à gauche quelconque. On cherche des conditions sur ce triple qui assurent que les deux inclusions \[ \mathcal{X}_{0} \longrightarrow \mathcal{X} \longleftarrow \mathcal{X}_{1} \] soient des équivalences faibles. Les cas qui intéressent le plus sont ceux où $\varphi$ commute aux limites projectives quelconques, c'est-à-dire admet un adjoint à gauche $f^{*}$ — comme au paragraphe précédent, où l'on supposait de plus $f^{*}$ exact à gauche, ce qu'on ne veut pas supposer ici.¹⁰ Le dossier ne donne pas ces conditions.

Le cas des préfaisceaux (page 7). Supposons $\mathcal{X} = \mathrm{Top}(X)$ pour une petite catégorie $X$. Un sous-objet de l'objet final de $\widehat{X}$ est un crible, ensemble d'objets stable par les flèches qui y arrivent ; il découpe $X$ en deux sous-catégories pleines $X_{0}$ (le crible) et $X_{1}$ (le complémentaire), et $\mathcal{X}_{0} = \widehat{X_{0}}$, $\mathcal{X}_{1} = \widehat{X_{1}}$. Le foncteur de recollement commute alors aux limites quelconques, et son adjoint à gauche, qui commute aux limites inductives, est déterminé par sa restriction \[ X_{1} \longrightarrow \widehat{X_{0}}, \] c'est-à-dire par un bifoncteur \[ h : X_{0}^{\mathrm{op}} \times X_{1} \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \qquad (x_{0}, x_{1}) \longmapsto h(x_{1}, x_{0}), \] qui est $h(x_{1}, x_{0}) = \mathrm{Hom}_{X}(x_{0}, x_{1})$ ; il n'y a pas de flèche de $X_{1}$ vers $X_{0}$, puisque $X_{0}$ est un crible. Réciproquement, un bifoncteur $h$ quelconque définit une catégorie $X$ d'objets $\mathrm{Ob}\, X_{0} \sqcup \mathrm{Ob}\, X_{1}$, dont $\widehat{X}$ est le recollement correspondant.¹¹

9–9

Un feuillet séparé (page 9)

Un carré de flèches $A' \to A$ au-dessus de $B' \to B$, et, pour $A$ filtrante et $b$ un objet de $B$, une comparaison entre la catégorie $A_{/b}$ des objets de $A$ au-dessus de $b$ et la fibre $A_{b}$ : \[ \varprojlim_{A_{/b}} \bigl(F|_{A_{/b}}\bigr) \xrightarrow{\;\sim\;} \varprojlim_{A_{b}} \bigl(F|_{A_{b}}\bigr) \qquad \text{pour tout $F$ sur $A$ ou sur $A_{/b}$.} \] La page ne dit pas ce que doit être le foncteur $A \to B$. L'isomorphisme vaut, par exemple, quand $A \to B$ est une catégorie précofibrée : l'inclusion de la fibre $A_{b} \to A_{/b}$ admet alors un adjoint à gauche, donné par le transport le long de la flèche structurale, et un foncteur qui admet un adjoint à gauche ne change pas les limites projectives.¹²

Notes

La distinction typographique est de la transcription ; le feuillet ne sépare les deux tracés que par la forme de la lettre. ↩
Les membres de droite de $i_{!} =$ et $i^{*} =$ sont un même glyphe, coupé par le bord et non lu. Le feuillet porte aussi une rétraction $p_{A} : A \to A_{0}$, un triangle de flèches $p$, une flèche $p_{A!}\, i_{!}(\cdot) \to p_{A!}(F)$ dont l'argument n'est pas lu, et un « $\mathrm{Ex}_{\alpha}$ » entre deux mots illisibles. L'abréviation « pl. fid. » de la première ligne n'est pas assurée ; c'est elle qui rend les deux isomorphismes vrais pour tout $F$, et on la retient pour cette raison. Les exposants $0$ sont écrits sur le $i$. ↩
C'est le recollement d'Artin des topos (SGA 4, IV, 9.5) le long du foncteur exact à gauche $f_{*}$ ; le nom n'est pas sur la page. Il appelle $\mathcal{X}$ le « mapping-cone ». Le topos obtenu est plutôt l'analogue du cylindre : sa propre note en marge l'écrit $\mathcal{X} = (\mathcal{X}_{0} \times \widehat{\Delta_{1}}) \amalg_{\mathcal{X}_{0}} \mathcal{X}_{1}$, $\mathcal{X}_{0} \times \widehat{\Delta_{1}}$ étant recollé à $\mathcal{X}_{1}$ par $f$ le long de $\mathcal{X}_{0} \times \{1\}$ ; et c'est la cohomologie relative de $\mathcal{X}$ modulo $\mathcal{X}_{0}$, ci-dessous, qui est celle du cône. On garde son mot pour la section, avec cette précision. ↩
La note marginale de la page 3 parle d'une « rétraction » de $\mathcal{X}$ sur $\mathcal{X}_{1}$ et écrit « $i_{*}(F_{1}) = (f^{*}(F_{1}), F_{1}, \mathrm{id})$ ». Le foncteur ainsi défini est l'image inverse de la rétraction, adjoint à gauche de $i_{1}^{*}$, et non une image directe ; le nom $r$ est le nôtre. ↩
La page écrit « strictement asphérique », barre « asphérique » et écrit au-dessus « équiv. f. », puis donne l'isomorphisme de cohomologie après un « i.e. ». La démonstration est la nôtre ; elle établit l'énoncé cohomologique, qui est ce que la page écrit. L'énoncé homotopique demande en outre une homotopie entre $i_{1} r$ et l'identité, que le cylindre fournit et que la page ne détaille pas. ↩
L'équivalence « commute aux limites quelconques, i.e. admet un adjoint à gauche » vaut entre topos de Grothendieck par le théorème de l'adjoint spécial, un topos étant complet, bien normé et muni d'une petite famille cogénératrice. La page demande « réciproque ? » à propos de l'asphéricité du fermé, avec un point d'interrogation en marge. ↩
La page écrit l'énoncé, barrant encore « asphérique » pour « équiv. faible » ; la raison par $f = rj$ est la nôtre, et elle repose sur l'énoncé homotopique de la page 3, qui n'est vérifié ici qu'en cohomologie. ↩
La page écrit $(F_{1}, f^{*}(F_{1}), u)$, dans l'ordre inverse de la convention $(F_{0}, F_{1}, u)$ de la page 3. La justification en une ligne est la nôtre : sur un recouvrement où $F$ est constant, $u$ est un isomorphisme, donc partout. ↩
Le topos de Sierpiński classifie les sous-objets de l'objet final ; la formulation est sur la page, le nom ne l'est pas. ↩
La page écrit ici « un adjoint à droite $f^{*}$ », là où les pages 4 et 7 écrivent « à gauche » dans la même phrase. Un foncteur qui commute aux limites projectives a un adjoint à gauche ; on corrige. ↩
Le crible et la description de $h$ par les flèches de $X$ sont les nôtres ; la page s'arrête sur le bifoncteur. Une telle catégorie $X$ est ce qu'on appelle aujourd'hui le collage, ou cographe, du profoncteur $h$. ↩
Cette hypothèse et l'argument sont les nôtres. En marge, écrit verticalement : « $f$ dans Hot », le dernier mot étant lu avec doute. ↩