Cote n° 115 · batch 1 · pages 1–14 · Lecture modernisée · « Correspondances » fonctorielles. Dualité des topos — lecture modernisée
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

3–3

La dualité d'Isbell, telle que la cote 115 l'établit

Dans tout ce qui suit, \(A\) et \(B\) sont de petites catégories. On note \(\widehat{A} = [A^{\mathrm{op}}, \mathbf{Ens}]\) la catégorie des préfaisceaux et \(A^{\vee} = [A, \mathbf{Ens}]\) celle des copréfaisceaux.¹ Toutes deux sont des catégories de préfaisceaux — \(A^{\vee} = \widehat{A^{\mathrm{op}}}\) — donc des topos de Grothendieck : c'est à quoi renvoie le titre du dossier. On note \(y\) le plongement de Yoneda.

Deux décorations reviennent sans cesse. Un point d'exclamation en indice, \(\underline{\mathrm{Hom}}_{!}\), désigne la sous-catégorie pleine des foncteurs commutant aux colimites ; en exposant, \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}\), ceux qui commutent aux limites ; doublé, la version à deux variables, séparément en chaque argument.² En langue d'aujourd'hui : cocontinus et continus.

3–5

Noyaux entre topos de préfaisceaux

Le premier mouvement est un calcul de correspondances, sur le modèle d'un noyau intégral \(k(x,y)\) transportant les fonctions d'un espace à un autre.

Soient \(p_{A}, p_{B}\) les projections de \(A \times B\), et convenons que le hom relatif désigne l'image directe du hom interne le long de la projection qui oublie la variable restante.³ Pour \(X \in (A \times B)^{\wedge}\), les deux transformées sont \[ {}^{s}X(L) = \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(p_{B}^{*}L,\ X), \qquad {}^{d}X(M) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(p_{A}^{*}M,\ X), \qquad L \in \widehat{A},\ M \in \widehat{B}, \] et un unique accouplement les relie : \[ X(L,M) = \mathrm{Hom}(L \boxtimes M,\ X) \;\cong\; \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}\bigl(L,\ {}^{d}X(M)\bigr) \;\cong\; \mathrm{Hom}_{\widehat{B}}\bigl(M,\ {}^{s}X(L)\bigr), \qquad L \boxtimes M = p_{B}^{*}L \times p_{A}^{*}M . \] Le produit externe \(\boxtimes : \widehat{A} \times \widehat{B} \to (A \times B)^{\wedge}\) est pleinement fidèle.

La variance mérite qu'on s'y arrête, car tout le reste en dépend. Puisque \((A\times B)^{\wedge} = [A^{\mathrm{op}} \times B^{\mathrm{op}}, \mathbf{Ens}]\), le noyau \(X\) est contravariant en chacun de ses deux arguments ; \({}^{s}X\) et \({}^{d}X\) sont donc des foncteurs contravariants \[ {}^{s}X : \widehat{A}^{\,\mathrm{op}} \longrightarrow \widehat{B}, \qquad {}^{d}X : \widehat{B}^{\,\mathrm{op}} \longrightarrow \widehat{A}, \] et les isomorphismes ci-dessus les rendent mutuellement adjoints à droite : c'est une adjonction entre \(\widehat{A}^{\,\mathrm{op}}\) et \(\widehat{B}\), autrement dit une adjonction duale et non une adjonction ordinaire.⁴

La page 5 dispose onze catégories de foncteurs en roue, dont toutes les flèches sont des équivalences. Le centre est le noyau lui-même ; la couronne intérieure le curryfie nûment ; le bord le curryfie après (co)complétion, d'un côté (\(\widehat{A}^{\,\mathrm{op}}\), \(A^{\vee}\)) ou des deux :⁵

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\widehat{B}_{\to}) & & & & & & (\widehat{A}_{\to}) \\
& \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{B}^{\,\mathrm{op}},\widehat{A}) \arrow[rr, bend left=22] \arrow[dd, bend right=22] & & \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}(\widehat{A}^{\,\mathrm{op}},\widehat{B}^{\,\mathrm{op}};\,\mathbf{Ens}) & & \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\,\mathrm{op}},\widehat{B}) \arrow[ll, bend right=22] \arrow[dd, bend left=22] & \\
& & \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\mathrm{op}},\widehat{A}) \arrow[ul] & & \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\mathrm{op}},\widehat{B}) \arrow[ur] & & \\
& \underline{\mathrm{Hom}}_{!}^{!}(A^{\vee},\widehat{B}^{\,\mathrm{op}};\,\mathbf{Ens}) & & (A\times B)^{\wedge} \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[uu, no head, "\wedge\wedge" description] \arrow[ll, no head, "\vee\wedge" description] \arrow[rr, no head, "\wedge\vee" description] \arrow[dd, no head, "\vee\vee" description] & & \underline{\mathrm{Hom}}^{!}_{!}(\widehat{A}^{\,\mathrm{op}},B^{\vee};\,\mathbf{Ens}) & \\
& & \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\mathrm{op}},\widehat{B}) \arrow[dl] & & \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\mathrm{op}},\widehat{A}) \arrow[dr] & & \\
& \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee},\widehat{B}) \arrow[uu, bend left=22] \arrow[rr, bend right=22] & & \underline{\mathrm{Hom}}_{!!}(A^{\vee},B^{\vee};\,\mathbf{Ens}) & & \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(B^{\vee},\widehat{A}) \arrow[uu, bend right=22] \arrow[ll, bend left=22] & \\
(A^{\vee}_{\to}) & & & & & & (B^{\vee}_{\to})
\end{tikzcd}

Les quatre rayons sans pointe sont le repère de variance de la page, non des foncteurs : chaque quadrant fixe un choix de présentation (\(\wedge\) pour le versant préfaisceaux, \(\vee\) pour les copréfaisceaux), et l'annotation d'angle nomme la variable mise en jeu. Les diagonales prolongent le long de Yoneda, et le point d'exclamation enregistre ce que le prolongement doit préserver pour être une équivalence — un foncteur issu d'une (co)complétion libre est déterminé par sa restriction aux générateurs exactement lorsqu'il commute aux (co)limites que cette complétion ajoute.⁶ Le même énoncé est ensuite porté aux familles finies \((A_{i})_{i \in I}\), \(I\) étant scindé en une part covariante et une part contravariante.

7–7

La dualité

Tout ce qui précède se spécialise. Prenons \(B = A^{\mathrm{op}}\) et, pour noyau, le hom lui-même : \(H_{A} = \mathrm{Hom}_{A} \in (A \times A^{\mathrm{op}})^{\wedge}\) — c'est la remarque portée par Grothendieck dans la marge gauche de la page 3, que c'est là l'élément canonique de cette catégorie. L'adjonction duale du paragraphe précédent devient une adjonction entre \(\widehat{A}\) et \((A^{\vee})^{\mathrm{op}}\) : c'est la dualité d'Isbell.

Explicitement, ses deux foncteurs sont \[ \mathcal{O}(\Phi)(a) = \widehat{A}\bigl(\Phi,\ y a\bigr), \qquad \mathrm{Spec}(\Psi)(a) = A^{\vee}\bigl(\Psi,\ \mathrm{Hom}_{A}(a,-)\bigr), \] respectivement covariant et contravariant en \(a\), de sorte que \(\mathcal{O}\Phi \in A^{\vee}\) et \(\mathrm{Spec}\,\Psi \in \widehat{A}\) ; et \[ H_{A}(\Phi, \Psi) \;\cong\; \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}\bigl(\Phi,\ \mathrm{Spec}\,\Psi\bigr) \;\cong\; \mathrm{Hom}_{A^{\vee}}\bigl(\Psi,\ \mathcal{O}\Phi\bigr), \] c'est-à-dire \(\mathcal{O} \dashv \mathrm{Spec}\) comme foncteurs \(\widehat{A} \rightleftarrows (A^{\vee})^{\mathrm{op}}\).⁷

Chaque foncteur est déterminé à isomorphisme unique près par deux propriétés, que le manuscrit énonce toutes deux : il se restreint le long de \(y\) au hom covariant, et il transforme les colimites de sa source en limites de son but.⁸ Sur les représentables, l'accouplement redonne le hom : \(H_{A}(y a, \mathrm{Hom}_{A}(b,-)) \cong \mathrm{Hom}_{A}(a,b)\), puisque \(\mathcal{O}(y a) = \mathrm{Hom}_{A}(a,-)\) et que Yoneda fait le reste.

L'unité et la counité \[ \eta_{\Phi} : \Phi \longrightarrow \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}\,\Phi, \qquad \varepsilon_{\Psi} : \Psi \longrightarrow \mathcal{O}\,\mathrm{Spec}\,\Psi \] sont donc des isomorphismes sur les représentables. Le sont-elles ailleurs ? C'est la question que le dossier pose et laisse ouverte :

Les morphismes d'adjonction sont-ils des isomorphismes seulement pour les représentables ? Est-ce une équivalence faible — sans doute pas.

C'est la question de la réflexivité de l'algèbre linéaire, un cran plus haut. Pour les espaces vectoriels sur un corps, \(V \to V^{**}\) est un isomorphisme exactement sur les espaces de dimension finie ; ici, les objets où \(\eta\) est inversible sont dits réflexifs, ou auto-duaux au sens d'Isbell, et ce sont eux que construit la section suivante.⁹

Dualement, il existe une contraction, cocontinue en chaque variable, \[ H^{A} : \widehat{A} \times A^{\vee} \longrightarrow \mathbf{Ens}, \qquad \Phi \star_{A} \Psi \;=\; \int^{a \in A} \Phi(a) \times \Psi(a), \] la cofin, qui coïncide avec le hom sur les représentables par le lemme de co-Yoneda, et qui donne \[ \widehat{A} \;\simeq\; \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, \mathbf{Ens}), \qquad A^{\vee} \;\simeq\; \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, \mathbf{Ens}), \] chacun des deux topos étant les fonctionnelles cocontinues sur l'autre.¹⁰

10–13

L'enveloppe

Les pages 10 et 11 construisent ce qu'on appelle aujourd'hui l'enveloppe d'Isbell. Soit \(A \hookrightarrow B\) pleinement fidèle et \(x\) un objet de \(B\). Les deux homs \(H_{x} = \mathrm{Hom}_{B}(-, x) \in \widehat{A}\) et \(H^{x} = \mathrm{Hom}_{B}(x, -) \in A^{\vee}\) se composent, par la composition de \(B\) : \[ H_{x}(a) \times H^{x}(b) \xrightarrow{\ \alpha_{x}\ } \mathrm{Hom}_{A}(a,b), \] et le but est \(\mathrm{Hom}_{A}\) et non \(\mathrm{Hom}_{B}\) précisément parce que \(A\) est pleine. En faisant abstraction de \(B\), soit \(\widetilde{A}\) la catégorie des triplets \((H_{*}, H^{*}, \alpha)\) avec \(H_{*} \in \widehat{A}\), \(H^{*} \in A^{\vee}\) et \(\alpha\) naturel. Un morphisme est un couple \[ \varphi_{*} : H_{*} \to H'_{*} \ \text{dans } \widehat{A}, \qquad \varphi^{*} : H'^{*} \to H^{*} \ \text{dans } A^{\vee}, \] covariant en une composante et contravariant en l'autre, compatible aux accouplements : \[ \alpha_{a,b}\bigl(u,\ \varphi^{*}(u')\bigr) = \alpha'_{a,b}\bigl(\varphi_{*}(u),\ u'\bigr). \] Tout plongement plein \(A \hookrightarrow B\) induit alors \(B \to \widetilde{A}\) ; la construction est fonctorielle en \(A\) ; et elle est canoniquement auto-duale, \(\widetilde{A}^{\,\mathrm{op}} \simeq \widetilde{A^{\mathrm{op}}}\), la dualité échangeant simplement les deux composantes.¹¹ \(\widehat{A}\) et \((A^{\vee})^{\mathrm{op}}\) s'y plongent tous deux, par \(\Phi \mapsto (\Phi, \mathcal{O}\Phi, \mathrm{ev})\) et dualement — c'est en ce sens que \(\widetilde{A}\) est le lieu où les deux versants de la dualité se rejoignent.

La page 13 place la complétion de Cauchy au centre. L'identité \[ \bigl(\mathrm{Kar}(A^{\mathrm{op}})\bigr)^{\mathrm{op}} \;\simeq\; \mathrm{Kar}(A) \] tient parce que le scindage des idempotents commute au passage à l'opposée, et que pour des catégories enrichies sur \(\mathbf{Ens}\) l'enveloppe de Karoubi \(\mathrm{Kar}\) est la complétion de Cauchy. Les rétractes de représentables sont réflexifs, donc \(\mathrm{Kar}(A)\) se place dans la part auto-duale de \(\widetilde{A}\).¹²

La page s'achève sur une mise en garde à propos des recollements, qu'il vaut de conserver parce que c'en est une et non une étape : étant donné \(N = M_{1} \cap M_{2}\) par des plongements pleins, on peut former \(\Sigma'\) à partir de \(M'_{1}\) et \(M'_{2}\) au-dessus ; mais même si les \(M'_{i} \to M_{i}\) sont des équivalences, les images ne sont pas nécessairement pleines dans \(\Sigma'\), ni \(N' \to N\) une équivalence.¹³

14–14

Coefficients

La dernière page fait prendre à la dualité ses valeurs dans une catégorie \(M\) plutôt que dans \(\mathbf{Ens}\). Pour \(M\) cocomplète, \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \;\simeq\; \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, M), \] propriété universelle de \(\widehat{A}\) comme cocomplétion libre de \(A\) ;¹⁴ et, pour \(M\) de plus complète, \[ \mathcal{F}(X, M)^{\mathrm{op}} \;\simeq\; \check{\mathcal{F}}(X, M^{\mathrm{op}}), \] qui échange faisceaux et cofaisceaux par passage à l'opposée. La page s'interrompt là.¹⁵