Fonds Grothendieck, cote n° 115, pages 1–14 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-08)Fable 5 (claude-fable-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)115
« Correspondances » fonctorielles. Dualité des topos : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 14 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[à partir de 1982]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/115.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Correspondances fonctorielles (pages 1 à 5)
Titre porté à l'encre sur la chemise : « Correspondances » fonctorielles —
Dualité des topos. chemise du dossier
Formules d'adjonction, en tête de page :
H_{A}\bigl(f^{*}(\Psi_{\varepsilon}),\ \Phi^{\varepsilon}\bigr)
\;\simeq\;
H_{B}\bigl(\Psi_{\varepsilon},\ f^{\varepsilon}_{!}(\Phi^{\varepsilon})\bigr)lecture incertaine des décorations \varepsilon et de la répartition
des indicesH_{A}\bigl(f^{*}(b),\ a\bigr) \;\simeq\; H_{B}\bigl(b,\ f^{\varepsilon}(a)\bigr)
= \mathrm{Hom}_{B}\bigl(b,\ f(a)\bigr),
\qquad
f^{\varepsilon}(a) = \varinjlim \cdotsle système d'indices de la colimite est illisible. Le reste de la page
— un cercle de catégories de foncteurs et de petits diagrammes — est un
premier état raturé de la roue de la page 5 ; lectures trop incertaines pour
être transcrites
page 1 de la main de l'auteur
En tête, à droite : \underline{\mathrm{Hom}}_{!} : sous-catégorie pleine de
\underline{\mathrm{Hom}} formée des foncteurs commutant aux
limites inductives ; \underline{\mathrm{Hom}}^{!} :
sous-catégorie pleine de \underline{\mathrm{Hom}} formée des foncteurs
commutant aux limites projectives.
En marge gauche : cas B = A^{\circ} : d'où l'élément canonique
H = H_{A} \in (A \times A^{\circ})^{\wedge} ; les prolongements
canoniques\widehat{A}^{\circ} \hookrightarrow A^{\vee}, …
le reste de la colonne marginale est trop raturé pour être transcrit
Le diagramme central, simplifié — l'original est un espalier d'une dizaine de
flèches marquées \approx, dont plusieurs biffées :
Le dispositif systématique : A \times B, avec les projections
p_{B} : A\times B \to A et p_{A} : A\times B \to B.
l'indice de la projection nomme le facteur supprimé — c'est la seule
lecture sous laquelle les formules qui suivent concordent entre elles\underline{\mathrm{Hom}}_{A}(X,Y) \overset{\mathrm{def}}{=}
p_{B*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}(X,Y),
\qquad
\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X,Y) \overset{\mathrm{def}}{=}
p_{A*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}(X,Y)\mathrm{Hom}_{A\times B}(X,Y)
\simeq \Gamma_{A\times B}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}(X,Y)
\simeq \Gamma_{A}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A}(X,Y)
\simeq \Gamma_{B}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X,Y),
\qquad X, Y \in (A\times B)^{\wedge}{}^{s}X(L) = \underline{\mathrm{Hom}}_{B}\bigl(p_{B}^{*}L,\ X\bigr)
= p_{A*}\,\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{B}^{*}L,\ X\bigr),
\qquad
{}^{d}X(M) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}\bigl(p_{A}^{*}M,\ X\bigr)
= p_{B*}\,\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{A}^{*}M,\ X\bigr)
(en marge : L \in \widehat{A}, M \in \widehat{B})
X(L,M) = \mathrm{Hom}\bigl(L \boxtimes M,\ X\bigr)
\simeq \mathrm{Hom}\bigl(L,\ {}^{d}X(M)\bigr)
\simeq \mathrm{Hom}\bigl(M,\ {}^{s}X(L)\bigr),
\qquad\text{où } L \boxtimes M = p_{B}^{*}L \times p_{A}^{*}M .
« Ces formules sont particulièrement intéressantes pour
L = a \in \mathrm{Ob}\,A, M = b \in \mathrm{Ob}\,B. »
lecture incertaine des deux membres de droite
« Soit X ; définissons B^{\circ} \to \widehat{A} (savoir
b \mapsto {}^{d}X(b) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(p_{A}^{*}(b), X))
… on trouve B^{\circ} \to \mathrm{Ens} : c'est , qui
s'écrit aussi \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(p_{B}^{*}(L), X) = {}^{s}X(L).
Interprétation duale pour {}^{d}X(M). »
passage interligné, lecture partiellement conjecturale
« (L,M) \mapsto L \boxtimes M : \widehat{A} \times \widehat{B} \to
(A\times B)^{\wedge} est pleinement fidèle. »
« le qui est le foncteur canonique … dit « de Yoneda » pour
\widehat{A} \times \widehat{B} »
\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(L\boxtimes M',\ L'\boxtimes N'\bigr)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(L,L') \boxtimes
\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(M',N')
\qquad \text{p.ex.}\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(L\boxtimes M',\ L'\boxtimes e_{B}\bigr)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(L,L') \boxtimes e_{B}
= p_{B}^{*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A}(L,L')
en particulier, faisant L' = e_{A} : …
la suite de la ligne est illisible
\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(p_{A}^{*}(M), \cdots\bigr)
\Leftarrow p_{B}^{*}\cdots (les flèches étant les flèches canoniques)
ligne partiellement illisible
Posant X^{M} \overset{\mathrm{def}}{=}
\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(p_{A}^{*}M,\ X\bigr), on trouve
donc (p_{B}^{*}L)^{M} \simeq p_{B}^{*}L\cdotsfin de formule incertaine
page 2 de la main de l'auteur
En marge haute, un recensement : A^{\circ}, \widehat{A}^{\circ}, A^{\vee}
et B^{\circ}, \widehat{B}^{\circ}, B^{\vee}, reliés par des flèches
croisées à \widehat{A}, \widehat{B}, avec la mention « (6 cas) » ;
au-dessous,
\bigl|\widehat{A}^{\circ} \text{ ou } A^{\vee}\bigr| \times
\bigl|\widehat{B}^{\circ} \text{ ou } B^{\vee}\bigr| \to \mathrm{Ens},
avec la mention « (4 cas) ».
lu d'abord « (4 co) », « (6 (co)) », non élucidé ; la lecture est
« (4 cas) », « (6 cas) », et les deux mentions dénombrent la roue
ci-dessous : quatre formes à trois arguments, six formes à deux arguments
NB en marge : A^{\circ} \to \widehat{A}^{\circ},
A^{\circ} \to A^{\vee} ; B^{\circ} \to \widehat{B}^{\circ},
B^{\circ} \to B^{\vee}.
La roue des catégories de foncteurs autour de
(A\times B)^{\wedge} = \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\circ};\,
\mathrm{Ens}) — un cercle porté par quatre rayons, avec une couronne
intérieure et un bord :
« toutes les flèches du diagramme … sont des équivalences de
catégories »
la roue de la page, relue sur le fac-similé à haute résolution : les
quatre rayons (axes vertical et horizontal) sont des traits fins sans
pointe, portant les marques de variance \wedge\wedge, \vee\wedge,
\wedge\vee, \vee\vee à mi-course ; les quatre annotations d'angle
(\widehat{B}_{\to}), (\widehat{A}_{\to}), (A^{\vee}_{\to}),
(B^{\vee}_{\to}) sont hors du cercle, une par quadrant. Onze catégories
distinctes : le centre ; six formes à deux arguments (les « 6 cas » de la
marge — les deux formes intérieures sont chacune écrites deux fois, aux
deux bouts d'un diamètre) ; quatre formes mixtes à trois arguments (les
« 4 cas »), aux quatre points cardinaux. Les huit arcs du bord, appuyés,
convergent tous vers ces quatre formes mixtes. Trois diagonales sortent du
centre vers le bord ; dans le seul quadrant supérieur droit la flèche fine
entre bord et couronne rentre,
\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ},\widehat{B}) \to
\underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ},\widehat{B}) — une restriction là où
les trois autres sont dessinées comme des prolongements. Une première
lecture avait réduit la roue à huit flèches rayonnantes ; le dessin
ci-dessus suit désormais la page trait par trait
En bas — familles d'indices : « I ens. d'indices, (A_i)_{i\in I} famille
de (petites) catégories. Si I' \subset I, on pose
A_{I'} = \prod_{i\in I'} A_i. »
I = \coprod_{j\in J} I_{j}, \qquad J = J^{+} \amalg J^{-},
\qquad I^{+} = \coprod_{j\in J^{+}} I_{j}, \quad
I^{-} = \coprod_{j\in J^{-}} I_{j}
« Je supposeI, J finis pour « plus safe ». »
\widehat{A_{I}} \;\simeq\;
\underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\Bigl(\prod_{j\in J^{-}} A_{I_{j}}^{\vee}\,,\
\prod_{j'\in J^{+}} \widehat{A_{I_{j'}}}^{\circ}\,;\ \mathrm{Ens}\Bigr)
avec des flèches \approx vers
\underline{\mathrm{Hom}}_{!}\Bigl(\prod_{j\in J^{-}} A_{I_{j}}^{\vee},\
\widehat{A_{I^{+}}}\Bigr),
\qquad
\underline{\mathrm{Hom}}^{!}\Bigl(\prod_{j'\in J^{+}}
\widehat{A_{I_{j'}}}^{\circ},\ A_{I^{-}}^{\vee}\Bigr)variances partiellement conjecturales
La dualité entre \widehat{A} et A^{\vee} (pages 7 à 9)
page 3 de la main de l'auteur\boxed{\ H_{A}(\Phi,\Psi)
= \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}\bigl(\Phi,\ \Psi_{A}(\Psi)\bigr)
\simeq \mathrm{Hom}_{A^{\vee}}\bigl(\Psi,\ \varphi_{A}(\Phi)\bigr)\ }
(en marge : \widehat{A}^{\circ} \xrightarrow{\varphi_{A}} A^{\vee},
A^{\vee\circ} \xrightarrow{\Psi_{A}} \widehat{A},
\widehat{A} \times A^{\vee\circ} \xrightarrow{H_{A}} \mathrm{Ens})
« i.e. on a A^{\vee\circ} \rightleftarrows \widehat{A}
(\varphi_{A}^{\circ}, \Psi_{A}), paire de foncteurs adjoints. »
NB — a) le triangle
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A^{\vee\circ} \arrow[rr, "\Psi_{A}"] & & \widehat{A} \\
& A \arrow[ul, hook] \arrow[ur, hook'] &
\end{tikzcd}
est commutatif, et \Psi_{A} commute aux limites projectives —
ces deux conditions caractérisent\Psi_{A} à iso.
unique près ; — b) de même pour
\widehat{A} \xrightarrow{\varphi_{A}^{\circ}} A^{\vee\circ} :
« commutatif, et \varphi_{A}^{\circ} commute aux et — et ces
conditions : \varphi_{A}^{\circ} à iso. unique près. »
En marge gauche : \varphi_{A^{\circ}} = \Psi_{A},
\Psi_{A^{\circ}} = \varphi_{A},
H_{A^{\circ}}(\Psi,\Phi) = H_{A}(\Phi,\Psi)
(formules à vérifier).
c)
\boxed{\ H_{A}(a,b) = \mathrm{Hom}_{A}(a,b)\ }
« donc H_{A} prolonge \mathrm{Hom}_{A}, et est déterminé à
iso. unique près par cette propriété, plus celle que H_{A} commute aux
limites … »
H_{A}(\Phi, b) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}(\Phi,\ b),
\qquad
H_{A}(a, \Psi) \simeq \mathrm{Hom}_{A^{\vee}}(\Psi,\ a)
= \mathrm{Hom}_{A^{\vee\circ}}(a,\ \Psi)seconde formule partiellement conjecturale
« Question : que penser des morphismes d'adjonction \alpha_{\Phi},
\beta_{\Psi} ? Iso (oui) seulement si \Phiresp.\Psi sont représentables ? Est-ce que c'est une équivalence
faible (sans doute pas). Les foncteurs \varphi_{A} et \Psi_{A} sont-ils
? »
« Relations avec les contractions : »
\boxed{\ H^{A} :\ (\Phi,\Psi) \longmapsto \Phi \star_{A} \Psi\ ;\quad
\widehat{A} \times A^{\vee} \longrightarrow \mathrm{Ens}\ }
d)
\boxed{\ H^{A}(a,b) = \mathrm{Hom}_{A}(b,a)\ }
« et H^{A} commute aux limites inductives, en quelles
conditions : iso. unique près. »
\boxed{\ \widehat{A} \xrightarrow{\ \sim\ }
\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, \mathrm{Ens}),
\qquad
A^{\vee} \xrightarrow{\ \sim\ }
\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, \mathrm{Ens})\ }la décoration du second Hom diffère du premier — point d'exclamation
placé autrement, lecture incertaine\Phi \star a = \Phi(a), \qquad a \star \Psi = \Psi(a)H^{A}(\Phi,\Psi) = \varphi^{A}(\Phi)(\Psi) \simeq \Psi^{A}(\Psi)(\Phi)le premier membre est précédé d'un symbole non élucidé
page entière biffé de trois grands traits obliques
Multivariances :
\Bigl(\prod_{i\in I} A_{i}\Bigr)^{\wedge},
\qquad
A_{1}^{\circ} \times A_{2}^{\circ} \times \cdots \times A_{n}^{\circ}
\to \mathrm{Ens},
\qquad
\widehat{A_{1}}^{\circ} \times \widehat{A_{2}} \times A_{3}^{\vee}
\times \cdotsla troisième liste de variances est partiellement illisibleX_{1} \otimes X_{2} \simeq \mathrm{Hom}(X_{1}^{\vee}, X_{2})
\simeq \mathrm{Hom}(X_{2}^{\vee}, X_{1})un membre intermédiaire, portant un 1 souligné, reste incertainF(X_{1}\boxtimes X_{2})
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\bigl(F(X_{1})^{\circ},\ F(X_{2})^{\circ};\
\mathrm{Ens}\bigr)
\simeq \cdots
\simeq \mathrm{Hom}\bigl(F(X_{1})^{\vee},\ F(X_{2})\bigr)
\simeq \mathrm{Hom}\bigl(F(X_{2})^{\vee},\ F(X_{1})\bigr)
Familles : X_{I} = \prod_{j} X_{I_{j}}, I = I^{+} \amalg I^{-},
F(X_{I})
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{(1)}\Bigl(\prod_{j\in J} F(X_{I_{j}})^{\circ},\
\mathrm{Ens}\Bigr)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{(1)}\Bigl(\prod_{j\in J}
F(X_{I_{j}}^{\vee}),\ \mathrm{Ens}\Bigr)
\simeq \cdots\cdots \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}\Bigl(\prod_{j\in J^{-}}
F(X_{I_{j}}),\ \prod_{j'\in J^{+}} F(X_{I_{j'}})\Bigr)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}\Bigl(\prod_{j'\in J^{+}}
F(X_{I_{j'}})^{\circ},\ \prod_{j\in J^{-}} F(X_{I_{j}}^{\vee})\Bigr)décorations ① et exposants en partie conjecturaux
En bas : \mathrm{Top}(A) \xrightarrow{\varphi} X \xleftarrow{\Psi}
\mathrm{Top}(B), A \to \mathrm{Pt}(X)trois lignes finales raturées, mêlant \varphi_{*}(F),
F \in \mathrm{Top}(A), G \in \mathrm{Ob}\,B^{\vee} — lecture trop
incertaine pour être poursuivie
page 4 de la main de l'auteur ; la page ne porte que ces deux
formules, encadrées\bigl\langle \Phi_{*},\ f^{\circ*}(\Psi^{*}) \bigr\rangle_{A}
\simeq \bigl\langle f_{!}(\Phi_{*}),\ \Psi^{*} \bigr\rangle_{B},
\qquad
\bigl\langle f^{*}(\Psi_{*}),\ \Phi^{*} \bigr\rangle_{A}
\simeq \bigl\langle \Psi_{*},\ f^{\circ}_{!}(\Phi^{*}) \bigr\rangle_{B}répartition des étoiles et des ronds partiellement conjecturale
L'enveloppe \widetilde{A} (pages 10 et 11)
page 5 de la main de l'auteur
« A \hookrightarrow Bpl. fid., x \in B :
H_{x} \in \widehat{A}, \quad H_{x}(a) = \mathrm{Hom}_{B}(a, x) ;
\qquad
H^{x} \in A^{\vee}, \quad H^{x}(a) = \mathrm{Hom}_{B}(x, a)H_{x}(a) \times H^{x}(b) \xrightarrow{\ \alpha_{x}\ } \mathrm{Hom}_{A}(a, b)
»
la flèche est la composition dans B ; elle aboutit dans
\mathrm{Hom}_{A} parce que A est pleine dans B
« Soit \widetilde{A} la catégorie des triples (H_{*}, H^{*}, \alpha) où
H_{*} \in \widehat{A}, H^{*} \in A^{\vee},
\alpha : H_{*}(a) \times H^{*}(b) \to \mathrm{Hom}_{A}(a,b) (fonctoriel).
Les flèches (H_{*}, H^{*}, \alpha) \xrightarrow{\varphi}
(H'_{*}, H'^{*}, \alpha') étant formées des couples\varphi_{*} : H_{*} \to H'_{*} dans \widehat{A},
\varphi^{*} : H'^{*} \to H^{*} dans A^{\vee}, tels que l'on ait :
\alpha_{a,b}\bigl(u,\ \varphi^{*}(u')\bigr)
= \alpha'_{a,b}\bigl(\varphi_{*}(u),\ u'\bigr)
»
le manuscrit exprime cette identité par un carré à variance mixte,
\varphi_{*} descendant sur le premier facteur et \varphi^{*} remontant
sur le second
« Pour un foncteur pl. fid.A \xrightarrow{\varphi} B, on en
déduit un foncteur \varphi^{\S} : B \to \widetilde{A},
x \mapsto (\varphi^{\S}_{*}(x),\ \varphi^{\S *}(x),\ \alpha_{x}). »
décorations des deux composantes incertaines
page 6 de la main de l'auteur
« NB \widetilde{A}^{\circ} \simeq \widetilde{A} … »
fin de ligne illisible
« Cas où \varphi^{\S} est pl. fidèle ? Il suffit que f soit
strict. gén. ou adjonctions. »
« Cas A \xrightarrow{\mathrm{can}} \widehat{A} :
\varphi^{\S}(F)_{*} = F,
\varphi^{\S}(F)^{*}(a) = \mathrm{Hom}(F, a) ; \varphi^{\S}fidèle. »
Petits diagrammes intermédiaires sur F, F^{\S}, G, avec u \in F(a),
u' \in F^{\S}(b).
enchaînement raturé ; on y lit « v = v' \circ \varphi_{*} ! » et
« on sait que v \circ u = v' \circ u' »
Considérons alors la sous-catégorie pleine de \widetilde{A} formée
despassage biffé puis récrit, en grande partie illisible ; y figurent les
chaînes \Psi_{1}^{\circ} \to a \to \Phi \to \Psi_{2}^{\circ} et
\Phi_{1} \to \Psi \to \Phi_{2}
(F, G, \alpha) \simeq (F, F^{\S}, \alpha_{F}),
(F, G, \alpha) \simeq (G^{\S}, G, \alpha^{G})lecture conjecturale des deux isomorphismes
Fonctorialité : A \xrightarrow{f} B induit
\widetilde{f} : \widetilde{A} \to \widetilde{B} ; en bas de la page,
encerclé :
\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal]
\widehat{A} \arrow[r, hook] \arrow[d, "f_{!}"']
& \widetilde{A} \arrow[d, Rightarrow, "\widetilde{f}"]
& A^{\vee\circ} \arrow[l, hook'] \arrow[d, "f^{\circ*\circ}"] \\
\widehat{B} \arrow[r, hook]
& \widetilde{B}
& B^{\vee\circ} \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}étiquettes des flèches verticales partiellement conjecturales ; à côté,
une colonne de paires de foncteurs adjoints — f_{!}, f^{*} ;
f^{\circ}_{!}, f^{\circ *} ; … — trop abrégée pour être restituée
Noyau autodual, recollements, coefficients (pages 13 et 14)
page 7 de la main de l'auteur
En haut :
\widehat{A} \xrightarrow{\ \approx\ }
\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, \mathrm{Ens}),
\qquad
A^{\vee\circ} \xrightarrow{\ \approx\ }
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{rep}}(\widehat{A}, (\mathrm{Ens}))l'indice du second Hom — « rep » ? — est incertain ; au-dessus des deux,
un \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\vee}, (\mathrm{Ens})) sans décoration les
reçoit tous deux
Au centre, relié à A par une double flèche verticale :
\bigl(\mathrm{Kar}(A^{\circ})\bigr)^{\circ} \;\simeq\; \mathrm{Kar}(A)
À droite, le triangle \varepsilon(A) sur \widehat{A} et A^{\vee\circ},
avec
A = \widehat{A} \cap A^{\vee\circ}à gauche de la page, un \overline{\varepsilon}(A) isolé, sous un
trait de séparation
En bas, la mise en garde sur les recollements :
« N = M_{1} \cap M_{2}via des flèches pl. fid. Alors on
définit une catégorie \Sigma', réunion des
sous-catégories pleines M'_{1} et M'_{2}, avec intersectionN', et un foncteur pl. fid. \Sigma' \to M (factorisant parM_{1} \cup M_{2}). Mais même si M_{1}, M_{2} sont pleines
dans M (avec N dans M) et M'_{1} \to M_{1},
M'_{2} \to M_{2} des équivalences, M'_{1} et M'_{2} ne sont pleines dans \Sigma', et N' \to N n'est pas une
équivalence. »
la lecture de plusieurs mots reste incertaine
Dualité à valeurs dans une catégorie M :
\underline{\mathrm{Hom}}(A, M)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, M)un troisième membre, aux décorations illisibles, prolonge la ligne
« Ex. M = : \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, M) \simeq \cdots »
exemple raturé
« A = B^{\circ}, B = A^{\circ} » :
\underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \simeq
\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}, M)
« cofaisceaux sur A, ind. dans M » ;
\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, M) \simeq
\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{B}^{\circ}, M)
« faisceaux sur B, ind. dans M ».
\mathcal{F}(X, M)^{\circ} \simeq \check{\mathcal{F}}(X, M^{\circ}),
\qquad
\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(A, M)\bigr)^{\circ}
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\circ}, M^{\circ})
« \mathcal{F}(X,M) et \check{\mathcal{F}}(X, M')se déduisent
l'un de l'autre » ;
\mathcal{F}(X, M) \approx \check{\mathcal{F}}(X^{\circ}, M),
\qquad
\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(A^{\circ}, M)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A, M^{\circ})^{\circ}dernières lignes aux décorations incertaines