Cote n° 115 · batch 1 · pages 1–14 · Transcription · « Correspondances » fonctorielles. Dualité des topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration

Correspondances fonctorielles (pages 1 à 5)

1Titre porté à l'encre sur la chemise : « Correspondances » fonctorielles — Dualité des topos. chemise du dossier

2Formules d'adjonction, en tête de page : \[ H_{A}\bigl(f^{*}(\Psi_{\varepsilon}),\ \Phi^{\varepsilon}\bigr) \;\simeq\; H_{B}\bigl(\Psi_{\varepsilon},\ f^{\varepsilon}_{!}(\Phi^{\varepsilon})\bigr) \] lecture incertaine des décorations \(\varepsilon\) et de la répartition des indices \[ H_{A}\bigl(f^{*}(b),\ a\bigr) \;\simeq\; H_{B}\bigl(b,\ f^{\varepsilon}(a)\bigr) = \mathrm{Hom}_{B}\bigl(b,\ f(a)\bigr), \qquad f^{\varepsilon}(a) = \varinjlim \cdots \] le système d'indices de la colimite est illisible. Le reste de la page — un cercle de catégories de foncteurs et de petits diagrammes — est un premier état raturé de la roue de la page 5 ; lectures trop incertaines pour être transcrites

3page 1 de la main de l'auteur En tête, à droite : \(\underline{\mathrm{Hom}}_{!}\) : sous-catégorie pleine de \(\underline{\mathrm{Hom}}\) formée des foncteurs commutant aux limites inductives ; \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}\) : sous-catégorie pleine de \(\underline{\mathrm{Hom}}\) formée des foncteurs commutant aux limites projectives.

En marge gauche : cas \(B = A^{\circ}\) : d'où l'élément canonique \(H = H_{A} \in (A \times A^{\circ})^{\wedge}\) ; les prolongements canoniques \(\widehat{A}^{\circ} \hookrightarrow A^{\vee}\), … le reste de la colonne marginale est trop raturé pour être transcrit

Le diagramme central, simplifié — l'original est un espalier d'une dizaine de flèches marquées \(\approx\), dont plusieurs biffées :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, \widehat{A})
  & (A\times B)^{\wedge} \arrow[l, "\approx"'] \arrow[r, "\approx"] \arrow[d, "\approx"]
  & \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \widehat{B}) \arrow[d, "\approx"] \\
  & \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\bigl(\widehat{A}^{\circ} \times \widehat{B}^{\circ},\ (\mathrm{Ens})\bigr) = \mathrm{Bifais}(\widehat{A}, \widehat{B})
  & \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ}, \widehat{B}) \\
  & \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, \widehat{B}) \arrow[u, "\approx"']
  &
\end{tikzcd}

Le dispositif systématique : \(A \times B\), avec les projections \(p_{B} : A\times B \to A\) et \(p_{A} : A\times B \to B\). l'indice de la projection nomme le facteur supprimé — c'est la seule lecture sous laquelle les formules qui suivent concordent entre elles \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(X,Y) \overset{\mathrm{def}}{=} p_{B*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}(X,Y), \qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X,Y) \overset{\mathrm{def}}{=} p_{A*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}(X,Y) \] \[ \mathrm{Hom}_{A\times B}(X,Y) \simeq \Gamma_{A\times B}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}(X,Y) \simeq \Gamma_{A}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A}(X,Y) \simeq \Gamma_{B}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X,Y), \qquad X, Y \in (A\times B)^{\wedge} \] \[ {}^{s}X(L) = \underline{\mathrm{Hom}}_{B}\bigl(p_{B}^{*}L,\ X\bigr) = p_{A*}\,\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{B}^{*}L,\ X\bigr), \qquad {}^{d}X(M) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}\bigl(p_{A}^{*}M,\ X\bigr) = p_{B*}\,\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{A}^{*}M,\ X\bigr) \] (en marge : \(L \in \widehat{A}\), \(M \in \widehat{B}\)) \[ X(L,M) = \mathrm{Hom}\bigl(L \boxtimes M,\ X\bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(L,\ {}^{d}X(M)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(M,\ {}^{s}X(L)\bigr), \qquad\text{où } L \boxtimes M = p_{B}^{*}L \times p_{A}^{*}M . \]

« Ces formules sont particulièrement intéressantes pour \(L = a \in \mathrm{Ob}\,A\), \(M = b \in \mathrm{Ob}\,B\). » lecture incertaine des deux membres de droite

« Soit \(X\) ; définissons \(B^{\circ} \to \widehat{A}\) (savoir \(b \mapsto {}^{d}X(b) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(p_{A}^{*}(b), X)\)) … on trouve \(B^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) : c'est […], qui s'écrit aussi \(\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(p_{B}^{*}(L), X) = {}^{s}X(L)\). Interprétation duale pour \({}^{d}X(M)\). » passage interligné, lecture partiellement conjecturale

« \((L,M) \mapsto L \boxtimes M : \widehat{A} \times \widehat{B} \to (A\times B)^{\wedge}\) est pleinement fidèle. »

« le […] qui est le foncteur canonique … dit « de Yoneda » pour \(\widehat{A} \times \widehat{B}\) » \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(L\boxtimes M',\ L'\boxtimes N'\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(L,L') \boxtimes \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(M',N') \qquad \text{p.ex.} \] \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(L\boxtimes M',\ L'\boxtimes e_{B}\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(L,L') \boxtimes e_{B} = p_{B}^{*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{A}(L,L') \] en particulier, faisant \(L' = e_{A}\) : … la suite de la ligne est illisible

\(\underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(p_{A}^{*}(M), \cdots\bigr) \Leftarrow p_{B}^{*}\cdots\) (les flèches étant les flèches canoniques) ligne partiellement illisible

Posant \(X^{M} \overset{\mathrm{def}}{=} \underline{\mathrm{Hom}}_{A\times B}\bigl(p_{A}^{*}M,\ X\bigr)\), on trouve donc \((p_{B}^{*}L)^{M} \simeq p_{B}^{*}L\cdots\) fin de formule incertaine

5page 2 de la main de l'auteur En marge haute, un recensement : \(A^{\circ}, \widehat{A}^{\circ}, A^{\vee}\) et \(B^{\circ}, \widehat{B}^{\circ}, B^{\vee}\), reliés par des flèches croisées à \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), avec la mention « (6 cas) » ; au-dessous, \(\bigl|\widehat{A}^{\circ} \text{ ou } A^{\vee}\bigr| \times \bigl|\widehat{B}^{\circ} \text{ ou } B^{\vee}\bigr| \to \mathrm{Ens}\), avec la mention « (4 cas) ». lu d'abord « (4 co) », « (6 (co)) », non élucidé ; la lecture est « (4 cas) », « (6 cas) », et les deux mentions dénombrent la roue ci-dessous : quatre formes à trois arguments, six formes à deux arguments

NB en marge : \(A^{\circ} \to \widehat{A}^{\circ}\), \(A^{\circ} \to A^{\vee}\) ; \(B^{\circ} \to \widehat{B}^{\circ}\), \(B^{\circ} \to B^{\vee}\).

La roue des catégories de foncteurs autour de \((A\times B)^{\wedge} = \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\circ};\, \mathrm{Ens})\) — un cercle porté par quatre rayons, avec une couronne intérieure et un bord :

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\widehat{B}_{\to}) & & & & & & (\widehat{A}_{\to}) \\
& \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{B}^{\circ},\widehat{A}) \arrow[rr, bend left=22] \arrow[dd, bend right=22] & & \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}(\widehat{A}^{\circ},\widehat{B}^{\circ};\,\mathrm{Ens}) & & \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ},\widehat{B}) \arrow[ll, bend right=22] \arrow[dd, bend left=22] \arrow[dl] & \\
& & \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ},\widehat{A}) \arrow[ul] & & \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ},\widehat{B}) & & \\
& \underline{\mathrm{Hom}}_{!}^{!}(A^{\vee},\widehat{B}^{\circ};\,\mathrm{Ens}) & & \substack{(A\times B)^{\wedge} \\ =\, \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ},B^{\circ};\,\mathrm{Ens})} \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[dl] \arrow[dr] \arrow[uu, no head, "\wedge\wedge" description] \arrow[ll, no head, "\vee\wedge" description] \arrow[rr, no head, "\wedge\vee" description] \arrow[dd, no head, "\vee\vee" description] & & \underline{\mathrm{Hom}}^{!}_{!}(\widehat{A}^{\circ},B^{\vee};\,\mathrm{Ens}) & \\
& & \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ},\widehat{B}) \arrow[dl] & & \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ},\widehat{A}) \arrow[dr] & & \\
& \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee},\widehat{B}) \arrow[uu, bend left=22] \arrow[rr, bend right=22] & & \underline{\mathrm{Hom}}_{!!}(A^{\vee},B^{\vee};\,\mathrm{Ens}) & & \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(B^{\vee},\widehat{A}) \arrow[uu, bend right=22] \arrow[ll, bend left=22] & \\
(A^{\vee}_{\to}) & & & & & & (B^{\vee}_{\to})
\end{tikzcd}

« toutes les flèches du diagramme … sont des équivalences de catégories » la roue de la page, relue sur le fac-similé à haute résolution : les quatre rayons (axes vertical et horizontal) sont des traits fins sans pointe, portant les marques de variance \(\wedge\wedge\), \(\vee\wedge\), \(\wedge\vee\), \(\vee\vee\) à mi-course ; les quatre annotations d'angle \((\widehat{B}_{\to})\), \((\widehat{A}_{\to})\), \((A^{\vee}_{\to})\), \((B^{\vee}_{\to})\) sont hors du cercle, une par quadrant. Onze catégories distinctes : le centre ; six formes à deux arguments (les « 6 cas » de la marge — les deux formes intérieures sont chacune écrites deux fois, aux deux bouts d'un diamètre) ; quatre formes mixtes à trois arguments (les « 4 cas »), aux quatre points cardinaux. Les huit arcs du bord, appuyés, convergent tous vers ces quatre formes mixtes. Trois diagonales sortent du centre vers le bord ; dans le seul quadrant supérieur droit la flèche fine entre bord et couronne rentre, \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ},\widehat{B}) \to \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ},\widehat{B})\) — une restriction là où les trois autres sont dessinées comme des prolongements. Une première lecture avait réduit la roue à huit flèches rayonnantes ; le dessin ci-dessus suit désormais la page trait par trait

En bas — familles d'indices : « \(I\) ens. d'indices, \((A_i)_{i\in I}\) famille de (petites) catégories. Si \(I' \subset I\), on pose \(A_{I'} = \prod_{i\in I'} A_i\). » \[ I = \coprod_{j\in J} I_{j}, \qquad J = J^{+} \amalg J^{-}, \qquad I^{+} = \coprod_{j\in J^{+}} I_{j}, \quad I^{-} = \coprod_{j\in J^{-}} I_{j} \] « Je suppose \(I\), \(J\) finis pour « plus safe ». » \[ \widehat{A_{I}} \;\simeq\; \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\Bigl(\prod_{j\in J^{-}} A_{I_{j}}^{\vee}\,,\ \prod_{j'\in J^{+}} \widehat{A_{I_{j'}}}^{\circ}\,;\ \mathrm{Ens}\Bigr) \] avec des flèches \(\approx\) vers \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{!}\Bigl(\prod_{j\in J^{-}} A_{I_{j}}^{\vee},\ \widehat{A_{I^{+}}}\Bigr), \qquad \underline{\mathrm{Hom}}^{!}\Bigl(\prod_{j'\in J^{+}} \widehat{A_{I_{j'}}}^{\circ},\ A_{I^{-}}^{\vee}\Bigr) \] variances partiellement conjecturales

La dualité entre \(\widehat{A}\) et \(A^{\vee}\) (pages 7 à 9)

7page 3 de la main de l'auteur \[ \boxed{\ H_{A}(\Phi,\Psi) = \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}\bigl(\Phi,\ \Psi_{A}(\Psi)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{A^{\vee}}\bigl(\Psi,\ \varphi_{A}(\Phi)\bigr)\ } \] (en marge : \(\widehat{A}^{\circ} \xrightarrow{\varphi_{A}} A^{\vee}\), \(A^{\vee\circ} \xrightarrow{\Psi_{A}} \widehat{A}\), \(\widehat{A} \times A^{\vee\circ} \xrightarrow{H_{A}} \mathrm{Ens}\))

« i.e. on a \(A^{\vee\circ} \rightleftarrows \widehat{A}\) (\(\varphi_{A}^{\circ}\), \(\Psi_{A}\)), paire de foncteurs adjoints. »

NB — a) le triangle

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A^{\vee\circ} \arrow[rr, "\Psi_{A}"] & & \widehat{A} \\
& A \arrow[ul, hook] \arrow[ur, hook'] &
\end{tikzcd}

En marge gauche : \(\varphi_{A^{\circ}} = \Psi_{A}\), \(\Psi_{A^{\circ}} = \varphi_{A}\), \(H_{A^{\circ}}(\Psi,\Phi) = H_{A}(\Phi,\Psi)\) (formules à vérifier).

Morphismes d'adjonction : \[ \Phi \longrightarrow \Psi_{A}\,\varphi_{A}^{\circ}(\Phi) \ \text{dans } \widehat{A}, \qquad \Psi \longrightarrow \varphi_{A}\,\Psi_{A}^{\circ}(\Psi) \ \text{dans } A^{\vee} ; \] « iso si \(\Phi \in \mathrm{Ob}\,A\) ou \(\Psi \in \mathrm{Ob}\,A\) ».

c) \[ \boxed{\ H_{A}(a,b) = \mathrm{Hom}_{A}(a,b)\ } \] « donc \(H_{A}\) prolonge \(\mathrm{Hom}_{A}\), et est déterminé à iso. unique près par cette propriété, plus celle que \(H_{A}\) commute aux limites … » \[ H_{A}(\Phi, b) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}(\Phi,\ b), \qquad H_{A}(a, \Psi) \simeq \mathrm{Hom}_{A^{\vee}}(\Psi,\ a) = \mathrm{Hom}_{A^{\vee\circ}}(a,\ \Psi) \] seconde formule partiellement conjecturale

« Question : que penser des morphismes d'adjonction \(\alpha_{\Phi}\), \(\beta_{\Psi}\) ? Iso (oui) seulement si \(\Phi\) resp. \(\Psi\) sont représentables ? Est-ce que c'est une équivalence faible (sans doute pas). Les foncteurs \(\varphi_{A}\) et \(\Psi_{A}\) sont-ils […] ? »

« Relations avec les contractions : » \[ \boxed{\ H^{A} :\ (\Phi,\Psi) \longmapsto \Phi \star_{A} \Psi\ ;\quad \widehat{A} \times A^{\vee} \longrightarrow \mathrm{Ens}\ } \] d) \[ \boxed{\ H^{A}(a,b) = \mathrm{Hom}_{A}(b,a)\ } \] « et \(H^{A}\) commute aux limites inductives, en quelles conditions : iso. unique près. » \[ \boxed{\ \widehat{A} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, \mathrm{Ens}), \qquad A^{\vee} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, \mathrm{Ens})\ } \] la décoration du second Hom diffère du premier — point d'exclamation placé autrement, lecture incertaine \[ \Phi \star a = \Phi(a), \qquad a \star \Psi = \Psi(a) \] \[ H^{A}(\Phi,\Psi) = \varphi^{A}(\Phi)(\Psi) \simeq \Psi^{A}(\Psi)(\Phi) \] le premier membre est précédé d'un symbole non élucidé

8page entière biffé de trois grands traits obliques Multivariances : \[ \Bigl(\prod_{i\in I} A_{i}\Bigr)^{\wedge}, \qquad A_{1}^{\circ} \times A_{2}^{\circ} \times \cdots \times A_{n}^{\circ} \to \mathrm{Ens}, \qquad \widehat{A_{1}}^{\circ} \times \widehat{A_{2}} \times A_{3}^{\vee} \times \cdots \] la troisième liste de variances est partiellement illisible \[ X_{1} \otimes X_{2} \simeq \mathrm{Hom}(X_{1}^{\vee}, X_{2}) \simeq \mathrm{Hom}(X_{2}^{\vee}, X_{1}) \] un membre intermédiaire, portant un 1 souligné, reste incertain \[ F(X_{1}\boxtimes X_{2}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\bigl(F(X_{1})^{\circ},\ F(X_{2})^{\circ};\ \mathrm{Ens}\bigr) \simeq \cdots \simeq \mathrm{Hom}\bigl(F(X_{1})^{\vee},\ F(X_{2})\bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(F(X_{2})^{\vee},\ F(X_{1})\bigr) \] Familles : \(X_{I} = \prod_{j} X_{I_{j}}\), \(I = I^{+} \amalg I^{-}\), \[ F(X_{I}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{(1)}\Bigl(\prod_{j\in J} F(X_{I_{j}})^{\circ},\ \mathrm{Ens}\Bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{(1)}\Bigl(\prod_{j\in J} F(X_{I_{j}}^{\vee}),\ \mathrm{Ens}\Bigr) \simeq \cdots \] \[ \cdots \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}\Bigl(\prod_{j\in J^{-}} F(X_{I_{j}}),\ \prod_{j'\in J^{+}} F(X_{I_{j'}})\Bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}\Bigl(\prod_{j'\in J^{+}} F(X_{I_{j'}})^{\circ},\ \prod_{j\in J^{-}} F(X_{I_{j}}^{\vee})\Bigr) \] décorations ① et exposants en partie conjecturaux En bas : \(\mathrm{Top}(A) \xrightarrow{\varphi} X \xleftarrow{\Psi} \mathrm{Top}(B)\), \(A \to \mathrm{Pt}(X)\) trois lignes finales raturées, mêlant \(\varphi_{*}(F)\), \(F \in \mathrm{Top}(A)\), \(G \in \mathrm{Ob}\,B^{\vee}\) — lecture trop incertaine pour être poursuivie

9page 4 de la main de l'auteur ; la page ne porte que ces deux formules, encadrées \[ \bigl\langle \Phi_{*},\ f^{\circ*}(\Psi^{*}) \bigr\rangle_{A} \simeq \bigl\langle f_{!}(\Phi_{*}),\ \Psi^{*} \bigr\rangle_{B}, \qquad \bigl\langle f^{*}(\Psi_{*}),\ \Phi^{*} \bigr\rangle_{A} \simeq \bigl\langle \Psi_{*},\ f^{\circ}_{!}(\Phi^{*}) \bigr\rangle_{B} \] répartition des étoiles et des ronds partiellement conjecturale

L'enveloppe \(\widetilde{A}\) (pages 10 et 11)

10page 5 de la main de l'auteur « \(A \hookrightarrow B\) pl. fid., \(x \in B\) : \[ H_{x} \in \widehat{A}, \quad H_{x}(a) = \mathrm{Hom}_{B}(a, x) ; \qquad H^{x} \in A^{\vee}, \quad H^{x}(a) = \mathrm{Hom}_{B}(x, a) \] \[ H_{x}(a) \times H^{x}(b) \xrightarrow{\ \alpha_{x}\ } \mathrm{Hom}_{A}(a, b) \] » la flèche est la composition dans \(B\) ; elle aboutit dans \(\mathrm{Hom}_{A}\) parce que \(A\) est pleine dans \(B\)

« Soit \(\widetilde{A}\) la catégorie des triples \((H_{*}, H^{*}, \alpha)\) où \(H_{*} \in \widehat{A}\), \(H^{*} \in A^{\vee}\), \(\alpha : H_{*}(a) \times H^{*}(b) \to \mathrm{Hom}_{A}(a,b)\) (fonctoriel). Les flèches \((H_{*}, H^{*}, \alpha) \xrightarrow{\varphi} (H'_{*}, H'^{*}, \alpha')\) étant formées des couples \(\varphi_{*} : H_{*} \to H'_{*}\) dans \(\widehat{A}\), \(\varphi^{*} : H'^{*} \to H^{*}\) dans \(A^{\vee}\), tels que l'on ait : \[ \alpha_{a,b}\bigl(u,\ \varphi^{*}(u')\bigr) = \alpha'_{a,b}\bigl(\varphi_{*}(u),\ u'\bigr) \] » le manuscrit exprime cette identité par un carré à variance mixte, \(\varphi_{*}\) descendant sur le premier facteur et \(\varphi^{*}\) remontant sur le second

« Pour un foncteur pl. fid. \(A \xrightarrow{\varphi} B\), on en déduit un foncteur \(\varphi^{\S} : B \to \widetilde{A}\), \(x \mapsto (\varphi^{\S}_{*}(x),\ \varphi^{\S *}(x),\ \alpha_{x})\). » décorations des deux composantes incertaines

11page 6 de la main de l'auteur « NB \(\widetilde{A}^{\circ} \simeq \widetilde{A}\) … » fin de ligne illisible « Cas où \(\varphi^{\S}\) est pl. fidèle ? Il suffit que \(f\) soit strict. gén. ou […] adjonctions. »

« Cas \(A \xrightarrow{\mathrm{can}} \widehat{A}\) : \(\varphi^{\S}(F)_{*} = F\), \(\varphi^{\S}(F)^{*}(a) = \mathrm{Hom}(F, a)\) ; \(\varphi^{\S}\) fidèle. »

Petits diagrammes intermédiaires sur \(F\), \(F^{\S}\), \(G\), avec \(u \in F(a)\), \(u' \in F^{\S}(b)\). enchaînement raturé ; on y lit « \(v = v' \circ \varphi_{*}\) ! » et « on sait que \(v \circ u = v' \circ u'\) »

Considérons alors la sous-catégorie pleine de \(\widetilde{A}\) formée des […] passage biffé puis récrit, en grande partie illisible ; y figurent les chaînes \(\Psi_{1}^{\circ} \to a \to \Phi \to \Psi_{2}^{\circ}\) et \(\Phi_{1} \to \Psi \to \Phi_{2}\)

\((F, G, \alpha) \simeq (F, F^{\S}, \alpha_{F})\), \((F, G, \alpha) \simeq (G^{\S}, G, \alpha^{G})\) lecture conjecturale des deux isomorphismes

Fonctorialité : \(A \xrightarrow{f} B\) induit \(\widetilde{f} : \widetilde{A} \to \widetilde{B}\) ; en bas de la page, encerclé :

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal]
\widehat{A} \arrow[r, hook] \arrow[d, "f_{!}"']
  & \widetilde{A} \arrow[d, Rightarrow, "\widetilde{f}"]
  & A^{\vee\circ} \arrow[l, hook'] \arrow[d, "f^{\circ*\circ}"] \\
\widehat{B} \arrow[r, hook]
  & \widetilde{B}
  & B^{\vee\circ} \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}

Noyau autodual, recollements, coefficients (pages 13 et 14)

13page 7 de la main de l'auteur En haut : \[ \widehat{A} \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, \mathrm{Ens}), \qquad A^{\vee\circ} \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{rep}}(\widehat{A}, (\mathrm{Ens})) \] l'indice du second Hom — « rep » ? — est incertain ; au-dessus des deux, un \(\underline{\mathrm{Hom}}(A^{\vee}, (\mathrm{Ens}))\) sans décoration les reçoit tous deux Au centre, relié à \(A\) par une double flèche verticale : \[ \bigl(\mathrm{Kar}(A^{\circ})\bigr)^{\circ} \;\simeq\; \mathrm{Kar}(A) \] À droite, le triangle \(\varepsilon(A)\) sur \(\widehat{A}\) et \(A^{\vee\circ}\), avec \[ A = \widehat{A} \cap A^{\vee\circ} \] à gauche de la page, un \(\overline{\varepsilon}(A)\) isolé, sous un trait de séparation

En bas, la mise en garde sur les recollements : « \(N = M_{1} \cap M_{2}\) via des flèches pl. fid. Alors on définit une catégorie \(\Sigma'\), réunion des sous-catégories pleines \(M'_{1}\) et \(M'_{2}\), avec intersection \(N'\), et un foncteur pl. fid. \(\Sigma' \to M\) (factorisant par \(M_{1} \cup M_{2}\)). Mais même si \(M_{1}\), \(M_{2}\) sont pleines dans \(M\) (avec \(N\) […] dans \(M\)) et \(M'_{1} \to M_{1}\), \(M'_{2} \to M_{2}\) des équivalences, \(M'_{1}\) et \(M'_{2}\) ne sont […] […] pleines dans \(\Sigma'\), et \(N' \to N\) n'est pas […] une équivalence. » la lecture de plusieurs mots reste incertaine

14Dualité à valeurs dans une catégorie \(M\) : \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, M) \] un troisième membre, aux décorations illisibles, prolonge la ligne « Ex. \(M = \) […] : \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, M) \simeq \cdots\) » exemple raturé

« \(A = B^{\circ}\), \(B = A^{\circ}\) » : \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}, M) \] « cofaisceaux sur \(A\), ind. dans \(M\) » ; \[ \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{B}^{\circ}, M) \] « faisceaux sur \(B\), ind. dans \(M\) ». \[ \mathcal{F}(X, M)^{\circ} \simeq \check{\mathcal{F}}(X, M^{\circ}), \qquad \bigl(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(A, M)\bigr)^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\circ}, M^{\circ}) \] « \(\mathcal{F}(X,M)\) et \(\check{\mathcal{F}}(X, M')\) se déduisent l'un de l'autre » ; \[ \mathcal{F}(X, M) \approx \check{\mathcal{F}}(X^{\circ}, M), \qquad \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(A^{\circ}, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A, M^{\circ})^{\circ} \] dernières lignes aux décorations incertaines