Fonds Grothendieck, cote n° 114, pages 1–5 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-17)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)114
Asphéricité : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 5 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[1983]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/114.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
En haut à droite, d'une encre plus pâle, le titre de la chemise :
« Asphéricité ».
Morphisms of asph. structures ? images ?Contractors, morphisms of suchInduced structures on M_{/a}Lack of autodualityWhen does anlg. structure type give rise to a
can. modelizer ?Existence theorems for test functorsFiniteness conditions in an elementary
le point 7 s'arrête sur ce mot ; le substantif attendu n'est pas écrit.
Le numéro 7 est tracé par-dessus un 6 : les deux points 6 et 7 sont d'abord
venus sous le même numéro, et une accolade les réunit dans la marge de droite
Computation of cohomology by boundary operator ?\Delta^{f}, infinite and finite semi-modelizers of (Cat).
VI
V ? Also VII
ces deux mentions sont portées dans la marge de droite, la première en
regard du point 3, la seconde en regard des points 5 et 6 ; ce sont des numéros
de chapitre, du même ordre que le « part IV » du bloc qui suit
Au bas de la page, entre parenthèses :
(7 7) and 8) may not be treated at all,
2, 3, 9 should be done in part IV
1, 4, 5, 6 can be looked at Caen.)
les trois lignes se partagent exactement les neuf points de la liste :
7 et 8 abandonnés, 2, 3 et 9 renvoyés à la partie IV, 1, 4, 5 et 6 remis à
Caen. C'est cette partition complète qui rend la lecture des chiffres sûre,
là où le 3 de la deuxième ligne et le 5 de la troisième se distinguent mal
l'un de l'autre
\Delta^{f}
\square, \square^{f}
\bigcirc, \bigcirc^{f}
\mathcal{B}_{f}(I) weak test category ?
(Ord) has asph. str. or contr. str.
cf. p. 74
total 0-connectedness \Longrightarrow total asphericity ?
le trait de l'implication ne porte de pointe qu'à droite : c'est une
implication simple et non une équivalence. La question de cette dernière ligne
est exactement celle que tranche la proposition 4 de la page suivante
feuillet dactylographié, paginé 350 de la main de l'auteur : une page de
Pursuing Stacks. Les passages biffés le sont à la machine, par
surfrappe de x ; les ajouts en interligne sont manuscrits. La page est
transcrite ici parce qu'elle porte la proposition dont les pages manuscrites
de la chemise discutent
(iii) For any x in C, i^{*}(x) is 0-connected in \hat{A} i.e.
i^{*}(C) \ \ill\ \ \hat{A}_{W_{0}} \quad
(=_{\mathrm{def}} \text{set of 0-connected objects in } \hat{A}).
le signe d'inclusion entre i^{*}(C) et \hat{A}_{W_{0}} manque : la
machine a laissé l'espace et rien n'y a été porté à la main
Moreover, when these conditions are satisfied, and if x x then and if
the contractibility structure of M is non-trivial iff the one of
\hat{A} isand x then so is the one of A and A is a
strict test category.
Proof : the last It remains to prove the last statement, which follows
from corollary 1. Here by « strict test category » we mean strict W-test
category, which implies that the contractor A is non trivial visibly. But of
course, as condition (i) does not depend on W, we may take in the last
conclusion W = W_{\infty}, which is the strongest — but we got this already
by prop. 3 directly, for any non trivial contractor. Thus the complement about
A being a test or strict test category is interesting mainly, when we do not
assume beforehand that A is a contractor. So I'll have to clarify the points
a) and b) of remark 2 above.
After a minute's thought, I feel very silly to find out that point a) is
about trivial — that I have been dragging for months the notion of a
totallyW-aspheric category A, without taking the trouble to sit down
and look whether it really depends on W, and at the same time, whether the
condition that the products a \times b in \hat{A} (for a and b in A)
are W-aspheric, already implies that A is W-aspheric and hence totally
W-aspheric ! So let's clean it up in the long last !
Proposition 4. Let A be any small category, W a basic localizer
satisfying Loc 4), W_{\infty} the finest basic localizer (i.e. usual weak
equivalence). The following conditions are equivalent :
A is totally W_{\infty}-aspheric.A is totally W-aspheric (cf. section 65 A), def. 1 p. 170)).A is non empty, and for any two objects a, b in A, the
product a \times b in \hat{A} is 0-connected.
Proof. From the definition (loc. cit.) it is clear that
\text{(i)} \quad \ill \quad \text{(ii)} \quad \ill \quad \text{(iii)},
and it is immediate that (iii) implies that A is 0-connected, hence (iii)
also means that A is totally W_{0}-aspheric, where W_{0} is the coarsest
basic localizer satisfying Loc 4), namely
les signes d'implication de cette ligne manquent eux aussi : la machine a
ménagé les intervalles et ils sont restés vides. La phrase s'interrompt sur
« namely » — la suite est à la page 351, qui n'est pas dans la chemise
iM_{as}-asphérique \overset{?}{\Longrightarrow}i^{*} conservatif et
fidèle
NB. Si A \xrightarrow{f} B asphérique, alors
f^{*} : \hat{B} \to \hat{A} conservatif et fidèle, i.e. f dominant, i.e.
le cocrible engendré par f^{*} propriétés d'exactitude de
f^{*}
i.e. \forall\, b \in \mathrm{Ob}\, B, \exists\, a \in A et
f(a) \to b, i.e. A_{/b} \neq \emptyset. OK
que b \to b' tel que f^{*}(b) \to f^{*}(b')
\bigl[\, f^{*}(x) = \emptyset_{\hat{A}} \Longrightarrow x =
\emptyset_{\hat{B}} \,\bigr]
A_{/f(b)}A_{/f(x)}
Mais f^{*}(a) = \emptyset_{\hat{B}} \Longrightarrow
\mathrm{Hom}_{\hat{B}}(b, a) = \emptyset pour tout b \in f(\mathrm{Ob}(A)),
Il faut en déduire que \mathrm{Hom}(b,a) = \emptyset\forall\, b
\in B
Plus ou conservatif
Pour conclure que i^{*} est fidèle, il faut savoir que
M \to \hat{M_{as}} (i.e.), il faut que M_{as} est génératrice.
Peut-on avoir M_{as} = \emptyset / 1) que A = \emptyset, donc
\hat{A} = \{e\}, donc \hat{A}_{as} = \emptyset, ok
la dernière ligne de la page, ajoutée sous celle-ci, est coupée par le
bord inférieur du feuillet et n'a pas été rétablie ; elle reprend au haut de la
page suivante
le feuillet porte « 2 » en haut à droite : c'est la pagination de
l'auteur, la page précédente étant sa page 1
Soit G = \underline{\mathrm{End}}(a), \hat{A} \simeq (G\text{-ens})donc nécessairementG = \{\mathrm{id}\}, alors
\hat{A} \simeq (\mathrm{Ens}), \hat{A}_{as} = \{ens.
uniponctuels\},
donc M_{as} = \{x \in \mathrm{Ob}\,M \mid \mathrm{Hom}\,(b,x) card 1\}
donc Contre-exemple : M cat. discrète de cardinal \geq 2, !
M_{as} engendre M de façon que M \to \hat{M}_{as} soit
fidèle et conservatif.
\begin{tikzcd}[column sep=large]
\hat{A} \arrow[r, bend left=20] & M \arrow[l, bend left=20] & M' \arrow[l, "f^{*}"']
\end{tikzcd}
f^{*} commute aux limites
f_{!} existe alors, si \underline{W} que tout foncteur sur M'
qui commute aux limites soit représentable — à vérifier des
conditions qui l'assurent, qu'il pas : faire des hyp.
d'accessibilité sur f^{*}. Mais que f_{!}M_{as} dans M'_{as} ?
\begin{tikzcd}[column sep=large]
M \arrow[r, bend left=20, "f_{!}"] & M' \arrow[l, bend left=20, "f^{*}"]
\end{tikzcd}
la question de la dernière ligne — si l'adjoint à gauche f_{!} respecte
les parties asphériques — est celle vers laquelle toute la page converge, et
elle reste ouverte : rien ne suit sur le feuillet