Cote n° 114 · batch 1 · pages 1–5 · Transcription · Asphéricité : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1983]
Édition de démonstration

1

En haut à droite, d'une encre plus pâle, le titre de la chemise : « Asphéricité ».

  1. [1)] Morphisms of asph. structures ? […] images ?
  2. [2)] Contr[a]ctors, morphisms of such
  3. [3)] Induced structures on \(M_{/a}\)
  4. [4)] Lack of autoduality
  5. [5)] When does an lg. structure type give rise to a can. modelizer ?
  6. [6)] Existence theorems for test functors
  7. [7)] Finiteness conditions in an elementary

le point 7 s'arrête sur ce mot ; le substantif attendu n'est pas écrit. Le numéro 7 est tracé par-dessus un 6 : les deux points 6 et 7 sont d'abord venus sous le même numéro, et une accolade les réunit dans la marge de droite

  1. [8)] Computation of cohomology by boundary operator ?
  2. [9)] \(\Delta^{f}\), infinite […] and finite […] semi-modelizers of (Cat).

VI

V ? Also VII

ces deux mentions sont portées dans la marge de droite, la première en regard du point 3, la seconde en regard des points 5 et 6 ; ce sont des numéros de chapitre, du même ordre que le « part IV » du bloc qui suit

Au bas de la page, entre parenthèses :

(7 7) and 8) may not be treated at all, 2, 3, 9 should be done in part IV 1, 4, 5, 6 can be looked at Caen.)

les trois lignes se partagent exactement les neuf points de la liste : 7 et 8 abandonnés, 2, 3 et 9 renvoyés à la partie IV, 1, 4, 5 et 6 remis à Caen. C'est cette partition complète qui rend la lecture des chiffres sûre, là où le 3 de la deuxième ligne et le 5 de la troisième se distinguent mal l'un de l'autre

2

\(\Delta^{f}\)

\(\square\), \(\square^{f}\)

\(\bigcirc\), \(\bigcirc^{f}\)

\(\mathcal{B}_{f}(I)\) weak test category ?

(Ord) has asph. str. or contr. str.

cf. p. 74

total 0-connectedness \(\Longrightarrow\) total asphericity ?

le trait de l'implication ne porte de pointe qu'à droite : c'est une implication simple et non une équivalence. La question de cette dernière ligne est exactement celle que tranche la proposition 4 de la page suivante

3

feuillet dactylographié, paginé 350 de la main de l'auteur : une page de Pursuing Stacks. Les passages biffés le sont à la machine, par surfrappe de x ; les ajouts en interligne sont manuscrits. La page est transcrite ici parce qu'elle porte la proposition dont les pages manuscrites de la chemise discutent

(iii) For any \(x\) in \(C\), \(i^{*}(x)\) is 0-connected in \(\hat{A}\) i.e. \[ i^{*}(C) \ \ill\ \ \hat{A}_{W_{0}} \quad (=_{\mathrm{def}} \text{set of 0-connected objects in } \hat{A}). \]

le signe d'inclusion entre \(i^{*}(C)\) et \(\hat{A}_{W_{0}}\) manque : la machine a laissé l'espace et rien n'y a été porté à la main

Moreover, when these conditions are satisfied, and if x x then and if the contractibility structure of \(M\) is non-trivial iff the one of \(\hat{A}\) is and x then so is the one of \(A\) and \(A\) is a [strict] test category.

Proof : the last It remains to prove the last statement, which follows from corollary 1. Here by « strict test category » we mean strict \(W\)-test category, which implies that the contractor \(A\) is non trivial visibly. But of course, as condition (i) does not depend on \(W\), we may take in the last conclusion \(W = W_{\infty}\), which is the strongest — but we got this already by prop. 3 directly, for any non trivial contractor. Thus the complement about \(A\) being a test or strict test category is interesting mainly, when we do not assume beforehand that \(A\) is a contractor. So I'll have to clarify the points a) and b) of remark 2 above.

After a minute[']s thought, I feel very silly to find out that point a) is about trivial — that I have been dragging for months the notion of a total[ly] \(W\)-aspheric category \(A\), without taking the trouble to sit down and look whether it really depends on \(W\), and at the same time, whether the condition that the products \(a \times b\) in \(\hat{A}\) (for \(a\) and \(b\) in \(A\)) are \(W\)-aspheric, already implies that \(A\) is \(W\)-aspheric and hence totally \(W\)-aspheric ! So let's clean it up in the long last !

Proposition 4. Let \(A\) be any small category, \(W\) a basic localizer satisfying Loc 4), \(W_{\infty}\) the finest basic localizer (i.e. usual weak equivalence). The following conditions are equivalent :

  1. [(i)] \(A\) is totally \(W_{\infty}\)-aspheric.
  2. [(ii)] \(A\) is totally \(W\)-aspheric (cf. section 65 A), def. 1 p. 170)).
  3. [(iii)] \(A\) is non empty, and for any two objects \(a\), \(b\) in \(A\), the product \(a \times b\) in \(\hat{A}\) is 0-connected.

Proof. From the definition (loc. cit.) it is clear that \[ \text{(i)} \quad \ill \quad \text{(ii)} \quad \ill \quad \text{(iii)}, \] and it is immediate that (iii) implies that \(A\) is 0-connected, hence (iii) also means that \(A\) is totally \(W_{0}\)-aspheric, where \(W_{0}\) is the coarsest basic localizer satisfying Loc 4), namely

les signes d'implication de cette ligne manquent eux aussi : la machine a ménagé les intervalles et ils sont restés vides. La phrase s'interrompt sur « namely » — la suite est à la page 351, qui n'est pas dans la chemise

4

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large]
\hat{A} & M \arrow[l, "i^{*}"'] & M' \arrow[l, "f"']\\
 & M_{as} & M'_{as}
\end{tikzcd}

les deux mentions de la seconde ligne sont portées sous \(M\) et sous \(M'\), sans flèche : ce sont des annotations et non des objets d'un diagramme

LaTeX source
\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "i"] \arrow[dr, dashed] & \underline{M}\\
 & M_{as} \arrow[u]
\end{tikzcd}

\(i\) \(M_{as}\)-asphérique \(\overset{?}{\Longrightarrow}\) \(i^{*}\) conservatif et fidèle

\underline{NB.} Si \(A \xrightarrow{f} B\) asphérique, alors \(f^{*} : \hat{B} \to \hat{A}\) conservatif et fidèle, i.e. \(f\) dominant, i.e. le cocrible engendré par […] \(f^{*}\) […] propriétés d'exactitude de \(f^{*}\) […]

i.e. \(\forall\, b \in \mathrm{Ob}\, B\), \(\exists\, a \in A\) et \(f(a) \to b\), i.e. \(A_{/b} \neq \emptyset\). OK

que […] \(b \to b'\) tel que […] \(f^{*}(b) \to f^{*}(b')\) […]

\[ \bigl[\, f^{*}(x) = \emptyset_{\hat{A}} \Longrightarrow x = \emptyset_{\hat{B}} \,\bigr] \]

\(A_{/f(b)}\) \(A_{/f(x)}\)

Mais \(f^{*}(a) = \emptyset_{\hat{B}} \Longrightarrow \mathrm{Hom}_{\hat{B}}(b, a) = \emptyset\) pour tout […] \(b \in f(\mathrm{Ob}(A))\),

Il faut en déduire que \(\mathrm{Hom}(b,a) = \emptyset\) \(\forall\, b \in B\)

Plus […] [ou conservatif]

Pour conclure que \(i^{*}\) est fidèle, il faut savoir que \(M \to \hat{M_{as}}\) (i.e.), il faut que \(M_{as}\) est \underline{génératrice}.

Peut-on avoir \(M_{as} = \emptyset\) / 1) […] que \(A = \emptyset\), donc \(\hat{A} = \{e\}\), donc \(\hat{A}_{as} = \emptyset\), ok

Contre-exemple ! Peut-on avoir \(M_{as} = \{a\}\)

Alors DPS \(A = \{a\}\), \(\hat{A} = \ill\)

\(M_{as} = \{x \in \mathrm{Ob}\,M \mid \mathrm{Hom}\,(a,x) \ill\}\)

la dernière ligne de la page, ajoutée sous celle-ci, est coupée par le bord inférieur du feuillet et n'a pas été rétablie ; elle reprend au haut de la page suivante

5

le feuillet porte « 2 » en haut à droite : c'est la pagination de l'auteur, la page précédente étant sa page 1

Soit \(G = \underline{\mathrm{End}}(a)\), \(\hat{A} \simeq (G\text{-ens})\) donc nécessairement \(G = \{\mathrm{id}\}\), alors \(\hat{A} \simeq (\mathrm{Ens})\), \(\hat{A}_{as} = \{\)ens. uniponctuels\(\}\),

donc \(M_{as} = \{x \in \mathrm{Ob}\,M \mid \mathrm{Hom}\,(b,x)\) card 1\(\}\)

donc Contre-exemple : \(M\) cat. discrète de cardinal \(\geq 2\), !

\(M_{as}\) engendre \(M\) de façon que \(M \to \hat{M}_{as}\) soit fidèle et conservatif.

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large]
\hat{A} \arrow[r, bend left=20] & M \arrow[l, bend left=20] & M' \arrow[l, "f^{*}"']
\end{tikzcd}

\(f^{*}\) commute aux limites

\(f_{!}\) existe alors, si […] \(\underline{W}\) […] que tout foncteur sur \(M'\) qui commute aux limites soit représentable — à vérifier des conditions qui l'assurent, qu'il […] pas […] : faire des hyp. d'[…] accessibilité sur \(f^{*}\). Mais […] que \(f_{!}\) […] \(M_{as}\) dans \(M'_{as}\) ?

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large]
M \arrow[r, bend left=20, "f_{!}"] & M' \arrow[l, bend left=20, "f^{*}"]
\end{tikzcd}

la question de la dernière ligne — si l'adjoint à gauche \(f_{!}\) respecte les parties asphériques — est celle vers laquelle toute la page converge, et elle reste ouverte : rien ne suit sur le feuillet