Cote n° 114 · pages 1–5 · Lecture modernisée · Asphéricité : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [1983]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

Le programme (page 1)

Le premier feuillet ne démontre rien : c'est une liste de neuf questions, en anglais, avec dans la marge de droite le numéro du chapitre où chacune devra aller, et au bas de la page une répartition qui les épuise toutes les neuf.

Restituées dans le vocabulaire d'aujourd'hui, les neuf points demandent :

1. ce qu'est un morphisme de structures asphériques, et ce que devient l'image d'une telle structure¹ ;
2. ce qu'est un morphisme de contracteurs ;
3. comment une structure s'induit sur une catégorie tranchée² ;
4. pourquoi la théorie n'est pas auto-duale ;
5. à quelle condition un type de structure donne un modélisateur canonique³ ;
6. s'il existe des théorèmes d'existence de foncteurs test ;
7. quelles conditions de finitude on peut imposer dans un modélisateur élémentaire⁴ ;
8. si l'on sait calculer la cohomologie par un opérateur de bord ;
9. ce que donnent, comme modélisateurs de \((\mathrm{Cat})\), les variantes finies et infinies des catégories test usuelles⁵ .

La répartition du bas de page mérite d'être relevée, parce qu'elle partage exactement les neuf points : 7 et 8 « may not be treated at all », 2, 3 et 9 iront dans la partie IV, 1, 4, 5 et 6 seront revus à Caen. C'est un plan de travail, avec ses abandons.

2–2

Les catégories en jeu, et la question (page 2)

Le deuxième feuillet est une liste de sept lignes et une question. Les six premières lignes nomment les catégories test candidates, chacune avec sa variante marquée d'un exposant \(f\) : \[ \Delta^{f}, \qquad \square,\ \square^{f}, \qquad \bigcirc,\ \bigcirc^{f}, \qquad \mathcal{B}_{f}(I). \] \(\Delta\) est la catégorie des simplexes, \(\square\) celle des cubes ; l'exposant \(f\) marque une variante restreinte, et la page ne dit pas laquelle⁶ . En marge, une remarque sur \((\mathrm{Ord})\), la catégorie des ensembles ordonnés : elle porte une structure asphérique, ou une structure de contractilité.

Puis la question, seule sur sa ligne : \[ \text{$0$-connexité totale} \ \Longrightarrow\ \text{asphéricité totale}\ ? \] La flèche n'a de pointe qu'à droite : c'est une implication, non une équivalence. La page suivante répond, et répond mieux que la question ne demandait — les deux conditions sont équivalentes.

3–3

L'asphéricité totale ne dépend pas du localisateur (page 3)

Le vocabulaire

Trois notions sont supposées connues sur cette page ; on les fixe ici.

Soit \(A\) une petite catégorie et \(\hat{A} = \mathrm{Fun}(A^{\circ}, \mathrm{Ens})\) la catégorie des préfaisceaux sur \(A\).

Un localisateur fondamental \(W\) est une classe de foncteurs entre petites catégories qu'on décide d'appeler équivalences : elle est faiblement saturée, elle contient les foncteurs \(A \to e\) pour toute \(A\) ayant un objet final, et elle vérifie une condition du type « théorème A » de Quillen. L'intérêt de l'axiomatique est qu'il n'y en a pas qu'un : à chaque \(W\) correspond une théorie de l'homotopie, et une notion d'asphéricité.

Une petite catégorie \(A\) est \(W\)-asphérique si \(A \to e\) appartient à \(W\) ; elle est totalement \(W\)-asphérique si de plus le produit \(a \times b\) de deux représentables est \(W\)-asphérique dans \(\hat{A}\), pour tous objets \(a, b\) de \(A\).

Un objet \(X\) de \(\hat{A}\) est \(0\)-connexe si \(\pi_{0}(X)\) est réduit à un point — autrement dit si la catégorie \(A_{/X}\) est non vide et connexe. On note \(\hat{A}_{W_{0}}\) la sous-catégorie pleine des objets \(0\)-connexes.

La proposition

Proposition 4. Soient \(A\) une petite catégorie, \(W\) un localisateur fondamental, \(W_{\infty}\) le localisateur fondamental le plus fin. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. [(i)] \(A\) est totalement \(W_{\infty}\)-asphérique ;
2. [(ii)] \(A\) est totalement \(W\)-asphérique ;
3. [(iii)] \(A\) est non vide et, pour tous objets \(a, b\) de \(A\), le produit \(a \times b\) est \(0\)-connexe dans \(\hat{A}\).

L'énoncé dit deux choses d'un coup. Que (i) et (ii) soient équivalentes, c'est que l'asphéricité totale ne dépend pas du localisateur choisi : la notion qu'on croyait relative à \(W\) est absolue. Et que (iii) leur soit équivalente, c'est qu'elle ne dépend même pas de l'homotopie — la condition se lit sur les seules composantes connexes.

La démonstration, et ce qu'elle suppose

Le mécanisme tient en un encadrement. Tout localisateur fondamental \(W\) vérifie \[ W_{\infty} \ \subseteq\ W \ \subseteq\ W_{0}, \] où \(W_{0}\) est le localisateur fondamental le plus grossier. L'asphéricité totale étant d'autant plus facile à obtenir que la classe des équivalences est large, l'encadrement donne aussitôt \[ \text{(i)} \Longrightarrow \text{(ii)} \Longrightarrow \text{totalement } W_{0}\text{-asphérique}, \] et il reste à voir que la dernière condition est exactement (iii), puis qu'elle entraîne (i)⁷ .

C'est immédiat, car \(W_{0}\) est le localisateur pour lequel un foncteur est une équivalence dès qu'il induit une bijection sur les composantes connexes : \(W_{0}\)-asphérique et \(0\)-connexe sont le même mot⁸ .

Reste l'inclusion de gauche, et c'est là qu'il faut être précis sur ce que la proposition suppose. Que les équivalences d'homotopie faibles usuelles forment un localisateur fondamental est facile ; qu'elles forment le plus fin, c'est-à-dire que \(W_{\infty}\) soit contenu dans tout localisateur fondamental, est une conjecture de Grothendieck. Elle a été démontrée par Denis-Charles Cisinski une vingtaine d'années après ces feuillets⁹ . La proposition 4, telle qu'elle est écrite, en dépend.

Une remarque sur la pratique

Le paragraphe qui précède la proposition n'est pas de la mathématique et c'est peut-être ce que le feuillet a de plus rare. Grothendieck vient d'achever une démonstration, s'interrompt, et écrit qu'après une minute de réflexion il se trouve très bête d'avoir traîné pendant des mois la notion de catégorie totalement \(W\)-asphérique sans avoir pris la peine de s'asseoir et de regarder si elle dépendait vraiment de \(W\) — et, du même coup, si la condition sur les produits n'entraînait pas déjà le reste. « So let's clean it up in the long last ! »

Ce qui est laissé sur la page, ce n'est pas le résultat mais le fait de ne pas avoir posé plus tôt la question la plus simple. La proposition 4 tient en six lignes ; le mois d'inattention qui la précède est écrit à côté d'elle.

4–4

La partie asphérique d'un modélisateur (page 4)

Les deux derniers feuillets, en français, changent de sujet et de fortune.

La situation

On se donne un modélisateur \(M\), un foncteur \(i : A \to M\) d'une petite catégorie, et le foncteur qu'il induit \[ i^{*} : M \longrightarrow \hat{A}, \qquad i^{*}(x) = \mathrm{Hom}_{M}(i(-), x). \] On note \(M_{as}\) la sous-catégorie pleine des objets asphériques de \(M\). La question de tout le feuillet est : quand \(i^{*}\) est-il conservatif et fidèle — c'est-à-dire quand les objets de \(A\) suffisent-ils à reconnaître les objets de \(M\) et à séparer les flèches ?

Le premier diagramme pose le cadre, avec un second modélisateur \(M'\) au-dessus :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\hat{A} & M \arrow[l, "i^{*}"'] & M' \arrow[l, "f^{*}"']
\end{tikzcd}

et le second demande si l'on peut faire passer \(i\) par la partie asphérique :

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "i"] \arrow[dr, dashed] & M\\
 & M_{as} \arrow[u]
\end{tikzcd}

Le « NB », et pourquoi il ne tient pas

Grothendieck écrit alors, en gras, le cas modèle dont il espère tout tirer : si \(f : A \to B\) est un foncteur asphérique, alors \(f^{*} : \hat{B} \to \hat{A}\) est conservatif et fidèle, « i.e. \(f\) dominant », la dominance étant explicitée en marge : \[ \forall\, b \in \mathrm{Ob}\,B,\ \exists\, a \in A \text{ et } f(a) \to b, \qquad \text{c'est-à-dire } f_{/b} \neq \emptyset. \]

Cet énoncé est faux, et il suffit de deux objets pour le voir¹⁰ .

Soit \(B\) la catégorie à deux objets \(b_{0}, b_{1}\) et une seule flèche non identique \(\beta : b_{0} \to b_{1}\) ; soit \(A = e\) la catégorie ponctuelle et \(f\) le foncteur d'image \(b_{0}\).

\begin{tikzcd}[column sep=large]
e \arrow[r, "f"] & b_{0} \arrow[r, "\beta"] & b_{1}
\end{tikzcd}

Le foncteur \(f\) est asphérique : \(f_{/b_{0}}\) et \(f_{/b_{1}}\) ont chacune un seul objet et aucune flèche non identique, ce sont des catégories ponctuelles. Il est donc en particulier dominant. Pourtant \(f^{*} : \hat{B} \to \mathrm{Ens}\), qui à un préfaisceau \(X\) associe \(X(b_{0})\), n'est ni conservatif ni fidèle :

• Non conservatif. Soit \(X\) le préfaisceau \(X(b_{0}) = \{*\}\), \(X(b_{1}) = \emptyset\), et \(Y\) le représentable \(b_{1}\), de sorte que \(Y(b_{0}) = \{\beta\}\) et \(Y(b_{1}) = \{\mathrm{id}\}\). Il existe un morphisme \(u : X \to Y\) — la condition de naturalité est vide en \(b_{1}\) — et \(f^{*}(u)\) est la bijection \(\{*\} \to \{\beta\}\), alors que \(u\) n'est pas un isomorphisme.
• Non fidèle. Soit \(X\) le représentable \(b_{1}\) et \(Y\) le préfaisceau \(Y(b_{0}) = \{*\}\), \(Y(b_{1}) = \{1, 2\}\). Les deux morphismes \(X \to Y\) qui envoient \(\mathrm{id}_{b_{1}}\) sur \(1\) et sur \(2\) sont distincts, mais coïncident en \(b_{0}\) puisque \(Y(b_{0})\) est ponctuel.

Rien de paradoxal : \(B\) a un objet initial, donc \(f\) est asphérique sans que \(\hat{B}\) ait la moindre raison de se laisser voir depuis un seul de ses objets.

Ce que la dominance caractérise exactement

Deux lignes plus bas, la page affiche entre crochets un énoncé plus faible : \[ \bigl[\ f^{*}(X) = \emptyset_{\hat{A}} \ \Longrightarrow\ X = \emptyset_{\hat{B}}\ \bigr]. \] Celui-là est exact, et il est même équivalent à la dominance.

En effet. Supposons \(f_{/b} \neq \emptyset\) pour tout \(b\), et soit \(X\) avec \(f^{*}(X) = \emptyset\), c'est-à-dire \(X(f(a)) = \emptyset\) pour tout \(a\). Si \(X(b)\) contenait un élément, la restriction le long d'une flèche \(f(a) \to b\) en produirait un dans \(X(f(a))\) : contradiction. Réciproquement, si un objet \(b\) vérifie \(f_{/b} = \emptyset\), le préfaisceau représenté par \(b\) est non vide et satisfait \(f^{*}(b) = \mathrm{Hom}(f(a), b) = \emptyset\) pour tout \(a\). \(\square\)

La dominance ne dit donc rien de plus que ceci : \(f^{*}\) reconnaît l'objet initial. C'est très loin de la conservativité, et c'est exactement l'écart que les ratures du feuillet sont en train de creuser.

Le bon critère

Grothendieck y arrive, à la dernière ligne du feuillet, et cette fois c'est juste : pour conclure que \(i^{*}\) est fidèle, il faut que \(M_{as}\) soit génératrice.

C'est en effet la caractérisation. Puisque \(i^{*}(x)_{a} = \mathrm{Hom}_{M}(i(a), x)\), deux flèches \(u, v : x \to y\) de \(M\) ont même image par \(i^{*}\) si et seulement si \(u\varphi = v\varphi\) pour tout \(a\) et tout \(\varphi : i(a) \to x\). Dire que \(i^{*}\) est fidèle, c'est exactement dire que la famille \(\{i(a)\}_{a \in A}\) est séparatrice dans \(M\) ; et la conservativité demande davantage encore¹¹ . C'est une condition sur la taille de la famille, non sur la nature de chaque foncteur — ce que la dominance ne pouvait pas donner.

4–5

Deux contre-exemples (pages 4 et 5)

Le critère une fois posé, la question devient : \(M_{as}\) est-elle jamais génératrice ? Grothendieck construit deux objets qui répondent non, et franchement.

La partie asphérique peut être vide

Prenons \(A = \emptyset\). Alors \(\hat{A}\) a exactement un objet — le préfaisceau vide — et cet objet n'est pas \(0\)-connexe, puisque son \(\pi_{0}\) est vide. Donc \[ \hat{A} = \{e\}, \qquad \hat{A}_{as} = \emptyset. \] Rien à engendrer avec rien. « Contre-exemple ! », écrit la page.

La partie asphérique peut être ponctuelle sans rien engendrer

Supposons maintenant \(M_{as} = \{a\}\), réduite à un objet. Soit \(A\) la sous-catégorie pleine sur \(a\) : c'est une catégorie à un seul objet, donc un monoïde, celui de ses endomorphismes \[ G = \underline{\mathrm{End}}(a), \] et \(\hat{A}\) est la catégorie des \(G\)-ensembles à droite. Pour que les objets asphériques de \(\hat{A}\) soient les ensembles ponctuels, il faut que \(G\) soit trivial, et alors \(\hat{A} \simeq (\mathrm{Ens})\) et \(\hat{A}_{as}\) est la classe des ensembles à un élément¹² . On obtient alors \[ M_{as} = \{\, x \in \mathrm{Ob}\,M \ \mid \ \mathrm{Hom}(a, x) \text{ est ponctuel} \,\}. \]

Le contre-exemple tient en une ligne : soit \(M\) une catégorie discrète de cardinal \(\geq 2\). Aucun objet n'en reçoit de flèche d'un autre, la partie asphérique ne peut donc rien séparer, et \(i^{*}\) n'est pas fidèle. La condition « \(M_{as}\) génératrice » n'a rien d'automatique : elle est une hypothèse, et c'est ce que ces deux exemples établissent.

5–5

La question laissée ouverte (page 5)

Le feuillet finit sur une adjonction et une question.

Entre les deux modélisateurs, \(f^{*} : M' \to M\) commute aux limites. Le théorème du foncteur adjoint donne alors un adjoint à gauche \[ f_{!} : M \longrightarrow M' \] dès que tout foncteur sur \(M'\) commutant aux limites est représentable — ce qui demande des hypothèses de solution-set, ou d'accessibilité, que la page se contente de signaler comme « à vérifier »¹³ .

\begin{tikzcd}[column sep=large]
M \arrow[r, bend left=20, "f_{!}"] & M' \arrow[l, bend left=20, "f^{*}"]
\end{tikzcd}

Et la question, la dernière du dossier :

\(f_{!}\) envoie-t-il \(M_{as}\) dans \(M'_{as}\) ?

Autrement dit : l'adjoint à gauche respecte-t-il l'asphéricité ? Rien ne suit sur le feuillet. C'est vers cette question que toute la page converge, et la chemise s'arrête là¹⁴ .