Fonds Grothendieck, cote n° 113, pages 1–12

Abelianization

ce mot est de lui : il est seul, en haut à droite d'un listage d'ordinateur par ailleurs vierge, à la page 1. Le feuillet ne portant que cela, il ne reçoit pas de marque de page ; c'est de là que vient le titre de l'inventaire, qui est donc de lui et non des archivistes. Le coin supérieur gauche du même feuillet porte, de sa main, le nombre 377

Au dos du feuillet de titre : systèmes et MM-fibrés semi-simpliciaux

ce titre est de l'édition. Le feuillet n'en porte pas, et la question qu'il traite n'est pas celle des feuillets 3 à 12 : il n'y est question ni d'abélianisation ni de catégories k-additives. Il est écrit en travers, le feuillet tourné d'un quart de tour

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \alpha \arrow[r, two heads] \arrow[d, "\xi"'] & \beta \arrow[d, dashed] & \gamma \arrow[l, hook'] \arrow[d, "\eta"] \\ X \arrow[r, two heads] & Y & Z \arrow[l, hook'] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \alpha_0 \arrow[r, two heads] \arrow[d, "\xi_0"'] & \alpha'_0 \arrow[d, dashed, "\xi'_0"'] & \alpha_1 \arrow[l, hook'] \arrow[r] \arrow[d, "\xi_1"'] & \alpha_2 \arrow[r] \arrow[d, "\xi_2"'] & \cdots \arrow[r] & \alpha_{n-1} \arrow[r, two heads] \arrow[d, "\xi_{n-1}"'] & \alpha'_{n-1} \arrow[d, dashed, "\xi'_{n-1}"'] & \alpha_n \arrow[l, hook'] \arrow[d, "\xi_n"] \\ X_0 \arrow[r, two heads] & X'_0 & X_1 \arrow[l, hook'] \arrow[r] & X_2 \arrow[r] & \cdots \arrow[r] & X_{n-1} \arrow[r, two heads] & X'_{n-1} & X_n \arrow[l, hook'] \end{tikzcd}

le feuillet porte en outre, entre les deux lignes de ce diagramme, une série de flèches obliques portant les étiquettes \eta_0, \eta_1, \dots, \eta_{n-1} ; l'encombrement ne permet pas d'en séparer les extrémités et elles ne sont pas tracées ici. Une accolade coiffe la ligne du haut, portant u ; une autre passe sous celle du bas, portant v

Les syst. (\xi'_0, \xi_{n-1}) tels que \xi'_{n-1} u = v \xi'_0

f \longmapsto \struck{\ill{}} \quad \struck{multibundle} \quad \text{MM-fibré} \quad M_1

M \longrightarrow ~~foncteur~~ des syst. \xi.

M \longrightarrow M_1

cette flèche, comme presque toutes celles de la page, porte l'étiquette soulignée « subm »

M(\eta_0, \xi_{n-1}) \longrightarrow M(\xi'_0, \xi_n)

M\bigl(\xi'_0, \ill{}\, \eta_{n-1}, \xi'_{n-1}\bigr) \qquad M(\eta_0, \eta_{n-1})

M(\eta_0, \eta_1, \dots, \eta_{n-1})

Puis, à droite :

M\bigl(\xi_0, \xi'_0, \xi_1 \cdots \eta_{n-1}, \xi_{n-1}, \xi_n\bigr) \;\simeq\; M(\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_n) M\bigl(\xi'_0, \xi_1, \xi_2 \cdots \xi_{n-1}, \xi'_n\bigr) \longrightarrow \prod M(\eta_i, \xi_{i+1}, \eta_{i+1}) \qquad \text{si } i \leqslant n-2 M\bigl(\xi'_0, \eta_0, \eta_1, \dots, \eta_{n-1}, \xi'_n\bigr) \longrightarrow \prod M(\eta_i, \eta_{i+1}) \qquad \text{à } i \leqslant n-2 M(\eta_0, \eta_{n-1}) \longleftarrow M(\eta_0, \eta_1, \dots, \eta_{n-1}) \qquad \text{subm } (\uncertain{mieux})

les listes d'indices de ces quatre lignes sont écrites très vite et leurs apostrophes ne se séparent pas toutes ; elles sont données telles qu'elles se lisent. Les flèches verticales entre elles portent « subm », l'une d'elles « exact ». Immédiatement à gauche de ce bloc s'en trouve une première version, biffée en noir puis en rouge, qui n'est pas transcrite

Pour que \int_I X(i) ne fasse pas sortir des MM-fibrés semi-simpliciaux, il suffit que

a)Nerf.(I) asphériques i.e. I asphériques b)Chaque X(i) transforme op. bord d_i : \Delta_{n-1} \to \Delta_n en submersions, c)\forall\, u \in \mathrm{Fl}(I), u : i \to j, X(u) : X(i) \to X(j) se factorise en g f, f submersion, g mono.

le coin inférieur droit du feuillet reprend le premier diagramme, sous la forme \alpha \twoheadrightarrow \beta \hookleftarrow \gamma au-dessus de X \twoheadrightarrow Y \hookleftarrow Z, avec \eta_0 et \eta_1 pour flèches verticales extrêmes ; les flèches du milieu y sont biffées

\otimes dans Cat

ce titre est de lui : il est encadré au crayon en haut du feuillet 3. Les feuillets 3, 5, 7, 9 et 11 portent en outre sa pagination propre, un chiffre cerclé de 1 à 5 dans le coin supérieur droit

P petite catégorie k-additive

P^{k} \;\underset{\text{déf}}{=}\; \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(P^{\circ}, Ab) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, Ab_k)

(ne dépend pas du choix de la str. k-additive)

P \hookrightarrow P^{k} inclusion additive pl. fid., d'où

\operatorname{Kar} P \longrightarrow P^{k} \quad \text{qui induit équivalence}

N.B. P \to \operatorname{Kar} P induit (\operatorname{Kar} P)^{k} \overset{\sim}{\to} P^{k}

\operatorname{Kar} P \;\approx\; \uncertain{\mathrm{Ul}}\operatorname{Proj}(P^{k})

les deux lettres qui précèdent « Proj » sont lues « Ul » et ne sont pas identifiées ; elles reparaissent plus bas sur le même feuillet

Soit P \mathcal{P} catégorie k-additive, pour qu'elle soit \approx cat. de la forme P^{k}, avec P ~~additive~~ k-additive, il f. et s. que

a)\mathcal{P} soit un topos abélien, i.e. cat. abélienne, stable par petites \varinjlim filtrantes, celles-ci étant exactes, et admettant une petite sous-cat. génératrice b)\mathcal{P} a assez de projectifs.

et alors \mathcal{P} on a une k-équivalence \mathcal{P} \simeq P^{k}, avec P k-add.

un mot ou deux sont biffés après « Pour », et « et alors » est écrit au-dessus de la biffure ; ni l'un ni l'autre ne se lisent

( — on peut prendre P = \uncertain{\mathrm{Ul}}\operatorname{Proj}(\mathcal{P})).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] (\mathrm{Add}_k) \arrow[r, "2\text{-ess. surj.}"] \arrow[d, "\operatorname{Kar}"'] & (\mathrm{Top\ ab}\ \ill{}_{\,k}) \\ (\mathrm{AddKar}_k) \arrow[ur, "3\text{-fid.}"'] \end{tikzcd}

sous l'étiquette de la flèche horizontale, une seconde étiquette est biffée, dont on lit le « 2 » initial. Le mot que porte le but, entre « ab » et l'indice k, est repassé plusieurs fois et ne se lit pas ; la ligne qui suit l'écrit « alg. »

morphismes de topos k-abéliens alg. sont les f_{!} : \mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{Q} commutant aux \varinjlim telles que f^{*} ~~commut~~ (= adjoint à droite) commutant aux \varinjlim, i.e. admettant adjoint à droite f_{*}.

Soit L \in \operatorname{Ob} P^{k}, alors L \simeq \varinjlim_{P/L} a

\operatorname{Hom}_{k!}(P^{k}, M) \overset{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(P, M) \qquad \text{si $M$ $k$-additive \uncertain{stable} par $\varinjlim$}

il abrège « stable » en « st.bl. » ; c'est la lecture retenue partout ci-dessous, et c'est l'hypothèse dont chacun de ces isomorphismes a besoin

~~\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}!}(P^{k}, Ab) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(P, Ab)~~

\operatorname{Hom}_{k!}(P^{k\circ}, M) \overset{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M) \qquad \text{si $M$ $k$-additive stable par $\varprojlim$}

soit Q = P^{\circ} :

\operatorname{Hom}_{k!}(Q^{k\circ}, M) \simeq \operatorname{Hom}_k(P, M)

\underbrace{\operatorname{Hom}^{!}_{k}(Q^{k\circ}, M)}_{\textstyle \mathcal{Q}_M} \;\simeq\; \underbrace{\operatorname{Hom}_{k!}(P^{k}, M)}_{\textstyle \mathcal{P}_M} \qquad \text{si $M$ $k$-add.\ stable pour les deux types de lim}

Sur \mathcal{P}_{M} \overset{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M) :

\mathcal{Q} = \mathcal{P}^{\vee} opère par (F, L') \mapsto F *_k L' \mathcal{P} opère par (L, F) \mapsto \operatorname{Hom}_k(L, F)

l'exposant de \mathcal{P} dans « \mathcal{P}_M » est un k biffé. La marque de dualité est un petit v placé haut et à droite, distinct de son signe de degré \circ

\mathcal{P}^{k}_{M} \times Q^{k} \longrightarrow M, \qquad \mathcal{P}_M \times Q \longrightarrow M, \qquad P \times \mathcal{P}^{\dagger}_{M} \longrightarrow M, \qquad P^{k} \times P^{k}_{M}

ces quatre couples de facteurs sont écrits en colonne à droite des deux lignes précédentes, comme un rappel des variances ; le signe porté par le troisième ne se lit pas

On : (F *_k L')^{\circ} \;\simeq\; \struck{\ill{}}\ \operatorname{Hom}_k(L', F^{\circ}), \qquad \bigl(\operatorname{Hom}_k(L, F)\bigr)^{\circ} \;\simeq\; F^{\circ} * L

sous les membres de la première de ces deux formules il écrit P, M et Q, M^{\circ}, pour dire où chacun vit

un mot biffé, illisible, ouvre la seconde moitié du feuillet ; un trait horizontal la sépare de ce qui précède

Soient P, Q k-additives, on définit P \otimes_k Q et P \times Q \to P \otimes_k Q k-biadditive de façon 2-universelle :

\operatorname{Hom}_k(P \otimes_k Q, M) \;\simeq\; \operatorname{Bil}_k(P, Q; M) \qquad \text{tout $M$ $k$-additive}

Construction explicite par familles finies d'objets de P \times Q :

\zeta = \bigoplus_{i \in I} a_i \otimes_k b_i , \qquad \ill{},\ \text{pour } \zeta' = \bigoplus_{j \in J} a'_j \otimes_k b'_j , \operatorname{Hom}(\zeta, \zeta') = \prod_{I \times J} \operatorname{Hom}(a_i, a'_j) \otimes_k \operatorname{Hom}(b_i, b'_j)

À retenir

a)Si P, Q petites, P \otimes_k Q est petite b)\operatorname{Hom}_{P \otimes_k Q}(a \otimes_k b, a' \otimes_k b') \overset{\sim}{\longleftarrow} \operatorname{Hom}_P(a, a') \otimes_k \operatorname{Hom}_Q(b, b')

On en conclut que le foncteur can. (pl. fid. !)

« can » est inséré au-dessus de la ligne ; la phrase s'arrête là

P \otimes_k Q \;\hookrightarrow\; (P \otimes_k Q)^{k} \;\simeq\; \struck{\operatorname{Bil}}\ \operatorname{Bil}_k(P^{\circ}, Q^{\circ}; (Ab_k))

est donné par

(*) \qquad a \otimes_k b \;\longmapsto\; \bigl((x, y) \mapsto \operatorname{Hom}_P(x, a) \otimes_k \operatorname{Hom}_Q(y, b)\bigr)

ce qui donne une construction d'une variante de P \otimes_k Q comme la sous-cat. pleine de \operatorname{Bil}_k(P^{\circ}, Q^{\circ}; Ab_k) formée des sommes finies de foncteurs de la forme (*) (i.e. la cat. str. pleine correspondante)

de l'existence de P \otimes_k Q, et du fait qu'elles petites si P, Q le sont

Application 1. Soit M \simeq Q^{k} un topos k-abélien alg., M^{\vee} \simeq Q^{\circ k} « le » topos k-abélien alg. dual. Considérons P^{k}_{M} et P^{\circ k}_{M^{\vee}} (\simeq \mathcal{P}_M et (\mathcal{P}^{\circ})_{M^{\vee}}), ce sont des deux topos k-abéliens alg., de = même

il écrit le signe « = » pour le mot « même », ici et au feuillet 11

En effet, \begin{aligned} P^{k}_{M} &= \operatorname{Hom}_k\bigl(P^{\circ}, \operatorname{Hom}_k(Q^{\circ}, Ab_k)\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(P^{\circ} \otimes_k Q^{\circ}, Ab_k) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl((P \otimes_k Q)^{\circ}, Ab_k\bigr) = (P \otimes_k Q)^{k} \end{aligned} \begin{aligned} P^{\circ k}_{M^{\vee}} &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl( (P^{\circ} \otimes_k Q^{\circ})^{\circ}, Ab_k\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(P \otimes_k Q, Ab_k) = (P \otimes_k Q)^{\circ k} \end{aligned}

Appl. 2. \operatorname{Bil}_{k!!}(P^{k}, Q^{k}; M) \;\simeq\; \struck{\operatorname{Hom}}\ \operatorname{Hom}_{k!}\bigl((P \otimes_k Q)^{k}, M\bigr) \bigl(\simeq \operatorname{Bil}_k(P, Q; M) \text{ si $M$ $k$-add.\ avec } \varinjlim\bigr)

le P du membre de droite porte un exposant k biffé. Un point d'interrogation est posé sous cet énoncé

i.e. (P \otimes_k Q)^{k} joue le rôle du prod. tens. des topos k-abéliens P^{k}, Q^{k}, parmi les cat. k-additives stables par \varinjlim

Dém. \begin{aligned} \operatorname{Bil}_{k!!}(P^{k}, Q^{k}; M) &\simeq \operatorname{Hom}_{k!}\bigl(P^{k}, \underbrace{\operatorname{Hom}_{k!}(Q^{k}, M)}_{\textstyle \operatorname{Hom}_k(Q, M)}\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(P, \operatorname{Hom}_k(Q, M)\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(P \otimes_k Q, M) \overset{\sim}{\longleftarrow} \operatorname{Hom}_{k!}\bigl((P \otimes_k Q)^{k}, M\bigr) \end{aligned}

Dualement \operatorname{Bil}_{k!!}(P^{k\circ}, Q^{k\circ}; M) \;\simeq\; \struck{\operatorname{Hom}}\ \operatorname{Hom}_{k!}\bigl( (P \otimes_k Q)^{k\circ}, M\bigr)

ici encore le P intérieur porte un exposant k biffé

Appl. 3. Soit M k-additive stable par \varinjlim, on a

(\circledast) \qquad P^{k} \otimes_k M \longrightarrow \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M) = P^{k}_{M} L \otimes_k x \;\longmapsto\; \bigl(a \mapsto L(a) \otimes_k x\bigr) = \widetilde{x} \circ L

le renvoi est une étoile inscrite dans un cercle, à distinguer de l'astérisque nu du feuillet 7

P^{\circ} \overset{L}{\longrightarrow} Ab_k \overset{\widetilde{x}}{\longrightarrow} M , \qquad \operatorname{Hom}_{k!}(Ab_k, M) \simeq M

Ce foncteur (\circledast) est pl. fidèle. En effet, ~~comparons~~.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] M \arrow[r, "\text{pl. fid.}"] & M^{k} \\ \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M) \arrow[r, "\text{pl. fid.}"] & \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M^{k}) \arrow[d, "\text{pl. fid.}"] \\ & \operatorname{Hom}_k(P^{k\circ}, M^{k}) \\ & \operatorname{Bil}_k(P^{k} \times M^{\circ}, Ab_k) \end{tikzcd}

la troisième et la quatrième ligne sont reliées par un double trait d'égalité, non par une flèche. À droite du diagramme il écrit : « attention, il faut passer à un univers plus gros » ; et, contre la flèche verticale, « NB M^{k} st. k. par \varprojlim ». Une première version de la première ligne, biffée, portait \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M) \to \operatorname{Hom}^{!}_{k}(P^{k\circ}, \ill{})

P^{k} \otimes_k M \dashrightarrow \operatorname{Bil}_k(P^{k} \times M^{\circ}, Ab_k) \qquad \text{pl.\ fid.\,?}

Can. connu pour être pl. fidèle

trois jambages, lu « Can. » pour « canonique » ; « Com. » n'est pas exclu. La flèche qui porte cette remarque est tracée en pointillé, et une seconde, en pointillé également, monte vers le haut du diagramme

On identifiera parfois L \otimes_k x à son image dans \operatorname{Hom}_k(P^{\circ}, M) = P^{k}_{M}

Ex. M = Q^{k}, donc P^{k}_{M} \simeq (P \otimes_k Q)^{k}, donc (\circledast) devient

P^{k} \otimes_k Q^{k} \longrightarrow (P \otimes_k Q)^{k} \simeq \operatorname{Bil}_k(P, Q; Ab_k) \qquad \text{pl.\ fid.} F \otimes_k G \;\longmapsto\; \bigl((a,b) \mapsto F(a) \otimes_k G(b)\bigr)

sous « pl. fid. » une première étiquette, biffée, disait la même chose

(On (cas dual, = même si l'on des variances F : à dans P, G dans Q, engendrant ~~\operatorname{Hom}~~ P^{k}_{M})

Formule. L \in P^{k}, x \in M donc L \otimes_k x \in P^{k}_{M} ; L' \in P^{\circ k}.

(L \otimes_k x) *_k L' \;\simeq\; \underbrace{(L *_k L')}_{\textstyle \in Ab_k} \otimes_k x

il suffit de le vérifier pour L \in \uncertain{P^{(a)}}, L' \in \uncertain{P^{(b^{\circ})}} — sous chacun des deux il pose un signe \| suivi de « a » et de « b^{\circ} », identifiant L et L' aux objets dont ils sont les images ; les deux membres x fonctoriellement \simeq à \operatorname{Hom}(\uncertain{b}, a) \otimes_k x, le premier argument de ce \operatorname{Hom} étant repassé plusieurs fois

Soit F \in P^{k}_{M}, alors \operatorname{Hom}_{P^{k}_{M}}(L \otimes_k x, F) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_M\bigl(x, \operatorname{Hom}_k(L, F)\bigr) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{P^{k}}\bigl(L, \operatorname{Hom}_M(x, F)\bigr) où, par définition, \operatorname{Hom}_M(x, F) : \quad a \longmapsto \operatorname{Hom}_M\bigl(x, F(a)\bigr)

si L = a \in P, on trouve \operatorname{Hom}_M(x, F(a)) pour les 2 derniers membres

cette remarque est écrite en biais, à environ 45°, le long du bord gauche du feuillet

Cor. Si L \in \operatorname{Proj}(P^{k}), x \in \operatorname{Proj}(M), alors L \otimes_k x \in \operatorname{Proj}(P^{k}_{M}).

Question. Si M k-add. stable par \varinjlim, et a assez de projectifs, alors P^{k}_{M} a assez de projectifs F, et ceux-ci annulent les \operatorname{Tor}_i(L, F) (L \in P^{k}).

le F est inséré au-dessus de « projectifs », par un signe de renvoi

la page écrit bien L \in P^{k}. Un tel L est, comme F, contravariant sur P, alors que le produit *_k que ces Tor dérivent apparie F avec un objet de P^{\circ k}, comme le L' de la formule ci-dessus et le L' de Q^{k} au feuillet 12 ; la variance n'est pas réparée ici

De plus, on peut alors définir F \circledast^{L}_{k} L' par résolutions proj. en F, comme F \circledast_k L' — un quasi-isom. L' \to L'' définit un quasi-isom. F \circledast_k L' \to F \circledast_k L''.

le signe de cette opération est un astérisque inscrit dans un cercle ; c'est le produit que le feuillet 11 écrit *_k sans le cercle

Quand et une pour les objets de Q ainsi que pour celles-ci

ces deux lignes sont écrites très pâle, entre deux traits ondulés qui séparent ce bloc du suivant ; elles ne se lisent pas

N k-additive abélienne :

a)stable par petites sommes b)Une petite de mono c)Tout objet de N quotient d'un projectif d)Pour tout objet projectif x de N, est « k-plat », i.e. (le foncteur Ab_k \longrightarrow N, \qquad M \longmapsto M \otimes_k a transforme mono en mono)

« k-plat » est souligné et mis entre guillemets par lui ; c'est son nom pour cette condition. Il écrit a dans la formule là où la ligne parle de x, et ce désaccord n'est pas réparé ici

Dans l'autre marge du même feuillet :

Soit N cat. k-additive abélienne stable par petites sommes.

a)Si dans N tout objet est quotient d'un projectif, alors dans P^{k}_{N} tout objet F est quotient d'une somme \Phi = \bigoplus_{a \in \operatorname{Ob} P} a \otimes_k x_a, les x_a projectifs, et un tel \Phi est projectif. b)Si de plus, pour tout objet projectif x de N, le foncteur correspondant Ab_k \longrightarrow N, \qquad M \longmapsto M \otimes_k a est exact (i.e. transforme mono en mono), alors pour tout objet projectif \Phi de P^{k}_{N}, le foncteur Q^{k} \longrightarrow N, \qquad L' \longmapsto \Phi *_k L' est exact — et par suite F \circledast^{L}_{k} L' peut être calculé — redéfini par résolutions projectives L'_i de L' ! et résolutions projectives F_i de F. ~~De plus~~ ~~\ill{} \Phi \circledast_k L'~~

ici encore la formule écrit a là où la ligne parle de x. Les mots « résolutions projectives » qui précèdent F_i sont écrits sous la ligne, rattachés par un trait à ce qui précède, et la dernière ligne du feuillet est barrée d'un long trait