Cote n° 113 · pages 1–12 · Lecture modernisée · Abelianization : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Au dos du titre (page 2) : un calcul indépendant.
2. 2.Catégories de modules (page 3) : \(P^{k}\), sa reconnaissance, l'adjonction de la cocomplétion libre.
3. 3.Produit tensoriel de catégories \(k\)-linéaires (page 5), et son plongement dans les foncteurs bilinéaires (page 7).
4. 4.Trois applications (pages 7 et 9) : \(P^{k}_{M}\) comme catégorie de modules, \((P \otimes_{k} Q)^{k}\) comme produit tensoriel, et la comparaison \((\circledast)\).
5. 5.Projectifs et produit dérivé (pages 11 et 12).

Conventions. \(k\) est un anneau commutatif et \(Ab_{k}\) la catégorie des \(k\)-modules. Une catégorie \(k\)-additive est une catégorie additive \(k\)-linéaire. Pour \(P\) petite et \(k\)-additive, \[ P^{k} = \mathrm{Hom}_{k}(P^{\circ}, Ab_{k}), \qquad P^{k}_{M} = \mathrm{Hom}_{k}(P^{\circ}, M) \] pour \(M\) \(k\)-additive.¹ \(\mathrm{Hom}_{k!}\) désigne les foncteurs \(k\)-linéaires qui commutent aux petites limites inductives, \(\mathrm{Hom}^{!}_{k}\) ceux qui les transforment en limites projectives, \(\mathrm{Bil}_{k}\) les foncteurs \(k\)-bilinéaires et \(\mathrm{Bil}_{k!!}\) ceux qui commutent aux limites inductives en chaque variable. Pour \(F \in P^{k}_{M}\) et \(L' \in (P^{\circ})^{k}\), \(F *_{k} L' \in M\) est leur convolution, et pour \(L \in P^{k}\), \(\mathrm{Hom}_{k}(L, F) \in M\) l'objet des morphismes : \[ F *_{k} L' = \int^{a \in P} L'(a) \otimes_{k} F(a), \qquad \mathrm{Hom}_{k}(L, F) = \int_{a \in P} \mathrm{Hom}_{k}\bigl(L(a), F(a)\bigr), \] la première supposant \(M\) cocomplète, la seconde complète.²

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : l'énoncé 2-fonctoriel de la page 3, seulement dessiné ; la partie « Tor » de la question de la page 11 ; les propositions de la page 12 au-delà des deux arguments donnés ici.

2–2

Au dos du feuillet de titre (page 2)

Le feuillet de couverture ne porte que le mot « Abelianization » et le nombre 377 ; c'est de lui que vient le titre de l'inventaire. Son verso, écrit en travers, traite d'une autre question. Des diagrammes \(\alpha \twoheadrightarrow \beta \hookleftarrow \gamma\) au-dessus de \(X \twoheadrightarrow Y \hookleftarrow Z\) en composent une chaîne, et une famille d'objets notés \(M(\xi_{0}, \ldots, \xi_{n})\), reliés par des flèches presque toutes marquées « subm », décrit ce qu'il appelle des MM-fibrés. Le feuillet se termine sur un critère :

Pour que \(\int_{I} X(i)\) ne fasse pas sortir des MM-fibrés semi-simpliciaux, il suffit que

1. a)le nerf de \(I\) soit asphérique, c'est-à-dire que \(I\) soit asphérique ;
2. b)chaque \(X(i)\) transforme les opérateurs de face \(d_{i} : \Delta_{n-1} \to \Delta_{n}\) en submersions ;
3. c)pour toute flèche \(u : i \to j\) de \(I\), \(X(u)\) se factorise en \(g f\), avec \(f\) une submersion et \(g\) un monomorphisme.

Cette lecture n'identifie pas la notion.³

3–3

Catégories de modules (page 3)

Soit \(P\) une petite catégorie \(k\)-additive. La catégorie \(P^{k}\) ne dépend pas de la structure \(k\)-linéaire choisie : un foncteur additif \(P^{\circ} \to Ab\) est automatiquement à valeurs dans les \(k\)-modules. Le plongement de Yoneda \(P \hookrightarrow P^{k}\) est additif et pleinement fidèle, et il induit \[ \mathrm{Kar}(P) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Proj}_{\mathrm{tf}}(P^{k}), \qquad (\mathrm{Kar}\, P)^{k} \xrightarrow{\;\sim\;} P^{k}, \] où \(\mathrm{Proj}_{\mathrm{tf}}(P^{k})\) est la sous-catégorie pleine des objets projectifs de type fini : les facteurs directs des objets représentables. C'est l'invariance de Morita.⁴

Reconnaissance. Pour qu'une catégorie \(k\)-additive \(\mathcal{P}\) soit équivalente à \(P^{k}\) pour une petite catégorie \(k\)-additive \(P\), il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, qu'elle admette les petites sommes, et qu'elle admette une petite famille génératrice d'objets projectifs de type fini, c'est-à-dire dont le foncteur \(\mathrm{Hom}\) commute aux sommes. On peut alors prendre pour \(P\) la sous-catégorie pleine de ces projectifs.⁵

Morphismes. Les morphismes de « topos \(k\)-abéliens algébriques » sont les foncteurs \(f_{!} : \mathcal{P} \to \mathcal{Q}\) qui commutent aux limites inductives et dont l'adjoint à droite \(f^{*}\) y commute aussi, c'est-à-dire admet lui-même un adjoint à droite \(f_{*}\). Il en dessine le résultat : le 2-foncteur \(P \mapsto P^{k}\), de la 2-catégorie des petites catégories \(k\)-additives vers celle des topos \(k\)-abéliens algébriques, est 2-essentiellement surjectif, et devient une équivalence sur les catégories de morphismes après passage à l'enveloppe de Karoubi.⁶

Cocomplétion libre. Tout \(L \in P^{k}\) est limite inductive canonique de représentables, \(L \simeq \varinjlim_{P/L} a\), d'où, pour \(M\) \(k\)-additive admettant les petites limites inductives, \[ \mathrm{Hom}_{k!}(P^{k}, M) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}_{k}(P, M), \] et, dualement, pour \(M\) admettant les petites limites projectives, \[ \mathrm{Hom}^{!}_{k}\bigl((P^{k})^{\circ}, M\bigr) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}_{k}(P^{\circ}, M) = P^{k}_{M}. \]

5–5

Produit tensoriel de catégories \(k\)-linéaires (page 5)

Deux structures sur \(P^{k}_{M}\). Posant \(Q = P^{\circ}\), les deux formules précédentes donnent⁷ , pour \(M\) complète et cocomplète, \[ \mathrm{Hom}^{!}_{k}\bigl((Q^{k})^{\circ}, M\bigr) \simeq Q^{k}_{M} = \mathrm{Hom}_{k}(P, M) \simeq \mathrm{Hom}_{k!}(P^{k}, M). \] Sur \(P^{k}_{M} = \mathrm{Hom}_{k}(P^{\circ}, M)\) opèrent \((P^{\circ})^{k}\), par \((F, L') \mapsto F *_{k} L'\), et \(P^{k}\), par \((L, F) \mapsto \mathrm{Hom}_{k}(L, F)\), et l'on a \[ (F *_{k} L')^{\circ} \simeq \mathrm{Hom}_{k}(L', F^{\circ}), \qquad \mathrm{Hom}_{k}(L, F)^{\circ} \simeq F^{\circ} *_{k} L , \] le premier dans \(M^{\circ}\), où \(F^{\circ} : P \to M^{\circ}\).

Définition. Pour \(P\), \(Q\) \(k\)-additives, le produit tensoriel \(P \otimes_{k} Q\), muni d'un foncteur \(k\)-bilinéaire \(P \times Q \to P \otimes_{k} Q\), est défini par la propriété 2-universelle \[ \mathrm{Hom}_{k}(P \otimes_{k} Q, M) \simeq \mathrm{Bil}_{k}(P, Q; M) \qquad \text{pour toute } M \ k\text{-additive}. \]

Construction explicite. Les objets sont les familles finies \(\zeta = \bigoplus_{i \in I} a_{i} \otimes_{k} b_{i}\), et \[ \mathrm{Hom}(\zeta, \zeta') = \prod_{(i,j) \in I \times J} \mathrm{Hom}_{P}(a_{i}, a'_{j}) \otimes_{k} \mathrm{Hom}_{Q}(b_{i}, b'_{j}), \] la composition étant celle des matrices. À retenir :

1. a)si \(P\) et \(Q\) sont petites, \(P \otimes_{k} Q\) l'est ;
2. b)\(\mathrm{Hom}_{P} (a, a') \otimes_{k} \mathrm{Hom}_{Q}(b, b') \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}_{P \otimes_{k} Q}(a \otimes_{k} b, a' \otimes_{k} b')\).

7–7

Plongement, et deux applications (page 7)

Le plongement de Yoneda de \(P \otimes_{k} Q\) se lit dans les foncteurs bilinéaires : \[ P \otimes_{k} Q \hookrightarrow (P \otimes_{k} Q)^{k} \simeq \mathrm{Bil}_{k}(P^{\circ}, Q^{\circ}; Ab_{k}), \qquad a \otimes_{k} b \longmapsto \bigl((x, y) \mapsto \mathrm{Hom}_{P}(x, a) \otimes_{k} \mathrm{Hom}_{Q}(y, b)\bigr). \] Il est pleinement fidèle par b) et Yoneda. D'où une seconde construction de \(P \otimes_{k} Q\) : la sous-catégorie pleine de \(\mathrm{Bil}_{k}(P^{\circ}, Q^{\circ}; Ab_{k})\) formée des sommes finies de tels foncteurs — ce qui prouve l'existence, et la petitesse si \(P\) et \(Q\) sont petites.

Application 1. Soit \(M \simeq Q^{k}\), et \(M^{\vee} \simeq (Q^{\circ})^{k}\) sa duale. Alors \(P^{k}_{M}\) et \((P^{\circ})^{k}_{M^{\vee}}\) sont encore des catégories de modules : \[ P^{k}_{M} = \mathrm{Hom}_{k}\bigl(P^{\circ}, \mathrm{Hom}_{k}(Q^{\circ}, Ab_{k})\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{k}(P^{\circ} \otimes_{k} Q^{\circ}, Ab_{k}) = (P \otimes_{k} Q)^{k}, \] \[ (P^{\circ})^{k}_{M^{\vee}} \simeq \mathrm{Hom}_{k}(P \otimes_{k} Q, Ab_{k}) = \bigl((P \otimes_{k} Q)^{\circ}\bigr)^{k}, \] en utilisant \((P \otimes_{k} Q)^{\circ} = P^{\circ} \otimes_{k} Q^{\circ}\).

Application 2. Pour \(M\) \(k\)-additive cocomplète, \[ \mathrm{Bil}_{k!!}(P^{k}, Q^{k}; M) \simeq \mathrm{Hom}_{k!}\bigl((P \otimes_{k} Q)^{k}, M\bigr) \simeq \mathrm{Bil}_{k}(P, Q; M) : \] \((P \otimes_{k} Q)^{k}\) est le produit tensoriel de \(P^{k}\) et \(Q^{k}\) parmi les catégories \(k\)-additives cocomplètes et les foncteurs qui commutent aux limites inductives.⁸

9–9

La curryfication, et la comparaison \((\circledast)\) (page 9)

Démonstration de l'application 2. \[ \begin{aligned} \mathrm{Bil}_{k!!}(P^{k}, Q^{k}; M) &\simeq \mathrm{Hom}_{k!}\bigl(P^{k}, \mathrm{Hom}_{k!}(Q^{k}, M)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{k!}\bigl(P^{k}, \mathrm{Hom}_{k}(Q, M)\bigr) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_{k}\bigl(P, \mathrm{Hom}_{k}(Q, M)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{k}(P \otimes_{k} Q, M) \simeq \mathrm{Hom}_{k!}\bigl((P \otimes_{k} Q)^{k}, M\bigr), \end{aligned} \] en utilisant que \(\mathrm{Hom}_{k}(Q, M)\) est cocomplète, les limites inductives s'y calculant point par point. Dualement, \(\mathrm{Bil}^{!!}_{k}((P^{k})^{\circ}, (Q^{k})^{\circ}; M) \simeq \mathrm{Hom}^{!}_{k}(((P \otimes_{k} Q)^{k})^{\circ}, M)\) pour \(M\) complète.

Application 3. Soit \(M\) \(k\)-additive cocomplète. On a un foncteur \(k\)-bilinéaire, d'où un foncteur \[ (\circledast) \qquad P^{k} \otimes_{k} M \longrightarrow \mathrm{Hom}_{k}(P^{\circ}, M) = P^{k}_{M}, \qquad L \otimes_{k} x \longmapsto \bigl(a \mapsto L(a) \otimes_{k} x\bigr) = \widetilde{x} \circ L, \] où \(\widetilde{x} : Ab_{k} \to M\), \(N \mapsto N \otimes_{k} x\), est le foncteur cocontinu qui correspond à \(x\) par \(\mathrm{Hom}_{k!}(Ab_{k}, M) \simeq M\).

Ce foncteur n'est pas pleinement fidèle en général. Pour \(P = k\) vu comme catégorie à un objet, \(k\) un corps et \(M = Ab_{k}\), il s'agit de l'application \[ \mathrm{Hom}_{k}(L, L') \otimes_{k} \mathrm{Hom}_{k}(x, x') \longrightarrow \mathrm{Hom}_{k}(L \otimes_{k} x, L' \otimes_{k} x'), \] qui n'est pas surjective dès que \(L\) et \(x\) sont de dimension infinie. Soit \(L = x = L' = x' = V\) de base \((e_{i})_{i \in \mathbf{N}}\), et \(D\) la projection de \(V \otimes V\) sur le sous-espace engendré par les \(e_{i} \otimes e_{i}\). Pour un opérateur \(T\) de \(V \otimes V\), notons \(T_{ij} : V \to V\), \(v \mapsto (e_{i}^{*} \otimes \mathrm{id})\,T(e_{j} \otimes v)\). Si \(T = \sum_{r \leq n} A_{r} \otimes B_{r}\), les \(T_{ij}\) restent dans l'espace engendré par \(B_{1}, \ldots, B_{n}\) ; or les \(D_{ii}\) sont les projecteurs sur les \(e_{i}\), en nombre infini et linéairement indépendants. Il est pleinement fidèle sur les \(L \otimes_{k} x\) avec \(L \in \mathrm{Kar}\, P\) lorsque les \(\mathrm{Hom}\) de \(P\) sont des \(k\)-modules projectifs de type fini : pour \(L = a\) représentable, \(\mathrm{Hom}(a \otimes_{k} x, L' \otimes_{k} x') = \mathrm{Hom}_{M}(x, L'(a) \otimes_{k} x')\) par Yoneda, et c'est \(L'(a) \otimes_{k} \mathrm{Hom}_{M}(x, x')\) dès que \(L'(a)\) est projectif de type fini.⁹

11–11

Formules, projectifs, et une question (page 11)

On identifiera parfois \(L \otimes_{k} x\) à son image dans \(P^{k}_{M}\). Pour \(M = Q^{k}\), \((\circledast)\) devient \[ P^{k} \otimes_{k} Q^{k} \longrightarrow (P \otimes_{k} Q)^{k} \simeq \mathrm{Bil}_{k}(P^{\circ}, Q^{\circ}; Ab_{k}), \qquad F \otimes_{k} G \longmapsto \bigl((a, b) \mapsto F(a) \otimes_{k} G(b)\bigr), \] avec les mêmes réserves sur la pleine fidélité.¹⁰

Formule 1. Pour \(L \in P^{k}\), \(x \in M\) et \(L' \in (P^{\circ})^{k}\), \[ (L \otimes_{k} x) *_{k} L' \simeq (L *_{k} L') \otimes_{k} x, \qquad L *_{k} L' \in Ab_{k}, \] parce que \(\widetilde{x}\) commute aux limites inductives, donc au cofin ; il suffit de le vérifier pour \(L = a\) et \(L' = b^{\circ}\) représentables, où les deux membres valent \(\mathrm{Hom}_{P}(b, a) \otimes_{k} x\).

Formule 2. Pour \(F \in P^{k}_{M}\), \[ \mathrm{Hom}_{P^{k}_{M}}(L \otimes_{k} x, F) \simeq \mathrm{Hom}_{P^{k}}\bigl(L, \mathrm{Hom}_{M}(x, F)\bigr), \qquad \mathrm{Hom}_{M}(x, F) : a \longmapsto \mathrm{Hom}_{M}\bigl(x, F(a)\bigr), \] et, si \(M\) est de plus complète, les deux sont isomorphes à \(\mathrm{Hom}_{M}(x, \mathrm{Hom}_{k}(L, F))\).¹¹

Corollaire. Si \(L\) est projectif dans \(P^{k}\) et \(x\) projectif dans \(M\), \(L \otimes_{k} x\) est projectif dans \(P^{k}_{M}\) : par la formule 2, \(\mathrm{Hom}(L \otimes_{k} x, -)\) est le composé de \(F \mapsto \mathrm{Hom}_{M}(x, F(-))\), exact puisque \(x\) est projectif et que l'exactitude se lit point par point, et de \(\mathrm{Hom}_{P^{k}}(L, -)\), exact.

Question. Si \(M\) est cocomplète et a assez de projectifs, \(P^{k}_{M}\) a-t-elle assez de projectifs \(F\), et ceux-ci annulent-ils les \(\mathrm{Tor}_{i}(F, L')\), \(L' \in (P^{\circ})^{k}\), pour \(i > 0\) ?¹²

12–12

Le produit dérivé (page 12)

La première moitié de la question a une réponse positive, et la seconde une réponse positive sous une hypothèse de platitude, pourvu que les sommes soient exactes ; la page le dit, dans ses deux marges, à cette dernière hypothèse près.

Proposition. Soit \(N\) une catégorie \(k\)-additive abélienne admettant les petites sommes.

1. a)Si tout objet de \(N\) est quotient d'un projectif, tout \(F \in P^{k}_{N}\) est quotient d'une somme \(\Phi = \bigoplus_{a \in \mathrm{Ob}\, P} a \otimes_{k} x_{a}\), les \(x_{a}\) projectifs, et un tel \(\Phi\) est projectif.
2. b)Si de plus les petites sommes sont exactes dans \(N\) (une somme de monomorphismes y est un monomorphisme), et si, pour tout projectif \(x\) de \(N\), le foncteur \(Ab_{k} \to N\), \(V \mapsto V \otimes_{k} x\), est exact — \(x\) est « \(k\)-plat » —, alors pour tout projectif \(\Phi\) de \(P^{k}_{N}\) le foncteur \(L' \mapsto \Phi *_{k} L'\) est exact, et le produit dérivé \(F \circledast^{L}_{k} L'\) se calcule indifféremment par résolutions projectives de \(F\) ou de \(L'\).

Démonstration. a) Pour chaque \(a\), choisissons un épimorphisme \(x_{a} \to F(a)\) ; par Yoneda il correspond à \(a \otimes_{k} x_{a} \to F\), et la somme de ces flèches est un épimorphisme, point par point. \(\Phi\) est projectif par le corollaire de la page 11. b) Pour \(\Phi = a \otimes_{k} x\), la formule 1 donne \(\Phi *_{k} L' = L'(a) \otimes_{k} x\), exact en \(L'\) par platitude ; un projectif quelconque est facteur direct d'une somme de tels objets, et une somme de suites exactes est exacte par hypothèse. Du côté de \(L'\), \(F \mapsto F *_{k} L''\) est exact pour \(L''\) projectif : pour \(L''\) représentable par \(b\), c'est \(F \mapsto F(b)\), et l'on passe aux sommes par la même hypothèse ; l'argument habituel du bicomplexe donne alors l'équilibre.¹³