Fonds Grothendieck, cote n° 112, pages 1–4 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-16) Opus 5 (claude-opus-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 112 Linéarisation : notes manuscrites (s.d.) Pages 1 à 4 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 1 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. s.d.Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/112.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.
Linéarisation

cette page ne porte que ce titre, à l'encre en haut à droite ; il est répété au même endroit de la page suivante, dans une équerre tracée à la plume

Soit L \in \mathrm{Ob}\,\hat{A}_{\mathrm{ab}}.

On dit que L est lisse si, pour tout a \to b dans A, \int_{A_{a}} L_{a} \longrightarrow \int_{A_{b}} L_{b} est un , les deux membres étant respectivement égaux à \int_{A} L^{(a)} \quad\text{et}\quad \int_{A} L^{(b)}, \qquad\text{soit encore}\qquad L^{(a)} * L^{A^{\circ}} \quad\text{et}\quad L^{(b)} * L^{A^{\circ}}.

les deux colonnes d'égalités sont écrites l'une sous l'autre sur la page, reliées par des doubles barres ; on les met ici en ligne. Le mot qui qualifie la flèche — isomorphisme, quasi-isomorphisme — est écrit très vite et n'est pas assuré

On dit que L est négligeable si L^{b} est

c'est-à-dire si \int_{A_{a}} L \;=\; \int_{A} L^{(a)} \longrightarrow \ill

Soit donc L^{b} = \bigl(a \mapsto L^{(a)} \otimes \ill\bigr) dans D_{\bullet}(\hat{B}_{\mathrm{ab}}). C'est un complexe dans \hat{B}_{\mathrm{ab}} qui est à coefficients tordus.

Soit \mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A) la sous-catégorie pleine de \hat{A}_{\mathrm{ab}} formée des objets lisses.

Lisse W_{y}^{-1}\,\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A) \longrightarrow D^{\bullet}_{lc}(\hat{B}_{\mathrm{ab}}) : est-ce une équivalence de catégories ?

sous la flèche, une seconde ligne porte D^{\bullet}_{lc}(\hat{A}_{\mathrm{ab}}) et, en regard, une question sur la définition, où se lit encore « comme M_{\bullet} \mapsto M^{b} ». OK pour A = \Delta ; OK pour A = \Delta_{/X}, où X \in \mathrm{Ob}\,\hat{\Delta} ?

Si L, M \in \mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A), a-t-on \mathrm{Ext}^{i}_{\mathbb{Z}_{A}}(L, M) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{i}_{\mathbb{Z}_{B}}(L^{b}, M^{b}) \quad ?

en regard, entre crochets : « serait-ce vrai sans supposer L, M lisses ? », et, plus haut, « D_{\bullet}(\mathrm{Ab}) \cong \mathrm{Hot}_{ab} si A est asphérique »

 Supposons L lisse

L_{\bullet} \longmapsto \varphi(L_{\bullet}), \qquad H_{i}(L_{\bullet}) \simeq H_{i}\,\uncertain{c}\varphi(L_{\bullet})

D^{b}_{lc}(\hat{A}_{k}) etc.

D^{-}_{lc}(\hat{A}_{h}) \rightleftarrows D^{-}_{lc}(\hat{B}_{h}) — équiv.

NB : on a D^{-}(\hat{A}_{k}) \to D^{-}(\hat{B}_{h})

Objets lisses de \hat{A}_{k} (plus général) : \mathrm{Lisse}_{k}, \hat{A}_{k\text{-lisse}}, W

la dernière page écrite reprend les mêmes matières sans les mener plus loin : on y relit \mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A), la flèche vers D_{lc}^{-}, et le cas A = \Delta. Elle est plus raturée que les précédentes et rien n'y forme un énoncé qu'on puisse détacher ; on ne la découpe donc pas en propositions qu'elle ne porte pas