Cote n° 112 · batch 1 · pages 1–4 · Transcription · Linéarisation : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration

1

Linéarisation

cette page ne porte que ce titre, à l'encre en haut à droite ; il est répété au même endroit de la page suivante, dans une équerre tracée à la plume

2

Soit \(L \in \mathrm{Ob}\,\hat{A}_{\mathrm{ab}}\).

On dit que \(L\) est \underline{lisse} si, pour tout \(a \to b\) dans \(A\), \[ \int_{A_{a}} L_{a} \longrightarrow \int_{A_{b}} L_{b} \] est un […], les deux membres étant respectivement égaux à \[ \int_{A} L^{(a)} \quad\text{et}\quad \int_{A} L^{(b)}, \qquad\text{soit encore}\qquad L^{(a)} * L^{A^{\circ}} \quad\text{et}\quad L^{(b)} * L^{A^{\circ}}. \]

les deux colonnes d'égalités sont écrites l'une sous l'autre sur la page, reliées par des doubles barres ; on les met ici en ligne. Le mot qui qualifie la flèche — isomorphisme, quasi-isomorphisme — est écrit très vite et n'est pas assuré

On dit que \(L\) est \underline{négligeable} si \(L^{b}\) est […]

c'est-à-dire si \[ \int_{A_{a}} L \;=\; \int_{A} L^{(a)} \longrightarrow \ill \]

Soit donc \(L^{b} = \bigl(a \mapsto L^{(a)} \otimes \ill\bigr)\) dans \(D_{\bullet}(\hat{B}_{\mathrm{ab}})\). C'est un complexe […] dans \(\hat{B}_{\mathrm{ab}}\) qui est […] à coefficients tordus.

Soit […] \(\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A)\) la sous-catégorie pleine de \(\hat{A}_{\mathrm{ab}}\) formée des objets lisses.

1. [(1)] Lisse \(W_{y}^{-1}\,\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A) \longrightarrow D^{\bullet}_{lc}(\hat{B}_{\mathrm{ab}})\) : est-ce une \underline{équivalence de catégories} ? sous la flèche, une seconde ligne porte \(D^{\bullet}_{lc}(\hat{A}_{\mathrm{ab}})\) et, en regard, une question sur la définition, où se lit encore « comme \(M_{\bullet} \mapsto M^{b}\) ». OK pour \(A = \Delta\) ; OK pour \(A = \Delta_{/X}\), où \(X \in \mathrm{Ob}\,\hat{\Delta}\) ?
2. [(2)] Si \(L, M \in \mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A)\), a-t-on \[ \mathrm{Ext}^{i}_{\mathbb{Z}_{A}}(L, M) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{i}_{\mathbb{Z}_{B}}(L^{b}, M^{b}) \quad ? \] en regard, entre crochets : « serait-ce vrai sans supposer \(L\), \(M\) lisses ? », et, plus haut, « \(D_{\bullet}(\mathrm{Ab}) \cong \mathrm{Hot}_{ab}\) si \(A\) est asphérique »
3. [(3)] Supposons \(L\) lisse […]

3

\[ L_{\bullet} \longmapsto \varphi(L_{\bullet}), \qquad H_{i}(L_{\bullet}) \simeq H_{i}\,\uncertain{c}\varphi(L_{\bullet}) \]

• [A)] \(D^{b}_{lc}(\hat{A}_{k})\) etc.
• [B)] \(D^{-}_{lc}(\hat{A}_{h}) \rightleftarrows D^{-}_{lc}(\hat{B}_{h})\) — \underline{équiv.} […] NB : on a \(D^{-}(\hat{A}_{k}) \to D^{-}(\hat{B}_{h})\) […]
• [C)] Objets \underline{lisses} de \(\hat{A}_{k}\) (plus général) : \(\mathrm{Lisse}\)\(_{k}\), \(\hat{A}_{k\text{-lisse}}\), \(W\)

4

la dernière page écrite reprend les mêmes matières sans les mener plus loin : on y relit \(\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A)\), la flèche vers \(D_{lc}^{-}\), et le cas \(A = \Delta\). Elle est plus raturée que les précédentes et rien n'y forme un énoncé qu'on puisse détacher ; on ne la découpe donc pas en propositions qu'elle ne porte pas