Cote n° 112 · pages 1–4 · Lecture modernisée · Linéarisation : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Quatre feuilles de listing d'ordinateur, écrites en travers du papier, d'une écriture très petite et très rapide, avec les colonnes imprimées qui transparaissent sous chaque ligne. Un seul mot en tête, à l'encre : Linéarisation.

Le mot désigne un procédé et non un objet. En voici le principe, dans un cas familier. Un espace topologique est un objet compliqué et il n'y a aucune raison qu'on sache le manipuler. Mais on sait lui associer ses groupes d'homologie, qui sont des objets d'algèbre linéaire — des groupes abéliens, ou des espaces vectoriels — et sur lesquels on sait tout faire. On a linéarisé : troqué un objet dont on ne sait rien contre un objet dont on sait tout, en acceptant de perdre au passage une partie de l'information.

Toute la question est alors de savoir ce qu'on a perdu. Et c'est là que ces pages travaillent. Elles se placent non pas sur les espaces mais sur les préfaisceaux sur une petite catégorie \(A\) — ce qui est le cadre général où Grothendieck situe l'homotopie —, et elles cherchent à isoler les préfaisceaux pour lesquels la linéarisation ne perd rien. Il les appelle les objets lisses. Symétriquement, elles cherchent ceux pour lesquels elle perd tout : les objets négligeables.

Une fois ces deux classes définies, trois questions sont posées, et elles ont toutes la même forme : est-ce que la restriction aux objets lisses fait de la linéarisation une équivalence ? Est-ce qu'elle préserve les groupes d'extensions ? Le programme est celui de la correspondance de Dold–Kan — qui, sur les ensembles simpliciaux, identifie exactement les objets simpliciaux abéliens et les complexes de chaînes — transporté sur une catégorie \(A\) quelconque. La page le dit d'ailleurs sans détour : OK pour \(A = \Delta\), et la vraie question est de savoir jusqu'où l'on peut s'éloigner de \(\Delta\).

Ce dossier est le plus difficile à lire du groupe auquel il appartient, et cette lecture le dit plutôt que de le masquer : plusieurs des définitions qu'il pose ont, à leur endroit décisif, un mot qui ne se lit pas.

Keywords — linearization, Dold-Kan correspondence, smooth object, derived category of presheaves, chain complex with twisted coefficients

1–2

Le cadre et les deux définitions

Soit \(A\) une petite catégorie et \(\hat{A}_{\mathrm{ab}}\) la catégorie des préfaisceaux abéliens sur \(A\). On y prend un objet \(L\).

Deux constructions sont supposées connues et ne sont pas rappelées sur la page. La première est l'intégrale \(\int_{A} L\), qui est la manière dont ces notes notent une colimite — le sens du signe est fixé par le contexte, non par une définition. La seconde est un produit noté \(*\), qui est une convolution : la page écrit \(L^{(a)} * L^{A^{\circ}}\) là où elle vient d'écrire \(\int_{A} L^{(a)}\), ce qui identifie les deux.1

Lisse

On dit que \(L\) est lisse si, pour toute flèche \(a \to b\) de \(A\), la flèche naturelle \[ \int_{A_{a}} L_{a} \longrightarrow \int_{A_{b}} L_{b} \] est un isomorphisme. Les deux membres sont ensuite réécrits, par une chaîne d'égalités que la page pose verticalement : \[ \int_{A_{a}} L_{a} = \int_{A} L^{(a)} = L^{(a)} * L^{A^{\circ}}, \qquad \int_{A_{b}} L_{b} = \int_{A} L^{(b)} = L^{(b)} * L^{A^{\circ}}. \]

La condition est donc : la valeur de la convolution ne dépend pas du point où on la prend.2 Une lecture possible, et qui est celle que le mot lisse suggère, est que la classe ainsi définie est celle des préfaisceaux « localement constants » du point de vue de la linéarisation : ceux dont la linéarisation ne varie pas le long des flèches de \(A\).3

Négligeable

La seconde définition est l'exact complément de la première, et c'est celle qui souffre le plus de l'état de la page : on dit que \(L\) est négligeable si \(L^{b}\) vérifie une condition qui n'est pas lisible.4

Ce que la page fournit ensuite est l'objet sur lequel tout repose : on pose \[ L^{b} = \bigl(a \mapsto L^{(a)} \otimes \ldots \bigr) \qquad\text{dans } D_{\bullet}(\hat{B}_{\mathrm{ab}}), \] et l'on note que c'est un complexe de chaînes à coefficients tordus.5

On note enfin \(\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A)\) la sous-catégorie pleine de \(\hat{A}_{\mathrm{ab}}\) formée des objets lisses.

2–2

Les trois questions

(1) Une équivalence ?

La première question est la principale : \[ W_{y}^{-1}\,\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A) \longrightarrow D^{\bullet}_{lc}(\hat{B}_{\mathrm{ab}}) \] est-ce une équivalence de catégories ?6

Ce que cette flèche fait est ceci : elle prend les objets lisses, inverse une classe de flèches, et compare le résultat à une catégorie dérivée. C'est exactement la forme de la correspondance de Dold–Kan, et la page le dit elle-même en donnant sa propre portée :

OK pour \(A = \Delta\) ; OK pour \(A = \Delta_{/X}\), où \(X \in \mathrm{Ob}\,\hat{\Delta}\) ?

Le premier cas est affirmé, le second est demandé. Autrement dit : la correspondance est acquise sur la catégorie des simplexes, et la question est de savoir si elle survit au passage aux catégories de tranches — premier pas hors de \(\Delta\), et le plus modeste qu'on puisse faire.7

(2) Les extensions

Si \(L\) et \(M\) sont dans \(\mathrm{Lisse}_{\mathbb{Z}}(A)\), a-t-on \[ \mathrm{Ext}^{i}_{\mathbb{Z}_{A}}(L, M) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{i}_{\mathbb{Z}_{B}}(L^{b}, M^{b}) \;? \]

C'est la question 1 rendue quantitative : une équivalence de catégories induit des isomorphismes sur les groupes d'extensions, et vérifier ces derniers est le moyen usuel d'attaquer la première. Deux remarques l'accompagnent entre crochets. La première demande si cela vaudrait sans supposer \(L\) et \(M\) lisses — c'est-à-dire si l'hypothèse de lissité est nécessaire ou seulement commode. La seconde, écrite plus haut, note que \(D_{\bullet}(\mathrm{Ab}) \cong \mathrm{Hot}_{ab}\) lorsque \(A\) est asphérique.8

(3)

La troisième question commence — « supposons \(L\) lisse » — et sa suite n'est pas lisible.9

3–3

Les trois programmes

Le troisième feuillet reprend le tout sous une forme plus ordonnée. Il pose d'abord la correspondance \[ L_{\bullet} \longmapsto \varphi(L_{\bullet}), \qquad H_{i}(L_{\bullet}) \simeq H_{i}\,\varphi(L_{\bullet}), \] c'est-à-dire : le foncteur \(\varphi\) préserve l'homologie.10 C'est la condition minimale pour qu'une linéarisation mérite son nom.

Trois programmes sont ensuite listés :

Ce changement de notation — un indice à la place d'un nom — est le seul signe, dans tout le dossier, d'un travail de mise au propre. Il n'a pas abouti : le quatrième feuillet reprend les mêmes matières sans les mener plus loin, et rien n'y forme un énoncé qu'on puisse détacher.12

Notes

  1. Aucune de ces deux notations n'est définie dans le dossier. Le rapprochement entre l'intégrale et la convolution est celui que la page fait elle-même, par une double barre d'égalité entre les deux lignes ; ce que chacune signifie séparément reste implicite. On ne les définit pas ici : ce serait leur donner un contenu que le dossier n'a pas. ↩
  2. Le mot qui qualifie la flèche est écrit très vite et n'est pas assuré : la transcription le laisse en blanc. Ce pourrait être « isomorphisme » ou « quasi-isomorphisme », et la différence n'est pas anodine — dans un cadre dérivé c'est la seconde qui est la bonne notion. On a retenu la première parce que c'est celle qui rend la définition la plus faible, donc la classe des objets lisses la plus large, et parce que rien sur la page n'impose l'autre ; le choix est le nôtre et il est signalé. ↩
  3. Cette glose est la nôtre. Le mot « lisse » est de lui ; son rapprochement avec la constance locale ne l'est pas, et le dossier ne le justifie nulle part. ↩
  4. La ligne est écrite par-dessus une portion particulièrement chargée du listing imprimé et deux mots y disparaissent. La ligne suivante — « c'est-à-dire si » — reprend la même chose sous une forme intégrale, mais s'achève elle aussi sur un membre illisible. La définition est donc, dans cette édition, incomplète des deux côtés ; on ne la complète pas. ↩
  5. Le second facteur du produit tensoriel n'est pas lisible, non plus que l'adjectif qui qualifie le complexe ; la torsion des coefficients, elle, est écrite et lisible. C'est le point important : \(L^{b}\) n'est pas un complexe à coefficients constants, et c'est ce qui empêche de traiter la linéarisation comme une simple homologie. ↩
  6. Le mot est souligné sur la page. L'indice \(lc\) se lit clairement au feuillet suivant, où il reparaît deux fois ; il se développe vraisemblablement en « localement constant », ce qui serait cohérent avec le sens donné plus haut à lisse, mais la page ne le développe jamais. ↩
  7. Une note écrite en regard, à demi lisible, rappelle que la construction se fait « comme \(M_{\bullet} \mapsto M^{b}\) », c'est-à-dire par le foncteur qui a été défini plus haut. Un mot de cette note est illisible. ↩
  8. Cette dernière est le cas dégénéré qui sert de contrôle : quand \(A\) est asphérique, la catégorie dérivée des groupes abéliens est équivalente à la catégorie homotopique abélienne, et la question 1 y est donc triviale. Que ce contrôle soit noté juste à côté de la question générale n'est pas indifférent. ↩
  9. Elle est écrite en bas de feuillet, sur la portion la plus sombre du listing. On ne restitue rien. ↩
  10. Un caractère se glisse entre \(H_{i}\) et \(\varphi\) dans le second membre et n'est pas identifié ; il pourrait s'agir d'un signe de composition. On le laisse de côté, ce qui donne l'énoncé le plus simple compatible avec la ligne. ↩
  11. Une note ajoute : « NB : on a \(D^{-}(\hat{A}_{k}) \to D^{-}(\hat{B}_{h})\) », suivie d'un membre illisible. Les indices \(k\) et \(h\) alternent d'une ligne à l'autre sans que la page dise s'ils désignent la même chose ; on les reproduit tels quels plutôt que de les uniformiser. ↩
  12. On ne le découpe donc pas en propositions qu'il ne porte pas. C'est le seul feuillet écrit du dossier dont cette lecture ne tire rien. ↩