Cote n° 111, pages 1–16

Cote n° 111 · batch 1 · pages 1–16 · Transcription · Tapis de Quillen [notes du 10/09/1968] : copies de tapuscrit annoté (1968)
Édition de démonstration

notes du 10.9.68à la main, en haut à droite de la page, la date soulignée. Le dossier est la copie d'un tapuscrit de seize pages, numérotées 1 à 16 à la main ; le texte tapé est donné en clair, les interventions manuscrites en appareil : les insertions manuscrites dans la ligne sont données entre crochets, les mots tapés biffés à la main sont barrés, les notes manuscrites détachées du texte sont données à part, sans que cette présentation attribue la main. Les biffures à la machine ne sont pas reproduites

Tapis de Quillen.

I Relations entre catégories et ensembles semi-simpliciaux.

A toute catégorie $C$, on associe un ensemble semi-simplicial $S(C)$, trouvant ainsi un foncteur pleinement fidèle \[ S : (\mathrm{Cat}) \longrightarrow (\mathrm{Ssimpl}) . \] Les systêmes locaux d'ensemble sur $SC$ correspondent aux fancteurs sur $C$ qui transforment toute flêche en isomorphisme (i.e. qui se factorisent par le groupoïde associé à $C$). Les $H^{i}$ sur $SC$ d'un tel systême local ($H^{0}$ pour ens, $H^{1}$ pour groupes, $H^{i}$ quelconques pour groupes abéliens) s'interprètent en termes des foncteurs $\varprojlim^{(i)}$ dérigés de $\varprojlim$, ou si on préfère, des $H^{i}$( du topos $\widehat{C}$. On voit ainsi à quelle condition un foncteur $C \to C'$ induit un homotopisme $SC \to SC'$ : en vertu du critère cohomologique de Artin-Mazur, il f et s que pour tout systême de coéfficients $F'$ sur $C'$, l'homomorphisme naturel $\varprojlim_{C'}^{(i)} F' \to \varprojlim_{C}^{(i)} F$ soit un isomorphisme (pour les $i$ pour lesquels cela a un sens).

A $C$ on peut assocér le topos $\widetilde{C}$, qui varie de façon covariante avec $C$. (NB le foncteur $C \mapsto \widetilde{C}$ n'a plus rien de pleinement fidèle, semble-til ??)les tildes sont tracés à la main sur les $C$ de ce paragraphe et du suivant ; le paragraphe précédent écrit $\widehat{C}$, d'un chapeau pâle, et ouvre devant « du topos » une parenthèse qui n'est pas refermée

Les systêmes de coéfficients ensemblistes sur $C$ (déf = les foncteurs $C^{\circ} \to \mathrm{Ens}$ transformant isomorphismes en isomorphismes) correspondent aux faisceaux localement constants i.e. les objets localement constants de $\widetilde{C}$, définis intrinsèquement en termes de $\widetilde{C}$. Ainsi, le fait pour un foncteur $F : C \to C'$ d'induire un homotopisme $S(C) \to S(C')$ ne dépend que du morphisme de topos $\widetilde{F} : \widetilde{C} \to \widetilde{C}'$ induit, et signifie que pour tout faisceau localement constant $F'$ sur $C'$ i.e. sur $\widetilde{C}'$, les applications induites \[ H^{i}(\widetilde{C}', F') \longrightarrow H^{i}(\widetilde{C}, \widetilde{F}^{*}(F')) \] sont des isomorphismes (pour les $i$ pour lesquels cela a un sens).

On a aussi un foncteur évident \[ T : (\mathrm{Ssimpl}) \longrightarrow (\mathrm{Cat}) , \] en associant à tout ensemble semi-simplicial $X$ la catégorie $T(X) = \Delta/X$ des simplexes sur $X$, dont l'ensemble des objets est la réunion disjointe des $X_{n}$ ... (c'est une catégorie fibrée sur la catégorie $\Delta$ des simplexes types, à fibres les catégories discrètes définies par les $X_{n}$). Ceci posé, Quillen prouve que pour tout $X$, $ST(X)$ est isomorphe canoniquement à $X$ dans la catégorie homotopique construite avec $(\mathrm{Ssimpl})$, et que pour toute $C$, la catégorie $TS(C)$ est canoniquement « homotopiquement équivalente à $C$ » i.e. canoniquement isomorphe à $C$ dans la catégorie quotient de $(\mathrm{Cat})$ obtenue en inversant les foncteurs qui sont des homotopismes. Ces isomorphismes sont fonctoriels en $X$. Il en résulte formellement qu'un morphisme $f : X \to Y$ dans $(\mathrm{Ssimpl})$ est un homotopisme si et seulement si il en est ainsi de $T(f) : T(X) \to T(Y)$, d'où des foncteurs \[ S' : (\mathrm{Cat})' \to (\mathrm{Ssimpl})' \quad\text{et}\quad T' : (\mathrm{Ssimpl})' \to (\mathrm{Cat})' \] entre les catégories « homotopiques » construites avec $(\mathrm{Cat})$ resp. $(\mathrm{Ssimpl})$, qui sont quasi-inverses l'un de l'autre.

De plus, Quillen construit un isomorphisme canonique et fonctoriel dans $(\mathrm{Cat})'$ entre $C$ et la catégorie opposée $C^{\circ}$, ou ce qui revient au même, un isomorphisme canonique et fonctoriel dans $(\mathrm{Ssimpl})'$ entre $S(C)$ et $S(C^{\circ})$. La définition est telle que le foncteur induit sur les systêmes locaux sur $C$ transforme le foncteur contravariant $F$ sur $C$, transformant toute flêche en flêche inversible, en le foncteur covariant (i.e. contravariant sur $C^{\circ}$) ayant mêmes valeurs sur les objets, et obtenu sur les flêches en remplaçant $F(u)$ par $F(u)^{-1}$ ; en d'autres termes, l'effet de l'homotopisme de Quillen sur les groupoïdes fondamentaux est l'isomorphisme évident entre les groupoïdes fondamentaux de $C$ et de $C^{\circ}$, compte tenu que le deuxième est l'opposé du

premier. Comme application, Quillen obtient une interprétation faisceautique de la cohomologie d'un ensemble semi-simplicial à coéfficients dans un systême local covariant $F$ (défini classiquement par le complexe cosimplicial des $C^{n}(F) = \coprod_{x \in X_{n}} F(x)$) : on considère le systême local contravariant défini par $F$, on l'interprète comme un faisceau sur $T(X)$ i.e. objet de $(\mathrm{Ssimpl})/X$, et on prend sa cohomologie.

$\prod$ !en regard de la formule, à la main : un signe de produit suivi d'un point d'exclamation, qui corrige la somme tapée. Plus haut, « covariant » : la frappe porte « con », trois lettres biffées à la machine, puis « variant », de sorte que « contravariant » n'est pas exclu ; « local » est tapé en interligne

— Cependant, quand $F$ est un systême de coéfficiens covariant pas nécessairement local, on n'a tjrs pas d'interprétation de ses groupes de cohomologie classiques en termes faisceautiques ; ni, lorsque $F$ est contravariant, de son homologie, ou inversement de sa cohomologie faisceautique en termes classiques.

Si !dans la marge, en regard de ce paragraphe, qu'un grand crochet manuscrit embrasse

A propos de la notion de foncteur qui est un homotopisme. Quillen montre qu'un tel foncteur $F : C \to C'$ induit une équivalence entre la sous catégorie triangulée $D^{b}_{\mathrm{lc}}(C')$ de la catégorie dérivée bornée de celle des faisceaux abéliens sur $C'$, dont les faisceaux de cohomologie sont des systêmes locaux, et la catégorie analogue pour $C$ ; et réciproquement. On peut dans cet énoncé introduire aussi n'importe quel anneau de base (à condition de le supposer $\neq 0$ dans le cas de la réciproque) ; la partie directe vaut aussi avec un anneau de boefficients pas néc. constant, mais constant tordu. Je pense que ce résultat (facile) doit pouvoir se généraliser ainsi : Soit $f : X \to X'$ un morphisme de topos qui soit tel que pour tout faisceau loc. const. sur $X'$, $f$ induise un isomorphisme sur les cohomologies (avec cas non commutatif inclus). Supposons que $X$ (resp. $X'$) [$X$ et $X'$] soit« $X$ et $X'$ » est écrit à la main au-dessus de « $X$ (resp. $X'$) » biffé ; « soit » et « trivial » restent au singulier localement homotopiquement trivial, i.e. que pour tout entier $n$ [$\geq 1$], tout objet $U$ de $X'$ ait un recouvrement par des $U_{i} \to U$, tels que a) tout systême local sur $U$ devient constant sur $U_{i}$, et toute section sur $U$ devient constante sur $U_{i}$ et b) pour tout groupe abélien $G$, les $H^{j}(U, G) \to H^{j}(U_{i}, G)$ sont nuls pour $1 \leq j \leq n$. Alors le foncteur $D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)$ induit par $f$ est

Attention, cette condition n'est typiquement pas satisfaite par les schémas avec leur topologie étale (mais bien par […] […] loc. noeth. avec top. Zariski).note manuscrite au pied de la page, appelée par un signe de renvoi porté dans la marge en regard de la définition, que longe un double trait vertical ; la flèche de « $f : X \to X'$ » manque à la frappe

une équivalence). Même énoncé si on met dans le coup un systême local d'anneaux sur $X'$. Enfin, $f$ induit une équivalence entre la catégorie des coéfficients locaux sur $C$ et celle des coéff. locaux sur $C'$.la phrase a été retouchée à la machine, en plusieurs couches superposées : « pleinement fidèle (resp. » est biffé en tête de page, et « foncteur pl. fid. (resp. une équivalence) » surcharge « isomorphisme ». Suit, biffé à la machine : « (?? peut-être cette propriété doit être mise dans les hypothèses préliminaires sur $f$ ??) » Principe de démonstration : on commence par prouver ce dernier résultat, en notant que si un topos est localement hom. trivial, il est loc. connexe et loc. simplement connexe, d'où une bonne théorie du $\pi_{0}$ et du $\pi_{1}$ (qui sont ici discrets), et on est ramené à un cas particulier du critère d'homotopisme de Artin et Mazur, savoir un critère cohomologique pour qu'un homomorhisme de groupes $G \to H$ (ici des groupes $\pi_{1}$ de $X$, $X'$) soit un isomorphisme : il doit induire des isomorphismes sur les $H^{0}$ et $H^{1}$ (y inclus dans le cas non commutatif ...). On prouve la pleine fidélité en se ramenant par la suite spectrale aux cas des $\mathrm{Ext}^{i}$ de coéfficients locaux. Par la suite spectrale encore, cela résultera du fait suivant : si $X$ est localement hom. trivial, alors la catégorie des faisceaux abéliens loc. constants est stable par $\mathrm{Ext}^{i}$, et le foncteur $M \mapsto M_{X}$ des $(\mathrm{Ab})$ dans $X_{\mathrm{ab}}$ commute aux dits $\mathrm{Ext}^{i}$. En fait, $X$ et $X'$ étant loc. hom. triviaux, les conditions suivantes sur $f$ seront équivalentes :

a)$f$ est un homotopisme, i.e. induit pour tout systême local (pas néc commutatif) sur $X'$ un isomorphisme sur les $H^{i}$.
b)$f$ induit une équivalence $D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)$.
a')$f$ induit une équivalence entre la catégorie des systêmes locaux abéliens sur $X'$ et $X$, et des isomorphismes sur les $H^{i}$ correspondants (donc on ne prend ici que des coéfficients commutatifs).

?dans la marge, en regard de la phrase qui suit

J'ignore si on peut dans a) se borner aux systêmes locaux commutatifs.

L'équivalence entre a) et b) fournit une première justification ou motivation pour définir des types d'homotopie via la catégorie $D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)$,l'exposant et l'indice de ce dernier $D$ sont ajoutés à la main

éventuellement muni de la sous-catégorie pleine de tous les systêmes locaux sur $X$, et du foncteur cohomologique sur $D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)$ à valeurs dans ladite catégorie, et bien sûr du produit tensoriel (mais alors on sort de $D^{b}$ pour entrer dans $D^{-}$, redactor demerdetur).

II $n$-catégories, catégories $n$-uples, et (Gr)-catégories.

sur cette page et la suivante, la main barre les exposants tapés $0$, $1$, $00$, ... et les récrit en indices ; on donne la forme corrigée

Appelons bi-catégorie une catégorie dans $(\mathrm{Cat})$, i.e. un triple $(C_{0}, C_{1}, p_{1}, p_{2}, \pi)$, où $C_{0}$ est une catégorie, $p_{1}, p_{2} : C_{1} \rightrightarrows C_{0}$ deux foncteurs, $\pi : (C_{1}, p_{1}) \times_{C_{0}} (C_{1}, p_{2}) \to C_{1}$ un foncteur, avec les axiomes habituels. Interprétant $(\mathrm{Cat})$ comme la sous-catégorie pleine de $(\mathrm{Ssimpl})$ des objets qui ..., et de même pour les catégories à valeurs dans une catégorie telle $(\mathrm{Cat})$, on trouve que la catégorie des $(\mathrm{Cat})$-catégories $(\mathrm{Bicat})$ est équivalente à la sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles bi-semisimpliciaux \[ \begin{array}{cccc} X_{00} & X_{01} & \cdots & X_{0n} \\ X_{10} & X_{11} & \cdots & X_{1n} \\ \vdots & & & \vdots \end{array} \] formée des objets qui ligne par ligne et colonne par colonne satisfont la condition d'exactitude familière (transformer sommes amalgamées en produits fibrés). De même la catégorie $(\mathrm{Tricat})$ des $(\mathrm{Bicat})$-catégories s'interprète en termes d'objets tri-semisimpliciaux, etc.

Exemple : soit $C$ une catégorie, posons $C_{0} = C$, $C_{1} = \mathrm{Fl}(C)$, avec structures $p_{1}$, $p_{2}$, évidentes (d'où une $(\mathrm{Cat})$-catétorie dont les composantes semi-simpliciales supérieures sont les catégories $\mathrm{Fl}^{n}(C)$ des $n$-flêches de $C$ ...). L'ensemble bi-semisimplicial correspondant a pour composantes les ensembles $\mathrm{Hom}(\Delta^{n} \times \Delta^{m}, C)$. Par exemple, les objets de $X_{11}$ sont les carrés commutatifs de flêches de $C$, qu'on peut interpréter (de deux manières différentes) comme

morphismes de flêches. Notons une symmétrie évidente dans la catégorie $(\mathrm{Bicat})$, interprétée en termes d'ensemble bi-semisimpliciaux, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes dans de tels ensembles bi ... Un ensemble bisemisimplicial qui ... peut donc de deux façons différentes être considéré comme définissant une bicatégorie. De même le groupe symétrique $\mathrm{Sym}_{n}$ opère sur la catégorie $(n\text{-upcat})$ des catégories $n$-uples ...

Une 2-catégorie peut être définie comme constituée par un ensemble $C_{0}$ (l'ensemble des objets), qu'on interprètera comme une catégorie discrète, plus la donnée pour tout $x, y \in C_{0}$ d'une catégorie $\underline{\mathrm{Hom}}(x, y)$, plus des foncteurs composition entre celles-ci ... Prenant la catégorie somme $C_{1}$ des $\mathrm{Hom}(x, y)$, On peut exprimer la donnée de ces foncteurs de composition, et des sources et buts $x$, $y$ dans les catégories $\mathrm{Hom}(x, y)$, comme définis par des foncteurs « source » et « but » $C_{1} \to C_{0}$, et un foncteur de composition $C_{1} \times_{C_{0}} C_{1} \to C_{1}$, les axiomes des 2-catégories correspondant exactement aux axiomes des $(\mathrm{Cat})$-catégories. De cette façon, la catégorie des 2-catégories est équivalente à la catégorie des $(\mathrm{Cat})$-catégories qui ont une « catégorie d'objets » qui est discrète, ou encore à la catégorie des Bicatégories qui, interprétées comme ensembles bi-semisimpliciaux, ont comme première ligne un ensemble semisimplicial discret (i.e. un foncteur constant sur $\Delta$). Il parait qu'on a une interprétation simple dans le même esprit de la notion de $n$-catégorie en termes d'ensembles $n$-semi-simpliciaux. Demander à Quillen relations entre la notion de $m$-Catégorie dans la catégorie $(n\text{-Cat})$, et celle de ensemble $(m+n)$-semisimplicial.un double trait vertical manuscrit, dans la marge, en regard de ces deux phrases. Suit, biffé à la machine : « En particulier entre cette dernière notion et celle de » L'interprétation standard semisimpliciale permet d'interpréter

Attention à la catégorie $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{grab}}$, qui s'identifie à la catégorie définie par un $\mathrm{RHom}_{\mathbf{Z}}(C_{\bullet}, C'_{\bullet})$, ce point devant être élucidé !note manuscrite encadrée, en tête de la page, appelée par un signe de renvoi

de même les $(\mathrm{Cat})$-groupes (ou groupes à valeurs dans $(\mathrm{Cat})$) comme étant les groupes semisimpliciaux qui « sont » des catégories i.e. qui satisfont la condition d'exactitude familière, permettant d'en déterminer tous les composants à l'aide de $C_{0}$ et $C_{1}$. Appliquant le tapis de Dold, dans le cas commutatif, on trouve que les $(\mathrm{Cat})$-groupes abéliens forment une catégorie équivalente à celle des complexes de chaines de groupes abéliens qui sont de longueur 1 : \[ 0 \longleftarrow C_{0} \longleftarrow C_{1} \longleftarrow 0 . \] Quand on explicite la $(\mathrm{Cat})$-groupe abélien associé à un tel complexe de chaines, on trouve « ma » construction chérie de la « catégorie de Picard » associée au complexe : objets ceux de $C_{0}$, flêches de $x$ dans $y$ les $z$ dans $C_{1}$ tels que $dz = y - x$. On trouve donc à isomorphisme près tous les groupes abéliens de $(\mathrm{Cat})$ ainsi. Un complément important est que toute catégorie (resp. et de Picard commutative est équivalente (au sens technique qu'on ne précise pas ici) à un vrai $(\mathrm{Cat})$-groupe (resp. $(\mathrm{Cat})$-groupe commutatif).les deux « resp. » et « commutative », « commutatif) » sont tapés en interligne et biffés à la main

Quand on simplifie mod « Grab »-équivalence, cela correspond à travailler dans la catégorie dérivée des complexes, seuls invariants […] $H_{0}$, $H_{1}$ (ou $\pi_{0}$, $\pi_{1}$)).à la main, à la suite de la ligne tapée qui finit sur « $(\mathrm{Cat})$-groupe », puis sur deux lignes serrées entre les lignes tapées, qui repartent de la marge gauche. La copie à l'encre bleue (dossier 162-5, p. 38) lit clairement « Quand on simplifie mod « Grab »-équivalence » et « seuls invariants sont $H_{0}$, $H_{1}$ » ; la photocopie ne les porte que pâlis. Plus haut dans la marge, en regard des lignes sur la catégorie de Picard, une note manuscrite écrite de biais est barrée de traits obliques parallèles ; elle ne se lit pas

On notera qu'on a une classification beaucoup plus restreinte que pour les H-espaces (resp. les H-espaces homotopiquement comm.) mod équivalence d'homotopie, de façon précise entre les groupes resp. les groupes abéliens de la catégorie homotopique. La raison en est qu'on est beaucoup plus restrictif dans le contexte catégorique pour le sens de l'associativité (resp. et de la commutativité), puisqu'on ne demande pas seulement l'existence d'isomorphismes d'associativité (qui suffirait pour avoir un groupe dans la catégorie homotopique $(\mathrm{Cat})' \simeq (\mathrm{Ssimpl})'$, modulo l'existence d'unités et d'inverses) mais qu'on suppose [donnés] ces isomorphismes, de façon à satisfaire à certaines compatibilités : c'est ce qui permet, me semble-t-il, de prouver qu'à équivalence près, on peut supposer qu'il s'agit de vrais groupes dans $(\mathrm{Cat})$, resp. de vraie commutativité.« donnés » est tapé et souligné à la main ; une croix manuscrite de renvoi après « d'associativité », et un crochet manuscrit autour des deux dernières lignes

On doit trouver une approximation meilleure d'un cran à la classification topologique en prenant des $(2\text{-Cat})$-groupes resp. des $(2\text{-Cat})$-groupes abéliens, ou plus généralement des « Gr-2-catégories » resp. « Grab-2-catégories ». (NB Une Grab-catégorie définit une Grab-2catégorie comme une catégorie définit une 2-catégorie ; du point de vue semi-simplicial, cette opération serait analogue à celle de « cosquélette${}^{\times}$ tronqué » ; Mais également une Grab-2-catégorie définit une Grab-catégorie${}^{\times}$, savoir la catégorie des automorphismes de l'objet unité ; cette opération serait analogue à celle de « tuage des groupes d'homotopie en dim $> 1$ ».) Pour la notion grossière (Gr ou Grab) l'idée de ma lettre à Verdier était qu'on doit trouver la même chose que les tronqués au cran 2, dans la catégorie homotopique des H-espaces — i.e. ce qu'on déduit des H-espaces par tuage des groupes d'homotopie en dimensions $> 2$.les signes $>$ sont récrits à la main

(Demander à Quillen relations exactes entre objets-groupes et objets connexes de la catégorie homotopique ponctuée : forment-ils des catégories équivalentes par le foncteur espace des lacets[ ?]).un double trait vertical manuscrit en marge de la parenthèse ; « ponctuée » est tapé en interligne et mis à sa place, après « homotopique », par un trait

non, on a un foncteur pl. fidèle (?) mais pas ess. surjectif ....note écrite de biais dans la marge gauche, en regard de la question

Pour les vrais groupes abéliens de $(2\text{-Cat})$, l'approche de Quillen consiste à les identifier d'abord à des groupes abéliens de la catégorie $(\mathrm{Bicat})$, donc à des groupes abéliens bi-semisimpliciaux particuliers (conditions sur chaque ligne et chaque colonne). Appliquant la version bi-semisimpliciale du tapis de Dold, on trouve que la catégorie de ces objets est équivalente à la catégorie des bicomplexes de chaines de groupes abéliens qui sont nuls en dehors du carré $0 \leq i, j \leq 1$. La colonne [cond.] que la première ligne corresponde à un groupe semisimplicial trivial signifie alors qu'elle n'a que le terme de degré zéro, i.e. que le bicomplexe est réduit à

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\begin{tikzcd}
C_{00} & 0 \arrow[l] & 0 \arrow[l] \\
C_{10} \arrow[u] & C_{11} \arrow[l] \arrow[u] & 0 \arrow[l]
\end{tikzcd}

les deux « $\leftarrow 0$ » de droite sont ajoutés à la main

Ces bicomplexes s'identifient aux complexes de chaines de longueur 2. Donc la catégorie de $(2\text{-Cat})$-groupes abéliens est équivelente à celle des complexes de chaines de longueur 2. L'explicitation de la 2-catégorie associée à un tel complexe de chaines est mon interprétation chérie. Il faudrait encore expliciter 2-Grab-catégorie des homomorphismes (en un sens à préciser) entre deux telles 2-Grab-catégories strictes, en termes d'un complexe $\mathrm{RHom}$.

L'idée qui se dégage de cette approche, et que Quillen on espère va expliciter, c'est que la notions de groupe abélien dans $(n\text{-Cat})$ correspond à celle de complexe de chaines de longueur $n$, en raisonnant soit mod. isomorphisme de part et d'autre, soit mod. une notion naturelle de $n$-équivalence d'un côté, et dans la catégorie dérivée de l'autre. Ceci doit pouvoir se préciser en utilisant des $\mathrm{Hom}^{\bullet}$ resp. des $\mathrm{RHom}^{\bullet}$.

Si maintenant $C$ est une catégorie avec un « produit tensoriel » associatif (et éventuellement unitaire), i.e. un bifoncteur avec des isomorphismes d'associativité (mais sans inverse ...), on peut lui associer sans doute une Gr-catégorie universelle (tout comme à un monoïde on associe un groupe symmétrisé), d'où des invariants, qu'on pourra désigner par $K_{0}(C)$ et $K_{1}(C)$. On suppose qu'on pourra de même trouver, pour tout $n$, une Gr-$n$-catégorie universelle où envoyer $C$ de façon compatible avec $\otimes$ (tout cela dans un sens à préciser), dont les invariants $\pi_{n}$ seraient par définition les $K_{n}(C)$. Un cas intéressant est celui où $C$ est une catégorie avec produits finis (par exemple une catégorie additive) et $\otimes$ est le produit ; Mais on notera que dans le cas d'une catégorie non seulement additive mais abélienne, il y a une notion plus adéquate du $K_{0}$, qui devrait correspondre à une notion plus adéquate de la suite des $K_{i}$, inspirée du tapis de Roos ; sans doute c'est en termes de (« vraie ») catégories trianguléesun crochet ouvrant manuscrit devant « Mais on notera »

qu'il conviendra de poser les définitions adéquates). — Peut-être Quillen a-t-il une définition semi-simpliciale plus directe, sans passer par des $n$-catégories, des $K_{i}$ et plus précisément du H-espace qui devrait correspondre à $C$.

ouidans la marge, avec un double trait vertical, en regard de la phrase qui précède

Ce n'est certainement pas en général l'ensemble semi-simplicial $SC$ associé à $C$, puisque dans le cas d'une catégorie additive, $C$ est homotopiquement trivial (en effet le foncteur identique est « homotope » au foncteur nul, puisqu'il suffit d'avoir un homomorphisme d'un foncteur dans l'autre ; d'où une équivalence d'homotopie entre $C$ et la catégorie nulle). Pourtant, il semble bien que dans le cas où $C$ est une Gr-catégorie i.e. admet des inverses, alors ce soit bien la construction « naïve » $SC$ qui est la bonne, puisqu'on trouve bien un $\pi_{0}$ et un $\pi_{1}$ qui sont aussi les $\pi_{0}$ et $\pi_{1}$ au sens catégorie sans Gr-structure.

A expliquer : pour des Gr-$n$-catégories, les $\pi_{i}$ au sens semi-simplicial sont aussi les $\pi_{i}$ au sens Gr-$n$-catégories, savoir les objets à isom. près dans divers $\mathrm{Hom}(1, 1)$ ... Il y a aussi une interprétation de l'opération $\Omega$ : […] des lacets en termes du foncteur d'opération du shift géométrique évidente sur les $n$-catégories ....paragraphe manuscrit sous la frappe, appelé par un signe de renvoi en marge ; sa seconde moitié est barrée de traits obliques, sous lesquels elle reste lisible par endroits ; la copie à l'encre bleue (dossier 162-5, p. 41) porte la même phrase

III Point de vue « motivique » en théorie du cobordisme.

Soit $C$ la catégorie des variétés différentiables [(compactes ?),] (pas nécessairement orientables), les morphismes étant les classes d'homotopie d'applications continues. Si $B$ est une catégorie, on s'intéresse aux couples $(F_{\cdot}, F^{\bullet})$ d'un foncteur covariant et d'un foncteur contravariant de $C$ dans $B$, satisfaisant les conditions que pour tout $X \in \mathrm{Ob}\, C$, on a $F_{\cdot}(X) = F^{\bullet}(X)$, et que si on a un produit fibré ordinaire

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\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, "g"'] & Y
\end{tikzcd}

avec $f$ et $g$ transversaux, alors on a $g^{\bullet} f_{\cdot} = f'_{\cdot} g'^{\bullet}$ (on pose $f_{\cdot} = F_{\cdot}(f)$, $f^{\bullet} = F^{\bullet}(f)$). La question est de trouver une $B$ et un couple $(F_{\cdot}, F^{\bullet})$ qui soient « universels » dans un sens évident. Quillen prouve que la construction suivante donne une telle solution.

Pour toute variété $X \in \mathrm{ob}\, C$, on définit un anneau commutatif $B(X)$ (l'anneau de bordisme de $X$) en prenant comme éléments les classes d'éléments de $C$ au dessus de $X$, pour la relation de cobordisme : $f' : X' \to X$ et $f'' : X'' \to X$ sont équivalents, s'il existe une variété à bord $Z$, et un $f : Z \to X$, tel que $\mathrm{bord}\, Z = X' \sqcup X''$ et $f'$ et $f''$ sont induits par $f$. La somme de $B(X)$ est la somme disjointe (c'est une loi de groupe où tout élément est d'ordre 2), le produit est donné par le produit fibré, en utilisant le théorème de transversalité de Thom pour bouger un peu $f''$, de sorte à le rendre transversal à $f'$.

NB L'anneau est de plus gradué par la dimension relative ...en interligne, sous le paragraphe

Si on a $f : X \to Y$, on définit $f_{\cdot} : B(X) \to B(Y)$ de façon évidente (toute variété sur $X$ est sur $Y$), et $f^{\bullet} : B(Y) \to B(X)$ par produit fibré (utilisant encore le th. de transversalité). De cette façon, $B(X)$ devient un foncteur-anneau [(gradué)] contravariant en $X$, et un foncteur groupe covariant en

$X$. De plus, on a la formule [(du type $g^{\bullet} f_{\cdot} = f'_{\cdot} g'^{\bullet}$ ci-dessus, impliquant la formule)] de projection habituelle. Ceci posé, les constructions bien connues en théorie des correspondances permettent de définir une catégorie $\mathbf{B}$ dont les objets sont ceux de $C$, et les Hom étant donnés par \[ \mathrm{Hom}_{\mathbf{B}}(X, Y) = B(X \times Y) . \] On a un isomorphisme canonique $\mathbf{B} \simeq \mathbf{B}^{\circ}$, qui est l'identité sur les objets et la symmétrie $B(X \times Y) \simeq B(Y \times X)$ sur les flêches, et un foncteur évident $F_{\cdot} : C \to \mathbf{B}$, qui est l'identité sur les objets et donné par les graphes sur les flêches. Composé avec la symmétrie précédente, on trouve un foncteur $F^{\bullet} : C \to \mathbf{B}$.la frappe porte ici $C$, sans le $^{\circ}$ qu'appelle un foncteur contravariant On vérifie enfin que le couple $(F_{\cdot}, F^{\bullet})$ satisfait aux conditions envisagées dans l'alinéa 1 (ceci aussi devrait être formalisé au cas des correspondances générales ...). On vérifie enfin qu'il a la propriété universelle qu'il faut. Lorsqu'on se donne un couple $(F'_{\cdot}, F'^{\bullet})$ à valeurs dans une catégorie $B'$, il faut trouver une factorisation par $\mathbf{B}$. Elle est toute trouvée sur les objets, il faut la définir sur les flêches, donc définir, pour $X$, $Y$ dans $C$, une application \[ B(X \times Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}(X', Y') . \tag{$*$} \] Mais si $Z$ est au-dessus de $X \times Y$, d'où $p : Z \to X$ et $q : Z \to Y$, on lui associe un élément du deuxième membre de $(*)$ comme le composé \[ X' \xrightarrow{F'^{\bullet}(p)} Z' \xrightarrow{F'_{\cdot}(q)} Y' . \] Il faut prouver que l'élément obtenu en remplaçant $Z$ par un $Z_{1}$ cobordant au dessus de $X$ [est le même]. Or si $g : T \to X \times Y$ réalise le cobordisme, on voit (regardant seulement $T$ et la décomposition $\mathrm{bord}(T) = Z \sqcup Z_{1}$) qu'il existe une variété $\overline{T}$ sur $S^{1}$ (obtenue en « doublant » $T$) transversale au dessus d'un couple de points $s_{0}$, $s_{1}$ de $S^{1}$, tels que $Z_{i}$ soit l'image inverse [dans $\overline{T}$] de $s_{i}$ ($i = 0, 1$) ; d'autre part,

$g$ manifestement se prolonge en $\overline{g} : \overline{T} \to X \times Y$. Cela nous ramène à prouver que le composé \[ \overline{T}' \xrightarrow{\alpha_{i}} Z'_{i} \xrightarrow{\alpha_{i*}} \overline{T}' \] ne dépend pas de $i = 0, 1$. Ecrivons $X$ au lieu de $\overline{T}'$, et considérons le diagramme cartésien d'inclusions

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X_{s} \arrow[r, "\alpha_{s}"] \arrow[d, "\alpha_{s}"'] & X \arrow[d, "{\Gamma = (p, \mathrm{id}_{X})}"] \\
X \arrow[r, "i_{s}"'] & S^{1} \times X
\end{tikzcd}

on a alors $\alpha_{s}^{*} \alpha_{s*} = \Gamma^{*} i_{s*}$, qui ne dépend pas de $s$ puisque $i_{s}$ n'en dépend pas à homotopie près. — Le reste est sans doute l'AQT.les $\alpha$, les astérisques et les étiquettes du carré sont portés à la main sur des blancs de la frappe. La première étiquette du composé se lit $\alpha_{i}$, sans astérisque visible, ici comme sur la copie à l'encre bleue (dossier 162-5, p. 45). L'étiquette de droite du carré, pâle sur la photocopie, se lit $\Gamma = (p, \mathrm{id}_{X})$, le signe $=$ souligné

Sur la strcture des $B_{\cdot}(X)$. Ce sont tous des algèbres graduées sur $B_{\cdot}(\mathrm{pt}) = \Lambda$, qui est une algèbre graduée à degrés positifs, réduite à $\mathbf{F}_{2}$ en degré 0. C'est d'ailleurs une algèbre de polynômes [(à une infinité de générateurs $x_{i}$ ($i$ entier $\geq 1$, $\neq$ de la forme $2^{\nu} - 1$))] connue ....l'insertion manuscrite, pâle et rognée au bord droit, est lue avec la copie à l'encre bleue (dossier 162-5, p. 45), qui porte « ($i$ entier $\geq 1$, $\neq$ de la forme $2^{\nu} - 1$) »

NB $H^{*}(X)$ $(= H^{*}(X, \mathbf{F}_{2}))$dans la marge gauche

On a un homomorphisme évident $B_{\cdot}(X) \to H^{\bullet}(X)$, nul en degrés $> 0$, qui à tout $Z$ sur $X$ associe l'image de $1 \in H^{0}(Z)$ par l'homomorphisme de Gysin associé à $Z \to X$. Cet homomorphisme par Thom est surjectif (toute classe de cohomologie provient d'une image de variété compacte ...) ;

en fait $H^{\bullet}(X) \simeq B_{\cdot}(X) / \Lambda^{+} B_{\cdot}(X)$dans la marge gauche

On ppouve même qu'il existe un relèvement fonctoriel en $X$ \[ H^{\bullet}(X) \longrightarrow B_{\cdot}(X), \] [(il est douteux qu'il soit] compatible avec multiplication[)] tel que l'on ait :la main met « compatible avec multiplication » entre parenthèses et écrit au-dessus « il est douteux qu'il soit » ; un point d'interrogation dans la marge

a) L'homomorphisme correspondant $H^{\bullet}(X) \otimes_{\mathbf{F}_{2}} \Lambda \simeq B_{\cdot}(X)$ est un isomorphisme (ce sera vrai pour tout relèvement individuellement ...), et

b) [[] [Quillen ignore si] Le relèvement est compatible aussi avec les hom. de Gysin.« a) » est raturé à la main ; devant b), un crochet manuscrit ouvre la clause, et « Quillen ignore si », écrit au-dessus de « Le » biffé, en fait une question. Un grand trait en arc dans la marge en regard de a) et b)

Ainsi, la catégorie $\mathbf{B}$ admet un foncteur pleinement fidèle dans la catégorie des modules gradués libres de type fini sur $\Lambda$, les modules de type fini qu'on obtient ainsi ayant des générateurs à degrés $\leq 0$ et satisfaisant (pour $X$ connexe i.e. quand il y a un seul générateur de degré zéro) la dualité de Poincaré. Quand on prend la catégorie quasi-abélienne [$\widetilde{\mathbf{B}}$] associée à $\mathbf{B}$, on trouve donc tous les modules gradués libres de type fini à générateurs en degrés $\leq 0$ seulement. C'est une

i.e. l'enveloppe « Karoubienne »de biais dans la marge gauche, en regard de « quasi-abélienne », que la main souligne d'un trait ondulé

catégorie additive (et même quasi-abélienne) avec $\otimes$ qui a toutes les vertus, sauf d'être abélienne, et sauf d'admettre des $\underline{\mathrm{Hom}}$ internes.

= karoubienne + additiveen tête de la page, au-dessus de « quasi-abélienne », qui est tapé en interligne

Pour trouver ces derniers, on peut si on veut paraphraser la construction de la catégorie des motifs, [en] considérant l'objet [$\Lambda(-1)$] de $\mathbf{B}$ conoyau de $p^{*} : e \to S$, où $p : S^{1} \to e$ est l'application du cercle sur un point. C'est un objet de poids 1 (le poids est défini par le degré des générateurs, changés de signe). On constate aussitôt que le foncteur $M \mapsto M(-1) = M \otimes \Lambda(-1)$ de $\widetilde{\mathbf{B}}$ dans lui-même est pleinement fidèle, ce qui permet alors, par une construction formelle standard, de compléter $\widetilde{\mathbf{B}}$ en une catégorie où $\Lambda(-1)$ devient inversible. Il se trouve alors que dans cette dernière les $\underline{\mathrm{Hom}}(X, Y)$ internes existent et sont isomorphes à $\check{X} \otimes Y$ ... en fait, on trouve maintenant la catégorie de tous les modules gradués libres de type fini sur $\Lambda$.les tildes sur $\mathbf{B}$ et le signe sur $\check{X}$ sont portés à la main ; « en » remplace une frappe biffée à la machine ; plus bas, « de tous » porte une lettre biffée à la machine après « de », et « convient » est une frappe surchargée qu'on lirait aussi « convinmt »

Bien sûr, cette catégorie n'est pas encore abélienne pour autant, puisque $\Lambda$ n'est pas un corps ; si on veut définir la catégorie abélienne engendrée, on s'attend à trouver la catégorie des modules de type [présentation] finie sur $\Lambda$. ([qui est abélienne bien que $\Lambda$ ne soit pas noethérien, car $\Lambda$ est] est-il noethérien, i.e. le nombre de générateurs est-il fini ? [lim d'anneaux noeth. à homs de transition plats]).« lim », à la main, sans flèche visible sous le mot

Cette construction ressemblerait à celle d'une théorie des motifs où on n'aurait pas passé à l'équivalence homologique pour les cycles, mais où on aurait gardé l'équivalence rationnelle, — qui est bien trop fine à beaucoup d'égards. Pour trouver un équivalent plus étroit, il convient de reprendre la théorie prédédente, on pourrait formuler le même Pb universel que plus haut, mais en prenant l'équivalence homologique (via le graphe) des morphismes de variétés au lieu de l'équivalence homotopique. Mais alors il semble que l'on trouve comme catégorie solution celle dont les objets sont les varié-

tés, les morphismes toutes les correspondances cohomologiques (en vertu du thorème de Thom rappelé plus haut). On trouve donc un foncteur pleinement fidèle de cette catégorie dans celle des vectoriels gradués positivement de dim. finie sur $\mathbf{F}_{2}$, qui est déjà abélienne, et si on veut rendre comme plus haut $\mathbf{F}_{2}(-1)$ inversible, on trouve tous les vectoriels gradués de dim. finie sur $\mathbf{F}_{2}$. C'est un peu trop trivial comme structure, et on peut faire mieux,le passage, qui commence à la dernière ligne de la page 14, est biffé à la main : d'un trait par ligne sur la page 14, de grands traits en zigzag sur la page 15

Pour trouver une catégorie universelle, on associe à toute $X$ $S(X)$ l'ensemble des sous-variétés de $X$, modulo équivalence homologique. Donc $S(X) \subset H^{\bullet}(X)$, et on prouve qu'on trouve en fait un sous-anneau de $H^{\bullet}(X)$ (grâce à un théorème de Thom qui caractérise $S(X)$ en termes d'opérations de Steenrod, cf plus bas). On prouve de même (par le même théorème) que les $S(X \times Y)$ sont stables par composition de correspondances cohomologiques (cela ne semble pas trivial, puisque les $S(X)$ ne sont pas stables par Gysin ...). D'où une catégorie additive dont les objets sont ceux de $C$, les flêches sont les [él. des] $S(X \times Y)$, Il semble qu'elle doive jouer le rôle universel que j'ai envisagé plus haut. En tous cas, sa définition géométrique est fort simple Nous allons en donner une interpétation algébrique. Pour ceci, considérons l'anneau des opérations cohomologiques « stables ». C'est un anneau gradué, avec application diagonale anticommutative, i.e. commutative (car. 2 !), associative et unitaire. Son dual gradué est une algèbre graduée anticommutative donc commutative, avec application diagonale associative et unitaire ; il est réduit à $\mathbf{F}_{2}$ en degré zéro. Donc il corespond à un schéma en groupes affine $G$ sur $\mathbf{F}_{2}$, qui est d'ailleurs le foncteur des $\otimes$-automorphismes additifs du foncteur $H^{\bullet}$ sur $C$ [qui opèrent trivialement sur […] $H^{1}(S^{1})$.] […]après « stables », tapé en interligne, une définition tapée est biffée à la main : « des endomorphismes du foncteur $X \mapsto H^{\bullet}(X)$ qui sont additifs, et qui en degré zéro se réduisent à un multiple de l'identité ». Un long trait vertical et un signe de renvoi en marge, en regard de ce passage ; l'addition manuscrite finale biffe un mot avant $H^{1}(S^{1})$ et se termine sur un mot raturé

Le théorème de Thom est alors qu'un $x \in H^{\bullet}(X)$ est dans $S(X)$ sss il est fixe par $G$, i.e. satisfait $A^{+} \cdot x = 0$. (Pourquoi cette condition est-elle déjà nécessaire ?) Une autre façon de le voir est de dire que le foncteur $H^{\bullet}$ considéré comme allant de la catégorie $\mathbf{S}$ précédente dans la catégorie des représentations de $G$ dans des vectoriels sur $\mathbf{F}_{2}$, est pleinement fidèle. Quand on prend l'enveloppe pseudo-abélienne, on trouve une sous-catégorie pleine de la catégorie des représentations de $G$, mais il est douteux qu'on trouve une catégorie abélienne, voire la catégorie de toutes les représentations de $G$ de dimension finie sur $\mathbf{F}_{2}$. (Quelle est la structure de $G$, qui est prolisse ; d'après Quillen, il serait pro-unipotent ....) Ici $G$ bien sûr joue le rôle d'un groupe de Galois motivique, mais contrairement à la situation familière, il semble qu'il soit fortement non réductif (et d'ailleurs le corps de définition dans tout ceci est $\mathbf{F}_{2}$, et non $\mathbf{Q}$ !).

oui, car son anneau affine est une algèbre de polynômes à une infinité d'indéterminées, […] réunion d'algèbres […] à engendrement […] stables par $\Delta$note de sept lignes écrite de biais dans la marge gauche, en regard de la parenthèse sur $G$, qu'une flèche y rattache ; le premier mot est rogné au bord. La copie à l'encre bleue (dossier 162-5, p. 48) porte la même note, plus lisible

Quillent donne une généralisation de la construction d'une catégorie universelle $\mathbf{B}$ au cas où on travaille avec des variétés pas néeessairement propres (mais $f_{\cdot}$ n'étant supposé défini que pour $f$ propre), et quand on introduit une condition d'orientation [stable] sur les morphismes envisagés, via un morphisme $H \to BO(\infty)$, où $H$ est un H-espace (commutatif, associatif et unitaire ?) : une orientation de $f : X \to Y$ sera un relèvement homotopique de $X \to BO$, défini par $T_{X} - f^{\bullet}(T_{Y})$, en $X \to H$. les éléments de $H(X, Y)$ seront définis par des diagrammes de morphismes orientés $Z \to X$, $Z \to Y$, le deuxième étant propre, modulo bords de tels. En tant qu'ensemble, il se définit aussi en termes de la variété $X \times Y$ munie simplement de la famille des supports formée des ensembles fermés propres sur $Y$ ...« stable » est tapé en interligne et rattaché à sa place par un trait manuscrit ; le « t » de « Quillent » est barré à la main

Les $B^{H}_{m}(X)$ ($X$ compact disons) peuvent se décrire homotopiquement à la Thom, comme les groupes d'homotopie stables d'espaces $\underline{\mathrm{Hom}}(X, MH(N-m))$ ...

cf exposé Karoubi à Bourbaki ...deux notes manuscrites au pied de la dernière page ; la seconde est d'une encre plus pâle

Tapis de Quillen.

I Relations entre catégories et ensembles semi-simpliciaux.

II \(n\)-catégories, catégories \(n\)-uples, et (Gr)-catégories.

III Point de vue « motivique » en théorie du cobordisme.