Cote n° 111 · pages 1–16 · Lecture modernisée · Tapis de Quillen [notes du 10/09/1968] : copies de tapuscrit annoté (1968) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1968
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–16

Le fil du dossier, et les conventions

La pièce. Le dossier est la photocopie d'un tapuscrit de seize pages, numérotées 1 à 16 à la main en tête de chaque page. La page \(N\) du tapuscrit est la page \(N\) du dossier. Le texte est titré « Tapis de Quillen. » ; la main a daté la première page « notes du 10.9.68 », d'où le « [notes du 10/09/1968] » de l'inventaire. La machine n'avait ni lettres grecques ni flèches ; plusieurs ont été tracées ensuite à la main, avec des corrections de notation et des notes de fond.

Les trois exemplaires. Le dossier 162-5 contient deux autres témoins du même original dactylographié, avec les mêmes coupures de lignes et les mêmes biffures à la machine. L'un est l'original annoté à l'encre bleue (162-5, pages 32 à 48), que nous appelons l'exemplaire annoté. L'autre est une photocopie noire de celui-ci, tirée après l'encre et qui a reçu quelques notes propres (162-5, pages 2 à 17). La couche manuscrite de 111 est celle de l'exemplaire annoté, photocopiée, plus ces notes propres, reproduites des mêmes traits aux mêmes places. On ne trouve sur 111 aucune marque qui ne soit sur l'un des deux autres. 111 n'est pourtant pas simplement une copie de la photocopie de 162-5 telle qu'elle est aujourd'hui : il garde au bord droit de quelques pages (7 et 13) un texte que celle-ci a perdu. Les images ne disent pas s'il a été tiré sur elle avant cette perte, ou sur un intermédiaire commun.¹

Qui écrit. Le tapuscrit parle à la première personne : « ma lettre à Verdier », « “ma” construction chérie de la “catégorie de Picard” », « mon interprétation chérie », « le rôle universel que j'ai envisagé plus haut ». Il rapporte ce que « Quillen prouve » et note ce qu'il faudra « demander à Quillen ». Rien sur les pages ne le signe. Une vérification de l'encre sur le fac-similé, faite par sondage à la page 3, tient les ajouts manuscrits pour siens ; la transcription ne va pas plus loin, et nous non plus.

Le fil. Les trois parties du tapuscrit ne s'enchaînent pas par déduction ; elles sont trois sujets d'une même conversation.

• I, pages 1 à 5 : catégories et ensembles simpliciaux. Le nerf, la catégorie des simplexes, l'équivalence des théories homotopiques, \(C\) et \(C^{\circ}\), puis une généralisation proposée aux topos « localement homotopiquement triviaux » et l'idée de définir un type d'homotopie par la catégorie dérivée de ses systèmes locaux.
• II, pages 5 à 10 : catégories doubles, 2-catégories, groupes dans \((\mathrm{Cat})\) et dans \((2\text{-Cat})\), la correspondance de Dold–Kan, et le programme des \(K_n\) d'une catégorie monoïdale.
• III, pages 11 à 16 : le cobordisme comme théorie de correspondances, la catégorie universelle \(\mathbf{B}\), sa description par des \(\Lambda\)-modules, l'analogie avec les motifs, une seconde catégorie \(\mathbf{S}\) et le groupe \(G\) dual de l'algèbre de Steenrod, enfin la généralisation orientée.

Une dernière section revient sur la couche manuscrite de la photocopie, et sur ce qu'elle laisse inférer de sa date.

Notations, valables pour tout le document ; elles sont celles de la lecture modernisée du dossier 162-5, et chaque écart avec la page est signalé en note. \(N(C)\) désigne le nerf (la page : \(S(C)\)) et \(C^{\circ}\) la catégorie opposée. \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat})\) et \(\mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\) désignent les catégories homotopiques (la page : \((\mathrm{Cat})'\), \((\mathrm{Ssimpl})'\)), et \(\widehat{C}\) le topos des préfaisceaux sur \(C\) (la page : \(\widetilde{C}\)). « Catégorie double » rend la « bi-catégorie » de la page. Dans la troisième partie, \(\mathcal{V}\) est la catégorie des variétés (la page : \(C\)), \(\mathcal{E}\) la catégorie but du problème universel (la page : \(B\)), et \(H^{\bullet}(X) = H^{*}(X; \mathbb{F}_2)\).

Annoncé, non établi. Le tapuscrit laisse ouverte la généralisation aux topos localement homotopiquement triviaux (pages 3 et 4). Il pose sans les établir la description des \(n\)-catégories par des ensembles \(n\)-simpliciaux (page 6) et celle des homomorphismes entre catégories de Picard (pages 7 et 9). Il ne fait qu'espérer la correspondance entre groupes abéliens de \((n\text{-Cat})\) et complexes de longueur \(n\), et la définition des \(K_n\) (page 9). Il renvoie « le reste » de la propriété universelle de \(\mathbf{B}\) à une abréviation que nous ne savons pas lire (page 13), suppose sans la démontrer l'universalité de la catégorie \(\mathbf{S}\) (page 15), et ne dit pas la structure du groupe \(G\) (page 16).

1–5

I. Catégories et ensembles simpliciaux (pages 1 à 5)

1–2

Le nerf, le topos, la catégorie des simplexes (pages 1 et 2)

Le nerf. À toute catégorie \(C\) on associe son nerf \(N(C)\), l'ensemble simplicial des suites de flèches composables. Le foncteur \(N : (\mathrm{Cat}) \to (\mathrm{sSet})\) est pleinement fidèle.² Les systèmes locaux d'ensembles sur \(N(C)\) correspondent aux foncteurs sur \(C\) qui envoient toute flèche sur un isomorphisme, c'est-à-dire qui se factorisent par le groupoïde enveloppant \(C[C^{-1}]\). Leur cohomologie s'interprète de deux façons : par les foncteurs dérivés de \(\varprojlim\), ou comme cohomologie du topos \(\widehat{C}\) des préfaisceaux sur \(C\). Il s'agit de \(H^{0}\) pour les ensembles, de \(H^{1}\) pour les groupes, de tous les \(H^{i}\) pour les groupes abéliens. Pour un système local abélien \(F\), vu comme foncteur \(C^{\circ} \to \mathrm{Ab}\), on a \(H^{i}(N(C), F) = H^{i}(\widehat{C}, F) = \varprojlim^{i}_{C^{\circ}} F\).

Un foncteur \(u : C \to C'\) est un homotopisme si \(N(u)\) est une équivalence faible ; c'est le terme de la page. Le critère cohomologique d'Artin et Mazur le caractérise : \(u\) est un homotopisme si et seulement si, pour tout système de coefficients local \(F'\) sur \(C'\), les applications \[ \varprojlim\nolimits^{i}_{C'^{\circ}} F' \longrightarrow \varprojlim\nolimits^{i}_{C^{\circ}} u^{*}F' \] sont bijectives, pour les \(i\) où cela a un sens.³

Le topos. À \(C\) est associé le topos \(\widehat{C}\), qui varie de façon covariante avec \(C\) : un foncteur \(u\) induit un morphisme de topos \(\widehat{u} : \widehat{C} \to \widehat{C'}\), dont l'image inverse est la restriction le long de \(u\). La page ajoute que le foncteur \(C \mapsto \widehat{C}\) n'a plus rien de pleinement fidèle, « semble-t-il ?? ».⁴ Un système de coefficients ensembliste sur \(C\) est un foncteur \(C^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) qui envoie toute flèche sur une bijection.⁵ Ce sont exactement les objets localement constants de \(\widehat{C}\), qui se définissent intrinsèquement à partir du topos. Il en résulte qu'être un homotopisme ne dépend que de \(\widehat{u}\) : cela signifie que \(H^{i}(\widehat{C'}, F') \to H^{i}(\widehat{C}, \widehat{u}^{*}F')\) est bijectif pour tout faisceau localement constant \(F'\) sur \(\widehat{C'}\).

La catégorie des simplexes. Dans l'autre sens, on associe à un ensemble simplicial \(X\) la catégorie de ses simplexes \(T(X) = \Delta/X\). Ses objets sont les simplexes de \(X\) ; c'est une catégorie fibrée sur \(\Delta\), à fibres les ensembles discrets \(X_n\). Quillen prouve deux choses. D'abord, \(N T(X)\) est canoniquement isomorphe à \(X\) dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\). Ensuite, \(T N(C)\) est canoniquement isomorphe à \(C\) dans la localisée \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat})\) de \((\mathrm{Cat})\) par les homotopismes. Ces isomorphismes sont fonctoriels. Il en résulte formellement qu'un morphisme \(f\) d'ensembles simpliciaux est une équivalence faible si et seulement si \(T(f)\) est un homotopisme, et que \(N\) et \(T\) induisent des équivalences quasi-inverses \[ \mathrm{Ho}(\mathrm{Cat}) \ \simeq\ \mathrm{Ho}(\mathrm{sSet}). \] C'est aujourd'hui un résultat classique.⁶

2–3

Une catégorie et son opposée (pages 2 et 3)

Quillen construit de plus un isomorphisme canonique et fonctoriel entre \(C\) et \(C^{\circ}\) dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat})\), ou, ce qui revient au même, entre \(N(C)\) et \(N(C^{\circ})\) dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\). C'est un isomorphisme de la catégorie localisée, non un foncteur de \(C\) dans \(C^{\circ}\).⁷ Son effet sur les systèmes locaux est le suivant : un foncteur contravariant \(F\) sur \(C\), qui rend toute flèche inversible, devient le foncteur covariant qui a les mêmes valeurs sur les objets et \(F(u)^{-1}\) sur une flèche \(u\). Sur les groupoïdes fondamentaux, c'est l'isomorphisme évident \(\pi_1(C) \to \pi_1(C^{\circ}) = \pi_1(C)^{\circ}\), \(g \mapsto g^{-1}\).

Il s'en déduit une interprétation faisceautique de la cohomologie d'un ensemble simplicial \(X\) à coefficients dans un système local covariant \(F\), définie classiquement par le complexe cosimplicial \[ C^{n}(F) = \prod_{x \in X_n} F(x). \] On passe au système local contravariant défini par \(F\), on le regarde comme un faisceau sur \(T(X)\), c'est-à-dire comme un objet de \((\mathrm{sSet})_{/X}\), et on prend sa cohomologie.⁸ La page ajoute que, pour un système de coefficients covariant non local, on n'a toujours pas d'interprétation faisceautique de la cohomologie classique ; ni, pour un système contravariant, de son homologie, ni inversement de sa cohomologie faisceautique en termes classiques. Un grand crochet manuscrit embrasse ce paragraphe, et la marge répond : « Si ! ».⁹

3–5

Catégories dérivées de systèmes locaux, et topos localement homotopiquement triviaux (pages 3 à 5)

Soit \(u : C \to C'\) un homotopisme. Notons \(D^{b}_{\mathrm{lc}}(C)\) la sous-catégorie triangulée de la catégorie dérivée bornée des faisceaux abéliens sur \(\widehat{C}\) formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont localement constants. Quillen montre que \(u^{*} : D^{b}_{\mathrm{lc}}(C') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(C)\) est une équivalence, et réciproquement. La partie directe vaut avec un anneau de base quelconque, et aussi avec un anneau de coefficients constant tordu. La réciproque vaut à coefficients dans \(\mathbb{Z}\), mais pas dans un anneau quelconque non nul.¹⁰

Le tapuscrit conjecture ensuite (« je pense que ce résultat (facile) doit pouvoir se généraliser ») un énoncé pour les topos. Soit \(f : X \to X'\) un morphisme de topos qui induit des isomorphismes en cohomologie pour tout faisceau localement constant sur \(X'\), le cas non commutatif inclus. Supposons \(X\) et \(X'\) localement homotopiquement triviaux : pour tout entier \(n \geq 1\), tout objet \(U\) a un recouvrement \((U_i \to U)\) tel que

• a)tout système local et toute section sur \(U\) deviennent constants sur les \(U_i\) ;
• b)pour tout groupe abélien \(G\), les \(H^{j}(U, G) \to H^{j}(U_i, G)\) sont nuls pour \(1 \leq j \leq n\).

Alors \(f^{*} : D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)\) serait une équivalence. Il en irait de même avec un système local d'anneaux sur \(X'\), et \(f\) induirait une équivalence entre coefficients locaux sur \(X\) et sur \(X'\).¹¹ Une note manuscrite au pied de la page 3, appelée en regard de la définition, en précise la portée : la condition « n'est typiquement pas satisfaite par les schémas avec leur topologie étale (mais bien par […] loc. noeth. avec top. Zariski) ».¹²

Le principe de démonstration proposé est le suivant. Un topos localement homotopiquement trivial est localement connexe et localement simplement connexe, d'où une bonne théorie des \(\pi_0\) et \(\pi_1\), qui sont ici discrets. On est ramené à un cas particulier du critère d'Artin et Mazur : un homomorphisme de groupes \(G \to H\) est un isomorphisme s'il induit des bijections sur \(H^{0}\) et \(H^{1}\), cas non commutatif compris. La pleine fidélité se ramène, par la suite spectrale, aux \(\mathrm{Ext}^{i}\) de coefficients locaux. Elle résulterait de deux faits : dans un topos localement homotopiquement trivial, les faisceaux abéliens localement constants sont stables par \(\mathrm{Ext}^{i}\), et \(M \mapsto M_X\) commute à ces \(\mathrm{Ext}^{i}\). Pour \(X\), \(X'\) localement homotopiquement triviaux, trois conditions sur \(f\) seraient alors équivalentes.

• a)\(f\) est un homotopisme : il induit un isomorphisme sur les \(H^{i}\) pour tout système local sur \(X'\), non nécessairement commutatif.
• b)\(f^{*} : D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)\) est une équivalence.
• a')\(f\) induit une équivalence entre systèmes locaux abéliens sur \(X'\) et sur \(X\), et des isomorphismes sur les \(H^{i}\) correspondants.

La page ignore si l'on peut, dans a), se borner aux systèmes locaux commutatifs, et la main met en marge un point d'interrogation. La réponse est non.¹³

L'équivalence de a) et b) motive une définition des types d'homotopie par la catégorie \(D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)\).¹⁴ On la munirait de la sous-catégorie pleine des systèmes locaux, du foncteur cohomologique à valeurs dans celle-ci et du produit tensoriel, ce qui fait sortir de \(D^{b}\) vers \(D^{-}\) : « redactor demerdetur ».¹⁵

5–10

II. \(n\)-catégories, catégories \(n\)-uples, Gr-catégories (pages 5 à 10)

5–6

Catégories doubles et 2-catégories (pages 5 et 6)

Le tapuscrit appelle « bi-catégorie » une catégorie dans \((\mathrm{Cat})\). C'est la donnée d'une catégorie \(C_0\), de foncteurs source et but \(p_1, p_2 : C_1 \rightrightarrows C_0\), d'un foncteur unité \(C_0 \to C_1\) et d'une composition \(\pi : C_1 \times_{C_0} C_1 \to C_1\), avec les axiomes habituels. On dit aujourd'hui catégorie double.¹⁶ On identifie \((\mathrm{Cat})\) à la sous-catégorie pleine de \((\mathrm{sSet})\) formée des ensembles simpliciaux qui satisfont la condition d'exactitude « familière » : transformer sommes amalgamées en produits fibrés, soit \(X_n \simeq X_1 \times_{X_0} \cdots \times_{X_0} X_1\), ce qu'on appelle aujourd'hui la condition de Segal.¹⁷ De même, les catégories doubles s'identifient aux ensembles bisimpliciaux \((X_{ij})\) qui satisfont cette condition ligne par ligne et colonne par colonne. Les catégories triples s'identifient à des objets trisimpliciaux, et ainsi de suite.

Exemple. Pour une catégorie \(C\), posons \(C_0 = C\) et \(C_1 = \mathrm{Fl}(C)\), la catégorie des flèches, avec les structures évidentes. Les composantes simpliciales supérieures sont les catégories \(\mathrm{Fl}^{n}(C)\) des suites de \(n\) flèches, et l'ensemble bisimplicial correspondant a pour composantes \(\mathrm{Hom}([n] \times [m], C)\). Les objets de \(X_{11}\) sont les carrés commutatifs de \(C\), qu'on peut lire de deux manières comme morphismes de flèches. L'échange des lignes et des colonnes est une symétrie de la catégorie des catégories doubles ; de même, le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\) opère sur la catégorie des catégories \(n\)-uples.

Une 2-catégorie (stricte) est une catégorie double dont la catégorie d'objets \(C_0\) est discrète : en termes bisimpliciaux, un ensemble bisimplicial dont la première ligne est un ensemble simplicial constant. Il paraît qu'on a une interprétation analogue des \(n\)-catégories en termes d'ensembles \(n\)-simpliciaux. Le tapuscrit note de demander à Quillen le rapport entre les \(m\)-catégories dans \((n\text{-Cat})\) et les ensembles \((m+n)\)-simpliciaux.¹⁸

7–7

Groupes dans \((\mathrm{Cat})\) et catégories de Picard (page 7)

Les groupes dans \((\mathrm{Cat})\) sont les groupes simpliciaux qui satisfont la condition de Segal, et qui sont donc déterminés par \(C_0\) et \(C_1\). Par la correspondance de Dold–Kan (le « tapis de Dold »), les groupes abéliens dans \((\mathrm{Cat})\) forment une catégorie équivalente à celle des complexes de chaînes de longueur 1 : \[ 0 \longleftarrow C_0 \xleftarrow{\ d\ } C_1 \longleftarrow 0 . \] Le groupe abélien dans \((\mathrm{Cat})\) associé à un tel complexe est la catégorie de Picard du complexe, « “ma” construction chérie » : ses objets sont les éléments de \(C_0\), et ses flèches de \(x\) vers \(y\) les \(z \in C_1\) tels que \(dz = y - x\). On obtient ainsi, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens de \((\mathrm{Cat})\).¹⁹

Complément important : toute Gr-catégorie, c'est-à-dire toute catégorie monoïdale où objets et flèches sont inversibles, est équivalente à un vrai groupe dans \((\mathrm{Cat})\). Le tapuscrit avait étendu l'énoncé au cas commutatif, par deux parenthèses tapées en interligne ; la main les biffe, et avec elles le mot « commutative ».²⁰ Une ligne manuscrite ajoute : quand on « simplifie » modulo l'équivalence de Grab-catégories, cela revient à travailler dans la catégorie dérivée des complexes, dont les seuls invariants sont \(H_0\) et \(H_1\), autrement dit \(\pi_0\) et \(\pi_1\).²¹

Une note manuscrite encadrée, en tête de la page 7, avertit : « Attention à la catégorie \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{grab}}\), qui s'identifie à la catégorie définie par un \(R\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(C_{\bullet}, C'_{\bullet})\), ce point devant être élucidé ! ». Les « Grab » sont les groupes abéliens, et il s'agit des homomorphismes entre les catégories de Picard \(P(C_\bullet)\), \(P(C'_\bullet)\) de deux complexes de longueur 1. L'énoncé correct demande une troncature : les foncteurs additifs de \(P(C_\bullet)\) dans \(P(C'_\bullet)\) forment la catégorie de Picard associée à \(\tau^{\leq 0} R\mathrm{Hom}(C_\bullet, C'_\bullet)\), en indexation cohomologique.²²

On a ainsi une classification beaucoup plus restreinte que celle des H-espaces (resp. des H-espaces homotopiquement commutatifs) à homotopie près. La raison en est qu'on est plus exigeant, dans le cadre catégorique, sur l'associativité (resp. la commutativité). On ne demande pas seulement l'existence d'isomorphismes d'associativité, qui suffirait pour avoir un groupe dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat}) \simeq \mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\) ; on les suppose donnés, avec des compatibilités, et c'est ce qui permet de se ramener à de vrais groupes dans \((\mathrm{Cat})\). La main biffe la suite, « resp. de vraie commutativité », pour la raison qu'on vient de dire.²³

8–9

Le cran suivant : groupes dans \((2\text{-Cat})\) (pages 8 et 9)

On doit trouver une meilleure approximation, d'un cran, de la classification topologique, en passant aux groupes (resp. groupes abéliens) dans \((2\text{-Cat})\), ou plus généralement aux « Gr-2-catégories » (resp. « Grab-2-catégories »). Deux opérations relient les crans. Une Grab-catégorie définit une Grab-2-catégorie, comme une catégorie définit une 2-catégorie : c'est l'analogue d'un « cosquelette tronqué ». Inversement, une Grab-2-catégorie définit une Grab-catégorie, celle des automorphismes de l'objet unité ; le tapuscrit y voit l'analogue du « tuage des groupes d'homotopie en dimension \(> 1\) ».²⁴ Pour la notion « grossière », l'idée de sa lettre à Verdier était qu'on doit trouver la même chose que les tronqués au cran 2 dans la catégorie homotopique des H-espaces, c'est-à-dire ce qu'on en déduit en tuant les groupes d'homotopie en dimension \(> 2\).²⁵

Le tapuscrit note de demander à Quillen si les objets-groupes et les objets connexes de la catégorie homotopique pointée forment des catégories équivalentes par le foncteur espace des lacets. La main répond en marge : « non, on a un foncteur pl. fidèle (?) mais pas ess. surjectif ». La non-surjectivité est juste, et le point d'interrogation justifié : le foncteur des lacets n'est même pas fidèle.²⁶

Les vrais groupes abéliens dans \((2\text{-Cat})\). L'approche de Quillen les identifie d'abord à des groupes abéliens dans la catégorie des catégories doubles, donc à des groupes abéliens bisimpliciaux particuliers, soumis à la condition de Segal sur chaque ligne et chaque colonne. Par la version bisimpliciale de Dold–Kan, ils équivalent aux bicomplexes de groupes abéliens nuls hors du carré \(0 \leq i, j \leq 1\). La condition que la première ligne corresponde à un groupe simplicial constant signifie qu'elle se réduit à son terme de degré 0, et le bicomplexe devient²⁷

\begin{tikzcd}
C_{00} & 0 \arrow[l] & 0 \arrow[l] \\
C_{10} \arrow[u] & C_{11} \arrow[l] \arrow[u] & 0 \arrow[l]
\end{tikzcd}

Ces bicomplexes s'identifient aux complexes de chaînes de longueur 2, \(C_{11} \to C_{10} \to C_{00}\), et la catégorie des groupes abéliens dans \((2\text{-Cat})\) est donc équivalente à celle des complexes de longueur 2. La 2-catégorie associée à un tel complexe est « mon interprétation chérie ». Il resterait à décrire, par un complexe \(R\mathrm{Hom}\), la 2-Grab-catégorie des homomorphismes entre deux telles 2-Grab-catégories strictes.

L'idée qui se dégage, et que Quillen, « on espère », va expliciter, est que les groupes abéliens dans \((n\text{-Cat})\) correspondent aux complexes de longueur \(n\). On raisonnerait soit à isomorphisme près des deux côtés, soit à \(n\)-équivalence près d'un côté et dans la catégorie dérivée de l'autre, au moyen de \(\mathrm{Hom}^{\bullet}\) (resp. \(R\mathrm{Hom}^{\bullet}\)).²⁸

9–10

Les \(K_n\) d'une catégorie monoïdale (pages 9 et 10)

Soit \(C\) une catégorie munie d'un produit tensoriel associatif, et éventuellement unitaire : un bifoncteur avec des isomorphismes d'associativité, mais sans inverses. On doit pouvoir lui associer une Gr-catégorie universelle, comme on associe à un monoïde son groupe symétrisé, d'où des invariants \(K_0(C)\) et \(K_1(C)\). On suppose qu'on trouvera de même, pour tout \(n\), une Gr-\(n\)-catégorie universelle où envoyer \(C\) de façon compatible à \(\otimes\) ; ses invariants \(\pi_n\) seraient par définition les \(K_n(C)\). Un cas intéressant est celui d'une catégorie à produits finis, additive par exemple, où \(\otimes\) est le produit. Mais pour une catégorie abélienne il y a une notion plus adéquate du \(K_0\), qui devrait correspondre à une meilleure notion des \(K_i\), « inspirée du tapis de Roos ». C'est sans doute en termes de « vraies » catégories triangulées qu'il faudra poser les définitions.²⁹

Peut-être Quillen a-t-il une définition simpliciale plus directe du H-espace qui devrait correspondre à \(C\), sans passer par les \(n\)-catégories. La marge répond : « oui ».³⁰ Ce n'est certainement pas en général le nerf \(N(C)\) : une catégorie additive est contractile, puisque le foncteur identique est homotope au foncteur nul, une transformation naturelle de l'un à l'autre suffisant. Pourtant, lorsque \(C\) est une Gr-catégorie, le nerf naïf est le bon : on trouve des \(\pi_0\) et \(\pi_1\) qui sont aussi ceux de \(C\) au sens des catégories sans Gr-structure.

Une note manuscrite sous la frappe ajoute : « A expliquer : pour des Gr-\(n\)-catégories, les \(\pi_i\) au sens semi-simplicial sont aussi les \(\pi_i\) au sens Gr-\(n\)-catégories, savoir les objets à isom. près dans divers \(\mathrm{Hom}(1, 1)\) … ».³¹

11–16

III. Point de vue « motivique » en théorie du cobordisme (pages 11 à 16)

11–13

Le problème universel et la catégorie \(\mathbf{B}\) (pages 11 à 13)

Le problème. Soit \(\mathcal{V}\) la catégorie des variétés différentiables compactes sans bord, non nécessairement orientables, dont les morphismes sont les classes d'homotopie d'applications continues.³² Soit \(\mathcal{E}\) une catégorie. On s'intéresse aux couples \((F_\bullet, F^\bullet)\) formés d'un foncteur covariant \(F_\bullet : \mathcal{V} \to \mathcal{E}\) et d'un foncteur contravariant \(F^\bullet : \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{E}\), qui ont les mêmes valeurs sur les objets, et qui satisfont le changement de base pour tout carré cartésien d'applications différentiables où \(f\) et \(g\) sont transverses :

\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, "g"'] & Y
\end{tikzcd}

\[ g^{\bullet} f_{\bullet} = f'_{\bullet}\, g'^{\bullet} \qquad (f_\bullet = F_\bullet(f),\ f^\bullet = F^\bullet(f)). \] La question est de trouver un couple universel, et Quillen prouve que la construction suivante en donne un.³³

L'anneau \(B(X)\). Pour \(X\) dans \(\mathcal{V}\), soit \(B(X)\) l'ensemble des classes de variétés \(Z \to X\) au-dessus de \(X\) pour la relation de cobordisme : \(Z' \to X\) et \(Z'' \to X\) sont cobordantes s'il existe une variété à bord \(W\) et \(W \to X\) tels que \(\partial W = Z' \sqcup Z''\), les deux applications étant induites. La somme est la réunion disjointe ; c'est une loi de groupe où tout élément est d'ordre 2. Le produit est le produit fibré, après qu'on a rendu les deux applications transverses par le théorème de Thom. L'anneau est gradué par la dimension relative : \(B_d(X)\) est formé des \(Z \to X\) avec \(\dim Z - \dim X = d\). Pour \(f : X \to Y\), l'image directe \(f_\bullet : B(X) \to B(Y)\) est la composition avec \(f\), et l'image inverse \(f^\bullet : B(Y) \to B(X)\) le produit fibré transverse. \(B\) est ainsi un foncteur en anneaux gradués contravariant, et un foncteur en groupes covariant, et la formule de changement de base entraîne la formule de projection habituelle.³⁴

La catégorie \(\mathbf{B}\). Les constructions usuelles de la théorie des correspondances donnent une catégorie \(\mathbf{B}\), dont les objets sont ceux de \(\mathcal{V}\) et dont les morphismes sont donnés par \[ \mathrm{Hom}_{\mathbf{B}}(X, Y) = B(X \times Y), \qquad \beta \circ \alpha = p_{13\bullet}\big(p_{12}^{\bullet}\alpha \cdot p_{23}^{\bullet}\beta\big), \] où les \(p_{ij}\) sont les projections de \(X \times Y \times Z\).³⁵ La symétrie \(B(X \times Y) \simeq B(Y \times X)\) donne un isomorphisme canonique \(\mathbf{B} \simeq \mathbf{B}^{\circ}\), qui est l'identité sur les objets. Le foncteur \(F_\bullet : \mathcal{V} \to \mathbf{B}\) est l'identité sur les objets et envoie une flèche sur son graphe ; composé avec la symétrie, il donne \(F^\bullet : \mathcal{V}^{\circ} \to \mathbf{B}\).³⁶ Le couple satisfait aux conditions voulues ; la page note que cela devrait être formalisé pour des correspondances générales.

La propriété universelle. Soit \((F'_\bullet, F'^\bullet)\) un couple à valeurs dans une catégorie \(\mathcal{E}'\), et notons \(X' = F'(X)\). Il faut définir des applications \(B(X \times Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{E}'}(X', Y')\). On envoie \(Z \to X \times Y\), de composantes \(p\) et \(q\), sur le composé \[ X' \xrightarrow{\ F'^{\bullet}(p)\ } Z' \xrightarrow{\ F'_{\bullet}(q)\ } Y' . \] Il faut voir que le résultat ne dépend que de la classe de cobordisme de \(Z\) au-dessus de \(X \times Y\).³⁷ Soit \(T \to X \times Y\) un cobordisme, avec \(\partial T = Z_0 \sqcup Z_1\). En « doublant » \(T\), on obtient une variété \(W\) au-dessus de \(S^{1}\), par \(p : W \to S^{1}\), transverse au-dessus de deux points \(s_0\), \(s_1\) dont les fibres sont \(Z_0\) et \(Z_1\), et l'application vers \(X \times Y\) se prolonge à \(W\). Notant \(\alpha_i : Z_i \hookrightarrow W\) l'inclusion, on est ramené à montrer que le composé \[ W' \xrightarrow{\ \alpha_i^{\bullet}\ } Z'_i \xrightarrow{\ \alpha_{i\bullet}\ } W' \] ne dépend pas de \(i\). Considérons le carré cartésien d'inclusions, transverse pour \(s\) valeur régulière de \(p\) :

\begin{tikzcd}
W_{s} \arrow[r, "\alpha_{s}"] \arrow[d, "\alpha_{s}"'] & W \arrow[d, "{\Gamma = (p, \mathrm{id}_{W})}"] \\
W \arrow[r, "i_{s}"'] & S^{1} \times W
\end{tikzcd}

Le changement de base donne \[ \alpha_{s\bullet}\,\alpha_s^{\bullet} = \Gamma^{\bullet}\, i_{s\bullet}, \] et le second membre ne dépend pas de \(s\), puisque la classe d'homotopie de \(i_s\) n'en dépend pas. La page conclut : « Le reste est sans doute l'AQT ».³⁸

13–14

Structure des \(B_\bullet(X)\), enveloppe de Karoubi, l'objet \(\Lambda(-1)\) (pages 13 et 14)

L'anneau des coefficients. Les \(B_\bullet(X)\) sont des algèbres graduées sur \(\Lambda = B_\bullet(\mathrm{pt})\). \(\Lambda\) est à degrés positifs et réduit à \(\mathbb{F}_2\) en degré 0 : c'est l'anneau de bordisme non orienté \(\mathfrak{N}_*\) de Thom. C'est une algèbre de polynômes \(\mathbb{F}_2[x_i]\), avec un générateur \(x_i\) de degré \(i\) pour chaque entier \(i \geq 1\) qui n'est pas de la forme \(2^{\nu} - 1\).³⁹

On a un homomorphisme évident d'anneaux gradués \(B_\bullet(X) \to H^{\bullet}(X)\). Il envoie \(Z \to X\) sur l'image de \(1 \in H^{0}(Z)\) par l'homomorphisme de Gysin, envoie \(B_{-k}\) dans \(H^{k}\), et il est donc nul en degrés \(> 0\). Il est surjectif par Thom : toute classe provient d'une variété compacte.⁴⁰ Une note manuscrite ajoute : « en fait \(H^{\bullet}(X) \simeq B_\bullet(X)/\Lambda^{+}B_\bullet(X)\) », et c'est exact.⁴¹

On prouve même qu'il existe un relèvement fonctoriel \(s : H^{\bullet}(X) \to B_\bullet(X)\) tel que l'homomorphisme induit \[ H^{\bullet}(X) \otimes_{\mathbb{F}_2} \Lambda \xrightarrow{\ \sim\ } B_\bullet(X) \] soit un isomorphisme de \(\Lambda\)-modules. Le tapuscrit ajoute que ce sera vrai pour tout relèvement pris individuellement ; c'est exact pour tout relèvement homogène.⁴² Le tapuscrit disait le relèvement « compatible avec multiplication » ; la main met ces mots entre parenthèses et écrit au-dessus « il est douteux qu'il soit ». Elle fait aussi de la seconde condition une question : « Quillen ignore si » le relèvement est compatible avec les homomorphismes de Gysin.⁴³

Modules et enveloppe de Karoubi. Le foncteur \(X \mapsto B_\bullet(X)\) est pleinement fidèle, de \(\mathbf{B}\) dans la catégorie des \(\Lambda\)-modules gradués libres de type fini. Les modules obtenus ont leurs générateurs en degrés \(\leq 0\) ; pour \(X\) connexe, il y a un seul générateur de degré 0, et ils satisfont la dualité de Poincaré.⁴⁴ Passons à l'enveloppe pseudo-abélienne \(\widetilde{\mathbf{B}}\) de \(\mathbf{B}\), c'est-à-dire à son enveloppe de Karoubi, puisque \(\mathbf{B}\) est déjà additive. On obtient tous les \(\Lambda\)-modules gradués libres de type fini à générateurs en degrés \(\leq 0\). C'est une catégorie additive et karoubienne, munie d'un \(\otimes\) induit par le produit des variétés, qui a toutes les vertus, sauf d'être abélienne et d'avoir des \(\mathrm{Hom}\) internes.⁴⁵

L'objet \(\Lambda(-1)\). Pour obtenir les \(\mathrm{Hom}\) internes, on peut paraphraser la construction des motifs. Soit \(p : S^{1} \to e\) l'application du cercle sur un point. Le morphisme \(p^{\bullet} : e \to S^{1}\) de \(\mathbf{B}\) est scindé par le choix d'un point de \(S^{1}\), et l'on pose \[ \Lambda(-1) = \mathrm{coker}\big(p^{\bullet} : e \to S^{1}\big) \ \in\ \widetilde{\mathbf{B}}, \qquad B_\bullet(S^{1}) = \Lambda \oplus \Lambda(-1). \] C'est un module libre sur un générateur de degré \(-1\), donc un objet de poids 1, le poids étant le degré des générateurs changé de signe.⁴⁶ Le foncteur \(M \mapsto M(-1) = M \otimes \Lambda(-1)\) de \(\widetilde{\mathbf{B}}\) dans elle-même est pleinement fidèle, et une construction formelle standard permet de rendre \(\Lambda(-1)\) inversible. Dans la catégorie obtenue, les \(\mathrm{Hom}\) internes existent et valent \(\check{X} \otimes Y\) ; on y trouve tous les \(\Lambda\)-modules gradués libres de type fini.⁴⁷

Cette catégorie n'est pas abélienne, puisque \(\Lambda\) n'est pas un corps. On s'attend à ce que la catégorie abélienne engendrée soit celle des \(\Lambda\)-modules gradués de présentation finie. Elle est bien abélienne, quoique \(\Lambda\) ne soit pas noethérien : \(\Lambda\) est limite inductive d'anneaux de polynômes en un nombre fini de variables, à morphismes de transition plats, et il est donc cohérent.⁴⁸

14–16

L'analogie avec les motifs, la catégorie \(\mathbf{S}\) et le groupe de Steenrod (pages 14 à 16)

L'analogie. Cette construction ressemble à une théorie des motifs où l'on n'aurait pas passé à l'équivalence homologique des cycles, mais gardé l'équivalence rationnelle, bien trop fine à beaucoup d'égards.⁴⁹ Pour un équivalent plus étroit, on pourrait poser le même problème universel en prenant l'équivalence homologique des morphismes, via le graphe, au lieu de l'équivalence homotopique. Un passage biffé à la main en tirait une conclusion décevante : la catégorie solution aurait pour flèches toutes les correspondances cohomologiques, et donnerait, après inversion de \(\mathbb{F}_2(-1)\), tous les espaces vectoriels gradués de dimension finie sur \(\mathbb{F}_2\), « un peu trop trivial comme structure ».⁵⁰

La catégorie \(\mathbf{S}\). Pour trouver une catégorie universelle, on associe à \(X\) l'ensemble \(S(X) \subset H^{\bullet}(X)\) des classes de sous-variétés de \(X\), modulo équivalence homologique. On prouve, par un théorème de Thom dont il va être question, que c'est un sous-anneau ; par le même théorème, les \(S(X \times Y)\) sont stables par composition des correspondances cohomologiques, ce qui ne semble pas trivial, puisque les \(S(X)\) ne sont pas stables par Gysin. D'où une catégorie additive \(\mathbf{S}\), dont les objets sont les variétés et les flèches les éléments des \(S(X \times Y)\). « Il semble qu'elle doive jouer le rôle universel que j'ai envisagé plus haut. »⁵¹

Le groupe \(G\). Pour en donner une interprétation algébrique, considérons l'algèbre de Steenrod \(\mathcal{A}\) des opérations cohomologiques stables modulo 2. Elle est graduée, et munie d'une diagonale associative et unitaire, anticommutative, c'est-à-dire commutative (on est en caractéristique 2). Son dual gradué \(\mathcal{A}_*\) est une algèbre commutative, avec une diagonale associative et unitaire, et réduite à \(\mathbb{F}_2\) en degré 0. C'est donc l'anneau d'un schéma en groupes affine \(G\) sur \(\mathbb{F}_2\). La page l'identifie au foncteur des \(\otimes\)-automorphismes additifs de \(H^{\bullet}\) sur \(\mathcal{V}\) qui opèrent trivialement sur \(H^{1}(S^{1})\).⁵²

Le tapuscrit énonce alors, comme « le théorème de Thom », qu'un \(x \in H^{\bullet}(X)\) est dans \(S(X)\) si et seulement s'il est fixe par \(G\), c'est-à-dire si \(\mathcal{A}^{+} x = 0\), et demande aussitôt : « Pourquoi cette condition est-elle déjà nécessaire ? ». Nous rapportons cet énoncé sous réserve : lu avec l'action usuelle des carrés de Steenrod sur la cohomologie, il est en défaut.⁵³ Sous cette réserve, le foncteur \(H^{\bullet}\), de \(\mathbf{S}\) vers les représentations de \(G\) dans des espaces vectoriels sur \(\mathbb{F}_2\), serait pleinement fidèle. Son enveloppe pseudo-abélienne serait une sous-catégorie pleine des représentations de \(G\) ; il est douteux qu'elle soit abélienne, et plus encore qu'elle contienne toutes les représentations de dimension finie.

\(G\) est prolisse et, « d'après Quillen », pro-unipotent. Une note manuscrite en marge confirme : « oui, car son anneau affine est une algèbre de polynômes à une infinité d'indéterminées », réunion de sous-algèbres de type fini stables par la diagonale \(\Delta\).⁵⁴ Ici \(G\) joue le rôle d'un groupe de Galois motivique. Contrairement à la situation familière, il est fortement non réductif, et son corps de définition est \(\mathbb{F}_2\), non \(\mathbb{Q}\).⁵⁵

16–16

Orientations (page 16)

Quillen généralise la construction de \(\mathbf{B}\) de deux façons. D'abord aux variétés non nécessairement compactes, \(f_\bullet\) n'étant alors défini que pour \(f\) propre. Ensuite à une condition d'orientation stable sur les morphismes, donnée par un morphisme \(H \to BO(\infty)\), où \(H\) est un H-espace dont la page se demande s'il est commutatif, associatif et unitaire. Une orientation de \(f : X \to Y\) est un relèvement homotopique à \(H\) de l'application \(X \to BO\) qui classe \(T_X - f^{\bullet}T_Y\). Les morphismes \(\mathrm{Hom}_{\mathbf{B}^{H}}(X, Y)\) sont les classes de diagrammes \(X \leftarrow Z \to Y\) de morphismes orientés, le second propre, modulo les bords de tels diagrammes. Comme ensemble, cela se décrit par la variété \(X \times Y\) munie de la famille des fermés propres sur \(Y\).⁵⁶

Une note manuscrite au pied de la page ajoute : « Les \(B^{H}_{m}(X)\) (\(X\) compact disons) peuvent se décrire homotopiquement à la Thom, comme les groupes d'homotopie stables d'espaces \(\mathrm{Hom}(X, MH(N-m))\) … ». C'est la construction de Pontryagin–Thom, \(MH\) désignant l'espace de Thom associé à \(H\).⁵⁷

1–16

La couche manuscrite de la photocopie, et sa date

La couche manuscrite de 111 a deux strates, que la photocopie a fondues en un seul gris. La première est l'encre bleue de l'exemplaire annoté du dossier 162-5 : la date, les corrections de notation, les réponses « oui » et « non, … », les insertions des pages 11 à 16. La seconde est faite des marques que porte aussi la photocopie de 162-5 et non l'exemplaire annoté. La transcription de 111 en relève six : « (compactes ?) » (page 11), « NB \(H^{*}(X)\) » et « i.e. l'enveloppe “Karoubienne” » (page 13), « \(=\) karoubienne \(+\) additive » et le \(\Lambda\) porté dans un blanc de la frappe (page 14), et « cf exposé Karoubi à Bourbaki … » (page 16).⁵⁸ Sur 111 comme sur la photocopie de 162-5, ces marques ont les mêmes traits aux mêmes places : ce sont des reproductions d'une seule écriture, non une écriture reprise.

Les deux premières précisent des hypothèses que le texte laisse implicites, les deux suivantes traduisent son vocabulaire dans celui qui s'imposera, et le \(\Lambda\) comble un blanc. La dernière, d'une encre plus pâle, pointe selon toute vraisemblance vers l'exposé de Karoubi au Séminaire Bourbaki de 1971-1972, « Cobordisme et groupes formels (d'après D. Quillen et T. tom Dieck) ». Cet exposé rend compte des résultats de Quillen sur le cobordisme et les lois de groupes formels, ceux-là mêmes qui répondent aux questions de la page 13. Si c'est bien lui, la note est postérieure à 1971, et 111, qui la reproduit, a été tiré plus tard encore. C'est une inférence, non une date lue. La datation du dossier reste celle de l'inventaire, « 1968 », qui est celle du texte dactylographié ; et le classement du dossier parmi les pièces rassemblées autour de « À la poursuite des champs » est celui des archivistes, qui ne date pas la copie.