Fonds Grothendieck, cote n° 11, pages 41–57

Catégorie des k-algèbres graduées bivariantes

Les titres de section reprennent ses propres mots en tête de chaque suite ; ceux des pages 43 et 50 sont soulignés ou isolés sur la page. Les mots qu'il ajoute entre les lignes sont donnés à l'endroit où son renvoi les place.

Catégorie des k-algèbres [graduées] bivariantes (anticommutation, munies d'un degré d(A), nulles en degré \notin [\uncertain{1}, d(A)] ; on se donne \kappa_{A} : A \to k). Au-dessus de « [graduées] », une insertion de deux mots, reliée par un trait, ne se lit pas. « anticommutation, » est écrit au-dessus de « munies ». Le chiffre de l'intervalle se lit 1 ; l'objet k en degré 0 de la ligne suivante demanderait 0.

Objet particulier de cette catégorie : k en degré 0.

Algèbre graduée bivariante jaugée : munie d'un hom. dans k. Dans certains cas d'hom. de telles, f_{*} est déterminé par f^{*}. (*)

Produit tensoriel d'algèbres bivariantes (resp. jaugées). Dans certains cas, c'est un produit dans la catégorie des algèbres bivariantes jaugées.

Algèbre graduée bivariante simpliciale (resp. gr. biv. jaugée) . Cas spécial : on a A(I' \sqcup I'') \xleftarrow[\ \sim\ ]{(\alpha^{*},\,\beta^{*})} A(I') \otimes A(I'') , d'autre part si \alpha : I \to J, \beta : I' \to J', donc \alpha \sqcup \beta = \gamma : I \sqcup I' \to J \sqcup J', on veut que (\alpha \sqcup \beta)_{*} : A(I \sqcup I') \to A(J \sqcup J') s'identifie à \alpha_{*} \otimes \beta_{*}. La source et le but de (\alpha \sqcup \beta)_{*} sont récrits l'un sur l'autre ; on donne la lecture que demandent \alpha et \beta. On voit que si A(\Delta^{0}) = A_{0} est « de Poincaré » (cas jaugé) A(\struck{\ill{}}) \to A(0) est une équiv. des A(\cdot) avec A(0) de Poincaré, et des alg. de Poincaré. Et A(\cdot) \mapsto (A(0), \delta) est un foncteur pl. fid. de la catégorie des alg. gr. bivariantes jaugées simpliciales, dans la catégorie des algèbres gr. bivariantes jaugées A, munies d'un \Delta \in [A \otimes A]^{d(A)} [il convient de préciser les axiomes à mettre sur ce \Delta]. « gr. » est ajouté au-dessus de « algèbres ». Le \Delta est repassé deux fois à l'encre forte.

à vérifier ; il faut d'abord connaître \delta_{*} : A \to A \otimes A ; en posant \Delta = \delta_{*}(1)

Ex 1) Si on a une théorie coh. ~~sur la variété~~ [satisfaisant Künneth et Poincaré] sur la catégorie \mathcal{V} des variétés complètes , i.e. une trivialisation en dim d , d'où un foncteur cov. de \mathcal{V} dans la catégorie \mathcal{C}_{\mathrm{jaug}} des alg. gr. bivar. jaugées sur k, et en transformant par ce foncteur l'objet simplicial canonique I \mapsto X^{I} défini par X \in \mathcal{V}, on trouve une algèbre bivariante simpliciale bivariante jaugée canonique, d'ailleurs définie aussi canoniquement, comme dit plus haut, par le composant H^{*}(X) ... Au-dessus de la fin de « dim d », deux mots remplacent un passage biffé ; on n'en lit que le premier, resp., et un couple douteux. Le mot souligné qu'on donne pour « trivialisation » est lu d'après l'argument : la jauge d'une variété de dimension d. En marge gauche, en face de cette ligne, un mot souligné.

(*) Attention, les isom. (f^{*}, f_{*}) ne sont pas néc. tels que f_{*} = f^{*-1} i.e. f_{*}(1) = 1 (\Rightarrow que \kappa_{A} f^{*} = \kappa_{B}), ex : f^{*} = \mathrm{id}, f_{*}(y) = y\sigma (\sigma \in A^{*}), \kappa_{B}(y) = \kappa_{A}(y\sigma^{-1}) ...

Variantes évidentes avec des variétés topologiques compactes. On peut prendre pour k un anneau (par exemple), lorsqu'on a une théorie de cohomologie à coefficients dans k ~~qui~~ telle que H^{*}(X) satisfait à Poincaré (pas seulement mod torsion ...). « (par exemple) » est écrit au-dessus de « anneau », « telle que » au-dessus d'un mot biffé.

2) Considérons une autre foncteur de \mathcal{V} dans les anneaux bivariants jaugés, tels les foncteurs A^{*}(X) (anneau de Chow, ~~gradué~~ jaugé par le degré des 0-cycles de degré max.), ou un foncteur quotient (tels les groupes de cycles mod équival. numérique, homologique, \tau-algébrique, Picard, Albanese ...). On trouve un anneau bivariant jaugé simplicial, qui n'a plus aucune tendance à être spécial, et dont les composantes n'ont pas trop envie d'être de Poincaré ... Le \tau est ajouté entre les lignes, avec un renvoi devant « algébriques ».

On peut tensoriser par \mathbf{Q} ....

3) On peut prendre K(X) [jaugé par \chi], considéré comme gradué de degré 0 ....

Formalisme des correspondances

Formalisme des correspondances. Soit C \in A(I \sqcup I'). On en déduit une application x \longmapsto C(x) = C.x \quad : \quad A(I) \to A(I') comme le composé (où \alpha : I \to I \sqcup I', \alpha' : I' \to I \sqcup I') A(I) \xrightarrow{\ \alpha^{*}\ } A(I \sqcup I') \xrightarrow{\ y \mapsto Cy\ } A(I \sqcup I') \xrightarrow{\ \alpha'_{*}\ } A(I') . il y a un choix : prendre Cy ou yC ! Sous la flèche \mapsto de la première formule, un petit signe ne se lit pas ; au-dessus de \alpha^{*}, une flèche vers la gauche est surchargée.

Ces opérations sont connues quand on connaît, en plus des lois d'anneaux des A(\cdot), les \alpha^{*} et \alpha_{*} pour \alpha : I \hookrightarrow J une injection [il suffit même \operatorname{card}(J) = \operatorname{card}(I) + 1, i.e. \alpha une « opération face »].

Posons A(I', I) au lieu de A(I \sqcup I'). ~~Corresp.~~ (A(I \sqcup I') corresp. de I à I') [On va en définir une opération naturelle bilinéaire A(I'', I') \times A(I', I) \longrightarrow A(I'', I) notée (v, u) \longmapsto v \circ u, et définie par v \circ u = p_{31*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, p_{32}^{*}(v)\bigr) . Dans p_{32}^{*}(\cdot), ici et deux fois au bas de la page, la lettre est tracée comme un w ; la formule demande v, et on lit v.

\begin{tikzcd} & X^{I \sqcup I'} \arrow[dl, "\alpha"'] \arrow[dr, "\alpha'"] & \\ X^{I} & & X^{I'} \end{tikzcd}

Ceci posé, si \widetilde{u} : A(I) \to A(I'), ..., on vérifie la formule \widetilde{v \circ u} = \widetilde{v} \circ \widetilde{u} .

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & X^{I \sqcup I' \sqcup I''} \arrow[dll, "p_{21}"'] \arrow[d, "p_{31}"] \arrow[drr, "p_{32}"] & & & \\ & X^{I \sqcup I'} \arrow[dl, no head, "\gamma"'] \arrow[dr, "\gamma'"] & & X^{I \sqcup I''} \arrow[ddl, no head, "\beta"'] \arrow[ddr, no head, "\beta''"] & & X^{I' \sqcup I''} \arrow[dl, no head, "\alpha'"'] \arrow[dr, "\alpha''"] & \\ X^{I} & & X^{I'} & & X^{I'} & & X^{I''} \\ & & X^{I} & & X^{I''} & & \end{tikzcd}

Les traits \gamma, \beta, \beta'' et \alpha' sont tracés sans pointe sur la page, les quatre autres avec ; on les donne tels.

En effet, on a \begin{align*} (\widetilde{v \circ u})(x) &\overset{\text{déf.\ de }\sim}{=} \struck{\ill{}}\; \beta''_{*}\bigl[(v \circ u)\, \beta^{*}(x)\bigr] \\ &\overset{\text{déf.\ de }v \circ u}{=} \beta''_{*}\bigl[\underbrace{p_{31*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, p_{32}^{*}(v)\bigr) \beta^{*}(x)}_{=\ \text{formule de proj.}}\bigr] \\ &= \beta''_{*}\, p_{31*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, p_{32}^{*}(v)\, \underbrace{p_{31}^{*} \beta^{*}(x)}_{p_{1}^{*}(x)}\bigr) \\ &\overset{\text{transitivité}}{=} p_{3*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, p_{32}^{*}(v)\, p_{1}^{*}(x)\bigr) \\ &\struck{\overset{\text{projection}}{=} p_{3*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, p_{32}^{*}(v)\bigr) x} \end{align*} Au troisième membre, le \beta''_{*} de tête n'est pas récrit sur la page ; on le rétablit pour que la chaîne se lise. La dernière ligne est biffée.

\begin{tikzcd} & X^{I \sqcup I' \sqcup I''} \arrow[dl, "p_{21}"'] \arrow[dr, "p_{32}"] & & \\ X^{I \sqcup I'} \arrow[dr, "\gamma'"'] & & X^{I' \sqcup I''} \arrow[dl, "\alpha'"] \arrow[dr, no head, "\alpha''"] & \\ & X^{I'} & & X^{I''} \end{tikzcd}

L'exposant du sommet est surchargé ; un trait fin sépare ce carré du calcul qui précède.

\begin{align*} \widetilde{v}\bigl(\widetilde{u}(x)\bigr) &\overset{\text{déf.\ }\widetilde{v}}{=} \struck{\ill{}}\; \alpha''_{*}\bigl(v\, \alpha'^{*}(\widetilde{u}(x))\bigr) \\ &\overset{\text{déf.\ }\widetilde{u}}{=} \alpha''_{*}\bigl(v\, \underbrace{\alpha'^{*}\bigl(\gamma'_{*}(u\, \gamma^{*}(x))\bigr)}_{\text{échange}}\bigr) \end{align*} « axiome cartésien » oublié ! \alpha'^{*}\gamma'_{*}\bigl(u\,\gamma^{*}(x)\bigr) = \struck{\ill{}}\; p_{32*}\bigl(p_{21}^{*}(u\, \gamma^{*}(x))\bigr) = p_{32*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, \underbrace{p_{21}^{*} \gamma^{*}(x)}_{p_{1}^{*}(x)}\bigr) La bulle « axiome cartésien oublié ! » est tirée vers le signe = de l'échange. \begin{align*} &= \alpha''_{*}\bigl(v\, \underbrace{p_{32*}\bigl(p_{21}^{*}(u)\, p_{1}^{*}(x)\bigr)}_{\text{formule de projection, mod signes}}\bigr) \\ &= \underbrace{\alpha''_{*}\, p_{32*}}\bigl(p_{32}^{*}(v)\, p_{21}^{*}(u)\, p_{1}^{*}(x)\bigr) \\ &= p_{3*}\bigl(p_{32}^{*}(v)\, p_{21}^{*}(u)\, p_{1}^{*}(x)\bigr) \end{align*} OK mod signes ; faire attention Un = \alpha biffé précède l'avant-dernière ligne.

On va définir aussi \Delta_{I} \in A(I \sqcup I) qui sera tel que \widetilde{\delta}_{I}(x) = x \quad (x \in A(I)) \qquad \text{i.e.}\quad \widetilde{\delta}_{I} = \mathrm{id}_{A(I)} . Sous le tilde, la lettre est un \delta minuscule, là où la ligne précédente pose \Delta_{I}.

Pour le voir, on ~~définit~~ considère \delta : I \sqcup I \to I d'où \delta_{*} : A(I) \to A(I \sqcup I), on pose \Delta_{I} = \delta_{*}(1) .

On a (écrivant \Delta au lieu de \Delta_{I})

\begin{tikzcd} & X^{I} \arrow[d, "\delta"] & \\ & X^{I \sqcup I} \arrow[dl, "p_{1}"'] \arrow[dr, "p_{2}"] & \\ X^{I} & & X^{I} \end{tikzcd}

\begin{align*} \widetilde{\Delta}(x) &\overset{\text{déf.\ de }\sim}{=} p_{2*}\bigl(\Delta\, p_{1}^{*}(x)\bigr) \\ &= p_{2*}\bigl(\underbrace{\delta_{*}(1)\, p_{1}^{*}(x)}_{\delta_{*}(\delta^{*} p_{1}^{*}(x)) \,=\, \delta_{*}(x)}\bigr) \\ &= p_{2*}\, \delta_{*}(x) = x \end{align*} Devant le \delta_{*} de l'accolade, un p est surchargé.

Il faut encore définir l'associativité de l'opération \circ, et le fait que les \delta_{I} jouent le rôle d'unités. On voit que sous ces conditions, La page s'arrête sur cette virgule.

Sous-algèbre tautologique de H^{*}(X^{n})

Sous-algèbre tautologique de H^{*}(X^{n}).

(1) H^{*}(X) ~~degrés~~

générateurs : y \in H^{n}(X) relations : y^{2} = 0 base : deg. 0 : 1 ; deg. n : y

(2) H^{*}(X \times X)

générateurs : y \otimes 1 = y_{1}, 1 \otimes y = y_{2}, \delta \in H^{n}(X) relations : y_{1}^{2} = y_{2}^{2} = 0, y_{1} y_{2} = y_{1} \delta = y_{2} \delta ; \delta^{2} = \chi\, y_{1} y_{2} (\chi \in \mathbf{Z} la car. d'EP) base : deg 0 : 1 ; deg n : y_{1}, y_{2}, \delta ; deg 2n : y_{1} y_{2} y_{3}

« y_{1} y_{2} y_{3} » est écrit tel, sic : sur X \times X il n'y a que y_{1}, y_{2}, et le degré 2n demande y_{1} y_{2}. « \delta \in H^{n}(X) » est écrit tel ; le \delta vit dans H^{n}(X \times X). Les numéros (1), (2), (3) et (k) sont cerclés sur la page. Après y_{1}, un signe est biffé.

(3) H^{*}(X \times X \times X)

générateurs : deg. n : y \otimes 1 \otimes 1 = y_{1}, 1 \otimes y \otimes 1 = y_{2}, 1 \otimes 1 \otimes y = y_{3}, \delta_{12} = \delta \otimes 1, \delta_{23}, \delta_{31} ; deg 2n : \delta relations : \left\{ \begin{array}{l} y_{1}^{2} = y_{2}^{2} = y_{3}^{2} = 0 ,\\ \delta_{12}^{2} = \chi\, y_{1} y_{2} ,\ \delta_{23}^{2} = \chi\, y_{2} y_{3} ,\quad \delta_{31}^{2} = \chi\, y_{3} y_{1} ,\quad \delta_{12} \delta_{23} = \delta_{12} \delta_{31} = \delta_{23} \delta_{31} = \delta \\ \delta_{12} y_{1} = \delta_{12} y_{2} = y_{1} y_{2} ,\quad \delta_{23} y_{2} = \delta_{23} y_{3} = y_{2} y_{3} ,\quad \delta_{31} y_{3} = \delta_{31} y_{1} = y_{3} y_{1} ,\\ \delta y_{1} = \delta y_{2} = \delta y_{3} = y_{1} y_{2} y_{3} \\ \delta^{2} = 0 \\ \delta_{12} \delta = \delta_{23} \delta = \delta_{31} \delta = \chi\, y_{1} y_{2} y_{3} \end{array} \right. base : deg 0 : 1 ; deg n : y_{1}, y_{2}, y_{3}, \delta_{12}, \delta_{23}, \delta_{31} ; deg 2n : y_{1} y_{2}, y_{2} y_{3}, y_{3} y_{1}, \delta_{12} y_{3}, \delta_{23} y_{1}, \delta_{31} y_{2}, \delta ; deg 3n : y_{1} y_{2} y_{3}

(k) H^{*}(X^{k}) ~~générateurs~~

générateurs

degré n : les k transformés de y \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{k-1} = \overline{y} ; les \binom{k}{2} transformés de \delta_{1} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{k-2} = \overline{\delta}_{1} degré 2n : les \binom{k}{3} transformés de \delta_{2} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{k-3} = \overline{\delta}_{2} — degré rn : les \binom{k}{r+1} transformés de \delta_{r} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{k-1-r} = \overline{\delta}_{r} — degré (k-1)n : \delta_{k-1} = \overline{\delta}_{k-1}

Le r de « degré rn » est écrit à l'encre forte sur un k. Sur \delta_{1} un petit signe en exposant ne se lit pas.

~~relations~~

relations La page s'arrête sur ce mot.

X^{k-i} \longrightarrow X^{k} \qquad \xleftarrow{\ \ill{}\ } [1, k'] \subset [1, k]

X^{I}

I = I' \sqcup I'' R relation d'équivalence sur I'

I avec une division en un ens. de parties ~~non vides~~, comprenant la partie vide, et le choix d'une de ses parties

(R, J) \quad \left\{ \begin{array}{l} R \subset \mathfrak{P}(I) \text{ tel que } \struck{\ill{}} \left\{ \begin{array}{l} \text{a)}\ \bigcup_{A \in R} A = I \\ \text{b)}\ A, A' \in R,\ A \neq A' \Rightarrow A \cap A' = \emptyset \\ \text{c)}\ \emptyset \in R \end{array} \right. \\[1ex] J \in R \end{array} \right. Dans a) l'indice A \in R est écrit sur J \in R ; dans b) les A sont repassés sur d'autres lettres.

\varepsilon_{R,J}\, \varepsilon_{R',J'} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad \text{si } J \cap J' \neq \emptyset \\ \phantom{0} \end{array} \right.

Supposons J \cap J' = \emptyset Z_{R,J} = \left\{ (x_{i})_{i \in I} \text{ tel que } \left\{ \begin{array}{ll} x_{i} = a & \text{si } i \in J \\ x_{i} = x_{j} & \text{si } \exists A \in R, \text{ t.q. } i, j \in A \end{array} \right. \right\} Z^{a}_{R,J} \cap Z^{a'}_{R',J'} \underset{\text{du pt de vue ens.}}{=} Z_{R'',J''} R'' est la partition, engendrée par R, R'

\widetilde{J} la classe engendrée par J

\widetilde{J}' — engendrée par J' Le deuxième « engendrée » est souligné sous la ligne, le premier biffé dans la ligne de \widetilde{J}.

\struck{\widetilde{J} \neq \widetilde{J}'} \left| \begin{array}{l} \widetilde{J} = \widetilde{J}' \neq \emptyset \Rightarrow \varepsilon_{R,J}\, \varepsilon_{R',J'} = 0 \\[1ex] \widetilde{J} \neq \widetilde{J}' \text{ ou } \widetilde{J} = \widetilde{J}' = \emptyset \quad \text{alors} \quad \varepsilon_{R,J}\, \varepsilon_{R',J'} = \Bigl(\prod_{i \in \widetilde{J} \cup \widetilde{J}'} y_{i}\Bigr) \prod_{\substack{A'' \in R'' \\ A'' \neq \widetilde{J} \\ A'' \neq \widetilde{J}'}} \varepsilon_{R_{A''}}\, \varepsilon_{R'_{A''}} \end{array} \right. Les exposants et les indices des deux derniers \varepsilon sont surchargés au point de ne plus se lire ; on ne donne que ce qui reste visible, R, R' et A''.

On est ramené au cas où J = \emptyset, J' = \emptyset, et la relation d'équivalence engendrée par R, R' est la relation grossière.

Alors, ensemblistement, on obtient la diagonale de X^{I}

1 \leq \operatorname{card} R = s \leq k \quad \text{donc} \quad \dim Z_{R} = sn \qquad \operatorname{codim} Z_{R} = kn - sn = (k-s)n \operatorname{card} R' = s' \qquad \operatorname{codim} Z_{R'} = (k-s')n \operatorname{card} R'' = 1 \qquad \operatorname{codim} Z_{R''} = (k-1)n (k-1)n \leq (k-s)n + (k-s')n \quad \text{i.e.} \quad \struck{\ill{}} \boxed{s + s' \leq k+1}

à vérifier OK Cas d'égalité s + s' = k+1 : on trouve la diagonale \delta_{k}.

à vérifier Cas d'inégalité k+1 > s + s' i.e. k \geq s + s'

~~donc il faut avoir~~ ~~k+1 > s+s'~~ 1) k > s + s' alors \varepsilon_{R}\, \varepsilon_{R'} = 0 pour raison de degrés

2) k = s + s', alors \varepsilon_{R}\, \varepsilon_{R'} = \struck{\chi}\; \uncertain{y}_{X^{k}} ?

« s+s' = k+1 » est souligné d'un trait ondulé. Dans « k \geq s+s' » le signe est écrit sur un autre. Au cas 2), le point d'interrogation est tiré sous la classe par un trait.

\begin{tikzcd} X^{s} \arrow[r, hook] & X^{k} \\ & X^{s'} \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

s + s' = k ou k+1

~~k \leq k - s + k - s'~~

\begin{tikzcd} V^{s} \arrow[r] & V^{k} \\ V \arrow[u] \arrow[r] & V^{s'} \arrow[u] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & U \arrow[dr, no head, "p"] & \\ U \cap V \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & & W \\ & V \arrow[ur, no head, "q"'] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & U' \arrow[dr, no head, "p-r"] & & \\ U' \cap V' \arrow[ur, no head, "q-r"] \arrow[dr, no head, "p-r"'] & & U' + V' \arrow[r, no head, "r"] & W' \\ & V' \arrow[ur, no head, "q-r"'] & & \end{tikzcd}

Dans le premier losange, les traits portent à un bout la boucle d'une inclusion, sans pointe ; à gauche sont écrits p+q-r et, plus bas, r. Dans le second, le q-r de U' \cap V' à U' est écrit sur un p.

a) Stable par \boxtimes : clair b) Stable par images inverses par projections simpliciales : clair c) Stable par images directes par projections : i \in I définit projections X^{I} \to X^{I - \{i\}} a) i \in J : clair b) i \notin J : on est ramené au cas de \delta_{I} \in H^{*}(X^{I}) \to H^{*}(X^{I - \{i\}}) on trouve \delta_{I} d)

Le d) et les trois lignes qui le suivent, dont une encadrée, sont biffés et surchargés ; on y devine « Stable par », « les classes », sans plus. Dans « on trouve \delta_{I} », l'indice porte un trait.

X^{p} \to X^{q} \qquad X^{p} \times X \to X^{q} \times X \qquad \Delta_{p} \leftarrow \Delta_{q} \qquad \Delta_{p} \sqcup 1 \leftarrow \Delta_{q} \sqcup 1

Stable par comp.

\boxed{\text{engendrée, via } \boxtimes, \text{ par } \struck{\ill{}}\ y, \text{ et les } \delta_{I}}

(\delta_{2} \boxtimes \delta_{2})