Cote n° 11 · pages 1–57 · Lecture modernisée · Formalisme des correspondances : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1961]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–2

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations. Le dossier suit un seul programme, mené deux fois.

1. Pages 2 à 18. Une théorie « bivariante » \(A\) sur une catégorie \(\mathcal{V}\) à produits ; la catégorie des correspondances \(\mathcal{V}^{A}\) ; le foncteur des graphes, l'action sur les \(A(X)\), la transposition ; une remarque sur ce que les calculs ont réellement utilisé.
2. Pages 20 à 24. Les sous-foncteurs stables \(A' \subset A\) : critère, plus petit sous-foncteur stable, engendrement.
3. Pages 26 à 35. Les algèbres de Poincaré, puis les algèbres munies d'une forme, où l'image directe est déterminée par l'image inverse ; le signe de \((f \times g)_{*}\) ; le décalage des degrés.
4. Pages 37 et 39. Le produit tensoriel n'est pas un produit ; les algèbres bivariantes simpliciales et spéciales ; une Proposition sur les systèmes stables \(A_{n} \subset H^{*}(X^{n})\).
5. Pages 41 à 47. Seconde mouture : algèbres jaugées simpliciales, exemples, correspondances entre puissances \(X^{I}\), unités. Elle s'arrête avant l'associativité.
6. Pages 50 à 56. La sous-algèbre tautologique de \(H^{*}(X^{n})\).

Les deux formalismes des correspondances — pages 2 à 16 et pages 43 à 47 — sont deux moutures du même texte et sont gardés distincts ; « seconde » dit l'ordre du dossier, rien sur les feuillets ne date l'une par rapport à l'autre. La seconde change l'ordre des facteurs de la composition, travaille sur les puissances d'un seul espace, et oublie d'abord l'axiome d'échange, ce que la page 45 note elle-même.

Hypothèse de signe. Sauf mention contraire, les algèbres \(A(X)\) sont commutatives au sens gradué et toutes les images directes \(f_{*}\) sont de degré pair. Sous cette hypothèse, toutes les identités des pages 2 à 24 valent sans signe.¹

Notations, fixées pour tout le dossier. Plusieurs lettres servent deux ou trois fois sur les pages ; on les sépare ainsi.

• \(\mathcal{V}\) est la catégorie de base des pages 2 à 24. La catégorie des algèbres de Poincaré, que la page 26 note \(\mathcal{V}^{\circ}\), est notée ici \(\mathcal{P}\) ; la catégorie de variétés de la page 41 est notée \(\mathrm{Var}\).
• \(\mathcal{C}\) est la catégorie des algèbres bivariantes ; la classe que la page 43 appelle \(C\) est notée \(c\).
• \(\varphi\) désigne seulement le foncteur des graphes. L'application \(A \to \check{A}\) de la page 33 est notée \(\theta_{A}\).
• L'action d'une correspondance \(u\) est notée \(\tilde{u}\), et sa transposée \({}^{t}u\).
• La forme d'une algèbre est \(\kappa_{A}\) (il écrit \(k_{A}\)), pour la séparer de l'anneau de base \(k\).
• Sur \(X \times Y \times Z\), \(p_{12}\), \(p_{23}\), \(p_{13}\) sont les projections sur \(X \times Y\), \(Y \times Z\), \(X \times Z\).²
• \(\gamma_{f} = \Gamma_{f*}(1)\) est la classe du graphe de \(f\) ; \(\Delta_{X} = \gamma_{\mathrm{id}_{X}}\) celle de la diagonale ; \(\delta_{I}\) la classe de la petite diagonale de \(X^{I}\), avec \(\delta_{\{i\}} = 1\).

Ce que le dossier annonce sans l'établir. L'énoncé exact de l'axiome d'échange (page 2 ; « Question » de la page 30 ; « axiome cartésien oublié ! » à la page 45) ; la multiplicativité de la transposition (page 14) et l'identification du côté contravariant (page 16), toutes deux marquées « à vérifier » ; la théorie des monoïdes gradués à involutions (page 18) ; un énoncé plus général où l'on ne demande la stabilité que pour une famille de morphismes (marge de la page 20) ; ce par quoi \(A_{\mathrm{sp}}\) est engendré (page 22, la ligne s'arrête) ; l'équivalence entre algèbres simpliciales et algèbres de Poincaré (pages 37 et 41, « à vérifier » ; la restriction aux algèbres spéciales est de l'édition) et les axiomes à imposer à \(\Delta\) (page 41) ; une démonstration de la Proposition de la page 39 ; l'associativité et les unités de la seconde mouture (la page 47 s'arrête sur une virgule) ; les relations de \(H^{*}(X^{k})\) (page 52, le titre seul) ; le d) de la page 56, biffé.

2–2

La catégorie des correspondances d'une théorie bivariante (pages 2 à 18)

Les données

Soit \(\mathcal{V}\) une catégorie possédant les produits finis, donc un objet final \(e\). On se donne un foncteur \(A\) de \(\mathcal{V}\) dans la catégorie \(\mathcal{C}\) des algèbres graduées bivariantes : pour tout objet \(X\), une \(k\)-algèbre graduée unitaire \(A(X)\) ; pour tout \(f \colon X \to Y\), un homomorphisme d'algèbres unitaires \(f^{*} \colon A(Y) \to A(X)\) et une application \(k\)-linéaire homogène \(f_{*} \colon A(X) \to A(Y)\), avec \((gf)^{*} = f^{*} g^{*}\) et \((gf)_{*} = g_{*} f_{*}\). Un morphisme de \(\mathcal{C}\) est un tel couple \((f_{*}, f^{*})\), et \(\omega \colon \mathcal{C} \to k\text{-Mod}\) le foncteur qui retient \(f_{*}\).³ On demande :

1. (P)la formule de projection \(f_{*}\bigl(f^{*}(y)\, x\bigr) = y\, f_{*}(x)\) ;
2. (E)la formule d'échange \(g^{*} f_{*} = f'_{*}\, g'^{*}\) pour tout carré cartésien

\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, "g"'] & Y
\end{tikzcd}

d'une classe de carrés dits transverses, qui contient au moins les carrés formés de projections de produits, et ceux où une diagonale \(\delta_{X} \colon X \to X \times X\) ou un graphe \(\Gamma_{f} = (\mathrm{id}_{X}, f) \colon X \to X \times Y\) est changé de base par une projection ou par un autre graphe.⁴

Le modèle est celui des ensembles finis : \(A(X) = k^{X}\), \(f^{*}\) la composition avec \(f\) et \(f_{*}\) la somme sur les fibres. Là, (P) et (E) valent pour tous les carrés cartésiens, et tout ce qui suit redonne le calcul matriciel.⁵

La composition

On pose \(\operatorname{Ob} \mathcal{V}^{A} = \operatorname{Ob} \mathcal{V}\) et \[ \operatorname{Hom}_{\mathcal{V}^{A}}(X, Y) = A(X \times Y) . \] Pour \(u \in A(X \times Y)\) et \(v \in A(Y \times Z)\), on définit \[ v \circ u = p_{13*}\bigl( p_{23}^{*}(v)\, p_{12}^{*}(u) \bigr) \in A(X \times Z) . \]

\begin{tikzcd}
 & X \times Y \times Z \arrow[dl, "p_{12}"'] \arrow[dr, "p_{23}"] \arrow[dd, "p_{13}"] & \\
X \times Y & & Y \times Z \\
 & X \times Z &
\end{tikzcd}

C'est une application \(k\)-bilinéaire, de sorte que \(\mathcal{V}^{A}\) sera une catégorie \(k\)-linéaire.

4–4

Associativité

Pour \(X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} T\), les deux composés \(w \circ (v \circ u)\) et \((w \circ v) \circ u\) valent \[ p_{XT*}\bigl( p_{ZT}^{*}(w)\, p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u) \bigr) , \] où les \(p\) sont les projections de \(X \times Y \times Z \times T\). Pour le premier, on écrit \(v \circ u\) comme image directe par \(X \times Y \times Z \to X \times Z\), on la remonte sur \(X \times Z \times T\) par la formule d'échange appliquée au carré de projections \[ X \times Y \times Z \times T \to X \times Z \times T , \qquad X \times Y \times Z \to X \times Z , \] puis on fait entrer \(p_{ZT}^{*}(w)\) sous l'image directe par la formule de projection et l'on compose les images directes. Le second se traite de même, en passant par \(X \times Y \times T\) et \(Y \times Z \times T\). Seuls servent des carrés de projections.

6–8

Unités

Soit \(\Delta_{X} = \delta_{X*}(1) \in A(X \times X)\). On a \(u \circ \Delta_{X} = u\) pour \(u \in A(X \times Y)\). En effet, le carré

\begin{tikzcd}
X \times Y \arrow[r, "q = \delta_{X} \times \mathrm{id}_{Y}"] \arrow[d, "p_{1}"'] & X \times X \times Y \arrow[d, "p_{12}"] \\
X \arrow[r, "\delta_{X}"'] & X \times X
\end{tikzcd}

est cartésien, d'où \(p_{12}^{*}(\Delta_{X}) = q_{*}(1)\) par échange ; puis \(p_{23}^{*}(u)\, q_{*}(1) = q_{*}\bigl(q^{*} p_{23}^{*}(u)\bigr) = q_{*}(u)\) par projection, puisque \(p_{23}\, q = \mathrm{id}_{X \times Y}\) ; enfin \(u \circ \Delta_{X} = p_{13*}\, q_{*}(u) = u\), puisque \(p_{13}\, q = \mathrm{id}_{X \times Y}\). On montre de même \(\Delta_{Y} \circ u = u\).⁶ Ainsi \(\mathcal{V}^{A}\) est une catégorie.

Il fait alors le compte de ce qui a servi. La composition et l'associativité n'emploient que les projections et les carrés de projections ; les unités exigent en plus les diagonales, et le carré où une diagonale est changée de base par une projection. Cette remarque est ce qui reviendra, page 43, sous la forme « il suffit de connaître les opérations face ».

8–12

Le foncteur des graphes et l'action

Pour \(f \colon X \to Y\) dans \(\mathcal{V}\), on pose \[ \varphi(f) = \gamma_{f} = \Gamma_{f*}(1) \in A(X \times Y) . \] Alors \(\varphi(\mathrm{id}_{X}) = \Delta_{X}\) par définition, et \(\varphi(g) \circ \varphi(f) = \varphi(gf)\) pour \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z\). On calcule \(p_{23}^{*}(\gamma_{g})\, p_{12}^{*}(\gamma_{f})\) sur \(X \times Y \times Z\) : chaque facteur est, par échange, l'image directe de \(1\) par un plongement \(\mathrm{id}_{X} \times \Gamma_{g}\) ou \(\Gamma_{f} \times \mathrm{id}_{Z}\) ; le carré de ces deux plongements est cartésien, de sommet \(X\) envoyé sur \((x, f(x), gf(x))\), et la formule de projection donne \(\nu_{*}(1)\) pour ce plongement \(\nu\) ; enfin \(p_{13}\, \nu = \Gamma_{gf}\).

On obtient ainsi un foncteur \(\varphi \colon \mathcal{V} \to \mathcal{V}^{A}\) qui est l'identité sur les objets.

Inversement, une correspondance agit : pour \(u \in A(X \times Y)\) et \(x \in A(X)\), on pose \[ \tilde{u}(x) = p_{2*}\bigl( u\, p_{1}^{*}(x) \bigr) \in A(Y) . \] On a \(\tilde{\Delta}_{X} = \mathrm{id}_{A(X)}\), par la formule de projection appliquée à \(\delta_{X}\) ; et \(\widetilde{v \circ u} = \tilde{v} \circ \tilde{u}\), les deux membres se ramenant à \(p_{Z*}\bigl(p_{YZ}^{*}(v)\, p_{XY}^{*}(u)\, p_{X}^{*}(x)\bigr)\) par un échange dans un carré de projections et deux formules de projection. D'où un foncteur \(\psi \colon \mathcal{V}^{A} \to k\text{-Mod}\), \(X \mapsto A(X)\), \(u \mapsto \tilde{u}\).

14–16

Le carré de foncteurs et le côté contravariant

Le diagramme

\begin{tikzcd}
\mathcal{V} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "A"'] & \mathcal{V}^{A} \arrow[d, "\psi"] \\
\mathcal{C} \arrow[r, "\omega"'] & k\text{-Mod}
\end{tikzcd}

commute : pour \(f \colon X \to Y\), \[ \tilde{\gamma}_{f}(x) = p_{2*}\bigl(\Gamma_{f*}(1)\, p_{1}^{*}(x)\bigr) = p_{2*}\,\Gamma_{f*}\bigl(\Gamma_{f}^{*}\, p_{1}^{*}(x)\bigr) = f_{*}(x) , \] puisque \(p_{1}\Gamma_{f} = \mathrm{id}_{X}\) et \(p_{2}\Gamma_{f} = f\).⁷

Qu'en est-il de \(f^{*}\) ? La symétrie \(\sigma \colon Y \times X \to X \times Y\) définit la transposition \({}^{t}u = \sigma^{*}(u) \in A(Y \times X)\) de \(u \in A(X \times Y)\). Elle est l'identité sur les objets et renverse la composition : \({}^{t}(v \circ u) = {}^{t}u \circ {}^{t}v\) ; c'est donc un isomorphisme de catégories \[ s \colon (\mathcal{V}^{A})^{\circ} \longrightarrow \mathcal{V}^{A} , \qquad s^{2} = \mathrm{id} . \] Et l'image inverse est l'action de la transposée du graphe : pour \(f \colon X \to Y\) et \(y \in A(Y)\), \[ \widetilde{{}^{t}\gamma_{f}}\,(y) = f^{*}(y) , \] par la même formule de projection. Autrement dit \(\varphi^{*} = s \circ \varphi^{\circ} \colon \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{V}^{A}\) vérifie \(\psi\, \varphi^{*} = \omega^{*} A^{\circ}\), où \(\omega^{*}\) retient \(f^{*}\).⁸

Formes et transposition

Supposons \(A(e) = k\).⁹ L'unique flèche \(\pi_{X} \colon X \to e\) donne une forme linéaire \(\kappa_{X} = \pi_{X*} \colon A(X) \to k\), et chaque \(A(X)\) devient une algèbre jaugée.¹⁰ Pour \(u \in A(X \times Y)\), les applications \(\tilde{u}\) et \(\widetilde{{}^{t}u}\) sont transposées l'une de l'autre pour les formes bilinéaires \((a, b) \mapsto \kappa(ab)\) : \[ \kappa_{Y}\bigl(y\, \tilde{u}(x)\bigr) = \kappa_{X \times Y}\bigl(p_{2}^{*}(y)\, u\, p_{1}^{*}(x)\bigr) = \kappa_{X}\bigl(\widetilde{{}^{t}u}(y)\, x\bigr) , \] les deux égalités venant de la formule de projection et de \(\pi_{Y} p_{2} = \pi_{X} p_{1} = \pi_{X \times Y}\).¹¹ En particulier, si les \(A(X)\) sont des algèbres de Poincaré, \(A\) est connu dès qu'on connaît ces algèbres jaugées et les \(f^{*}\) : la transposition détermine les \(f_{*}\). C'est ce qu'établiront les pages 33 et 35.

18–18

Ce que les calculs ont utilisé

Aucune des vérifications précédentes n'a fait appel à l'addition des \(A(X)\) : seulement à leur multiplication. La théorie des correspondances pourrait donc s'écrire pour des foncteurs à valeurs dans des « monoïdes bivariants ». Il écarte aussitôt cette généralité pour une raison de signes : dès que les formules de projection à gauche et à droite ne valent pas toutes deux sans signe, il faudrait des monoïdes gradués \((A^{i})_{i \in \mathbf{Z}}\), avec \(A^{i} \times A^{j} \to A^{i+j}\), munis d'involutions \(\sigma^{i} \colon A^{i} \to A^{i}\) triviales en degré pair, et d'un degré \(d(A)\) qui imposerait à \(f_{*}\) le degré \(d(B) - d(A)\). C'est la première apparition du degré \(d(A)\), qui gouvernera les pages 35 et 41 ; le projet des monoïdes gradués, lui, n'est pas repris.¹²

20–20

Sous-foncteurs stables (pages 20 à 24)

Le critère

Pour tout \(X\), soit \(A'(X) \subset A(X)\) un sous-anneau (contenant \(1\)). Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. Les \(A'(X)\) sont stables par images inverses et par images directes par tous les morphismes de \(\mathcal{V}\) (ils le sont par produit, étant des sous-anneaux).
2. a) Pour \(u \in A'(X \times Y)\) et \(x \in A'(X)\), on a \(\tilde{u}(x) \in A'(Y)\) ; b) pour \(x \in A'(X)\), \(y \in A'(Y)\), on a \(x \boxtimes y = p_{1}^{*}(x)\, p_{2}^{*}(y) \in A'(X \times Y)\) ; c) pour tout \(f\), \(\gamma_{f} \in A'(X \times Y)\).

Démonstration. Si 1 vaut, a) résulte de la formule même de \(\tilde{u}\), b) de celle de \(x \boxtimes y\), et c) de ce que \(\gamma_{f}\) est l'image directe de \(1\). Si 2 vaut, \(f_{*} = \tilde{\gamma}_{f}\) et \(f^{*} = \widetilde{{}^{t}\gamma_{f}}\) ; or \({}^{t}\gamma_{f} = \sigma^{*}\gamma_{f}\) est l'action du graphe de l'isomorphisme \(\sigma^{-1}\), donc est dans \(A'\) par a) et c). La stabilité par produit intérieur suit de b) et de \(x y = \delta^{*}(x \boxtimes y)\).¹³

Il ajoute, sans démonstration, que si \(\mathcal{V}\) a un objet final, ces sous-foncteurs correspondent exactement aux sous-catégories de \(\mathcal{V}^{A}\) ayant les mêmes objets, stables par produit extérieur des flèches, et contenant les morphismes de \(\mathcal{V}\) et leurs transposés — les transposés des diagonales suffisant.¹⁴

22–22

Le plus petit sous-foncteur stable

Une intersection de sous-foncteurs stables est stable ; il existe donc un plus petit, \(A_{\mathrm{sp}} \subset A\).¹⁵ Il contient les classes \(f_{*}(1_{Y})\) pour tous les \(f \colon Y \to X\), donc le sous-groupe qu'elles engendrent. Quand \(\mathcal{V}\) est la catégorie des variétés projectives lisses sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(0\), et \(A\) une cohomologie comme celles de la page 41, ce sous-groupe est déjà stable et \(A_{\mathrm{sp}}(X)\) est l'image de l'application classe de cycle \(\mathrm{CH}^{*}(X) \to A(X)\) : toute sous-variété fermée \(Z \subset X\) admet une résolution \(\tilde{Z} \to X\) dont l'image directe de \(1\) est la classe de \(Z\).¹⁶

22–24

Engendrement

Soit \(A'\) stable. Une application \(A(X_{1}) \times \cdots \times A(X_{n}) \to A(X)\) est du type \(A'\) si elle s'écrit \[ (x_{1}, \ldots, x_{n}) \longmapsto \tilde{u}(x_{1} \boxtimes \cdots \boxtimes x_{n}) , \qquad u \in A'(X_{1} \times \cdots \times X_{n} \times X) . \] Les images directes et inverses sont du type \(A'\) (par le critère), et les composés d'applications du type \(A'\) le sont encore : si \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\) et \(\chi\) le sont, \(\chi(\varphi_{1}, \varphi_{2})\) l'est, la correspondance qui la définit s'obtenant par composition et produit extérieur de celles de \(\chi\), \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\) ; le produit de deux applications du type \(A'\) l'est aussi.¹⁷

Application. Donnons-nous, pour chaque \(X\), une partie \(E_{X} \subset A(X)\), éventuellement vide. Le plus petit sous-foncteur stable \(B \subset A\) contenant \(A'\) et les \(E_{X}\) est donné par : \(B(X)\) est l'ensemble des sommes finies d'éléments \(\varphi(x_{1}, \ldots, x_{n})\), où \(\varphi\) est du type \(A'\) et \(x_{i} \in E_{X_{i}}\) (\(n = 0\) donnant \(A'(X)\)). En effet ces \(B(X)\) sont stables par images directes et inverses et par produit, et tout sous-foncteur stable contenant \(A'\) et les \(E_{X}\) les contient.¹⁸ La page 50 fera exactement ce calcul pour \(A' = A_{\mathrm{sp}}\) et pour la classe d'un point.

26–26

Algèbres de Poincaré (pages 26 à 30)

Une catégorie d'« espaces » algébriques

Soit \(\mathcal{P}\) la catégorie dont les objets sont les algèbres de Poincaré sur un corps \(k\) : \(k\)-algèbres graduées commutatives au sens gradué, de type fini, nulles en degré \(< 0\), munies d'une forme linéaire \(\kappa_{A} \colon A \to k\) nulle hors du degré \(d(A)\), telle que \((x, y) \mapsto \kappa_{A}(xy)\) soit non dégénérée ; les morphismes sont les homomorphismes d'algèbres graduées, sans condition sur les formes.¹⁹ On lit \(\mathcal{P}^{\circ}\) comme une catégorie d'espaces : un morphisme \(f \colon A \to B\) de \(\mathcal{P}^{\circ}\) est un homomorphisme \(f^{*} \colon B \to A\), et on lui associe son adjoint \(f_{*} \colon A \to B\), défini par \[ \kappa_{B}\bigl(b\, f_{*}(a)\bigr) = \kappa_{A}\bigl(f^{*}(b)\, a\bigr) . \] On vérifie que \(f \mapsto f_{*}\) est fonctoriel, que la formule de projection \(f_{*}\bigl(a\, f^{*}(b)\bigr) = f_{*}(a)\, b\) est vraie (en degré pair), et que \(\kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}\). D'où un foncteur de \(\mathcal{P}^{\circ}\) dans les algèbres bivariantes graduées : c'est la cohomologie d'un espace sans l'espace.

28–28

Produits et signes

Dans \(\mathcal{P}\), \(k\) est objet initial et le produit tensoriel gradué \(A \otimes B\) est le coproduit ; c'est donc le produit de \(\mathcal{P}^{\circ}\), et \((f \times g)^{*} = f^{*} \otimes g^{*}\). On munit \(A \otimes B\) de la forme \(\kappa_{A \otimes B}(a \otimes b) = \kappa_{A}(a)\,\kappa_{B}(b)\).

On s'attend à \((f \times g)_{*} = f_{*} \otimes g_{*}\). C'est faux dès que les degrés sont impairs. Avec la convention de signe de Koszul pour la multiplication de \(A \otimes B\) et \(f_{*} \otimes g_{*}\) pris sans signe, l'adjonction donne \[ (f \times g)_{*}(a \otimes b) = (-1)^{|f|\,(d(B) + |b|)}\; f_{*}(a) \otimes g_{*}(b) , \qquad |f| = d(A') - d(A) , \] pour \(f \colon A \to A'\) et \(g \colon B \to B'\) dans \(\mathcal{P}^{\circ}\) : le correctif est l'opérateur de signe du codegré sur \(B\), élevé à la puissance \(|f|\). En particulier il n'y a aucun signe dès que \(f\) est de degré pair.²⁰

30–30

Degré pair, échange, et une question

À partir de là, il se borne aux morphismes de degré pair, et \((f \times g)_{*} = f_{*} \otimes g_{*}\). La symétrie \(s(a \otimes b) = (-1)^{|a||b|}\, b \otimes a\) de \(A \otimes B\) sur \(B \otimes A\) vérifie alors, comme il convient, \((g \times f)_{*} \circ s = s \circ (f \times g)_{*}\).

Il vérifie ensuite les deux formules d'échange pour le changement de base par une projection. Si \(R\) est une algèbre de Poincaré (un « espace » \(S\)), la projection de \(X \times S\) sur \(X\) correspond à \(p^{*}(a) = a \otimes 1\) et à \(p_{*} = \mathrm{id} \otimes \kappa_{R}\) ; pour \(f' = f \times \mathrm{id}_{S}\) on a bien \[ p^{*} f_{*} = f'_{*}\, q^{*} , \qquad f^{*} p_{*} = q_{*}\, f'^{*} , \] la seconde parce que les deux membres envoient \(a \otimes r\) sur \(\kappa_{R}(r)\, f^{*}(a)\). Il vérifie de même la formule d'échange pour le carré de graphes de la page 10, calculée sur les éléments de \(A \otimes B \otimes C\).

Et il pose la question qui reste ouverte dans tout le dossier : trouver un cas général où la formule d'échange est vraie — suffit-il que le produit fibré existe dans la catégorie et que les dimensions soient correctes ?²¹

33–33

La catégorie des algèbres bivariantes (pages 33 et 35)

Soit \(k\) un anneau. La catégorie des algèbres bivariantes a pour objets les \(k\)-algèbres \(A\) munies d'une forme \(\kappa_{A} \colon A \to k\), et pour morphismes \(A \to B\) les couples \(f = (f_{*}, f^{*})\) où \(f^{*} \colon B \to A\) est un homomorphisme d'algèbres unitaires et \(f_{*} \colon A \to B\) une application additive satisfaisant la formule de projection et \(\kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}\).²²

Un tel morphisme est un isomorphisme si et seulement si \(f^{*}\) est bijectif et \(f_{*}(1)\) inversible : la formule de projection donne \(f_{*}(f^{*}(y)) = y\, f_{*}(1)\), donc \(f_{*} = f_{*}(1) \cdot (f^{*})^{-1}\). Les « bons » isomorphismes sont ceux où \(f_{*}(1) = 1\), c'est-à-dire \(f_{*} = (f^{*})^{-1}\) ; les autres existent, par exemple \(f^{*} = \mathrm{id}\), \(f_{*}(y) = y\sigma\) avec \(\sigma\) inversible et \(\kappa_{B}(y) = \kappa_{A}(y\sigma^{-1})\).²³

L'image directe est déterminée par l'image inverse. Soit \(\theta_{A} \colon A \to \check{A} = \operatorname{Hom}_{k}(A, k)\), \(\langle y, \theta_{A}(x) \rangle = \kappa_{A}(yx)\). Si \(\theta_{B}\) est injectif, tout morphisme \((f_{*}, f^{*})\) vérifie \[ \kappa_{B}\bigl(y\, f_{*}(x)\bigr) = \kappa_{A}\bigl(f^{*}(y)\, x\bigr) , \] ce qui détermine \(f_{*}\) par \(f^{*}\). Réciproquement, si \(f^{*} \colon B \to A\) est un homomorphisme unitaire dont la transposée envoie \(\operatorname{Im}\theta_{A}\) dans \(\operatorname{Im}\theta_{B}\) — ce qui est automatique si \(\theta_{B}\) est bijectif — l'application \(f_{*}\) définie par cette formule satisfait la formule de projection (dans le cas commutatif, ou gradué commutatif en degré pair) et \(\kappa_{B} f_{*} = \kappa_{A}\) (faire \(y = 1\)) ; \((f_{*}, f^{*})\) est alors un morphisme.

35–35Le décalage des degrés. Dans le cas gradué, supposons que \(\kappa_{A}\) se factorise par la composante \(A^{d(A)}\) et \(\kappa_{B}\) par \(B^{d(B)}\), et \(\theta_{B}\) injectif. Si \(x\) est homogène de degré \(i\), la forme \(y \mapsto \kappa_{A}(f^{*}(y)\, x)\) ne voit que les \(y\) de degré \(d(A) - i\) ; la composante de \(f_{*}(x)\) de degré \(j\) a donc une image par \(\theta_{B}\) nulle sauf si \(d(B) - j = d(A) - i\), donc est nulle. Ainsi \(f_{*}\) est homogène de degré \(d(B) - d(A)\).

La catégorie de travail est donc celle des algèbres graduées commutatives au sens gradué, munies d'un degré \(d(A)\) et d'une forme nulle hors de \(A^{d(A)}\), les \(f_{*}\) étant homogènes de degré \(d(B) - d(A)\) ; avec, comme sous-catégories naturelles, celle des algèbres commutatives de degré \(d(A)\) pair, et celle des algèbres nulles hors de \([0, d(A)]\). Il y insiste : il n'est pas question de se borner aux algèbres de Poincaré, pas même en cohomologie modulo torsion, parce que les constructions universelles en font sortir.²⁴

37–37

Produit tensoriel et algèbres simpliciales (pages 37 et 39)

Le produit tensoriel gradué est un foncteur sur la catégorie \(\mathcal{C}\) des algèbres bivariantes graduées, mais — « malheureusement », dit-il — ce n'est pas un produit dans \(\mathcal{C}\) : il manquerait un morphisme diagonal \(A \to A \otimes A\), c'est-à-dire une image directe \(\delta_{*} \colon A \to A \otimes A\) adjointe de la multiplication, et elle n'existe pas en général. Elle existe quand \(A\) et \(B\) sont des algèbres de Poincaré, et \(A \otimes B\) est alors le produit dans la sous-catégorie pleine qu'elles forment, puisque l'image directe y est déterminée par l'image inverse et que \(A \otimes B\) est le coproduit des algèbres.

Une algèbre bivariante simpliciale est un foncteur contravariant \(I \mapsto A(I)\) de la catégorie des ensembles finis non vides, avec toutes les applications, dans \(\mathcal{C}\).²⁵ Elle est spéciale si elle transforme sommes en produits tensoriels : pour \(I = I' \sqcup I''\), les images inverses par les deux inclusions définissent un isomorphisme \[ A(I') \otimes A(I'') \xrightarrow{\ \sim\ } A(I' \sqcup I'') , \] ce qui est la formule de Künneth du modèle. Il affirme que, si l'on se borne aux algèbres simpliciales dont la valeur sur un point est une algèbre de Poincaré, \(A \mapsto A(\mathrm{pt})\) est une équivalence avec la catégorie des algèbres de Poincaré ; l'énoncé n'est plausible que pour les algèbres simpliciales spéciales, et c'est sous cette restriction qu'on le lit ici.^{26 27}

39–39

Une Proposition sur les systèmes stables

Soit \(X\) un espace dont la cohomologie satisfait Künneth et Poincaré. Pour tout \(n \geq 1\), soit \(A_{n} \subset H^{*}(X^{n})\) une sous-algèbre stable par le groupe symétrique. Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. (i)a) Pour \(u \in A_{n+m} \subset H^{*}(X^{n} \times X^{m})\) et \(x \in A_{n}\), on a \(\tilde{u}(x) \in A_{m}\) ; b) \(1 \in A_{n}\), et \(x \in A_{n}\), \(y \in A_{m}\) entraînent \(x \boxtimes y \in A_{n+m}\) ; c) pour toute surjection \([1, n+1] \to [1, n]\), la classe du graphe de l'application correspondante \(X^{n} \to X^{n+1}\) est dans \(A_{2n+1}\), et de même pour les injections \([1, n] \to [1, n+1]\).
2. (ii)Les \(A_{n}\) sont stables par images inverses et directes par les projections \(X^{n+1} \to X^{n}\), et par images directes par les plongements diagonaux \(X^{n} \to X^{n+1}\).²⁸
3. (iii)Vues comme ensembles d'homomorphismes \(H^{*}(X^{n}) \to H^{*}(X^{m})\), les parties \(A_{n+m}\) sont stables par composition et par \(\boxtimes\), contiennent les identités et les images inverses et directes par les applications simpliciales.

Ces conditions entraînent la stabilité par images inverses et directes pour toutes les applications simpliciales \(X^{n} \to X^{m}\).²⁹

La page 56 vérifiera ces conditions pour la sous-algèbre tautologique.

41–41

Seconde mouture : algèbres jaugées et correspondances entre puissances (pages 41 à 47)

Les définitions reprises

La page 41 reprend la catégorie des \(k\)-algèbres graduées bivariantes : commutatives au sens gradué, munies d'un degré \(d(A)\) et nulles hors de \([0, d(A)]\) ; l'objet \(k\), placé en degré \(0\), en fait partie.³⁰ Une telle algèbre est jaugée si elle est munie d'une forme vers \(k\) ; dans certains cas l'image directe est déterminée par l'image inverse (pages 33 et 35), mais même alors un isomorphisme \((f_{*}, f^{*})\) n'a pas besoin de vérifier \(f_{*} = (f^{*})^{-1}\), comme le montre l'exemple rapporté plus haut.

Pour les algèbres simpliciales, la spécialité demande maintenant deux choses : l'isomorphisme de Künneth \(A(I') \otimes A(I'') \simeq A(I' \sqcup I'')\) pour les images inverses, et, pour \(\alpha \colon I \to J\) et \(\beta \colon I' \to J'\), l'identification de \((\alpha \sqcup \beta)_{*}\) à \(\alpha_{*} \otimes \beta_{*}\) pour les images directes. L'équivalence avec les algèbres de Poincaré est répétée. Il ajoute que \(A(\cdot) \mapsto \bigl(A(\mathrm{pt}), \Delta\bigr)\), où \(\Delta = \delta_{*}(1) \in [A \otimes A]^{d(A)}\) est la classe de la diagonale, serait un foncteur pleinement fidèle vers les algèbres jaugées munies d'un tel \(\Delta\), en réservant les axiomes à imposer à \(\Delta\).³¹

41–43

Trois exemples

1. Une cohomologie sur la catégorie \(\mathrm{Var}\) des variétés complètes (lisses), satisfaisant la formule de Künneth et la dualité de Poincaré avec un isomorphisme de trace en dimension maximale, est un foncteur vers les algèbres graduées bivariantes jaugées ; appliqué à l'objet simplicial \(I \mapsto X^{I}\), il donne une algèbre bivariante jaugée simpliciale spéciale, déterminée par \(H^{*}(X)\). Variantes : variétés topologiques compactes ; coefficients dans un anneau, à condition que la dualité de Poincaré vaille pas seulement modulo torsion.³²
2. L'anneau de Chow \(A^{*}(X)\), jaugé par le degré des \(0\)-cycles, ou ses quotients par une relation d'équivalence : numérique, homologique, « \(\tau\)-algébrique », et les quotients de Picard et d'Albanese. On obtient une algèbre bivariante jaugée simpliciale qui « n'a plus aucune tendance à être spéciale », et dont les composantes ne sont pas de Poincaré ; on peut tensoriser par \(\mathbf{Q}\).³³
3. La \(K\)-théorie \(K(X)\), jaugée par la caractéristique d'Euler-Poincaré \(\chi\) et considérée comme graduée en degré \(0\).

43–45

Correspondances entre puissances

Soit \(c \in A(I \sqcup I')\), et \(\alpha \colon I \to I \sqcup I'\), \(\alpha' \colon I' \to I \sqcup I'\) les inclusions (qui correspondent aux projections de \(X^{I \sqcup I'}\) sur \(X^{I}\) et \(X^{I'}\)). La correspondance \(c\) agit par \[ \tilde{c} \colon A(I) \xrightarrow{\ \alpha^{*}\ } A(I \sqcup I') \xrightarrow{\ y \mapsto c\,y\ } A(I \sqcup I') \xrightarrow{\ \alpha'_{*}\ } A(I') , \] avec, note-t-il, un choix entre \(cy\) et \(yc\). Ces opérations ne demandent que les lois d'anneau et les \(\alpha^{*}\), \(\alpha_{*}\) pour les injections, et même seulement pour les « opérations face », où \(J\) a un élément de plus que \(I\).

Écrivant \(A(I', I)\) pour \(A(I \sqcup I')\), correspondances de \(I\) vers \(I'\), il définit la composition \[ A(I'', I') \times A(I', I) \to A(I'', I) , \qquad v \circ u = p_{13*}\bigl(p_{12}^{*}(u)\, p_{23}^{*}(v)\bigr) , \] les projections étant celles de \(X^{I \sqcup I' \sqcup I''}\), et vérifie \(\widetilde{v \circ u} = \tilde{v} \circ \tilde{u}\) : les deux membres valent \(p_{3*}\bigl(p_{12}^{*}(u)\, p_{23}^{*}(v)\, p_{1}^{*}(x)\bigr)\).³⁴ Le calcul de \(\tilde{v}(\tilde{u}(x))\) passe par l'échange dans le carré \[ X^{I \sqcup I' \sqcup I''} \to X^{I' \sqcup I''} , \qquad X^{I \sqcup I'} \to X^{I'} , \] et c'est là qu'il note en marge que l'« axiome cartésien » a été oublié dans les définitions de cette mouture.

47–47

Unités, et l'arrêt

L'application codiagonale \(I \sqcup I \to I\) correspond à la diagonale \(\delta \colon X^{I} \to X^{I \sqcup I}\) ; on pose \(\Delta_{I} = \delta_{*}(1) \in A(I \sqcup I)\), et \(\tilde{\Delta}_{I} = \mathrm{id}_{A(I)}\) par la formule de projection, comme à la page 12.³⁵ Il annonce qu'il reste à vérifier l'associativité de la composition et que les \(\Delta_{I}\) sont des unités — ce que les pages 4 et 6 font pour la première mouture — et la page s'arrête au milieu d'une phrase.³⁶

50–50

La sous-algèbre tautologique de \(H^{*}(X^{n})\) (pages 50 à 56)

Cadre. Soit \(X\) une variété projective lisse connexe sur \(\mathbf{C}\), de dimension réelle \(n\) (donc \(n\) pair), et \(H^{*}\) sa cohomologie rationnelle — ou toute cohomologie de Weil ; soit \(y \in H^{n}(X)\) la classe d'un point et \(\chi\) la caractéristique d'Euler de \(X\).³⁷ Pour un ensemble fini \(I\), on note \(y_{i}\) l'image inverse de \(y\) par la projection d'indice \(i\), et \(\delta_{I}\) la classe de la petite diagonale de \(X^{I}\), de degré \((|I| - 1)\,n\). La sous-algèbre tautologique \(T(X^{I}) \subset H^{*}(X^{I})\) est la sous-algèbre engendrée par les \(y_{i}\) et les classes des diagonales partielles.

Les premières tables

\(T(X)\) a pour base \(1\), \(y\), avec \(y^{2} = 0\).

\(T(X^{2})\) est engendrée par \(y_{1}\), \(y_{2}\) et \(\delta = \delta_{\{1,2\}}\), de degré \(n\), avec les relations \[ y_{1}^{2} = y_{2}^{2} = 0 , \qquad y_{1}\delta = y_{2}\delta = y_{1}y_{2} , \qquad \delta^{2} = \chi\, y_{1}y_{2} ; \] elle est engendrée comme espace vectoriel par \(1\) ; \(y_{1}, y_{2}, \delta\) ; \(y_{1}y_{2}\).³⁸

\(T(X^{3})\) est engendrée en degré \(n\) par \(y_{1}, y_{2}, y_{3}\) et \(\delta_{12}, \delta_{23}, \delta_{13}\), en degré \(2n\) par la petite diagonale \(\delta = \delta_{\{1,2,3\}}\), avec les relations \[ \begin{gathered} y_{i}^{2} = 0 , \qquad \delta_{ij}^{2} = \chi\, y_{i}y_{j} , \qquad \delta_{12}\delta_{23} = \delta_{12}\delta_{13} = \delta_{23}\delta_{13} = \delta , \\ \delta_{ij}\, y_{i} = \delta_{ij}\, y_{j} = y_{i}y_{j} , \qquad \delta\, y_{i} = y_{1}y_{2}y_{3} , \qquad \delta^{2} = 0 , \qquad \delta_{ij}\,\delta = \chi\, y_{1}y_{2}y_{3} , \end{gathered} \] et comme famille génératrice : \(1\) ; les six classes de degré \(n\) ; \(y_{1}y_{2}, y_{2}y_{3}, y_{1}y_{3}, \delta_{12}y_{3}, \delta_{23}y_{1}, \delta_{13}y_{2}, \delta\) en degré \(2n\) ; \(y_{1}y_{2}y_{3}\) en degré \(3n\).

52–52

Générateurs de \(T(X^{k})\)

En degré \(n\) : les \(k\) classes \(y_{i}\) et les \(\binom{k}{2}\) diagonales \(\delta_{ij}\) ; en degré \(rn\), pour \(1 \leq r \leq k-1\) : les \(\binom{k}{r+1}\) petites diagonales \(\delta_{I}\) des parties \(I\) à \(r+1\) éléments, jusqu'à la petite diagonale de \(X^{k}\) en degré \((k-1)n\).³⁹

54–56

Une famille génératrice et sa table de multiplication

Pour décrire \(T(X^{I})\) comme espace vectoriel, il indexe ses classes par des paires \((R, J)\) : \(R\) une partition de \(I\) en parties non vides et \(J\) une de ses parties, ou la partie vide.⁴⁰ Pour un point \(a \in X\), soit \[ Z_{R,J} = \bigl\{ (x_{i})_{i \in I} \;:\; x_{i} = a \text{ si } i \in J , \ x_{i} = x_{j} \text{ si } i, j \text{ sont dans une même partie de } R \bigr\} , \] et \(\varepsilon_{R,J}\) sa classe. À l'ordre des facteurs près, \[ \varepsilon_{R,J} = \Bigl(\,\boxtimes_{i \in J}\, y\Bigr) \boxtimes \Bigl(\,\boxtimes_{P \in R,\ P \neq J}\, \delta_{P}\Bigr) , \] de sorte que les \(\varepsilon_{R,J}\) engendrent \(T(X^{I})\) comme espace vectoriel dès qu'on sait qu'elles en forment une sous-algèbre — ce que donne leur table de multiplication.

Soient \((R, J)\) et \((R', J')\), et \(R''\) la plus fine partition moins fine que \(R\) et \(R'\). Pour une partie \(B\) de \(R''\), notons \(b\) et \(b'\) les nombres de parties de \(R\) et de \(R'\) contenues dans \(B\) ; comme \(B\) est « connexe » pour \(R\) et \(R'\), on a toujours \(b + b' \leq |B| + 1\).

Proposition. Le produit \(\varepsilon_{R,J}\,\varepsilon_{R',J'}\) est nul si \(J\) et \(J'\) sont non vides et contenus dans une même partie de \(R''\) (en particulier si \(J \cap J' \neq \emptyset\)). Sinon, il est le produit extérieur, sur les parties \(B\) de \(R''\), des classes \(c_{B} \in H^{*}(X^{B})\) suivantes :

• si \(B\) contient \(J\) ou \(J'\) : \(c_{B} = \prod_{i \in B} y_{i}\) si \(b + b' = |B| + 1\), et \(c_{B} = 0\) sinon ;
• si \(B\) ne contient ni \(J\) ni \(J'\) : \(c_{B} = \delta_{B}\) si \(b + b' = |B| + 1\) ; \(c_{B} = \chi \prod_{i \in B} y_{i}\) si \(b + b' = |B|\) ; \(c_{B} = 0\) si \(b + b' < |B|\).

Démonstration. Ensemblistement, et pour deux points \(a \neq a'\), \(Z_{R,J} \cap Z_{R',J'}\) est vide dans le premier cas, et sinon le produit, sur les parties de \(R''\), d'un point ou d'une petite diagonale. On se ramène ainsi à une seule partie \(B\), puis au cas où \(J = J' = \emptyset\) et où \(R''\) est la partition grossière : c'est la réduction de la page 54. Posons \(k = |B|\), \(s = b\), \(s' = b'\). Alors \(Z_{R}\) est isomorphe à \(X^{s}\), de codimension \((k - s)n\) dans \(X^{k}\), de même pour \(Z_{R'}\), et leur intersection est la petite diagonale, de codimension \((k-1)n\). Comme la codimension d'une intersection ne dépasse pas la somme des codimensions, \(s + s' \leq k + 1\). S'il y a égalité, l'intersection est transverse et le produit est \(\delta_{B}\). Si \(s + s' < k\), le produit est de degré \((2k - s - s')n > kn\), donc nul. Si \(s + s' = k\), le produit est en degré maximal ; l'intersection est de dimension \(n\) au lieu de \(0\), le fibré d'excès est le fibré tangent de \(X\) restreint à la diagonale, et la formule d'intersection en excès donne \(\chi\) fois la classe d'un point. Pour une partie contenant \(J\), le même décompte, où l'intersection attendue est un point, ne laisse que le cas transverse.⁴¹

Stabilités, et la conclusion

Le sous-espace engendré par les \(\varepsilon_{R,J}\) est donc une sous-algèbre ; il est stable par \(\boxtimes\) (clair), par images inverses par les projections (on ajoute une partie à un élément), et par images directes par la projection \(X^{I} \to X^{I \smallsetminus \{i\}}\) : si \(i \in J\), \(Z_{R,J}\) s'envoie isomorphiquement sur \(Z_{R, J \smallsetminus \{i\}}\) ; si \(i \notin J\) et que la partie \(P\) contenant \(i\) a au moins deux éléments, \(\delta_{P}\) s'envoie sur \(\delta_{P \smallsetminus \{i\}}\) ; si \(P = \{i\}\), l'image directe est nulle.⁴² Les images inverses et directes par les plongements diagonaux \(\delta \colon X^{I \smallsetminus \{j\}} \to X^{I}\) s'y ramènent : \(\delta_{*}(z) = \delta_{ij}\, p^{*}(z)\) et \(\delta^{*}(z) = p_{*}(\delta_{ij}\, z)\), où \(p\) est la projection qui oublie \(j\). Le système des \(T(X^{n})\) satisfait donc les conditions de la Proposition de la page 39, et il est stable par composition des correspondances.⁴³

La conclusion est encadrée : la sous-algèbre tautologique est engendrée, par produits extérieurs, par la classe \(y\) et les petites diagonales \(\delta_{I}\). C'est donc le plus petit système stable, au sens des pages 24 et 39, qui contienne la classe d'un point : chaque \(\delta_{I}\) est l'image directe de \(1\) par le plongement de la petite diagonale, et y est forcé.⁴⁴