Fonds Grothendieck, cote n° 109, pages 1–20

Notations

le titre « Notations » est de sa main, souligné, en haut à droite. Les signes \Delta, \square et \bigcirc de ces feuillets sont tracés d'un trait doublé sur un côté, à la manière d'une lettre ajourée ; on les rend par les signes simples. Les nombres à droite sont des renvois de pages

\Pi_n(X) ? \overset{i}{\underset{\ell}{*}}, \check{u} ? devant l'astérisque, un petit signe qu'on ne lit pas

(\mathrm{Cat}) (Ss-sets) 16

16 \Delta \square \bigcirc

A_{/X}, A^{\circ}, A^{\wedge} ou \hat{A} K \mapsto |K|, (\mathrm{Ord}), (\mathrm{Preord}), (\mathrm{Hot}), \Delta_n, \Delta, \Delta[N] 22un trait vertical réunit ces six lignes et les renvoie au nombre 22 \square, \square_n 29 \tilde{\square}, \tilde{\Delta} 34

Introduction

titre de sa main, souligné

chiffres soulignés dans table des matières. / signe […]

Modifications numérotées dans lettre à …

Stacks = non commutative chain complexes (cf. p. 4)

Imprimeur

titre de sa main, souligné ; en dessous, à gauche, des signes pour l'imprimeur

\underline{N} \longmapsto \mathbb{N} \ell \longmapsto \ellà gauche, un \ell manuscrit barré d'un trait oblique ; à droite, un \ell simple un signe fait de deux jambages verticaux accolés, prolongés d'un trait horizontal en haut à droite et d'un trait horizontal en bas à gauche ; aucune correspondance n'est écrite un petit cercle entièrement hachuré ; aucune correspondance n'est écrite

Index des notations

titre de sa main, en haut d'une carte perforée

\xrightarrow{\;\approx\;} \xrightarrow{\;\simeq\;} \approx \simeq \underline{\underline{\mathbb{Z}}}cerclé \mathbb{R} \mathbb{Q} \mathbb{C} \Delta \square \bigcirc \Delta_n \square_n \bigcirc_n A^{\wedge}, A^{\&} \underline{\mathrm{Hom}}(A,B) \left\{\begin{array}{l} A, B \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}) \\ A, B \in \mathrm{Ob}\, C \text{ catégorie quelc.} \end{array}\right. X_{*} X^{*} L_{\bullet} L^{\bullet} V^{\vee}

\mathrm{Hot} \mathrm{Hotab}ces deux mots d'un crayon plus pâle D_{\cdot}(A) D^{\cdot}(A) / D^{+}(A), D^{-}(A) D(A)

\mathrm{Ch}_{\cdot}(A), \mathrm{Ch}^{\cdot}(A) K^{+}(A) K^{-}(A) K(A)

K_{\cdot}(A) K^{\cdot}(A)un trait courbe relie \mathrm{Ch}_{\cdot}(A), \mathrm{Ch}^{\cdot}(A) à cette dernière ligne

fibering, cofibering, bifibering functor. localization (two meanings), colocalization.

§§ 130 à 133

écrit à la main sur une liste d'ordinateur, entre les lignes imprimées ; le texte imprimé n'est pas reproduit. Ce sont des titres de paragraphes numérotés, en anglais

130.A case for non-connected bundles (as components for semisimplicial models). 131.~~Rambling on the~~ Tentative construction of the spherical functor \tilde{S} ~~and extension~~ and extension of notion of « bundles » and « multidimensional » « extension » of the basic ~~bundle notion~~.palimpseste : « Tentative construction of the » est écrit au-dessus de « Rambling … », biffé ; la ligne « and extension of » est reprise deux fois ; « notion of "bundles" » est ajouté en interligne à droite. L'ordre donné ici est celui qu'on croit lire, non une certitude. Le numéro 131 est cerclé ~~132.A crazy formula for homotopy groups quadrants — and/or crazy of spheres — and puzzling about hypothetical formula expressing the formula for the homotopy groups of spheres.~~tout ce bloc est annulé par un grand trait en V et ses lignes sont en outre biffées une à une ; la lecture en est fragmentaire 132.A crazy tentative wrong-quadrant (bi)complex for the homotopy groups of a sphere.numéro cerclé 133.Birth of Saleyman.la deuxième lettre du nom peut être un u

Plan Dédicace Sommaire Table des matières détaillée

Introduction I

IIune accolade à gauche réunit les deux introductions ; la seconde n'a qu'un trait horizontal au lieu du mot

Chap I ~~à VIII~~ Appendice : Lettres à Breen Chap II à VIII« Appendice : Lettres à Breen » est entouré d'une boucle qui part de « Chap I » et se ferme sur « Chap II à VIII », écrit à droite : l'appendice s'insère, semble-t-il, entre le chapitre I et les chapitres II à VIII Notes et glossaire Index (terminologique) Index des notations Bibliographie (?)

au bas de la page, deux schémas de dépendance des chapitres. À gauche, avec des flèches doubles ; entre V et VI, un chiffre romain lourdement biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathrm{I} & \mathrm{II} \arrow[d, Rightarrow] & & \\ & \mathrm{III} \arrow[d, Rightarrow] & & \\ & \mathrm{IV} \arrow[dr, Rightarrow] \arrow[dd, Rightarrow, bend right=40] & \mathrm{V} \arrow[d, Rightarrow] & \mathrm{VI} \\ & & \mathrm{VII} & \\ & \mathrm{VIII} & & \end{tikzcd}

à droite, par de simples traits ; VI n'est relié à rien

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathrm{I} \arrow[d, no head] & \\ & \mathrm{II} \arrow[d, no head] & \\ & \mathrm{III} \arrow[d, no head] & \\ & \mathrm{IV} \arrow[dd, no head] \arrow[dddl, no head] & \mathrm{V} \arrow[ddl, no head] \\ & & \mathrm{VI} \\ & \mathrm{VII} \arrow[dd, no head] & \\ \mathrm{VIII} \arrow[dr, no head] & & \\ & \mathrm{IX} & \end{tikzcd}

Questions

titre de sa main, souligné ; « p. » renvoie aux pages, « S. » aux paragraphes

p. 54 S. 35 [three questions on that page!]le premier mot est souligné p. 55 S. 35 x \mapsto \mathrm{Top}(B) p. 72 S. 41 A^{\wedge} cl. mod. cat ? p. 73, 74 / S. 42 (Ord) Modelizer ?

Terminology

titre de sa main, souligné, en haut à droite. Les nombres sont dans une colonne à droite ; leur rattachement aux lignes est donné au plus près

primitive, primary, secondary, ternary… structure 4. « primitive, » ajouté au-dessus de « primary » standard type (iterated fiber products of) 5. n-stacks, \infty-stacks, n-\underline{C}-stacks 13. coherator 13 25 Hot-equivalence of site structure 26, 39 test category (!) / test-topology 27« category (!) » est écrit au-dessus de « topology », et « test » ajouté au-dessus de lui modelizer ! / model-preserving (or modelizing) functor ! 28 \to 41, \to 42 basic modelizer (Cat) / elementary modelizer (!) 29* strict test category 33, 39 standard simplices / cubes 34 ~~\square, \square~~ 34deux carrés biffés aspheric (topos, object of topos, map of objects) 35 locally aspheric topos, tot. asph. topos weak equivalence (f : X \to Y map of topos) ? homotopy interval 37 [strict] elementary modelizer 39 local test category / local el. modelizer 39 [locally] modelizing topos 39

Réflexions Mathématiques

les pages 9 et 10 sont d'une autre main que la sienne, celle qui écrit la liste de corrections des pages 16 à 20. Elles lui sont adressées et donnent une version anglaise revue de son texte de présentation. Les mots soulignés en rouge par le correspondant, qui marquent ce qui a été changé dans son original, sont rendus en italique ; un petit trait rouge suit aussi « started » à la page 10. Les mots qu'il écrit en interligne (« for me », « possible », « thus », « two ») sont remis à leur place

Reflexions Mathématiques

(The simplest thing for me is to write out an a possible alternative version as our photocopy of the original is not that clear now. I'll underline in red places where the words are changed from your original whether by Breen or by us.)

After a twelve years' silence, the time has come for the author's works of maturity, with his vision and style renewed. Here is a day-by-day account of an explorer's ~~travel~~ journey with occasional reflections on the travel itself (as well as on the traveler and the manifold world around him,), thus recapturing its genuine nature: that of an impassioned adventure, rooted in life

In the two forthcoming volumes, under the common title « Pursuing Stacks » (the first volume of which is subtitled « The Modelizing Story, »), the author sketches some themes of a vast sythesissic of homotopical algebra, (co)homological algebra and topos theory — ripe now for more than fifteen years but never yet begun. The leading thread, tenacious and omnipresent (while often remaining implicit) comes from algebraic geometry, and from the intuitions (rich precise and provocatively fragmentary) surrounding the notions of sheaves, stacks, 2-stacks « etc. » on a topos.

These two volumes are the first in a planned, considerably wider series of « Réflexions Mathématiques » in which the author intends to present, among other things, some « naive ideas » about two « new continents », eager to be discovered and explored. One stems from

a suitable notion of a « tame » topological space, viewed as the natural set-up for expressing and stimulating the topological intuition of shape and form, which for so long has been squeezed into the straitjacket of a « General Topology » tailored for the use of the analyst, not for geometry. This is inapt notably (because of pervasive « wildness » phenomena) for the study~~ing~~ of homotopy types of spaces of homeomorphisms, imbeddings & the like, or for developing a comprehensive « dévissage » theory of stratified structures (whereas such structures ~~abound~~ crop up everywhere notably in any question of « moduli » of for geometrical configurations capable of continuous variation and giving rise to degeneracy phenomena). The other continent appears at the confluence of a multitude of streams of thought and insights, coming from topology, conformal geometry, algebraic geometry, discrete and profinite groups, algebraic groups over number fields, regular polyhedra, arithmetics, « motives »…, called together for the exploration of the action of profinite « absolute » Galois groups (such as \mathrm{Gal}_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}) on certain (so called « anabelian ») profinite geometrical fundamental groups (such as \pi_1(\mathbb{P}_{\bar{\mathbb{Q}}} - \{0,1,\infty\})). One of the leading threads comes from the combinatorial topology

(Continues without change until last paragraph)

The first ~~two~~ two volumes « Pursuing Stacks », started through the impetus of a correspondence in English are written in that language. They begin with a substantial common introduction of which a first part, of personal rather than technical character, is written in French (the author's adopted language.).

Comments on « Pursuing Stacks »

les pages 12 à 14 sont un tapuscrit de trois pages, intitulé « COMMENTS ON "PURSUING STACKS" », d'un lecteur qui renvoie à « my paper with Heath » et n'est pas nommé ici. Il est résumé page à page. On n'y a relevé aucune marque de sa main

d'abord une liste de mots à corriger, repérés par page et ligne du tapuscrit (pp. 2 à 4 de l'introduction, puis « Section 14 etc », pp. 2 et 3) : pour l'essentiel des fautes d'orthographe anglaise (inadequate, pertinent, misled, CW-spaces, adequate…). Puis une remarque sur la p. 3, « cubical versus simplicial sets » : les ensembles simpliciaux doivent leur popularité à ce que leur catégorie est cartésiennement fermée, que la réalisation donne une équivalence entre la catégorie homotopique des complexes de Kan et celle des CW-espaces, qu'elle commute au produit (pour la topologie compactement engendrée), à l'existence d'un théorème de Dold–Kan et d'une démonstration simpliciale de la suite spectrale de Serre ; les ensembles cubiques, commodes pour certains auteurs (un exposé de l'homologie singulière, les méthodes de Brown–Higgins), sont moins établis dans la littérature

suite : pour les ensembles cubiques, l'équivalence des catégories homotopiques n'est démontrée en détail que dans un mémoire non publié ; leur produit cartésien n'a pas la bonne réalisation, seul un produit tensoriel l'a ; un théorème de Dold–Kan demande la structure supplémentaire des « connexions » de Brown–Higgins. À la p. 4, le lecteur préférerait parler du théorème de Dold–Kan plutôt que de Puppe, et rappelle que Kan a décrit le foncteur des complexes de chaînes vers les groupes abéliens simpliciaux, en dimension n, par \mathrm{Hom}(C_N \Delta^n, C). Il s'étonne que l'approche de Loday des types d'homotopie passe par les ensembles n-simpliciaux, et note que la théorie de van Kampen de Brown–Loday utilise les groupoïdes n-uples, plus précisément les \mathrm{Cat}^n-groupes ; il se demande si, pour définir de tels objets dans d'autres situations, comme les topos, il ne faudrait pas des constructions d'intervalle unité, là où interviendraient les structures de champs. Suivent des retouches de style (pp. 4 et 5), et, p. 7, un renvoi aux travaux publiés sur le nerf et son rapport aux types d'homotopie ; p. 8, le paragraphe central est jugé intéressant

suite : trouver des catégories qui modélisent des situations géométriques puis en prendre le nerf s'est révélé utile en topologie géométrique (K-théorie algébrique des espaces), sans être encore un outil de base ni avoir mené à des calculs ; un test proposé : déterminer \pi_3(S^2) sans connaître la fibration de Hopf S^1 \to S^3 \to S^2. Puis des retouches de mots pour les pp. 9 à 17 (developing, standard pour standart, qui revient souvent, the formal analogy, « commute with formation »…), et une question, p. 13 : la catégorie de tous les groupoïdes n'est-elle pas un topos parce qu'elle n'a pas de classifiant des sous-objets ? Au pied de la page, d'une main qui ne semble pas la sienne : « so far, so good! »

Liste de corrections

les pages 16 à 18 et 20 sont d'une autre main que la sienne, celle des pages 9 et 10 : le début d'une liste, en anglais, de corrections page et ligne par page et ligne, qui lui est adressée et se poursuit dans le lot 2 du dossier. Le tapuscrit visé n'est pas nommé sur les feuillets (sans doute celui de Pursuing Stacks). Elle est résumée page à page ; on n'y a relevé aucune marque de sa main

intitulé « Errors in 1st 100 pages of notes + letter to Quillen ». Pour la lettre à Quillen (pp. 5, 5', 6') : « commute with » et non « commute to », « standard » et non « standart », un article manquant. Pour les « Reflections » (pp. 1 à 41) : des corrections d'usage et d'orthographe (indispensable, impediments, manifold, adequate, reminds, « we have » plutôt que « we got »…) ; p. 32, « probably "modelizer" » ; p. 34, la phrase « which allow… » est jugée obscure

suite, pp. 41 à 90 du tapuscrit : « aspheric » et non « asperic » (le correspondant ajoute en français « avec les asperges ! »), analogues, denote, Assume, les contractions (« isn't », « doesn't ») mal placées, « last but not least », « compare with » comme « commute with » ; p. 66, un doute sur le latin (compositum, composita ou compositae)

suite, pp. 91 à 100, feuillet numéroté « -2- » : « in view of » et « with a view to », « we've got » ou « we have got », « avatars » et non « avators », « informal » ; p. 99, la remarque que X et Y sont devenus F et G ; p. 100, un article manquant

copie d'un état antérieur des entrées pour les pp. 87 à 100, annulé par deux traits obliques, avec au bas la mention « Sent 19/12/83 » ; puis, sous un trait, la suite pour les pp. 102 à 115 : de nouveau « commute with », les contractions, developing, relationships, et p. 107 « Kan » et non « Khan »