Cote n° 109 · pages 1–37 · Lecture modernisée · Tables [Corrections et préparation à l'édition] : notes manuscrites (s.d.), copies de notes manuscrites annotées (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.), copies de notes manuscrites (1983-1984) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1983-1984
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier compte trente-sept pages, dont trois feuillets de séparation vierges (pages 11, 15 et 19). Il se partage en deux mains.

1. 1.L'appareil du livre, de sa main (pages 1 à 8) : notations (page 1), introduction (page 2), imprimeur (page 3), index des notations (page 4), titres des §§ 130 à 133 (page 5), plan du volume (page 6), questions (page 7), terminologie (page 8).
2. 2.Le texte de présentation (pages 9 et 10) : une version anglaise revue de son texte pour la série « Réflexions Mathématiques », recopiée par un correspondant.
3. 3.Les retours des lecteurs (pages 12 à 37) : les commentaires dactylographiés d'un lecteur (pages 12 à 14), puis une liste manuscrite de corrections d'anglais suivant le tapuscrit page à page (pages 16 à 37).

Les pages 9 à 37 sont toutes d'autres mains que la sienne, et l'on n'y a relevé aucune marque de lui. Aucun de leurs auteurs n'est nommé ici. Elles sont résumées, non reproduites.

Conventions. « Page » désigne une page du dossier ; « p. du tapuscrit » une page du tapuscrit anglais que suit la liste de corrections ; « § » un paragraphe de Pursuing Stacks. Le tapuscrit n'est jamais nommé sur les feuillets ; le groupe de l'inventaire (« Autour de Pursuing stacks ») et les notions qu'il cite le désignent sans doute possible.¹ Pour une petite catégorie \(A\), \(\widehat{A}\) est la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur \(A\), \(A_{/a}\) la catégorie des objets de \(A\) au-dessus de \(a\), et \((\mathrm{Hot})\) la catégorie homotopique des types d'homotopie.

Annoncé et non établi : tout ce que promettent les titres des §§ 130 à 133 ; la bibliographie, suivie d'un point d'interrogation ; la notion d'équivalence faible de topos, laissée sans renvoi ; les questions de la page 7 ; la formule d'une page tardive du tapuscrit que la liste de corrections ne parvient pas à lire (page 36).

1–1

Les signes du livre (page 1)

Une première liste de notations, chacune suivie d'un renvoi :

• \(\Pi_{n}(X)\), et un produit noté \(*\) avec indices, sans renvoi ;
• \((\mathrm{Cat})\), la catégorie des petites catégories, et les ensembles simpliciaux, au § 16 ;
• \(\Delta\), \(\square\), \(\bigcirc\), la catégorie des simplexes, celle des cubes et celle des globes ;²
• \(A_{/X}\), \(A^{\circ}\) (la catégorie opposée), \(A^{\wedge} = \widehat{A}\) ;
• la réalisation géométrique \(K \mapsto |K|\), les catégories \((\mathrm{Ord})\) des ensembles ordonnés et \((\mathrm{Preord})\) des ensembles préordonnés, \((\mathrm{Hot})\), les simplexes \(\Delta_{n}\) et \(\Delta[N]\), au § 22 ;
• \(\square\), \(\square_{n}\), au § 29, et \(\tilde{\square}\), \(\tilde{\Delta}\), au § 34.³

2–3

L'introduction et l'imprimeur (pages 2 et 3)

Trois notes pour l'introduction : les chiffres soulignés de la table des matières seront expliqués ; un signe sera défini ; les modifications seront numérotées et signalées dans une lettre.⁴ Puis une formule :

Stacks = non commutative chain complexes (cf. p. 4).

Elle résume le programme du livre. Par la correspondance de Dold et Kan, les complexes de chaînes de groupes abéliens en degrés positifs équivalent aux groupes abéliens simpliciaux, c'est-à-dire, du point de vue de l'homotopie, aux \(\infty\)-groupoïdes dont la composition est commutative en un sens fort ; les champs, et plus généralement les \(\infty\)-groupoïdes, en sont la généralisation non commutative.⁵

La page 3 donne à l'imprimeur deux correspondances : un \(N\) souligné devient \(\mathbb{N}\), et un \(\ell\) barré devient un \(\ell\) simple. Deux autres signes — un double jambage à traits horizontaux, un petit cercle hachuré — sont dessinés sans correspondance.⁶

4–4

L'index des notations (page 4)

Sur une carte perforée, une liste plus longue, celle d'un index :

• deux signes d'isomorphie, \(\approx\) et \(\simeq\), seuls et sur des flèches ;⁷
• \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{C}\) ;
• \(\Delta\), \(\square\), \(\bigcirc\) et leurs objets \(\Delta_{n}\), \(\square_{n}\), \(\bigcirc_{n}\) ;
• \(A^{\wedge}\) et un second signe \(A^{\&}\), sans explication⁸ ; le Hom interne \(\underline{\mathrm{Hom}}(A, B)\), pour \(A\), \(B\) dans \((\mathrm{Cat})\) ou dans une catégorie quelconque ;
• les indices bas et hauts \(X_{*}\), \(X^{*}\), \(L_{\bullet}\), \(L^{\bullet}\), c'est-à-dire la graduation homologique et la graduation cohomologique, et le dual \(V^{\vee}\) ;
• \((\mathrm{Hot})\) et \((\mathrm{Hotab})\), catégorie homotopique des types d'homotopie et son analogue abélien ; pour une catégorie abélienne \(A\), les catégories dérivées \(D_{\cdot}(A)\), \(D^{\cdot}(A)\), \(D^{+}(A)\), \(D^{-}(A)\), \(D(A)\), les catégories de complexes \(\mathrm{Ch}_{\cdot}(A)\), \(\mathrm{Ch}^{\cdot}(A)\) et les catégories homotopiques \(K^{+}(A)\), \(K^{-}(A)\), \(K(A)\), \(K_{\cdot}(A)\), \(K^{\cdot}(A)\) ;
• trois mots anglais : fibering, cofibering, bifibering functor — les foncteurs fibrés, cofibrés et bifibrés, qu'on appelle aujourd'hui fibrations et cofibrations de Grothendieck ; et localization « en deux sens », colocalization.⁹

5–5

Quatre titres de paragraphes (page 5)

Écrits entre les lignes d'une liste d'ordinateur, des titres anglais pour les §§ 130 à 133 :

• 130.un plaidoyer pour les fibrés non connexes, comme composantes de modèles semi-simpliciaux ;
• 131.un essai de construction d'un « foncteur sphérique » \(\tilde{S}\), et une extension de la notion de fibré ;
• 132.un bicomplexe « fou », placé dans le mauvais quadrant, pour les groupes d'homotopie d'une sphère ;
• 133.un titre au nom illisible.¹⁰

Aucun de ces paragraphes n'est dans le dossier. Le 132 vise l'un des problèmes les plus durs de la topologie, le calcul des groupes d'homotopie des sphères, et l'adjectif dit assez qu'il s'agit d'une tentative ; on ne sait pas, par ces feuillets, ce qu'elle contenait.

6–6

Le plan du volume (page 6)

Le livre devait s'ouvrir sur une dédicace, un sommaire, une table des matières détaillée et deux introductions, puis le chapitre I, un appendice — les lettres à Breen —, les chapitres II à VIII, des notes et un glossaire, un index terminologique, un index des notations et une bibliographie suivie d'un point d'interrogation.¹¹

Au bas, deux schémas de dépendance des chapitres. Dans celui de gauche, en flèches doubles, II mène à III, III à IV, IV à VII et à VIII, V à VII ; I et VI ne sont reliés à rien.¹² Dans celui de droite, en simples traits, la suite I, II, III, IV est linéaire, IV se relie à VII et à VIII, V à VII, puis VII et VIII à un chapitre IX ; VI est encore isolé. Les deux schémas ne sont donc pas le même : le second compte neuf chapitres là où le plan en annonce huit.¹³

7–8

Questions et terminologie (pages 7 et 8)

Quatre questions

La page 7 relève, par page du tapuscrit et par paragraphe, des points à revoir :

• p. 54, § 35 : trois questions sur cette page, dit-il, sans les écrire ;
• p. 55, § 35 : \(x \mapsto \mathrm{Top}(B)\), sans plus ;¹⁴
• p. 72, § 41 : \(\widehat{A}\) est-il une catégorie de modèles fermée ?
• p. 73–74, § 42 : \((\mathrm{Ord})\) est-il un modélisateur ?

La troisième est la question de savoir si, pour une catégorie test \(A\), les équivalences faibles de \(\widehat{A}\) s'insèrent dans une structure de modèles de Quillen. Elle a reçu depuis une réponse positive, avec les monomorphismes pour cofibrations.¹⁵ La quatrième demande si les ensembles ordonnés, avec pour équivalences faibles les applications dont le nerf est une équivalence faible, suffisent à décrire tous les types d'homotopie ; la réponse est oui, parce que la subdivision barycentrique d'un ensemble simplicial a même type d'homotopie qu'un nerf d'ensemble ordonné.¹⁶

8–8

Le vocabulaire du livre

La page 8, « Terminology », dresse en anglais la liste des termes du livre, dans l'ordre de leur apparition, avec le paragraphe où chacun est introduit.¹⁷ On la regroupe ici par notion, en disant en termes actuels ce que chacune désigne.

Structures et champs (§§ 4 à 13). Les structures « primitive, primaire, secondaire, ternaire… », les types standard (produits fibrés itérés), les \(n\)-champs, les \(\infty\)-champs et les \(n\)-champs relatifs à une catégorie \(C\). Puis le cohérateur (§§ 13 et 25) : la donnée qui dit quelles opérations et quelles cohérences un \(\infty\)-groupoïde doit porter. C'est d'elle que G. Maltsiniotis a tiré, dans les années 2000, une définition des \(\infty\)-groupoïdes dits aujourd'hui « de Grothendieck ».¹⁸

Modélisateurs (§§ 26 à 29). Un modélisateur est une catégorie \(M\) munie d'une classe \(W\) de flèches, dites équivalences faibles, telle que la localisée \(M[W^{-1}]\) soit équivalente à \((\mathrm{Hot})\), de façon compatible aux foncteurs naturels ; un foncteur entre modélisateurs qui respecte cette structure est dit modélisant. Le modélisateur de base est \((\mathrm{Cat})\), les équivalences faibles étant les foncteurs dont le nerf est une équivalence faible d'ensembles simpliciaux.¹⁹ Une catégorie test (§ 27) est une petite catégorie \(A\) telle que \(\widehat{A}\), muni des flèches que le foncteur « catégorie des éléments » \(i_{A} : \widehat{A} \to (\mathrm{Cat})\) envoie sur des équivalences faibles, soit un modélisateur, cela restant vrai pour chaque \(A_{/a}\), et \(A\) ayant un nerf contractile. Un modélisateur élémentaire (§ 29) est un tel \(\widehat{A}\). La ligne de la feuille garde la trace d'une hésitation : « test-topology », puis « test category », suivi d'un point d'exclamation.²⁰

Catégories test strictes, simplexes et cubes (§§ 33 et 34). Une catégorie test est stricte quand la localisation \(\widehat{A} \to (\mathrm{Hot})\) commute aux produits finis. Les simplexes et les cubes standard sont les exemples de base : \(\Delta\) est une catégorie test stricte, et la catégorie des cubes \(\square\) est une catégorie test qui n'est pas stricte, le produit des ensembles cubiques n'ayant pas le bon type d'homotopie.²¹

Asphéricité dans les topos (§§ 35 à 39). Un topos est asphérique quand il a le type d'homotopie d'un point ; un objet d'un topos l'est quand le topos induit au-dessus de lui l'est, et une flèche d'objets quand ses fibres le sont, au sens convenable. Suivent les topos localement asphériques et totalement asphériques, puis les équivalences faibles de topos, sans renvoi : la ligne porte un point d'interrogation à la place du numéro. L'intervalle homotopique (§ 37) est un objet \(I\) de \(\widehat{A}\) muni de deux sections disjointes \(0, 1\) de l'objet final, asphérique, qui joue le rôle du segment \([0,1]\) et permet de parler d'homotopies dans \(\widehat{A}\) ; dans les ensembles simpliciaux, c'est \(\Delta_{1}\).²²

Variantes locales (§ 39). Les modélisateurs élémentaires stricts, les catégories test locales et les modélisateurs élémentaires locaux, les topos modélisants et localement modélisants. Le § 39 apparaît aussi en italique sur la ligne des « Hot-équivalences de structures de site » (§ 26), comme un renvoi complémentaire.

9–10

Le texte de présentation (pages 9 et 10)

Deux pages d'une autre main, qui lui sont adressées : le correspondant recopie une version anglaise de son texte de présentation, la photocopie de l'original étant devenue peu lisible, et souligne en rouge les mots changés par rapport à cet original.²³ Le milieu manque : une ligne dit que le texte continue sans changement jusqu'au dernier paragraphe.

Le texte présente l'œuvre de la maturité d'un auteur qui revient après douze ans de silence, comme le journal, au jour le jour, d'un voyage d'exploration mêlé de réflexions sur le voyage lui-même. Les deux volumes à venir, sous le titre commun Pursuing Stacks, le premier sous-titré The Modelizing Story, esquissent une synthèse de l'algèbre homotopique, de l'algèbre homologique et de la théorie des topos, dont le fil conducteur vient de la géométrie algébrique et des notions de faisceau, de champ, de 2-champ.

Ces volumes ouvrent une série plus large, les « Réflexions Mathématiques », qui doit présenter des idées sur deux « continents nouveaux ». Le premier est une notion d'espace topologique « modéré » (tame), cadre naturel de l'intuition de la forme, que la topologie générale, faite pour l'analyse, encombre de pathologies ; elle servirait aux espaces d'homéomorphismes et de plongements et à une théorie du dévissage des structures stratifiées, qu'on rencontre partout où il y a des modules. Le second est l'étude de l'action des groupes de Galois profinis absolus, comme \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\), sur certains groupes fondamentaux géométriques profinis dits anabéliens, comme celui de \(\mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} \smallsetminus \{0, 1, \infty\}\). Le dernier paragraphe explique la langue : les deux premiers volumes, nés d'une correspondance en anglais, sont écrits en anglais, mais la première partie de l'introduction, de caractère personnel, l'est en français.²⁴

12–14

Les commentaires d'un lecteur (pages 12 à 14)

Trois pages dactylographiées, « Comments on "Pursuing Stacks" », d'un lecteur qui n'est pas nommé. Après une liste de fautes d'orthographe, quatre remarques de fond.

Ensembles simpliciaux ou cubiques. Les ensembles simpliciaux doivent leur place à des propriétés précises : leur catégorie est cartésiennement fermée ; la réalisation géométrique induit une équivalence entre la catégorie homotopique des complexes de Kan et celle des CW-complexes, et commute aux produits finis quand on prend la topologie compactement engendrée ; il y a une correspondance de Dold–Kan et une démonstration simpliciale de la suite spectrale de Serre. Pour les ensembles cubiques, l'équivalence homotopique n'était alors démontrée en détail que dans un mémoire non publié ; le produit cartésien n'a pas la bonne réalisation, seul un produit tensoriel l'a ; et une correspondance de Dold–Kan demande la structure supplémentaire des « connexions » de Brown et Higgins.²⁵

Modèles algébriques des types d'homotopie. Il s'étonne que l'approche de Loday passe par des objets \(n\)-simpliciaux, rappelle que la théorie de van Kampen de Brown et Loday emploie des groupoïdes \(n\)-uples, les \(\mathrm{Cat}^{n}\)-groupes, et se demande si l'extension de tels objets aux topos ne demanderait pas une construction d'intervalle unité, là où les champs entreraient en jeu.

Le nerf. Prendre le nerf de catégories qui modélisent une situation géométrique a servi en topologie géométrique, pour la K-théorie algébrique des espaces, sans être devenu un outil de calcul. Il propose un test : calculer \(\pi_{3}(S^{2})\) sans connaître la fibration de Hopf \(S^{1} \to S^{3} \to S^{2}\).²⁶

Les groupoïdes et les topos. À propos d'une page de l'introduction, il demande si la catégorie des groupoïdes n'est pas un topos faute de classifiant des sous-objets. Elle n'en est pas un, et c'est bien l'absence de classifiant qui l'empêche.²⁷ Au pied de la dernière page, d'une main qui ne semble pas la sienne : « so far, so good! »

16–37

La liste de corrections (pages 16 à 37)

La liste et ses envois

D'une même main que les pages 9 et 10, une liste en anglais de corrections au tapuscrit, page par page et ligne par ligne, adressée à lui. Elle commence par « Errors in 1st 100 pages of notes + letter to Quillen » et suit le tapuscrit sans lacune de la p. 1 à la p. 557, où elle s'arrête au tiers d'une feuille. Elle est envoyée en plusieurs fois : la page 20 porte « Sent 19/12/83 » après la p. 100, la page 28 « Sent 6/2/84 » après la p. 354.²⁸ Neuf entrées sur dix sont d'usage : « commute with » et non « commute to », « standard » et non « standart », « aspheric » et non « asperic » (« avec les asperges ! », ajoute le correspondant en français), les contractions, « formulary » pour « formulaire », trouvé excellent. Les autres touchent aux mathématiques ; on les rassemble par thème.

21–26

Catégories test et asphéricité (pages 21 à 26)

Le foncteur \(j_{A}\) (p. 224 du tapuscrit). Le correspondant rappelle, en renvoyant à la p. 32, \[ j_{A} : (\mathrm{Cat}) \longrightarrow \widehat{A}, \qquad j_{A}(X)(a) = \mathrm{Hom}_{(\mathrm{Cat})}(A_{/a}, X), \] et juge fausse en conséquence une ligne du tapuscrit. Ce \(j_{A}\) est l'adjoint à droite du foncteur \(i_{A} : \widehat{A} \to (\mathrm{Cat})\) qui associe à un préfaisceau sa catégorie des éléments : \(i_{A}\) prolonge par colimites le foncteur \(a \mapsto A_{/a}\), et \(j_{A}\) en est l'adjoint par construction.²⁹

Asphéricité (p. 234 et 235). Une reformulation est proposée d'un énoncé sur \(W\) et un couple \((A, i)\) ; l'énoncé « \(x\) asphérique si et seulement si \(a\) asphérique » est relevé comme une tautologie telle qu'il est écrit.³⁰

Équivalences faibles induites (p. 240 à 251). La formule \(W = (i_{M,i})^{-1}(\underline{W})\), qui définit les équivalences faibles d'une catégorie par image réciproque de celles d'une autre ; une question sur la condition (ii) d'une définition, qui demanderait \(i_{0} : N_{0} \to N\) ; \(i : A \to M\) à la p. 251.

Notations à fixer. \(\pi_{0}\) et \(\pi_{1}\) ne sont pas définis à l'endroit où ils servent (p. 269) ; faut-il lire \(\alpha : \Delta \to \Delta_{/F}\) (p. 327) ? Une formule \(K_{h} \subset Z_{h}\) est à corriger (p. 116)³¹ ; une autre, \(f^{\circ} : C^{\circ} \to C'^{\circ}\), récrite (p. 167) ; une définition des intervalles homotopiques non faibles est à tourner autrement (p. 186) ; un renvoi du tapuscrit au § 51 viserait le § 52 (p. 114–115). En tête de la page 25, une relation « \(C \simeq A\) ? » est jugée confuse.³²

29–32

Algèbre homotopique abélienne (pages 29 à 32)

Préfaisceaux abéliens (p. 402 et 428). L'indice de \(\widehat{A}_{\mathrm{ab}}\) manque sur la copie ; et « \(\widehat{A}\) is abelian » est une erreur, c'est \(\widehat{A}_{M}\) qui est voulu. La correction est juste : \(\widehat{A}\), catégorie de préfaisceaux d'ensembles, n'est pas même additive ; ce sont les préfaisceaux en modules qui forment une catégorie abélienne.³³

Formules (p. 385, 413, 417, 438). Un signe \(\simeq\) manque dans la formule (7), une parenthèse ailleurs, et les renvois aux formules (75) et (84) sont relevés.

Groupes d'homotopie et objets en groupes (p. 449 et 471). Une phrase sur des groupes d'homotopie qui ne sont pas des \(k\)-modules est reformulée. Une autre, jugée ambiguë, est récrite ainsi : un complexe \(X_{*}\), lisse et satisfaisant à la condition de Kan, devrait donner un objet en groupes \(G = \pi_{1}(X_{*})\) dans \(U(k)\), avec une submersion notée (H) ; le correspondant ajoute qu'il a pu se méprendre.³⁴

33–37

Puissances divisées, et une formule illisible (pages 33 à 37)

Puissances symétriques et divisées (p. 484 à 494). Une flèche manque dans la formule (8) ; une expression contenant \(\Gamma^{\wedge}_{k}(M)\) est relevée (p. 485)³⁵ ; une parenthèse est mal placée dans \(\prod_{j} \Gamma^{j}_{k}(M)\). Surtout, le correspondant demande qu'on explique les notations \(\mathrm{Sym}^{j}_{k}\) et \(\Gamma^{j}_{k}\), dont il a dû chercher le sens ailleurs. Ce sont les puissances symétriques et les puissances divisées d'un \(k\)-module, \(\Gamma_{k}(M) = \bigoplus_{j} \Gamma^{j}_{k}(M)\), et le chapeau désigne vraisemblablement le produit complété \(\prod_{j}\).³⁶

Schémas en groupes et dévissages (p. 495 à 517). Le mot « endomorphisme » est mis en doute, les groupes d'endomorphismes étant rares, le correspondant avouant mal connaître les schémas en groupes additifs ; un « 0 » manque dans une cohomologie ; « Lazare » ou « Lazard » ? ; la formule (8) se factorise par (2\('\)) et non par (2) ; que désigne \(V'\), quand \(V\) et \(V'\) servent tous deux ?

Une condition d'annulation (p. 538). La formule (6) paraît étrange au correspondant, l'indice de \(\Pi\) étant placé ailleurs qu'il ne l'attend. Il propose trois lectures sans trancher : \[ H^{i}\bigl(T, \Pi_{i}(X_{*})\bigr) = 0 \ (i > 0), \qquad H^{i}\bigl(T, \Pi_{j}(X_{*})\bigr) = 0 \ (j > 0), \qquad H^{i}\bigl(T, \Pi_{j}(X_{*})\bigr) = 0 \ (i \geq j > 0). \] Le dossier ne dit pas laquelle était voulue, et l'on ne choisit pas.³⁷

La liste s'achève à la p. 557, sur des corrections d'usage dans un passage de récit et l'orthographe de « Hurewicz ».