Fonds Grothendieck, cote n° 108, pages 1–5

Titre porté au crayon en haut à droite de la chemise, sur deux lignes : « Divers, / liste questions ».

Čech type asphericity conditions (implied by L 5) ?) \underline{W}, W_{A} saturated

Homotopy properties of (Cat), Dold–Puppe sequences. ~~internal~~

(Cat) a model category ?

les points 4 et 5 sont intervertis sur la page : le numéro 5 est écrit d'abord, le 4 après, et une flèche tracée dans la marge de gauche remonte du second au premier. On les donne ici dans l'ordre que cette flèche établit, qui est l'ordre numérique

4)Exactness properties of (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}), and of the canonical functors (\mathrm{Cat}) \longrightarrow (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}), \qquad \hat{A} \longrightarrow (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}) 5)AWhen is \hat{A} a (closed) model category ? 6)

a) Is the category \Delta^{\circ} a test category, or not ? no

a) Catégories \Delta_{f}, \square^{d} l'exposant est un seul caractère, bouclé, qui se lit d, \tilde{\square}, \square_{f}

b) Cubical games…

les deux alinéas sont tous deux notés « a) » sur la page. Le signe rendu ici par \square est un ovale épais tracé d'un seul trait appuyé ; l'alinéa b) qui suit parle de cubical games, mais la page ne nomme pas le signe et on ne le nomme pas non plus

(canonical) ~~Cohomology~~ invariants w. \hat{A} (el. modelizer)

Dold–Puppe axiomatized ? Case of \square.

~~The~~ notion of \int of homotopy types, an \underline{\varprojlim} — and dual notion.

Structure of a « homotopy category » (internal structure of category (\mathrm{Hot}) and the like…) and a contractibility structure

9)(Top. spaces) as a modelizer. Test functors with values in « top. spaces ». Geom. realization 10)

Pointed homotopy types and group objects

(If A(M, \underline{W}) a (strict ?) modelizer, is \mathrm{Gr}(M) a « modelizer for pointed 0-connected homotopy types ? Tied up with Dold–Puppe

la fin du point 10 court jusqu'au bord inférieur de la feuille et la dernière ligne, ajoutée après coup entre les lignes, est en partie recouverte par une rature

11)

Caractérisation des ~~équi~~fibrations dans Cat

i.e. X' \to X tel que le chgt. de base les transforme équiv. faibles en équiv. faibles — il f. et s. que ce soit OK pour les inclusions e \to Y, i.e. oj objet final de Y. Est-il suffisant que l'on se pour tout \Delta_{0} \to \Delta_{n} \to X ?

Dans la marge de gauche, en regard de ce point, une colonne de trois carrés superposés :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] Z' \arrow[r, no head] \arrow[d] & Z \arrow[d]\\ Y' \arrow[r, no head] \arrow[d] & Y \arrow[d]\\ X' \arrow[r, no head] & X \end{tikzcd}

les liaisons horizontales sont de simples traits sur la page, sans tête ; seules les verticales portent des pointes

12)

Interprétation de la condition

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"]\\ Y' \arrow[r, "g"] & Y \end{tikzcd}

f fib, g \in \underline{W} \Rightarrow g' \in \underline{W} dans axiomatique de Quillen

le mot « cart » est écrit à l'intérieur du carré, entre les deux flèches verticales

13)

Is a ~~test~~ aspherical ~~or aspherical~~ category 0-connected topos also totally 0-connected ? Is it enough that 0-connected ? the product of two 0-connected objects is 0-connected ? (Can \underline{W}-spherical objects i.e. simply \underline{W}-aspherical ?)

ce point est le plus surchargé de la liste : trois mots au moins sont écrits l'un sur l'autre au début, et la parenthèse finale est reprise deux fois. Ce qui est donné ici est ce qui se lit ; le reste est signalé et non deviné

14)Hom in (\mathrm{Hot}) and diagram variants…

la feuille est une réemploi : l'écriture de Grothendieck occupe le haut de la page et s'arrête à mi-hauteur. La date du 4 janvier 1973 qui figure au verso, sans rapport avec ces questions, est vraisemblablement ce dont l'inventaire a tiré son « [à partir de 1973] »

15)Cointégration sur un topos (et intégration pour certains morphismes de topos). Suite spectrale \underline{\Pi}_{*}\Bigl(R\!\int_{*}(\xi)\Bigr) \longleftarrow R^{i}f_{*}\bigl(\underline{\Pi}_{j}(\mathcal{G})\bigr) pour un type d'homotopie relatif sur un topos X ? 16.

Soit A un contracteur non trivial. Alors

\begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}] \hat{A} \arrow[r, bend left=20, "i_{A}"] & (\mathrm{Cat}) \arrow[l, bend left=20, "j_{A}"] \end{tikzcd}

induisent-ils des équivalences quasi-inverses l'une de l'autre pour les localisés pour les homotopismes ?

Est-il vrai que X dans \hat{A} cont. t.-l. sse A_{/X} l'est. ~~Que si~~ C dans Cat contractile si (et seulement si) A_{/C} (= j_{A}(C)) l'est ? Est-il vrai que pour X, Y dans \hat{A}, i_{A}(X \times Y) \to i_{A}(X) \times i_{A}(Y) un homotopisme ?

Variantes commutatives de ces questions.

17)Dold–Puppe, Whitehead etc

feuillet mobile, déchiré en haut et perforé à gauche, écrit d'un trait plus rapide et raturé sur trois lignes pleines. Ce qui suit est le squelette lisible ; la ligne barrée du milieu n'a pas été rétablie

En haut, au-dessus de la déchirure : et s'il n'est équivalents : (etc.).

Un topos strictement tot. asphérique n'est pas modélisant, s'il n'est le provenant d'un \hat{A}, i.e. c A n'est pas vide. Cat-test ! Il suffit de trouver un cat. A avec produits finis, telles que de A par un seul et un seul, i.e. l'objet initial soit aussi , i.e. il

~~k, à corps visible et~~

pour que A est équiv. à \Delta_{0}.

Mais si A est un contracteur, alors il est cat. ssi A \cong \Delta_{0}.