Cote n° 108 · batch 1 · pages 1–5 · Transcription · Divers, liste questions : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973]
Édition de démonstration

1Titre porté au crayon en haut à droite de la chemise, sur deux lignes : « Divers, / liste questions ».

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  1. Čech type asphericity conditions (implied by L 5) ?)
  2. \(\underline{W}\), \(W_{A}\) saturated
  3. Homotopy properties of (Cat), Dold–Puppe sequences. internal (Cat) a model category ?

les points 4 et 5 sont intervertis sur la page : le numéro 5 est écrit d'abord, le 4 après, et une flèche tracée dans la marge de gauche remonte du second au premier. On les donne ici dans l'ordre que cette flèche établit, qui est l'ordre numérique

  1. [4)] Exactness properties of \((\mathrm{Hot}_{\underline{W}})\), and of the canonical functors \[ (\mathrm{Cat}) \longrightarrow (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}), \qquad \hat{A} \longrightarrow (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}) \]
  2. [5)] AWhen is \(\hat{A}\) a (closed) model category ?
  3. [6)] a) Is the category \(\Delta^{\circ}\) a test category, or not ? \underline{no} a) Catégories \(\Delta_{f}\), \(\square^{d}\) l'exposant est un seul caractère, bouclé, qui se lit d, \(\tilde{\square}\), \(\square_{f}\) b) Cubical games… les deux alinéas sont tous deux notés « a) » sur la page. Le signe rendu ici par \(\square\) est un ovale épais tracé d'un seul trait appuyé ; l'alinéa b) qui suit parle de cubical games, mais la page ne nomme pas le signe et on ne le nomme pas non plus
  4. [7)] (canonical) Cohomology invariants w. \(\hat{A}\) (el. modelizer) Dold–Puppe axiomatized ? Case of \(\square\).
  5. [8)] The notion of \(\int\) of homotopy types, an \(\underline{\varprojlim}\) — and dual notion. Structure of a « homotopy category » (internal structure of category \((\mathrm{Hot})\) and the like…) [and a contractibility structure]
  6. [9)] (Top. spaces) as \underline{a modelizer}. Test functors with values in « top. spaces ». Geom. realization
  7. [10)] Pointed homotopy types and group objects (If A\((M, \underline{W})\) a (strict ?) modelizer, is \(\mathrm{Gr}(M)\) […] a « modelizer for pointed 0-connected homotopy types ? Tied up with Dold–Puppe […]

la fin du point 10 court jusqu'au bord inférieur de la feuille et la dernière ligne, ajoutée après coup entre les lignes, est en partie recouverte par une rature

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  1. [11)] Caractérisation des équifibrations dans Cat i.e. \(X' \to X\) tel que le chgt. de base les transforme équiv. faibles en équiv. faibles — il f. et s. que ce soit OK pour les inclusions \(e \to Y\), i.e. \(oj\) objet final de \(Y\). Est-il suffisant que l'on se […] pour [tout] \(\Delta_{0} \to \Delta_{n} \to X\) ?

Dans la marge de gauche, en regard de ce point, une colonne de trois carrés superposés :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Z' \arrow[r, no head] \arrow[d] & Z \arrow[d]\\
Y' \arrow[r, no head] \arrow[d] & Y \arrow[d]\\
X' \arrow[r, no head] & X
\end{tikzcd}

les liaisons horizontales sont de simples traits sur la page, sans tête ; seules les verticales portent des pointes

  1. [12)] Interprétation de la condition
    LaTeX source
    \begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"]\\
Y' \arrow[r, "g"] & Y
\end{tikzcd}
     \(f\) fib, \(g \in \underline{W} \Rightarrow g' \in \underline{W}\) dans axiomatique de Quillen le mot « cart » est écrit à l'intérieur du carré, entre les deux flèches verticales
  2. [13)] Is a test [aspherical] or aspherical category […] 0-connected topos also totally […] 0-connected ? Is it enough that […] 0-connected ? [the] product of two 0-connected objects is 0-connected ? (Can […] \(\underline{W}\)-spherical objects i.e. simply \(\underline{W}\)-aspherical ?) ce point est le plus surchargé de la liste : trois mots au moins sont écrits l'un sur l'autre au début, et la parenthèse finale est reprise deux fois. Ce qui est donné ici est ce qui se lit ; le reste est signalé et non deviné
  3. [14)] Hom in \((\mathrm{Hot})\) and diagram variants…

la feuille est une réemploi : l'écriture de Grothendieck occupe le haut de la page et s'arrête à mi-hauteur. La date du 4 janvier 1973 qui figure au verso, sans rapport avec ces questions, est vraisemblablement ce dont l'inventaire a tiré son « [à partir de 1973] »

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  1. [15)] Cointégration sur un topos (et intégration pour certains morphismes de topos). Suite spectrale \[ \underline{\Pi}_{*}\Bigl(R\!\int_{*}(\xi)\Bigr) \longleftarrow R^{i}f_{*}\bigl(\underline{\Pi}_{j}(\mathcal{G})\bigr) \] pour un type d'homotopie relatif sur un topos \(X\) ?
  2. [16.] Soit \(A\) un contracteur non trivial. Alors
    LaTeX source
    \begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\hat{A} \arrow[r, bend left=20, "i_{A}"] & (\mathrm{Cat}) \arrow[l, bend left=20, "j_{A}"]
\end{tikzcd}
     induisent-ils des équivalences quasi-inverses l'une de l'autre pour les localisés pour les \underline{homotopismes} ? Est-il vrai que \(X\) dans \(\hat{A}\) cont. t.-l. sse \(A_{/X}\) l'est. Que si \(C\) dans Cat contractile si (et seulement si) \(A_{/C}\) \((= j_{A}(C))\) l'est ? Est-il vrai que pour \(X, Y\) dans \(\hat{A}\), […] \(i_{A}(X \times Y) \to i_{A}(X) \times i_{A}(Y)\) un homotopisme ? \underline{Variantes} commutatives de ces questions.
  3. [17)] Dold–Puppe, Whitehead etc

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feuillet mobile, déchiré en haut et perforé à gauche, écrit d'un trait plus rapide et raturé sur trois lignes pleines. Ce qui suit est le squelette lisible ; la ligne barrée du milieu n'a pas été rétablie

En haut, au-dessus de la déchirure : et […] s'il n'est […] équivalents : (etc.).

Un topos strictement tot. asphérique n'est pas […] modélisant, […] s'il n'est […] le provenant d'un \(\hat{A}\), i.e. c \(A\) n'est pas vide. \underline{Cat-test} ! Il suffit de trouver un cat. \(A\) avec […] produits finis, telles que […] de \(A\) p[ar] un seul […] et un seul, i.e. […] l'objet initial soit aussi […], i.e. il […]

[…] \(k\), à corps visible et […]

[…] pour […] que \(A\) est équiv. à \(\Delta_{0}\).

Mais si \(A\) est un contracteur, alors il est cat. […] ssi \(A \cong \Delta_{0}\).