Cote n° 108 · pages 1–5 · Lecture modernisée · Divers, liste questions : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Une chemise portant deux mots au crayon — « divers, liste questions » — et, dedans, dix-sept questions numérotées. Rien d'autre : pas une démonstration, pas un énoncé affirmatif, pas même une phrase complète dans plusieurs cas. Un inventaire de ce qui reste à faire.

Ce qui reste à faire, ici, concerne un projet dont il faut dire d'abord ce qu'il est. Depuis Poincaré, on sait attacher à un espace des invariants algébriques — des groupes qui comptent ses trous — et on sait que deux espaces très différents d'aspect peuvent avoir exactement les mêmes. On dit alors qu'ils ont le même type d'homotopie. La question naturelle est alors : de quoi le type d'homotopie est-il vraiment fait ? Si des objets aussi dissemblables qu'une sphère de caoutchouc et un modèle combinatoire fait de triangles recollés portent la même information, c'est que l'information ne tient ni au caoutchouc ni aux triangles. À quoi tient-elle ?

La réponse que ces pages poursuivent est catégorique. On ne cherche pas un meilleur espace : on cherche à caractériser les catégories qui savent porter les types d'homotopie. Une telle catégorie, munie de la classe de flèches qu'on décide d'y tenir pour des équivalences, est ce que Grothendieck appelle un modélisateur. Les triangles en donnent un ; les espaces topologiques en donnent un autre ; et la découverte qui organise tout le projet est que la catégorie des petites catégories en donne un aussi. Une catégorie, objet a priori sans aucune géométrie, suffit à porter un type d'homotopie.

Une fois cela vu, la question devient : lesquelles ? Quelles petites catégories \(A\) ont la propriété que les préfaisceaux sur \(A\) modélisent l'homotopie ? Ce sont les catégories test, et les questions de cette liste tournent presque toutes autour d'elles : est-ce que \(\Delta^{\circ}\) en est une, quelles propriétés d'exactitude a la catégorie homotopique, à quoi ressemble une fibration dans ce cadre, que devient la construction de Dold–Puppe.

La liste est écrite en deux langues — les dix premières questions en anglais, les sept dernières en français — et sans transition entre les deux. Elle a été écrite d'un trait, puis reprise : deux numéros sont intervertis par une flèche, plusieurs lignes sont ajoutées entre les lignes. C'est un état intermédiaire d'un travail, pris tel quel.

Keywords — modelizer, test category, weak equivalence, contractor, Dold-Puppe, cointegration, homotopy type of a topos

2–2

Le vocabulaire de la liste

Quatre notations reviennent partout et n'ont nulle part de définition sur la page. On les fixe ici une fois pour toutes ; elles valent pour tout ce qui suit.

Un modélisateur est un couple \((M, \underline{W})\) tel que le localisé \(\underline{W}^{-1}M\) soit équivalent à la catégorie homotopique des espaces. La liste emploie le mot sans le définir, et distingue en passant les modélisateurs élémentaires — ceux de la forme \(\hat{A}\) — des autres.1

2–2

Les dix premières questions

Exactitude et structure de modèles (1 à 5)

Les questions 1 et 2 portent sur les conditions d'asphéricité de type Čech et sur la saturation des classes \(\underline{W}\) et \(W_{A}\).2

La question 3 demande les propriétés homotopiques de \((\mathrm{Cat})\) et les suites de Dold–Puppe, puis, sur une ligne à part :

\((\mathrm{Cat})\) est-elle une catégorie de modèles ?

La question 5 pose la même chose pour \(\hat{A}\) : quand \(\hat{A}\) est-elle une catégorie de modèles (fermée) ?3 Et la question 4 demande les propriétés d'exactitude de \((\mathrm{Hot}_{\underline{W}})\) ainsi que celles des deux foncteurs canoniques \[ (\mathrm{Cat}) \longrightarrow (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}), \qquad \hat{A} \longrightarrow (\mathrm{Hot}_{\underline{W}}). \]

Ces trois questions sont une seule, posée trois fois : jusqu'où la machinerie de Quillen s'installe-t-elle sur les catégories qui nous intéressent ? Poser la question pour \((\mathrm{Cat})\) suppose déjà acquis que \((\mathrm{Cat})\) est un modélisateur, ce que la liste ne redémontre pas.

Une réponse, la seule de la liste (6)

La question 6 est la seule qui reçoive sa réponse sur la page même :

La catégorie \(\Delta^{\circ}\) est-elle une catégorie test, ou non ? non

Le mot est souligné.4 La question se poursuit par une liste de catégories cubiques et simpliciales voisines — \(\Delta_{f}\), et trois variantes d'un même signe que la page ne nomme pas —, puis par un alinéa qui dit seulement : cubical games.5

Invariants, intégration, réalisation (7 à 9)

La question 7 demande des invariants canoniques attachés à un modélisateur élémentaire \(\hat{A}\), puis : Dold–Puppe axiomatisé ? et le cas cubique.6

La question 8 est la plus riche des dix. Elle demande une notion d'intégrale de types d'homotopie — une limite projective, écrit-elle, avec la flèche vers la gauche — et sa notion duale ; puis, sur la même ligne, la structure d'une « catégorie d'homotopie » : la structure interne de \((\mathrm{Hot})\) et de ce qui lui ressemble, et une structure de contractibilité.7

La question 9 demande si les espaces topologiques forment un modélisateur — le mot est souligné sur la page —, quels foncteurs test prennent leurs valeurs dans les espaces, et ce qu'est la réalisation géométrique dans ce cadre. La question est moins naïve qu'elle en a l'air : dans le programme des modélisateurs, les espaces topologiques ne sont plus le point de départ mais un cas parmi d'autres, dont il faut vérifier qu'il entre bien dans le cadre.

Types pointés (10)

La question 10 demande ce que deviennent les objets pointés et les objets en groupes : si \((M, \underline{W})\) est un modélisateur, la catégorie \(\mathrm{Gr}(M)\) de ses objets en groupes est-elle un modélisateur pour les types d'homotopie pointés 0-connexes ? Et la liste ajoute : lié à Dold–Puppe ?8

3–4

Les sept questions françaises

Sans transition ni annonce, la liste passe au français à la question 11.

Fibrations (11 et 12)

La question 11 cherche une caractérisation des fibrations dans \((\mathrm{Cat})\). La définition visée est claire : un morphisme \(X' \to X\) tel que le changement de base le long de lui transforme les équivalences faibles en équivalences faibles. La question est de savoir si cette condition, lourde à vérifier telle quelle, se teste sur une famille restreinte — les inclusions \(e \to Y\) d'un objet final, ou bien les composées \(\Delta_{0} \to \Delta_{n} \to X\).9

La question 12 demande comment interpréter, dans l'axiomatique de Quillen, la condition qui vient d'être posée. Elle l'écrit sous forme de carré cartésien :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"]\\
Y' \arrow[r, "g"] & Y
\end{tikzcd}

et la condition est : si \(f\) est une fibration et \(g \in \underline{W}\), alors \(g' \in \underline{W}\). C'est la stabilité des équivalences faibles par changement de base le long d'une fibration — ce qu'on appelle aujourd'hui la propreté à droite d'une structure de modèles.10

Asphéricité et 0-connexité (13 et 14)

La question 13 demande si une catégorie asphérique dont le topos est 0-connexe l'est totalement, c'est-à-dire si la 0-connexité est stable par produit : le produit de deux objets 0-connexes est-il 0-connexe ? C'est le même passage du local au global que la question 11 posait pour les fibrations, et c'est le mécanisme qui distingue partout dans ce programme l'asphérique du totalement asphérique.11

La question 14 tient en une ligne : les \(\mathrm{Hom}\) dans \((\mathrm{Hot})\) et les variantes diagrammatiques.12

Cointégration (15)

La question 15 demande une théorie de la cointégration sur un topos, et d'intégration pour certains morphismes de topos, avec une suite spectrale de la forme \[ \underline{\Pi}_{*}\Bigl(R\!\int_{*}(\xi)\Bigr) \longleftarrow R^{i}f_{*}\bigl(\underline{\Pi}_{j}(\mathcal{G})\bigr) \] pour un type d'homotopie relatif sur un topos \(X\).13 C'est la question 8 — l'intégrale de types d'homotopie — reprise en français et transportée sur les topos, avec cette fois un candidat d'énoncé.

Contracteurs (16)

La question 16 est la plus développée de la liste, et la seule qui se subdivise. Soit \(A\) un contracteur non trivial, et soient les deux foncteurs

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\hat{A} \arrow[r, bend left=20, "i_{A}"] & (\mathrm{Cat}) \arrow[l, bend left=20, "j_{A}"]
\end{tikzcd}

Quatre questions s'enchaînent.

  1. Ces deux foncteurs induisent-ils des équivalences quasi-inverses l'une de l'autre entre les localisés par les homotopismes ?
  2. Est-il vrai qu'un \(X\) de \(\hat{A}\) est contractile si et seulement si \(A_{/X}\) l'est ?14
  3. Est-il vrai qu'une petite catégorie \(C\) est contractile si et seulement si \(A_{/C} = j_{A}(C)\) l'est ?
  4. Est-il vrai que pour \(X, Y\) dans \(\hat{A}\), la flèche canonique \(i_{A}(X \times Y) \to i_{A}(X) \times i_{A}(Y)\) est un homotopisme ?

Puis, souligné : variantes commutatives de ces questions.

Ces quatre questions ont un point commun, et c'est lui qui fait leur unité : ce sont toutes des questions de conservation. On demande si la contractilité, la contractilité encore, et le produit, se transportent intacts d'un côté à l'autre de l'adjonction. Ce que \(i_{A}\) et \(j_{A}\) préservent est exactement ce qui autorisera à travailler indifféremment dans \(\hat{A}\) ou dans \((\mathrm{Cat})\).

Et pour finir (17)

Cinq mots : Dold–Puppe, Whitehead, etc.

5–5

Le feuillet mobile

Un feuillet déchiré, perforé, écrit plus vite et raturé sur trois lignes pleines, ferme le dossier. Il porte un fragment d'argument dont le squelette est lisible et le détail non.15

Ce qui s'en dégage est ceci. Un topos strictement totalement asphérique n'est pas modélisant, sauf s'il provient d'un \(\hat{A}\). La question qui suit — avec un Cat-test souligné et suivi d'un point d'exclamation — est de savoir s'il suffit de trouver une catégorie \(A\) à produits finis vérifiant une condition d'unicité sur son objet initial. Et la dernière ligne, qui est la seule que la rature épargne entièrement, conclut :

Mais si \(A\) est un contracteur, alors il est […] si et seulement si \(A \cong \Delta_{0}\).

Un mot manque entre « il est » et la condition.16

Notes

  1. La question 10 emploie aussi « strict », entre parenthèses et suivi d'un point d'interrogation, sans le définir davantage. On ne lui donne pas de sens ici. ↩
  2. Une classe d'équivalences faibles est saturée si toute flèche devenue inversible dans le localisé y était déjà. C'est la condition minimale pour que la classe soit déterminée par le localisé qu'elle produit ; la liste la pose comme une question, ce qui suppose qu'elle n'allait pas de soi. ↩
  3. Les numéros 4 et 5 sont intervertis sur la page — le 5 est écrit d'abord — et une flèche tracée dans la marge rétablit l'ordre. On suit la flèche. Le mot « fermée » traduit closed au sens de Quillen : une structure de modèles dont deux des trois classes déterminent la troisième. ↩
  4. La liste ne dit pas pourquoi. On ne comble pas : un contre-exemple ou un argument serait le nôtre, et cette édition n'en fabrique pas. ↩
  5. Le signe en question est un ovale épais tracé d'un seul trait. L'alinéa suivant parle de jeux cubiques, ce qui invite à y lire la catégorie cubique \(\square\), et c'est ainsi qu'on l'a rendu dans la transcription ; mais la page ne le nomme pas et l'identification reste la nôtre. Les trois variantes portent respectivement un exposant, un tilde et un indice \(f\), sans qu'on sache ce qu'ils distinguent. ↩
  6. Un mot barré précède « invariants » et se lit vraisemblablement cohomology ; la rature est nette et on ne le compte pas dans l'énoncé. ↩
  7. Ces trois derniers mots sont ajoutés entre les lignes, d'un trait plus fin. C'est le seul endroit de la liste où figure la notion de contractibilité, qui reparaîtra pourtant en français à la question 16 sous le nom de contracteur. ↩
  8. La fin de la question court jusqu'au bord de la feuille et une rature en recouvre une partie ; la transcription le signale. Le rapport à Dold–Puppe est en effet celui qui rend la question naturelle — la correspondance de Dold–Kan identifie objets simpliciaux abéliens et complexes de chaînes — mais la page ne développe pas et l'on n'en dit pas plus. ↩
  9. Une abréviation de la page se lit il f. et s., c'est-à-dire « il faut et il suffit », et la transcription la donne comme incertaine. La lecture retenue est celle qui rend la phrase grammaticale et l'argument cohérent ; une autre lecture changerait la force de l'énoncé, pas son objet. ↩
  10. Ce nom est le nôtre. La liste écrit la condition et demande son interprétation ; elle ne la baptise pas, et rien n'indique qu'elle ait eu ce nom à ses yeux. ↩
  11. C'est la question la plus surchargée de la liste : trois mots au moins y sont écrits l'un sur l'autre au début, un test est barré au profit d'un aspherical, et la parenthèse finale est reprise deux fois. La transcription donne ce qui se lit. L'énoncé restitué ici est donc plus net que la page, et c'est un choix : une question posée trois fois de trois manières se laisse résumer, mais le résumé est nôtre. ↩
  12. Le premier mot est souligné et se lit Hom sans certitude absolue ; la transcription le marque. ↩
  13. La formule est écrite très vite et plusieurs de ses indices sont ambigus : l'écriture ne distingue pas nettement le \(i\) du \(j\), et le rapport entre l'étoile du membre de gauche et les deux indices de droite n'est pas explicité. On la reproduit telle qu'elle se lit, sans harmoniser les indices, parce qu'une suite spectrale dont on aurait « corrigé » les degrés ne serait plus la sienne. Elle est à lire comme une forme visée, non comme un énoncé démontré. ↩
  14. Une abréviation suit « cont. » et se lit t.-l., sans qu'on sache la développer ; la transcription la marque incertaine. L'énoncé donné ici est celui que le reste de la phrase impose. ↩
  15. La transcription y compte une dizaine de passages illisibles sur une quinzaine de lignes. Ce qui suit ne restitue que ce qui se lit ; on ne comble aucun des blancs, et l'on n'en tire aucune conséquence. ↩
  16. Le mot illisible qualifie \(A\) et commence par ce qui pourrait être « cat. » suivi d'un adjectif ; on ne le devine pas. \(\Delta_{0}\) est la catégorie ponctuelle, de sorte que l'énoncé dit, quelle que soit la propriété manquante, que seul le contracteur trivial la possède — ce qui est bien un énoncé de rigidité, et qui répond à la question 16 dans le sens négatif pour le cas dégénéré. Cette lecture est la nôtre. ↩