Cote n° 107 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Closed models [notes postérieures à PS ?] : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

Formalisme des \(X \otimes M\), \(X^{M}\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_A\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_B\) relatif

titre de sa main, à l'encre, sur la page 1, écrit par-dessus l'en-tête d'un listing ; il continue : « relatif : […] définitions » et, souligné, « produits ». Le listing de cette page est daté « 06/04/82 » ; celui de la page 19, du même travail, « 04 JUIN 82 » : les feuilles de ce lot ne sont pas antérieures à juin 1982

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toute la page est annulée par deux longs traits obliques ; elle est transcrite telle qu'elle se lit. Elle est en anglais

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & A \times \Delta \arrow[dl, "p_{\Delta}"'] \arrow[dr, "p_A"] & \\
A \arrow[dr, "q_A"'] & & \Delta \arrow[dl, "q_{\Delta}"] \\
 & e &
\end{tikzcd}

le sommet de gauche est de lecture douteuse : \(A\)

\[ X_*, Y_* \in \mathrm{Ob}\, \underbrace{(A \times \Delta)^{\wedge}} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, A^{\wedge}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \Delta^{\wedge}) \] \[ \begin{cases} \mathrm{Hom}_{A \times \Delta}(X_*, Y_*) = \Gamma_{A \times \Delta}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{A \times \Delta}(X_*, Y_*)\bigr)\\ \underline{\mathrm{Hom}}_A(X_*, Y_*) = p_{\Delta*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times \Delta}(X_*; Y_*)\\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(X_*, Y_*) = p_{A*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times \Delta}(X_*, Y_*) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} p_{A*} X_* = (\Gamma_A X_n)_n\\ p_{\Delta*} X_* = X_0 \end{cases} \qquad (q_{\Delta} p_A)_*(X_*) = (q_A p_{\Delta})_* X_* = \Gamma_A X_0 \] ces formules, en haut à droite, sont isolées du reste par un trait anguleux ; dans la première, le \(X_*\) est repassé d'une rature, et le dernier indice, au bord de la feuille, est de lecture douteuse

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & (A \times \Delta)^{\wedge} \supset s\underline{A} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, A) \arrow[dl, "p_{\Delta*}"'] \arrow[dr, "p_{A*}"] & \\
A^{\wedge} \arrow[dr, "q_{A*}"'] & & \Delta^{\wedge} \arrow[dl, "q_{\Delta*}"] \\
 & (\mathrm{Ens}) &
\end{tikzcd}

devant \((A \times \Delta)^{\wedge}\), un mot raturé, […]

[…] What about \(\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_A(L, X_n)\bigr)_n \overset{?}{\in} (A \times \Delta)^{\wedge}\), \(\bigl(\mathrm{Hom}_A(L, X_n)\bigr)_n \in \Delta^{\wedge}\) for given \(L \in \mathrm{Ob}\, A^{\wedge}\) (more generally, \(L \in \mathrm{Ob}\, A^{\wedge}\) ?)les exposants des deux \(A\) sont surchargés ; le second est suivi d'un trait oblique et d'un point d'interrogation: the second is the transform of the first by \(p_{A*}\) (\({}= \Gamma_A\) applied componentwise). I contend that if we identify \(L\) with the constant complex with value \(L\), i.e. with \(p_{\Delta}^{*}(L)\), we get \[ \begin{aligned} &\text{I}\quad \bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_A(L, X_n)\bigr)_{n \in \mathbb{N}} = \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times \Delta}\bigl(p_{\Delta}^{*}(L), X_*\bigr) &&\text{hence, by applying } p_{A*}\\ &\text{II}\quad \bigl(\mathrm{Hom}_A(L, X_n)\bigr)_{n \in \mathbb{N}} = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}\bigl(p_{\Delta}^{*}(L), X_*\bigr) \end{aligned} \] devant \(p_{A*}\), un premier indice biffé, \(\Gamma_{A \times \Delta}\) (lecture douteuse)

To get the first one, we apply the definition of \(\underline{\mathrm{Hom}}\), we have to get the \(n\)-th component of the second hand side; […] This is justified easily checked (see below) to bela phrase s'arrête là. « justified » est ajouté au-dessus de la ligne et relié par une boucle

dans la marge gauche, écrits en travers (la feuille tournée d'un quart de tour), des fragments sans lien apparent avec le texte : « A. », « i.e. », « I », \(\sigma^{\circ} \longleftrightarrow \sigma\) ; \(M(b)\) ; \(X(a, b) = M(b)\) ; une ébauche de flèches \(\{i_0\} \to I\), \(\underline{\mathrm{Hom}}(a_1, a_0) \to\) […], \(u \mapsto u(i_0)\), et un signe raturé

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en haut, au milieu, la lettre « a »

\((A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A^{\wedge})\).

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & A \times B \arrow[dl, "p_B"'] \arrow[dr, "p_A"] & \\
A \arrow[dr, "q_A"'] & & B \arrow[dl, "q_B"] \\
 & e &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=large, nodes={font=\small}]
\underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge}) \simeq \arrow[d, "{X' \mapsto \Gamma_B \circ X'}"'] & (A \times B)^{\wedge} \arrow[dl, "(p_B)_*"] \arrow[dr, "(p_A)_*"'] & \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A^{\wedge}) \arrow[d, "{X'' \mapsto \Gamma_A \circ X''}"] \\
\underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, (\mathrm{Ens})) \simeq A^{\wedge} \arrow[dr, "{q_{A*} = \Gamma_A}"'] & & B^{\wedge} = \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, (\mathrm{Ens})) \arrow[dl, "{q_{B*} = \Gamma_B}"] \\
 & (\mathrm{Ens}) &
\end{tikzcd}

à droite de la ligne du haut, entre crochets : \(\longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\), la flèche coupée d'un petit trait vertical à crochets, de sens incertain. Sous les deux flèches du bas : \(q_{A*} = \Gamma_A \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_A(e_{A^{\wedge}}, \cdot)\), devant lequel une lettre biffée, et \(q_{B*} = \Gamma_B \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_B(e_{B^{\wedge}}, \cdot)\)

\[ \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}_B(X, Y) &\overset{\text{déf}}{=} p_{A*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}(X, Y)\\ \underline{\mathrm{Hom}}_A(X, Y) &\overset{\text{déf}}{=} p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}(X, Y) \end{aligned} \] \(\mathrm{Hom}(X, Y) =\) donc \[ \mathrm{Hom}(X, Y) \simeq \Gamma_A\, \underline{\mathrm{Hom}}_A(X, Y) \simeq \Gamma_B\, \underline{\mathrm{Hom}}_B(X, Y) \] dans la dernière formule, l'indice du premier \(\Gamma\) est surchargé ; on lit \(A\)

\(A\) et \(B\) deux petites catégories, on s'intéresse surtout aux deux \((A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A^{\wedge})\). On […] […] […] les diagrammes ci-dessus quelques propriétés des foncteurs […] divers. Pour \(b \in B\), on a un foncteur \[ \begin{array}{ccc} \Gamma''_b : (A \times B)^{\wedge} & \longrightarrow & A^{\wedge}\\ \downarrow & & \|\\ \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A^{\wedge}) & \longrightarrow & A^{\wedge}\\ X'' & \longmapsto & X''(b) \end{array} \qquad \text{déduit par } (A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B) \] devant \(\Gamma''_b\), un signe biffé ; sur la flèche du haut, un indice biffé ; à droite de \(X''(b)\), un mot biffé, […]. Dans la dernière formule, on lit \(B\) et non \(B^{\wedge}\)

Je dis que l'on a \[ \Gamma''_b(X) \simeq p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_A^{*}(b), X\bigr) \qquad \text{fonctoriel en } b, X \] \[ \bigl(\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_A(p_A^{*}(b), X)\bigr), \] ce qui signifie aussi que l'on a \[ \begin{aligned} \underset{X(a, b)}{\underset{\|}{\mathrm{Hom}_{A^{\wedge}}\bigl(a, \Gamma''_b(X)\bigr)}} &\simeq \mathrm{Hom}_{A^{\wedge}}\bigl(a, p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(b), X)\bigr) &&\text{fonctoriel en } a, X, b\\ &\simeq \mathrm{Hom}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_B^{*}(a), \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(b), X)\bigr)\\ &\simeq \mathrm{Hom}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_B^{*}(a) \times p_A^{*}(b), X\bigr) &&\text{OK} \end{aligned} \] plusieurs indices \(A\), \(B\) de ces lignes sont surchargés, l'un récrit sur l'autre ; on donne la lecture finale

le paragraphe qui suit est annulé par trois traits obliques ; il est transcrit tel qu'il se lit

Symétriquement, on a des \(\Gamma'_a\), \(a \in A\) \[ \begin{array}{ccc} \Gamma'_a : (A \times B)^{\wedge} & \longrightarrow & B^{\wedge}\\ \wr & &\\ \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge}) & &\\ X' & \longmapsto & X'(a) \end{array} \] et aussi \[ \Gamma'_a(X) \simeq p_{A*}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(p_B^{*}(a), X)\bigr) \]

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en haut, au milieu du bord perforé, la lettre « b »

On […] […] […] […] […] […] […] On a une troisième interprétation du foncteur \(\Gamma''_b\), en \(\underline{\mathrm{Hom}}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_A^{*}(b), \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(b), X)\bigr)\) suivant \((A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge})\) et considérant […] \[ \varepsilon_b : B^{\wedge} \to \mathrm{Ens}, \qquad \varepsilon_b(G) = \mathrm{Hom}(b, G) = G(b) \] la première ligne est biffée et récrite au-dessus ; la nouvelle lecture est douteuse

alors \(\Gamma''_b(X')\) \((a)\) \(= \varepsilon_b \circ X'\).

Ceci se généralise au cas où on se donne \(M \in \mathrm{Ob}\, \hat{B}\), quand on considère \[ \varepsilon_M : B^{\wedge} \to \mathrm{Ens}, \qquad G \mapsto \varepsilon_M(G) = \mathrm{Hom}(M, G) \] considérons donc, pour \(X'' : A^{\circ} \to B^{\wedge}\) variable sous \(B^{\wedge}\), un astérisque \[ \Gamma''_M : \underset{\underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge})}{\underset{\cap}{X''}} \longmapsto \varepsilon_M \circ \Gamma''_M \] on lit bien \(\varepsilon_M \circ \Gamma''_M\) à droite, et non \(\varepsilon_M \circ X''\)

Je dis qu'on a, canoniquement, \(X \in \mathrm{Ob}\,(A \times B)^{\wedge}\) variable \[ \Gamma''_M(X) \simeq p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_A^{*}(M), X\bigr) \qquad \text{fonctoriel en } M, X \] Pour le voir, considérons il faut trouver \[ \begin{array}{ccc} \mathrm{Hom}_{A^{\wedge}}\bigl(a, \Gamma''_M(X)\bigr) & \simeq & \mathrm{Hom}_{A^{\wedge}}\bigl(a, p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(M), X)\bigr)\\ \| & & \wr\\ \Gamma''_M(X)(a) & & \mathrm{Hom}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_B^{*}(a), \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(M), X)\bigr)\\ \| & & \wr\\ \mathrm{Hom}_{B^{\wedge}}\bigl(M, X''(a)\bigr) & & \mathrm{Hom}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_B^{*}(a) \times p_A^{*}(M), X\bigr)\\ \wr & &\\ p_{A*}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(p_B^{*}(a), X)\bigr) & &\\ \| & &\\ \mathrm{Hom}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_A^{*}(M), \underline{\mathrm{Hom}}(p_B^{*}(a), X)\bigr) & &\\ \| & &\\ \mathrm{Hom}_{(A \times B)^{\wedge}}\bigl(p_A^{*}(M) \times p_B^{*}(a), X\bigr) & & \end{array} \] fonct. en \(M, X, a\)ces mots sont écrits à droite de la première ligne colonne de gauche : devant \(\Gamma''_M(X)(a)\), un « Hom( » biffé ; dans \(\mathrm{Hom}_{B^{\wedge}}(M, X''(a))\), le \(X\) est surchargé, et sous \(X''(a)\) une flèche \(\longmapsto\) porte un signe \(=\) ; le terme \(p_{A*}(\ldots)\) est raturé et de lecture douteuse. Une double flèche courbe, marquée « OK ! », relie la dernière ligne de gauche à la dernière de droite

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en haut, au milieu du bord perforé, la lettre « c »

Nous nous intéresserons maintenant à des propriétés de stabilité […] des sous-catégories \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) de \((A \times B)^{\wedge}\), et \(A\) de \(A^{\wedge}\).au-dessus du mot biffé, un mot ajouté, lu pleines Le foncteur \(p_{B*}\) \(\bigl(= (\Gamma_B)^{\circ}\bigr)\) […] \((A \times B)^{\wedge}\) \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) dans \(A\), dès que \(B\) admet un objet final \(e_B\) (car il s'identifie alors à \(\Gamma''_{e_B}\)). Donc on trouve

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A) \arrow[dl] \arrow[dr, "(\Gamma_A)^{\circ}"] & \\
A \arrow[dr, "\Gamma_A"'] & & B^{\wedge} = \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, (\mathrm{Ens})) \arrow[dl, "\Gamma_B"] \\
 & \phantom{(\mathrm{Ens})} &
\end{tikzcd}

le sommet de gauche est un \(A\) dont l'exposant a été noirci d'une rature — sans doute un \(A^{\wedge}\) corrigé en \(A\). Les deux flèches du bas convergent vers un point où aucun terme n'est écrit

NB On pense au cas où \(B = \Delta\) p. ex. (cat. des simplexes-types) d'où \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A) = sA\) objets simpliciaux de \(A\).

Je […] […]

On On s'intéressera […] au cas où \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) est stable par \[ \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(M), X) \overset{\text{déf}}{=} X^{M} \qquad \text{pour } \forall\, M \in \mathrm{Ob}\, B^{\wedge} \] (moyennant év[entuellemen]t des conditions de finitude) (alors que \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) ne contient pas nécessairement les \(p_A^{*}(M)\) …\({}^{*}\)).

Il suffit que \(A\) soit stable par limites du type requis […] pour représenter \(M\) (en termes de foncteurs représentables). sous la ligne, un mot […] suivi de \(\varprojlim\) souligné, relié par un trait courbe à la ligne suivante, et une flèche \(\longleftarrow\) sous « limites » ; un double trait vertical marque ces deux lignes dans la marge gauche

Notons que l'on a \[ \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}_B(X, Y^{M}) &\simeq p_{A*}\, \underbrace{\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(X, \underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(M), Y)\bigr)}\\ &\simeq p_{A*}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(X \times p_A^{*}(M), Y)\bigr)\\ &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_B(X \times p_A^{*}(M), Y) \end{aligned} \]

\({}^{*}\) Pour contenir les \(p_A^{*}(M)\), il faudrait que \(\forall\, b\) […] (quelconque), le foncteur constant sur \(A\) de valeur \(M(b)\) soit représentable. Mais cela signifie que \(M(b)\) est […] […] et \(A\) a objet final. Donc […] \(M\) objet final de \(B^{\wedge}\), et \(A\) admet objet final !!note de bas de page, serrée sur trois lignes contre le bord perforé

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en haut, au milieu du bord perforé, la lettre « d »

donc \[ \underline{\mathrm{Hom}}_B(X, Y^{M}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_B(\underbrace{X \times p_A^{*}(M)}, Y) \] sous l'accolade, une notation raturée à l'encre épaisse, où se devine \(X \otimes M\)

Formule valable pour \(\forall\, X, Y \in (A \times B)^{\wedge}\), mais si, comme nous nous intéressons à cette formule pour \(X, Y \in \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\), […] […] […] y trouver aussi \(Y^{M}\), \(X \otimes M\) dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\). On a vu des conditions naturelles pour qu'il en soit ainsi pour \(Y^{M}\) (existence de certaines \(\varprojlim\) dans \(A\), à l'exclusion des \(\underline{\mathrm{Hom}}\) internes dans \(A\)), il reste à regarder pour \(X \times p_A^{*}(M)\), qui en tant que foncteur \(B^{\circ} \to A^{\wedge}\) s'identifie à \[ b \longmapsto \underbrace{X(b) \times M(b)} = \Bigl\{ a \longmapsto \underbrace{\mathrm{Hom}_A\bigl(a, X(b)\bigr)} \times M(b) \Bigr\} \] \[ X(b)(a) = X(a, b) \] la dernière égalité est écrite sous l'accolade de droite, qui porte sur \(\mathrm{Hom}_A(a, X(b))\) ; devant ce \(\mathrm{Hom}\), un \(X\) biffé

Comme tel, il n'est pratiquement jamais représentable. Mais supposons que dans \(A\) les sommes existent (sommes finies suffisent si les \(M(b)\) sont à valeurs finies) et définissons \[ X \otimes M \in \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A) \quad \text{par} \] \[ (X \otimes M)(b) = \coprod^{A}_{\sigma \in M(b)} X(b) \quad \Bigl( \xrightarrow[\;i_b\;]{\;\text{nat}\;} \coprod^{A^{\wedge}}_{\sigma \in M(b)} X(b) = \bigl(X \times p_A^{*}(M)\bigr)(b) \Bigr) \] le membre de gauche est surchargé, et un premier terme du membre de droite est biffé ; l'indice sous la flèche est lu \(i_b\). Les deux sommes portent en exposant la catégorie où elles sont prises, \(A\) et \(A^{\wedge}\)

alors on a, pour \(X, Y\) dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) \[ \underline{\mathrm{Hom}}_B(X, Y^{M}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_B(X \otimes M, Y) \qquad \text{fonctoriel} \]

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feuillet tenu en largeur ; tout est écrit sur la moitié droite. En haut, au milieu, la lettre « e »

Récapitulationle titre, souligné, est en haut à droite

\begin{tikzcd}
 & (A \times B)^{\wedge} \arrow[dl, "p_{B*}"'] \arrow[dr, "p_{A*}"] & \\
A^{\wedge} \arrow[ur, bend left=50, "p_B^{*}"] \arrow[dr, "q_{A*} = \Gamma_A"'] & & B^{\wedge} \arrow[ul, bend right=50, "p_A^{*}"'] \arrow[dl, "q_{B*} = \Gamma_B"] \\
 & (\mathrm{Ens}) &
\end{tikzcd}

\[ \begin{aligned} X(a, b) &= \Gamma_{A \times B}\, \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_B^{*}(a) \times p_A^{*}(b), X\bigr)\\ &= \Gamma_{A \times B}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}(a \boxtimes b, X)\bigr) \end{aligned} \qquad \begin{cases} = \Gamma_A\, p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}} \\ = \Gamma_B\, p_{A*}\, \underline{\mathrm{Hom}} \end{cases} \] au-dessus de \(p_B^{*}(a)\) et de \(p_A^{*}(b)\), deux accolades portant « identifié à » et « identifiés » ; devant \(a \boxtimes b\), un terme raturé ; devant le \(\underline{\mathrm{Hom}}\) de la première ligne, un premier « Hom » biffé. Sous la seconde ligne, un signe \(\simeq\) amorcé, sans suite

\[ {}^{g}X(a) = p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}({}^{g}a, X) \qquad {}^{d}X(b) = p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}({}^{d}b, X) \] l'indice du premier \(p\) est surchargé ; on lit \(B\) dans les deux formules, alors que plus bas \({}^{g}X(L)\) s'écrit avec \(p_{A*}\)

\(\underline{\mathrm{Hom}}(L \boxtimes M, X) = X(L, M)\) \[ \begin{aligned} X(L, M) &= \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}(L \boxtimes M, X) = \Gamma_{A \times B}\, \underline{\mathrm{Hom}}(L \boxtimes M, X)\\ {}^{g}X(L) &= p_{A*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}({}^{g}L, X) = \underline{\mathrm{Hom}}_B({}^{g}L, X)\\ {}^{d}X(M) &= \underbrace{p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A \times B}({}^{d}M, X)}_{X^{M}} = \underline{\mathrm{Hom}}_A({}^{d}M, X) \end{aligned} \] \[ \underline{\mathrm{Hom}}_B(X, Y^{M}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_B(X \otimes M, Y) \]

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en haut, au milieu du bord perforé, la lettre « f »

\[ \begin{aligned} (A \times B)^{\wedge} &\overset{\text{déf}}{=} \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((A \times B)^{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(A^{\circ} \times B^{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr)\\ &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, B^{\wedge}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\wedge\circ}, B^{\wedge})\\ &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A^{\wedge}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(B^{\wedge\circ}, A^{\wedge})\\ &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!!}\bigl((A^{\wedge})^{\circ} \times (B^{\wedge})^{\circ}, \mathrm{Ens}\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}\bigl((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\circ}, \mathrm{Ens}\bigr) \end{aligned} \] dans la deuxième ligne, \(B^{\wedge}\) est récrit sur un premier \((\mathrm{Ens})\) et suivi d'un signe raturé

le signe ! signifie : foncteurs commutant aux \(\varprojlim\) quelconques ! le signe !! : et le même, contigus […] […] des variables séparément comme […] […] et un seul signe ! relatif : \((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\circ}\)

Si \(X \in (A \times B)^{\wedge}\), le foncteur […] correspondant \[ (L, M) \longmapsto X(L, M) \quad : \underset{(A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\circ}}{\underbrace{A^{\wedge\circ} \times B^{\wedge\circ}}} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \] est donné par \[ X(L, M) = \mathrm{Hom}(L \boxtimes M, X) \quad \text{où} \quad L \boxtimes M = p_B^{*}(L) \times p_A^{*}(M) . \] après le premier membre, un « \(= \mathrm{Hom}\) » biffé ; le signe entre \(p_B^{*}(L)\) et \(p_A^{*}(M)\) est surchargé, un \(\boxtimes\) récrit en produit. Au début de la ligne qui précède, dans \((L, M)\), le \(L\) est récrit sur un \(X\)

Proposition« Proposition », souligné, est écrit au-dessus de Corollaire, biffé Le foncteur \((L, M) \longmapsto L \boxtimes M\) de \((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\circ}\) dans \((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\wedge}\) est pleinement fidèle, il s'identifie au foncteur qui associe à tout objet \((L, M)\) de \(A^{\wedge} \times B^{\wedge}\) le foncteur Can. \((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\circ} \to \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\circ},\) contravariant qu'il représente sur \(A^{\wedge} \times B^{\wedge}\) qu'il représente, i.e. à la fin de la première ligne, au-dessus de \((A \times B)^{\wedge}\) raturé, est récrit \((A^{\wedge} \times B^{\wedge})^{\wedge}\) ; au-dessus de « qui associe », « tout » et « objet » sont ajoutés \[ (L \boxtimes M)(L', M') \simeq \mathrm{Hom}_{A^{\wedge} \times B^{\wedge}}\bigl((L', M'), (L, M)\bigr) = \mathrm{Hom}(L', L) \times \mathrm{Hom}(M', M) \] \[ \overset{\text{déf}}{\|} \qquad \mathrm{Hom}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M) \] le dernier terme de la première ligne est serré contre le bord de la feuille et surchargé ; « \((M', M)\) » est une lecture douteuse

Bien sûr, par fonctorialité on a \(\mathrm{Hom}(L', L) \times \mathrm{Hom}(M', M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M)\)

En effet, la formule est vraie par définition de \(L \boxtimes M\) si […] \(L' = a \in \mathrm{Ob}\, A\), \(M' = b \in \mathrm{Ob}\, B\), et […] D'autre part, pour \(L, M\) fixés, et \(L', M'\) variables, les deux membres, comme foncteurs en \(L', M'\), transforment \(\varinjlim\) en \(\varprojlim\) comme il […] […] et il prolonge dans les deux variables.les signes \(\varinjlim\) et \(\varprojlim\) sont écrits « lim » souligné d'une flèche ; les deux lignes biffées qui précèdent la fin de la phrase sont de lecture très douteuse

Corollaire \(\underline{\mathrm{Hom}}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(L', L) \boxtimes \underline{\mathrm{Hom}}(M', M)\) devant \(L \boxtimes M\), une lettre raturée à l'encre épaisse

Dém. Il suffit de prendre les \(\mathrm{Hom}(a \boxtimes b, -)\) pour \((a, b) \in \mathrm{Ob}\, A \times B\) \[ \begin{array}{c} \mathrm{Hom}_{A \times B}\bigl(\underbrace{(a \boxtimes b) \times (L' \boxtimes M')}_{(a \times L') \boxtimes (b \times M')}, L \boxtimes M\bigr)\\ \|\\ \mathrm{Hom}_A(a \times L', L) \times \mathrm{Hom}_B(b \times M', M) \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \mathrm{Hom}_A\bigl(a, \underline{\mathrm{Hom}}(L', L)\bigr) \times \mathrm{Hom}_B\bigl(b, \underline{\mathrm{Hom}}(M', M)\bigr)\\ \|\\ \mathrm{Hom}_A(a \times L', L) \times \mathrm{Hom}_B(b \times M', M) \end{array} \] sur la page, les deux colonnes sont côte à côte ; on les donne l'une sous l'autre. Colonne de gauche : un premier argument \(a \times L' \boxtimes M'\) est biffé, et récrit au-dessus \((a \boxtimes b) \times (L' \boxtimes M')\), avec l'accolade en dessous. Un signe \(\|\) en tête de colonne relie le tout à la ligne « Corollaire » ; la colonne de droite descend de même de \(\underline{\mathrm{Hom}}(L', L) \boxtimes \underline{\mathrm{Hom}}(M', M)\). Au pied de la colonne de droite, « ok »

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écrit sur la moitié libre d'une feuille de listing ; pas de lettre de page. Formules isolées, sans texte suivi

\[ \begin{aligned} (X^{\Delta_n})_0 &= p_{B*}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(p_A^{*}(\Delta_n), X)\bigr) = X_n\\ (X^{\dot{\Delta}_n})_0 &= p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(\dot{\Delta}_n, X) = \varprojlim\,(X_{n-1}, X_{n-2}\ \ldots) \end{aligned} \] dans la première ligne, devant \(p_{B*}\), un « \(\underline{\mathrm{Hom}}_B\) » biffé ; le \(X\) de \(X_n\) est surchargé ; dans la seconde, les arguments de la limite sont de lecture douteuse

\[ X^{\Delta_n} \longrightarrow X^{\dot{\Delta}_n} \underset{Y^{\dot{\Delta}_n}}{\times} Y^{\Delta_n} \qquad\qquad X_n \longrightarrow (X^{\dot{\Delta}_n})_0 \underset{(Y^{\dot{\Delta}_n})_0}{\times} Y_n \]

à droite, \((\mathrm{Cosk}_{n-1} X)_n\), suivi d'un terme biffé ; un petit triangle hachuré dont les trois côtés sont marqués \(x_1\) ; plus bas, « \(A_n = A\) » au-dessus d'un « \(A\) », et trois traits parallèles joignant \(X_{n-2}\) à \(X_{n-1}\)

\[ \underline{\mathrm{Hom}}(\dot{\Delta}_n, a) \qquad \underline{\mathrm{Hom}}(M, a) \overset{??}{\Longrightarrow} a \] \[ \mathrm{Hom}(X \times M, a) \simeq \mathrm{Hom}(X, -) \] \[ \mathrm{Hom}\bigl(\alpha \boxtimes (\beta \times M), \alpha \boxtimes e_B\bigr) \simeq \mathrm{Hom}(\alpha \boxtimes \beta, \alpha \boxtimes e_B) \] la dernière formule touche le bord de la feuille ; devant le second \(\alpha\) du membre de gauche, une lettre biffée ; le second argument du membre de droite est de lecture douteuse. Dessous, un « Hom » et un « \(L\) » isolés, sans suite

15

en haut, au milieu du bord perforé, la lettre « g »

Corollaire \(p_B^{*} : A^{\wedge} \to (A \times B)^{\wedge}\) commute aux \(\underline{\mathrm{Hom}}\) (et de symétrique pour \(p_A^{*}\)).

Il suffit de prendre \(M' \simeq e_{B^{\wedge}}\) \(M =\) \(M' = M = e_{B^{\wedge}}\). On trouve […] \[ \underline{\mathrm{Hom}}(L' \boxtimes M', L \boxtimes e_{B^{\wedge}}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(L', L) \boxtimes e_{B^{\wedge}} \] devant \(L \boxtimes e_{B^{\wedge}}\), une lettre surchargée

En particulier, faisant \(L' = e_{A^{\wedge}}\) et changeant \(M'\) en \(M\) \[ \underline{\mathrm{Hom}}(e_{A^{\wedge}} \boxtimes M, L \boxtimes e_{B^{\wedge}}) \simeq L \boxtimes e_{B^{\wedge}} \] sous le \(\simeq\), une petite flèche \(\leftarrow\) ; dans « \(L' = e_{A^{\wedge}}\) », le \(e\) est récrit sur une lettre raturée

— ce qui correspond à la […] flèche […] flèche canonique \[ \underline{\mathrm{Hom}}(P, Q) \longleftarrow Q \] valable dans toute catégorie, […] produits […] deux mots au-dessus de la ligne sont de lecture douteuse ; sous « catégorie », deux lignes biffées, la première lue produits

Dans la notation \(X^{M}\), si on identifie \(M\) à \(e_{A^{\wedge}} \boxtimes M = p_A^{*}(M)\), et \(L\) à \(L \boxtimes e_{B^{\wedge}} \simeq p_B^{*}(L)\), on trouve donc \[ L^{M} = L \qquad \text{pour } L \in A^{\wedge},\ M \in \mathrm{Ob}\, B^{\wedge} \] dans « \(L \boxtimes e_{B^{\wedge}}\) », le \(L\) est récrit sur une autre lettre ; dans « \(L \in A^{\wedge}\) », un « Ob » est raturé

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écrit sur la moitié libre d'une feuille de listing ; pas de lettre de page. Un long trait oblique traverse toute la page, du haut au milieu jusqu'au listing : la page semble annulée ; elle est transcrite telle qu'elle se lit. Ici \(M\) désigne une catégorie, non un préfaisceau

\[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\wedge}, M) \] sous \(M\) : « stable par \(\varinjlim\) », écrit sur deux lignes. À droite : « ! = […] commutant aux \(\varinjlim\) », « lim » souligné d'une flèche vers la droite

\[ \begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, M) &\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\circ\wedge}, M) \simeq \Bigl(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}\bigl(\underbrace{A^{\circ\wedge\circ} = A^{\vee\circ}}, M^{\circ}\bigr)\Bigr)^{\circ}\\ \wr\quad &\\ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M^{\circ})^{\circ} &\simeq \bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\wedge}, M^{\circ})\bigr)^{\circ} = \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(A^{\wedge\circ}, M) \end{aligned} \] sous l'accolade : « catégorie stable par \(\varprojlim\) » ; le \(M^{\circ}\) de la première ligne est récrit sur un \(M\), et une parenthèse est raturée après lui

\(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}(A^{\vee\circ}, M^{\circ}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}_{!}(A^{\wedge}, M^{\circ})\) cette formule, encadrée, est barrée de plusieurs traits obliques ; l'exposant du second \(\underline{\mathrm{Hom}}\) est surchargé

\[ \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, M)^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{1}, M^{\circ}) \] \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\circ\wedge}, M) = \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, M) \] donc \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M^{\circ}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\wedge}, M^{\circ}) \] dans la quatrième formule, l'exposant de \(A\) est lu, avec doute, « 1 »

Question des \(\varinjlim\) filtrantes dans Hot

titre de sa main, seul en haut d'une feuille vierge (page 17) : « Question des lim filtrantes dans Hot », « lim » souligné. Il annonce les pages en anglais qui suivent, et celles du lot 2

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en haut, cerclé, « a » : sa lettre de page. Cette suite en anglais (a, b ici ; puis, au lot 2, e à la page 22 et d à la page 24) est une autre suite que celle, en français, des pages 3 à 15

Filtering limits exist in \((\mathrm{Hot})\)?

We would like moreover that the the canonical functors \[ (\mathrm{Cat}) \longrightarrow \mathrm{Hot}(\underline{W}), \qquad A^{\wedge} \longrightarrow \mathrm{Hot}_A \simeq \mathrm{Hot}(\underline{W}) \quad (A \text{ a test category}) \] should commute with such limits. The first case is reduced to the second with \(A = \Delta\), using the standard test-functor \(\Delta \xrightarrow{\;i\;} (\mathrm{Cat})\), giving rise to the Nerve-functor \(i^{*} : (\mathrm{Cat}) \to \Delta^{\wedge}\), as the latter commutes with filtering direct limits (due to the fact that \(i(a)\) is ``of f.p.'' for any \(a \in \Delta\).l'indice de la flèche \(i\) est surchargé ; la parenthèse n'est pas refermée

Take first the case of a countable direct system, we may assume it is indexed by \(\mathbb{N}\) \[ X_0 \xrightarrow{\;f_0\;} X_1 \xrightarrow{\;f_1\;} X_2 \cdots \] Using factorisation of any morphism as \(pi\), with \(i\) mono and \(p\) a homotopism, we get a diagram

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X'_0 \arrow[r, hook, "f'_0"] \arrow[d, "{u_0 \,=}"'] & X'_1 \arrow[r, hook, "f'_1"] \arrow[d, "u_1"] & X'_2 \arrow[r, hook, "f'_2"] \arrow[d, "u_2"] & \cdots & X'_\infty \arrow[d, "u_\infty"] \\
X_0 \arrow[r, "f_0"'] & X_1 \arrow[r, "f_1"'] & X_2 \arrow[r, "f_2"'] & \cdots & X_\infty
\end{tikzcd}

where the \(f'_i\) are mono, and the vertical arrows are homotopy equivalences. Let \(X'_\infty\), \(X_\infty\) be the limits, hence \[ u_\infty : X'_\infty \longrightarrow X_\infty . \] We've to check

(i) \(X'_\infty\) […] a direct limit of the \(X'_i\)'s in \((\mathrm{Hot}_A)\)

(ii) \(X'_\infty \to X_\infty\) is an iso in \((\mathrm{Hot})_A\), i.e. is […] \(\in W\).

(and equivalent, in fact)cette parenthèse, sous (ii), est biffée ; elle est rattachée à la ligne suivante

Point (i) is enough […] assuming that \((\mathrm{Hot}_A)\) is stable under countable filtering direct limits, and that \(A^{\wedge} \to (\mathrm{Hot}_A)\) commutes […] under to such limits, when the transition morphisms are mono. […] As for (ii), granting (i), it is equivalent to is with the desired result of commutation of \(A^{\wedge} \to (\mathrm{Hot}_A)\) to countable filtering direct limit.« filtering » est ajouté au-dessus de « direct » ; la fin de la phrase « it … with » est de lecture douteuse, un « is equivalent to » biffé étant prolongé d'une flèche vers la ligne suivante

To check the limiting property \[ (*) \qquad \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_\infty, Y) \xrightarrow{\;\sim\;} \varprojlim_i \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_i, Y) , \] le \(Y\) du premier membre est récrit sur une autre lettre

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en haut, cerclé, « b » : sa lettre de page ; la page fait suite à la page 18

we may assume \(Y\) is a \((\underline{W})\)-Kan object of \(A^{\wedge}\), in which case \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X, Y) \simeq \overline{\mathrm{Hom}}(X, Y) \] (homotopy classes of maps). Moreover, because of the assumption on \(Y\), the homotopy relation of among maps \(X \to Y\) is equivalent to the same as elementary homotopy.« the », au-dessus de « classes », et « among », « the same », au-dessus des mots biffés, sont ajoutés entre les lignes

Injectivity of \((*)\)? We get maps \(g_0, g_1, \ldots\)

\begin{tikzcd}
X_0 \arrow[r, hook] \arrow[dr, "g_0"'] & X_1 \arrow[r, hook] \arrow[d, "g_1"] & X_2 \arrow[r, hook] \arrow[dl, "g_2"] & \cdots & X_n \arrow[r, "f_n"] & X_{n+1} \\
 & Y & & & &
\end{tikzcd}

sous \(X_n\) et \(X_{n+1}\), deux flèches marquées \(g_n\) et \(g_{n+1}\), tracées vers la gauche sans atteindre \(Y\)

such that \(g_{n+1} f_n \sim g_n\) for any \(n\), the question is to find a representative for each \(n\) a \(g'_n \sim g_n\) such that equality \(g'_{n+1} f_n = g'_n\) holds. This brings us to the slightly more general situation (where \(i : X \to X'\) is \(f_n : X_n \to X_{n+1}\), where \(p : Y \to Y'\) is the map \(Y \to e\), and \(g = g_n\), \(\varphi = g_{n+1}\))dans la parenthèse, un mot biffé après \(Y \to\) ; « \(f_n : X_n \to X_{n+1}\) » est une restitution douteuse de ce que la ligne abrège

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
X \arrow[r, "g"] \arrow[d, "i"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \arrow[r, "g'"'] \arrow[ur, dashed, "\varphi"] & Y'
\end{tikzcd}

la diagonale \(\varphi\) est tracée en tirets, sa lettre surchargée

when \(i\) is a cofibration, \(p\) is a fibration, and the two triangles commutative up to homotopy \[ \varphi i \overset{k}{\sim} g \qquad p\varphi \overset{h}{\sim} g' \] (we assume \(X, X'\) cofibrant, \(Y, Y'\) fibrant, so that \(\overset{\ell}{\sim}\) and \(\overset{r}{\sim}\) are the same, — we look at the situation in any model category)les deux signes sont \(\sim\) surmontés d'une petite lettre, lus \(\ell\) et \(r\) (homotopies à gauche et à droite) ; lecture douteuse.

May we find a \(\overline{\varphi} : X' \to Y\) (homotopic to \(\varphi\),) s.th. the two triangles commute: \[ \overline{\varphi} \sim \varphi , \qquad \varphi i = g, \quad p\varphi = g' \ ? \] « homotopic to \(\varphi\), » est ajouté au-dessus de la ligne ; dans la dernière ligne il écrit \(\varphi\), non \(\overline{\varphi}\)

Let \(\overline{X}'\) be a cylinder object over \(X'\)

Now this is about exactly the content of Quillen's version of ``covering homotopy extension theorems'' for simplicial closed model categories (prop. 4 of Chap. II, \(\mathrm{n}^{\circ}\) 2.4) — although it was a little hard to make a sense of it, the way he stated it

There is such a possibility, iff we can find \(k\) and \(h\) s.th. the two resulting homotopies \(h \circ (i \otimes J)\), […] : \(p\varphi i \longrightarrow p\overline{\varphi}\,i = g' i\) are homotopic. This is presumably not always satisfied! note de sa main, écrite en travers dans la marge gauche ; devant, un mot biffé, […]. Les lectures en sont très douteuses