Cote n° 107 · pages 1–25 · Lecture modernisée · Closed models [notes postérieures à PS ?] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Préfaisceaux sur un produit (pages 1 à 3) : les deux lectures de \((A \times B)^{\wedge}\), les Hom relatifs, les foncteurs d'évaluation \(\Gamma''_{b}\) ; un premier départ en anglais, annulé, pour \(B = \Delta\) (page 2).
2. 2.Le cotenseur \(X^{M}\) (pages 5 et 7) : \(\Gamma''_{M}\), limite pondérée par un préfaisceau \(M\) sur \(B\), et la stabilité des objets « représentables en chaque degré ».
3. 3.Le tenseur \(X \otimes M\) et l'adjonction (page 9).
4. 4.Récapitulation (page 11).
5. 5.Produit extérieur (pages 13 à 15) : la Proposition et son Corollaire, à corriger ; l'objet \(X^{\dot{\Delta}_{n}}\) (page 14) ; \(p_{B}^{*}\) et les Hom internes (page 15).
6. 6.Propriétés universelles de \(\widehat{A}\) (page 16, annulée).
7. 7.Limites inductives filtrantes dans Hot (pages 17 à 24) : la question et la réduction aux monomorphismes (page 18) ; la surjectivité (page 20) ; le carré relatif et sa rectification (pages 21 à 23) ; l'injectivité (page 24).

Deux suites de lettres de sa main paginent les feuillets : en français, a à g, sur les pages impaires 3 à 15 ; en anglais, a (page 18), b (page 20), puis e (page 22) et d (page 24), sans c nulle part. La lecture suit l'ordre des archivistes, qui est aussi celui de l'argument : le carré relatif des pages 21 à 23 est une digression, et la page 24 s'ouvre sur « Returning to our initial pb ».¹

Conventions. \(A\) et \(B\) sont deux petites catégories, \(\widehat{A}\) la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur \(A\), dans laquelle on identifie \(A\) à son image par Yoneda ; \(e_{\widehat{A}}\) est le préfaisceau final et \(\Gamma_{A} = \mathrm{Hom}(e_{\widehat{A}}, -) = \varprojlim_{A^{\circ}}\) le foncteur des sections. On garde sa notation pour les projections : \[ p_{B} : A \times B \to A, \qquad p_{A} : A \times B \to B, \] l'indice nommant le facteur oublié.² Pour un préfaisceau \(X\) sur \(A \times B\), on note \[ X' : A^{\circ} \to \widehat{B}, \quad a \mapsto X(a, -), \qquad X'' : B^{\circ} \to \widehat{A}, \quad b \mapsto X(-, b) \] ses deux formes curryfiées. \(\underline{\mathrm{Hom}}\) sans indice est le Hom interne d'une catégorie de préfaisceaux ; les Hom relatifs sont \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(X, Y) = p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) \in \widehat{A}, \qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X, Y) = p_{A*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) \in \widehat{B}. \] Pour un préfaisceau \(P\), \(\pi_{0}(P) = \varinjlim P\) est l'ensemble des composantes connexes de sa catégorie des éléments, et \(P\) est dit connexe si \(\pi_{0}(P)\) est un point.³

Annoncé, non établi : la réponse à la question de la page 18 ; le sens de la flèche \(\underline{\mathrm{Hom}}(M, a) \Rightarrow a\) marquée « ?? » (page 14) ; la proposition de Quillen invoquée à la page 20, citée et non reproduite.

1–3

Préfaisceaux sur un produit (pages 1 à 3)

La couverture de la page 1 annonce le programme : « Formalisme des \(X \otimes M\), \(X^{M}\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_{A}\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_{B}\) relatif ».⁴

2–2

Le cas simplicial, premier départ (page 2)

La page 2, en anglais, annulée par deux traits, part du cas \(B = \Delta\). Elle note \(p_{A*}X = (\Gamma_{A} X_{n})_{n}\) et \(p_{\Delta*}X = X_{0}\) — la seconde formule parce que \([0]\) est final dans \(\Delta\), de sorte que \(\Gamma_{\Delta}\) est l'évaluation en \([0]\) — et affirme que, pour un préfaisceau \(L\) sur \(A\) vu comme objet simplicial constant \(p_{\Delta}^{*}(L)\), \[ \bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(L, X_{n})\bigr)_{n} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{\Delta}^{*}(L), X\bigr), \qquad \bigl(\mathrm{Hom}(L, X_{n})\bigr)_{n} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}\bigl(p_{\Delta}^{*}(L), X\bigr), \] la seconde se déduisant de la première par \(p_{A*}\). Les deux sont exactes : la valeur en \((a, n)\) du second membre de la première est \(\mathrm{Hom}\bigl(p_{\Delta}^{*}(a \times L) \times p_{A}^{*}(\Delta_{n}), X\bigr) = \mathrm{Hom}(a \times L, X_{n})\). La seconde est l'ensemble simplicial des applications de \(L\) dans \(X\), celui qui fait des objets simpliciaux une catégorie simpliciale.⁵

3–3

Deux lectures d'un même préfaisceau (page 3)

On a les identifications \[ (A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \widehat{B}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, \widehat{A}), \qquad X \mapsto X', \ X \mapsto X'', \] et les foncteurs \(p_{B*} : (A \times B)^{\wedge} \to \widehat{A}\), \(p_{A*} : (A \times B)^{\wedge} \to \widehat{B}\), adjoints à droite de \(p_{B}^{*}\) et \(p_{A}^{*}\). Comme \(q_{A} p_{B} = q_{B} p_{A}\) est la flèche vers la catégorie ponctuelle, \[ \mathrm{Hom}(X, Y) \simeq \Gamma_{A}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(X, Y) \simeq \Gamma_{B}\, \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X, Y). \]

Évaluation en \(b\). Pour \(b \in \mathrm{Ob}\, B\), soit \(\Gamma''_{b} : (A \times B)^{\wedge} \to \widehat{A}\), \(X \mapsto X''(b) = X(-, b)\). Alors, fonctoriellement en \(b\) et \(X\), \[ \Gamma''_{b}(X) \simeq p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{A}^{*}(b), X\bigr) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}\bigl(p_{A}^{*}(b), X\bigr). \] En effet, pour \(a \in \mathrm{Ob}\, A\), l'adjonction \(p_{B}^{*} \dashv p_{B*}\) puis celle du Hom interne donnent \[ \mathrm{Hom}_{\widehat{A}}\bigl(a, p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(p_{A}^{*}(b), X)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(p_{B}^{*}(a) \times p_{A}^{*}(b), X\bigr) = X(a, b), \] parce que \(p_{B}^{*}(a) \times p_{A}^{*}(b)\) est le préfaisceau représenté par \((a, b)\).⁶

5–7

Le cotenseur \(X^{M}\) (pages 5 et 7)

Une troisième lecture de \(\Gamma''_{b}\). Soit \(\varepsilon_{b} : \widehat{B} \to (\mathrm{Ens})\), \(G \mapsto \mathrm{Hom}(b, G) = G(b)\) ; alors \(\Gamma''_{b}(X) = \varepsilon_{b} \circ X'\). Cela se généralise à un préfaisceau quelconque \(M\) sur \(B\) : avec \(\varepsilon_{M}(G) = \mathrm{Hom}_{\widehat{B}}(M, G)\), posons \[ \Gamma''_{M}(X) = \varepsilon_{M} \circ X' : \quad a \longmapsto \mathrm{Hom}_{\widehat{B}}\bigl(M, X(a, -)\bigr). \] C'est la limite du diagramme \(X'' : B^{\circ} \to \widehat{A}\) pondérée par \(M\).⁷ On a, fonctoriellement en \(M\) et \(X\), \[ \Gamma''_{M}(X) \simeq p_{B*}\, \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{A}^{*}(M), X\bigr), \] car les deux membres, évalués en \(a\), valent \(\mathrm{Hom}\bigl(p_{B}^{*}(a) \times p_{A}^{*}(M), X\bigr)\) : à droite par les deux adjonctions comme à la page 3, à gauche parce que \(\mathrm{Hom}_{\widehat{B}}(M, X'(a)) = \mathrm{Hom}_{\widehat{B}}(M, p_{A*}\underline{\mathrm{Hom}}(p_{B}^{*}(a), X))\).⁸

Le cotenseur. On pose, pour \(M \in \mathrm{Ob}\, \widehat{B}\), \[ X^{M} \overset{\text{déf}}{=} \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{A}^{*}(M), X\bigr) \in (A \times B)^{\wedge}, \qquad \text{d'où} \qquad \Gamma''_{M}(X) = p_{B*}\, X^{M}. \] Sa valeur en \((a, b)\) est \(\mathrm{Hom}_{\widehat{B}}\bigl(b \times M, X(a, -)\bigr)\) ; autrement dit \((X^{M})'' (b) = \Gamma''_{b \times M}(X)\).

Stabilité (page 7). On s'intéresse à la sous-catégorie pleine \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) de \((A \times B)^{\wedge}\), formée des \(X\) dont chaque \(X''(b)\) est représentable — pour \(B = \Delta\), la catégorie \(sA\) des objets simpliciaux de \(A\). Si \(B\) a un objet final \(e_{B}\), \(p_{B*}\) est l'évaluation en \(e_{B}\), \(p_{B*} = \Gamma''_{e_{B}}\), et envoie donc \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) dans \(A\).⁹ \(X^{M}\) reste dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) dès que \(A\) a les limites projectives requises : \((X^{M})''(b)\) est la limite de \(X''\) pondérée par \(b \times M\), c'est-à-dire la limite dans \(A\) du diagramme des \(X''(c)\) indexé par la catégorie des éléments de \(b \times M\). Pour \(B = \Delta\) et \(M\) fini, des limites finies suffisent.¹⁰ En revanche, \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) ne contient pas les \(p_{A}^{*}(M)\) eux-mêmes, sauf cas dégénéré : il faudrait que, pour tout \(b\), le préfaisceau constant de valeur \(M(b)\) sur \(A\) soit représentable, ce qui force \(M(b)\) à être un point — un représentable \(h_{x}\) constant a \(\mathrm{End}(x)\) réduit à l'identité — et \(A\) à avoir un objet final : \(M = e_{\widehat{B}}\). « !! »¹¹

Enfin, pour \(X, Y\) dans \((A \times B)^{\wedge}\), en appliquant \(p_{A*}\) à l'adjonction du Hom interne, \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X, Y^{M}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{B}\bigl(X \times p_{A}^{*}(M), Y\bigr). \]

9–9

Le tenseur \(X \otimes M\) (page 9)

Pour \(X, Y\) dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\), on voudrait trouver le membre de gauche de cette formule dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) aussi. Or \(X \times p_{A}^{*}(M)\) est, comme foncteur \(B^{\circ} \to \widehat{A}\), \[ b \longmapsto X''(b) \times M(b) = \coprod^{\widehat{A}}_{\sigma \in M(b)} X''(b), \] une somme dans \(\widehat{A}\) de représentables, qui n'est presque jamais représentable. Supposons que \(A\) ait des sommes (des sommes finies si les \(M(b)\) sont finis), et définissons \(X \otimes M \in \underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\) par \[ (X \otimes M)(b) = \coprod^{A}_{\sigma \in M(b)} X''(b), \] la somme étant prise cette fois dans \(A\). La flèche canonique va de la somme dans \(\widehat{A}\) vers la somme dans \(A\), \[ i_{b} : \bigl(X \times p_{A}^{*}(M)\bigr)''(b) = \coprod^{\widehat{A}}_{\sigma \in M(b)} X''(b) \longrightarrow \coprod^{A}_{\sigma \in M(b)} X''(b), \] et elle induit une bijection sur les flèches vers un représentable ; c'est la définition même de la somme dans \(A\).¹² D'où, pour \(X, Y\) dans \(\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\circ}, A)\), fonctoriellement, \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X, Y^{M}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X \otimes M, Y). \] Le calcul est le suivant. La valeur en \(b'\) du membre de droite de la formule de la page 7 est \(\mathrm{Hom}\bigl(X \times p_{A}^{*}(M \times b'), Y\bigr)\) ; comme les \(Y''(c)\) sont représentables, une flèche \(X \times p_{A}^{*}(N) \to Y\) est la même chose qu'une flèche \(X \otimes N \to Y\), et \((X \otimes M) \otimes b' = X \otimes (M \times b')\).¹³

Pour \(B = \Delta\), c'est la structure simpliciale de la catégorie \(sA\) des objets simpliciaux de \(A\) : \((X \otimes K)_{n} = \coprod_{K_{n}} X_{n}\) pour un ensemble simplicial \(K\), l'ensemble simplicial \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(X, Y)\) des applications de \(X\) dans \(Y\), et le cotenseur \(Y^{K}\) ; \(sA\) est ainsi tensorisée et cotensorisée sur les ensembles simpliciaux.¹⁴

11–11

Récapitulation (page 11)

Notons \({}^{g}L = p_{B}^{*}(L)\) pour \(L \in \mathrm{Ob}\, \widehat{A}\) et \({}^{d}M = p_{A}^{*}(M)\) pour \(M \in \mathrm{Ob}\, \widehat{B}\), et \(L \boxtimes M = {}^{g}L \times {}^{d}M\) ; pour \(a\), \(b\) représentables, \(a \boxtimes b\) est le représentable \((a, b)\). Alors \[ X(L, M) \overset{\text{déf}}{=} \mathrm{Hom}(L \boxtimes M, X), \qquad X(a, b) = \Gamma_{A \times B}\, \underline{\mathrm{Hom}}(a \boxtimes b, X), \] \[ {}^{g}X(L) = \underline{\mathrm{Hom}}_{B}({}^{g}L, X) \in \widehat{B}, \qquad {}^{d}X(M) = \underline{\mathrm{Hom}}_{A}({}^{d}M, X) = p_{B*}\, X^{M} = \Gamma''_{M}(X) \in \widehat{A}, \] avec, pour \(L = a\), \({}^{g}X(a) = X'(a)\), et pour \(M = b\), \({}^{d}X(b) = X''(b)\) ; et l'adjonction de la page 9, \(\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X, Y^{M}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(X \otimes M, Y)\).¹⁵

13–13

Le produit extérieur (page 13)

Les identifications de la page 3 se prolongent aux préfaisceaux : \[ (A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, \widehat{B}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ}, \widehat{B}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\bigl(\widehat{A}^{\circ} \times \widehat{B}^{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr), \] où \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}\) désigne les foncteurs qui commutent aux limites projectives quelconques — ceux qui transforment les limites inductives de \(\widehat{A}\) en limites projectives — et \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!!}\) ceux qui le font en chaque variable séparément. Le préfaisceau \(X\) correspond au foncteur \((L, M) \mapsto X(L, M) = \mathrm{Hom}(L \boxtimes M, X)\).¹⁶

Proposition (forme exacte). Pour \(L, L' \in \mathrm{Ob}\, \widehat{A}\) et \(M, M' \in \mathrm{Ob}\, \widehat{B}\), \[ \mathrm{Hom}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M) \simeq \mathrm{Hom}(L', L)^{\pi_{0}(M')} \times \mathrm{Hom}(M', M)^{\pi_{0}(L')}. \] En particulier, si \(L'\) et \(M'\) sont connexes, \[ \mathrm{Hom}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M) \simeq \mathrm{Hom}(L', L) \times \mathrm{Hom}(M', M), \] et le foncteur \((L, M) \mapsto L \boxtimes M\), de \(\widehat{A} \times \widehat{B}\) dans \((A \times B)^{\wedge}\), est pleinement fidèle sur les couples de préfaisceaux connexes.

Démonstration. Un morphisme vers un produit est un couple de morphismes, et \(\mathrm{Hom}(L' \boxtimes M', p_{B}^{*}(L)) \simeq \mathrm{Hom}(p_{B!}(L' \boxtimes M'), L)\) avec \(p_{B!}(L' \boxtimes M') = L' \times \pi_{0}(M')\), la somme de \(\pi_{0}(M')\) copies de \(L'\) ; de même pour l'autre facteur.

La page énonce la Proposition sans restriction : \((L, M) \mapsto L \boxtimes M\) pleinement fidèle, et \(\mathrm{Hom}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M) = \mathrm{Hom}(L', L) \times \mathrm{Hom}(M', M)\). C'est faux en général : pour \(M' = \varnothing\), le premier membre est un point et le second est \(\mathrm{Hom}(L', L)\).¹⁷

Corollaire. Supposons que, pour tous \(a \in \mathrm{Ob}\, A\) et \(b \in \mathrm{Ob}\, B\), les préfaisceaux \(a \times L'\) et \(b \times M'\) soient connexes. Alors \[ \underline{\mathrm{Hom}}(L' \boxtimes M', L \boxtimes M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(L', L) \boxtimes \underline{\mathrm{Hom}}(M', M). \] On évalue les deux membres en \((a, b)\), en utilisant \((a \boxtimes b) \times (L' \boxtimes M') = (a \times L') \boxtimes (b \times M')\) et la Proposition.¹⁸

14–14

Les objets \(X^{\Delta_{n}}\) et \(X^{\dot{\Delta}_{n}}\) (page 14)

Une page de formules isolées, pour \(B = \Delta\) et \(X\) un objet simplicial : \[ (X^{\Delta_{n}})_{0} = p_{\Delta*}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}(p_{A}^{*}(\Delta_{n}), X)\bigr) = X_{n}, \qquad (X^{\dot{\Delta}_{n}})_{0} = \varprojlim_{\Delta_{k} \to \dot{\Delta}_{n}} X_{k} = (\mathrm{Cosk}_{n-1} X)_{n}, \] la seconde étant la limite des \(X_{k}\) sur les faces propres du simplexe — ce qu'on appelle aujourd'hui l'objet de recollement (matching object) de \(X\) en degré \(n\).¹⁹ Puis, pour un morphisme \(X \to Y\), les deux flèches \[ X^{\Delta_{n}} \longrightarrow X^{\dot{\Delta}_{n}} \times_{Y^{\dot{\Delta}_{n}}} Y^{\Delta_{n}}, \qquad X_{n} \longrightarrow (X^{\dot{\Delta}_{n}})_{0} \times_{(Y^{\dot{\Delta}_{n}})_{0}} Y_{n}, \] la seconde étant la composante de degré \(0\) de la première. Ce sont les flèches dont Quillen demande qu'elles soient des fibrations dans l'axiome des catégories de modèles simpliciales, et dont la seconde définit aujourd'hui les fibrations de Reedy.²⁰

Restent trois formules sans texte, dont une question : pour \(a\) un objet de \(A\) vu comme objet simplicial constant, a-t-on \(\underline{\mathrm{Hom}}(M, a) \simeq a\), c'est-à-dire \(a^{M} = a\) ? La page la marque « ?? » ; la page 15 y répond, sous une hypothèse sur \(M\) qu'elle ne dit pas.²¹

15–15

\(p_{B}^{*}\) et les Hom internes (page 15)

Corollaire. \(p_{B}^{*} : \widehat{A} \to (A \times B)^{\wedge}\) commute aux Hom internes, \[ \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(p_{B}^{*}(L'), p_{B}^{*}(L)\bigr) \simeq p_{B}^{*}\, \underline{\mathrm{Hom}}(L', L), \] et de même \(p_{A}^{*}\). C'est le Corollaire de la page 13 pour \(M' = M = e_{\widehat{B}}\), où son hypothèse n'est pas nécessaire : avec \(M = e_{\widehat{B}}\), le second facteur de la formule exacte est un point et le premier vaut \(\mathrm{Hom}(a \times L', L)^{\pi_{0}(b)} = \mathrm{Hom}(a \times L', L)\). C'est aussi un cas de la formule de projection : \(p_{B!}(F \times p_{B}^{*}L) = p_{B!}(F) \times L\), parce que le produit par un ensemble fixe commute aux limites inductives d'ensembles.²²

Le cotenseur d'un objet constant. Identifions \(M \in \mathrm{Ob}\, \widehat{B}\) à \(e_{\widehat{A}} \boxtimes M = p_{A}^{*}(M)\) et \(L \in \mathrm{Ob}\, \widehat{A}\) à \(L \boxtimes e_{\widehat{B}} = p_{B}^{*}(L)\). Il existe toujours une flèche canonique \[ L \longrightarrow L^{M}, \] cas de la flèche \(Q \to \underline{\mathrm{Hom}}(P, Q)\) de toute catégorie cartésienne fermée, et \[ L^{M}(a, b) = L(a)^{\pi_{0}(b \times M)} . \] Elle est donc un isomorphisme si et seulement si \(b \times M\) est connexe pour tout \(b\) ; pour \(B = \Delta\), cela revient à dire que \(M\) est un ensemble simplicial connexe, puisque \(\pi_{0}\) commute aux produits finis d'ensembles simpliciaux. C'est la réponse à la question « ?? » de la page 14.²³

16–16

Les propriétés universelles de \(\widehat{A}\) (page 16)

Une page annulée par un long trait oblique, où \(M\) désigne cette fois une catégorie, rappelle la propriété universelle de \(\widehat{A}\) et sa duale. Notons \(\underline{\mathrm{Hom}}_{!}\) les foncteurs qui commutent aux limites inductives, \(\underline{\mathrm{Hom}}^{!}\) ceux qui commutent aux limites projectives, et \(A^{\vee} = (A^{\circ})^{\wedge}\). Si \(M\) a des limites inductives, \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, M), \qquad \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(A^{\vee}, M) ; \] si \(M\) a des limites projectives, \(M^{\circ}\) a des limites inductives, et \[ \underline{\mathrm{Hom}}(A, M^{\circ}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{!}(\widehat{A}, M^{\circ}), \qquad\text{soit}\qquad \underline{\mathrm{Hom}}(A^{\circ}, M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ}, M). \] \(\widehat{A}\) est la complétion de \(A\) par limites inductives, et \(\widehat{A}^{\circ}\) celle de \(A^{\circ}\) par limites projectives. Le second cas, pour \(M = \widehat{B}\), est l'identification \((A \times B)^{\wedge} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}^{!}(\widehat{A}^{\circ}, \widehat{B})\) de la page 13.²⁴

17–18

Limites inductives filtrantes dans Hot (pages 17 et 18)

La couverture de la page 17, « Question des \(\varinjlim\) filtrantes dans Hot », ouvre la seconde partie, en anglais.²⁵

La question. La catégorie homotopique \(\mathrm{Hot}\) a-t-elle des limites inductives filtrantes, et les foncteurs canoniques \[ (\mathrm{Cat}) \longrightarrow \mathrm{Hot}(\underline{W}), \qquad \widehat{A} \longrightarrow \mathrm{Hot}_{A} \simeq \mathrm{Hot}(\underline{W}) \quad (A \text{ catégorie test}) \] y commutent-ils ? Le premier cas se ramène au second pour \(A = \Delta\) : le foncteur nerf \((\mathrm{Cat}) \to \widehat{\Delta}\), défini par le foncteur test standard \(i : \Delta \to (\mathrm{Cat})\), commute aux limites inductives filtrantes, parce que les catégories \(i([n])\) sont de présentation finie.²⁶

Réduction aux monomorphismes. Pour un système indexé par un ensemble dénombrable, on se ramène à une suite \(X_{0} \xrightarrow{f_{0}} X_{1} \xrightarrow{f_{1}} \cdots\). En factorisant chaque flèche en un monomorphisme suivi d'une équivalence d'homotopie, on construit par récurrence une suite \(X'_{0} \hookrightarrow X'_{1} \hookrightarrow \cdots\) de monomorphismes et des équivalences \(u_{i} : X'_{i} \to X_{i}\) compatibles, \(u_{0} = \mathrm{id}\), d'où \(u_{\infty} : X'_{\infty} \to X_{\infty}\) entre les limites inductives. Il faut alors voir (i) que \(X'_{\infty}\) est limite inductive des \(X'_{i}\) dans \(\mathrm{Hot}_{A}\), et (ii) que \(u_{\infty}\) est dans \(\underline{W}\). Le point (ii) est vrai : les équivalences faibles sont stables par limites inductives filtrantes.²⁷ Tout repose donc sur (i), c'est-à-dire sur la propriété \[ (*) \qquad \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_{\infty}, Y) \longrightarrow \varprojlim_{i} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_{i}, Y) \quad \text{bijective,} \] pour une suite de monomorphismes. On peut supposer \(Y\) de Kan relativement à \(\underline{W}\), c'est-à-dire fibrant ; alors \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X, Y)\) est l'ensemble des classes d'homotopie de flèches \(X \to Y\), et la relation d'homotopie entre flèches \(X \to Y\) coïncide avec l'homotopie élémentaire.²⁸

20–20

La surjectivité de \((*)\) (page 20)

Soit une famille \(g_{n} : X_{n} \to Y\) avec \(g_{n+1} f_{n} \sim g_{n}\) pour tout \(n\). Il s'agit de trouver \(g'_{n} \sim g_{n}\) avec \(g'_{n+1} f_{n} = g'_{n}\) : les \(g'_{n}\) définissent alors une flèche \(X_{\infty} \to Y\) qui relève la famille. C'est la surjectivité de \((*)\).²⁹ Il se place dans une situation plus générale : un carré

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
X \arrow[r, "g"] \arrow[d, "i"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \arrow[r, "g'"'] \arrow[ur, dashed, "\varphi"] & Y'
\end{tikzcd}

où \(p g = g' i\), \(i\) est une cofibration, \(p\) une fibration, \(X\), \(X'\) cofibrants et \(Y\), \(Y'\) fibrants, dans une catégorie de modèles quelconque, et \(\varphi\) une flèche rendant les deux triangles commutatifs à homotopie près, \(\varphi i \overset{k}{\sim} g\) et \(p \varphi \overset{h}{\sim} g'\). Existe-t-il \(\overline{\varphi} \sim \varphi\) qui les rende commutatifs, \(\overline{\varphi} i = g\) et \(p \overline{\varphi} = g'\) ?³⁰ Il y voit « à peu près exactement le contenu » de la version de Quillen des théorèmes d'extension des homotopies pour les catégories de modèles simpliciales (proposition 4 du chapitre II, n° 2.4), « bien qu'il ait été un peu difficile d'y trouver un sens, telle qu'il l'énonçait ».³¹

Quand \(Y' = e\), la réponse est oui, et c'est tout ce que la suite demande : la flèche \(X' \times \{0\} \cup X \times \Delta(1) \to Y\) définie par \(\varphi\) et \(k\) s'étend à \(X' \times \Delta(1)\), puisque l'inclusion est une cofibration triviale et \(Y\) fibrant ; l'extrémité de l'homotopie étendue est \(\overline{\varphi}\). Par récurrence, \(g'_{0} = g_{0}\) et \(g'_{n+1}\) obtenue ainsi à partir de \(\varphi = g_{n+1}\) et de \(g = g'_{n}\), et \((*)\) est surjective.³²

Dans le cas général, la note marginale dit : c'est possible si et seulement si l'on peut choisir \(k\) et \(h\) de sorte que les deux homotopies \(p \circ k\) et \(h \circ (i \otimes J)\), qui vont toutes deux de \(p \varphi i\) à \(g' i\), soient homotopes — relativement à leurs extrémités. « Ce n'est sans doute pas toujours satisfait ! » Le critère est exact, et la condition peut manquer.³³

21–23

Relèvements et le carré relatif (pages 21 à 23)

Page 21. Trois carrés au crayon, sans texte, sont les trois formes du relèvement dans une catégorie de modèles : le relèvement des homotopies, \(A \to A \times I\) contre une fibration \(p : X \to Y\) ; sa forme duale, avec un objet de chemins \(A^{I} \xrightarrow{\partial_{0}} A\) et une cofibration \(Y \to X\) ; et le carré de relèvement général \(A \to X\), \(B \to Y\).³⁴

Page 22. Le carré de la page 20, avec \(g_{0} = \varphi i\), \(g_{1} = g\), \(g'_{0} = p \varphi\), \(g'_{1} = g'\), et \(\theta_{0} = \varphi\), \(\theta_{1} = \overline{\varphi}\) les deux diagonales. On dispose, par hypothèse, d'homotopies simpliciales \[ k : \varphi i \longrightarrow g, \qquad h : p \varphi \longrightarrow g', \] et tout revient à pouvoir les choisir compatibles à \(i\) et à \(p\), c'est-à-dire avec \(p \circ k = h \circ (i \otimes J)\) ; si \(Y'\) est l'objet final, c'est automatique.³⁵ Le carré

\begin{tikzcd}
X \otimes J \arrow[r, "k"] \arrow[d, "i \otimes J"'] & Y \arrow[d, "p"] \\
X' \otimes J \arrow[r, "h"'] & Y'
\end{tikzcd}

n'est pas commutatif a priori, mais seulement sur les extrémités \(X \sqcup X \to X \otimes J\).

La moitié inférieure de la page, annulée par deux traits croisés, réduit le problème à un relèvement : avec \(u = (g_{0}, g_{1}) : X \sqcup X \to Y\), \(j : X \sqcup X \to X \otimes J\) l'inclusion des extrémités et \(v = h \circ (i \otimes J)\), chercher \(k'\) avec \(k' j = u\) et \(p k' = v\). On connaît \(k\) avec \(k j = u\), mais seulement \(p k \overset{s}{\sim} v\) et non \(p k = v\). Comme \(j\) est une cofibration non triviale, rien ne garantit le relèvement ; il existe exactement quand \(p k\) et \(v\) sont homotopes relativement à \(X \sqcup X\), ce qui est le critère de la page 20.³⁶

24–24

L'injectivité de \((*)\) (page 24)

« Revenant au problème initial » : pour une suite de cofibrations \(X_{i} \hookrightarrow X_{i+1}\) de limite \(X_{\infty}\), l'application \(\mathrm{Hom}(X_{\infty}, Y) \to \varprojlim \mathrm{Hom}(X_{i}, Y)\) est surjective, ce qu'établit la page 20. Pour l'injectivité, soient \(f, f' : X_{\infty} \to Y\) dont les restrictions \(f_{i}\), \(f'_{i}\) à \(X_{i}\) sont homotopes pour tout \(i\) ; il faut montrer \(f \sim f'\), c'est-à-dire étendre \((f, f')\) de \(A = X_{\infty} \sqcup X_{\infty}\) à \(B = X_{\infty} \times \Delta(1)\), sachant que c'est possible au-dessus de chaque \(X_{i} \times \Delta(1)\).³⁷

Avec \(A_{i} = X_{i} \sqcup X_{i}\) et \(B_{i} = X_{i} \times \Delta(1)\), on procède pas à pas : étant donné une homotopie \(h_{i}\) sur \(B_{i}\), on la prolonge à \[ B'_{i+1} = B_{i} \sqcup_{A_{i}} A_{i+1} = \bigl(\Delta(1) \times X_{i}\bigr) \cup \bigl(\{0, 1\} \times X_{i+1}\bigr) \subset B_{i+1}, \] par \(\varphi_{i+1} = (f_{i+1}, f'_{i+1})\) sur \(A_{i+1}\), et l'on cherche \(h_{i+1}\) sur \(B_{i+1}\) prolongeant ce \(h'_{i+1}\).

\begin{tikzcd}[column sep=4em, row sep=3em]
A_{i+1} \arrow[r, hook] \arrow[dr, "\varphi_{i+1}"'] & B'_{i+1} \arrow[r, hook] \arrow[d, "h'_{i+1}"] & B_{i+1} \arrow[dl, dashed, "h_{i+1} ?"] \\
 & Y &
\end{tikzcd}

L'inclusion \(B'_{i+1} \subset B_{i+1}\) est une cofibration qui n'est pas triviale en général : une homotopie \(f_{i+1} \sim f'_{i+1}\) existe, mais pas forcément une qui prolonge \(h_{i}\).³⁸ La page abstrait alors la question : soit \(Z_{0} \hookrightarrow Z_{1} \hookrightarrow Z_{2} \hookrightarrow \cdots\) et une flèche \(Z_{0} \to Y\) qui s'étend à chaque \(Z_{i}\) ; s'étend-elle à \(Z_{\infty}\) ? « Pas clair du tout », tout le point étant de voir que \[ \varprojlim_{i} \pi_{0}\bigl(\text{extensions de } Z_{0} \to Y \text{ à } Z_{i}\bigr) \neq \varnothing . \] « Demander à Ronnie Brown ! »³⁹

La réponse. La réduction est juste, et la réponse est négative en général. Les espaces d'extensions \(\mathrm{Map}_{Z_{0}}(Z_{i}, Y)\) forment une tour de fibrations ; une extension à \(Z_{\infty}\) est un point de leur limite, et l'application de \(\pi_{0}\) de la limite vers la limite des \(\pi_{0}\) est surjective. Une extension existe donc si et seulement si la limite des \(\pi_{0}\) est non vide — et une limite projective d'ensembles non vides peut être vide. Pour \((*)\), cela donne la suite exacte de Milnor : pour une suite de cofibrations et \(Y\) fibrant, la surjection \((*)\) a pour défaut d'injectivité un \(\varprojlim^{1}\), celui des \(\pi_{1}\) des espaces d'applications \(\mathrm{Map}(X_{i}, Y)\) pointés en les \(f_{i}\). Ce \(\varprojlim^{1}\) ne s'annule pas toujours. Soit \(X_{i} = S^{1}\) pour tout \(i\), avec les applications de degré \(d \geq 2\), rendues cofibrations par télescope, et \(Y = K(\mathbb{Z}, 2)\). Alors \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_{i}, Y) = H^{2}(S^{1}; \mathbb{Z}) = 0\), tandis que \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hot}}(X_{\infty}, Y) = H^{2}(X_{\infty}; \mathbb{Z}) \simeq \varprojlim\nolimits^{1}\bigl(\cdots \xrightarrow{\;d\;} \mathbb{Z} \xrightarrow{\;d\;} \mathbb{Z}\bigr) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}_{d}/\mathbb{Z} \neq 0 , \] où \(\widehat{\mathbb{Z}}_{d}\) est le complété \(d\)-adique de \(\mathbb{Z}\). Donc \((*)\) n'est pas injective : \(X_{\infty}\) n'est pas limite inductive des \(X_{i}\) dans \(\mathrm{Hot}\), et \(\widehat{\Delta} \to \mathrm{Hot}\) ne commute pas aux limites inductives dénombrables filtrantes, même le long de monomorphismes.⁴⁰