Fonds Grothendieck, cote n° 106, pages 1–16

Localisation : W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}

ce titre est de l'édition. Le dossier ne porte aucun titre de sa main, et celui de l'inventaire, « [Champs (stacks) 3] », est entre crochets, donc des archivistes. La suite est d'un seul tenant : huit feuillets de bloc à spirale, écrits au recto seulement, sous sa pagination 1 à 8, qui sont les pages 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 et 15 des archivistes ; les pages paires sont le listing d'ordinateur dont il se sert comme papier de rencontre

sa page 1, ouverte sans numéro ; les suivantes portent 2) à 8)

Ho \mathcal{C} cat. de co/fibrations ?

la note est écrite dans le coin supérieur gauche, en travers, et coupée par un trait réglé en diagonale ; l'abréviation du milieu ne se résout pas

Soit (\mathcal{C}, W, \mathrm{cof}) une catégorie satisfaisant à C1 : C3 de Baues.

sous le W de cette première ligne il y a une petite marque en indice qu'aucune des occurrences suivantes ne reprend, et qui ne se lit pas

~~On se place qu'il y a objet initial.~~

(Alors il est connu que

W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}

est une équivalence de catégories.)

Pour le voir, on se définit un foncteur en sens inverse (qui sera quasi-inverse)

\Phi : W^{-1}\mathcal{C} \longrightarrow W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}, \qquad \text{i.e.\ } \mathcal{C} \longrightarrow W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}

qui envoie les u \in W en isos.

Pour tt x \in \mathcal{C}, utilisons C3 pour \emptyset \to x : on trouve

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \widetilde{x} \arrow[r, "\alpha_x"] & x \end{tikzcd}

avec \widetilde{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{cof}}, \alpha_x \in W.

Soit alors x \overset{f}{\longrightarrow} y dans \mathcal{C},

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \widetilde{x} \arrow[d, "\alpha_x"'] \arrow[dr, "f\alpha_x"] & \widetilde{y} \arrow[d, "\alpha_y"] \\ x \arrow[r, "f"'] & y \end{tikzcd}

appliquons le « weak lifting lemma », on trouve un relèvement \widetilde{f} de f\alpha_x non ~~vers \widetilde{y}~~, mais vers un \widetilde{y}\,' :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \widetilde{x} \arrow[r, "\widetilde{f}"] \arrow[d, no head] & \widetilde{y}\,' \arrow[d, "\alpha'_y"] \\ \widetilde{x} \arrow[r, "f\alpha_x"'] & y \end{tikzcd}

à gauche du même feuillet, le triangle qui porte i : \widetilde{y} \overset{i}{\to} \widetilde{y}\,' dans W, avec \alpha_y descendant de \widetilde{y} sur y et \alpha'_y de \widetilde{y}\,' sur y, de sorte que \alpha_y = \alpha'_y\, i

Considérons alors

[i]^{-1}\widetilde{f} : \widetilde{x} \longrightarrow \widetilde{y} \qquad \text{dans } \mathrm{Hom}_{W_{\mathrm{cof}}^{-1} \mathcal{C}_{\mathrm{cof}}}(\widetilde{x}, \widetilde{y}).

Je dis qu'il ne dépend pas des choix de (i, \alpha'_y, \varphi). Pour : introduire \widetilde{y}\,'_3 = \widetilde{y}\,'_1 \vee_{\widetilde{y}} \widetilde{y}\,'_2, deux relèvements et on est ramené (écrivant y' au lieu de \widetilde{y}\,', mais x cof.) à prouver que si x', y' \in \mathcal{C}_{\mathrm{cof}} et \alpha\varphi = \alpha\psi ~~\alpha g~~, alors [\varphi] = [\psi] dans W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x' \arrow[r, bend left=20, "\varphi"] \arrow[r, bend right=20, "\psi"'] & y' \arrow[r, "\underset{\sim}{\alpha}"] & y \end{tikzcd}

plus bas, la même chose écrite par la somme : \nabla_{x'} descend de x' \sqcup x' sur x', et (\varphi, \psi) va de x' \sqcup x' dans y'. Un bloc annulé de trois lignes, à droite, reprenait x \to y avec les mêmes hypothèses de cofibration

Ceci ayant lieu, on trouve un foncteur \mathcal{C} \longrightarrow W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}, la compatibilité aux identités et aux compositions étant immédiate.

feuillet de listing tourné d'un quart de tour et couvert, sur toute sa largeur, d'un champ de petits diagrammes d'essai : ce sont, à quelques variantes près, toujours le même — la comparaison de deux relèvements de f\alpha_x dans deux objets \widetilde{y}\,' et \widetilde{y}\,'', et la somme amalgamée des deux sous \widetilde{y}. Presque aucun n'est étiqueté et il n'y a pas une ligne de prose sur le feuillet. Les redessiner un à un reviendrait à leur prêter des étiquettes que la page ne porte pas ; ils ne sont donc pas transcrits, et c'est la page 1 qui donne la figure sous sa forme écrite

sa page 2

le tiers supérieur du feuillet porte deux bandes de diagrammes d'essai, plusieurs fois repris et en partie biffés. Le seul qui se lise est un prisme à trois étages : \widetilde{x} \to \widetilde{y} \to \widetilde{z} en haut, une rangée intermédiaire \widetilde{x} \to \widetilde{y}\,' \to \widetilde{z}\,'', et x \to y \to z en bas, les verticales étant les \alpha et portant le signe \sim

Montrons que ce foncteur transforme f \in W en iso. En effet, si f \in W, donc f\alpha_x \in W, on voit aussitôt que \widetilde{f} \in W, donc [\widetilde{f}] est un iso.

Considérons les deux composés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \arrow[r, bend left=20, "\Psi"] & W^{-1}\mathcal{C} \arrow[l, bend left=20, "\Phi"] \end{tikzcd}

~~prouvons que ces deux~~ De ces deux foncteurs réciproques .

Pour \Phi\Psi, c'est = l'identité ; choisir \widetilde{x} \overset{\alpha_x}{\to} x quand x \in \mathcal{C}_{\mathrm{cof}}. Pour \Psi\Phi, il ~~suffit~~ faut voir que le foncteur ~~\Psi\Phi|\mathcal{C}~~

R \overset{\text{déf}}{=} \Psi\Phi|\mathcal{C}, \qquad x \longmapsto \widetilde{x}, \qquad \mathcal{C} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}

est ~~bien~~ isomorphe au foncteur canonique. On a

R(x) = \widetilde{x} \overset{[\alpha_x]}{\longrightarrow} x

dans \mathcal{C} ce donc dans W^{-1}\mathcal{C}, qui est un iso ; il faut vérifier que c'est fonctoriel, i.e. qu'on a

[\alpha_y]\,\bigl([i_f]^{-1}[\widetilde{f}]\bigr) = [f]\,[\alpha_x].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \widetilde{x} \arrow[r, "\widetilde{f}"] \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha_x}"'] & \widetilde{y} \arrow[r, "i_f"] \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha_y}"] & \widetilde{y}\,' \arrow[dl, "\beta_f"] \\ x \arrow[r, "f"'] & y & \end{tikzcd}

Mais \alpha_y = \beta_f\, i_f, d'où le premier , puisque on a

[\beta_f \widetilde{f}] = [f\alpha_x] = [f][\alpha_x] \qquad \text{cqfd.}

sa page 3

En résumé, on a trouvé

Prop. Pour que \Psi : W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C} soit une équivalence de cat., il f. et s. ? que la condition suivante soit vérifiée :

(\star) Pour tout diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r, bend left=20, "\varphi"] \arrow[r, bend right=20, "\psi"'] & y \arrow[r, "\underset{\sim}{f}"] & y' \end{tikzcd}

avec f\varphi = f\psi, f \in W, x, y \in \mathcal{C}_{\mathrm{cof}}, on a [\varphi] = [\psi] dans W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} (donc [\varphi] = [\psi] dans W^{-1}\mathcal{C}).

(condition impliquée par celle que \Psi soit fidèle)

Nous allons travailler maintenant avec \mathcal{C}_{\mathrm{cof}} au lieu de \mathcal{C} — ~~sans~~ quitte à changer les notations, i.e. on suppose que tt objet de \mathcal{C} est cofibrant.

[ N.B. \mathcal{C}_{\mathrm{cof}}, avec les induites par W et cof, est encore une catégorie ~~satisfaisant à~~ C1 : C3, littéralement, de \mathcal{C}_{\mathrm{cof}} dans \mathcal{C} commutent aux sommes amalgamées ~~qui~~ relatives : des diagrammes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] a \arrow[r, "f"] \arrow[d, "g"'] & b \\ c & \end{tikzcd}

telles que f ou g soit dans cof (les seules sommes dont on postule l'existence !). ]

Soit, pour x, y dans \mathcal{C},

\underline{Ch}_0(x,y) = \text{catégorie des diagrammes}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r, "f"] & \widetilde{y} & y \arrow[l, "\underset{\sim}{i}"'] \end{tikzcd}

où i \in W \cap \mathrm{cof} = \mathrm{cof} \cap W, ~~catégorie~~ (petite, connexe ). On définit des accouplements

\underline{Ch}_0(x,y) \times \underline{Ch}_0(y,z) \longrightarrow \underline{Ch}_0(x,z), \qquad (F, G) \longmapsto G \cdot F

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \widetilde{y} \arrow[r, "g"] & \widetilde{z} \arrow[d, "\underset{\sim}{k}"] & z \arrow[l, "\underset{\sim}{j}"'] \\ & & \widetilde{z}\,' & \end{tikzcd}

la flèche \widetilde{z} \to \widetilde{z}\,' est marquée cocart sur le feuillet, et g' désigne le composé \widetilde{y} \to \widetilde{z}\,'

(g,j) \circ (f,i) = (g'g) \cdot \uncertain{k_y}

le membre de droite, tel qu'il est écrit, ne fait pas intervenir f, alors que le membre de gauche compose (f,i) avec (g,j) ; le dernier facteur est lu k_y et n'est pas assuré. La variance est signalée et non corrigée

La catégorie \widetilde{\mathcal{C}}

ce titre est de l'édition ; la page 7 nomme la catégorie mais ne porte pas de titre

sa page 4

Cette composition est associative à iso can. près, et elle a des identités bilatères (à un iso can. !)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r, "1"] & \widetilde{x} & x \arrow[l, "\underset{\sim}{1}"'] \end{tikzcd}

noté \underline{1}_x.

On Définissons ~~par des~~ des foncteurs

\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)_{\text{discret}} \longrightarrow \underline{Ch}_0(x,y), \qquad f \longmapsto (f, 1d_x)

« 1d_x » est écrit avec un chiffre un et est conservé tel quel

~~compatibles avec~~ compatibles avec les compositions. Ceci posé, soit

\pi_0(x,y) \overset{\text{déf}}{=} \pi_0\bigl(\underline{Ch}_0(x,y)\bigr),

alors le composé dans \underline{Ch}_0 définit une composition des \pi_0(x,y), qui est associative et admet les \underline{1}_x comme unités bilatères. D'où une catégorie, que je note \widetilde{\mathcal{C}}, et un foncteur

\mathcal{C} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{C}}.

Pour l'instant, on n'a utilisé ~~rien~~ que (\mathcal{C}, W), ~~sauf~~ \mathcal{C} donnant des cof. \subset \mathrm{Fl}\,\mathcal{C}, ~~on ne convient de prendre les~~ (Conv. W, ~~cofibs~~) — mais peut prendre la construction. Mais \mathrm{cof} \cap W = \struck{\ill{}} . On foncteur transforme f \in W en iso : on cherche g, i tels que

(gf, i) \in \text{comp.\ conn.\ de } \underline{1}_x \text{ dans } \pi_0\bigl(\underline{Ch}_0(x,x)\bigr)

et (\overline{f}g, j) \in comp. conn. de \underline{1}_y.

deux figures accompagnent ce dernier passage : x \to y avec g remontant, et un carré x \to \widetilde{y} au-dessus de \bar{x} \to \bar{y} dont la flèche du bas est marquée cocart, les verticales portant i et le signe \sim

sa page 5

On utilise le weak lifting lemme :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \emptyset \arrow[r] \arrow[d] & x \arrow[r, "\underset{\sim}{i}"] \arrow[d, "\underset{\sim}{f}"'] & \bar{x} \arrow[dl, "\alpha", dashed] \\ y \arrow[r, "1"'] & y \arrow[ur, "g"', dashed] & \end{tikzcd}

donc il existe i, \alpha \alpha i = f, i \in W \cap \mathrm{cof}, et \alpha admet une section g,

\alpha g = 1_y.

N.B. On utilise y \in \mathcal{C}_{\mathrm{cof}} ici

Je dis que (g,i) est l'inverse cherché. ~~Considérons alors~~

Pour (gf, i) \sim \underline{1}_x, on a envie d'utiliser le diagramme commutatif ci-contre, le seul ennui c'est que, comme \alpha \in W — mais pas \alpha \in \mathrm{cof}, donc \alpha i \ (= f) ne vit pas dans ~~cof~~ (alors qu'il est dans W).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r, "\underset{\sim}{i}"] \arrow[d, "1_x"'] \arrow[dr, "gf"] & \bar{x} \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha}"] \\ x \arrow[r, "f"'] & y \end{tikzcd}

Ça marcherait si on pouvait trouver y \overset{\beta}{\longrightarrow} y' dans W tel que le composé \beta f soit non seulement dans W, mais en plus, dans cof. Visiblement, ce n'est pas ça le cas (prendre le cas où les cof. sont les monos, et où f n'est pas un mono !). Ça se présente mal !

On a donc plutôt ~~définit~~ définir d'abord le foncteur canonique

q : \widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}, \qquad x \longmapsto x, \qquad (f,i) \longmapsto [i]^{-1}[f]

il est immédiat que c'est compatible avec les identités et le composition. Donc on a un des foncteurs ~~surjectif~~ bijectif sur les objets. Je dis que c'est surjectif sur les flèches ; il suffit de voir, pour f : x \to y dans W, que [f]^{-1} provient de \widetilde{\mathcal{C}}, défini par (g,i). À priori ~~(f,\star)~~ y \to x dans \widetilde{\mathcal{C}}, défini par [i]^{-1}[g] ; pour prouver que [i]^{-1}[g] = [f]^{-1}, il suffit de prouver que

[f]\,[i]^{-1}[g] = [1_y],

or \alpha i = f implique [\alpha][i] = [f], donc [f][i]^{-1} = [\alpha], les produits, car [\alpha][g] = [\alpha g] = [1_y], cqfd.

sa page 6

La difficulté, c'est qu'il n'est pas clair que le foncteur

\widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}

précédent soit aussi fidèle \alpha = un iso (ce qui impliquerait que c'est une équivalence de catégories). ~~Dans ce cas le foncteur viendrait .~~

que le foncteur canonique \mathcal{C} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{C}} (dont le composé avec le foncteur can. \mathcal{C} \to W^{-1}\mathcal{C}) bien W en iso, on que transforme les flèches de W constructions qui [f, i] de \widetilde{\mathcal{C}}, est bien utile, d'ailleurs , semble-t-il, de poser

W_0 = W \cap \mathrm{cof}.

Cela est quinait d'ailleurs le foncteur

W_0^{-1}\mathcal{C} \longrightarrow

devrait une équivalence de catégories, le foncteur \widetilde{\mathcal{C}} \to W^{-1}\mathcal{C} se factorise visiblement par

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \widetilde{\mathcal{C}} \arrow[r] & W_0^{-1}\mathcal{C} \arrow[r] & W^{-1}\mathcal{C} \end{tikzcd}

Mais je doute qu'il ne suffise d'inverser les équiv. faibles cofibrantes, pour que les équiv. faibles deviennent inversibles !

Je rectifie donc la définition, en prenant plutôt la catégorie (notre précédent \widetilde{\mathcal{C}}) cette catégorie ~~définie via les flèches~~ \pi_0 des \underline{Ch}_0(x,y), ~~définies~~ (pour x, y donnés) comme celles des diagrammes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r, "f"] & \widetilde{y} & y \arrow[l, "\underset{\sim}{i}"'] \end{tikzcd}

avec \begin{cases} f \in \mathrm{cof} \\ i \in W \end{cases}

c'est le point de bascule du dossier : la page 5 demandait i \in \mathrm{cof} \cap W sans rien demander à f, et la définition rectifiée demande f \in \mathrm{cof} et i \in W. Les deux définitions portent le même nom \underline{Ch}_0 et se suivent dans le dossier ; l'édition ne les concilie pas

feuillet de listing, daté 24 AUG 82 par la machine, dont la marge inférieure porte deux petites figures d'essai de sa main : des objets tous notés x, x', x'', reliés par des flèches montantes dont l'une est biffée. Aucune n'est étiquetée et elles ne portent pas de mathématique qu'on puisse restituer ; elles ne sont donc pas redessinées. La date imprimée est relevée ici, comme celle de la page 14, parce qu'elle est lisible sur le feuillet ; elle date l'impression du listing, non les feuillets de bloc

sa page 7

le feuillet le moins lisible du dossier : un palimpseste rapide, deux blocs annulés par de longs traits horizontaux, et une note marginale écrite en biais le long du bord gauche que la résolution du film ne permet pas de restituer

que le composé comme précédemment.

~~\widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}~~ ~~foncteurs transforme bien~~ flèches inversible. On se propose

F = [f], \qquad G = [1_y, f]

\mathcal{C} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{C}}

qui ne pas plus devrait une factorisation \widetilde{\mathcal{C}} plus délicat. Soit f : x \to y

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r, "f_0"] & \bar{y} \arrow[r, "\underset{\sim}{j}"] & \widetilde{y}\,' \end{tikzcd}

(et y étant cofibrant) les précédentes, où \beta a une section i.

[f_0, i] : il faut montrer deux faits. Pour on écrivait [f, i] qu'il existe une rétraction \alpha de \widetilde{y} sur y, telle que

\alpha f' = f

, il faut voir qu'ils sont dans \underline{Ch}_0(x,y). Mais pour deux factorisations \alpha f_0 et \alpha' f'_0, avec f_0, f'_0 \in \mathrm{cof}, \alpha, \alpha' \in W, une troisième \alpha'', f''_0 qui soit dans le diagramme

feuillet de listing, daté 25 AUG 82 par la machine, dont la marge droite porte, de sa main, un bloc de sommes amalgamées qui mène de x \vee x à y' \vee y'', de la forme de la flèche du haut du diagramme de la page 15. Les trois carrés se lisent, le carré du milieu étant marqué cocart, i_1 et i_2 étant les deux insertions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[r] \arrow[d, "i_1"'] & y' \arrow[d] \\ x \vee x \arrow[r] \arrow[d] & y' \vee x \arrow[d] \\ x \vee y'' \arrow[r] & y' \vee y'' \end{tikzcd}

au-dessus du bloc, deux figures reprises : x \to y' avec y' \to y et y'' \to y' ; puis x \amalg x \to y' \amalg y'', suivi d'un mot biffé. À droite du carré supérieur, x \to \bullet \to y avec x \to y' en dessous, i_2 portant l'insertion de gauche

sa page 8

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \vee x \arrow[r, "(f_0) \vee (f'_0)"] \arrow[d, "\nabla_x"'] & \bar{y} \amalg \bar{y}\,' \arrow[d, dashed] \arrow[dr, "{(\alpha, \alpha')}"] & \\ x \arrow[r, "g"', dashed] & \widetilde{y} \arrow[r, "\varphi_0"'] & \bar{y}\,'' \arrow[d, "\alpha''"] \\ & & y \end{tikzcd}

le carré de gauche est marqué cocart ; sous la figure, une accolade ramène le tout à f

on factorise \varphi en \alpha''\varphi_0 (\varphi_0 \in \mathrm{cof}, \alpha'' \in W) et on prend

f''_0 = \varphi_0\, g.

des sections, il suffirait que \alpha et \alpha' les aient, \alpha'' (qui leur ) . On a une flèche

u : (f_0, \alpha) \longrightarrow (f''_0, \alpha'')

dans le objets .

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] x \arrow[rr, "f"] \arrow[dr, "f_0"'] \arrow[ddr, "f'_0"'] & & y \\ & \bar{y} \arrow[ur, "\alpha'"'] \arrow[d, "u"'] & \\ & \bar{y}\,'' \arrow[uur, "\alpha''"'] & \end{tikzcd}

Donc si on choisit une ~~le choix de~~ section i' comme l'image par de ce dernier i' de \alpha'_0 , on . Donc il reste à prouver .

Alors choisir de f \alpha f_0, [f_0, i] ne dépend pas des choix, comme

[f_0, i] = [\mathrm{id}_{\bar{y}}, i] \circ (f, \mathrm{id}_{\bar{y}}),

à ceci :

(\star\star) Soit x \overset{f}{\longrightarrow} y dans W, tel que f ait deux i, i' \in W ~~deux , sections~~ i, i' ; alors ~~le de~~ la classe dans \pi_0\bigl(\underline{Ch}_0(x,y)\bigr) de (1_x, i) ne dépend pas des choix de la section i.

à gauche, la figure qui l'accompagne : x \overset{f}{\to} \bar{y} avec \alpha et les deux arcs i et i' remontant de \bar{y} sur x ; puis x \overset{1_x}{\to} x avec y au-dessus et i descendant

Cette condition est (nec. et) suffis. pour que \widetilde{\mathcal{C}} \to W^{-1}\mathcal{C} soit fidèle (donc un iso), comme on précis une construction tel et bien le foncteur canonique

\mathcal{C} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{C}}.