Cote n° 106 · pages 1–16 · Lecture modernisée · [Champs (stacks) 3] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Objets cofibrants (pages 1 à 5) : \(W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \to W^{-1}\mathcal{C}\) est une équivalence si et seulement si une condition \((\star)\) est vérifiée.
2. 2.Premier calcul de fractions (pages 5 à 9) : les catégories \(\mathrm{Ch}_{0}(x,y)\), leur composition, la catégorie \(\widetilde{\mathcal{C}}\), et l'échec sur les inverses.
3. 3.Le foncteur \(q\) (page 9) : bijectif sur les objets, plein.
4. 4.Rectification (pages 11 à 15) : la définition \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\), la comparaison de factorisations, et le critère \((\star\star)\).

Conventions. \(\mathcal{C}\) est une catégorie munie de deux classes de flèches, les équivalences faibles \(W\) et les cofibrations \(\mathrm{cof}\), satisfaisant aux axiomes C1 à C3 de Baues, avec un objet initial \(\emptyset\).¹ \(\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\) est la sous-catégorie pleine des objets cofibrants et \(W_{\mathrm{cof}}\) la restriction de \(W\). Une flèche marquée \(\sim\) est dans \(W\).

Deux définitions sous un même nom. La page 5 appelle \(\underline{Ch}_{0}(x,y)\) la catégorie des diagrammes \(x \xrightarrow{f} \widetilde{y} \xleftarrow{i} y\) avec \(i \in \mathrm{cof} \cap W\) ; la page 11 reprend le même nom pour les diagrammes où \(f \in \mathrm{cof}\) et \(i \in W\). On écrit ici \(\mathrm{Ch}_{0}\) pour la première, \(\mathrm{Ch}'_{0}\) pour la seconde, et \(\widetilde{\mathcal{C}}\), \(\widetilde{\mathcal{C}}'\) pour les catégories qu'on en tire.

Annoncé, non établi sur les feuillets : que le choix des factorisations dans la construction rectifiée n'importe pas, ramené à \((\star\star)\) ; que \((\star\star)\) suffise à la fidélité ; et donc que \(\widetilde{\mathcal{C}}' \to W^{-1}\mathcal{C}\) soit un isomorphisme. Ces trois points sont vrais, et l'édition les démontre à la fin de la dernière section, par un autre chemin que celui des pages 13 à 15.

1–3

Les objets cofibrants suffisent (pages 1 à 3)

Énoncé connu. Le foncteur \(\Psi : W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \to W^{-1}\mathcal{C}\) induit par l'inclusion est une équivalence de catégories.² Pour le voir, on construit un quasi-inverse \(\Phi : W^{-1}\mathcal{C} \to W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), c'est-à-dire un foncteur \(\mathcal{C} \to W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\) qui rend inversibles les flèches de \(W\).

Remplacement cofibrant. Pour tout \(x\), C3 appliqué à \(\emptyset \to x\) donne \(\alpha_{x} : \widetilde{x} \to x\) dans \(W\) avec \(\widetilde{x}\) cofibrant.

Relèvement faible. Soit \(f : x \to y\). On ne peut pas relever \(f\alpha_{x} : \widetilde{x} \to y\) à \(\widetilde{y}\), mais on peut le relever à un \(\widetilde{y}'\) : il existe \(i : \widetilde{y} \to \widetilde{y}'\) dans \(\mathrm{cof} \cap W\), \(\alpha'_{y} : \widetilde{y}' \to y\) dans \(W\) avec \(\alpha_{y} = \alpha'_{y}\, i\), et \(\widetilde{f} : \widetilde{x} \to \widetilde{y}'\) avec \(\alpha'_{y}\widetilde{f} = f\alpha_{x}\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\widetilde{x} \arrow[r, "\widetilde{f}"] \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha_x}"'] & \widetilde{y}\,' \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha'_y}"] & \widetilde{y} \arrow[l, "i"'] \arrow[dl, "\underset{\sim}{\alpha_y}"] \\
x \arrow[r, "f"'] & y &
\end{tikzcd}

On l'obtient en factorisant \((\alpha_{y}, f\alpha_{x}) : \widetilde{y} \vee \widetilde{x} \to y\) en une cofibration suivie d'une équivalence faible ; \(\widetilde{y} \to \widetilde{y} \vee \widetilde{x}\) est une cofibration parce que \(\widetilde{x}\) est cofibrant, et \(i\) est dans \(W\) par deux-sur-trois. Enfin \(\widetilde{y}'\) est cofibrant, puisque \(\widetilde{y}\) l'est et que \(i\) est une cofibration.³

On pose \(\Phi(f) = [i]^{-1}[\widetilde{f}] : \widetilde{x} \to \widetilde{y}\) dans \(W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\).

Indépendance des choix. Deux choix \((i_{1}, \alpha'_{1}, \widetilde{f}_{1})\) et \((i_{2}, \alpha'_{2}, \widetilde{f}_{2})\) se comparent dans la somme amalgamée \(\widetilde{y}'_{1} \vee_{\widetilde{y}} \widetilde{y}'_{2}\), et l'on est ramené à la condition :

1. \((\star)\)si \(x', y'\) sont cofibrants, \(\varphi, \psi : x' \to y'\), et \(\alpha : y' \to y\) est dans \(W\) avec \(\alpha\varphi = \alpha\psi\), alors \([\varphi] = [\psi]\) dans \(W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\).

Sous \((\star)\), on obtient un foncteur \(\mathcal{C} \to W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), la compatibilité aux identités et aux compositions étant immédiate.⁴

Il rend \(W\) inversible (page 3). Si \(f \in W\), alors \(f\alpha_{x}\) et \(\alpha'_{y}\) sont dans \(W\), donc \(\widetilde{f}\) aussi, et \([\widetilde{f}]\) est un isomorphisme.

Les deux composés. \(\Phi\Psi\) est l'identité : pour \(x\) cofibrant on choisit \(\widetilde{x} = x\) et \(\alpha_{x} = 1\). Pour \(\Psi\Phi\), il faut voir que \(R : x \mapsto \widetilde{x}\), \(\mathcal{C} \to W^{-1}\mathcal{C}\), est isomorphe au foncteur canonique par les isomorphismes \([\alpha_{x}]\), c'est-à-dire que \[ [\alpha_{y}]\,\bigl([i_{f}]^{-1}[\widetilde{f}]\bigr) = [f]\,[\alpha_{x}] . \] Or \(\alpha_{y} = \beta_{f}\, i_{f}\), où \(\beta_{f} = \alpha'_{y}\), donne \([\alpha_{y}][i_{f}]^{-1} = [\beta_{f}]\), et \([\beta_{f}\widetilde{f}] = [f\alpha_{x}] = [f][\alpha_{x}]\).

5–5

La proposition, et le passage aux objets cofibrants (page 5)

Proposition. Pour que \(\Psi : W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \to W^{-1}\mathcal{C}\) soit une équivalence de catégories, il faut et il suffit que la condition \((\star)\) soit vérifiée ; elle est d'ailleurs impliquée par la fidélité de \(\Psi\).

La suffisance est ce qui précède. La nécessité vient de ce que \([\varphi] = [\psi]\) dans \(W^{-1}\mathcal{C}\), \([\alpha]\) y étant inversible.⁵

Réduction. On travaille désormais dans \(\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), en changeant les notations : tout objet de \(\mathcal{C}\) est cofibrant. C'est légitime, car \(\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), avec les classes induites, satisfait encore C1–C3, l'inclusion commutant aux sommes amalgamées le long d'une cofibration — « les seules sommes dont on postule l'existence ! ».

5–7

Premier calcul de fractions (pages 5 et 7)

Pour deux objets \(x, y\), soit \(\mathrm{Ch}_{0}(x,y)\) la petite catégorie des diagrammes \[ x \xrightarrow{\;f\;} \widetilde{y} \xleftarrow{\;i\;} y, \qquad i \in \mathrm{cof} \cap W, \] une flèche \((f, i) \to (f', i')\) étant une flèche \(u : \widetilde{y} \to \widetilde{y}'\) telle que \(uf = f'\) et \(ui = i'\).⁶

Composition. Pour \((f, i) \in \mathrm{Ch}_{0}(x,y)\) et \((g, j) \in \mathrm{Ch}_{0}(y,z)\), soit \(\widetilde{z}'\) la somme amalgamée de \(\widetilde{y} \xleftarrow{i} y \xrightarrow{g} \widetilde{z}\), avec \(g' : \widetilde{y} \to \widetilde{z}'\) et \(k : \widetilde{z} \to \widetilde{z}'\). Comme \(i \in \mathrm{cof} \cap W\), \(k\) l'est aussi, par C2, et l'on pose \[ (g, j) \circ (f, i) = (g' f,\ k j) \in \mathrm{Ch}_{0}(x,z). \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
x \arrow[r, "f"] & \widetilde{y} \arrow[d, "g'"'] & y \arrow[l, "i"'] \arrow[d, "g"] & \\
& \widetilde{z}\,' & \widetilde{z} \arrow[l, "k"] & z \arrow[l, "j"']
\end{tikzcd}

Le composé est bien défini à isomorphisme près, la somme amalgamée l'étant.⁷

La catégorie \(\widetilde{\mathcal{C}}\) (page 7). Cette composition est associative à isomorphisme canonique près et admet pour unités, à isomorphisme canonique près, les \(\underline{1}_{x} = (1_{x}, 1_{x})\). On a des foncteurs \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x,y)_{\text{discret}} \to \mathrm{Ch}_{0}(x,y)\), \(f \mapsto (f, 1_{y})\), compatibles aux compositions.⁸ Posant \[ \pi_{0}(x,y) = \pi_{0}\bigl(\mathrm{Ch}_{0}(x,y)\bigr), \] la composition passe aux composantes connexes et y devient associative et unitaire. D'où une catégorie \(\widetilde{\mathcal{C}}\), de mêmes objets que \(\mathcal{C}\), et un foncteur \(\mathcal{C} \to \widetilde{\mathcal{C}}\).

La question. Ce foncteur rend-il inversibles les flèches de \(W\) ? Pour \(f : x \to y\) dans \(W\), on cherche \((g, i)\) tel que \((g,i) \circ (f, 1_{y})\) soit dans la composante de \(\underline{1}_{x}\) et \((f, 1_{y}) \circ (g,i)\) dans celle de \(\underline{1}_{y}\).

9–9

L'échec, et le foncteur \(q\) (page 9)

La factorisation. Soit \(f : x \to y\) dans \(W\). Factorisons \((f, 1_{y}) : x \sqcup y \to y\) en une cofibration \(x \sqcup y \to \bar{x}\) suivie d'une équivalence faible \(\alpha : \bar{x} \to y\), et notons \(i\) et \(g\) les composés de \(x \to x \sqcup y\) et \(y \to x \sqcup y\) avec \(x \sqcup y \to \bar{x}\). Alors \[ \alpha i = f, \qquad \alpha g = 1_{y}, \qquad i, g \in \mathrm{cof} \cap W, \] \(i\) et \(g\) étant des cofibrations parce que \(x\) et \(y\) sont cofibrants, et des équivalences faibles par deux-sur-trois.⁹

L'inverse proposé. « Je dis que \((g, i)\) est l'inverse cherché. » Pour voir que \((gf, i)\) est dans la composante de \(\underline{1}_{x}\), on voudrait utiliser le carré \(\alpha i = f \cdot 1_{x}\) ; mais \(\alpha\) n'est pas une cofibration, et \(\alpha i = f\), qui est dans \(W\), ne l'est pas davantage. Il faudrait une \(\beta : y \to y'\) dans \(W\) telle que \(\beta f\) soit dans \(\mathrm{cof}\), ce qui n'est visiblement pas possible en général — prendre pour cofibrations les monomorphismes, et \(f\) non mono. « Ça se présente mal ! »

Le foncteur \(q\). On définit plutôt \[ q : \widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}, \qquad x \mapsto x, \qquad (f, i) \mapsto [i]^{-1}[f], \] compatible aux identités et à la composition, et bien défini sur les composantes : une flèche \(u\) de \((f,i)\) vers \((f',i')\) est dans \(W\) par deux-sur-trois, et \([i']^{-1}[f'] = [ui]^{-1}[uf]\). Il est bijectif sur les objets. Il est plein : toute flèche de \(W^{-1}\mathcal{C}\) est un composé de \([f]\) et de \([w]^{-1}\), \(w \in W\), et il suffit que \([f]^{-1}\) provienne de \(\widetilde{\mathcal{C}}\) pour \(f \in W\). Or \(q(g, i) = [i]^{-1}[g]\) et, de \(\alpha i = f\), \([f][i]^{-1} = [\alpha]\), d'où \([f]\,[i]^{-1}[g] = [\alpha][g] = [\alpha g] = [1_{y}]\).

11–12

Le doute, et la rectification (page 11)

La difficulté est qu'il n'est pas clair que \(q\) soit fidèle — ce qui en ferait un isomorphisme de catégories.

Le doute. Le foncteur \(q\) se factorise visiblement par \[ \widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W_{0}^{-1}\mathcal{C} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}, \qquad W_{0} = W \cap \mathrm{cof}, \] et il faudrait que la seconde flèche soit une équivalence. « Mais je doute qu'il ne suffise d'inverser les équiv. faibles cofibrantes, pour que les équiv. faibles deviennent inversibles ! »

Le doute n'est pas fondé, et la page 9 contient de quoi le lever. Quand tous les objets sont cofibrants, toute \(f \in W\) s'écrit \(f = \alpha i\) avec \(\alpha g = 1_{y}\) et \(i, g \in W_{0}\). Dans \(W_{0}^{-1}\mathcal{C}\), \([g]\) est inversible et \([\alpha][g] = 1\), donc \([\alpha] = [g]^{-1}\) est inversible, et \([f] = [\alpha][i]\) aussi. Ainsi \(W_{0}^{-1}\mathcal{C} \to W^{-1}\mathcal{C}\) est un isomorphisme de catégories.¹⁰

La rectification. Il change donc de définition : \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\) est la catégorie des diagrammes \[ x \xrightarrow{\;f\;} \widetilde{y} \xleftarrow{\;i\;} y, \qquad f \in \mathrm{cof}, \quad i \in W, \] et \(\widetilde{\mathcal{C}}'\) la catégorie des \(\pi_{0}(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y))\). La page 5 demandait \(i \in \mathrm{cof} \cap W\) sans rien demander à \(f\) ; la page 11 déplace la condition de cofibration du dénominateur au numérateur.¹¹

La composition se définit comme à la page 5, par la somme amalgamée de \(\widetilde{y} \xleftarrow{i} y \xrightarrow{g} \widetilde{z}\), qui existe cette fois parce que \(g\) est une cofibration : \((g, j) \circ (f, i) = (g'f, kj)\), où \(g'f\) est une cofibration par C2 et C1, et \(k \in W\) par la clause de C2 qui fait d'une somme amalgamée de l'équivalence faible \(i\) le long de la cofibration \(g\) une équivalence faible. La flèche \(q' : \widetilde{\mathcal{C}}' \to W^{-1}\mathcal{C}\), \((f, i) \mapsto [i]^{-1}[f]\), est alors un foncteur bien défini sur les composantes.¹²

13–15

Comparer deux factorisations, et le critère \((\star\star)\) (pages 13 à 15)

L'image d'une flèche. Soit \(f : x \to y\). Par C3, \(f = \alpha f_{0}\) avec \(f_{0} : x \to \bar{y}\) cofibration et \(\alpha : \bar{y} \to y\) dans \(W\) ; et, \(y\) étant cofibrant, on peut supposer que \(\alpha\) admet une section \(i\), comme à la page 9. Le diagramme \((f_{0}, i)\) est dans \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\), et \(q(f_{0}, i) = [i]^{-1}[f_{0}] = [\alpha][f_{0}] = [f]\).¹³

Deux factorisations \(f = \alpha f_{0} = \alpha' f'_{0}\) se comparent à une troisième. La somme amalgamée de \[ x \xleftarrow{\;\nabla_{x}\;} x \vee x \xrightarrow{\;f_{0} \vee f'_{0}\;} \bar{y} \sqcup \bar{y}' \] existe, \(f_{0} \vee f'_{0}\) étant une cofibration ; soit \(\widetilde{y}\) cette somme et \(g : x \to \widetilde{y}\), cofibration par C2. Les flèches \((\alpha, \alpha')\) et \(f\) induisent \(\varphi : \widetilde{y} \to y\), qu'on factorise en \(\varphi = \alpha''\varphi_{0}\), \(\varphi_{0} \in \mathrm{cof}\), \(\alpha'' \in W\). Posant \(f''_{0} = \varphi_{0}\, g\), on obtient des flèches de factorisations \((f_{0}, \alpha) \to (f''_{0}, \alpha'')\) et \((f'_{0}, \alpha') \to (f''_{0}, \alpha'')\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
x \vee x \arrow[r, "f_0 \vee f'_0"] \arrow[d, "\nabla_x"'] & \bar{y} \sqcup \bar{y}\,' \arrow[d] \arrow[dr, "{(\alpha, \alpha')}"] & \\
x \arrow[r, "g"'] & \widetilde{y} \arrow[r, "\varphi"'] & y
\end{tikzcd}

Il reste à comparer les sections¹⁴ : il suffirait que les sections de \(\alpha\) et \(\alpha'\) soient compatibles avec une section de \(\alpha''\), et ce n'est pas automatique.

La réduction. Comme \((f_{0}, i) = (\mathrm{id}_{\bar{y}}, i) \circ (f_{0}, \mathrm{id}_{\bar{y}})\), tout se ramène au choix de la section¹⁵ :

1. \((\star\star)\)Soit \(f : x \to y\) dans \(W\), et \(i, i' : y \to x\) deux sections de \(f\). Alors \((1_{x}, i)\) et \((1_{x}, i')\) sont dans la même composante connexe de \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\).

Énoncé final. La condition \((\star\star)\) est nécessaire et suffisante pour que \(q' : \widetilde{\mathcal{C}}' \to W^{-1}\mathcal{C}\) soit fidèle, donc un isomorphisme.

La nécessité est claire : \(f i = 1_{y}\) donne \([i]^{-1} = [f]\), de sorte que \(q'(1_{x}, i) = [i]^{-1} = [f] = [i']^{-1} = q'(1_{x}, i')\) ; si \(q'\) est fidèle, les deux diagrammes définissent la même flèche de \(\widetilde{\mathcal{C}}'\), c'est-à-dire sont dans la même composante. La suffisance est affirmée, et le dossier s'arrête là.¹⁶

La suffisance, et davantage, de l'édition. Sous C1–C3, tous les objets étant cofibrants, \(q'\) est un isomorphisme de catégories sans aucune condition, et \((\star\star)\) est donc toujours vérifiée : l'énoncé final est vrai, avec ses deux membres vrais. La démonstration est la nôtre et ne suit pas les pages 13 à 15, qui factorisent \(f\) seule puis lui choisissent une section, ce qui oblige à comparer deux sections. Elle factorise plutôt \((F, 1_{z}) : x \sqcup z \to z\), comme à la page 9, en une cofibration \(c : x \sqcup z \to \bar{z}\) suivie de \(\alpha : \bar{z} \to z\) dans \(W\) ; la section fait alors partie de la cofibration. Le point clé : tout diagramme \((f, i)\) de \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,z)\) muni d'une \(\psi\) telle que \(\psi i = 1_{z}\) et \(\psi f = F\) est dans la composante du diagramme de cette factorisation ; on le voit en prenant la somme amalgamée de \(c\) et de \((f, i) : x \sqcup z \to \widetilde{z}\), puis en factorisant par C3 la flèche qu'induisent \(\alpha\) et \(\psi\) de cette somme vers \(z\). On en tire un foncteur \(\varphi : \mathcal{C} \to \widetilde{\mathcal{C}}'\), qui rend inversibles les flèches de \(W_{0}\), donc celles de \(W\) par l'argument de la page 11, et la composante de \((f, i)\) est \(\varphi(i)^{-1}\varphi(f)\) ; le foncteur que \(\varphi\) induit sur \(W^{-1}\mathcal{C}\) est l'inverse de \(q'\).¹⁷