Cote n° 106 · pages 1–16 · Lecture modernisée · [Champs (stacks) 3] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Objets cofibrants (pages 1 à 5) : \(W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \to W^{-1}\mathcal{C}\) est une équivalence si et seulement si une condition \((\star)\) est vérifiée.
2. 2.Premier calcul de fractions (pages 5 à 9) : les catégories \(\mathrm{Ch}_{0}(x,y)\), leur composition, la catégorie \(\widetilde{\mathcal{C}}\), et l'échec sur les inverses.
3. 3.Le foncteur \(q\) (page 9) : bijectif sur les objets, plein.
4. 4.Rectification (pages 11 à 15) : la définition \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\), la comparaison de factorisations, et le critère \((\star\star)\).

Conventions. \(\mathcal{C}\) est une catégorie munie de deux classes de flèches, les équivalences faibles \(W\) et les cofibrations \(\mathrm{cof}\), satisfaisant aux axiomes C1 à C3 de Baues, avec un objet initial \(\emptyset\).¹ \(\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\) est la sous-catégorie pleine des objets cofibrants et \(W_{\mathrm{cof}}\) la restriction de \(W\). Une flèche marquée \(\sim\) est dans \(W\).

Deux définitions sous un même nom. La page 5 appelle \(\underline{Ch}_{0}(x,y)\) la catégorie des diagrammes \(x \xrightarrow{f} \widetilde{y} \xleftarrow{i} y\) avec \(i \in \mathrm{cof} \cap W\) ; la page 11 reprend le même nom pour les diagrammes où \(f \in \mathrm{cof}\) et \(i \in W\). On écrit ici \(\mathrm{Ch}_{0}\) pour la première, \(\mathrm{Ch}'_{0}\) pour la seconde, et \(\widetilde{\mathcal{C}}\), \(\widetilde{\mathcal{C}}'\) pour les catégories qu'on en tire.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : que le choix des factorisations dans la construction rectifiée n'importe pas, ramené à \((\star\star)\) ; que \((\star\star)\) suffise à la fidélité ; et donc que \(\widetilde{\mathcal{C}}' \to W^{-1}\mathcal{C}\) soit un isomorphisme.

1–3

Les objets cofibrants suffisent (pages 1 à 3)

Énoncé connu. Le foncteur \(\Psi : W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \to W^{-1}\mathcal{C}\) induit par l'inclusion est une équivalence de catégories.² Pour le voir, on construit un quasi-inverse \(\Phi : W^{-1}\mathcal{C} \to W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), c'est-à-dire un foncteur \(\mathcal{C} \to W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\) qui rend inversibles les flèches de \(W\).

Remplacement cofibrant. Pour tout \(x\), C3 appliqué à \(\emptyset \to x\) donne \(\alpha_{x} : \widetilde{x} \to x\) dans \(W\) avec \(\widetilde{x}\) cofibrant.

Relèvement faible. Soit \(f : x \to y\). On ne peut pas relever \(f\alpha_{x} : \widetilde{x} \to y\) à \(\widetilde{y}\), mais on peut le relever à un \(\widetilde{y}'\) : il existe \(i : \widetilde{y} \to \widetilde{y}'\) dans \(\mathrm{cof} \cap W\), \(\alpha'_{y} : \widetilde{y}' \to y\) dans \(W\) avec \(\alpha_{y} = \alpha'_{y}\, i\), et \(\widetilde{f} : \widetilde{x} \to \widetilde{y}'\) avec \(\alpha'_{y}\widetilde{f} = f\alpha_{x}\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\widetilde{x} \arrow[r, "\widetilde{f}"] \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha_x}"'] & \widetilde{y}\,' \arrow[d, "\underset{\sim}{\alpha'_y}"] & \widetilde{y} \arrow[l, "i"'] \arrow[dl, "\underset{\sim}{\alpha_y}"] \\
x \arrow[r, "f"'] & y &
\end{tikzcd}

On l'obtient en factorisant \((\alpha_{y}, f\alpha_{x}) : \widetilde{y} \vee \widetilde{x} \to y\) en une cofibration suivie d'une équivalence faible ; \(\widetilde{y} \to \widetilde{y} \vee \widetilde{x}\) est une cofibration parce que \(\widetilde{x}\) est cofibrant, et \(i\) est dans \(W\) par deux-sur-trois.³

On pose \(\Phi(f) = [i]^{-1}[\widetilde{f}] : \widetilde{x} \to \widetilde{y}\) dans \(W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\).

Indépendance des choix. Deux choix \((i_{1}, \alpha'_{1}, \widetilde{f}_{1})\) et \((i_{2}, \alpha'_{2}, \widetilde{f}_{2})\) se comparent dans la somme amalgamée \(\widetilde{y}'_{1} \vee_{\widetilde{y}} \widetilde{y}'_{2}\), et l'on est ramené à la condition :

1. \((\star)\)si \(x', y'\) sont cofibrants, \(\varphi, \psi : x' \to y'\), et \(\alpha : y' \to y\) est dans \(W\) avec \(\alpha\varphi = \alpha\psi\), alors \([\varphi] = [\psi]\) dans \(W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\).

Sous \((\star)\), on obtient un foncteur \(\mathcal{C} \to W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), la compatibilité aux identités et aux compositions étant immédiate.⁴

Il rend \(W\) inversible (page 3). Si \(f \in W\), alors \(f\alpha_{x}\) et \(\alpha'_{y}\) sont dans \(W\), donc \(\widetilde{f}\) aussi, et \([\widetilde{f}]\) est un isomorphisme.

Les deux composés. \(\Phi\Psi\) est l'identité : pour \(x\) cofibrant on choisit \(\widetilde{x} = x\) et \(\alpha_{x} = 1\). Pour \(\Psi\Phi\), il faut voir que \(R : x \mapsto \widetilde{x}\), \(\mathcal{C} \to W^{-1}\mathcal{C}\), est isomorphe au foncteur canonique par les isomorphismes \([\alpha_{x}]\), c'est-à-dire que \[ [\alpha_{y}]\,\bigl([i_{f}]^{-1}[\widetilde{f}]\bigr) = [f]\,[\alpha_{x}] . \] Or \(\alpha_{y} = \beta_{f}\, i_{f}\), où \(\beta_{f} = \alpha'_{y}\), donne \([\alpha_{y}][i_{f}]^{-1} = [\beta_{f}]\), et \([\beta_{f}\widetilde{f}] = [f\alpha_{x}] = [f][\alpha_{x}]\).

5–5

La proposition, et le passage aux objets cofibrants (page 5)

Proposition. Pour que \(\Psi : W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal{C}_{\mathrm{cof}} \to W^{-1}\mathcal{C}\) soit une équivalence de catégories, il faut et il suffit que la condition \((\star)\) soit vérifiée ; elle est d'ailleurs impliquée par la fidélité de \(\Psi\).

La suffisance est ce qui précède. La nécessité vient de ce que \([\varphi] = [\psi]\) dans \(W^{-1}\mathcal{C}\), \([\alpha]\) y étant inversible.⁵

Réduction. On travaille désormais dans \(\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), en changeant les notations : tout objet de \(\mathcal{C}\) est cofibrant. C'est légitime, car \(\mathcal{C}_{\mathrm{cof}}\), avec les classes induites, satisfait encore C1–C3, l'inclusion commutant aux sommes amalgamées le long d'une cofibration — « les seules sommes dont on postule l'existence ! ».

5–7

Premier calcul de fractions (pages 5 et 7)

Pour deux objets \(x, y\), soit \(\mathrm{Ch}_{0}(x,y)\) la petite catégorie des diagrammes \[ x \xrightarrow{\;f\;} \widetilde{y} \xleftarrow{\;i\;} y, \qquad i \in \mathrm{cof} \cap W, \] une flèche \((f, i) \to (f', i')\) étant une flèche \(u : \widetilde{y} \to \widetilde{y}'\) telle que \(uf = f'\) et \(ui = i'\).⁶

Composition. Pour \((f, i) \in \mathrm{Ch}_{0}(x,y)\) et \((g, j) \in \mathrm{Ch}_{0}(y,z)\), soit \(\widetilde{z}'\) la somme amalgamée de \(\widetilde{y} \xleftarrow{i} y \xrightarrow{g} \widetilde{z}\), avec \(g' : \widetilde{y} \to \widetilde{z}'\) et \(k : \widetilde{z} \to \widetilde{z}'\). Comme \(i \in \mathrm{cof} \cap W\), \(k\) l'est aussi, par C2, et l'on pose \[ (g, j) \circ (f, i) = (g' f,\ k j) \in \mathrm{Ch}_{0}(x,z). \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
x \arrow[r, "f"] & \widetilde{y} \arrow[d, "g'"'] & y \arrow[l, "i"'] \arrow[d, "g"] & \\
& \widetilde{z}\,' & \widetilde{z} \arrow[l, "k"] & z \arrow[l, "j"']
\end{tikzcd}

Le composé est bien défini à isomorphisme près, la somme amalgamée l'étant.⁷

La catégorie \(\widetilde{\mathcal{C}}\) (page 7). Cette composition est associative à isomorphisme canonique près et admet pour unités, à isomorphisme canonique près, les \(\underline{1}_{x} = (1_{x}, 1_{x})\). On a des foncteurs \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(x,y)_{\text{discret}} \to \mathrm{Ch}_{0}(x,y)\), \(f \mapsto (f, 1_{y})\), compatibles aux compositions.⁸ Posant \[ \pi_{0}(x,y) = \pi_{0}\bigl(\mathrm{Ch}_{0}(x,y)\bigr), \] la composition passe aux composantes connexes et y devient associative et unitaire. D'où une catégorie \(\widetilde{\mathcal{C}}\), de mêmes objets que \(\mathcal{C}\), et un foncteur \(\mathcal{C} \to \widetilde{\mathcal{C}}\).

La question. Ce foncteur rend-il inversibles les flèches de \(W\) ? Pour \(f : x \to y\) dans \(W\), on cherche \((g, i)\) tel que \((g,i) \circ (f, 1_{y})\) soit dans la composante de \(\underline{1}_{x}\) et \((f, 1_{y}) \circ (g,i)\) dans celle de \(\underline{1}_{y}\).

9–9

L'échec, et le foncteur \(q\) (page 9)

La factorisation. Soit \(f : x \to y\) dans \(W\). Factorisons \((f, 1_{y}) : x \sqcup y \to y\) en une cofibration \(x \sqcup y \to \bar{x}\) suivie d'une équivalence faible \(\alpha : \bar{x} \to y\), et notons \(i\) et \(g\) les composés de \(x \to x \sqcup y\) et \(y \to x \sqcup y\) avec \(x \sqcup y \to \bar{x}\). Alors \[ \alpha i = f, \qquad \alpha g = 1_{y}, \qquad i, g \in \mathrm{cof} \cap W, \] \(i\) et \(g\) étant des cofibrations parce que \(x\) et \(y\) sont cofibrants, et des équivalences faibles par deux-sur-trois.⁹

L'inverse proposé. « Je dis que \((g, i)\) est l'inverse cherché. » Pour voir que \((gf, i)\) est dans la composante de \(\underline{1}_{x}\), on voudrait utiliser le carré \(\alpha i = f \cdot 1_{x}\) ; mais \(\alpha\) n'est pas une cofibration, et \(\alpha i = f\), qui est dans \(W\), ne l'est pas davantage. Il faudrait une \(\beta : y \to y'\) dans \(W\) telle que \(\beta f\) soit dans \(\mathrm{cof}\), ce qui n'est visiblement pas possible en général — prendre pour cofibrations les monomorphismes, et \(f\) non mono. « Ça se présente mal ! »

Le foncteur \(q\). On définit plutôt \[ q : \widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}, \qquad x \mapsto x, \qquad (f, i) \mapsto [i]^{-1}[f], \] compatible aux identités et à la composition, et bien défini sur les composantes : une flèche \(u\) de \((f,i)\) vers \((f',i')\) est dans \(W\) par deux-sur-trois, et \([i']^{-1}[f'] = [ui]^{-1}[uf]\). Il est bijectif sur les objets. Il est plein : toute flèche de \(W^{-1}\mathcal{C}\) est un composé de \([f]\) et de \([w]^{-1}\), \(w \in W\), et il suffit que \([f]^{-1}\) provienne de \(\widetilde{\mathcal{C}}\) pour \(f \in W\). Or \(q(g, i) = [i]^{-1}[g]\) et, de \(\alpha i = f\), \([f][i]^{-1} = [\alpha]\), d'où \([f]\,[i]^{-1}[g] = [\alpha][g] = [\alpha g] = [1_{y}]\).

11–12

Le doute, et la rectification (page 11)

La difficulté est qu'il n'est pas clair que \(q\) soit fidèle — ce qui en ferait un isomorphisme de catégories.

Le doute. Le foncteur \(q\) se factorise visiblement par \[ \widetilde{\mathcal{C}} \longrightarrow W_{0}^{-1}\mathcal{C} \longrightarrow W^{-1}\mathcal{C}, \qquad W_{0} = W \cap \mathrm{cof}, \] et il faudrait que la seconde flèche soit une équivalence. « Mais je doute qu'il ne suffise d'inverser les équiv. faibles cofibrantes, pour que les équiv. faibles deviennent inversibles ! »

Le doute n'est pas fondé, et la page 9 contient de quoi le lever. Quand tous les objets sont cofibrants, toute \(f \in W\) s'écrit \(f = \alpha i\) avec \(\alpha g = 1_{y}\) et \(i, g \in W_{0}\). Dans \(W_{0}^{-1}\mathcal{C}\), \([g]\) est inversible et \([\alpha][g] = 1\), donc \([\alpha] = [g]^{-1}\) est inversible, et \([f] = [\alpha][i]\) aussi. Ainsi \(W_{0}^{-1}\mathcal{C} \to W^{-1}\mathcal{C}\) est un isomorphisme de catégories.¹⁰

La rectification. Il change donc de définition : \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\) est la catégorie des diagrammes \[ x \xrightarrow{\;f\;} \widetilde{y} \xleftarrow{\;i\;} y, \qquad f \in \mathrm{cof}, \quad i \in W, \] et \(\widetilde{\mathcal{C}}'\) la catégorie des \(\pi_{0}(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y))\). La page 5 demandait \(i \in \mathrm{cof} \cap W\) sans rien demander à \(f\) ; la page 11 déplace la condition de cofibration du dénominateur au numérateur.¹¹

13–15

Comparer deux factorisations, et le critère \((\star\star)\) (pages 13 à 15)

L'image d'une flèche. Soit \(f : x \to y\). Par C3, \(f = \alpha f_{0}\) avec \(f_{0} : x \to \bar{y}\) cofibration et \(\alpha : \bar{y} \to y\) dans \(W\) ; et, \(y\) étant cofibrant, on peut supposer que \(\alpha\) admet une section \(i\), comme à la page 9. Le diagramme \((f_{0}, i)\) est dans \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\), et \(q(f_{0}, i) = [i]^{-1}[f_{0}] = [\alpha][f_{0}] = [f]\).¹²

Deux factorisations \(f = \alpha f_{0} = \alpha' f'_{0}\) se comparent à une troisième. La somme amalgamée de \[ x \xleftarrow{\;\nabla_{x}\;} x \vee x \xrightarrow{\;f_{0} \vee f'_{0}\;} \bar{y} \sqcup \bar{y}' \] existe, \(f_{0} \vee f'_{0}\) étant une cofibration ; soit \(\widetilde{y}\) cette somme et \(g : x \to \widetilde{y}\), cofibration par C2. Les flèches \((\alpha, \alpha')\) et \(f\) induisent \(\varphi : \widetilde{y} \to y\), qu'on factorise en \(\varphi = \alpha''\varphi_{0}\), \(\varphi_{0} \in \mathrm{cof}\), \(\alpha'' \in W\). Posant \(f''_{0} = \varphi_{0}\, g\), on obtient des flèches de factorisations \((f_{0}, \alpha) \to (f''_{0}, \alpha'')\) et \((f'_{0}, \alpha') \to (f''_{0}, \alpha'')\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
x \vee x \arrow[r, "f_0 \vee f'_0"] \arrow[d, "\nabla_x"'] & \bar{y} \sqcup \bar{y}\,' \arrow[d] \arrow[dr, "{(\alpha, \alpha')}"] & \\
x \arrow[r, "g"'] & \widetilde{y} \arrow[r, "\varphi"'] & y
\end{tikzcd}

Il reste à comparer les sections¹³ : il suffirait que les sections de \(\alpha\) et \(\alpha'\) soient compatibles avec une section de \(\alpha''\), et ce n'est pas automatique.

La réduction. Comme \((f_{0}, i) = (\mathrm{id}_{\bar{y}}, i) \circ (f_{0}, \mathrm{id}_{\bar{y}})\), tout se ramène au choix de la section¹⁴ :

1. \((\star\star)\)Soit \(f : x \to y\) dans \(W\), et \(i, i' : y \to x\) deux sections de \(f\). Alors \((1_{x}, i)\) et \((1_{x}, i')\) sont dans la même composante connexe de \(\mathrm{Ch}'_{0}(x,y)\).

Énoncé final. La condition \((\star\star)\) est nécessaire et suffisante pour que \(q' : \widetilde{\mathcal{C}}' \to W^{-1}\mathcal{C}\) soit fidèle, donc un isomorphisme.

La nécessité est claire : \(f i = 1_{y}\) donne \([i]^{-1} = [f]\), de sorte que \(q'(1_{x}, i) = [i]^{-1} = [f] = [i']^{-1} = q'(1_{x}, i')\) ; si \(q'\) est fidèle, les deux diagrammes définissent la même flèche de \(\widetilde{\mathcal{C}}'\), c'est-à-dire sont dans la même composante. La suffisance est affirmée, et le dossier s'arrête là.¹⁵