Fonds Grothendieck, cote n° 105, pages 41–52

[Les axiomes W7, W8 pour W = W_{\mathbb{D}}, et l'axiome « Der 6 »]

titre de l'éditeur, entre crochets : aucun feuillet du lot n'en porte. Sa propre pagination court de 6 (page 42) à 18 (page 52) ; ses pages 1 à 5 ne sont pas dans ce lot.

p. 6 de l'auteur. Le haut de la page, jusqu'au « cqfd », est biffé de trois traits obliques ; c'est la fin d'un argument commencé avant. ~~q \in W \Longleftrightarrow q_{\overline{U}} \in W.~~ la double flèche est elle-même barrée d'un trait.

~~On a~~

\begin{tikzcd} U \arrow[r, "i_0"] \arrow[d, "q_U"'] & \overline{U} \arrow[d, "q_{\overline{U}}"] \\ U' \arrow[r, "i'_0"'] & \overline{U}' \end{tikzcd}

~~avec i_0, i'_0 \in W, donc q_{\overline{U}} \in W ssi q_U \in W. Donc q \in W ssi q_U \in W cqfd.~~

Dém. de W7, W(7bis) si W = W_{\underline{\mathbb{D}}} ? le chiffre devant « bis » est surchargé.

Se donner dans X ouverts U, U' ~~avec U \cup U' = X~~, revient au même que de se donner X \xrightarrow{\varphi} \Delta^1 \times \Delta^1, les fibres au-dessus des points resp. étant \left\{ \begin{array}{l} X_{0,0} = U \cap U', \quad X_{0,1} = U \cap T', \quad X_{1,0} = T \cap U', \quad X_{1,1} = T \cap T' \\ U = \varphi^{-1}(\{0\} \times \Delta^1), \quad U' = \varphi^{-1}(\Delta^1 \times \{0\}) \end{array} \right. ~~Donc~~ (T = X \setminus U, T' = X \setminus U'). ~~Donc~~ U \cup U' = X i.e. T \cap T' = \emptyset équivaut à : X_{1,1} = \emptyset, donc à ce que \varphi se factorise par X \to \Psi = \Delta^1 \times \Delta^1 \setminus \{(1,1)\} ; il écrit \{1,1\} pour le point (1,1). on a un foncteur

\begin{tikzcd} & & a = (0,1) \\ X \arrow[r] & \underline{\Psi} = 0 \arrow[ur] \arrow[dr] & \\ & & b = (1,0) \end{tikzcd}

les fibres étant X_0 = U \cap U', \quad X_a = U \cap T', \quad X_b = U' \cap T . Soient \underline{U}_0, \underline{U}'_0 les ouverts de \Psi induits par \{0\} \times \Delta^1, \Delta^1 \times \{0\}, donc \left\{ \begin{array}{l} \underline{U}_0 = \{0, a\}, \quad \underline{U}'_0 = \{0, b\} \\ \underline{U}_0 \cup \underline{U}'_0 = \Psi, \quad \underline{U}_0 \cap \underline{U}'_0 = \{0\} \end{array} \right. on a donc \left\{ \begin{array}{l} U = \varphi^{-1}(\underline{U}_0), \quad U' = \varphi^{-1}(\underline{U}'_0) \\ U \cap U' = \varphi^{-1}(\underline{U}_0 \cap \underline{U}'_0) = \varphi^{-1}(\{0\}) = X_0 \end{array} \right. les égalités X_0 = U \cap U', X_a = U \cap T' sont soulignées d'un trait ondulé.

p. 7 de l'auteur. On a aussi U = X_{/a}, \quad U' = X_{/b}, \quad U \cap U' = X_{/0} . dans la première égalité, un X est écrit sur un signe biffé. Ainsi le diagramme dans \mathrm{Cat}

(*)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & U \\ U \cap U' \arrow[ur, "i'_0"] \arrow[dr, "i_0"'] & \\ & U' \end{tikzcd}

de type \underline{\Psi} n'est-il autre que le foncteur \underline{\Psi} \to \mathrm{Cat} qui définit la cat. [cofibrée scindée] \Upsilon(X/\underline{\Psi}) = \overline{X} \text{ sur } \Psi

\begin{tikzcd} X \arrow[rr, "\alpha"] \arrow[dr, "\varphi"', no head] & & \overline{X} \arrow[dl, "\overline{\varphi}", no head] \\ & \underline{\Psi} & \end{tikzcd}

\alpha \in W_{\underline{\Psi}} sous le W, un indice surchargé puis \underline{\Psi} ; lecture de l'indice incertaine. Les deux traits vers \underline{\Psi} sont sans pointe sur la page. La lettre \Upsilon rend le \Psi épaissi qu'il écrit devant (X/\underline{\Psi}) ; « cofibrée scindée » est ajouté au-dessus de la ligne. U = \overline{X}_a, \quad U' = \overline{X}_b, \quad U \cap U' = \overline{X}_0 , les foncteurs i'_0, i_0 de ces diagrammes étant les foncteurs changement de base relatifs : 0 \xrightarrow{i'_0} a et 0 \xrightarrow{i_0} b. ~~D'autre~~

D'autre part \overline{\varphi} est propre, donc \overline{\varphi}_* se calcule fibre par fibre, en particulier, pour un coeff. const. \xi_{\overline{X}}, avec \xi \in \mathcal{A}, on trouve \overline{\varphi}_*(\xi_{\overline{X}})(s) = \begin{cases} H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) & \text{si } s = 0 \\ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) & \text{si } s = a \\ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) & \text{si } s = b \end{cases} dans la deuxième ligne une étoile est ajoutée après \xi ; le point de H^{\bullet} n'est net qu'à la première ligne.

pp. 8 et 9 de l'auteur : feuille à l'italienne, la moitié gauche porte le 8, la moitié droite le 9. Donc le diagramme squelettique

(*)

\begin{tikzcd}[column sep=small] H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) \arrow[dr] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) \arrow[dl] \\ & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) & \end{tikzcd}

de type \underline{\Psi}^{\mathrm{op}}, provient-il d'un diagramme essentiel \gamma_0 \overset{\text{déf}}{=} \overline{\varphi}_*(\xi_{\overline{X}}) \in \mathbb{D}(\underline{\Psi}) . « de type \Psi^{\mathrm{op}} » est ajouté au-dessus de la ligne ; devant le =, une lettre biffée sous « déf ». Considérons l'inclusion

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & (0,1) \arrow[dr, no head] & \\ (0,0) \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & & (1,1) \\ & (1,0) \arrow[ur] & \end{tikzcd}

\underline{\Psi} \overset{k}{\subset} \Delta^1 \times \Delta^1 = \text{(le carré ci-dessus)} le carré est écrit à droite de l'inclusion, après le signe = ; deux de ses côtés seulement portent une pointe. déduite de \Psi en lui ajoutant l'élément final (1,1). Soit \underline{k} l'inclusion, et considérons le « carré cartésien » \gamma = \underline{k}_*(\gamma_0) \in \mathbb{D}(\Delta^1 \times \Delta^1) ~~Donc les fibres de \gamma sur les points de~~ On a \underline{k}^*(\gamma) \simeq \gamma_0 donc le squel. induit par \gamma sur \Psi n'est autre que (*) ci-dessus. Mais je dis que le diagramme squelettique sur \Delta^1 \times \Delta^1 tout entier () s'identifie à :

à vérifier (ou à mettre comme axiome sur les dérivateurs). note oblique dans la marge, entre les deux moitiés de la feuille, reliée par un trait au paragraphe « Ceci doit faire partie » plus bas.

(**)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X, \xi) \arrow[dl, "i^*"'] \arrow[dr, "i'^*"] & \\ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) \arrow[dr, "i_0'^*"'] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) \arrow[dl, "i_0^*"] \\ & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) & \end{tikzcd}

en tête, sous le X, une lettre biffée.

NB On a un carré cartésien pour tt \xi \in \mathbb{D}(X), pas seulement \xi constant… encadré dans la marge droite, à côté de (**).

Notons pour ceci que si \psi = \underline{k} \circ \varphi : \overline{X} \longrightarrow \Delta^1 \times \Delta^1 = \underline{Q} on a \gamma = \underline{k}_*(\gamma_0) = \underline{k}_*(\varphi_*(\xi_{\overline{X}})) = \psi_*(\xi_{\overline{X}}) , d'où H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\Delta^1 \times \Delta^1, \gamma) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\overline{X}, \xi) \xrightarrow[\;1\;]{\sim} H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X, \xi) sous la flèche, un renvoi « (1) » ; à côté, « car \alpha : X \to \overline{X} \in W ». D'autre part, comme e = (1,1) élément final de \Delta^1 \times \Delta^1 = \underline{Q}, donc e \to \underline{Q} , \underbrace{H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\underline{Q}, \gamma)}_{H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\overline{X}, \xi)} \simeq \gamma(e) = \gamma(1,1) après \gamma(1,1), un mot biffé. d'où l'assertion.

Ceci doit faire partie, d'autre part, des propriétés générales des carrés cartésiens « dans \mathcal{A} » ~~pris~~ (comme (**)), que i_0^* \text{ iso} \Longleftrightarrow i^* \text{ iso} , et ceci étant vrai pour tt \xi \in \mathcal{A} = \mathbb{D}(e), cela donne i_0 \in W_{\mathbb{D}} \Longrightarrow i \in W_{\mathbb{D}} . « dans \mathcal{A} » est ajouté au-dessus de « pris », biffé ; le premier W_{\mathbb{D}} est écrit sur un premier essai.

p. 10 de l'auteur. Les quatre premières lignes sont barrées de grands traits croisés. ~~(Alors pour le Dérivateur , avec des coeff. loc. constants \xi , il faut que l' X \to \overline{X} soit \mathbb{D}-équiv. 2-complète~~ au-dessus de la ligne biffée, un mot entre guillemets, peut-être « complète ».

Pour avoir l'implication inverse i \in W_{\mathbb{D}} \Longrightarrow i_0 \in W_{\mathbb{D}} , il faudrait savoir que le diagramme (**), plus précisément le ~~diagramme~~ [carré] substantiel \gamma qui lui donne naissance, est non seulement cartésien, mais aussi cocartésien. « Moralement », qu'il soit cartésien me semble être la traduction cohomologique du fait que le ~~diagramme~~ [carré] « carré » est écrit, les deux fois, au-dessus de « diagramme » biffé.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & U \arrow[dr] & \\ U \cap U' \arrow[ur] \arrow[dr] & & X \\ & U' \arrow[ur] & \end{tikzcd}

dans \mathrm{Cat} est cocartésien dans un sens suffisamment fort. Mais il est également cartésien, de façon triviale, et on peut s'attendre (sous certaines conditions ) à ce que les diagrammes « transformés » par H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(-, \xi) soit cocartésien…

J'ai envie de X sur \underline{Q} = \Delta^1 \times \Delta^1, plutôt que sur \underline{\Psi} = \underline{Q} - \{e\} de \underline{Q}, alors \Psi_{\underline{Q}}(X) \mid \underline{\Psi} \simeq \Psi_{\underline{\Psi}}(X) \text{ déjà considéré.}

p. 11 de l'auteur. mais sa quatrième fibre est \overline{X}_{(1,1)} = X_{/(1,1)} \simeq X donc le diagramme [dans \mathrm{Cat}] du type \underline{Q} donnant naissance à \Psi_{\underline{Q}}(X) n'est autre que

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & U \arrow[dr, no head] & \\ U \cap U' \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & & X \\ & U' \arrow[ur, no head] & \end{tikzcd}

Mais ce diagramme [comme diagramme de \mathrm{Cat}] n'est bien sûr pas quelconque, sa propriété essentielle, parmi les propriétés que nous avons en vue, ~~un exemple~~ étant la suivante : \underbrace{\Bigl(\int \bigl(V \to U,\ V \to U'\bigr)\Bigr)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \Psi_{\underline{\Psi}}(X)} \longrightarrow X sous l'intégrale, la source commune est d'abord écrite puis surchargée ; on la lit V, qui dans le petit diagramme de droite tient la place de U \cap U'. L'accolade porte « déf » ; lecture de ce qui l'accompagne incertaine. \Psi_{\underline{\Psi}}(X) construit précédemment de \mathrm{Cat} sans plus flèche définie par le diagramme V \to U \to X, V \to U' \to X dans \mathrm{Cat} dans la marge, le diagramme est dessiné en losange ; il est ici mis en ligne. est dans W. Et le fait général est le suivant :

« Principe » (?) Soit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_a \\ X_0 \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \\ & X_b \end{tikzcd}

un diagramme dans \mathrm{Cat} du type \underline{\Psi}, soit \mathcal{X} la cat. cofibrée sur \Psi qu'il définit. Pour tout

pp. 12 et 13 de l'auteur : feuille à l'italienne, les deux moitiés comme à la page 45. \xi \in \mathbb{D}(\mathcal{X}), considérons (si \varphi : \mathcal{X} \to \underline{\Psi} est la projection) \gamma_0 \overset{\text{déf}}{=} \varphi_*(\xi) \in \mathbb{D}(\underline{\Psi}) , \qquad \gamma = \underline{k}_*(\gamma_0) \in \mathbb{D}(\underline{Q}) , d'où \begin{array}{l} \gamma(0,0) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_0, \xi) \\ \gamma(0,1) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_a, \xi) \\ \gamma(1,0) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_b, \xi) \\ \gamma(1,1) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\mathcal{X}, \xi) \end{array} à la première ligne, un symbole biffé après \simeq. et ~~diagramme~~ le carré squelettique associé est

(*)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\mathcal{X}, \xi) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_a, \xi) \arrow[dr] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_b, \xi) \arrow[dl] \\ & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_0, \xi) & \end{tikzcd}

(NB

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_a \arrow[dr] & \\ X_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathcal{X} \\ & X_b \arrow[ur] & \end{tikzcd}

n'est même pas commutatif, dans \mathcal{X} X_a \cap X_b = \emptyset. Mais

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_{/a} \arrow[dr, no head] & \\ X_{/0} \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & & \mathcal{X} \\ & X_{/b} \arrow[ur, no head] & \end{tikzcd}

est commutatif, et le carré (*) est aussi déduit de celui-ci par H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(-, \xi).) « est commutatif » est écrit en haut de la moitié droite ; le passage enjambe les deux moitiés.

L'élément \gamma \in \mathbb{D}(\underline{Q}) est cartésien par construction, dans le « cas » . Ça serait le cas pour tout \mathcal{X} [propre] au-dessus de \underline{\Psi}, sans avoir à le supposer cofibré. Mais le fait que \mathcal{X} soit cofibré doit donner le cas suppl. qu'il est aussi cocartésien. J'ai l'impression que ça ne peut des raisons de l'un des axiomes Der 1 – Der 5, 5' jusqu'à présent. Je vais le mettre comme

« Der 6 » (provisoire) Si Si \mathcal{X} sur \underline{\Psi} est cofibré, \xi ~~quelconque \mathcal{X}~~ dans \mathbb{D}(\mathcal{X}), l'élément \psi_*(\xi) \in \mathbb{D}(\underline{Q}) , \qquad \text{où } \psi = \bigl(\mathcal{X} \xrightarrow{\varphi} \underline{\Psi} \xrightarrow{\underline{k}} \underline{Q}\bigr), \quad \underline{Q} = \Delta^1 \times \Delta^1 , est non seulement cartésien, mais aussi cocartésien.

Axiome des cofibrations écrit en oblique au bas de la moitié droite, souligné ; au-dessous, en plus petit, trois lignes presque illisibles où l'on distingue « Der 6 ». Dans la marge de gauche de la même moitié, une note oblique reliée à « Der 6 » (« cohomologiquement ») reste illisible.

p. 14 de l'auteur. « Der 6' » (provisoire) Si \mathcal{X} est fibré sur \underline{\Psi}^{\mathrm{op}} = \underline{\Phi} = \bigl(a \rightarrow 1 \leftarrow b\bigr) (donc donné, à \underline{\Phi}-équiv. près, par un diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_0 \\ X_a \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \\ & X_b \end{tikzcd}

dans \mathrm{Cat}) alors pour \xi \in \mathbb{D}(\mathcal{X}) constant (voir l.c.), \psi_!(\xi) \in \mathbb{D}(\underline{Q}) est non seulement cocartésien (sans mérite), mais aussi cartésien. le diagramme est reproduit tel que la page le trace, un trait sans pointe entre X_a et X_0 et une flèche de X_a vers X_b. Dans la marge gauche, un bloc de griffonnages raturés, et en oblique « Axiome des fibrations ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & a \arrow[dl] & \\ 1 & & 0 \arrow[ul] \arrow[dl] \\ & b \arrow[ul] & \end{tikzcd}

\underline{\Phi} \subset \underline{Q}^{\circ} = \text{(le carré ci-dessus)} sur la page, les trois sommets a, 1, b sont entourés d'un trait : c'est \underline{\Phi} dans \underline{Q}^{\circ}.

NB Der 6' pour \mathbb{D} ~~équivaut~~ n'est autre que Der 6 pour \mathbb{D}^{\circ}. Je ne vois pas comment l'une impliquerait l'autre, en dehors du cas exceptionnel où il y a comme () un foncteur dualisant dans \mathcal{A} = \mathbb{D}(e), et une dualité correspondante par dualité entre cohomologie et homologie.

Finalement, il semblerait que l'axiome qui englobe Der 6 et Der 6bis bien , soit le suivant !

« Der 6 » Si \gamma \in \mathbb{D}(\Delta^1 \times \Delta^1), \gamma est cartésien ssi il est cocartésien. [~~De plus~~ (ça revient au même que si ) le diagramme squelettique associé est ] « Der 6 » est suivi d'un mot noirci ; l'addition entre crochets, à droite, est interlinéaire et très raturée. Dans la marge gauche, en oblique et en partie biffé : « l'axiome “vrai” cartésien ».

p. 15 de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \gamma(0,1) \arrow[dl, "j_0"'] & \\ \gamma(0,0) & & \gamma(1,1) \arrow[ul, "i_1"'] \arrow[dl, "j_1"] \\ & \gamma(1,0) \arrow[ul, "i_0"] & \end{tikzcd}

donc \left\{ \begin{array}{l} i_1 \text{ iso} \Longrightarrow i_0 \text{ iso} , \\ j_1 \text{ iso} \Longrightarrow j_0 \text{ iso} . \end{array} \right. De plus, on doit invoquer les dérivateurs induits \mathbb{D}_I (I \in \mathrm{Diag}), dans \mathbb{D}(I \times \Delta^1 \times \Delta^1). en haut à droite de la page, à côté du carré.

Cette dernière montre aussitôt de la précédente (car cart. implique \Longrightarrow, cocartésien implique \Longleftarrow), pourvu qu'on ait :

« Lemme » (~~associé à Der 6~~) : si \xi = \Bigl( \xi_a \xrightarrow{\;j_0\;} \xi_0 \xleftarrow{\;i_0\;} \xi_b \Bigr) est un diagramme substantiel tel que i_0 soit un iso, alors il est isom. à l'image inverse d'un \eta \in \mathbb{D}(\underline{U}) avant la parenthèse, un \xi suivi d'un signe biffé ; sous le \underline{U} de \mathbb{D}(\underline{U}), une lettre raturée. (où \underline{U} = (0 \to a) \simeq \Delta^1 est l'ouvert complémentaire dans \underline{\Psi}) par la rétraction canonique \rho de \underline{\Psi} sur \underline{U}.

Il suffit de prouver que \rho^* \rho_*(\xi) \longrightarrow \xi \quad (\text{adj.}) est un iso. Comme \rho est lisse, comme induit par \mathrm{pr}_1 : \Delta^1 \times \Delta^1 \to \Delta^1 ~~propre~~, \rho_*(\xi) se calcule fibre par fibre. On est ramené à calculer fibre par fibre que \mathcal{A} = \mathbb{D}(e) \longrightarrow \mathbb{D}^{\mathrm{cc}}(\Delta^1) est une équiv. de cat. (forme de Der 3)^* l'exposant de \mathbb{D} se lit mal ; « cc » est une lecture. La phrase commence par une flèche barrée. Le long de la marge gauche, une note verticale, biffée, reste illisible.

pp. 16 et 17 de l'auteur : feuille à l'italienne, comme aux pages 45 et 48. Dans HOT, j'ai admis que :

Tout carré cocartésien est cartésien. Pour qu'un carré cartésien

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \xi_0 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \xi_a \arrow[dr] & & \xi_b \arrow[dl] \\ & \xi_1 & \end{tikzcd}

soit aussi cocartésien, il f. et s. que l'on ait \pi_0(\xi_1) = \mathrm{Im}\, \pi_0(\xi_a) \cup \mathrm{Im}\, \pi_0(\xi_b)

les trois lignes sont tenues par un trait vertical à gauche. Dans la marge, une note oblique, en partie lisible : « tout carré cocartésien \xi_1 = e ».

Der 6 ou Der 6' donc

Clairement : W8, il semble découler d'un principe général (« lemme des carrés ») :

« Der 8 » (Soit un homomorphisme d'un carré cartésien dans \mathcal{A}(\Delta^1 \times \Delta^1). Considérons dans un autre, dans les conditions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \xi_a \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_a"] & \\ \xi_0 \arrow[ur] \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_0"'] & & \xi_1 \arrow[ddd, "f_1"] \\ & \xi_b \arrow[ur] \arrow[ddd, "f_b"'] & \\ & \eta_a \arrow[dr] & \\ \eta_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \eta_1 \\ & \eta_b \arrow[ur] & \end{tikzcd}

cube redessiné : sur la page les deux carrés sont décalés l'un sous l'autre et les quatre flèches verticales f_0, f_a, f_b, f_1 se croisent ; les indices a, b des sommets intermédiaires se lisent mal.

a)f_0 est iso b)f_1 est iso c)f_a et f_b sont iso.

~~Alors~~ si les carrés sont cartésiens, Alors b + c \Rightarrow a. S'ils sont cocartésiens, a + c \Rightarrow b). S'ils sont bicartésiens, de plus a + b \Rightarrow c ( ?)

~~NB. Le a + c \Rightarrow b, b + c \Rightarrow a . Les vrais a + b \Rightarrow c~~ passage barré de traits obliques. Dans la marge gauche, en oblique : « Il suffit d'exiger a + b \Rightarrow c si f_a, f_b ».

W7 bis Soit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_a \\ X_0 \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \\ & X_b \end{tikzcd}

diagramme dans \mathrm{Cat}, soit \underline{\Phi} = \bigl(0 \leftarrow a,\ 0 \leftarrow b\bigr) et \mathcal{X} la catégorie fibrée sur \underline{\Phi} définie par le diagramme. On a un diagramme commutatif dans \mathrm{Hot}_{W} :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_0 \arrow[dl, "i_a"'] \arrow[dr, "i_b"] & \\ X_a \arrow[dr, "i'_b"'] & & X_b \arrow[dl, "i'_a"] \\ & \mathcal{X} & \end{tikzcd}

les pointes des flèches de \underline{\Phi} se lisent mal ; la forme donnée est une lecture. À la page 52, la même donnée s'écrit avec les mêmes étiquettes. NB Autre possibilité : \mathcal{X} fibrée sur

(NB Dans \mathrm{Cat}, ~~je présume que~~ les deux flèches composées sont homotopes, par un chemin de longueur 2 homotopes toutes deux, par une homotopie de long. 1, à « l'inclusion » X_0 \hookrightarrow \mathcal{X})

Alors tous \begin{array}{l} i_a \in W \Longleftrightarrow i'_a \in W \\ i_b \in W \Longleftrightarrow i'_b \in W \end{array}

W8 bis Soit un diagramme commutatif (traits pleins) dans \mathrm{Cat}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_a \arrow[dr, dashed] \arrow[ddd, "f_a"] & \\ X_0 \arrow[ur] \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_0"'] & & \mathcal{X} \arrow[ddd, "f"] \\ & X_b \arrow[ur, dashed] \arrow[ddd, "f_b"'] & \\ & X'_a \arrow[dr, dashed] & \\ X'_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathcal{X}' \\ & X'_b \arrow[ur, dashed] & \end{tikzcd}

cube redessiné sur le modèle de celui de la moitié gauche ; sur la page, les flèches vers \mathcal{X} et \mathcal{X}' sont pointillées, les autres pleines. Les étiquettes f_a, f_b se lisent mal. équivalemment : \mathcal{X}, \mathcal{X}' cartésien sur \mathcal{X}' en oblique à gauche du cube, en partie biffé. À droite du cube, une autre note oblique : « et f ».

se complétant par un diagramme commutatif dans \mathrm{Hot}_{W} (via construction de \mathcal{X}, \mathcal{X}' à la W7bis, \mathcal{X} = \int\bigl(X_0 \to X_a,\ X_0 \to X_b\bigr)). Considérons les conditions \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } f \in W \\ \text{b) } f_0 \in W \\ \text{c) } f_a \text{ et } f_b \in W \end{array} \right. Alors deux de ces conditions impliquent la troisième.

p. 18 de l'auteur (numéro entouré). ~~Variante forte~~ [Corollaire de W7 bis] (sous forme plus forte W)

W7 bis Soit \mathcal{X} lisse sur \underline{\Phi} = \bigl(0 \leftarrow a,\ 0 \to b\bigr), d'où diagramme (comme dans \mathrm{Hot}_{W}) les pointes des flèches de \underline{\Phi} se lisent mal, ici comme à la page 51.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X & \\ X_a \arrow[ur, "i'_b"] & & X_b \arrow[ul, "i'_a"'] \\ & X_0 \arrow[ul, "i_a"] \arrow[ur, "i_b"'] & \end{tikzcd}

Alors i_a \in W \Longleftrightarrow i'_a \in W (donc i_b \in W \Longleftrightarrow i'_b \in W)

(NB cela implique l'axiome dual W7' bis, avec X propre sur \underline{\Psi} = \bigl(0 \to a,\ 0 \to b\bigr))

~~Corollaire~~ de W8 bis (forme renforcée W)

W8 bis Soient \mathcal{X}, \mathcal{X}' lisses sur \underline{\Phi} = \bigl(0 \leftarrow a,\ 0 \leftarrow b\bigr) et f : \mathcal{X} \to \mathcal{X}' un \underline{\Phi}-morphisme, soient f_a, f_b, f_0 induits sur les fibres, et les conditions

a)f \in W b)f_0 \in W c)f_a et f_b \in W.

Alors deux de ces conditions impliquent la troisième.