Cote n° 105 · batch 3 · pages 41–52 · Transcription · [Champs (stacks) 2] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration

[Les axiomes W7, W8 pour \(W = W_{\mathbb{D}}\), et l'axiome « Der 6 »]

titre de l'éditeur, entre crochets : aucun feuillet du lot n'en porte. Sa propre pagination court de 6 (page 42) à 18 (page 52) ; ses pages 1 à 5 ne sont pas dans ce lot.

42p. 6 de l'auteur. Le haut de la page, jusqu'au « cqfd », est biffé de trois traits obliques ; c'est la fin d'un argument commencé avant. \(q \in W \Longleftrightarrow q_{\overline{U}} \in W\). la double flèche est elle-même barrée d'un trait.

On a

\begin{tikzcd}
U \arrow[r, "i_0"] \arrow[d, "q_U"'] & \overline{U} \arrow[d, "q_{\overline{U}}"] \\
U' \arrow[r, "i'_0"'] & \overline{U}'
\end{tikzcd}

avec \(i_0\), \(i'_0 \in W\), donc \(q_{\overline{U}} \in W\) ssi \(q_U \in W\). Donc \(q \in W\) ssi \(q_U \in W\) cqfd.

Dém. de \(W7\), \(W\)(7bis) si \(W = W_{\underline{\mathbb{D}}}\) ? le chiffre devant « bis » est surchargé.

Se donner dans \(X\) ouverts \(U\), \(U'\) avec \(U \cup U' = X\), revient au même que de se donner \(X \xrightarrow{\varphi} \Delta^1 \times \Delta^1\), […] les fibres […] au-dessus des points resp. étant \[ \left\{ \begin{array}{l} X_{0,0} = U \cap U', \quad X_{0,1} = U \cap T', \quad X_{1,0} = T \cap U', \quad X_{1,1} = T \cap T' \\ U = \varphi^{-1}(\{0\} \times \Delta^1), \quad U' = \varphi^{-1}(\Delta^1 \times \{0\}) \end{array} \right. \] Donc (\(T = X \setminus U\), \(T' = X \setminus U'\)). Donc \(U \cup U' = X\) i.e. \(T \cap T' = \emptyset\) équivaut à : \(X_{1,1} = \emptyset\), donc à ce que \(\varphi\) se factorise par \(X \to \Psi = \Delta^1 \times \Delta^1 \setminus \{(1,1)\}\) ; il écrit \(\{1,1\}\) pour le point \((1,1)\). on a un foncteur

\begin{tikzcd}
& & a = (0,1) \\
X \arrow[r] & \underline{\Psi} = 0 \arrow[ur] \arrow[dr] & \\
& & b = (1,0)
\end{tikzcd}

les fibres étant \[ X_0 = U \cap U', \quad X_a = U \cap T', \quad X_b = U' \cap T . \] Soient \(\underline{U}_0\), \(\underline{U}'_0\) les ouverts de \(\Psi\) induits par \(\{0\} \times \Delta^1\), \(\Delta^1 \times \{0\}\), donc \[ \left\{ \begin{array}{l} \underline{U}_0 = \{0, a\}, \quad \underline{U}'_0 = \{0, b\} \\ \underline{U}_0 \cup \underline{U}'_0 = \Psi, \quad \underline{U}_0 \cap \underline{U}'_0 = \{0\} \end{array} \right. \] on a donc \[ \left\{ \begin{array}{l} U = \varphi^{-1}(\underline{U}_0), \quad U' = \varphi^{-1}(\underline{U}'_0) \\ U \cap U' = \varphi^{-1}(\underline{U}_0 \cap \underline{U}'_0) = \varphi^{-1}(\{0\}) = X_0 \end{array} \right. \] les égalités \(X_0 = U \cap U'\), \(X_a = U \cap T'\) sont soulignées d'un trait ondulé.

44p. 7 de l'auteur. On a aussi \[ U = X_{/a}, \quad U' = X_{/b}, \quad U \cap U' = X_{/0} . \] dans la première égalité, un \(X\) est écrit sur un signe biffé. Ainsi le diagramme dans \(\mathrm{Cat}\)

(*)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& U \\
U \cap U' \arrow[ur, "i'_0"] \arrow[dr, "i_0"'] & \\
& U'
\end{tikzcd}

de type \(\underline{\Psi}\) n'est-il autre que le foncteur \(\underline{\Psi} \to \mathrm{Cat}\) qui définit la cat. [cofibrée scindée] \[ \Upsilon(X/\underline{\Psi}) = \overline{X} \text{ sur } \Psi \]

\begin{tikzcd}
X \arrow[rr, "\alpha"] \arrow[dr, "\varphi"', no head] & & \overline{X} \arrow[dl, "\overline{\varphi}", no head] \\
& \underline{\Psi} &
\end{tikzcd}

\(\alpha \in W_{\underline{\Psi}}\) sous le \(W\), un indice surchargé puis \(\underline{\Psi}\) ; lecture de l'indice incertaine. Les deux traits vers \(\underline{\Psi}\) sont sans pointe sur la page. La lettre \(\Upsilon\) rend le \(\Psi\) épaissi qu'il écrit devant \((X/\underline{\Psi})\) ; « cofibrée scindée » est ajouté au-dessus de la ligne. \[ U = \overline{X}_a, \quad U' = \overline{X}_b, \quad U \cap U' = \overline{X}_0 , \] les foncteurs \(i'_0\), \(i_0\) de ces diagrammes étant les foncteurs changement de base relatifs : \(0 \xrightarrow{i'_0} a\) et \(0 \xrightarrow{i_0} b\). D'autre

D'autre part \(\overline{\varphi}\) est propre, donc \(\overline{\varphi}_*\) se calcule fibre par fibre, en particulier, pour un coeff. const. \(\xi_{\overline{X}}\), avec \(\xi \in \mathcal{A}\), on trouve \[ \overline{\varphi}_*(\xi_{\overline{X}})(s) = \begin{cases} H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) & \text{si } s = 0 \\ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) & \text{si } s = a \\ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) & \text{si } s = b \end{cases} \] dans la deuxième ligne une étoile est ajoutée après \(\xi\) ; le point de \(H^{\bullet}\) n'est net qu'à la première ligne.

45pp. 8 et 9 de l'auteur : feuille à l'italienne, la moitié gauche porte le 8, la moitié droite le 9. Donc le diagramme squelettique

(*)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) \arrow[dr] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) \arrow[dl] \\
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) &
\end{tikzcd}

de type \(\underline{\Psi}^{\mathrm{op}}\), provient-il d'un diagramme essentiel \[ \gamma_0 \overset{\text{déf}}{=} \overline{\varphi}_*(\xi_{\overline{X}}) \in \mathbb{D}(\underline{\Psi}) . \] « de type \(\Psi^{\mathrm{op}}\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; devant le \(=\), une lettre biffée sous « déf ». Considérons l'inclusion

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& (0,1) \arrow[dr, no head] & \\
(0,0) \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & & (1,1) \\
& (1,0) \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

\[ \underline{\Psi} \overset{k}{\subset} \Delta^1 \times \Delta^1 = \text{(le carré ci-dessus)} \] le carré est écrit à droite de l'inclusion, après le signe \(=\) ; deux de ses côtés seulement portent une pointe. déduite de \(\Psi\) en lui ajoutant l'élément final \((1,1)\). Soit \(\underline{k}\) l'inclusion, et considérons le « carré cartésien » \[ \gamma = \underline{k}_*(\gamma_0) \in \mathbb{D}(\Delta^1 \times \Delta^1) \] Donc les fibres de \(\gamma\) sur les points de On a \[ \underline{k}^*(\gamma) \simeq \gamma_0 \] donc le […] squel. induit par \(\gamma\) sur \(\Psi\) n'est autre que (*) ci-dessus. Mais je dis que le diagramme squelettique sur \(\Delta^1 \times \Delta^1\) tout entier ([…]) s'identifie à :

à vérifier (ou à mettre comme axiome sur les dérivateurs). note oblique dans la marge, entre les deux moitiés de la feuille, reliée par un trait au paragraphe « Ceci doit faire partie » plus bas.

(**)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X, \xi) \arrow[dl, "i^*"'] \arrow[dr, "i'^*"] & \\
H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) \arrow[dr, "i_0'^*"'] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) \arrow[dl, "i_0^*"] \\
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) &
\end{tikzcd}

en tête, sous le \(X\), une lettre biffée.

NB On a un carré cartésien pour tt \(\xi \in \mathbb{D}(X)\), pas seulement \(\xi\) constant… encadré dans la marge droite, à côté de (**).

Notons pour ceci que si \[ \psi = \underline{k} \circ \varphi : \overline{X} \longrightarrow \Delta^1 \times \Delta^1 = \underline{Q} \] on a \[ \gamma = \underline{k}_*(\gamma_0) = \underline{k}_*(\varphi_*(\xi_{\overline{X}})) = \psi_*(\xi_{\overline{X}}) , \] d'où \[ H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\Delta^1 \times \Delta^1, \gamma) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\overline{X}, \xi) \xrightarrow[\;1\;]{\sim} H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X, \xi) \] sous la flèche, un renvoi « (1) » ; à côté, « car \(\alpha : X \to \overline{X} \in W\) ». D'autre part, comme \(e = (1,1)\) élément final de \(\Delta^1 \times \Delta^1 = \underline{Q}\), donc \(e \to \underline{Q}\) […], \[ \underbrace{H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\underline{Q}, \gamma)}_{H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\overline{X}, \xi)} \simeq \gamma(e) = \gamma(1,1) \] après \(\gamma(1,1)\), un mot biffé. d'où l'assertion.

Ceci doit faire partie, d'autre part, des propriétés générales des carrés cartésiens « dans \(\mathcal{A}\) » pris (comme (**)), que \[ i_0^* \text{ iso} \Longleftrightarrow i^* \text{ iso} , \] et ceci étant vrai pour tt \(\xi \in \mathcal{A} = \mathbb{D}(e)\), cela donne \[ i_0 \in W_{\mathbb{D}} \Longrightarrow i \in W_{\mathbb{D}} . \] « dans \(\mathcal{A}\) » est ajouté au-dessus de « pris », biffé ; le premier \(W_{\mathbb{D}}\) est écrit sur un premier essai.

46p. 10 de l'auteur. Les quatre premières lignes sont barrées de grands traits croisés. (Alors pour le Dérivateur […], avec des coeff. loc. constants \(\xi\) […] […], il faut […] que l'[…] \(X \to \overline{X}\) soit \(\mathbb{D}\)-équiv. 2-complète au-dessus de la ligne biffée, un mot entre guillemets, peut-être « complète ».

Pour avoir l'implication inverse \[ i \in W_{\mathbb{D}} \Longrightarrow i_0 \in W_{\mathbb{D}} , \] il faudrait savoir que le diagramme (**), plus […] précisément le diagramme [carré] substantiel \(\gamma\) qui lui donne naissance, est non seulement cartésien, mais aussi cocartésien. « Moralement », qu'il soit cartésien me semble être la traduction cohomologique du fait que le diagramme [carré] « carré » est écrit, les deux fois, au-dessus de « diagramme » biffé.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& U \arrow[dr] & \\
U \cap U' \arrow[ur] \arrow[dr] & & X \\
& U' \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

dans \(\mathrm{Cat}\) est cocartésien dans un sens suffisamment fort. Mais il est également cartésien, de façon triviale, et on peut s'attendre (sous certaines conditions […]) à ce que les diagrammes « transformés » par \(H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(-, \xi)\) soit cocartésien…

J'ai envie de […] […] […] \(X\) […] sur \(\underline{Q} = \Delta^1 \times \Delta^1\), plutôt que sur […] \(\underline{\Psi} = \underline{Q} - \{e\}\) de \(\underline{Q}\), alors \[ \Psi_{\underline{Q}}(X) \mid \underline{\Psi} \simeq \Psi_{\underline{\Psi}}(X) \text{ déjà considéré.} \]

47p. 11 de l'auteur. mais sa quatrième fibre est \[ \overline{X}_{(1,1)} = X_{/(1,1)} \simeq X \] donc le diagramme [dans \(\mathrm{Cat}\)] du type \(\underline{Q}\) donnant naissance à \(\Psi_{\underline{Q}}(X)\) n'est autre que

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& U \arrow[dr, no head] & \\
U \cap U' \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & & X \\
& U' \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

Mais ce diagramme [comme diagramme de \(\mathrm{Cat}\)] n'est bien sûr pas quelconque, sa propriété essentielle, parmi les propriétés que nous avons en vue, un exemple étant la suivante : \[ \underbrace{\Bigl(\int \bigl(V \to U,\ V \to U'\bigr)\Bigr)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \Psi_{\underline{\Psi}}(X)} \longrightarrow X \] sous l'intégrale, la source commune est d'abord écrite puis surchargée ; on la lit \(V\), qui dans le petit diagramme de droite tient la place de \(U \cap U'\). L'accolade porte « déf » ; lecture de ce qui l'accompagne incertaine. \(\Psi_{\underline{\Psi}}(X)\) construit précédemment de \(\mathrm{Cat}\) sans plus flèche définie par le diagramme \(V \to U \to X\), \(V \to U' \to X\) dans \(\mathrm{Cat}\) dans la marge, le diagramme est dessiné en losange ; il est ici mis en ligne. est dans \(W\). Et le fait général […] […] […] est le suivant :

« Principe » (?) Soit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_a \\
X_0 \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \\
& X_b
\end{tikzcd}

un diagramme dans \(\mathrm{Cat}\) du type \(\underline{\Psi}\), soit \(\mathcal{X}\) la cat. cofibrée sur \(\Psi\) qu'il définit. Pour tout

48pp. 12 et 13 de l'auteur : feuille à l'italienne, les deux moitiés comme à la page 45. \(\xi \in \mathbb{D}(\mathcal{X})\), considérons (si \(\varphi : \mathcal{X} \to \underline{\Psi}\) est la projection) \[ \gamma_0 \overset{\text{déf}}{=} \varphi_*(\xi) \in \mathbb{D}(\underline{\Psi}) , \qquad \gamma = \underline{k}_*(\gamma_0) \in \mathbb{D}(\underline{Q}) , \] d'où \[ \begin{array}{l} \gamma(0,0) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_0, \xi) \\ \gamma(0,1) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_a, \xi) \\ \gamma(1,0) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_b, \xi) \\ \gamma(1,1) \simeq H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\mathcal{X}, \xi) \end{array} \] à la première ligne, un symbole biffé après \(\simeq\). et diagramme le carré squelettique associé est

(*)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(\mathcal{X}, \xi) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_a, \xi) \arrow[dr] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_b, \xi) \arrow[dl] \\
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X_0, \xi) &
\end{tikzcd}

(NB

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_a \arrow[dr] & \\
X_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathcal{X} \\
& X_b \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

n'est même pas commutatif, dans \(\mathcal{X}\) […] \(X_a \cap X_b = \emptyset\). Mais

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_{/a} \arrow[dr, no head] & \\
X_{/0} \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & & \mathcal{X} \\
& X_{/b} \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

est commutatif, et le carré (*) est aussi déduit de celui-ci par \(H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(-, \xi)\).) « est commutatif » est écrit en haut de la moitié droite ; le passage enjambe les deux moitiés.

L'élément \(\gamma \in \mathbb{D}(\underline{Q})\) est cartésien par construction, dans le « cas » […] […]. Ça serait le cas pour tout […] \(\mathcal{X}\) [propre] au-dessus de \(\underline{\Psi}\), sans avoir à le supposer cofibré. Mais le fait que \(\mathcal{X}\) soit cofibré doit donner […] […] le cas […] suppl. qu'il est aussi cocartésien. J'ai l'impression […] […] […] que ça ne peut […] des raisons […] de l'un des axiomes Der 1 – Der 5, 5' jusqu'à présent. Je vais le mettre comme

« Der 6 » (provisoire) Si Si \(\mathcal{X}\) sur \(\underline{\Psi}\) est cofibré, […] \(\xi\) quelconque […] \(\mathcal{X}\) […] […] dans \(\mathbb{D}(\mathcal{X})\), […] l'élément \[ \psi_*(\xi) \in \mathbb{D}(\underline{Q}) , \qquad \text{où } \psi = \bigl(\mathcal{X} \xrightarrow{\varphi} \underline{\Psi} \xrightarrow{\underline{k}} \underline{Q}\bigr), \quad \underline{Q} = \Delta^1 \times \Delta^1 , \] est non seulement cartésien, mais aussi cocartésien.

Axiome des cofibrations écrit en oblique au bas de la moitié droite, souligné ; au-dessous, en plus petit, trois lignes presque illisibles où l'on distingue « Der 6 ». Dans la marge de gauche de la même moitié, une note oblique reliée à « Der 6 » (« […] […] cohomologiquement […] ») reste illisible.

49p. 14 de l'auteur. « Der 6' » (provisoire) Si \(\mathcal{X}\) est fibré sur \[ \underline{\Psi}^{\mathrm{op}} = \underline{\Phi} = \bigl(a \rightarrow 1 \leftarrow b\bigr) \] (donc donné, à \(\underline{\Phi}\)-équiv. près, par un diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_0 \\
X_a \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \\
& X_b
\end{tikzcd}

dans \(\mathrm{Cat}\)) alors pour \(\xi \in \mathbb{D}(\mathcal{X})\) constant (voir l.c.), […] \(\psi_!(\xi) \in \mathbb{D}(\underline{Q})\) est non seulement cocartésien (sans mérite), mais aussi cartésien. le diagramme est reproduit tel que la page le trace, un trait sans pointe entre \(X_a\) et \(X_0\) et une flèche de \(X_a\) vers \(X_b\). Dans la marge gauche, un bloc de griffonnages raturés, et en oblique « Axiome des fibrations ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& a \arrow[dl] & \\
1 & & 0 \arrow[ul] \arrow[dl] \\
& b \arrow[ul] &
\end{tikzcd}

\[ \underline{\Phi} \subset \underline{Q}^{\circ} = \text{(le carré ci-dessus)} \] sur la page, les trois sommets \(a\), \(1\), \(b\) sont entourés d'un trait : c'est \(\underline{\Phi}\) dans \(\underline{Q}^{\circ}\).

NB Der 6' pour \(\mathbb{D}\) équivaut n'est autre que Der 6 pour \(\mathbb{D}^{\circ}\). Je ne vois pas comment l'une impliquerait l'autre, en dehors du cas exceptionnel où il y a comme ([…]) un foncteur dualisant dans \(\mathcal{A} = \mathbb{D}(e)\), et une dualité correspondante par dualité entre cohomologie et homologie.

Finalement, il semblerait que l'axiome qui englobe Der 6 et Der 6bis bien […], soit le suivant !

« Der 6 » […] Si \(\gamma \in \mathbb{D}(\Delta^1 \times \Delta^1)\), \(\gamma\) est cartésien ssi il est cocartésien. [De plus (ça revient au même que si […] […]) le diagramme squelettique associé est […]] « Der 6 » est suivi d'un mot noirci ; l'addition entre crochets, à droite, est interlinéaire et très raturée. Dans la marge gauche, en oblique et en partie biffé : « l'axiome “vrai” […] […] cartésien […] ».

50p. 15 de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \gamma(0,1) \arrow[dl, "j_0"'] & \\
\gamma(0,0) & & \gamma(1,1) \arrow[ul, "i_1"'] \arrow[dl, "j_1"] \\
& \gamma(1,0) \arrow[ul, "i_0"] &
\end{tikzcd}

donc \[ \left\{ \begin{array}{l} i_1 \text{ iso} \Longrightarrow i_0 \text{ iso} , \\ j_1 \text{ iso} \Longrightarrow j_0 \text{ iso} . \end{array} \right. \] De plus, on doit invoquer […] […] les dérivateurs induits \(\mathbb{D}_I\) (\(I \in \mathrm{Diag}\)), dans \(\mathbb{D}(I \times \Delta^1 \times \Delta^1)\). en haut à droite de la page, à côté du carré.

Cette dernière montre aussitôt […] de la précédente (car cart. implique \(\Longrightarrow\), cocartésien implique \(\Longleftarrow\)), pourvu qu'on ait :

« Lemme » (associé à Der 6) : si \[ \xi = \Bigl( \xi_a \xrightarrow{\;j_0\;} \xi_0 \xleftarrow{\;i_0\;} \xi_b \Bigr) \] est un diagramme substantiel tel que \(i_0\) soit un iso, alors il est isom. à l'image inverse d'un \(\eta \in \mathbb{D}(\underline{U})\) avant la parenthèse, un \(\xi\) suivi d'un signe biffé ; sous le \(\underline{U}\) de \(\mathbb{D}(\underline{U})\), une lettre raturée. (où \(\underline{U} = (0 \to a) \simeq \Delta^1\) est l'ouvert complémentaire […] dans \(\underline{\Psi}\)) par la rétraction canonique \(\rho\) de \(\underline{\Psi}\) sur \(\underline{U}\).

Il suffit de prouver que \[ \rho^* \rho_*(\xi) \longrightarrow \xi \quad (\text{adj.}) \] est un iso. Comme \(\rho\) est lisse, comme induit par \(\mathrm{pr}_1 : \Delta^1 \times \Delta^1 \to \Delta^1\) propre, \(\rho_*(\xi)\) se calcule […] fibre par fibre. On est ramené à calculer fibre par fibre que \[ \mathcal{A} = \mathbb{D}(e) \longrightarrow \mathbb{D}^{\mathrm{cc}}(\Delta^1) \] est une équiv. de cat. (forme de Der 3)\(^*\) l'exposant de \(\mathbb{D}\) se lit mal ; « cc » est une lecture. La phrase commence par une flèche barrée. Le long de la marge gauche, une note verticale, biffée, reste illisible.

51pp. 16 et 17 de l'auteur : feuille à l'italienne, comme aux pages 45 et 48. Dans HOT, j'ai admis que :

Tout carré cocartésien est cartésien. Pour qu'un carré cartésien

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \xi_0 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\xi_a \arrow[dr] & & \xi_b \arrow[dl] \\
& \xi_1 &
\end{tikzcd}

soit aussi cocartésien, il f. et s. que l'on ait \[ \pi_0(\xi_1) = \mathrm{Im}\, \pi_0(\xi_a) \cup \mathrm{Im}\, \pi_0(\xi_b) \]

les trois lignes sont tenues par un trait vertical à gauche. Dans la marge, une note oblique, en partie lisible : « tout carré cocartésien […] […] \(\xi_1 = e\) […] ».

Der 6 ou Der 6' […] donc […]

Clairement : W8, il semble découler d'un principe général (« lemme des carrés ») :

« Der 8 » (Soit un homomorphisme d'un carré […] cartésien […] dans \(\mathcal{A}(\Delta^1 \times \Delta^1)\). Considérons dans un autre, dans les conditions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \xi_a \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_a"] & \\
\xi_0 \arrow[ur] \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_0"'] & & \xi_1 \arrow[ddd, "f_1"] \\
& \xi_b \arrow[ur] \arrow[ddd, "f_b"'] & \\
& \eta_a \arrow[dr] & \\
\eta_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \eta_1 \\
& \eta_b \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

cube redessiné : sur la page les deux carrés sont décalés l'un sous l'autre et les quatre flèches verticales \(f_0\), \(f_a\), \(f_b\), \(f_1\) se croisent ; les indices \(a\), \(b\) des sommets intermédiaires se lisent mal.

1. a)\(f_0\) est iso
2. b)\(f_1\) est iso
3. c)\(f_a\) et \(f_b\) sont iso.

Alors si les carrés sont cartésiens, […] […] Alors \(b + c \Rightarrow a\). S'ils sont cocartésiens, […] […] \(a + c \Rightarrow b\)). S'ils sont […] bicartésiens, […] […] de plus \(a + b \Rightarrow c\) ([…] ?)

NB. Le […] \(a + c \Rightarrow b\), \(b + c \Rightarrow a\) […] […] […] […] […] […] […]. Les […] vrais […] […] […] […] \(a + b \Rightarrow c\) passage barré de traits obliques. Dans la marge gauche, en oblique : « Il suffit d'exiger \(a + b \Rightarrow c\) […] […] […] si \(f_a\), \(f_b\) […] […] ».

W7 bis Soit

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_a \\
X_0 \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \\
& X_b
\end{tikzcd}

diagramme dans \(\mathrm{Cat}\), soit \(\underline{\Phi} = \bigl(0 \leftarrow a,\ 0 \leftarrow b\bigr)\) et \(\mathcal{X}\) la catégorie fibrée sur \(\underline{\Phi}\) définie par le diagramme. On a un diagramme commutatif dans \(\mathrm{Hot}_{W}\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_0 \arrow[dl, "i_a"'] \arrow[dr, "i_b"] & \\
X_a \arrow[dr, "i'_b"'] & & X_b \arrow[dl, "i'_a"] \\
& \mathcal{X} &
\end{tikzcd}

les pointes des flèches de \(\underline{\Phi}\) se lisent mal ; la forme donnée est une lecture. À la page 52, la même donnée s'écrit avec les mêmes étiquettes. NB Autre possibilité : \(\mathcal{X}\) fibrée […] […] […] sur […]

(NB Dans \(\mathrm{Cat}\), je présume que les deux flèches composées sont homotopes, par un chemin de longueur 2 […] […] […] homotopes toutes deux, par une homotopie de long. 1, à « l'inclusion » \(X_0 \hookrightarrow \mathcal{X}\))

Alors tous \[ \begin{array}{l} i_a \in W \Longleftrightarrow i'_a \in W \\ i_b \in W \Longleftrightarrow i'_b \in W \end{array} \]

W8 bis Soit un diagramme commutatif (traits pleins) dans \(\mathrm{Cat}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_a \arrow[dr, dashed] \arrow[ddd, "f_a"] & \\
X_0 \arrow[ur] \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_0"'] & & \mathcal{X} \arrow[ddd, "f"] \\
& X_b \arrow[ur, dashed] \arrow[ddd, "f_b"'] & \\
& X'_a \arrow[dr, dashed] & \\
X'_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathcal{X}' \\
& X'_b \arrow[ur, dashed] &
\end{tikzcd}

cube redessiné sur le modèle de celui de la moitié gauche ; sur la page, les flèches vers \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{X}'\) sont pointillées, les autres pleines. Les étiquettes \(f_a\), \(f_b\) se lisent mal. équivalemment : […] […] […] \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{X}'\) […] […] […] cartésien sur \(\mathcal{X}'\) en oblique à gauche du cube, en partie biffé. À droite du cube, une autre note oblique : « et […] […] \(f\) […] […] ».

se complétant par un diagramme commutatif dans \(\mathrm{Hot}_{W}\) (via construction de \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{X}'\) à la W7bis, \(\mathcal{X} = \int\bigl(X_0 \to X_a,\ X_0 \to X_b\bigr)\)). Considérons les conditions \[ \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } f \in W \\ \text{b) } f_0 \in W \\ \text{c) } f_a \text{ et } f_b \in W \end{array} \right. \] Alors deux de ces conditions impliquent la troisième.

52p. 18 de l'auteur (numéro entouré). Variante forte [Corollaire de W7 bis] (sous forme plus forte […] W[…])

W7 bis Soit \(\mathcal{X}\) lisse sur \(\underline{\Phi} = \bigl(0 \leftarrow a,\ 0 \to b\bigr)\), d'où diagramme (comme dans \(\mathrm{Hot}_{W}\)) les pointes des flèches de \(\underline{\Phi}\) se lisent mal, ici comme à la page 51.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X & \\
X_a \arrow[ur, "i'_b"] & & X_b \arrow[ul, "i'_a"'] \\
& X_0 \arrow[ul, "i_a"] \arrow[ur, "i_b"'] &
\end{tikzcd}

Alors \[ i_a \in W \Longleftrightarrow i'_a \in W \] (donc \(i_b \in W \Longleftrightarrow i'_b \in W\))

(NB cela implique l'axiome dual W7' bis, avec \(X\) propre sur \(\underline{\Psi} = \bigl(0 \to a,\ 0 \to b\bigr)\))

Corollaire de W8 bis (forme renforcée […] W[…])

W8 bis Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{X}'\) lisses sur \(\underline{\Phi} = \bigl(0 \leftarrow a,\ 0 \leftarrow b\bigr)\) et \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) un \(\underline{\Phi}\)-morphisme, soient \(f_a\), \(f_b\), \(f_0\) induits sur les fibres, et les conditions

1. a)\(f \in W\)
2. b)\(f_0 \in W\)
3. c)\(f_a\) et \(f_b \in W\).

Alors deux de ces conditions impliquent la troisième.