Fonds Grothendieck, cote n° 105, pages 1–20

[Deux brouillons : un lemme de relèvement, la flèche \mathrm{Ar}(C) \to C \times C]

titre de l'éditeur, entre crochets : les deux feuillets n'en portent aucun et ne sont pas paginés de sa main ; ils sont en français, à la différence de la suite.

en haut à gauche, un signe en forme de Z barré suivi de « a », non identifié

\partial \xrightarrow{\ i\ } I sous I, une courte mention illisible entre parenthèses ; plus bas, deux lignes biffées : ~~\Pi_0(\partial) \geq 2~~ ~~\varnothing~~

\left\{ \begin{array}{l} \varnothing \to e \\[2pt] \partial \times S^n(N) \longrightarrow I \times S^n(N) \end{array} \right. + cônes (compl. droits) sur les précédents (donc aussi \{0\} \to \Delta^1 resp. \{1\} \to \Delta^1)

\underline{\mathrm{Hom}}(T, X) la lettre, très appuyée, est lue T ; elle pourrait aussi être le I du haut de la page

Lemme a) Si X \to e a la propriété RLP p.r. à \varnothing \to e et les \partial \times S^n(N) \to I \times S^n(N) pour N \in \mathcal{N} ( partie finie de \mathbb{N}), alors X est W_\infty-asphérique.

b) Si X \to Y a la RLP p.r. aux cônes (compl. droits) p.r. aux morphismes précédents, alors X \to Y est W_\infty-propre (resp. W_\infty-lisse).

Cor. a) Si X \to Y a la propriété RLP p.r. aux (compl. gauches) , alors c'est morphisme W_\infty-propre à W_\infty-fibres asphériques (compl. lisse). le Y de X \to Y est écrit au-dessus d'un e ; le passage est surchargé et en partie couvert par une grosse tache d'encre, et plusieurs mots biffés s'y superposent (« remarques », « droites »)

b) Si f : X \to Y a la propriété RLP p.r. (donc aussi) qui sont des W_\infty, alors f est W_\infty-propre (resp. W_\infty-lisse). S'il a propriétés pour les W_\infty cat. finies W_\infty-parfait. les deux dernières lignes, tachées, ne se lisent que par fragments

feuillet déchiré, écrit dans la largeur, barré en entier par deux longs traits obliques qui se rejoignent en haut ; il se lit sous la rature

Notamment on voudrait que \mathrm{Ar}(C) \xrightarrow{\ p\ } C \times C « Ar » est souligné jouisse des propriétés de type fibration . Or 1) au sens catégorique, ce n'est ni une fibration, ni une cofibration, et les ~~propriétés~~ composées \underline{s} \circ p, \underline{b} \circ p : \mathrm{Ar}(C) \to C ne le sont pas.

2) De , p n'est ni coh. propre, ni coh. lisse. Peut-être au moins \underline{s} \circ p et \underline{b} \circ p sont-ils l'un ou l'autre ? Mais ce sont plutôt les propriétés de p lui-même qui importent !

3) Je souhaiterais que p soit une W_\infty-fibration (« fibrations cohomologiques »). C'est une chose à vérifier.

Question Les W_\infty-fibrations, et les notions correspondantes de cofibrations (par la L.L.P), font-ils une ~~des~~ structure de Quillen sur (\mathrm{Cat}) ?

[Paires de relèvement dans un topos, la classe \widetilde{W} et sa comparaison avec W]

titre de l'éditeur, entre crochets. À partir d'ici le texte est en anglais, tel qu'il l'écrit, et paginé de sa main 1 à 8 ; la suite (p. 9 de l'auteur) ouvre le lot 2, page 21.

p. 1 de l'auteur. A a topos

W \subset \mathrm{Fl}(A) set of arrows, weakly saturated « weakly » est ajouté au-dessus de la ligne i.e. \left\{ \begin{array}{l} \text{a) isom. are in } W \\ \text{b) if } f = vu \text{, and two of } u, v, f \text{ are in } W \text{, so is the third} \\ \text{c) if } X \underset{g}{\overset{f}{\rightleftarrows}} Y \text{ with } gf = \mathrm{id}_X,\ fg \in W \text{, then } f, g \in W \end{array} \right. b) se lit « if f = \uncertain{vu}, and two of u, v, f in W, so is the third » ; la fin de la ligne mord sur le bord du feuillet plus other conditions we are going to list, as we need them.

Let moreover ~~C_0(TC)_0~~ (TC)_0 \subset C_0 \ (\subset \mathrm{Fl}(A)) (with no extra assumptions for the time being). We define ~~TF_0~~ TF \subset F \ (\subset \mathrm{Fl}(A)) by the right lifting property (RLP) with respect to ~~(TC)_0~~ C_0 and (TC)_0 respectively, and then \begin{array}{ccc} TC & \subset & C \quad (\subset \mathrm{Fl}(A)) \\ \cup & & \cup \\ (TC)_0 & \subset & C_0 \end{array} by the ~~right~~ left lifting property (LLP) with respect to F and TF respectively. We have pairs

\begin{tikzcd} TC \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, hook] & F \\ C \arrow[r, leftrightarrow] & TF \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

les deux inclusions verticales sont tracées comme des crochets d'inclusion ; un trait vertical sépare les deux colonnes

in which each one determines the other by RLP or LLP. ~~Moreover~~ Moreover

a)F, TF stable by composition, base change, direct factors b)C, TC stable by composition, cobase change, direct factors

NB C should be called « cofibrations », TC for « trivial cofibrations », F for « fibrations », and TF for « trivial fibrations » note écrite en oblique dans la marge de droite, à hauteur de la définition de (TC)_0

p. 2 de l'auteur. ~~c) X \to Y is \in W~~ TC = C \cap \widetilde{W} \qquad TF = F \cap \widetilde{W} where \widetilde{W} \subset \mathrm{Fl}(A), \qquad \widetilde{W} = \bigl\{\, f = pi \bigm| p \in TF,\ i \in TC \,\bigr\} le second \widetilde{W} est indiqué par un signe d'égalité vertical sous le premier

NB These facts do only make use of the existence of ~~fin.~~ amalgamated sums and fibered products in A (not of the fact that A is a topos, — and for the time being, W has not been used). We used only the symmetric relationship between (TC, F), and (C, TF), and plus TC \subset C (\Leftrightarrow TF \subset F), not the way they were obtained by some given (TC)_0 \subset C_0.

d) ~~Assume TC, if i \in C, f \in~~ consider ~~but~~, for any i : A \to B \qquad f : X \to Y sous i et f, biffés : « i \in C », « f \in F » ~~consider~~ \underline{\mathrm{Hom}}(B, X) \xrightarrow{\ \alpha(i,f)\ } \underline{\mathrm{Hom}}(i, f) \overset{\mathrm{def}}{=} \underline{\mathrm{Hom}}(B, Y) \times_{\underline{\mathrm{Hom}}(A, Y)} \underline{\mathrm{Hom}}(A, X)

~~Then \alpha(i,f) \in~~ Then we have the following ~~equivalences~~

(i)C, TC stable by cartesian products ? \times T (ii)TF, TF stable by \underline{\mathrm{Hom}}(T, ?) (iii)If i \in C, f \in F, then \alpha(i,f) \in F, and if moreover i \in TC or f \in TF, then \alpha(i,f) \in TF.

une accolade réunit (i) et (ii), et une flèche double part de (iii) vers elle ; en marge gauche, à hauteur de (iii) : under suitable assumptions

p. 3 de l'auteur. Proof (i) \Rightarrow (ii) Assume (i), let f : X \to Y, f \in F, prove ~~\underline{\mathrm{Hom}}(T, f)~~ \bigl( \underline{\mathrm{Hom}}(T, f) : \underline{\mathrm{Hom}}(T, X) \to \underline{\mathrm{Hom}}(T, Y) \bigr) \in F i.e. ~~LLP~~ RLP with respect to any i : A \to B in TC — this amounts to RLP of f with respect to i \times \mathrm{id}_T : A \times T \to B \times T, OK as this is still in TC. Same for f \in TF, using stability of C under \times T.

(ii) \Rightarrow (i) Assume (ii), let i : A \to B, ~~given~~ \in C, prove i \times T : A \times T \to B \times T is still in C, i.e. has ~~right~~ LLP with respect to any f \in TF, but this amounts to i having the same with respect to \underline{\mathrm{Hom}}(T, f), which is still in TF by assumption OK.

~~(i)+(ii) \Rightarrow (iii)~~ NB The equivalence (i) \Leftrightarrow (ii) could be further axiomatized as a relation between \Phi^*, \Phi_* associated by LLP and RLP, when we have two functors \otimes, \underline{\mathrm{Hom}} tied by the Cartan relation \mathrm{Hom}(A \otimes T, X) \simeq \mathrm{Hom}(A, \underline{\mathrm{Hom}}(T, X))

~~(i)+(ii) \Rightarrow (iii)~~ Moreover, when we have stability of \Phi^* ~~under ? \otimes T~~ (when \Phi^* is either C or TC) or equivalently of \Phi_* under \underline{\mathrm{Hom}}(T, ?), then for i : A \to B in \Phi^*, f : X \to Y in \Phi, (or in \Phi_* ?) we have that ~~\underline{\mathrm{Hom}}(i,f)~~ \alpha(i,f) : \underline{\mathrm{Hom}}(B, X) \to \underline{\mathrm{Hom}}(i, f) \quad \text{is in } \emph{TF} « is in TF » est souligné, et une parenthèse ajoutée le rattache à la suite Indeed, This means it has RLP with respect to any j : A' \to B' in C [\Phi^*], i.e. \mathrm{Hom}(B', \underline{\mathrm{Hom}}(B, X)) \longrightarrow \mathrm{Hom}(j, \alpha(i,f)) devant \alpha(i,f), un « \underline{\mathrm{Hom}}(i,f) » biffé is surjection. ~~But the first~~ can be viewed as ~~\mathrm{Hom}(B' \otimes B, X)~~ \mathrm{Hom}(B' \otimes B, X) \longrightarrow \mathrm{Hom}(j \boxtimes i, f) au-dessus de « j \boxtimes i », deux essais biffés de la même notation where ~~i \boxtimes i : A' \otimes A \to B' \otimes B~~ j \boxtimes i : \ A' \otimes B \amalg_{A' \otimes A} B' \otimes A \longrightarrow B' \otimes B ~~and~~ Thus we have to check that if i, i' \in \Phi^*, then i \boxtimes i' is in \Phi^* [OK if \Phi^* are monomorphisms, say, and \otimes = cartesian product] check compatibility — and conversely

Coming back to case of (C, TF), (TC, F), this shows that if i \in C, f \in TF, then \alpha(i,f) is in TF, and if i is in TC and f in F, then \alpha(i,f) is in F,

p. 4 de l'auteur. provided we check that if i, i' \in TC (mono in C ?), then i' \boxtimes i is in TC (mono in C ?). les deux remarques entre parenthèses sont écrites au-dessus de la ligne et rattachées au texte par des accolades ~~But~~ If this is so even if we assume only one of the two arrows i, i' in TC, the other being in C, then we get even that i \in TC,\ f \in F \Rightarrow \alpha(i,f) \in TF \quad\text{and}\quad i \in C,\ f \in TF \Rightarrow \alpha(i,f) \in TF . We just need formally \alpha(i', \alpha(i,f)) \simeq \alpha(i' \boxtimes i, f) le \alpha intérieur est souligné

To sum up we get equivalences \begin{array}{rcl} C \otimes T \subset C & \Longleftrightarrow & TF \text{ stable by } \underline{\mathrm{Hom}}(T, ?) \\ TC \otimes T \subset TC & \Longleftrightarrow & F \text{ stable by } \underline{\mathrm{Hom}}(T, ?) \\ C \boxtimes C \subset C & \Longleftrightarrow & \bigl( i \in C,\ f \in TF \Rightarrow \alpha(i,f) \in TF \bigr) \\ \ \boxtimes TC \subset TC & \Longleftrightarrow & \bigl( i \in TC,\ f \in F \Rightarrow \alpha(i,f) \in TF \bigr) \\ TC \boxtimes C \subset TC & \Longleftrightarrow & \bigl( i \in C,\ f \in F \Rightarrow \alpha(i,f) \in F \bigr) \end{array} les membres de gauche des deux premières lignes sont écrits par-dessus « ~~stable by ? \otimes T~~ », biffé ; la troisième est écrite sous « ~~C stable by i \boxtimes i'~~ » ; le membre de gauche de la quatrième est noyé sous des hachures, au-dessous desquelles on lit « TC \boxtimes TC » ou « C \boxtimes TC » ; dans son membre de droite, TF est écrit sur une autre lettre. En face de la troisième, dans la marge, un mot biffé :

Example ~~A a topos~~ A a topos, \otimes = cartesian product, \underline{\mathrm{Hom}} the usual \underline{\mathrm{Hom}} (inner ), C = \text{mono}, (TC)_0 = monomorphisms of the type (B_0 \times e) \cup (A_0 \times I) \overset{i}{\subset} B_0 \times I , where A_0 \xrightarrow{\ i_0\ } B_0 any mono, I any W-aspheric object over e_A, endowed with a section e. « (B_0 \times e) » est ajouté au-dessus d'un début biffé ; en face, dans la marge de droite : given bunch of I's with given sections

C stable by ? \times T : trivial, hence F stable by \underline{\mathrm{Hom}}(T, ?) on attend ici « TF » ; la lettre qui précède F, s'il y en a une, est à peine marquée

(TC)_0 stable by ? \times T (replace i_0 by i_0 \times \mathrm{id}_T) hence F stable by \underline{\mathrm{Hom}}(T, ?), hence TC stable by ? \times T.

~~C stable by i' \boxtimes i : trivial~~ C \boxtimes C \subset C : trivial

To check TC \boxtimes C \subset TC, C \boxtimes TC \subset TC. Consider i defined by i_0 : A_0 \to B_0, I, e (i.e. i = h(i_0, \uncertain{I, e})) and i' : A' \to B', consider the diagrams

\begin{tikzcd} A' \times A \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & B' \times A \arrow[d, hook] \\ A' \times B \arrow[r, hook] & B' \times B = B' \times B_0 \times I \end{tikzcd}

plusieurs lettres du carré sont surchargées (A' sur A, B sur un autre signe)

p. 5 de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] ((A' \times B_0) \times e) \cup (A' \times A_0 \times I) \arrow[r] \arrow[d, "{h(i_0 \times \mathrm{id}_{A'},\, I,\, e)}"] & ((B' \times B_0) \times e) \cup ((B' \times A_0) \times I) \arrow[d, "{h(i_0 \times \mathrm{id}_{B'},\, I,\, e)}"] \\ (A' \times B_0) \times I \arrow[r, hook] & B' \times B_0 \times I \end{tikzcd}

les deux étiquettes h(\ldots) sont écrites entre les flèches verticales, chacune reliée à la sienne par une accolade ; sous le coin inférieur gauche, un trait ondulé ; au-dessous, deux débuts biffés : ~~A' \times B_0~~, ~~A' \boxtimes h(i~~

On trouve i' \boxtimes \bigl( i = h(i_0, I, e) \bigr) = h(i' \boxtimes i_0, I, e), vérifier et la formule symétrique, donc OK. ces deux lignes sont en français

We do not know yet M1 (factorization of any f as pi, with either i \in C, p \in TF, or i \in TC, p \in F), nor M5 (saturation of \widetilde{W} — indeed we need only check a), b) to have a closed model category). The factorization f = pi is the usual argument for constructing injectives, using reasonable properties of existence of small generating set of A, and of filtering direct limits. The lifting property may again be axiomatized in terms of \Phi^*, \Phi_*, in a topos or a more general category — I'll not for the moment work out the general formulation, and to I'll assume the factorizability in the two ways. to work out

We now want to identify \widetilde{W}, and check conditions b) of saturation. We want even prove \widetilde{W} = W — now it becomes essential to make clear how the definition of (TC)_0 depends on W, taking as « bunch » of ~~intervals~~ all intervals I which are W-aspheric over e. But this may make difficulties for factorization,

p. 6 de l'auteur. because this bunch is not « small », we'll therefore take some smaller bunch, and see what we need in it to be able to conclude \widetilde{W} = W.

\widetilde{W} \overset{?}{\subset} W. We are reduced to proving TC \subset W, TF \subset W. As TF is defined in terms of C = monomorphisms, the inclusion \boxed{TF \subset W} may be taken as an axiom on W. But in case we got an separating interval I which is TF over e i.e. « injective object », ~~we may take~~ this inclusion is equivalent with ~~(I \to e) \in \mathrm{U}W i.e. (I \times X \to X) is in W for any X~~ la formule est encadrée, et l'encadré barré d'un trait ondulé en haut et en bas

Thus, the axiom is really \text{①}\qquad \boxed{(L_A \to e) \in \mathrm{U}W} au-dessus de L, une flèche et deux mots : « Lawvere element » or equivalently ~~\exists separating interval I~~ with (I \to e) \in variante ajoutée à droite de l'encadré, en partie biffée This implies that any L-homotopism is in W. But for ~~any~~ any separating interval I, it is clear that f \in TF \Longrightarrow f \text{ is a } I\text{-homotopism}. Next we got to prove TC \subset W. We need first of all (TC)_0 \subset W .

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A_0 \times \{e\} \arrow[r, hook] \arrow[d, "W"'] & B_0 \times \{e\} \arrow[d, hook, "f" description] \arrow[dr, "W"] & \\ A_0 \times I \arrow[r, hook] & A \arrow[r, hook] & B = B_0 \times I \end{tikzcd}

la flèche verticale médiane porte « f » et « W » ; le premier terme, A_0 \times \{e\}, est précédé d'une parenthèse biffée

We need for this \left| \begin{array}{l} \text{if } S \overset{i}{\hookrightarrow} T \text{ mono, and} \\ S \overset{g}{\hookrightarrow} S' \text{ mono} \in W \\ \text{then in } \quad \begin{array}{ccc} S & \overset{i}{\hookrightarrow} & T \\ {\scriptstyle g} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle f} \\ S' & \overset{i'}{\hookrightarrow} & S' \amalg_S T = T' \end{array} \\ f \in W \end{array} \right. au pied du feuillet, « and », qui annonce la suite

~~strict~~ strongly topos : if this is , merely \{0, 1\} can be in A — but this is always so, because the lower object is injective !!! note écrite en oblique dans la marge de gauche, reliée par une flèche à « Thus, the axiom is really » ; lue par fragments seulement

p. 7 de l'auteur. ~~An fact~~ that for any ~~interval~~ I in our bunch, A \times e \to A \times I \quad \text{is in } W \text{ for any } A, ~~i.e. (e \to I)~~. This is equivalent to assuming A \times I \to A is in W (using saturation) i.e. \text{②}\qquad \boxed{(I \to e) \in \mathrm{U}W. \text{ for any } I \text{ in the bunch}}

We have to prove that by saturating (TC)_0 into TC, we still remain within W. But when we use factorization of f : A \overset{TC}{\hookrightarrow} B \qquad f \in TC as f = pi : \ A \underset{TC}{\hookrightarrow} B' \underset{TF}{\longrightarrow} B , the map A \overset{i}{\hookrightarrow} B' is not only in TC, but also in W if we assume a property of stability of W under filtering direct limits, ④ and moreover ~~under~~ of ~~stability of monomorphisms~~ stability of monomorphisms in W by cobase extensions ③ (which is anyhow necessary for W = \widetilde{W}). ~~We get~~ le groupe « stability of monomorphisms in W by cobase extensions » est encadré ; en marge gauche, en face : « explicit »

Thus any map f factors into pi, with p \in F, i \in TC \cap W, and as f \in TC, to conclude f \in W, we only have to prove p \in W. But we get the lifting property for (f, p) a section s of B' \to B, such that sf = i, thus f is a retract of (= direct factor) of i \in W,

\begin{tikzcd} & B' \arrow[d, "p"] \\ A \arrow[ur, "i"] \arrow[r, hook, "f"'] & B \arrow[u, bend right=40, "s"'] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} A \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "="'] & B' \arrow[d, "p"] \\ A \arrow[r, hook, "f"'] & B \arrow[u, bend right=40, "s"'] \end{tikzcd}

deux figures en marge gauche : dans la première, la flèche i porte « W » et « (and TC) », p porte « F », f porte « TC » ; dans la seconde, i porte « W », p porte « F », et l'identité de gauche est dessinée comme deux flèches opposées entre deux signes « = »

Thus we need ④

⑤ W stable by direct factors (not a consequence of saturation ?) as a necessary condition for W = \widetilde{W} (because this will we have a closed model structure with W, and \widetilde{W} is stable by retractions). Thus ① to ⑤ imply \widetilde{W} \subset W. le quatrième chiffre entouré, après « Thus we need », est mal formé ; lu ④

p. 8 de l'auteur. We still have to see if W \subset \widetilde{W}. For the \widetilde{W} \subset W inclusion (in terms of W) we had to make restrictions on the I's (condition ②), now to get \widetilde{W} large enough, i.e. TC large enough, we must make an assumption which will ensure that the bunch of I's is large enough — a natural condition would be that it contains a separating interval. We know already there are « eligible » intervals, namely W-aspheric over e and separating, such as L.

Let f \in W, consider factorization X \overset{i}{\longrightarrow} X' \overset{p}{\longrightarrow} Y \qquad i \in TC,\ p \in F \ \ (\text{or } i \in C,\ p \in TF) sous la flèche i, un « TC » biffé we know already that i \in W (resp! p \in W) therefore p \in W (resp. i \in W) — hence we are reduced to ~~Then one of~~ proving either one of the two inclusions \begin{array}{ll} F \cap W \subset TF & (\text{necessary for } W \subset \widetilde{W}, \text{ as } TF = F \cap \widetilde{W}) \\ C \cap W \subset TC & (\text{id}) \end{array} which are equivalent. to the condition [first ?] W \subset \widetilde{W} \quad (\text{or equivalently, } \widetilde{W} \cap W = W) []. devant le second \widetilde{W}, un premier essai biffé ; au-dessous, une insertion entre crochets, illisible The second means that if f : X \to Y (has the ~~right~~ RLP with respect to (TC)_0, i.e. all h(i_0, I, e)), then it has the RLP with respect to all monomorphisms which are in W. [ ? ??? ]

We would like this to hold at least in the following two cases :

a)W = \underline{W}_A (\underline{W} a basic localizer), A a (local ?) \underline{W}-test category, b)A = A_0 \times T, with T a test category, \widehat{A} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(A_0^{\mathrm{op}}, \widehat{T}) \simeq (A_0 \times T)^{\wedge}, W = \underline{W}_{A/A_0} (\underline{W} a basic localizer), \underline{W}_{A/A_0} is defined componentwise via \underline{W}_T.

dans b), le groupe « \widehat{A} \simeq \ldots » est ajouté au-dessus de la ligne ; en marge gauche, en bas : « test A = A^{\ill{}} »

but this cannot possibly be enough, as it would just by itself, given just one particular , hence one particular F, hence one particular on W ... note écrite en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « a natural condition would be that it contains a separating interval »