Cote n° 105 · pages 1–52 · Lecture modernisée · [Champs (stacks) 2] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier a cinquante-deux pages ; trente portent sa main. Les autres sont des feuilles de listing d'ordinateur (journaux de travaux, pages de garde, tableaux) qui ne portent rien de lui, des feuilles blanches, un carton rose (page 3) où ne figure qu'un nom biffé, et une page dactylographiée (page 43, numérotée « 90 » par la dactylo) d'une prose sans rapport avec les mathématiques. Plusieurs des feuillets écrits le sont au dos de listings ; celui de la page 27 porte imprimée la date « 06/09/82 », qui borne ce feuillet par en dessous et lui seul.

1. 1.Deux brouillons (pages 1 et 2, en français, non paginés) : un lemme de relèvement dans \(\mathrm{Cat}\), et la question d'une structure de Quillen sur \(\mathrm{Cat}\).
2. 2.Une suite en anglais, paginée 1 à 16 de sa main (pages 4 à 39 ; sa page « 10 bis » est la page 27, et la page 26 est un brouillon sans numéro). Elle contient trois étapes, 2a à 2c.
3. 2a.Pages 4 à 19 (ses pages 1 à 8) : d'un petit ensemble \((TC)_0\) d'inclusions élémentaires on tire quatre classes \(C, TC, F, TF\) et une classe \(\widetilde W = TF \circ TC\). Le produit-boîte, puis l'exemple des cylindres sur des intervalles, montrent la compatibilité au produit. Le programme est \(\widetilde W = W\) : l'inclusion \(\widetilde W \subset W\) s'obtient sous cinq axiomes, l'inclusion inverse reste ouverte.
4. 2b.Pages 21 à 31 (ses pages 9 à 12) : la reprise. On part de la paire \((C, W)\) et l'on pose directement \(TC = C \cap W\). Viennent les classes saturées, les systèmes de factorisation faibles, la définition d'une structure de modèles par deux tels systèmes, et un critère d'existence (page 29).
5. 2c.Pages 33 à 39 (ses pages 13 à 16), « Factorization » : l'argument du petit objet, qui fournit la factorisation admise en 2a et 2b.
6. 3.Une suite en français, paginée 6 à 18 de sa main (pages 42 à 52), dont les pages 1 à 5 ne sont pas dans le dossier : les axiomes W7, W8 et leurs formes « bis » pour une classe \(W\) de flèches de \(\mathrm{Cat}\), testés sur la classe \(W_{\mathbb D}\) des équivalences cohomologiques d'un dérivateur \(\mathbb D\), et l'axiome « Der 6 ».

Rien ne date la troisième suite par rapport à la deuxième. Son vocabulaire (dérivateur, axiomes « Der ») est celui du long manuscrit de Grothendieck sur les dérivateurs ; c'est un rapprochement, non une datation.

Conventions. Pour une catégorie \(M\), \(\mathrm{Fl}(M)\) est l'ensemble de ses flèches. On écrit \(i \pitchfork f\) quand \(i\) a la propriété de relèvement à gauche par rapport à \(f\) (tout carré de \(i\) vers \(f\) admet une diagonale), et, pour \(\Phi \subset \mathrm{Fl}(M)\), \[ \Phi^* = \{u \mid u \pitchfork \varphi \ \ \forall \varphi \in \Phi\}, \qquad \Phi_* = \{u \mid \varphi \pitchfork u \ \ \forall \varphi \in \Phi\}, \] notation qui est la sienne à partir de la page 24 et qu'on emploie dès la page 4. Le topos des pages 4 à 19 est noté \(\mathcal{E}\), son objet final \(e\).¹ Le \(\mathbf{Hom}\) en gras est le \(\mathrm{Hom}\) interne, qu'il souligne. Les chiffres et les lettres qu'il entoure (ses axiomes numérotés de la page 15 à la page 17, ses conditions des pages 21 à 39) sont rendus entre parenthèses, (1) à (5) et (a) à (e).

Trois mots changent de sens d'une partie à l'autre, et on les fixe ici. Une fibration, sans autre précision, est une flèche de la classe \(F\) d'une structure de modèles ; une catégorie fibrée ou cofibrée sur une base est prise au sens de Grothendieck (SGA 1), et ce sont elles seules qui paraissent dans la troisième partie. Sa « paire de Quillen » est ici un système de factorisation faible, et son « triple de Quillen » une structure de modèles. Pour la saturation d'une classe \(W\), enfin, on distingue trois degrés. \(W\) est faiblement saturée si elle contient les isomorphismes, a la propriété du deux-sur-trois et la propriété c) de la page 4 ; il dit aussi « mildly ». Elle est saturée si \(fg, gf \in W\) entraînent \(f, g \in W\) (page 26). Elle est fortement saturée si \(f \in W\) équivaut à ce que l'image de \(f\) dans \(W^{-1}M\) soit un isomorphisme.

Les notations de la troisième partie sont fixées à son entrée (page 42).

Le dossier annonce et n'établit pas : les factorisations, admises aux pages 13 et 21, puis obtenues aux pages 33 à 39 sous une hypothèse de petitesse dont la page 39 voudrait se défaire ; l'inclusion \(W \subset \widetilde W\) (page 19) et les deux cas où il la voudrait ; la raison pour laquelle \(C \cap W\) serait la saturation de \((TC)_0\) (page 31) ; l'axiome « Der 6 », posé et non déduit ; le lemme de la page 50, arrêté sur « forme de Der 3 » ; les énoncés W7 bis et W8 bis, posés sans démonstration.

1–2

Deux brouillons (pages 1 et 2)

Page 1 : un lemme de relèvement dans \(\mathrm{Cat}\). Soit \(\partial \to I\) l'inclusion des extrémités d'un intervalle.² On considère les flèches \[ \varnothing \to e, \qquad \partial \times S^n(N) \longrightarrow I \times S^n(N), \] et des « cônes » construits sur elles, parmi lesquels \(\{0\} \to \Delta^1\) et \(\{1\} \to \Delta^1\).³ Le lemme énonce :

1. a)si \(X \to e\) a la propriété de relèvement à droite par rapport à \(\varnothing \to e\) et aux \(\partial \times S^n(N) \to I \times S^n(N)\), alors \(X\) est \(W_\infty\)-asphérique, c'est-à-dire que son nerf est contractile ;
2. b)si \(X \to Y\) a la propriété de relèvement à droite par rapport aux cônes sur ces flèches, alors \(X \to Y\) est \(W_\infty\)-propre (resp. \(W_\infty\)-lisse).

C'est l'analogue, dans \(\mathrm{Cat}\), du fait qu'un ensemble simplicial ayant la propriété de relèvement par rapport aux inclusions \(\partial\Delta^n \subset \Delta^n\) est contractile.⁴ Le corollaire qui suit, très surchargé et en partie couvert d'une tache d'encre, ne se lit que par fragments : une propriété de relèvement à droite rendrait \(X \to Y\) propre à fibres asphériques, et, sous une condition illisible portant sur des catégories finies, « \(W_\infty\)-parfait » (lu avec doute).⁵

Page 2 : la flèche \(\mathrm{Ar}(C) \to C \times C\). Le feuillet est barré de deux longs traits obliques et se lit sous la rature. Pour une catégorie \(C\) et sa catégorie des flèches \(\mathrm{Ar}(C)\), on voudrait que \[ p = (s, b) : \mathrm{Ar}(C) \longrightarrow C \times C, \] qui envoie une flèche sur sa source et son but, ait des propriétés de type fibration. Or \(p\) n'est ni une catégorie fibrée ni une catégorie cofibrée.⁶ Elle n'est pas non plus cohomologiquement propre ni lisse, et la page se demande si au moins \(s \circ p\) et \(b \circ p\) le sont.⁷ « Mais ce sont plutôt les propriétés de \(p\) lui-même qui importent. » Il souhaiterait que \(p\) soit une « \(W_\infty\)-fibration » (« fibration cohomologique », lu avec doute), et pose :

Question. Les \(W_\infty\)-fibrations et les cofibrations définies par relèvement à gauche par rapport à elles forment-elles une structure de modèles sur \(\mathrm{Cat}\) ?⁸

4–11

Paires de relèvement dans un topos (pages 4 à 11)

À partir d'ici le texte est en anglais, paginé de sa main à la tête de chaque feuillet : la page 4 est sa page 1, la page 19 sa page 8, et la page 21 sa page 9.

Les quatre classes

Soit \(\mathcal{E}\) un topos, et \(W \subset \mathrm{Fl}(\mathcal{E})\) une classe faiblement saturée :

1. a)les isomorphismes sont dans \(W\) ;
2. b)si \(f = vu\) et si deux des trois flèches \(u, v, f\) sont dans \(W\), la troisième l'est ;
3. c)si \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to X\) vérifient \(gf = \mathrm{id}_X\) et \(fg \in W\), alors \(f, g \in W\) ;

« plus other conditions we are going to list, as we need them ».⁹

Donnons-nous deux classes \((TC)_0 \subset C_0 \subset \mathrm{Fl}(\mathcal{E})\), sans autre hypothèse pour l'instant, et posons \[ F = ((TC)_0)_*, \quad TF = (C_0)_*, \qquad TC = F^*, \quad C = (TF)^*. \] Comme \((TC)_0 \subset C_0\), on a \(TF \subset F\), d'où \(TC \subset C\), et \((TC)_0 \subset TC\), \(C_0 \subset C\). Chacune des deux paires \((TC, F)\) et \((C, TF)\) se détermine par relèvement : \(F = (TC)_*\) et \(TF = C_*\), parce que \(\Phi_* = ((\Phi_*)^*)_*\) pour toute classe \(\Phi\). Les classes \(F\) et \(TF\) sont stables par composition, changement de base et rétractes ; \(C\) et \(TC\) par composition, changement de cobase et rétractes. En marge : \(C\) seront les « cofibrations », \(TC\) les « cofibrations triviales », \(F\) les « fibrations », \(TF\) les « fibrations triviales ».

Lemme (page 6). Soit \(\widetilde W = \{ pi \mid p \in TF,\ i \in TC \}\). Alors \[ TC = C \cap \widetilde W, \qquad TF = F \cap \widetilde W . \] En effet, \(TC \subset C \cap \widetilde W\) en écrivant \(i = \mathrm{id} \circ i\). Inversement, soit \(f = pi \in C\), \(p \in TF\), \(i \in TC\) ; comme \(f \pitchfork p\), le carré formé de \(i\) et de l'identité de la cible a une diagonale \(s\), avec \(sf = i\) et \(ps = \mathrm{id}\), de sorte que \(f\) est un rétracte de \(i\) et appartient à \(TC\). L'énoncé sur \(TF\) est dual.¹⁰

La flèche \(\alpha(i,f)\) et le produit-boîte

Pour \(i : A \to B\) et \(f : X \to Y\) dans \(\mathcal{E}\), soit \[ \alpha(i,f) : \mathbf{Hom}(B, X) \longrightarrow \mathbf{Hom}(i,f) = \mathbf{Hom}(B, Y) \times_{\mathbf{Hom}(A, Y)} \mathbf{Hom}(A, X), \] qu'on appelle aujourd'hui la puissance fibrée de \(f\) par \(i\).¹¹ La page considère, pour un objet \(T\), les trois propriétés :

1. (i)\(C\) et \(TC\) sont stables par \(? \times T\) ;
2. (ii)\(TF\) et \(F\) sont stables par \(\mathbf{Hom}(T, ?)\) ;
3. (iii)si \(i \in C\) et \(f \in F\), alors \(\alpha(i,f) \in F\), et \(\alpha(i,f) \in TF\) si de plus \(i \in TC\) ou \(f \in TF\).

(i) \(\Leftrightarrow\) (ii), et plus précisément \(C \times T \subset C \Leftrightarrow \mathbf{Hom}(T, TF) \subset TF\) et \(TC \times T \subset TC \Leftrightarrow \mathbf{Hom}(T, F) \subset F\). Soit en effet \(f \in F\). Alors \(\mathbf{Hom}(T, f) \in F = (TC)_*\) si et seulement si \(i \pitchfork \mathbf{Hom}(T, f)\) pour tout \(i \in TC\), c'est-à-dire \(i \times \mathrm{id}_T \pitchfork f\), ce qui a lieu si \(TC \times T \subset TC\). La réciproque et l'autre paire se traitent de même (page 9).

Le NB de la page 9 dégage ce qui sert. Soient \(\otimes\) et \(\mathbf{Hom}\) deux foncteurs liés par l'isomorphisme d'adjonction \(\mathrm{Hom}(A \otimes T, X) \simeq \mathrm{Hom}(A, \mathbf{Hom}(T, X))\).¹² Pour \(j : A' \to B'\) et \(i : A \to B\), le produit-boîte est \[ j \boxtimes i : A' \otimes B \amalg_{A' \otimes A} B' \otimes A \longrightarrow B' \otimes B . \] Un carré de \(j\) vers \(\alpha(i,f)\) est la même chose qu'un carré de \(j \boxtimes i\) vers \(f\), et les diagonales se correspondent : \[ j \pitchfork \alpha(i,f) \iff j \boxtimes i \pitchfork f, \qquad \alpha(i', \alpha(i,f)) \simeq \alpha(i' \boxtimes i, f) . \] Il en tire le tableau de la page 11 : \[ \begin{array}{rcl} C \otimes T \subset C & \iff & \mathbf{Hom}(T, ?) \text{ préserve } TF, \\ TC \otimes T \subset TC & \iff & \mathbf{Hom}(T, ?) \text{ préserve } F, \\ C \boxtimes C \subset C & \iff & \bigl( i \in C,\ f \in TF \Rightarrow \alpha(i,f) \in TF \bigr), \\ C \boxtimes TC \subset TC & \iff & \bigl( i \in TC,\ f \in F \Rightarrow \alpha(i,f) \in TF \bigr), \\ TC \boxtimes C \subset TC & \iff & \bigl( i \in C,\ f \in F \Rightarrow \alpha(i,f) \in F \bigr). \end{array} \] Chaque ligne se lit sur l'équivalence précédente : par exemple \(\alpha(i,f) \in TF = C_*\) pour tout \(i \in TC\), \(f \in F\) équivaut à \(j \boxtimes i \in F^* = TC\) pour tout \(j \in C\), \(i \in TC\).¹³

Les deux premières lignes sont des cas particuliers des trois autres, ce que la page ne dit pas. Comme \(\varnothing \otimes X = \varnothing\) dans un topos, on a \((\varnothing \to T) \boxtimes i = i \otimes T\) et \(\alpha(\varnothing \to T, f) = \mathbf{Hom}(T, f)\) ; et \(\varnothing \to T\) est un monomorphisme.¹⁴ La condition (iii), avec ses trois lignes, est ce qu'on appelle aujourd'hui l'axiome du produit-boîte d'une catégorie de modèles monoïdale, ou l'axiome SM7 de Quillen quand \(\mathcal{E}\) est enrichie sur elle-même.¹⁵

11–13

L'exemple : cofibrations monomorphes et cylindres (pages 11 et 13)

Soit \(\mathcal{E}\) un topos, \(\otimes\) le produit cartésien, \(\mathbf{Hom}\) le \(\mathrm{Hom}\) interne, et \(C\) la classe des monomorphismes.¹⁶ Pour un monomorphisme \(i_0 : A_0 \to B_0\) et un objet \(I\) muni d'une section \(\varepsilon : e \to I\), avec \(I \to e\) dans \(W\), soit \[ h(i_0, I, \varepsilon) : (B_0 \times e) \cup (A_0 \times I) \subset B_0 \times I , \] où \(B_0 \times e\) désigne l'image de \(\mathrm{id} \times \varepsilon\) ; c'est le produit-boîte \(i_0 \boxtimes \varepsilon\). On prend pour \((TC)_0\) l'ensemble de ces flèches, \(I\) parcourant un ensemble donné (« a bunch ») d'intervalles munis de leur section.¹⁷

Les vérifications suivent le tableau.

• \(C \times T \subset C\) est trivial, donc \(\mathbf{Hom}(T, ?)\) préserve \(TF\).¹⁸
• \((TC)_0 \times T \subset (TC)_0\), car \(h(i_0, I, \varepsilon) \times T = h(i_0 \times \mathrm{id}_T, I, \varepsilon)\) ; donc \(\mathbf{Hom}(T, ?)\) préserve \(F = ((TC)_0)_*\), et \(TC \times T \subset TC\).
• \(C \boxtimes C \subset C\) : le produit-boîte de deux monomorphismes d'un topos est un monomorphisme, parce qu'une réunion de deux sous-objets y est la somme amalgamée le long de leur intersection.
• \(TC \boxtimes C \subset TC\) et \(C \boxtimes TC \subset TC\) : sur les générateurs, par associativité du produit-boîte, \[ i' \boxtimes h(i_0, I, \varepsilon) = h(i' \boxtimes i_0, I, \varepsilon), \] qui est encore dans \((TC)_0\) puisque \(i' \boxtimes i_0\) est un monomorphisme. La page le calcule sur deux carrés et conclut en français : « On trouve … vérifier … et la formule symétrique, donc OK. »

Il reste à passer des générateurs à \(TC\), et la page ne le fait pas.¹⁹ Pour \(i' \in C\) fixé, la classe des \(j\) tels que \(j \boxtimes i' \in TC = F^*\) est celle des \(j\) tels que \(j \pitchfork \alpha(i', f)\) pour tout \(f \in F\) : c'est une classe de la forme \(\Psi^*\), donc saturée à gauche. Elle contient \((TC)_0\), donc \(((TC)_0)_*{}^* = TC\). Les trois dernières lignes du tableau sont donc satisfaites, et la condition (iii) aussi.²⁰

Le programme (page 13). « We do not know yet » M1, l'existence des deux factorisations \(f = pi\), ni M5, la saturation de \(\widetilde W\) ; or il suffirait de vérifier a) et b) pour avoir une catégorie de modèles fermée.²¹ La factorisation est « the usual argument for constructing injectives », moyennant un petit ensemble de générateurs et des limites inductives filtrantes. Il ne veut pas en écrire la forme générale pour le moment et la suppose acquise ; elle viendra aux pages 33 à 39. Le but est maintenant d'identifier \(\widetilde W\), et même de prouver \(\widetilde W = W\). Il faut alors rendre explicite la dépendance de \((TC)_0\) en \(W\). On voudrait prendre pour « bunch » tous les intervalles \(W\)-asphériques, mais ce bunch n'est pas petit, ce qui gênera la factorisation : on en prendra un plus petit et l'on cherchera ce qu'il doit contenir.

15–19

Comparer \(\widetilde W\) et \(W\) (pages 15 à 19)

L'inclusion \(\widetilde W \subset W\), sous cinq axiomes

Comme \(\widetilde W = TF \circ TC\) et que \(W\) est stable par composition, il suffit de montrer \(TF \subset W\) et \(TC \subset W\).

Les fibrations triviales. Puisque \(TF = C_*\) ne dépend que des monomorphismes, l'inclusion \(TF \subset W\) peut être prise comme axiome sur \(W\). Appelons intervalle séparant un objet \(I\) muni de deux points \(e \rightrightarrows I\) dont l'intersection est l'objet initial. Si un tel \(I\) est injectif, c'est-à-dire si \(I \to e\) est dans \(TF\), l'axiome équivaut à : \(I \to e\) est universellement dans \(W\) (« \(\mathrm{U}W\) »), au sens où \(I \times X \to X\) est dans \(W\) pour tout \(X\). L'objet de Lawvere \(L = \Omega\), qui classe les sous-objets, est un intervalle séparant injectif, et l'axiome devient : \[ \text{(1)} \qquad (\Omega \to e) \in \mathrm{U}W . \] Les deux sens de l'équivalence se vérifient ainsi.²² Si \(TF \subset W\), alors \(I \times X \to X\), changement de base de \(I \to e \in TF\), est dans \(TF \subset W\). Inversement, supposons (1) (ou la même propriété pour un intervalle séparant \(I\)) et soit \(f : X \to Y\) dans \(TF\). Le relèvement de \(\varnothing \to X\) fournit une section \(s\) de \(f\). Comme les deux points de \(I\) sont disjoints, \(X \sqcup X = X \times \partial I \to X \times I\) est un monomorphisme, et le relèvement fournit une homotopie \(H : X \times I \to X\) au-dessus de \(Y\) entre \(sf\) et \(\mathrm{id}_X\). Les deux sections \(X \to X \times I\) sont dans \(W\) par (1) et le deux-sur-trois, donc \(H\) et \(sf\) le sont ; et \(fs = \mathrm{id}_Y\), \(sf \in W\) donnent \(f \in W\) par la condition c) de la page 4. La page le résume ainsi : toute flèche de \(TF\) est une \(I\)-homotopie, et toute \(L\)-homotopie est dans \(W\).

Les cofibrations triviales : les générateurs. Il faut d'abord \((TC)_0 \subset W\), et pour cela deux axiomes : \[ \text{(2)} \qquad (I \to e) \in \mathrm{U}W \ \text{ pour tout } I \text{ du bunch}, \] ce qui équivaut, par le deux-sur-trois, à \(A \times e \to A \times I\) dans \(W\) pour tout \(A\) ; et

1. (3)si \(S \hookrightarrow T\) est un monomorphisme et \(g : S \hookrightarrow S'\) un monomorphisme dans \(W\), la flèche \(T \to T' = S' \amalg_S T\) est dans \(W\).

Alors, dans le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A_0 \times e \arrow[r, hook] \arrow[d, "W"'] & B_0 \times e \arrow[d, hook] \arrow[dr, "W"] & \\
A_0 \times I \arrow[r, hook] & (B_0 \times e) \cup (A_0 \times I) \arrow[r, hook] & B_0 \times I
\end{tikzcd}

le carré est cocartésien, la flèche verticale médiane est dans \(W\) par (3), la diagonale par (2), et \(h(i_0, I, \varepsilon)\) par le deux-sur-trois.²³

Les cofibrations triviales : la saturation. Soit \(f : A \to B\) dans \(TC\). On le factorise en \(f = pi\) avec \(p \in F\) et \(i\) obtenu par l'argument du petit objet, c'est-à-dire comme composé transfini de changements de cobase de sommes de flèches de \((TC)_0\). Par (3) et l'axiome

1. (4)\(W\) est stable par limites inductives filtrantes,

\(i\) est dans \(W\).²⁴ Comme \(f \pitchfork p\), il existe \(s\) avec \(sf = i\) et \(ps = \mathrm{id}_B\), et \(f\) est un rétracte de \(i\) :

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "="'] & B' \arrow[d, "p"] \\
A \arrow[r, hook, "f"'] & B \arrow[u, bend right=40, "s"']
\end{tikzcd}

Il faut donc enfin

1. (5)\(W\) est stable par rétractes (« direct factors »),

condition nécessaire pour \(W = \widetilde W\), puisque \(\widetilde W\) l'est dès qu'on a une structure de modèles.²⁵ « Thus (1) to (5) imply \(\widetilde W \subset W\). »

L'inclusion \(W \subset \widetilde W\), qui reste ouverte

Pour \(\widetilde W \subset W\) il a fallu restreindre les intervalles ((2)) ; pour que \(\widetilde W\) soit assez grande il faut que le bunch soit assez gros, et la condition naturelle serait qu'il contienne un intervalle séparant. On en a d'éligibles, \(W\)-asphériques et séparants, comme \(\Omega\).

Soit \(f \in W\) factorisée en \(f = pi\), \(i \in TC\), \(p \in F\). On sait déjà que \(i \in W\), donc \(p \in W\). Les trois inclusions \[ W \subset \widetilde W, \qquad F \cap W \subset TF, \qquad C \cap W \subset TC \] sont donc équivalentes, moyennant les deux factorisations.²⁶ La troisième dit que toute flèche ayant la propriété de relèvement à droite par rapport aux \(h(i_0, I, \varepsilon)\) l'a par rapport à tous les monomorphismes qui sont dans \(W\). La page s'interrompt sur « [ ? ??? ] ». Il voudrait l'avoir au moins dans deux cas.²⁷

1. a)\(\mathcal{E} = \widehat{A}\) et \(W = \mathcal{W}_A\), où \(\mathcal{W}\) est un localisateur fondamental et \(A\) une catégorie \(\mathcal{W}\)-test (locale ?).
2. b)\(A = A_0 \times B\) avec \(B\) une catégorie test, de sorte que \(\widehat{A} \simeq \mathbf{Hom}(A_0^{\mathrm{op}}, \widehat{B})\), et \(W = \mathcal{W}_{A/A_0}\), défini fibre à fibre par \(\mathcal{W}_B\).

21–21

Une présentation alternative (page 21)

La page 21 (sa page 9) reprend tout depuis l'autre bout : « Alternative presentation of theory, with possibly slightly less strong result ». On se donne cette fois \(W\), on veut une structure de modèles dont les cofibrations sont les monomorphismes et les équivalences faibles les flèches de \(W\), et l'on pose directement \[ C = \text{mono}, \quad TC = C \cap W, \quad F = (TC)_*, \quad TF = C_* . \] On sait toujours que \((TF)^* = C\). Restent quatre problèmes.²⁸

1. (a)\(F^* = TC\). Comme \(F^* \subset (TF)^* = C\), cela revient à : tout monomorphisme ayant la propriété de relèvement à gauche par rapport à \(F\) est dans \(W\). C'est une propriété de saturation de \(W\) relativement aux monomorphismes.
2. (b)\(TF = W \cap F\). Les hypothèses déjà faites ((1), page 15) donnent \(TF \subset W\), donc \(TF \subset W \cap F\) ; il reste \(W \cap F \subset TF\).
3. c)Les factorisations, la seconde avec \(i \in C \cap W\) ; elles « shouldn't be too hard » par des arguments standard, et il les admet.
4. (d)Si \(f : X \to Y\) est dans \(F\) et \(Y' \to Y\) dans \(W\), alors \(X' = X \times_Y Y' \to X\) est dans \(W\).

Pour (a), l'argument de rétracte de la page 17 vaut tel quel. Si \(f\) est un monomorphisme de \(F^*\), on le factorise en \(f = pi\) avec \(i \in W \cap C\), \(p \in F\). Le relèvement donne \(s\) avec \(sf = i\), \(ps = \mathrm{id}\), donc \(f\) est un rétracte de \(i\), et \(f \in W\) par (5).²⁹

\begin{tikzcd}
& X' \arrow[d, "p \in F"] \\
X \arrow[ur, "i \in W \cap C"] \arrow[r, "f"'] & Y \arrow[u, bend right=40, "s"']
\end{tikzcd}

La différence avec les pages 4 à 19 est de principe : là, \(TC\) était engendrée par \((TC)_0\) et il fallait comparer \(\widetilde W\) à \(W\) ; ici \(TC\) est définie par \(W\), et la question de la génération reviendra à la page 31.

24–27

Classes saturées, factorisation, structures de modèles (pages 24 à 27)

Saturations et systèmes de factorisation faibles

Soit \(M\) une catégorie. Une classe \(\Phi \subset \mathrm{Fl}(M)\) est saturée à gauche si \(\Phi = \Psi^*\) pour une classe \(\Psi\), c'est-à-dire si \(\Phi = (\Phi_*)^*\) ; une classe \(\Psi\) est saturée à droite si \(\Psi = (\Psi^*)_*\). On a toujours \(\Phi \subset (\Phi_*)^*\) et \(\Psi \subset (\Psi^*)_*\), et \(\Phi \mapsto \Phi_*\), \(\Psi \mapsto \Psi^*\) sont des bijections décroissantes, inverses l'une de l'autre, entre classes saturées à gauche et classes saturées à droite. Une classe saturée à droite est stable par composition, changement de base et rétractes ; dualement à gauche.³⁰

Deux classes \(\Phi, \Psi\) sont orthogonales si \(\Phi \subset \Psi^*\), ou, ce qui revient au même, \(\Psi \subset \Phi_*\). La paire a la propriété de factorisation si toute flèche \(f\) s'écrit \(f = pi\) avec \(i \in \Phi\), \(p \in \Psi\).

Proposition. Soit \((\Phi, \Psi)\) une paire orthogonale ayant la propriété de factorisation. Alors \(\Phi = \Psi^*\) si et seulement si \(\Phi\) est stable par rétractes, et \(\Psi = \Phi_*\) si et seulement si \(\Psi\) l'est. En effet, si \(h \in \Psi^*\), on factorise \(h = pi\), et \(h \pitchfork p\) fait de \(h\) un rétracte de \(i \in \Phi\), comme à la page 17.

Il appelle « paire de Quillen » une paire orthogonale ayant la propriété de factorisation dont les deux classes sont stables par rétractes : c'est ce qu'on appelle aujourd'hui un système de factorisation faible.³¹ Il appelle « triple de Quillen » une donnée \((C, F, W)\) telle que :

1. a)\(W\) est faiblement saturée et stable par rétractes (M5) ;
2. b)\((C, TF)\) et \((TC, F)\) sont des systèmes de factorisation faibles, où \(TF = F \cap W\) et \(TC = C \cap W\) (M1, M2).

C'est une structure de modèles au sens de Quillen ; il en résulte que \(f \in W\) si et seulement si \(f = pi\) avec \(i \in TC\), \(p \in TF\), et, si \(M\) a des limites projectives et inductives finies (M0), que \(W\) est fortement saturée.³²

26–26

Un brouillon : la saturation (page 26)

Le feuillet n'a pas de numéro de sa main et il est barré de deux longues diagonales au crayon. Il commence par les complexes de Kan : si \(Y\) est de Kan, \(\mathbf{Hom}(I, Y) \to Y \times Y\) est une fibration de Kan ; est-ce une fibration de Serre ? La question est aussitôt posée fibre à fibre, au-dessus d'un \(a \to Y \times Y\).³³

Puis trois conditions sur une classe \(W\) : a) \(\mathrm{Iso}_M \subset W\) ; b) le deux-sur-trois ; c) \(W\) stable par rétractes. Elles donnent la saturation faible. Donnent-elles la saturation, \(fg, gf \in W \Rightarrow f, g \in W\) ? Il compare

1. (i)\(gf = \mathrm{id}\), \(fg \in W\) \(\Rightarrow\) \(f, g \in W\) ;
2. (ii)\(gf \in W\), \(fg \in W\) \(\Rightarrow\) \(f, g \in W\) ;
3. (iii)\(W\) stable par rétractes ;

et note (ii) \(\Rightarrow\) (i) \(\Leftarrow\) (iii). La seconde implication vient de ce que, si \(gf = \mathrm{id}_A\), \(f\) est un rétracte de \(fg\) :

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "f"'] & B \arrow[r, "g"] \arrow[d, "fg"] & A \arrow[d, "f"] \\
B \arrow[r, "\mathrm{id}"'] & B \arrow[r, "\mathrm{id}"'] & B
\end{tikzcd}

et \(g\) est alors dans \(W\) par le deux-sur-trois. La question elle-même reste ouverte sur la page, et la réponse est non.³⁴

27–27

Conditions équivalentes (page 27, sa page « 10 bis »)

Soit \((C, F, W)\) avec \(TF = F \cap W\) et \(TC = C \cap W\), et posons \(\widetilde{TF} = C_*\), \(\widetilde{TC} = F^*\). On suppose \[ \text{(a)} \ \ C = (TF)^*, \ F = (TC)_*, \qquad \text{(b)} \ \ W = \{ pi \mid p \in \widetilde{TF},\ i \in \widetilde{TC} \}. \] C'est la construction \(\widetilde W\) de la page 6, faite avec les paires \((F^*, F)\) et \((C, C_*)\). Comme \(C\) et \(F\) sont saturées, \(\widetilde{TF} \subset F\) et \(\widetilde{TC} \subset C\) ; et (a) donne \(TF \subset \widetilde{TF}\), \(TC \subset \widetilde{TC}\). Il suffit donc que \(\widetilde{TF} \subset W\) et \(\widetilde{TC} \subset W\), ce qui équivaut à \(\widetilde{TF} = TF\) et \(\widetilde{TC} = TC\), c'est-à-dire à ce que \((C, TF)\) et \((TC, F)\) soient des systèmes de factorisation faibles. D'où les conditions équivalentes : (i) (a) et (b), une catégorie de modèles fermée au sens de Quillen ; (ii) \((C, TF)\) et \((TC, F)\) sont des systèmes de factorisation faibles ; et il faut encore (iii) \(C\), \(F\), \(W\) stables par rétractes.³⁵

Quillen démontre plus : \(W\) est fortement saturée, du moins quand \(M\) a des limites inductives et projectives finies. La page le ramène aux objets fibrants et cofibrants. Par des factorisations successives, \(f : X \to Y\) est relié à une flèche \(g : X_2 \to Y_2\) entre objets fibrants et cofibrants, de sorte que \(\gamma(f)\) est un isomorphisme si et seulement si \(\gamma(g)\) en est un, et \(f \in W\) si et seulement si \(g \in W\). Donc \(W\) est fortement saturée si et seulement si, pour \(f\) entre objets fibrants et cofibrants et \(f \in C\), \(\gamma(f)\) isomorphisme entraîne \(f \in W\) ; et de même avec \(f \in F\).³⁶

29–31

Construire une structure de modèles à partir de \((C, W)\) (pages 29 et 31)

La page 29 (sa page 11) donne la recette. On part d'une classe \(C \subset \mathrm{Fl}(M)\) stable par rétractes et l'on vérifie la factorisation pour la paire \((C, C_*)\), qui est alors un système de factorisation faible ; on pose \(TF = C_*\). On prend ensuite une classe \(W \supset TF\), faiblement saturée et stable par rétractes. Alors \(TC = C \cap W\) est stable par rétractes ; on pose \(F = (TC)_*\), qui contient \(TF\), et l'on vérifie la factorisation pour \((TC, F)\). Il reste \(TF = F \cap W\). Une inclusion est acquise. Pour l'autre, soit \(f : X \to Y\) dans \(F \cap W\), factorisé en \(f = pi\) avec \(i \in C\), \(p \in TF\). Comme \(f, p \in W\), on a \(i \in W\), donc \(i \in TC\). Le relèvement de \(i\) par rapport à \(f\) donne \(s : X' \to X\) avec \(si = \mathrm{id}_X\) et \(fs = p\), de sorte que \(f\) est un rétracte de \(p\), et \(f \in TF\).

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "="] \arrow[d, "i"'] & X \arrow[d, "f \in F"] \\
X' \arrow[r, "p"'] \arrow[ur, dashed, "s"] & Y
\end{tikzcd}

Proposition. Pour qu'une paire \((C, W)\) provienne d'une structure de modèles \((C, F, W)\), il faut et il suffit que :³⁷

1. 1)\(C\) et \(W\) soient stables par rétractes, et \(W\) faiblement saturée ;
2. 2)les paires \((C, C_*)\) et \((C \cap W, (C \cap W)_*)\) aient la propriété de factorisation ;
3. 3)\(W \supset C_*\).

« In the case of interest to us », 1) est gratuit, 3) presque (il vient de l'hypothèse « test »), et 2) pose un petit problème technique. Il s'intéresse aussi, au-delà des factorisations, à la propriété qui caractérise un triple de Quillen strict :

1. 4)\(W\) est stable par changement de base le long des \(g \in F\) et par changement de cobase le long des \(g \in C\).

C'est ce qu'on appelle aujourd'hui une structure de modèles propre.³⁸

NB (page 31). C'est la réflexion de méthode du dossier. De son point de vue, \(W\) est donnée d'avance, de façon assez tangible, par un critère homologique, très maniable. Chez Kan et Quillen, \(W\) était plus cachée : on y arrive par la paire \((C, TF)\) et les fibrations de Kan \(F \supset TF\), une construction quelque peu ad hoc à partir d'un ensemble générateur \((TC)_0\), qui exprime en gros la propriété de relèvement de Kan. Reste à comprendre, pour une catégorie test générale, le rapport entre cette construction et la description directe \(TC = C \cap W\), c'est-à-dire pourquoi \(C \cap W\) est exactement la saturation de \((TC)_0\). Peut-être faut-il regarder le traitement par Gabriel et Zisman des « extensions anodines ».³⁹

33–39

Factorisation (pages 33 à 39)

Le titre est le sien, souligné, en oblique dans la marge supérieure de la page 33 (sa page 13). Ces pages fournissent ce qui avait été admis aux pages 13 et 21. C'est aussi là que se décide la question de la page 15 : le bunch d'intervalles doit être petit, parce que \((TC)_0\) doit l'être.

La construction

Soit \(M\) une catégorie, \(\Phi_0 \subset \mathrm{Fl}(M)\), \(\Psi = (\Phi_0)_*\), et \(\Phi_0 \subset \Phi \subset \overline{\Phi}_0 = \Psi^*\). On cherche des conditions sur \(\Phi_0\) et \(\Phi\) pour que toute flèche se factorise en \(f = pi\) avec \(i \in \Phi\), \(p \in \Psi\).⁴⁰

Pour \(f : X \to Y\) fixée, on considère tous les carrés commutatifs \((D)\)

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "u"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "f"] \\
B \arrow[r, "v"'] & Y
\end{tikzcd}

avec \(g \in \Phi_0\), et l'on pose \(X_D = X \amalg_A B\), puis \(X_1(f)\) la somme amalgamée sous \(X\) de tous les \(X_D\). On obtient une factorisation \(f = \Sigma_1(f) \circ i_1(f)\), avec \(i_1(f) : X \to X_1(f)\) et \(\Sigma_1(f) : X_1(f) \to Y\), et \(i_1(f) \in \Phi\) pourvu que :⁴¹

1. a)\(\Phi_0\) soit petit ;
2. b)les sommes amalgamées indexées par des ensembles de cardinal \(\leqslant \mathrm{card}\, \Phi_0 \times c\) existent dans \(M\), où \(c\) est le cardinal des \(\mathrm{Hom}(A, X) \times \mathrm{Hom}(B, Y)\) ;
3. c)\(\Phi\) soit stable par composition, par changement de cobase et par les limites inductives filtrantes indexées par des ensembles de cardinal \(\leqslant c\).

Puis, par récurrence transfinie sur les ordinaux \(\alpha < \alpha_0\), \[ \Sigma_{\alpha+1}(f) = \Sigma_1(\Sigma_\alpha(f)), \qquad i_{\alpha+1}(f) = i_1(\Sigma_\alpha(f)) \circ i_\alpha(f), \] et \[ \Sigma_\alpha(f) = \varinjlim_{\alpha' < \alpha} \Sigma_{\alpha'}(f) \quad \text{si } \alpha \text{ est un ordinal limite}, \] \(X_\alpha(f)\) étant la source de \(\Sigma_\alpha(f)\). On suppose \(\Phi\) stable par les limites inductives qui interviennent aux ordinaux limites.

Le choix de \(\alpha_0\). Soit \(\pi\) un cardinal tel que les sources et buts des \(g \in \Phi_0\) soient \(\pi\)-accessibles : \(\mathrm{Hom}(A, -)\) commute aux limites inductives filtrantes « large with resp. to \(\pi\) ». On peut prendre \(\pi = \sup_{g \in \Phi_0} \pi_g\). Si ces objets sont de présentation finie, on arrête la récurrence au premier ordinal infini ; en général on prend pour \(\alpha_0\) le premier ordinal dont l'ensemble des prédécesseurs est large par rapport à \(\pi\).⁴² On pose \(\mathbf{X}(f) = X_{\alpha_0}(f)\), \(i(f) = i_{\alpha_0}(f)\) et \(p(f) = \Sigma_{\alpha_0}(f)\).

Alors \(i(f) \in \Phi\) et \(p(f) \in \Psi\), sous l'hypothèse d) : les sources et buts des \(g \in \Phi_0\) sont accessibles, et, pour un cardinal \(\pi\) assez grand, tout système inductif filtrant de cardinal \(\leqslant \pi\) à flèches de transition dans \(\Phi\) a une limite, les flèches \(Z_i \to Z\) étant dans \(\Phi\). La raison est la suivante.⁴³ Un carré de \(g : A \to B\), \(g \in \Phi_0\), vers \(p(f)\) a sa flèche \(A \to X_{\alpha_0}(f) = \varinjlim X_\alpha(f)\) qui se factorise par un \(X_\alpha(f)\), \(\alpha < \alpha_0\), par accessibilité de \(A\). Ce carré figure donc parmi ceux qui construisent \(X_{\alpha+1}(f)\), et celui-ci fournit la diagonale \(B \to X_{\alpha+1}(f) \to X_{\alpha_0}(f)\). De plus la factorisation est fonctorielle en \(f\).

37–37

L'énoncé (page 37)

Supposons :

1. a)\(\Phi_0\) petit, et les sources et buts de ses flèches accessibles ;
2. b)\(M\) stable par limites inductives filtrantes ;
3. (c)pour toute \(u : A \to X\) et toute \(\alpha : A \to B\) dans \(\Phi_0\), la somme amalgamée \(X' = X \amalg_A B\) existe et \(\alpha' : X \to X'\) est dans \(\Phi\) ; et c') \(\Phi\) est stable par composition ;
4. (d)\(\Phi\) est stable par limites inductives filtrantes, au sens de la page 35.

Alors \((\Phi, \Psi)\) a la propriété de factorisation, et il existe même un foncteur \(\Sigma : \mathrm{Fl}(M) \to \mathrm{Fl}(M)\) au-dessus de \(M\) (pour le foncteur but \(t\)) et un morphisme fonctoriel \(\mathrm{id} \to \Sigma\) dans \([\mathrm{Cat}]_{/M}\), qui envoie \(f : X \to Y\) sur \(p(f) : \mathbf{X}(f) \to Y\) par \((i(f), \mathrm{id}_Y)\), avec \(i(f) \in \Phi\) et \(p(f) \in \Psi\).⁴⁴

\begin{tikzcd}
\mathrm{Fl}(M) \arrow[rr, "\Sigma"] \arrow[dr, "t"'] & & \mathrm{Fl}(M) \arrow[dl, "t"] \\
& M &
\end{tikzcd}

Exemple. Si \(M\) a des sommes amalgamées et \(\Phi = \overline{\Phi}_0 = \Psi^*\), la condition (c) est triviale, une classe saturée à gauche étant stable par changement de cobase. Pour (d), il propose une récurrence de Zorn sur les paires \((J \subset I, u_J : \varinjlim_J A_j \to X)\) qui prolongent le relèvement donné sur \(A_{i_0}\), la surjectivité cherchée étant celle de \(\mathrm{Hom}(B, X) \to \mathrm{Hom}(g, f) = \varprojlim \mathrm{Hom}(g_i, f)\).⁴⁵

39–39

Le lemme et le théorème (page 39)

Lemme. Soit \(\Phi = \Psi^*\) une classe saturée à gauche. Alors :

1. a)\(\Phi\) contient les isomorphismes ;
2. b)\(\Phi\) est stable par composition et changement de cobase ;
3. c)\(\Phi\) est stable par sommes amalgamées quelconques ;
4. d)\(\Phi\) est stable par systèmes inductifs ordinaux : si \(I\) est bien ordonné et \((A_i)_{i \in I}\) un système inductif à flèches de transition dans \(\Phi\), continu aux ordinaux limites (\(A_{i_0} = \varinjlim_{j < i_0} A_j\)), alors \(A_{i_0} \to \varinjlim_I A_i\) est dans \(\Phi\) pour tout \(i_0\).

En marge : a), b), d) entraînent c).⁴⁶

Théorème. Soit \(M\) une catégorie stable par petites limites inductives et accessible.⁴⁷

1. (1)Soit \(\Phi_0 \subset \mathrm{Fl}(M)\) petit, et \(\Phi_0 \subset \Phi \subset \overline{\Phi}_0 = \Psi^*\), \(\Psi = (\Phi_0)_*\). Si \(\Phi\) satisfait a), b), c), d), la paire \((\Phi, \Psi)\) a la propriété de factorisation ; si de plus \(\Phi\) est stable par rétractes, \(\Phi = \overline{\Phi}_0\).
2. (2)Pour que \(\Phi = \overline{\Phi}_0\), il faut et il suffit que \(\Phi\) satisfasse a), b), c), d) et e) : la stabilité par rétractes. La factorisation a lieu alors pour le système \((\Phi, \Psi)\).

NB. Dans (2), on supposait au préalable l'existence d'un \(\Phi_0\) petit ayant même saturation à gauche que \(\Phi\). « Next step is to try to get rid of this. » La suite n'est pas dans le dossier.⁴⁸

42–45

Les axiomes W7 et W8, et l'axiome « Der 6 » (pages 42 à 52)

La dernière suite est en français et paginée de sa main de 6 à 18 ; ses pages 1 à 5 ne sont pas dans le dossier. Elle s'ouvre sur la fin, biffée, d'un argument commencé avant : un carré de foncteurs \(U \to \overline{U}\), \(U' \to \overline{U}'\) dont les deux flèches horizontales sont dans \(W\), donc « \(q \in W\) ssi \(q_U \in W\) cqfd ». Elle demande alors : « Dém. de W7, W 7 bis si \(W = W_{\mathbb D}\) ? »⁴⁹

Notations de cette partie. Un ouvert d'une catégorie \(X\) est un crible : une sous-catégorie pleine \(U\) telle que \(x \to y\) et \(y \in U\) entraînent \(x \in U\).⁵⁰ On note \(Q = \Delta^1 \times \Delta^1\), et \(\Psi = Q \smallsetminus \{(1,1)\}\), l'ensemble ordonné \(\{0 < a,\ 0 < b\}\) où \(0 = (0,0)\), \(a = (0,1)\), \(b = (1,0)\) ; \(k : \Psi \subset Q\) est l'inclusion, qui ajoute à \(\Psi\) l'élément final \((1,1)\). On note \(\Phi = \Psi^{\mathrm{op}} = (a \to 0 \leftarrow b)\). Pour \(\varphi : X \to I\) et \(s \in I\), \(X_{/s} = X \times_I I_{/s}\) ; la construction de Grothendieck du foncteur \(s \mapsto X_{/s}\) est notée \(\mathcal{G}_I(X)\).⁵¹ \(\mathbb D\) est un dérivateur, \(\mathcal{A} = \mathbb D(e)\) ; pour une catégorie \(X\), \(p_X : X \to e\), et \(\xi \in \mathcal{A}\), \[ H^\bullet_{\mathbb D}(X, \xi) = p_{X*}\, p_X^*\, \xi \in \mathcal{A} \] est la cohomologie de \(X\) à coefficients constants \(\xi\), et \(W_{\mathbb D}\) la classe des foncteurs \(u : X \to Y\) tels que \(u^* : H^\bullet_{\mathbb D}(Y, \xi) \to H^\bullet_{\mathbb D}(X, \xi)\) soit un isomorphisme pour tout \(\xi \in \mathcal{A}\).⁵² Les objets de \(\mathbb D(I)\) se lisent, comme le dit la page 45, comme des diagrammes de type \(I^{\mathrm{op}}\).⁵³

Deux ouverts et le carré de Mayer–Vietoris (pages 42 à 45)

Se donner deux ouverts \(U, U'\) de \(X\) revient à se donner \(\varphi : X \to Q\), avec \(U = \varphi^{-1}(\{0\} \times \Delta^1)\) et \(U' = \varphi^{-1}(\Delta^1 \times \{0\})\). Ses fibres sont \(X_{0,0} = U \cap U'\), \(X_{0,1} = U \cap T'\), \(X_{1,0} = T \cap U'\) et \(X_{1,1} = T \cap T'\), où \(T\) et \(T'\) sont les complémentaires de \(U\) et \(U'\). La condition \(U \cup U' = X\) équivaut à \(X_{1,1} = \varnothing\), donc à ce que \(\varphi\) se factorise par \(\Psi\). Les fibres sont alors \(X_0 = U \cap U'\), \(X_a = U \smallsetminus U'\), \(X_b = U' \smallsetminus U\), et \[ U = X_{/a}, \qquad U' = X_{/b}, \qquad U \cap U' = X_{/0} . \] ⁵⁴

Le diagramme \(U \leftarrow U \cap U' \rightarrow U'\) de \(\mathrm{Cat}\) est donc le foncteur \(\Psi \to \mathrm{Cat}\), \(s \mapsto X_{/s}\), et il définit une catégorie cofibrée scindée \(\overline{X} = \mathcal{G}_\Psi(X)\) sur \(\Psi\), de fibres \(\overline{X}_a = U\), \(\overline{X}_b = U'\), \(\overline{X}_0 = U \cap U'\), les foncteurs de transition étant les inclusions. Le foncteur \(\alpha : X \to \overline{X}\), \(x \mapsto (\varphi(x), x)\), est dans \(W\).⁵⁵

La projection \(\overline{\varphi} : \overline{X} \to \Psi\) est propre, de sorte que \(\overline{\varphi}_*\) se calcule fibre par fibre. Pour un coefficient constant \(\xi_{\overline{X}}\), \(\xi \in \mathcal{A}\), la valeur de \(\overline{\varphi}_*(\xi_{\overline{X}})\) en \(0\), \(a\), \(b\) est \(H^\bullet_{\mathbb D}(U \cap U', \xi)\), \(H^\bullet_{\mathbb D}(U, \xi)\), \(H^\bullet_{\mathbb D}(U', \xi)\) ; le diagramme \(H^\bullet_{\mathbb D}(U, \xi) \to H^\bullet_{\mathbb D}(U \cap U', \xi) \leftarrow H^\bullet_{\mathbb D}(U', \xi)\), de type \(\Psi^{\mathrm{op}}\), est donc le diagramme sous-jacent de \[ \gamma_0 = \overline{\varphi}_*(\xi_{\overline{X}}) \in \mathbb D(\Psi). \] Soit \(\gamma = k_*(\gamma_0) \in \mathbb D(Q)\). Un objet de \(\mathbb D(Q)\) de la forme \(k_*(\gamma_0)\) est ce qu'on appelle un carré cartésien ; comme \(k\) est pleinement fidèle, \(k^*\gamma \simeq \gamma_0\).⁵⁶ Le carré sous-jacent à \(\gamma\) est

\begin{tikzcd}[column sep=small]
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(X, \xi) \arrow[dl, "i^*"'] \arrow[dr, "i'^*"] & \\
H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U, \xi) \arrow[dr, "i_0'^*"'] & & H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U', \xi) \arrow[dl, "i_0^*"] \\
& H^{\bullet}_{\mathbb{D}}(U \cap U', \xi) &
\end{tikzcd}

où \(i : U \to X\), \(i' : U' \to X\), \(i'_0 : U \cap U' \to U\) et \(i_0 : U \cap U' \to U'\) sont les inclusions. En effet, si \(\psi = k \circ \overline{\varphi} : \overline{X} \to Q\), alors \(\gamma = \psi_*(\xi_{\overline{X}})\), d'où \[ \gamma(1,1) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(Q, \gamma) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(\overline{X}, \xi) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(X, \xi), \] la première identification parce que \((1,1)\) est final dans \(Q\), la dernière parce que \(\alpha \in W\).⁵⁷

Dans un carré cartésien, l'image réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme : si \(i_0^*\) est un isomorphisme, \(i^*\) en est un. Ceci valant pour tout \(\xi \in \mathcal{A}\), \[ i_0 \in W_{\mathbb D} \Longrightarrow i \in W_{\mathbb D} . \] ⁵⁸ C'est la moitié de W7 : pour deux ouverts \(U, U'\) recouvrant \(X\), si \(U \cap U' \to U'\) est une équivalence, \(U \to X\) en est une.

46–48

La réciproque, et le « Principe » (pages 46 à 48)

Pour avoir la réciproque \(i \in W_{\mathbb D} \Rightarrow i_0 \in W_{\mathbb D}\), il faudrait savoir que le carré \(\gamma\) est non seulement cartésien, mais aussi cocartésien. « Moralement », qu'il soit cartésien lui semble la traduction cohomologique de ce que le carré de cribles \(U \cap U' \to U, U' \to X\) est cocartésien dans \(\mathrm{Cat}\), en un sens assez fort. Ce carré est aussi trivialement cartésien, et l'on peut s'attendre à ce que son transformé par \(H^\bullet_{\mathbb D}(-, \xi)\) soit cocartésien.⁵⁹

Il se place alors sur \(Q\) plutôt que sur \(\Psi\). On a \(\mathcal{G}_Q(X)|_\Psi \simeq \mathcal{G}_\Psi(X)\), et la quatrième fibre est \(X_{/(1,1)} \simeq X\), de sorte que le diagramme de type \(Q\) de \(\mathrm{Cat}\) qui définit \(\mathcal{G}_Q(X)\) est le carré des cribles lui-même. Ce carré n'est pas quelconque. Sa propriété essentielle est que, pour \(V = U \cap U'\), le foncteur \[ \mathcal{G}_\Psi(X) = \int \bigl(V \to U,\ V \to U'\bigr) \longrightarrow X \] est dans \(W\).⁶⁰

« Principe » (?). Soit \(X_a \leftarrow X_0 \rightarrow X_b\) un diagramme de \(\mathrm{Cat}\) de type \(\Psi\), \(\mathcal{X}\) la catégorie cofibrée sur \(\Psi\) qu'il définit et \(\varphi : \mathcal{X} \to \Psi\) la projection. Pour \(\xi \in \mathbb D(\mathcal{X})\), soit \(\gamma_0 = \varphi_*(\xi) \in \mathbb D(\Psi)\) et \(\gamma = k_*(\gamma_0) \in \mathbb D(Q)\). Alors \[ \gamma(0,0) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(X_0, \xi), \quad \gamma(0,1) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(X_a, \xi), \quad \gamma(1,0) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(X_b, \xi), \quad \gamma(1,1) \simeq H^\bullet_{\mathbb D}(\mathcal{X}, \xi), \] et le carré sous-jacent est celui des restrictions. Le carré \(X_0 \to X_a, X_b \to \mathcal{X}\) des fibres n'est même pas commutatif, car \(X_a \cap X_b = \varnothing\) dans \(\mathcal{X}\) ; mais celui des \(X_{/0} \subset X_{/a}, X_{/b} \subset \mathcal{X}\) l'est, et le carré des cohomologies s'en déduit aussi.⁶¹

Le carré \(\gamma\) est cartésien par construction, et il le serait pour tout \(\mathcal{X}\) propre sur \(\Psi\), sans le supposer cofibré. Que \(\mathcal{X}\) soit cofibré doit donner en plus qu'il est cocartésien. Il a l'impression que cela ne découle pas des axiomes Der 1 à Der 5, 5', et le pose comme axiome.⁶²

« Der 6 » (provisoire), « axiome des cofibrations ». Si \(\mathcal{X}\) est cofibré sur \(\Psi\) et \(\xi \in \mathbb D(\mathcal{X})\), l'objet \(\psi_*(\xi) \in \mathbb D(Q)\), où \(\psi = k \circ \varphi\), est non seulement cartésien, mais aussi cocartésien.⁶³

49–50

Der 6', et la forme symétrique (pages 49 et 50)

« Der 6' » (provisoire). Si \(\mathcal{X}\) est fibrée sur \(\Phi = \Psi^{\mathrm{op}} = (a \to 0 \leftarrow b)\) (donc donnée, à \(\Phi\)-équivalence près, par un diagramme \(X_a \leftarrow X_0 \rightarrow X_b\) de \(\mathrm{Cat}\)) et \(\xi \in \mathbb D(\mathcal{X})\) est constant, alors \(\psi_!(\xi)\), pour \(\psi : \mathcal{X} \to \Phi \subset Q^{\mathrm{op}}\), est non seulement cocartésien, « sans mérite », mais aussi cartésien.⁶⁴

NB. Der 6' pour \(\mathbb D\) n'est autre que Der 6 pour le dérivateur opposé \(\mathbb D^\circ\), \(\mathbb D^\circ(I) = \mathbb D(I^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}\). Il ne voit pas comment l'un impliquerait l'autre, hors le cas exceptionnel où il y a un foncteur dualisant dans \(\mathcal{A}\), et une dualité correspondante entre cohomologie et homologie.

Il semble finalement que l'axiome qui englobe les deux soit le suivant :

« Der 6 ». Un objet \(\gamma \in \mathbb D(\Delta^1 \times \Delta^1)\) est cartésien si et seulement s'il est cocartésien.

C'est, pour un dérivateur pointé, la définition reçue aujourd'hui d'un dérivateur stable.⁶⁵

Page 50, sur le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \gamma(0,1) \arrow[dl, "j_0"'] & \\
\gamma(0,0) & & \gamma(1,1) \arrow[ul, "i_1"'] \arrow[dl, "j_1"] \\
& \gamma(1,0) \arrow[ul, "i_0"] &
\end{tikzcd}

un carré bicartésien a \(i_0\) iso si et seulement si \(i_1\) l'est, et \(j_0\) iso si et seulement si \(j_1\) l'est : « cartésien » donne un sens, « cocartésien » l'autre.⁶⁶ La dernière forme se déduirait aussitôt de la précédente, pourvu qu'on ait le lemme suivant.⁶⁷

« Lemme ». Soit \(\xi = (\xi_a \xrightarrow{j_0} \xi_0 \xleftarrow{i_0} \xi_b) \in \mathbb D(\Psi)\) tel que \(i_0\) soit un isomorphisme. Alors \(\xi\) est isomorphe à l'image réciproque \(\rho^*\eta\) d'un \(\eta \in \mathbb D(\Psi_a)\), où \(\Psi_a = (0 \to a) \simeq \Delta^1\) est l'ouvert \(\{0, a\}\) de \(\Psi\) et \(\rho : \Psi \to \Psi_a\) la rétraction qui envoie \(b\) sur \(0\).

La page veut montrer que la flèche d'adjonction \(\rho^*\rho_*(\xi) \to \xi\) est un isomorphisme. Comme \(\rho\) est lisse, induite par la première projection \(\Delta^1 \times \Delta^1 \to \Delta^1\), \(\rho_*\) se calcule fibre par fibre, et l'on est ramené à ce que \(\mathcal{A} \to \mathbb D^{\mathrm{cc}}(\Delta^1)\) soit une équivalence, « forme de Der 3 ». Elle s'arrête là.⁶⁸

51–52

HOT, Der 8, W7 bis et W8 bis (pages 51 et 52)

« Dans HOT, j'ai admis que : tout carré cocartésien est cartésien. Pour qu'un carré cartésien

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \xi_0 \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\xi_a \arrow[dr] & & \xi_b \arrow[dl] \\
& \xi_1 &
\end{tikzcd}

soit aussi cocartésien, il faut et il suffit que l'on ait \(\pi_0(\xi_1) = \mathrm{Im}\, \pi_0(\xi_a) \cup \mathrm{Im}\, \pi_0(\xi_b)\). » ⁶⁹

W8 semble découler d'un principe général :

« Der 8 ». Soit \(f : \xi \to \eta\) un morphisme de carrés de \(\mathcal{A}(\Delta^1 \times \Delta^1)\), de composantes \(f_0, f_a, f_b, f_1\), et les conditions a) \(f_0\) est iso ; b) \(f_1\) est iso ; c) \(f_a\) et \(f_b\) sont iso. Si les carrés sont cartésiens, b) et c) entraînent a) ; s'ils sont cocartésiens, a) et c) entraînent b) ; s'ils sont bicartésiens, de plus a) et b) entraînent c) (?).⁷⁰

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \xi_a \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_a"] & \\
\xi_0 \arrow[ur] \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_0"'] & & \xi_1 \arrow[ddd, "f_1"] \\
& \xi_b \arrow[ur] \arrow[ddd, "f_b"'] & \\
& \eta_a \arrow[dr] & \\
\eta_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \eta_1 \\
& \eta_b \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

W7 bis. Soit \(X_a \leftarrow X_0 \rightarrow X_b\) un diagramme de \(\mathrm{Cat}\), et \(\mathcal{X}\) la catégorie fibrée sur \(\Phi = (a \to 0 \leftarrow b)\) qu'il définit. On a un diagramme commutatif dans \(\mathrm{Hot}_W = W^{-1}\mathrm{Cat}\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_0 \arrow[dl, "i_a"'] \arrow[dr, "i_b"] & \\
X_a \arrow[dr, "i'_b"'] & & X_b \arrow[dl, "i'_a"] \\
& \mathcal{X} &
\end{tikzcd}

(dans \(\mathrm{Cat}\), les deux composés sont homotopes par un chemin de longueur 2, homotopes tous deux, par une homotopie de longueur 1, à l'inclusion \(X_0 \hookrightarrow \mathcal{X}\)). Alors \(i_a \in W\) si et seulement si \(i'_a \in W\), et \(i_b \in W\) si et seulement si \(i'_b \in W\).⁷¹

W8 bis. Soit un cube commutatif de \(\mathrm{Cat}\) formé de deux tels diagrammes et de \(f_0, f_a, f_b\), complété dans \(\mathrm{Hot}_W\) par \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\), où \(\mathcal{X} = \int(X_0 \to X_a,\ X_0 \to X_b)\) et de même \(\mathcal{X}'\). Considérons les conditions a) \(f \in W\) ; b) \(f_0 \in W\) ; c) \(f_a\) et \(f_b \in W\). Deux d'entre elles entraînent la troisième.⁷²

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X_a \arrow[dr, dashed] \arrow[ddd, "f_a"] & \\
X_0 \arrow[ur] \arrow[dr] \arrow[ddd, "f_0"'] & & \mathcal{X} \arrow[ddd, "f"] \\
& X_b \arrow[ur, dashed] \arrow[ddd, "f_b"'] & \\
& X'_a \arrow[dr, dashed] & \\
X'_0 \arrow[ur] \arrow[dr] & & \mathcal{X}' \\
& X'_b \arrow[ur, dashed] &
\end{tikzcd}

La page 52 (sa page 18, numéro entouré) en donne une mise au propre, sous le titre « Corollaire de W7 bis », biffé en « Variante forte ». W7 bis : soit \(\mathcal{X}\) lisse sur \(\Phi\), d'où le même diagramme ; alors \(i_a \in W\) si et seulement si \(i'_a \in W\) (donc de même pour \(i_b\), \(i'_b\)). Cela implique l'axiome dual W7' bis, pour \(\mathcal{X}\) propre sur \(\Psi\). W8 bis : soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{X}'\) lisses sur \(\Phi\) et \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) un \(\Phi\)-morphisme, induisant \(f_0, f_a, f_b\) sur les fibres ; deux des conditions a) \(f \in W\), b) \(f_0 \in W\), c) \(f_a, f_b \in W\) entraînent la troisième.⁷³

Ces deux énoncés ont un contenu qu'on peut dire, bien que la page ne le dise pas. La catégorie \(\mathcal{X}\) est la somme amalgamée homotopique du diagramme. Les implications « \(i_a \in W \Rightarrow i'_a \in W\) » et « b) et c) \(\Rightarrow\) a) » expriment l'invariance homotopique de cette somme : elles valent pour \(W_\infty\) comme pour toute classe \(W_{\mathbb D}\). Les implications inverses sont d'une autre nature. Elles sont fausses pour \(W_\infty\) et vraies pour les équivalences d'homologie, par la suite de Mayer–Vietoris et le lemme des cinq, comme pour \(W_{\mathbb D}\) quand \(\mathbb D\) est stable.⁷⁴ C'est ce qui fait de « Der 6 » l'axiome que ces pages cherchent : pour qu'un recollement se lise dans les deux sens, il faut être dans le monde stable, où cartésien et cocartésien coïncident.