Cote n° 104, pages 1–16

Cote n° 104 · batch 1 · pages 1–16 · Transcription · [Champs (stacks) 1] : copies de notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration

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Feuillets d'essai

ce titre est de l'édition. Les pages 1 à 5 sont cinq feuillets isolés, écrits en travers, le feuillet tourné d'un quart de tour, sur du papier de rencontre ; aucun ne porte de titre. Ils touchent à la construction que les pages 6 à 16 rédigent de suite, à l'encre, et c'est à ce titre qu'ils sont transcrits ; rien sur ces feuillets ne les date par rapport à ces pages-là. L'inventaire donne au dossier le titre « [Champs (stacks) 1] », entre crochets, donc des archivistes : rien dans le dossier ne porte de titre de sa main

le feuillet porte, dans sa moitié supérieure, une rangée de figures : des segments portant deux, trois puis quatre marques de subdivision ; des formes en amande hachurées, isolées ou accolées deux à deux ; de petits carrés divisés en quatre ; et un huit, deux cercles tangents en un point. Ce sont des complexes cellulaires esquissés, et ils ne sont pas redessinés ici

\((\text{Ss sets}) \supset (\text{Cat}) \longleftarrow (\text{Préord}) \supset (\text{Ord}) \supset (\text{Maquettes})\)

le dernier terme est écrit au-dessus de Triangulations. Les trois signes lus ici \(\supset\) sont tracés d'une seule courbe ; la flèche qui entre dans (Cat) est la seule du trait à porter une pointe

\[F_x \longrightarrow F_y \qquad\qquad x \leq y\]

le feuillet est le dos d'une enveloppe à son adresse ; un tapuscrit transparaît par endroits. Sa moitié droite est occupée par une rangée de figures — segments subdivisés et fléchés, amandes hachurées accolées, carrés divisés en bandes ou en damiers, un huit — qui ne sont pas redessinées ici

\[F_0 \overset{s_1}{\underset{t_1}{\leftleftarrows}} F_1 \overset{s_2}{\underset{t_2}{\leftleftarrows}} F_2\]

\[F_0 \overset{\sigma_1}{\longrightarrow} F_1 \overset{\sigma_2}{\longrightarrow} F_2\]

\[\mu_1^1 \qquad \mu_1^2 \qquad \mu_2^2\]

\[a \qquad \ell \qquad r\]

les trois lettres \(a\), \(\ell\), \(r\) sont écrites l'une sous l'autre, sans autre indication

\[I_{A\cdot S} \longrightarrow S\]

\[\Delta_{n_1} \times \Delta \qquad\qquad \Delta_{n_1} \times \Delta_{n_2} \times \cdots \times \Delta_{n_n} \qquad\qquad \Delta_n \times \Delta_{n'}\]

\[\begin{align*} F_0 &= \mathrm{Ob}\,\Delta_{n'} \\ F_1 &= \struck{\ill{}}\ \mathrm{Fl}(\Delta_n) \times \mathrm{Ob}\,\Delta_{n'} \\ F_2 &= \mathrm{Fl}(\Delta_n) \times \mathrm{Fl}(\Delta_{n'}) \end{align*}\]

la première ligne porte \(\Delta_{n'}\) là où la suite des formules demanderait \(\Delta_n\) ; le mot rayé de la deuxième ligne est repris deux fois et n'est pas lisible

le feuillet est le dos d'une page dactylographiée, dont le texte transparaît en gris sur toute la surface ; il n'est pas transcrit. La moitié droite porte quatre figures : un prisme hachuré posé sur un quadrillage, un carré, un cylindre fermé en bas par une amande hachurée, et un carré divisé en quatre

\[\begin{array}{l} \mathrm{Ob}\,C_1 \\ (\mathrm{Fl}\,C_1 \times \mathrm{Ob}\,C_2) \\ \mathrm{Fl}\,C_2 \times \mathrm{Fl}(C_2) \times \mathrm{Ob}\,C_3 \end{array} \qquad\longrightarrow\qquad \mathrm{Fl}_0(C_1)\]

les trois lignes sont accolées à gauche par deux flèches montantes ; la flèche vers \(\mathrm{Fl}_0(C_1)\) part de la première. Entre la deuxième et la troisième est rayé \(\mathrm{Fl}_0(C_1) \times \mathrm{Ob}\,C_2\). Le premier indice de la troisième ligne est surchargé et se lit 2 ; la suite des formules demande \(C_1\)

\[F_3 = \mathrm{Fl}\,C_1 \times \mathrm{Fl}\,C_2 \times \mathrm{Fl}\,C_3 \times \mathrm{Ob}\,C_4\]

\[F_n = \mathrm{Fl}\,C_1 \times \mathrm{Fl}\,C_2 \times \cdots \times \mathrm{Fl}\,C_n \struck{\times \mathrm{Ob}\,C_4}\]

le dernier facteur est biffé ; son indice est tracé comme le 4 de la ligne \(F_3\). La suite des formules demanderait \(\mathrm{Ob}\,C_{n+1}\)

\[O_1 \subset F_1, \quad \struck{B_2}\ O_2 \subset F_2, \quad \cdots \quad O_n \subset F_n \qquad\qquad \dot{F} \subset F\]

\[F_1 \times \cdots \times F_n \times (?) \qquad\qquad (F \times I) \sqcup_{\uncertain{\dot{B}} \times I} \dot{F}\]

l'indice est tracé comme un \(B\) pointé ; les deux \(\dot{F}\) de la page sont des \(F\) surchargés d'un \(O\), de la même forme, et l'indice peut être ce même signe, plus petit

\[(O_1, F_1) * (O_2, F_2) \cdots * (O_3, F_{n+1})\]

les indices de la dernière ligne sont écrits ainsi ; le premier facteur de la fin se lit \(O_3\) là où la série demanderait \(O_n\)

c'est le feuillet le moins lisible du dossier : une page d'essai écrite serré sur toute la largeur, au-dessus d'un tapuscrit qui transparaît. Les conditions étiquetées portent, la prose qui les relie ne porte pas

\[\mathbb{Z}[F_{n-1}] \longleftarrow \mathbb{Z}[F_{n-1}] \overset{t_n - s_n}{\longleftarrow} \mathbb{Z}[F_n] \longleftarrow \mathbb{Z}[F_{n+1}]\]

les deux premiers termes portent le même indice sur le feuillet

\[D_n \longrightarrow X \qquad\qquad D_n^{\ill{}} \qquad\qquad \xi \in F_n\]

\[t_{n-1}\bigl( (t_n y) - s_n(y) \bigr) - s_{n-1}\bigl( t_n y - s_n y \bigr) \qquad (= 0)\]

le zéro est écrit sous une accolade qui coiffe toute l'expression

\(\mathrm{E}_0\) a) \(\forall\, s' \in F_0'\), \(\exists\, s \in F_0\), \(u \in F_1'\), \(f(u) : \ill{} \longrightarrow s'\)

b) \(\forall\, s, t \in F_0\), \(u' : f(s) \longrightarrow f(t)\) (\(u' \in F_1'\)), \(\exists\, u \in F_1\), \(u : s \longrightarrow t\) — \(\pi_0(f)\) inj.

\(\mathrm{E}_1\) b') \(\forall\, s, t \in F_0\), \(u' : f(s) \longrightarrow f(t)\) (\(u' \in F_1'\)), \(\exists\, u \in F_1\), \(u : s \longrightarrow t\), \(f(u) \ill{} u'\) (\(\in F_2\))

c) \(\forall\, s, t \in F_0\), \(u, v \in F_1\), \(s_1(u) = s_1(v)\), \(t_1(u) = t_1(v)\), et \(w' : f(u) \longrightarrow f(v)\) (\(\in F_2'\)), \(\exists\, w : \ill{}\) (\(\in F_2\)) — \(\pi_1(f)\) inj.

\(\mathrm{E}_2\) c') \(\forall\, (u,v) \in F_1\), \(s_1(u) = s_1(v)\), \(t_1(u) = t_1(v)\), et \(w' : f(u) \longrightarrow f(v)\) (\(\in F_2'\)), \(\exists\, w : u \longrightarrow v\) (\(\in F_2\)) […] tel que \(w \sim f(w)\)

la dernière ligne écrit \(w \sim f(w)\) ; le sens demande \(w' \sim f(w)\)

(\(C_i\)) \(\forall\, w' \in F_i'\), […] \(\exists\, w \in F_i\) tel que \(f(w) \sim w'\). De plus si \(i \geq 1\), on peut […] se donner d'avance […] \(u = s(w)\), \(t = t(w)\), […] aux seules conditions […] tels que \(f(u) = u'\), […] ; et de plus, si \(i - 1 \geq 1\), i.e. \(i \geq 2\), après \(s(u) = s(v)\), \(t(u) = t(v)\). (N.B. […] pour que \(f(u) = u'\).)

cette colonne occupe toute la marge droite du feuillet et n'est lisible que par fragments

le feuillet est le dos d'une page de son propre tapuscrit anglais, dont une phrase reste lisible en travers de la marge gauche : elle pose \(\underline{B} = (\text{Gr-stacks})\), dit que les limites inductives s'y calculent composante par composante, et précise que \(\underline{B}(0)\) désigne la sous-catégorie pleine des objets de base \(\underline{D}_n\), \(n \in \underline{N}\). Le tapuscrit nomme ainsi les objets \(D_n\), soulignés à la machine ; les \(\widetilde{D}_n\) qui suivent sont de sa main. C'est pour ce nom des \(D_n\) qu'elle est signalée

\[\widetilde{D} \qquad\qquad \mathbb{N} \ni n \longmapsto \widetilde{D}_n \qquad\qquad \widetilde{D}_{n'} \rightrightarrows \widetilde{D}_n\]

\[d_n \in \widetilde{D}_n \longrightarrow \struck{\mathbb{N}}\ I \qquad\qquad d_n \longmapsto n\]

à droite de ce trait : « strictement croissante, image \(\mathbb{N}\) \(I_{\leq n}\) »

\[\widetilde{D}_n \longrightarrow n \in I\]

\[1 + n\cdot 2^1 + \frac{n(n-1)}{2}\,2^2 + \cdots + 2^n = (1+2)^n\]

\(I\) un ordonné

\(n \longmapsto \widetilde{D}_n\) famille d'ens. ordonnés

\(\widetilde{D}_n \overset{\tau_n}{\longrightarrow} I\) str. croiss., image \(I_{\leq n}\)

Si \(n' \leq n\), soit l'ens. […] soit \(\Phi_{n',n} \subset \widetilde{D}_n\), \(\ = \{x \in \widetilde{D}_n \mid \tau_n(x) = n'\}\)

Soit \(x \in \Phi_{n'}\) Considérons l'ens. […]

\[F_0 \leftleftarrows F_1 \leftleftarrows F_2\]

\(\pi_0(F_*, x) =\) ens. des classes de lacets en \(x\)

un lacet est dessiné à côté, une boucle refermée sur le point \(x\)

\[\widetilde{D}_{n'} \longrightarrow \widetilde{D}_n \qquad\qquad \begin{array}{c} x'' \leq x' \\ y'' \leq y' \end{array} \ \in \widetilde{D}_{\ill{}}\]

Modèles, types, et ensembles ordonnés M-épinglés

ce titre est de l'édition ; le feuillet n'en porte pas. Les pages 6 à 16 sont une rédaction suivie, à l'encre, sous sa pagination à lui, 1 à 6, qui figure en tête des pages 6, 8, 10, 12, 14 et 16 seulement — les rectos. Les pages 7, 9, 11, 13 et 15 sont les versos de ces mêmes feuillets, ne portent pas de numéro, et continuent directement le recto : le texte est donc continu de la page 6 à la page 16

6sa page 1

Soit \(M\) une catégorie (« modèles »). On suppose

(i)Toute flèche de \(M\) est monomorphique
(ii)Tout automorphisme [end.] d'un élément de \(M\) est l'identité.

Ex : \(M\) une catégorie définie par un ensemble ordonné

Pour tout \(D \in \mathrm{Ob}\,M\), soit \(\widetilde{D}\) l'ensemble (ordonné par « inclusion ») des sous-objets de \(D\). On identifie \(D\) au plus grand élément de \(\widetilde{D}\). Soient \(D'\), \(D \in \mathrm{Ob}\,M\), alors l'application

\[(*) \qquad \mathrm{Hom}_M(D', D) \longrightarrow \widetilde{D}, \qquad u \longmapsto u(D')\]

est injective par (i)(ii), son image est formée de l'ens. […] \(\Phi_{D'}(D) \subset \widetilde{D}\) des sous-objets \(\Delta\) de \(D\) qui sont \(M\)-isomorphes à \(D'\).

Soit \(K\) un ens. ordonné

Soit \(\mathbb{N}\) l'ens. (préordonné) des classes d'isom. d'objets de \(M\) il est en fait ordonné, grâce à (ii) — l'incise est interlinéaire Pour \(\forall\, n \in \mathbb{N}\), un s objet \(D_n\) de \(M\) de classe \(n\) est déterminé à isom. unique près, \(\therefore\) comme dans (ii) donc l'ens. ordonné \(\widetilde{D}_n = I_n\) est défini à isom. unique près. On a donc […] une famille \((\widetilde{D}_n)_{n \in \mathbb{N}}\) d'ens. ordonnés, indexés par l'ensemble ordonné \(\mathbb{N}\).

De plus, on se […] rappelle la définition de

\[I_n = \widetilde{D}_n = \text{ens.\ des sous-objets de } D_n\]

— et, pour \(\forall\, n \in \mathbb{N}\), une application croissante, strictement croissante

\[I_n \overset{\tau_n}{\longrightarrow} \mathbb{N} \qquad\qquad (\tau_n, \text{ application « type »})\]

dont l'image est fournie dans de l'ens. \(I_{\leq n}\) [des] \(\mathbb{N}_{\leq n} = \{n' \in \mathbb{N} \mid n' \leq n\}\).

Notons que déjà \(I_n\) a un plus grand élément, qui est « \(D_n\) » (au sens que c'est un sous-objet maximal de \(D_n\)), et que je note \(d_n\). On a donc (par (ii))

\[\tau_n^{-1}(n) = \{d_n\}\]

Si \(n' \leq n\), alors pour tout \(x \in I_n\)

Soient \(n, n' \in \mathbb{N}\), \(x \in I_n\), \(n' = \tau_n(x)\), avec \(n' \leq n\), on considérons […] [considérons] l'application

\[\mathrm{Hom}(D_{n'}, D_n) \hookrightarrow \widetilde{D}_n = I_n, \qquad u \longmapsto u(d_{n'})\]

qui est une bijection des Hom sur l'ens. \(\tau_n^{-1}(n')\), et considérons

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Hom}(D_{n'}, D_n) \arrow[r] & \mathrm{Hom}(\widetilde{D}_{n'}, \widetilde{D}_n)
\end{tikzcd}

sur le feuillet, \(I_{n'}\) et \(I_n\) sont écrits sous \(\widetilde{D}_{n'}\) et \(\widetilde{D}_n\)

on en déduit une bijec[…] application

\[\tau_n^{-1}(n') \overset{\text{déf}}{=} I_{n', \struck{n}} \overset{\varphi_{n,n'}}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}(I_{n'}, I_n), \qquad \xi \longmapsto u_\xi^n\]

sous le membre de droite le feuillet porte \([\mathrm{Hom}(D_{n'}, D_n)]\) surmonté d'un signe \(\simeq\) ; à droite, « une des éléments de \(I_n\) de type \(n'\) »

qui est injective, [ou] plus précisément on a la commutativité de

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
I_{n,n'} \arrow[r, "\varphi_{n,n'}"] \arrow[rr, bend right=25, "\text{inclusion}"'] & \mathrm{Hom}(I_{n'}, I_n) \arrow[r, "u \mapsto u(d_{n'})"] & I_n
\end{tikzcd}

8sa page 2

i.e. on a, pour \(\xi \in I_n(n')\) [i.e. \(x \in I_n\), \(\tau_n(x) = n'\)]

\[u_\xi(d_{n'}) = \xi.\]

De plus, […] on a : \(u_\xi\) induit un […] isomorphisme \(I_{n'} \overset{\sim}{\longrightarrow} (I_n)_{\leq \xi}\).

Lorsque \(n' = n\), on a \(I_{n,n} = \{d_n\}\), et

\[u_{d_n} = \mathrm{id}_{I_n}\]

La connaissance de \(\mathbb{N}\), \((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\), \((\tau_n)_{n \in \mathbb{N}}\), \((\varphi_{n,n'})_{(n,n') \in \mathbb{N} \times \mathbb{N},\ n' \leq n}\) permet de reconstituer […] la catégorie \(M\), à l'équi équivalence près ; il manque encore une […] [condition] pour comprendre les homs. « standard » entre les \(I_n\), i.e. ceux provenant des \(I_{n',n}\). Donc On considère leurs compositions

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
I_{n''} \arrow[r, "u_y^{n'}"] & I_{n'} \arrow[r, "u_\xi^n"] & I_n
\end{tikzcd}

sur le feuillet, \(y\) et \(\xi\) sont écrits au-dessus de \(I_{n'}\) et de \(I_n\) avec le signe d'appartenance, et la ligne \(n'' \leq n' \leq n\) court sous le diagramme

on doit avoir

\[u_\xi^n\, u_y^{n'} = u_\zeta^n \qquad \text{où } \zeta = u_\xi^n(y) = (u_\xi^n\, u_y^{n'})(d_{n''})\]

qui exprime la compatibilité stabilité de la notion d'homs. admissibles pour les \(I_n\) par composition.

Il est évident que la cat. Soit \(M_0\) la catégorie définie par

\[\mathrm{Ob}\,M_0 = \mathbb{N}, \qquad \mathrm{Hom}_{M_0}(n', n) = \begin{cases} \emptyset & \text{si } n' \nleq n \\ \text{ens.\ des homs.\ admissibles } I_{n'} \to I_n & \text{si } n' \leq n \end{cases}\]

la composition des [admiss.] homs. étant celle des homs. entre les \(I_n\) (qui sont des immersions fermées). On a un foncteur canonique (i.e. défini à [un] isom. […] près, \(\xi_{n'} \longrightarrow \ill{}\)) (défini […])

\[M \longrightarrow M_0\]

qui est une équivalence de catégories — en fait, c'est un isom. de catégories, […] \(M\) est une catégorie rigide (deux objets isom. sont identiques).

Je vais supposer par la suite \(M\) rigide — peut donc l'identifier : la catégorie \(M_0\), définie par les données

\(\mathbb{N}\), ens. ordonné ;
\((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\), famille d'ens. ordonnés, chaque \(I_n\) ayant un plus grand élément ;
\((\tau_n : I_n \to \mathbb{N})_{n \in \mathbb{N}}\), famille d'applications strictement croissantes, \(\tau_n(I_n) = \mathbb{N}_{\leq n}\), \(\tau_n^{-1}(n) = d_n\) (plus grand él. de \(I_n\)) ;
\((\varphi_{n,n'})_{(n',n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N},\ n' \leq n}\), famille d'applications \[\varphi_{n,n'} : \tau_n^{-1}(n') \longrightarrow \mathrm{Hom}(I_{n'}, I_n), \qquad \xi \longmapsto \bigl( u_\xi^n : I_{n'} \to I_n \bigr)\] satisfaisant \[u_\xi^n : I_{n'} \overset{\sim}{\longrightarrow} (I_n)_{\leq \xi} \qquad (\text{d'où } u_\xi^n(d_{n'}) = \xi)\] \[u_\xi^n \circ u_y^{n'} = u_\zeta^n \quad \text{où } \zeta = u_\xi^n(y), \quad \xi \in I_n,\ y \in I_{n'},\ n' = \tau_n(\xi),\ n'' = \tau_{n'}(y).\]

sur le feuillet ces quatre données sont rangées côte à côte sous une grande accolade, chacune avec sa glose en dessous

10sa page 3

Inversement, de telles données définissent une catégorie \(M_0\), satisfaisant à (i), (ii).

N.B. Dans les cas que j'ai en tête, \(\mathbb{N} = \mathbf{N}\).

Ex 1 Catégorie des ens. finis tot. ordonnés \(\Delta_n\), i.e. des \(\Delta_n = \ill{}\) et des applications strictement croissantes au-dessus de la ligne, souligné : « \(n\)-places types »

\(I_n = \mathfrak{P}^*(\Delta_n)\), Card \(I_n = 2^{n+1} - 1\) (\(n\)-places types)

Ex 2 Catégorie des cubes […] épinglés, i.e. des […] […] combinatoires, \(A\), \(\widetilde{A}\), […], \(\widetilde{A} = A\) épinglés par un ordre total sur l'ens. des paires d'hyperfaces, et le choix d'une […] de chaque paire. […] L'épinglage d'un cube induit un épinglage de toute face, dans […]

\(I_n =\) ens. des […] sections […] \(\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\} \to \Delta_{\uncertain{n-1}}\) […] d'ordres […] épinglés […] Card \(I_n = 3^n\)

Ex. 3 Catégorie des [des] hémisphères \(D_n\), où

\[I_n = (\Delta_n \times \{\pm 1\}) \sqcup \{d_n\},\]

avec \(\{\pm 1\}\) muni de l'ordre chaotique, \(\{d_n\}\) le plus grand élément de \(I_n\).

Card \(I_n = 2n+1\)

la marge gauche de ce feuillet est écrite en biais, à quelque quarante degrés ; seuls les trois dénombrements reproduits ci-dessus et quelques mots de la note de l'Ex. 2 y portent. Le \(\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\}\) est dans cette note-là, à côté de l'Ex. 2, et ne porte pas sur l'Ex. 3. Le « Card \(I_n = 2n+1\) » de l'Ex. 3 ne s'accorde pas avec le \((\Delta_n \times \{\pm 1\}) \sqcup \{d_n\}\) du corps, dont le cardinal est \(2n+3\) ; l'écart est signalé et non réparé

Dans tous [trois] ces exemples, on a \(I_n^* = I_n \smallsetminus \{d_n\}\)

a[si \(n \geq 1\),] la réalisation top. \(|I_n^*|\) de \(I_n^*\) […]
b[…] est une \((n-1)\)-sphère, (donc \(|I_n|\) est un \(n\)-disque)

les deux items sont cerclés sur le feuillet et l'ouverture de chacun est biffée : la phrase court d'un item à l'autre

bLes ens. [ordonnés] \(I_n^*\), (regardés comme un […] polyèdre), sont réguliers, i.e. le […] est transitif sur l'ens. des repères de \(I_n^*\), i.e. l'ens. des chaînes maximales des \((\xi_0 \subset \xi_1 \subset \cdots \subset \xi_{n-1})\)

Question Y a-t-il d'autres exemples d'une suite \((P_n \subset I_n^*)\) \((P_n)_{n \geq 1}\) \((I_n^*)_{n \in \mathbb{N},\ n \geq 1}\) d'ens. ordonnés sous la ligne : \(P_{n-1}\) qui […] les propriétés

a)\(P_n\) est un \(n\)-polyèdre régulier sphérique
b)Si \(\xi \in P_n\), et de dimension [alors] \((P_n)_{\leq \xi}\) […] polyèdre combinatoire de dimension \(n'\), […] \[(P_n)_{\leq \xi} \simeq P_{n'}, \qquad \text{pour } n' \text{ \uncertain{convenable} } \leq n.\]

(Ça doit être dans les livres de Coxeter !)

On aimerait de plus, surtout, être capables de […] des […] \(\varphi_{n,n'}\) satisfaisant à la condition de transitivité.

b) est-il canonique ?! c) […] \(P_n = I_{n+1}^*\)

12sa page 4

Je considère maintenant la sous-catégorie \(\mathbb{B}_0\) de \(\widehat{M} \supset M\), formée des objets \(X\) de la forme suivante :

\(X\) est réunion [sup.] de ses sous-objets isomorphes à des objets de \(M\) (modèles)
et si \(K, L \subset X\) sont des sous-objets modèles, alors \(K \cap L\) est sup. de sous-objets de \(K \cap L\) qui sont des modèles

Soit donc \(\widetilde{X}\) l'ens. des […] sous-objets de \(X\) qui sont des modèles. Alors \(\widetilde{X}\) [\(K\)] est un ens. ordonné, muni de la structure suivante (« \(M\)-épinglage » de \(K\)) :

a)[…] une application strictement croissante \[K \overset{\tau_K}{\longrightarrow} \struck{\mathbb{N}}\ \mathbf{N} \qquad (\text{application « type »})\]
b)pour \(\forall\, \xi \in K\), [pour \(n = \tau_K(\xi)\)] une application […] \[\struck{\varphi_\xi}\ I_n \overset{u_\xi^K}{\underset{\sim}{\longrightarrow}} K_{\leq \xi} \qquad (\text{application d'épinglage de } K_{\leq \xi})\] \[u_\xi^K(d_n) = \xi \quad (= \text{plus grand élément de } K_{\leq \xi})\]

ces conditions propriétés […] :

les applications \(I_n \to K\) définies par les \(\tau^{-1}(n)\) et dites […] \((= K(n))\) admissibles

\[(1) \qquad \tau_K \circ u_\xi^K = \tau_n\]

et la propriété de transitivité pour les applications admissibles

\[(2) \qquad \forall\, \xi \in K,\ y \in I_n \ (n = \tau_K(\xi)), \quad \text{on a, si } n' = \tau_n(y),\] \[\struck{H}\ u_\xi^K \circ u_y^n = u_\zeta^K, \qquad \text{\add{où} } \zeta = u_\xi^K(y),\]

mais (2) Si \(\xi \in K\), \(y \in K\), alors

La catégorie dont les objets sont les objets admissibles de \(\widehat{M}\), les flèches les homs. entre eux, est équivalente à […] : celle des ens. ordonnés \(M\)-épinglés.

D'autre part les objets quelconques de \(\widehat{M}\) et leurs […] se reconstituent également, ce sont les applications strictement croissantes

\[K \overset{f}{\longrightarrow} L\]

telles que

a)\(\tau_L \circ f = \tau_K\)
b)pour \(\forall\, \xi \in K\), (on ait, [pour \(y = f(\xi) \in L\)]) la commutativité de

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K_{\leq \xi} \arrow[rr, "f|K_{\leq \xi}"] & & K_{\leq y} \\
& I_n \arrow[ul, "\sim"] \arrow[ur, "\sim"'] &
\end{tikzcd}

le sommet de droite est tracé comme un \(K\) ; \(f\) allant de \(K\) dans \(L\), on attend \(L_{\leq y}\), qui est ce qu'écrit la page 14. Les deux obliques ne portent qu'un signe d'isomorphie ; ce sont \(u_\xi^K\) et \(u_y^L\). Où \(n = \tau_K(\xi) = \tau_L(y)\)

14sa page 5

ce qui implique en particulier que \(f|K_{\leq \xi}\) induit un iso

\[K_{\leq \xi} \overset{\sim}{\longrightarrow} L_{\leq y}\]

Nous nous intéressons surtout au cas où \(f\) est injectif, ce qui correspond […] au cas des des monos dans \(\widehat{C}\).

Alors […] \(f\) induit […] un isom. de \(K\) sur […] son image \(L' = f(K)\), muni de l'ordre induit par \(L\). Notons que \(L'\) est une partie fermée de \(L\) (\(x \in L'\), \(y \leq x \Rightarrow y \in L'\)) et que les parties fermées admettent un \(M\)-épinglage induit […] unique, tel que l'inclusion soit admissible (épinglage induit) — et remarquons[:] que \(f\), bien sûr \(K \overset{f}{\underset{\sim}{\longrightarrow}} L'\), est compatible avec les \(M\)-épinglages.

Un cas intéressant est celui où \(K\) […] est la partie formée par […] et […] objets modèles, ce qui signifie que \(K\) […] est fini, ou du moins [n'a qu'un nombre fini d']éléments maximaux, et que \(K\) est engendré par ses éléments maximaux. Pour un tel ens. […] [le […]] […] qui a cette propriété, un \(M\)-épinglage est connu quand on connaît les \(u_\alpha^K\) pour \(\alpha \in \ill{}\) des […].

La condition pour que les

\[u_\alpha^K : I_{\tau_n(\alpha)} \overset{\sim}{\longrightarrow} K_{\leq \alpha} \qquad (\alpha \in \mathrm{Max}\,K)\]

définissent un épinglage, est que pour […] \(\alpha, \beta \in \mathrm{Max}\,K\) et \(\xi \in K\), \(\xi \leq \alpha, \beta\), posant \(n = \tau_K(\xi)\), les deux iso

\[I_n \overset{\sim}{\longrightarrow} K_{\leq \xi}\]

définis par l'épinglage […] \(u_\alpha^K\) de \(K_{\leq \alpha}\), et par l'épinglage \(u_\beta^K\) de \(K_{\leq \beta}\), soient les mêmes.

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La catégorie des objets admissibles de \(\widehat{C}\) est stable par les l'opération sommes quelconques, et par sommes amalgamées \(X \sqcup_Z Y\), dans […] \(Z \to X\) et \(Z \to Y\) des monos, et [de la] le foncteur \(X \longrightarrow \widetilde{X}\) commutant à ces opérations, […] de façon évidente. De plus, les objets de type fini donnent des objets de t.f., pourvu, toutefois, [dans] le cas des sommes, qu'elles se bornent à des sommes finies.

N.B. Quand les \(I_n\) sont finis, alors les objets [adm.] de t.f. de \(\widehat{C}\) […] correspondent aux ens. ordonnés \(M\)-épinglés \(K\) qui sont finis.