Cote n° 104 · pages 1–16 · Lecture modernisée · [Champs (stacks) 1] : copies de notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Feuillets d'essai (pages 1 à 5) : cinq feuillets en travers, où apparaissent les mêmes objets de loin — des systèmes globulaires, des conditions d'équivalence, et des données de la construction sous une forme moins rédigée.
2. 2.D'une catégorie de modèles à des ensembles ordonnés (pages 6 à 9) : les données \((\mathbb{N}, I_{n}, \tau_{n}, \varphi_{n,n'})\) et la reconstruction de \(M\).
3. 3.Réciproque et exemples (pages 10 et 11) : simplexe, cube, disque hémisphérique, et la question des suites régulières.
4. 4.Objets admissibles et ensembles ordonnés \(M\)-épinglés (pages 12 à 16).

Les pages 6 à 16 sont une rédaction suivie, à l'encre, sous sa pagination 1 à 6, portée sur les rectos seulement, les versos continuant le texte ; elle est continue. Rien ne date les feuillets des pages 1 à 5 par rapport à elles.

Conventions. \(M\) est la catégorie des modèles, \(\widehat{M}\) celle des préfaisceaux d'ensembles sur \(M\), dans laquelle \(M\) se plonge par Yoneda.¹ On note \(\mathbb{N}\) l'ensemble ordonné des classes d'isomorphisme d'objets de \(M\), à ne pas confondre avec l'ensemble \(\mathbf{N}\) des entiers naturels.² Pour \(n \in \mathbb{N}\), \(D_{n}\) est un modèle de classe \(n\), \(I_{n}\) l'ensemble ordonné de ses sous-objets, \(d_{n}\) son plus grand élément, \(\tau_{n} : I_{n} \to \mathbb{N}\) l'application type, \(I_{n,n'} = \tau_{n}^{-1}(n')\), et \(u^{n}_{\xi} : I_{n'} \to I_{n}\) l'application admissible attachée à \(\xi \in I_{n,n'}\). Pour un ensemble ordonné \(K\) et \(\xi \in K\), \(K_{\leq \xi} = \{x \in K \mid x \leq \xi\}\).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : les démonstrations des deux équivalences de catégories (pages 9 et 13), toutes deux affirmées ; la sphéricité de \(|I_{n}^{*}|\) dans les trois exemples ; la réponse à la question de la page 11 et le caractère canonique demandé dans sa marge.

1–5

Feuillets d'essai (pages 1 à 5)

Les cinq premiers feuillets sont écrits sur du papier de rencontre — le dos d'une enveloppe, le dos de pages dactylographiées — et couverts de figures de cellules : segments subdivisés, amandes hachurées accolées, carrés divisés, un huit. Ils ne sont pas rédigés ; on en relève ce qui touche à la suite ou éclaire le contexte.

Page 1. Une chaîne de catégories, \[ (\text{ensembles simpliciaux}) \supset (\mathrm{Cat}) \longleftarrow (\text{préordonnés}) \supset (\text{ordonnés}) \supset (\text{Maquettes}), \] le dernier mot remplaçant « Triangulations », biffé, et une famille \(F_{x} \to F_{y}\) indexée par \(x \leq y\).³

Pages 2 et 3 : systèmes globulaires. Un système \(F_{0} \leftleftarrows F_{1} \leftleftarrows F_{2}\) muni de sources et buts \(s_{i}, t_{i}\), d'unités \(\sigma_{i}\), de compositions \(\mu_{i}^{j}\) et de trois lettres \(a\), \(\ell\), \(r\), qu'on peut lire comme les contraintes d'associativité et d'unité à gauche et à droite d'une structure de dimension 2.⁴ Puis des cellules construites sur une suite de catégories \(C_{1}, C_{2}, \ldots\) : \[ F_{0} = \mathrm{Ob}\, C_{1}, \quad F_{1} = \mathrm{Fl}\, C_{1} \times \mathrm{Ob}\, C_{2}, \quad \ldots, \quad F_{n} = \mathrm{Fl}\, C_{1} \times \cdots \times \mathrm{Fl}\, C_{n} \times \mathrm{Ob}\, C_{n+1}, \] la page 2 portant le cas \(C_{1} = \Delta_{n}\), \(C_{2} = \Delta_{n'}\).⁵

Page 4 : quand un morphisme est-il une équivalence. La suite \(\mathbb{Z}[F_{n+1}] \to \mathbb{Z}[F_{n}] \xrightarrow{t_{n} - s_{n}} \mathbb{Z}[F_{n-1}]\) est un complexe⁶ , parce que \(t_{n-1}(t_{n}y - s_{n}y) - s_{n-1}(t_{n}y - s_{n}y) = 0\) par les identités globulaires \(s_{n-1}s_{n} = s_{n-1}t_{n}\) et \(t_{n-1}s_{n} = t_{n-1}t_{n}\). Puis, pour \(f : F \to F'\), des conditions échelonnées : a) tout objet de \(F'\) est relié par une flèche à l'image d'un objet de \(F\) ; b) deux objets dont les images sont reliées le sont — « \(\pi_{0}(f)\) inj. » ; b') et on peut choisir la flèche relevée à une 2-flèche près ; c) et c') les mêmes énoncés une dimension plus haut — « \(\pi_{1}(f)\) inj. ». Une colonne marginale en donne la forme générale :

1. \((C_{i})\)pour tout \(w' \in F'_{i}\), il existe \(w \in F_{i}\) tel que \(f(w) \sim w'\), et, si \(i \geq 1\), on peut se donner d'avance la source et le but de \(w\), sous la seule condition que leurs images soient ceux de \(w'\).⁷

Page 5 : les données de la construction, en abrégé. Au dos d'une page de son propre tapuscrit anglais sur les « Gr-stacks », des données que les pages 6 à 9 rédigent, l'ensemble ordonné des classes s'appelant ici \(I\) au lieu de \(\mathbb{N}\) : une famille d'ensembles ordonnés \(n \mapsto \widetilde{D}_{n}\), une application strictement croissante \(\tau_{n} : \widetilde{D}_{n} \to I\) d'image \(I_{\leq n}\), et le dénombrement des faces du cube \[ 1 + n \cdot 2 + \frac{n(n-1)}{2}\, 2^{2} + \cdots + 2^{n} = (1 + 2)^{n} \] que la marge de la page 10 écrit \(\mathrm{Card}\, I_{n} = 3^{n}\).⁸

6–9

D'une catégorie de modèles à des ensembles ordonnés (pages 6 à 9)

Soit \(M\) une catégorie telle que

1. (i)toute flèche de \(M\) est un monomorphisme ;
2. (ii)tout endomorphisme d'un objet de \(M\) est l'identité.

Exemple : la catégorie définie par un ensemble ordonné.⁹

Sous-objets. Pour \(D \in \mathrm{Ob}\, M\), soit \(\widetilde{D}\) l'ensemble des sous-objets de \(D\), ordonné par inclusion, et identifions \(D\) au plus grand élément. Pour \(D', D\) objets de \(M\), l'application \[ (*) \qquad \mathrm{Hom}_{M}(D', D) \longrightarrow \widetilde{D}, \qquad u \longmapsto u(D') \] est injective : si \(u\) et \(v\) définissent le même sous-objet, \(v = u\theta\) avec \(\theta\) automorphisme de \(D'\), et \(\theta = \mathrm{id}\) par (ii). Son image est l'ensemble des sous-objets de \(D\) isomorphes à \(D'\).

Les classes. L'ensemble \(\mathbb{N}\) des classes d'isomorphisme d'objets de \(M\), préordonné par l'existence d'une flèche, est ordonné : deux flèches \(D' \to D \to D'\) composent en un endomorphisme, donc en l'identité, et \(D \simeq D'\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), un objet \(D_{n}\) de classe \(n\) est déterminé à isomorphisme unique près, et \(I_{n} = \widetilde{D}_{n}\) est donc défini à isomorphisme unique près.

Le type (page 7). L'application \(\tau_{n} : I_{n} \to \mathbb{N}\), qui à un sous-objet associe sa classe, est strictement croissante, d'image \(\mathbb{N}_{\leq n}\), et \[ \tau_{n}^{-1}(n) = \{d_{n}\}. \] En effet, si \(x \subset y\) sont deux sous-objets de même type, la flèche \(x \to y\) admet une rétraction et le composé dans l'autre sens est un endomorphisme de \(y\), donc l'identité : \(x = y\).¹⁰

Les applications admissibles. Pour \(n' \leq n\), \((*)\) donne une bijection \(\mathrm{Hom}(D_{n'}, D_{n}) \simeq I_{n,n'} = \tau_{n}^{-1}(n')\), et un monomorphisme \(u : D_{n'} \to D_{n}\) induit par image directe une application \(I_{n'} \to I_{n}\). D'où \[ \varphi_{n,n'} : I_{n,n'} \longrightarrow \mathrm{Hom}(I_{n'}, I_{n}), \qquad \xi \longmapsto u^{n}_{\xi}, \] avec, pour tout \(\xi \in I_{n,n'}\) (page 8), \[ u^{n}_{\xi}(d_{n'}) = \xi, \qquad u^{n}_{\xi} : I_{n'} \xrightarrow{\;\sim\;} (I_{n})_{\leq \xi}, \qquad u^{n}_{d_{n}} = \mathrm{id}_{I_{n}}, \] de sorte que \(\varphi_{n,n'}\) est injective ; et, pour \(n'' \leq n' \leq n\), \(\xi \in I_{n,n'}\), \(y \in I_{n',n''}\), la loi de composition \[ u^{n}_{\xi} \circ u^{n'}_{y} = u^{n}_{\zeta}, \qquad \zeta = u^{n}_{\xi}(y), \] qui exprime la stabilité des applications admissibles par composition.

La catégorie \(M_{0}\). Elle a pour objets les éléments de \(\mathbb{N}\), pour flèches \(n' \to n\) les applications admissibles \(I_{n'} \to I_{n}\) si \(n' \leq n\) et aucune sinon, la composition étant celle des applications. On a un foncteur \(M \to M_{0}\), \(D \mapsto\) sa classe, \(u \mapsto\) l'image directe, et c'est une équivalence de catégories ; c'est un isomorphisme si \(M\) est squelettique.¹¹

Supposant désormais \(M\) squelettique, on l'identifie à \(M_{0}\), catégorie définie par les données suivantes :

• \(\mathbb{N}\), ensemble ordonné ;
• \((I_{n})_{n \in \mathbb{N}}\), ensembles ordonnés ayant chacun un plus grand élément \(d_{n}\) ;
• \((\tau_{n} : I_{n} \to \mathbb{N})\), strictement croissantes, \(\tau_{n}(I_{n}) = \mathbb{N}_{\leq n}\), \(\tau_{n}^{-1}(n) = \{d_{n}\}\) ;
• \((\varphi_{n,n'})_{n' \leq n}\), \(\xi \mapsto u^{n}_{\xi}\), avec \(u^{n}_{\xi} : I_{n'} \simeq (I_{n})_{\leq \xi}\) et la loi de composition.

10–11

Réciproque, exemples, et une question (pages 10 et 11)

Réciproque. De telles données définissent une catégorie \(M_{0}\) satisfaisant à (i) et (ii), dont les ensembles de sous-objets sont les \(I_{n}\).¹² « Dans les cas que j'ai en tête, \(\mathbb{N} = \mathbf{N}\). »

Exemple 1. La catégorie des ensembles finis totalement ordonnés \(\Delta_{n} = \{0, \ldots, n\}\) et des applications strictement croissantes. Les sous-objets sont les parties non vides : \[ I_{n} = \mathfrak{P}^{*}(\Delta_{n}), \qquad \mathrm{Card}\, I_{n} = 2^{n+1} - 1 . \]

Exemple 2. La catégorie des cubes combinatoires épinglés — par un ordre total sur l'ensemble des paires d'hyperfaces opposées et le choix d'une face dans chaque paire — et des inclusions de faces compatibles aux épinglages, l'épinglage d'un cube induisant celui de chacune de ses faces. Une face de \([0,1]^{n}\) fixe certaines coordonnées à \(0\) ou \(1\) et laisse les autres libres : \[ \mathrm{Card}\, I_{n} = \sum_{k} \binom{n}{k} 2^{k} = 3^{n}. \] Autrement dit, \(I_{n}\) est l'ensemble des sections partielles de la projection \(\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\} \to \Delta_{n-1}\) : une face choisit, pour certaines des \(n\) paires d'hyperfaces, l'une des deux.¹³

Exemple 3. La catégorie des disques hémisphériques \(D_{n}\), dont les cellules sont deux hémisphères en chaque dimension \(k < n\) et la cellule intérieure : \[ I_{n} = \bigl(\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\}\bigr) \sqcup \{d_{n}\}, \qquad \mathrm{Card}\, I_{n} = 2n + 1, \] ordonné par \((k, \varepsilon) < (k', \varepsilon')\) si et seulement si \(k < k'\), et \(d_{n}\) plus grand élément.¹⁴

Ce que sont ces trois catégories. Les préfaisceaux sur la première sont les ensembles semi-simpliciaux au sens actuel du mot, c'est-à-dire sans dégénérescences, puisque toutes les flèches sont monomorphes ; sur la deuxième, des ensembles semi-cubiques ; sur la troisième, les ensembles globulaires. En effet \(\mathrm{Hom}(D_{n'}, D_{n}) = \tau_{n}^{-1}(n')\) a deux éléments pour \(n' < n\), les deux hémisphères de dimension \(n'\), et c'est la catégorie des globes, avec sa source et son but.¹⁵

Sphéricité. Dans les trois exemples, posant \(I_{n}^{*} = I_{n} - \{d_{n}\}\) :

1. a)pour \(n \geq 1\), la réalisation géométrique \(|I_{n}^{*}|\) est une sphère de dimension \(n - 1\), et \(|I_{n}|\) un disque de dimension \(n\) ;
2. b)les \(I_{n}^{*}\) sont réguliers : leur groupe d'automorphismes est transitif sur les repères, c'est-à-dire sur les chaînes maximales \(\xi_{0} < \xi_{1} < \cdots < \xi_{n-1}\).

Le groupe est \(\mathfrak{S}_{n+1}\) pour le simplexe, le groupe hyperoctaédral pour le cube, et \(\{\pm 1\}^{n}\) pour le disque hémisphérique, qui y opère simplement transitivement.¹⁶

Question (page 11). Existe-t-il d'autres suites \((P_{n})_{n \geq 1}\) d'ensembles ordonnés telles que

1. a)\(P_{n}\) soit un polyèdre sphérique régulier ;
2. b)pour tout \(\xi \in P_{n}\), \((P_{n})_{< \xi} \simeq P_{n'-1}\) pour un \(n' \leq n\) convenable — toute face fermée de \(P_{n}\) est un disque dont le bord est un terme de la suite ?

« Ça doit être dans les livres de Coxeter ! » On aimerait surtout pouvoir construire des \(\varphi_{n,n'}\) satisfaisant la loi de composition.¹⁷

12–13

Objets admissibles et épinglages (pages 12 et 13)

Soit \(\mathbb{B}_{0}\) la sous-catégorie pleine de \(\widehat{M}\) formée des objets \(X\) — dits admissibles — tels que

• \(X\) est la borne supérieure de ses sous-objets isomorphes à des objets de \(M\) (ses sous-objets modèles) ;
• si \(K\) et \(L\) sont deux sous-objets modèles de \(X\), \(K \cap L\) est la borne supérieure des sous-objets modèles qu'il contient.

Soit \(K = \widetilde{X}\) l'ensemble ordonné des sous-objets modèles de \(X\). Il porte une structure de \(M\)-épinglage :

1. a)une application strictement croissante \(\tau_{K} : K \to \mathbb{N}\), l'application type ;
2. b)pour tout \(\xi \in K\), de type \(n = \tau_{K}(\xi)\), un isomorphisme d'ensembles ordonnés \[ u^{K}_{\xi} : I_{n} \xrightarrow{\;\sim\;} K_{\leq \xi}, \qquad u^{K}_{\xi}(d_{n}) = \xi, \] l'application d'épinglage de \(K_{\leq \xi}\) ;

qui satisfait \[ (1) \qquad \tau_{K} \circ u^{K}_{\xi} = \tau_{n}, \] \[ (2) \qquad u^{K}_{\xi} \circ u^{n}_{y} = u^{K}_{\zeta} \quad \text{pour } y \in I_{n},\ \zeta = u^{K}_{\xi}(y). \] Les sous-objets modèles de \(X\) contenus dans \(\xi \simeq D_{n}\) sont ceux de \(D_{n}\), par Yoneda et (i), d'où b).¹⁸

Énoncé. La catégorie des objets admissibles de \(\widehat{M}\) est équivalente à celle des ensembles ordonnés \(M\)-épinglés, dont les morphismes \(f : K \to L\) sont les applications strictement croissantes telles que

1. a)\(\tau_{L} \circ f = \tau_{K}\) ;
2. b)pour tout \(\xi \in K\), avec \(y = f(\xi)\) et \(n = \tau_{K}(\xi) = \tau_{L}(y)\), le triangle

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K_{\leq \xi} \arrow[rr, "f|K_{\leq \xi}"] & & L_{\leq y} \\
& I_n \arrow[ul, "u^K_\xi"] \arrow[ur, "u^L_y"'] &
\end{tikzcd}

commute.¹⁹

14–15

Parties fermées, et épinglages par les éléments maximaux (pages 14 et 15)

Un morphisme \(f\) comme ci-dessus induit, pour tout \(\xi\), un isomorphisme \(K_{\leq \xi} \simeq L_{\leq f(\xi)}\). On s'intéresse surtout au cas où \(f\) est injectif, qui correspond aux monomorphismes de \(\widehat{M}\). Alors \(f\) est un isomorphisme de \(K\) sur son image \(L' = f(K)\), munie de l'ordre induit ; \(L'\) est une partie fermée de \(L\), c'est-à-dire stable par passage aux éléments plus petits ; une partie fermée porte un unique \(M\)-épinglage induit pour lequel l'inclusion est admissible ; et \(f : K \simeq L'\) est compatible aux épinglages.

Épinglages par les éléments maximaux (page 15). Supposons que \(K\) n'ait qu'un nombre fini d'éléments maximaux et que tout élément soit inférieur à l'un d'eux — c'est le cas où \(X\) est réunion finie de modèles. Un \(M\)-épinglage de \(K\) est alors connu dès qu'on connaît les \[ u^{K}_{\alpha} : I_{\tau(\alpha)} \xrightarrow{\;\sim\;} K_{\leq \alpha} \qquad (\alpha \in \mathrm{Max}\, K), \] et une telle famille définit un épinglage si et seulement si, pour \(\alpha, \beta \in \mathrm{Max}\, K\) et \(\xi \leq \alpha, \beta\), les deux isomorphismes \(I_{n} \simeq K_{\leq \xi}\) que \(u^{K}_{\alpha}\) et \(u^{K}_{\beta}\) induisent — chacun composé avec l'application admissible de l'antécédent de \(\xi\) — sont les mêmes.²⁰ C'est une condition de recollement, comme pour un atlas.

16–16

Sommes et sommes amalgamées (page 16)

La catégorie des objets admissibles de \(\widehat{M}\) est stable par sommes quelconques et par sommes amalgamées \(X \sqcup_{Z} Y\) le long de monomorphismes \(Z \to X\) et \(Z \to Y\), et le foncteur \(X \mapsto \widetilde{X}\) commute à ces opérations. Les objets de type fini — réunions finies de modèles — sont stables par sommes finies et par ces sommes amalgamées.²¹

N.B. Quand les \(I_{n}\) sont finis, les objets admissibles de type fini correspondent aux ensembles ordonnés \(M\)-épinglés finis.