Cote n° 103 · pages 1–17 · Lecture modernisée · Courrier [Correspondance sur la thèse de Sinh] : copies d'article annoté (1974), lettres (1974) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Le tapuscrit de Sính (pages 1 à 6) : Gr-catégories et leur classification par \((\pi_0, \pi_1, k)\) ; catégories de Picard et leur classification par \((\pi_0, \pi_1, s)\) ; enveloppe de Picard d'une \(\otimes\)-catégorie, \(K^0\) et \(K^1\) ; un programme. Page 7 est blanche.
2. 2.La lettre du 27.8.74, première partie (pages 8 à 11) : les champs de Picard épinglés par deux faisceaux, le triangle \((T)\), la suite exacte \((*)\), l'exemple de la K-théorie.
3. 3.La même lettre, les Gr-champs (pages 14 et 15) : leur description par la cohomologie relative du topos classifiant \(B_G\).
4. 4.La même lettre, la cohomologie relative (pages 12 et 13) : deux constructions à la main, l'obstacle du cône, une question pour Illusie.
5. 5.La lettre du 23.6.1974 (pages 16 et 17) : le jury de thèse.

Les pages 12 et 13 sont lues ici après les pages 14 et 15. La page 12 renvoie à « \(B_e \to B_G\) plus haut », que seules les pages 14 et 15 introduisent ; la page 13 s'achève sur « J'ai », que la page 14, ouverte par « Je te signale », ne continue pas. La suite 8–11, 14–15, 12–13 se lit sans rupture, et le feuillet qui suivait la page 13 manque au dossier.¹

Le fil. Le tapuscrit énonce sur un point deux théorèmes de structure : une Gr-catégorie est déterminée par \(\pi_0\), \(\pi_1\) et une classe \(k \in H^3(\pi_0, \pi_1)\) ; une catégorie de Picard par \(\pi_0\), \(\pi_1\) et un homomorphisme \(s : \pi_0 \to {}_2\pi_1\). La lettre transpose l'un et l'autre au-dessus d'un topos \(X\), où les invariants deviennent des faisceaux et les classifications des groupes d'hypercohomologie. Sur le topos ponctuel les deux transpositions redonnent exactement les deux théorèmes, et c'est la meilleure vérification qu'elles en soient bien les généralisations.²

Conventions. Une Gr-catégorie est un \(2\)-groupe : un groupoïde monoïdal dont tout objet est inversible. On garde le mot de Sính, qui est encore en usage. On note \(1_C\) l'objet unité, \(\pi_0(C)\) le groupe des classes d'objets, \(\pi_1(C) = \mathrm{Aut}(1_C)\). Les conditions AU, AC, ACU, AUC de Saavedra désignent une \(\otimes\)-catégorie associative-unitaire, associative-commutative, etc. ; une \(\otimes\)-catégorie AUC est aujourd'hui une catégorie monoïdale symétrique.³ Pour un groupe abélien ou un faisceau abélien \(N\), \({}_2N\) est le sous-groupe (sous-faisceau) des éléments tués par \(2\). Le faisceau structural est noté \(\mathcal{O}_X\).⁴ Pour un morphisme de topos \(q : X \to Y\) et un faisceau abélien \(F\) sur \(Y\), \(R\Gamma(Y \bmod X, F)\) est la fibre de \(R\Gamma(Y, F) \to R\Gamma(X, q^*F)\), de sorte que \[ \cdots \to H^{i}(Y \bmod X, F) \to H^{i}(Y, F) \to H^{i}(X, q^{*}F) \to H^{i+1}(Y \bmod X, F) \to \cdots \]

1–2

Les Gr-catégories et leurs exemples (pages 1 et 2)

Le tapuscrit se présente comme le résumé de quelques résultats d'un travail que l'auteur compte présenter comme thèse de doctorat.⁵

Soit \(C\) une catégorie munie d'un produit \(\otimes : C \times C \to C\), associatif et unitaire à des isomorphismes donnés près, ces isomorphismes satisfaisant les conditions de cohérence (pentagone et triangle). C'est une Gr-catégorie si \(C\) est un groupoïde et si tout objet \(X\) admet un inverse \(Y\), \(X \otimes Y \simeq Y \otimes X \simeq 1_C\).⁶

Exemples.

1. 1.Pour un espace pointé \((X, x)\), les lacets en \(x\), avec pour morphismes les classes d'homotopie d'homotopies de lacets et pour produit la composition des lacets, associative à homotopie près. Variante : un espace de Hopf \(E\) associatif à homotopie près (en un sens assez fort) et à inverse homotopique, les objets étant ses points et les morphismes les classes de chemins.⁷
2. 2.Pour un faisceau abélien \(F\) sur un espace ou un topos, les \(F\)-torseurs avec la somme de Baer ; c'est même une catégorie de Picard stricte. Les Modules inversibles sur un topos annelé en anneaux commutatifs \((X, \mathcal{O}_X)\) en sont le cas \(F = \mathcal{O}_X^{*}\).⁸
3. 3.Pour une catégorie \(A\), ou plus généralement un objet d'une \(2\)-catégorie, les auto-équivalences de \(A\) avec la composition. Si \(F\) est un faisceau en groupes, non nécessairement commutatif, et \(A\) le champ des \(F\)-torseurs à droite, ces auto-équivalences s'identifient aux bitorseurs sous \(F\) : faisceaux sur lesquels \(F\) opère à droite et à gauche, de façon commutante, chacune des deux actions en faisant un torseur. Pour \(F = \mathcal{O}_X^{*}\), \(\mathcal{O}_X\) faisceau d'anneaux non nécessairement commutatif, ce sont les \(\mathcal{O}_X\)-bimodules localement libres de rang un de chaque côté.⁹

2–3

Le théorème de structure : \(\pi_0\), \(\pi_1\), \(k\) (pages 2 et 3)

À une Gr-catégorie \(C\) on associe :

1. a)le groupe \(\pi_0(C)\) des classes d'isomorphisme d'objets ;
2. b)le groupe \(\pi_1(C) = \mathrm{Aut}(1_C)\), qui est commutatif ;
3. c)une action de \(\pi_0(C)\) sur \(\pi_1(C)\). Pour tout objet \(X\), les deux applications \(u \mapsto u \otimes \mathrm{id}_X\) et \(u \mapsto \mathrm{id}_X \otimes u\), composées avec les isomorphismes d'unité, sont des isomorphismes de groupes \(\gamma_X, \delta_X : \mathrm{Aut}(1_C) \to \mathrm{Aut}(X)\) ; l'automorphisme \(\rho(X) = \delta_X^{-1} \circ \gamma_X\) du groupe \(\pi_1(C)\) ne dépend que de la classe de \(X\), et fait de \(\pi_1(C)\) un \(\pi_0(C)\)-module.¹⁰

Choisissons pour chaque \(a \in \pi_0\) un représentant \(L_a\), avec \(L_1 = 1_C\), et pour chaque couple un isomorphisme \(\varphi_{a,b} : L_a \otimes L_b \simeq L_{ab}\). L'isomorphisme d'associativité \((L_a \otimes L_b) \otimes L_c \simeq L_a \otimes (L_b \otimes L_c)\), lu à travers \(\varphi_{a,b}\), \(\varphi_{ab,c}\), \(\varphi_{b,c}\), \(\varphi_{a,bc}\), devient un automorphisme de \(L_{abc}\), c'est-à-dire un élément \(f(a,b,c) \in \pi_1\). Le pentagone dit que \(f\) est un \(3\)-cocycle de \(\pi_0\) à valeurs dans le \(\pi_0\)-module \(\pi_1\) ;¹¹ changer les \(\varphi\) par une \(2\)-cochaîne \(g\) change \(f\) en \(f + dg\). D'où une classe bien définie \[ k(C) \in H^3\bigl(\pi_0(C), \pi_1(C)\bigr) . \]

Théorème (Sính). Une Gr-catégorie est déterminée, à \(\otimes\)-équivalence près, par le groupe \(\pi_0\), le \(\pi_0\)-module \(\pi_1\) et la classe \(k\) ; toute classe se réalise.

Précisément : deux Gr-catégories sont équivalentes si et seulement s'il existe des isomorphismes \(\alpha : \pi_0 \simeq \pi'_0\) et \(\beta : \pi_1 \simeq \pi'_1\), compatibles aux actions, qui transportent \(k\) sur \(k'\).¹² C'est aujourd'hui le théorème de Sính, et la version catégorique de la classification des \(2\)-types d'homotopie connexes par leur premier invariant de Postnikov.

Cas particuliers. Dans l'exemple 1, on doit retrouver le premier invariant de Postnikov de l'espace, dans \(H^3(\pi_1(X), \pi_2(X))\), avec une interprétation géométrique nouvelle.¹³ Dans l'exemple 2, \(\pi_0 = H^1(X,F)\), \(\pi_1 = H^0(X,F)\) et \(k = 0\), puisqu'une catégorie de Picard stricte est déterminée par \(\pi_0\) et \(\pi_1\) (section suivante).¹⁴ Dans l'exemple 3, \(\pi_0\) est le groupe des classes d'auto-équivalences de \(A\), \(\pi_1\) le groupe des automorphismes du foncteur identique, et \(k\) semble nouveau ; pour les bimodules, \(\pi_0\) s'interprète par un « groupoïde de Brandt » et \(\pi_1\) est le groupe des unités centrales de \(\mathcal{O}_X\). Lorsque \(A\) est la catégorie des torseurs sous un groupe ordinaire \(F\), on trouve \(\pi_0 = \mathrm{Out}(F)\), \(\pi_1 = Z(F)\), et \(k\) est la classe de Mac Lane : pour un noyau abstrait \(\psi : Q \to \mathrm{Out}(F)\), l'obstruction de Mac Lane à réaliser \(\psi\) par une extension est l'image réciproque \(\psi^{*}k \in H^3(Q, Z(F))\).¹⁵

3–4

Les catégories de Picard (pages 3 et 4)

Une catégorie de Picard est une \(\otimes\)-catégorie ACU qui est une Gr-catégorie pour sa structure AU : aujourd'hui, un groupoïde de Picard, ou \(2\)-groupe symétrique. Elle est stricte si la symétrie \(c_{X,X}\) de \(X \otimes X\) est l'identité pour tout \(X\). Les catégories de Picard strictes sont celles que Deligne étudie, dans le cadre plus large des champs de Picard.¹⁶

Pour une catégorie de Picard, \(\pi_0\) est commutatif et opère trivialement sur \(\pi_1\). Une équivalence de Gr-catégories entre deux catégories de Picard n'est pas forcément compatible aux symétries, de sorte que la classification au sens Picard est plus fine. La symétrie \(c_{X,X}\), lue comme un élément de \(\pi_1\), définit un homomorphisme \[ s(C) : \pi_0 \longrightarrow {}_2(\pi_1) . \] C'est un homomorphisme parce que \(c_{X \otimes Y, X \otimes Y} = c_{X,X}\, c_{Y,Y}\, c_{X,Y}\, c_{Y,X}\) et que les deux derniers facteurs sont inverses l'un de l'autre ; il est à valeurs dans \({}_2\pi_1\) parce que \(c_{X,X}^{\,2} = \mathrm{id}\).¹⁷

Théorème (Sính). Une catégorie de Picard est déterminée, à équivalence de catégories de Picard non canonique près, par les groupes commutatifs \(\pi_0\), \(\pi_1\) et l'homomorphisme \(s : \pi_0 \to {}_2\pi_1\). Elle est stricte si et seulement si \(s = 0\) ; une catégorie de Picard stricte est donc déterminée par \(\pi_0\) et \(\pi_1\) seuls.¹⁸

Remarques. Le théorème de Deligne décrit la \(2\)-catégorie des catégories de Picard strictes par les complexes de groupes abéliens \(K\) tels que \(H_i(K) = 0\) pour \(i \neq 0, 1\) : la catégorie obtenue en identifiant les \(1\)-flèches isomorphes est équivalente à la sous-catégorie pleine de la catégorie dérivée \(D(\mathrm{Ab})\) formée de ces complexes, avec \(H_0 = \pi_0\) et \(H_1 = \pi_1\).¹⁹ Le théorème précédent, « assez grossier », se réduit alors à ceci : un tel complexe est déterminé à isomorphisme non unique près par son \(H_0\) et son \(H_1\), ce qui tient à ce que \(\mathrm{Ext}^2_{\mathbf{Z}}\) est nul. Il resterait à faire une théorie de structure de la \(2\)-catégorie des catégories de Picard non strictes, et de celle des Gr-catégories, et à transposer tout cela aux champs, comme Deligne l'a fait pour les catégories de Picard strictes.²⁰

4–6

L'enveloppe de Picard, \(K^0\) et \(K^1\) (pages 4 à 6)

Soient \(C\) une \(\otimes\)-catégorie AUC et \(S\) une partie de \(\mathrm{Ob}\,C\). On cherche un \(\otimes\)-foncteur AUC universel \(C \to S^{-1}C\) rendant inversibles les objets de \(S\) : pour toute \(\otimes\)-catégorie AUC \(G\), la restriction \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\otimes \mathrm{AUC}}(S^{-1}C, G) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}^{S}_{\otimes \mathrm{AUC}}(C, G) \] vers les \(\otimes\)-foncteurs qui inversent les objets de \(S\) doit être une équivalence de catégories. Le tapuscrit affirme que le problème a toujours une solution, la \(\otimes\)-catégorie de fractions, et n'en donne pas la construction, « assez naturelle » mais dont l'explicitation est « fort longue et fastidieuse ».²¹

Lorsque \(S = \mathrm{Ob}\,C\), et que \(C\) est un groupoïde, \(S^{-1}C\) est une catégorie de Picard, en général non stricte : l'enveloppe de Picard de \(C\), dont les invariants sont notés \[ K^0(C) = \pi_0(S^{-1}C), \qquad K^1(C) = \pi_1(S^{-1}C) . \] Si \(C\) est le groupoïde des modules projectifs de type fini sur un anneau \(A\) et de leurs isomorphismes, avec la somme directe, ce sont les groupes \(K^0(A)\) de Grothendieck et \(K^1(A)\) de Whitehead et Bass. Le tapuscrit tient pour probable qu'il en va de même pour toute catégorie additive munie de la somme.²²

Cette enveloppe n'est pratiquement jamais stricte. L'invariant \(s\) y est explicite : la symétrie de \(P \oplus P\) est l'échange des deux facteurs, dont la classe dans \(K^1(A)\) est celle de \(-\mathrm{id}_P\), de sorte que \(s([P]) = [-\mathrm{id}_P]\).²³ D'où une conséquence négative : il est peu probable qu'on construise dans \(D(\mathrm{Ab})\) un complexe canonique \(K\) avec \(H_0(K) = K^0\) et \(H_1(K) = K^1\), car une telle construction donnerait, par la théorie de Deligne, une catégorie de Picard stricte canonique ayant ces invariants.²⁴

Le programme (pages 5 et 6)

Les \(K^i\) supérieurs devraient s'interpréter de même par des \(n\)-catégories de Picard et la construction de \(n\)-catégories de Picard enveloppantes, dont les invariants homotopiques \(\pi_i\) seraient les \(K^i\).²⁵ De tels développements obligeraient à tirer au clair les relations entre \(n\)-catégories et \(\infty\)-catégories d'une part, ensembles simpliciaux et espaces d'autre part ; entre \(n\)-Gr-catégories et groupes simpliciaux ou topologiques ; entre \(n\)-catégories de Picard strictes et complexes de chaînes tronqués en dimension \(n\). On doit s'attendre à une fusion de l'algèbre homologique, de l'algèbre homotopique et de l'algèbre catégorique dans une « algèbre homologique non commutative » : « ce qui porte actuellement ce nom n'est que l'amorce de ce qui doit venir ».²⁶

Dernière question, plus terre à terre. Si \(A\) est un anneau commutatif, ou plus généralement une catégorie additive munie d'un produit \(\otimes\) ACU biadditif, l'enveloppe de Picard porte, outre la somme \(\oplus\), un produit \(\otimes\) venu du produit tensoriel, lié à \(\oplus\) par des isomorphismes de distributivité \[ X \otimes (Y \oplus Z) \simeq (X \otimes Y) \oplus (X \otimes Z) . \] Il faudrait étudier systématiquement les catégories munies de deux telles opérations, de Picard pour \(\oplus\) ; \(\pi_0\) y est un anneau commutatif unitaire et \(\pi_1\) un module sur lui. Quels autres invariants les caractérisent à équivalence près ?²⁷

8–11

Lettre à Deligne du 27.8.74 : les champs de Picard épinglés (pages 8 à 11)

La lettre est écrite de Lodève le 27 août 1974.²⁸ Empêché peut-être d'assurer un cours de premier cycle, Grothendieck envisage un petit séminaire d'algèbre sur « les fourbis de Mme Sinh », éventuellement transposés aux champs ; c'est en faisant la transposition qu'il « tombe sur le truc suivant ».²⁹ La lecture qui suit est celle du dossier 134-1, résumée ; on s'y reporte pour les démonstrations.³⁰

Soient \(X\) un topos et \(M\), \(N\) deux faisceaux abéliens sur \(X\). Un champ de Picard épinglé par \(M\), \(N\) est un champ de Picard \(P\) sur \(X\) muni d'isomorphismes \(\pi_0(P) \simeq M\), \(\pi_1(P) \simeq N\). Son invariant de symétrie \(\sigma(P) : M \to {}_2N\) est le \(s\) du tapuscrit, faisceautisé : la symétrie de \(L \otimes L\) pour une section locale \(L\), lue dans \({}_2N\).³¹ Posons \[ E(M,N) = \tau_{\leq 2}\, R\underline{\mathrm{Hom}}(M,N), \qquad \underline{H}^i\bigl(E(M,N)\bigr) = \underline{\mathrm{Ext}}^i(M,N) \quad (0 \leq i \leq 2), \] nul en dehors de \([0,2]\) ; son \(\underline{H}^2\) classe, par le théorème de Deligne, les champs de Picard stricts épinglés par \(M\), \(N\). La lettre pose un second complexe \(E'(M,N)\) qui ferait de même pour les champs de Picard non nécessairement stricts, et qu'elle ne définit pas ; on le définit comme le complexe tronqué des morphismes de \(HM\) dans \(HN\) calculés au-dessus de la sphère \(\mathbb{S}\) et non plus de \(\mathbf{Z}\), \[ E'(M,N) = \tau_{\leq 2}\, R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{S}}(HM, HN) . \] Cette définition est la nôtre.³² Le morphisme d'oubli \(E \to E'\) s'insère alors dans un triangle distingué \((T)\) :

\begin{tikzcd}
& \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N)[-2] \arrow[dl, "{[1]}"'] & \\
E(M,N) \arrow[rr] & & E'(M,N) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

dont le troisième terme vient de ce que l'homologie entière de \(H\mathbf{Z}\) vaut \(\mathbf{Z}\), \(0\), \(\mathbf{Z}/2\) en degrés \(0\), \(1\), \(2\).³³ La suite de cohomologie de \((T)\) donne \(\underline{H}^i(E') = \underline{\mathrm{Ext}}^i(M,N)\) pour \(i \leq 1\) et, en degré \(2\), la suite exacte \[ (*) \qquad 0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N) \longrightarrow P(M,N) \xrightarrow{\ \sigma\ } \underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2 N) \longrightarrow 0 , \] où \(P(M,N) = \underline{H}^2(E'(M,N))\) est le faisceau des classes, à équivalence près, de champs de Picard épinglés par \(M\), \(N\).³⁴

Sur le topos ponctuel, \(\mathrm{Ext}^2_{\mathbf{Z}}\) est nul et \((*)\) se réduit à \(P(M,N) \simeq \mathrm{Hom}(M, {}_2N)\) : c'est exactement le théorème de Sính de la page 4. La suite \((*)\) en est donc la forme faisceautique, et le terme \(\underline{\mathrm{Ext}}^2\) est ce qu'ajoute le passage d'un point à un topos.³⁵

Tout signe se réalise. Grothendieck dit savoir prouver, « sauf erreur », que tout homomorphisme \(M \to {}_2N\) provient d'un champ de Picard épinglé par \(M\), \(N\) : l'obstruction est a priori de degré \(3\), et un argument « universel », qu'il ne donne pas, prouve qu'elle est nulle.³⁶ Ainsi toute section de \(\underline{\mathrm{Hom}}(M, {}_2N)\) sur un objet \(U\) se relève dans \(P(M,N)\), et même dans \(\mathbb{H}^2(U, E'(M,N))\) : l'extension \((*)\) a une section ensembliste, elle est « bien proche d'être splittée », sans être dite scindée.

L'exemple. Pour un anneau \(A\) sur \(X\), soient \(M\), \(N\) les faisceaux \(K^0\) et \(K^1\) associés au champ additif des \(A\)-Modules projectifs de type fini. L'enveloppe de Picard des pages 4 et 5, faite localement, est un champ de Picard épinglé par \(M\), \(N\), et donne une section canonique de \(P(M,N)\). Son invariant \(\sigma\) envoie la classe de \(P\) sur celle de \(-\mathrm{id}_P\), comme au calcul de la page 5.³⁷ Tout cela a « les fonctorialités évidentes en \(M\), \(N\), \(X\) ».

La question. Le triangle \((T)\) et la suite \((*)\) sont-ils connus « par les compétences (Quillen, Breen, Illusie …) » ? Ont-ils des variantes supérieures, qu'on obtiendrait peut-être par des \(n\)-champs de Picard non nécessairement stricts ?³⁸

14–15

Les Gr-champs épinglés (pages 14 et 15)

Soient \(G\) un Groupe sur \(X\), non nécessairement commutatif, et \(N\) un \(G\)-Module. Les Gr-champs sur \(X\) épinglés par \((G, N)\) — c'est-à-dire munis d'isomorphismes \(\pi_0 \simeq G\), \(\pi_1 \simeq N\) compatibles à l'action — forment une \(2\)-catégorie, et même une \(2\)-catégorie de Picard stricte grâce à l'opération de Baer.³⁹ Soient \(B_G\) le topos classifiant de \(G\) (les objets de \(X\) munis d'une action de \(G\)), \(p_G : B_G \to X\) sa projection, \(P\) le torseur universel (\(G\) agissant sur lui-même) et \(q_G : X \simeq B_e \simeq (B_G)_{/P} \to B_G\). Le complexe de cochaînes tronqué qui correspond à cette \(2\)-catégorie de Picard stricte est \[ \tau_{\leq 2}\bigl( R\Gamma(B_G \bmod X, N)[1] \bigr) , \] la cohomologie de \(R\Gamma(B_G \bmod X, N)\) commençant en degré \(1\). Géométriquement, un Gr-champ épinglé par \((G, N)\) est essentiellement une \(2\)-gerbe sur \(B_G\) liée par \(N\), munie d'une trivialisation au-dessus de \(X \simeq (B_G)_{/P}\). Ces \(2\)-gerbes forment a priori une \(3\)-catégorie de Picard, mais ses \(3\)-flèches sont triviales, ce qui exprime \(H^0(B_G \bmod X, N) = 0\), c'est-à-dire l'injectivité de \(H^0(B_G, N) \to H^0(X, N)\) ; c'est donc une \(2\)-catégorie, et c'est celle des Gr-champs épinglés.⁴⁰

Sur le topos ponctuel, la description redonne le théorème de Sính de la page 3. Alors \(B_G\) est le topos classifiant du groupe \(G\) et \(R\Gamma(B_G, N)\) calcule la cohomologie de groupe. La suite exacte de la cohomologie relative donne \(H^{i}(B_G \bmod \mathrm{pt}, N) = H^{i}(G, N)\) pour \(i \geq 2\). Les classes de Gr-catégories épinglées par \((G, N)\), qui sont le \(H^2\) du complexe, forment donc \(H^3(G, N)\). Les auto-équivalences épinglées à isomorphisme près, son \(H^1\), forment \(H^2(G, N)\). Les automorphismes de l'identité, son \(H^0\), forment le groupe \(H^1(B_G \bmod \mathrm{pt}, N) = Z^1(G, N)\) des dérivations.⁴¹

Pour localiser sur \(X\) et décrire le \(2\)-champ de Picard des Gr-champs épinglés par \((G, N)\) sur des objets variables de \(X\), on prend \[ \tau_{\leq 2}\Bigl( R p_{G*}\, \mathrm{Coker}\bigl(N \to q_{G*}\, C(q_G^{*} N)\bigr) \Bigr) , \] où \(C\) désigne une résolution injective.⁴² C'est la version relative à \(X\) du complexe global, la construction a) de la section suivante appliquée à \(q_G\) : le conoyau y remplace la fibre décalée de \([1]\). Ces descriptions étant compatibles aux variations de \(G\), \(N\), \(X\), elles décrivent en principe la \(2\)-catégorie de tous les Gr-champs.⁴³

12–13

La cohomologie relative (pages 12 et 13)

Soient \(q : X \to Y\) un morphisme de topos et \(F\) un faisceau abélien, ou un complexe, sur \(Y\). Peut-on définir \(R\Gamma(Y \bmod X, F)\) fonctoriellement en \(F\), de la catégorie dérivée de \(\mathrm{Ab}(Y)\) dans celle de \(\mathrm{Ab}\) ? L'interprétation par des \(n\)-champs de Picard suggère que oui. Grothendieck ne voit de construction à la main que dans deux cas extrêmes. Notons \(C\) une résolution injective.⁴⁴

1. a)\(q\) est \((-1)\)-acyclique : \(F \to q_* q^* F\) est injectif pour tout \(F\). C'est le cas de \(Y_{/P} \to Y\) lorsque \(P \to e_Y\) est un épimorphisme, donc de \(B_e \to B_G\) à la section précédente.⁴⁵ On prend \(R\Gamma_Y\bigl(\mathrm{Coker}(F \to q_* C(q^*F))[-1]\bigr)\) : la flèche étant injective en chaque degré, son conoyau est quasi-isomorphe au cône, et le conoyau décalé de \(-1\) calcule la fibre de \(R\Gamma(Y, F) \to R\Gamma(X, q^*F)\).
2. b)Pour tout \(F\) injectif, \(q^* F\) est injectif et \(F \to q_* q^* F\) est un épimorphisme ; c'est le cas de l'inclusion d'un ouvert \(U \subset e_Y\). On prend \(R\Gamma_Y\bigl(\mathrm{Ker}(C(F) \to q_* q^* C(F))\bigr)\), le noyau d'une flèche surjective en chaque degré calculant la fibre.⁴⁶

Dans le cas général, la difficulté est que le cône d'un morphisme n'est pas fonctoriel, dans la catégorie dérivée, par rapport à la flèche dont on prend le cône. « Et pourtant, dans les cas particuliers actuels, il devrait y avoir un choix fonctoriel. Est-ce évident ? »⁴⁷ La réponse est oui, et pour une raison générale : la flèche \(F \to Rq_* q^* F\) n'est pas une flèche quelconque de la catégorie dérivée, c'est l'unité d'une adjonction, et elle se relève au niveau des complexes. Une catégorie de Grothendieck admet des résolutions injectives fonctorielles ; avec elles \(F \mapsto \bigl(C(F) \to q_* C(q^* C(F))\bigr)\) est une transformation naturelle de foncteurs de complexes, son cône est fonctoriel au niveau des complexes et respecte les quasi-isomorphismes, et il descend donc à la catégorie dérivée.⁴⁸

Question pour Illusie. Dans sa théorie des déformations de schémas en groupes plats, Illusie rencontre des groupes \(H^3(B_G \bmod X, \ \cdot\ )\) et \(\mathrm{Ext}^2(X, \ \cdot\ )\). Peut-on court-circuiter cette théorie par celle, « supposée écrite », des Gr-champs — ou par celle des champs de Picard ? La phrase qui suit commence par « J'ai » et le dossier n'en contient pas la suite.⁴⁹

16–17

Lettre à Deligne, Giraud et Verdier du 23.6.1974 (pages 16 et 17)

Lettre tapée, datée de Villecun, signée à la main « Schurik ». Grothendieck y présente le travail de Hoàng Xuân Sính, mené depuis son séjour au Vietnam en 1967 sur un sujet qu'il lui avait proposé : une théorie de structure des Gr-catégories et la construction d'une Gr-catégorie, ou plutôt d'une catégorie de Picard, enveloppante pour une catégorie munie d'un produit \(\otimes\) associatif et commutatif — c'est-à-dire, exactement, les deux moitiés du tapuscrit des pages 1 à 6. Il a reçu une copie du manuscrit au propre, obtenue « au prix de mille difficultés », et a adressé un rapport officiel au ministre de l'enseignement supérieur et technique de la République démocratique du Vietnam, dont il joint une copie.⁵⁰ Sính, avec son accord, a demandé à soutenir en France ; l'accord des autorités vietnamiennes n'est pas encore acquis. Si elle figure, comme il l'a appris, dans la délégation vietnamienne au Congrès international de Vancouver d'août 1974, elle pourrait soutenir à Orsay au retour, fin septembre ou début octobre.

Il leur demande donc s'ils accepteraient en principe de faire partie du jury, avec lui, et propose d'envoyer à qui le demande soit la thèse complète, soit un résumé assez détaillé rédigé par Sính, soit un résumé moins détaillé « de 13 pages manuscrites » rédigé en vue des Comptes rendus mais trop long pour eux ; à défaut, de chercher autour d'eux des mathématiciens « dans le bain » du genre de choses que fait Sính.⁵¹ La page 17 confie les formalités à un frère de Sính établi en région parisienne, dont l'adresse n'est pas reproduite,⁵² et un post-scriptum demande à Verdier de transmettre la lettre et le rapport à Giraud, dont Grothendieck n'a pas l'adresse, ajoutant que ce rapport pourra servir aussi de rapport de thèse auprès de l'administration universitaire française.