Fonds Grothendieck, cote n° 102, pages 1–13 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-14)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)102
Etude générale des foncteurs (Sch)° → (Ens) : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Pages 1 à 13 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[après 1967]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/102.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Recollements
le mot est de sa main, seul, en haut à droite de la chemise orange qui
forme la page 1 ; il est repris ici comme titre de section
feuillet de tapuscrit, repris à la main à l'encre noire. Comme pour les
tapuscrits des dossiers 48 et 55, on donne les énoncés et ses interventions ;
les démonstrations tapées sont résumées
Pour EGA VI
Recollements d'objets d'un site.
Soit S un site standard (i.e. à topologie moins fine que la
canonique), muni d'une partie M de l'ensemble des flèches, satisfaisant les
conditions habituelles :
les flèches de M sont quarrables et stables par changement de base,M contient les flèches identiques et est stable par composition,une flèche u : X \to Y appartient à M si elle y appartient
localement sur Y,
et en plus une condition de saturation :
Soit u_i : X_i \to X une famille couvrante deY-morphismes dans S, supposons X_i \to Y
danset supposons les uu_i : X_i \to Y dans M, (i.e., par a) et c),
lesX_i \times_X X_j \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} X_i dans M), alors
u: X \to Y est dans M.
la condition d) est entièrement réécrite à la main : « famille couvrante
de » au-dessus de la ligne, le « Y- » de « Y-morphismes » biffé, « supposons
X_i \to Y dans » tapé et biffé, remplacé en interligne par « et supposons les
uu_i : X_i \to Y dans M, », et au-dessus encore « (i.e. par a) et c), les »
qui fait de la ligne tapée X_i \times_X X_j \to X_i dans M une parenthèse
explicative ; le Y en indice du produit fibré tapé est corrigé en X.
« : X \to Y » est ajouté sous « u ». Le « S » après « dans » est surchargé
d'un trait vertical et pourrait avoir été changé
essayer de ne pas le mettre ici, en saturant plus tard en
\widetilde{M}, et formulant \tilde{e}) de façon un peu différente : u est
dans M sss on peut trouver des u_i : X_i \to X dans M avec uu_i dans
Mnote écrite de biais dans la marge gauche, en regard de d) et du
début de la proposition, et reliée à d) par une accolade
Proposition. Il existe une partie \widetilde{M} de l'ensemble des
flèches du topos \widetilde{S}, déterminée de façon unique par les propriétés
suivantes : \widetilde{M} satisfait aux conditions \tilde{a},
\tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d} analogues à a) à d), et de plus aux
conditions suivantes :
Si u : X \to Y est une flèche de S, alors u est dans
M sss u est dans \widetilde{M}.Si u : F \to X est une flèche dans \widetilde{M}, avec
X \in Sle S de « X \in S » est surchargé à la main et se lit mal, alors il existe une famille couvrante u_i : X_i \to F
de flèches dans \widetilde{M}, avec X_i \in S.
« \tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d} » est écrit à la main
au-dessus de « analogues à a) à d) ». À la fin de \tilde{f}) quelques mots
tapés ont été biffés à la main ; on y devine « uu_i … \widetilde{M} »
Démontrons l'unicité, et montrons que l'on peut décider sans ambiguïté si une
flèche u : F \to G de \widetilde{S} est dans \widetilde{M}. Pour ceci,
distinguons deux cas :
1º) Cas où le morphisme diagonal F \to F \times_G F est représentable.
la démonstration tapée qui suit, et qui se poursuit sur la page 3, est
résumée : on couvre F par des X_i \in S, et par \tilde{c}) on se ramène
au cas où G = X \in S ; on montre alors que u \in \widetilde{M} sss il existe
une famille couvrante u_i : X_i \to F, X_i \in S, avec uu_i \in M et les
X_i \times_F X_j \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} X_i dans M
suite du tapuscrit. Ses interventions sur cette page sont : les
étiquettes des conditions remarquées d'un tilde à la main
(\tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{e}, \tilde{f}, \tilde{a}, \tilde{d}) ;
dans la parenthèse « (NB cela a un sens, car l'hypothèse faite sur u implique
que X_i \times_F X_j est représentable, comme image inverse de la diagonale de
F sur X) », l'insertion « dans X_i \times_X X_j » au-dessus de « de la
diagonale » ; et, dans le cas 2º), « morphisme diagonal » écrit au-dessus d'un
mot tapé biffé. Le cas 2º) (cas général) se ramène au cas 1º) en observant que
Z_{ij} = X_i \times_F X_j est un sous-faisceau du faisceau représentable
Z'_{ij} = X_i \times_X X_j, image inverse du morphisme diagonal, donc
représentable. Le tapuscrit laisse au lecteur la vérification que
\widetilde{M} satisfait à \tilde{a}) à \tilde{f})
Définition. On dit qu'un objet F de \widetilde{S} peut s'obtenir
par recollement d'objets de S à l'aide de morphismes dans M, si on
peut trouver une famille couvrante u_i : X_i \to F, avec X_i \in S et
u_i \in \widetilde{M}. On désignera par \widetilde{S}_M la sous-catégorie
pleine de \widetilde{S} ayant comme objets ces F.
les mots « par recollement d'objets de S à l'aide de morphismes dans M »
sont soulignés à la main
On a alors la propriété de stabilité suivante :
Proposition 1) Soit F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}, et
F_i \to F une famille couvrante
Proposition. (i) Tout faisceau représentable F \in S est dans
\widetilde{S}_M.
(ii) Soit un morphisme u : F \to G dans \widetilde{M}; si
G \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M, alors F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M.
La réciproque est vraie si u est couvrant.
(iii) Soit u : F \to G un morphisme couvrant, tel que
F \times_G F \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} F soit dans \widetilde{M}, alors
G est dans \widetilde{S}_M sss F l'est.
(iv) Une somme \coprod F_i de faisceaux est dans \widetilde{S}_M sss les
F_i le sont.
(v) Supposons que S soit stable par produit de deux objets (resp. par
produit fibré de deux objets sur un troisième, resp. par objet final, resp.
par \varprojlim finies) alors il en est de même de \widetilde{S}_M.
« \mathrm{pr}_1 » dans (iii) est écrit à la main au-dessus de la
flèche ; le numéro « (iv) » est une surcharge d'un « (iii) » tapé ; l'énoncé (v)
est retapé en interligne sur une première rédaction biffée à la machine
(« Soit I une catégorie finie, telle que … »)
(i) est trivial, ainsi que la réciproque dans (ii). La partie directe est
facile ….
la démonstration tapée est résumée : (iii) résulte de (ii) ; pour (iv),
si X \to F = \coprod F_i est dans \widetilde{M} avec X représentable, les
X_i = X \times_F F_i se couvrent par des X_{ij} \in S par \tilde{f}), et
les X_{ij} couvrent les F_i. Pour (v), le tapuscrit renvoie au rédacteur
On laisse aussi (v) au rédacteur (attention, il est douteux que ça marche pareil
pour un noyau, car il ne sera pas vrai nécessairement qu'un morphisme de
doublets dans \widetilde{S}ou même de S induisant des morphismes
\in \widetilde{M} sur les sommets induise un morphisme \in M sur les noyaux
des double flèches).
Corollaire.\mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M est le plus petit
sous-ensemble de \mathrm{Ob}\,\widetilde{S} contenant \mathrm{Ob}\,S et
stable par sommes et par passage au quotient par une relation d'équivalence
à \mathrm{pr}_1 qui est dans \widetilde{M}. Par suite, \widetilde{S}_M ne
change pas si on remplace S par une sous-catégorie S' de \widetilde{S}
contenue dans \widetilde{S}_M, et M par
M' = \widetilde{M} \cap \mathrm{Fl}\,S'.
le tapuscrit porte « le plus petit sous-ensemble de \mathrm{Ob}\,S »,
sans tilde ; le sens veut \widetilde{S} et le tilde n'est pas tracé à cet
endroit
telle que les F_i \times_F F_j \to F_i soient dans \widetilde{M}.
Pour que l'on ait F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M il faut
et il suffit que pour tout i, on ait F_i
ces deux lignes tapées, au haut du verso de la page 4, continuent la
proposition biffée au bas de la page 3, et sont barrées de plusieurs traits
obliques ; la version retenue est la proposition de la page 4. Le « il fet s. »
tapé est lu « il faut et il suffit »
Exemples : Si S est la catégorie des schémas affines, avec une
topologie plus fine que Zar, M l'ensemble des immersions ouvertes (ou, en
l'absence de d), les immersions de la forme
\mathrm{Spec}(A_f) \to \mathrm{Spec}(A)), alors la construction donne une
catégorie \widetilde{S}_M équivalente à celle des schémas. Si on prend une
topologie plus fine que la topologie étale, et pour Ml'ensemble des
morphismes étales (qui satisfont la condition d)), alors on trouve les
« espaces algébriques » de Artin, en « recollant des spectres d'anneaux par des
morphismes étales ». Le dernier corollaire nous dit qu'on aurait trouvé le même
résultat en partant de la catégorie S' des schémas, au lieu de celle S des
schémas affines. Dans ce cas, les morphismes de \widetilde{M} se disent
étales [la top. sur S étant la top. étale).
la dernière phrase est ajoutée à la main, à l'encre bleue, à la suite de
la ligne tapée
Proposition. Supposons que M satisfasse la condition draconienne
suivante : soient u : X \to Y et v : Y \to Z des flèches composables dans
S, alors v \in M et vu \in M implique u \in M. Pour un objet X de S,
soit S(X,M) la sous-catégorie de S_{/X} formée des X' \to X qui sont dans
M (donc la condition précédente dit que tous les morphismes de S(X,M) sont
dans M); munissons-la de la topologie induite par S, et considérons le
topos S(X,M)^{\sim}. Alors le foncteur
(\widetilde{S}_M)_{/X} \to S(X,M)^{\sim} composé de
(\widetilde{S}_M)_{/X} \xrightarrow{\text{incl}} \widetilde{S}_{/X}
\xrightarrow{\text{can.}\ \approx} (S_{/X})^{\sim}
\xrightarrow{\text{restr}} S(M,X)^{\sim} est une équivalence de catégories.
la sous-catégorie pleine de \widetilde{S}_{/X} formée des F \to X qui sont
dans \widetilde{M}[d'où résulte F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M !],
est un topos, équivalent par le foncteur restriction à S(X,M) au topos
S(X,M)^{\sim}.
la première rédaction de la conclusion, tapée, est rayée à la main d'un
trait horizontal et d'un zigzag, et encadrée ; dans le composé biffé, le
dernier terme est tapé « S(M,X) ». L'insertion entre crochets est de sa main à
l'encre bleue, au-dessus de « dans \widetilde{M} ». Dans la dernière ligne,
« S(X,M) » est une surcharge d'une frappe erronée
Questions pour Artin
le titre, souligné, est de sa main en haut de la page
1º) Sstrictement local noeth.hens. noeth.,
S' \to Splat.surjectif, S' noeth.,
X'/S'loc. de t.f.propre avec donnée de descente rel. à
S'/S. Supposons que la donnée de descente sur X'_s soit effective (s pt.
fermé de S). Alors la donnée de descente sur X' est effective ?
« hens. » est doublement souligné. « propre » est écrit au-dessus de
« loc. de t.f. », biffé
Cas où S' = \widehat{S} ?
2º) Peut-on faire la descente fpqc de variétésou relation loc.
de prés. finie, p. ex. de parties d'un complété d'un anneau local ? [i.e.
la propriété, pour un faisceau fpqc loc. de prés. finie, d'être une variété
est-elle loc. fpqc sur S ?]
« ou relation loc. de prés. finie, » est une insertion au-dessus de la
ligne, rattachée par un trait à « variétés » ; « relation » est une lecture
possible, « relativement » en serait une autre. La parenthèse entre crochets
est écrite en deux lignes serrées, la seconde sous la première
Le Pb le comm. aux \varprojlim
(adiques artiniennes)note écrite de biais dans la marge
gauche, en regard de 2º) ; « \varprojlim » est un « lim » souligné d'une
flèche vers la gauche
3º) S comme dans 1º, X une variétésurloc. de
t.f.propre sur S, et X_s représentable,alors X
est-ilsi X est représentable loc. fpqc sur S, représentable ?
Évidemment, si la réponse à 2º est était affirmative, les questions 1º
et 3º seraient équivalentes…
la rédaction de 3º) est reprise en interligne : « et X_s
représentable, » sous la première ligne, « alors X est-il » encadré au-dessus
de la seconde ; la lecture du passage biffé entre les deux reste douteuse
Exemples de Xvariétés propre sur S local complet, X_s
repr. mais X non repr. ?; Exemples de X variétés propres sur
S noeth., repr., qui ne soit repr. ?note écrite de
biais dans la marge gauche en regard de 3º) et 4º), en deux paragraphes
commençant chacun par « Exemples » ; plusieurs mots en sont incertains
4º) Descente fpqc des (« petits ») faisceaux étales.
Lié à la question des conditions sur les foncteurs
(\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens}) qui proviennent de petits
faisceaux étales sur S. Une réponse affirmative à 2º (i.e. pour
des « variétés » dans le sens généralisé, sans exiger que
la diagonale soit une immersion) en impliquerait une à 4º.
« 4º » est entouré, et un trait le relie à la note marginale
Plan
titre de l'édition : la page 10 ne porte pas de titre
Abus de langage : imm., imm. ouverte, imm. fermée, lisse, net, étale,
(sous-entendu : repr. par …). Critère de représentabilité par
« recollement des morceaux ». (SGAD XI 3.5.)
[Faisceaux qu.-cpt, quasi-sép. Morphismes qu.-cpt, qu.-sép. …
des faisceaux]. Morphismes loc. de prés. finie, de prés. finie.
[ ] = petits compléments
Morphismes formellement lisses, formellement nets,
formellement étales, et variantes infinitésimales. Critères standard…Critères pour qu'un morphisme soit un monomorphisme, un bimorphisme,
une immersion, une immersion ouverte.Conditions de séparation : morph. diag. repr. par imm.,
par imm. qu.-cpte, [par imm. de prés. finie] ; morphisme diagonal repr. par
imm. fermée ; Relations avec critères valutifsvaluatifs.Espaces induits et foncteurs sur
(\mathrm{Sch})_{/\ill{}}. Morphismes surjectifs, radiciels radiciels
(morphisme diagonal est surjectif). [Une immersion ouverte surjective est un
isom].Conditions de propreté.Conditions de connexions.
une flèche tracée dans la marge ramène l'item 7 entre les items 5 et 6 ;
l'ordre de la page est gardé. Les trois lignes de 5, ici séparées par des
points-virgules, sont réunies par une accolade ; « par imm. de prés. finie » est encadré et relié à « par imm.
qu.-cpte ». Autour de « critères valutifs » la page est surchargée : un mot
biffé, et « Morphismes », d'une encre plus sombre, écrit par-dessus la fin de la
ligne, et l'on n'est pas sûr de la frontière entre 5 et 7
Principe des vérifications pour les morphismes de faisceaux sur
(\mathrm{Sch}) : a) Conditions locales b) Si f : F \to G est
représentable, cela doit coller avec la définition déjà acceptée pour morphismes
de schémas [\forall\, X \to G, le morphisme de schémas X \times_G F \to X a
la propriété].
Fragment d'une démonstration
titre de l'édition ; la page 11 reprend au milieu d'une phrase, dont le
début ne figure pas dans le dossier
dans une extension radicielle convenable de k(y), on peut supposer
que (X_y)_{\mathrm{red}} est séparable sur k(y) =k(y), et remplaçant X par X_{\mathrm{red}}, on
les conditions du th., et on gagne.
La deuxième assertion se déduit de la troisième par réduction au cas
noethérien. Pour la troisième,
distinguons les deux cas. YY intègre, Y. Faisant une extension radicielle finie Y' de
Y et normalisant Y réduit. Dans le premier cas.
bloc encadré sur la gauche et biffé de plusieurs traits horizontaux et
obliques ; seuls quelques mots se lisent
(On peut supposerY réduit.) M = \underline{\mathrm{Hilb}}
NotonsM = \underline{\mathrm{Hilb}}_{X/Y},
alors une section ensembliste\varphi de M sur Y,
telle que définie par : \forall\, y \in Y le point
\varphi(y) de M_ydéfini par(X_y)_{\mathrm{red}} \subset X_y. Soit D' Soit
Y' = \varphi(Y). Je dis que Y' est une partie []Y' de la fermée de M; admettons [NB. Y' \to Y est , fini…]
admis, aura un morphisme fini fermé, on \varphi aura un Y-morphisme
Y' \to M, correspondant à un sous-schéma ferméXZ de X', plat de prés. finie sur Y, dont les fibres sont
(X_y)_{\mathrm{red}} \otimes_{k(y)} k(y'), qui sont réduites. Par
suite, Z est réduit sur Y'réduit, donc
évident, et ayant même ensemble sous-jacent que X', il est égal
à X'_{\mathrm{red}}].
les lignes du milieu, de « Je dis que » à « un Y-morphisme », sont
surchargées d'insertions interlinéaires et de biffures ; on n'y a gardé que ce
qui se lit, et l'ordre des mots rendus n'est pas assuré. La parenthèse ouverte
par « [NB. » se ferme au bas de la page, après « X'_{\mathrm{red}} ». « sur
Y » dans « plat de prés. finie sur Y » est lu tel qu'écrit, bien que le
sens attende Y'
Immersions ouvertes
titre de l'édition
\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "u"] & F \arrow[d] \\
& S
\end{tikzcd}
S loc. noeth.
Si Supposons :
(i) F et G sont des faisceaux fpqc, commutant aux \varinjlim d'anneaux,
aux \varprojlimadiques d'anneaux artiniens,
(ii) u est un monomorphisme, et est infinitésimalement étale.
(iii) u épimorphisme
Alors G \to F est une immersion ouverte.
« \varinjlim » et « \varprojlim » sont des « lim » soulignés d'une
flèche vers la droite et vers la gauche. Les deux énoncés suivants sont séparés
du reste par des traits horizontaux
Une Immersion ouverte surjective de foncteurs est un isomorphisme
Caractérisation des morphismes étales de foncteurs…,
feuille de mots-clés encadrés, qui semble dresser la carte des notions à
traiter ; les cadres ne sont pas reliés par des flèches, sauf une accolade. On
les donne en liste, dans l'ordre de lecture
X \to Y une imm. ouverte
X \to Y
morphisme affine formellement lisse, non ram., étale —
relativement lisse, relativement non ram., relativement étale
« formellement » est surchargé sur un « affine » biffé. « Mon » est dans
un petit cadre relié au cadre des immersions
F_i \to Fimm. ouverte
\begin{tikzcd}
G \arrow[r] & F \\
G_T \arrow[r] \arrow[u] & F_T \arrow[u]
\end{tikzcd}
(A) Ex. faisceaux; loc. de
prés. finie [relatif]; adiques
les trois derniers cadres (« faisceaux », « loc. de prés. finie
[relatif] », « adiques ») sont réunis par une accolade à laquelle aboutit un
mot biffé ; le « A » est entouré