Cote n° 102 · batch 1 · pages 1–13 · Transcription · Etude générale des foncteurs (Sch)° → (Ens) : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [après 1967]
Édition de démonstration

Recollements

le mot est de sa main, seul, en haut à droite de la chemise orange qui forme la page 1 ; il est repris ici comme titre de section

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feuillet de tapuscrit, repris à la main à l'encre noire. Comme pour les tapuscrits des dossiers 48 et 55, on donne les énoncés et ses interventions ; les démonstrations tapées sont résumées

Pour EGA VI

Recollements d'objets d'un site.

Soit \(S\) un site[ standard (i.e. à topologie moins fine que la canonique)], muni d'une partie \(M\) de l'ensemble des flèches, satisfaisant les conditions habituelles :

• a)les flèches de \(M\) sont quarrables et stables par changement de base,
• b)\(M\) contient les flèches identiques et est stable par composition,
• c)une flèche \(u : X \to Y\) appartient à \(M\) si elle y appartient localement sur \(Y\),

et en plus une condition de saturation :

• d)Soit \(u_i : X_i \to X\) une [famille couvrante de] \(Y\)-morphismes dans \(S\), supposons \(X_i \to Y\) dans [et supposons les \(uu_i : X_i \to Y\) dans \(M\), (i.e., par a) et c), les] \(X_i \times_X X_j \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} X_i\) dans \(M\)), alors \(u\)[\(: X \to Y\)] est dans \(M\).

la condition d) est entièrement réécrite à la main : « famille couvrante de » au-dessus de la ligne, le « \(Y\)- » de « \(Y\)-morphismes » biffé, « supposons \(X_i \to Y\) dans » tapé et biffé, remplacé en interligne par « et supposons les \(uu_i : X_i \to Y\) dans \(M\), », et au-dessus encore « (i.e. par a) et c), les » qui fait de la ligne tapée \(X_i \times_X X_j \to X_i\) dans \(M\) une parenthèse explicative ; le \(Y\) en indice du produit fibré tapé est corrigé en \(X\). « \(: X \to Y\) » est ajouté sous « \(u\) ». Le « \(S\) » après « dans » est surchargé d'un trait vertical et pourrait avoir été changé

essayer de ne pas le mettre ici, en saturant plus tard en \(\widetilde{M}\), et formulant \(\tilde{e}\)) de façon un peu différente : \(u\) est dans \(M\) sss on peut trouver des \(u_i : X_i \to X\) dans \(M\) avec \(uu_i\) dans \(M\)note écrite de biais dans la marge gauche, en regard de d) et du début de la proposition, et reliée à d) par une accolade

Proposition. Il existe une partie \(\widetilde{M}\) de l'ensemble des flèches du topos \(\widetilde{S}\), déterminée de façon unique par les propriétés suivantes : \(\widetilde{M}\) satisfait aux conditions [\(\tilde{a}\), \(\tilde{b}\), \(\tilde{c}\), \(\tilde{d}\)] analogues à a) à d), et de plus aux conditions suivantes :

• \(\tilde{e}\))Si \(u : X \to Y\) est une flèche de \(S\), alors \(u\) est dans \(M\) sss \(u\) est dans \(\widetilde{M}\).
• \(\tilde{f}\))Si \(u : F \to X\) est une flèche dans \(\widetilde{M}\), avec \(X \in S\)le \(S\) de « \(X \in S\) » est surchargé à la main et se lit mal, alors il existe une famille couvrante \(u_i : X_i \to F\) de flèches dans \(\widetilde{M}\), avec \(X_i \in S\). […]

« \(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d}\) » est écrit à la main au-dessus de « analogues à a) à d) ». À la fin de \(\tilde{f}\)) quelques mots tapés ont été biffés à la main ; on y devine « \(uu_i\) … \(\widetilde{M}\) »

Démontrons l'unicité, et montrons que l'on peut décider sans ambiguïté si une flèche \(u : F \to G\) de \(\widetilde{S}\) est dans \(\widetilde{M}\). Pour ceci, distinguons deux cas :

1º) Cas où le morphisme diagonal \(F \to F \times_G F\) est représentable.

la démonstration tapée qui suit, et qui se poursuit sur la page 3, est résumée : on couvre \(F\) par des \(X_i \in S\), et par \(\tilde{c}\)) on se ramène au cas où \(G = X \in S\) ; on montre alors que \(u \in \widetilde{M}\) sss il existe une famille couvrante \(u_i : X_i \to F\), \(X_i \in S\), avec \(uu_i \in M\) et les \(X_i \times_F X_j \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} X_i\) dans \(M\)

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suite du tapuscrit. Ses interventions sur cette page sont : les étiquettes des conditions remarquées d'un tilde à la main (\(\tilde{b}\), \(\tilde{c}\), \(\tilde{e}\), \(\tilde{f}\), \(\tilde{a}\), \(\tilde{d}\)) ; dans la parenthèse « (NB cela a un sens, car l'hypothèse faite sur \(u\) implique que \(X_i \times_F X_j\) est représentable, comme image inverse de la diagonale de \(F\) sur \(X\)) », l'insertion « dans \(X_i \times_X X_j\) » au-dessus de « de la diagonale » ; et, dans le cas 2º), « morphisme diagonal » écrit au-dessus d'un mot tapé biffé. Le cas 2º) (cas général) se ramène au cas 1º) en observant que \(Z_{ij} = X_i \times_F X_j\) est un sous-faisceau du faisceau représentable \(Z'_{ij} = X_i \times_X X_j\), image inverse du morphisme diagonal, donc représentable. Le tapuscrit laisse au lecteur la vérification que \(\widetilde{M}\) satisfait à \(\tilde{a}\)) à \(\tilde{f}\))

Définition. On dit qu'un objet \(F\) de \(\widetilde{S}\) peut s'obtenir par recollement d'objets de \(S\) à l'aide de morphismes dans \(M\), si on peut trouver une famille couvrante \(u_i : X_i \to F\), avec \(X_i \in S\) et \(u_i \in \widetilde{M}\). On désignera par \(\widetilde{S}_M\) la sous-catégorie pleine de \(\widetilde{S}\) ayant comme objets ces \(F\).

les mots « par recollement d'objets de \(S\) à l'aide de morphismes dans \(M\) » sont soulignés à la main

On a alors la propriété de stabilité suivante :

Proposition 1) Soit \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}\), et \(F_i \to F\) une famille couvrante

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Proposition. (i) Tout faisceau représentable \(F \in S\) est dans \(\widetilde{S}_M\).

(ii) Soit un morphisme \(u : F \to G\) dans \(\widetilde{M}\); si \(G \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M\), alors \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M\). La réciproque est vraie si \(u\) est couvrant.

(iii) Soit \(u : F \to G\) un morphisme couvrant, tel que \(F \times_G F \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} F\) soit dans \(\widetilde{M}\), alors \(G\) est dans \(\widetilde{S}_M\) sss \(F\) l'est.

(iv) Une somme \(\coprod F_i\) de faisceaux est dans \(\widetilde{S}_M\) sss les \(F_i\) le sont.

(v) Supposons que \(S\) soit stable par produit de deux objets (resp. par produit fibré de deux objets sur un troisième, resp. par objet final, resp. par \(\varprojlim\) finies) alors il en est de même de \(\widetilde{S}_M\).

« \(\mathrm{pr}_1\) » dans (iii) est écrit à la main au-dessus de la flèche ; le numéro « (iv) » est une surcharge d'un « (iii) » tapé ; l'énoncé (v) est retapé en interligne sur une première rédaction biffée à la machine (« Soit I une catégorie finie, telle que … »)

(i) est trivial, ainsi que la réciproque dans (ii). La partie directe est facile ….

la démonstration tapée est résumée : (iii) résulte de (ii) ; pour (iv), si \(X \to F = \coprod F_i\) est dans \(\widetilde{M}\) avec \(X\) représentable, les \(X_i = X \times_F F_i\) se couvrent par des \(X_{ij} \in S\) par \(\tilde{f}\)), et les \(X_{ij}\) couvrent les \(F_i\). Pour (v), le tapuscrit renvoie au rédacteur

On laisse aussi (v) au rédacteur (attention, il est douteux que ça marche pareil pour un noyau, car il ne sera pas vrai nécessairement qu'un morphisme de doublets dans \(\widetilde{S}\) [ou même de \(S\)] induisant des morphismes \(\in \widetilde{M}\) sur les sommets induise un morphisme \(\in M\) sur les noyaux des double flèches).

Corollaire. \(\mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M\) est le plus petit sous-ensemble de \(\mathrm{Ob}\,\widetilde{S}\) contenant \(\mathrm{Ob}\,S\) et stable par [sommes et par] passage au quotient par une relation d'équivalence à \(\mathrm{pr}_1\) qui est dans \(\widetilde{M}\). Par suite, \(\widetilde{S}_M\) ne change pas si on remplace \(S\) par une sous-catégorie \(S'\) de \(\widetilde{S}\) contenue dans \(\widetilde{S}_M\), et \(M\) par \(M' = \widetilde{M} \cap \mathrm{Fl}\,S'\).

le tapuscrit porte « le plus petit sous-ensemble de \(\mathrm{Ob}\,S\) », sans tilde ; le sens veut \(\widetilde{S}\) et le tilde n'est pas tracé à cet endroit

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telle que les \(F_i \times_F F_j \to F_i\) soient dans \(\widetilde{M}\). Pour que l'on ait \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M\) il f[au]t [et il suffit] que pour tout \(i\), on ait \(F_i\)

ces deux lignes tapées, au haut du verso de la page 4, continuent la proposition biffée au bas de la page 3, et sont barrées de plusieurs traits obliques ; la version retenue est la proposition de la page 4. Le « il fet s. » tapé est lu « il faut et il suffit »

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Exemples : Si \(S\) est la catégorie des schémas affines, avec une topologie plus fine que Zar, \(M\) l'ensemble des immersions ouvertes (ou, en l'absence de d), les immersions de la forme \(\mathrm{Spec}(A_f) \to \mathrm{Spec}(A)\)), alors la construction donne une catégorie \(\widetilde{S}_M\) équivalente à celle des schémas. Si on prend une topologie plus fine que la topologie étale, et pour \(M\) [l'ensemble] des morphismes étales (qui satisfont la condition d)), alors on trouve les « espaces algébriques » de Artin, en « recollant des spectres d'anneaux par des morphismes étales ». Le dernier corollaire nous dit qu'on aurait trouvé le même résultat en partant de la catégorie \(S'\) des schémas, au lieu de celle \(S\) des schémas affines. [Dans ce cas, les morphismes de \(\widetilde{M}\) se disent étales [la top. sur \(S\) étant la top. étale).]

la dernière phrase est ajoutée à la main, à l'encre bleue, à la suite de la ligne tapée

Proposition. Supposons que \(M\) satisfasse la condition draconienne suivante : soient \(u : X \to Y\) et \(v : Y \to Z\) des flèches composables dans \(S\), alors \(v \in M\) et \(vu \in M\) implique \(u \in M\). Pour un objet \(X\) de \(S\), soit \(S(X,M)\) la sous-catégorie de \(S_{/X}\) formée des \(X' \to X\) qui sont dans \(M\) (donc la condition précédente dit que tous les morphismes de \(S(X,M)\) sont dans \(M\)); munissons-la de la topologie induite par \(S\), et considérons le topos \(S(X,M)^{\sim}\). Alors le foncteur \((\widetilde{S}_M)_{/X} \to S(X,M)^{\sim}\) composé de \((\widetilde{S}_M)_{/X} \xrightarrow{\text{incl}} \widetilde{S}_{/X} \xrightarrow{\text{can.}\ \approx} (S_{/X})^{\sim} \xrightarrow{\text{restr}} S(M,X)^{\sim}\) est une équivalence de catégories. la sous-catégorie pleine de \(\widetilde{S}_{/X}\) formée des \(F \to X\) qui sont dans \(\widetilde{M}\) [[d'où résulte \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M\) !]], est un topos, équivalent par le foncteur restriction à \(S(X,M)\) au topos \(S(X,M)^{\sim}\).

la première rédaction de la conclusion, tapée, est rayée à la main d'un trait horizontal et d'un zigzag, et encadrée ; dans le composé biffé, le dernier terme est tapé « \(S(M,X)\) ». L'insertion entre crochets est de sa main à l'encre bleue, au-dessus de « dans \(\widetilde{M}\) ». Dans la dernière ligne, « \(S(X,M)\) » est une surcharge d'une frappe erronée

Questions pour Artin

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le titre, souligné, est de sa main en haut de la page

1º) \(S\) strictement local noeth. hens. noeth., \(S' \to S\) […] plat. surjectif, \(S'\) noeth., \(X'/S'\) loc. de t.f. [propre] avec donnée de descente rel. à \(S'/S\). Supposons que la donnée de descente sur \(X'_s\) soit effective (\(s\) pt. fermé de \(S\)). Alors la donnée de descente sur \(X'\) est effective ?

« hens. » est doublement souligné. « propre » est écrit au-dessus de « loc. de t.f. », biffé

Cas où \(S' = \widehat{S}\) ?

2º) Peut-on faire la descente fpqc de variétés [ou relation loc. de prés. finie,] p. ex. de parties d'un complété d'un anneau local ? [i.e. la propriété, pour un faisceau fpqc loc. de prés. finie, d'être une variété est-elle loc. fpqc sur \(S\) ?]

« ou relation loc. de prés. finie, » est une insertion au-dessus de la ligne, rattachée par un trait à « variétés » ; « relation » est une lecture possible, « relativement » en serait une autre. La parenthèse entre crochets est écrite en deux lignes serrées, la seconde sous la première

Le Pb […] le comm. aux \(\varprojlim\) (adiques artiniennes)note écrite de biais dans la marge gauche, en regard de 2º) ; « \(\varprojlim\) » est un « lim » souligné d'une flèche vers la gauche

3º) \(S\) comme dans 1º, \(X\) une variété sur loc. de t.f. [propre] sur \(S\), [et \(X_s\) représentable,] [alors \(X\) est-il] si \(X\) est représentable loc. fpqc sur \(S\), représentable ? Évidemment, si la réponse à 2º est était affirmative, les questions 1º et 3º seraient équivalentes…

la rédaction de 3º) est reprise en interligne : « et \(X_s\) représentable, » sous la première ligne, « alors \(X\) est-il » encadré au-dessus de la seconde ; la lecture du passage biffé entre les deux reste douteuse

Exemples de \(X\) variétés propre sur \(S\) local complet, \(X_s\) repr. mais \(X\) non repr. ?; Exemples de \(X\) variétés propres sur \(S\) noeth., […] repr., qui ne soit repr. ?note écrite de biais dans la marge gauche en regard de 3º) et 4º), en deux paragraphes commençant chacun par « Exemples » ; plusieurs mots en sont incertains

4º) Descente fpqc des [(« petits »)] faisceaux étales.

Lié à la question des conditions sur les foncteurs \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens})\) qui proviennent de petits faisceaux étales sur \(S\). Une réponse affirmative à 2º (i.e. pour des « variétés » dans le sens généralisé, sans exiger que [la] diagonale soit une [immersion]) en impliquerait une à 4º.

« 4º » est entouré, et un trait le relie à la note marginale

Plan

titre de l'édition : la page 10 ne porte pas de titre

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1. 1.Morphismes représentables. Morphismes \(P\)-représentables. Abus de langage : imm., imm. ouverte, imm. fermée, lisse, net, étale, (sous-entendu : repr. par …). Critère de représentabilité par « recollement des morceaux ». (SGAD XI 3.5.)
2. 2.[Faisceaux qu.-cpt, quasi-sép. Morphismes qu.-cpt, qu.-sép. … des faisceaux]. Morphismes [loc.] de prés. finie, de prés. finie. [ ] = petits compléments
3. 3.Morphismes formel[lemen]t lisses, formel[lemen]t nets, formel[lemen]t étales, et variantes infinitésimales. Critères standard…
4. 4.Critères pour qu'un morphisme soit un monomorphisme, un bimorphisme, une immersion, une immersion ouverte.
5. 5.Conditions de séparation : morph. diag. repr. par imm., par imm. qu.-cpte, [par imm. de prés. finie] ; morphisme diagonal repr. par imm. fermée ; Relations avec critères valutifs valuatifs.
6. 7.Espaces induits et foncteurs […] sur \((\mathrm{Sch})_{/\ill{}}\). Morphismes surjectifs, radiciels radiciels (morphisme diagonal est surjectif). [Une immersion ouverte surjective est un isom].
7. 6.Conditions de propreté.
8. 8.Conditions de connexions.

une flèche tracée dans la marge ramène l'item 7 entre les items 5 et 6 ; l'ordre de la page est gardé. Les trois lignes de 5, ici séparées par des points-virgules, sont réunies par une accolade ; « par imm. de prés. finie » est encadré et relié à « par imm. qu.-cpte ». Autour de « critères valutifs » la page est surchargée : un mot biffé, et « Morphismes », d'une encre plus sombre, écrit par-dessus la fin de la ligne, et l'on n'est pas sûr de la frontière entre 5 et 7

Principe des vérifications pour les morphismes de faisceaux sur \((\mathrm{Sch})\) : a) Conditions locales b) Si \(f : F \to G\) est représentable, cela doit coller avec la définition déjà acceptée pour morphismes de schémas [\(\forall\, X \to G\), le morphisme de schémas \(X \times_G F \to X\) a la propriété].

Fragment d'une démonstration

titre de l'édition ; la page 11 reprend au milieu d'une phrase, dont le début ne figure pas dans le dossier

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dans une extension radicielle convenable de \(k(y)\), on peut supposer que \((X_y)_{\mathrm{red}}\) est séparable sur [\(k(y) =\)] \(k(y)\), et remplaçant \(X\) par \(X_{\mathrm{red}}\), on […] […] les conditions du th., et on gagne.

La deuxième assertion se déduit de la troisième par réduction au cas noethérien. Pour la troisième,

distinguons les deux cas. […] […] […] \(Y\) […] […] […] \(Y\) intègre, […] […] \(Y\). Faisant une extension radicielle finie \(Y'\) de \(Y\) et normalisant […] \(Y\) réduit. Dans le premier cas.

bloc encadré sur la gauche et biffé de plusieurs traits horizontaux et obliques ; seuls quelques mots se lisent

(On peut supposer \(Y\) réduit.) […] […] \(M = \underline{\mathrm{Hilb}}\)

[…] […] Notons \(M = \underline{\mathrm{Hilb}}_{X/Y}\), […] alors une section ensembliste \(\varphi\) de \(M\) sur \(Y\), telle que définie par : \(\forall\, y \in Y\) le point [\(\varphi(y)\)] de \(M_y\) défini par \((X_y)_{\mathrm{red}} \subset X_y\). Soit \(D'\) Soit \(Y' = \varphi(Y)\). Je dis que \(Y'\) est une partie [[…] […]] […] […] \(Y'\) de la fermée de \(M\); […] admettons […] [NB. \(Y' \to Y\) est […] […], […] fini…] […] […] admis, […] aura un morphisme fini […] fermé, on \(\varphi\) […] aura un \(Y\)-morphisme \(Y' \to M\), correspondant à un sous-schéma [fermé] \(X\) \(Z\) de \(X'\), plat de prés. finie sur \(Y\), dont les fibres sont […] \((X_y)_{\mathrm{red}} \otimes_{k(y)} k(y')\), qui sont réduites. Par suite, \(Z\) est réduit sur \(Y'\) [réduit], donc évident, et ayant même ensemble sous-jacent que \(X'\), il est égal à \(X'_{\mathrm{red}}\)].

les lignes du milieu, de « Je dis que » à « un \(Y\)-morphisme », sont surchargées d'insertions interlinéaires et de biffures ; on n'y a gardé que ce qui se lit, et l'ordre des mots rendus n'est pas assuré. La parenthèse ouverte par « [NB. » se ferme au bas de la page, après « \(X'_{\mathrm{red}}\) ». « sur \(Y\) » dans « plat de prés. finie sur \(Y\) » est lu tel qu'écrit, bien que le sens attende \(Y'\)

Immersions ouvertes

titre de l'édition

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\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "u"] & F \arrow[d] \\
 & S
\end{tikzcd}

\(S\) loc. noeth.

Si […] [Supposons] :

(i) \(F\) et \(G\) sont des faisceaux fpqc, commutant aux \(\varinjlim\) d'anneaux, aux \(\varprojlim\) adiques d'anneaux artiniens,

(ii) \(u\) est un monomorphisme, et est infinitésimalement étale.

(iii) \(u\) […] […] épimorphisme

Alors \(G \to F\) est une immersion ouverte.

« \(\varinjlim\) » et « \(\varprojlim\) » sont des « lim » soulignés d'une flèche vers la droite et vers la gauche. Les deux énoncés suivants sont séparés du reste par des traits horizontaux

Une Immersion ouverte surjective de foncteurs est un isomorphisme

Caractérisation des morphismes étales de foncteurs…,

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feuille de mots-clés encadrés, qui semble dresser la carte des notions à traiter ; les cadres ne sont pas reliés par des flèches, sauf une accolade. On les donne en liste, dans l'ordre de lecture

\(X \to Y\) une imm. ouverte

\(X \to Y\)

morphisme affine formel[lemen]t lisse, non ram., étale — rel[ativemen]t lisse, rel[ativemen]t non ram., rel[ativemen]t étale

Mon : immersion; immersion ouverte; immersion fermée — imm. ouverte

[séparé, —] [propre, …] [connexe, …]

« formellement » est surchargé sur un « affine » biffé. « Mon » est dans un petit cadre relié au cadre des immersions

\(F_i \to F\) imm. ouvert[e]

\begin{tikzcd}
G \arrow[r] & F \\
G_T \arrow[r] \arrow[u] & F_T \arrow[u]
\end{tikzcd}

(A) Ex. faisceaux; loc. de prés. finie [relatif]; adiques

les trois derniers cadres (« faisceaux », « loc. de prés. finie [relatif] », « adiques ») sont réunis par une accolade à laquelle aboutit un mot biffé ; le « A » est entouré